高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为
1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,AB
a BC
b uu u r
u uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC
uu u r （1）a a a 00
；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC
CD
PQ
QR
AR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r
L
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法：①相反向量：与
a 长度相等、方向相反的向量，叫做
a 的相反
向量
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a
可以表
示为从b 的终点指向
a 的终点的向量（a 、
b 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λ
a ，它的长度与方向
规定如下：
（Ⅰ）
a a ；（Ⅱ）当
0时，λa 的方向与a 的方向相同；当
时，λ
a 的方向与a 的方向相反；当
0时，
0a
，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量
b 与非零向量a 共线
有且只有一个实数
，使得
b =a
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一
平面内的任一向量
a ，有且只有一对实数
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作
0；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：
e =±a a ||
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作
//a
b ；规定
0与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：任意两个相等的非零向量，
都可以用同一条有向线段来表
示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同
b
a
C
B
A -=A -A
B =B a b
C C
c
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
⑶运算性质：
①交换律：+=+a b b a ；
②结合律：++=++a b c a b c ()()
；③+=+=a a a 00．
⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则
-=--a b x x y y ,1212)(．
设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则
AB =--x x y y ,2121)(．
8、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①
高一数学必修四,平面向量知识点总结,2020最新版
平面向量知识点专题
知识点梳理：
一、向量的基本概念
1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。
2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。
3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。
4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显|
|a a ±
是与向量a 共线（平行）的单位向量。
5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。
6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。
7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。
二、向量的线性运算
1. 向量的加法：
1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。
1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：
1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。
1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法：
2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。
数学必修4_第二章_平面向量知识点
数学必修4第二章 平面向量知识点
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量
(1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，
零向量a ＝0⇔｜a
｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）
(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a
为单位向量0||1a ⇔=。将一个
向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：
||a a e a =
(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b
。
规定：0与任何向量平等，
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移
(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量。记作a -。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a
； ③
()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则
a =
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)
平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。
8.三角形法则：
AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+
13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||
a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
高中数学必修四-平面向量的简单应用
平面向量的简单应用
知识集结
知识元
平面向量的综合问题
知识讲解
1．平面向量的综合题
【知识点的知识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是
）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，
则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．
设＝，＝，则．即＝＝．即
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为
1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,AB
a BC
b uu u r
u uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC
uu u r （1）a a a 00
；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC
CD
PQ
QR
AR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r
L
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法：①相反向量：与
a 长度相等、方向相反的向量，叫做
a 的相反
向量
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a
可以表
示为从b 的终点指向
a 的终点的向量（a 、
b 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λ
a ，它的长度与方向
规定如下：
（Ⅰ）
a a ；（Ⅱ）当
0时，λa 的方向与a 的方向相同；当
时，λ
a 的方向与a 的方向相反；当
0时，
0a
，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量
b 与非零向量a 共线
有且只有一个实数
，使得
b =a
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一
平面内的任一向量
a ，有且只有一对实数
平面向量知识点总结
高中数学必修4——平面向量知识点归纳
一. 向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模（长度）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行，所
以在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件． ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的向量，称为平行向量由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合 2向量加法：
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC
（1）a a a =+=+00；
（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”．
高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量
高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r
r r r ．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++r r r r r
r ；③00a a a +=+=r r r r r ．
⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r
r ．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r
r ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．
19、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr
． ①
a a λλ=r r
；
②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a
=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a
,,……来表示，或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a
；坐标表示法
),(y x yj xi a
向量的大小即向量的模（长度）
，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行零向
量a ＝0 ｜a
｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在
有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量 ｜0a
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b
由于向量可
以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
b a
大小相等，方向相同
),(),(2211y x y x 21
2
1y y x x
2向量加法
高中数学必修4平面向量知识点总结.doc
高中数学必修 4平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1 向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a, b, c来表示，或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示，如：uuur uuur
AB 几何表示法AB ，a；坐标表示法
a xi yj
uuur
( x, y) 向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，
记作｜ a ｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为 0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向
量 a ＝0
r r
｜ a ｜＝ 0 由于0的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在
有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注
意与 0 的区别）
③单位向量：模为 1 个单位长度的向量
向量 a0为单位向量｜a0｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a ∥b由于向量可
以进行任意的平移 ( 即自由向量 ) ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向
量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
a b 大小相等，方向相同( x1 , y1 ) ( x2 x1 x2
, y2 )
y2
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r
（1）a a a
00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点
的向量（a 、b 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a
的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4知识点总结
平面向量 知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1.向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点
的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+=
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a
｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，
0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量，称为平行向量a ∥b (即自
由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小
相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔21
21y y x x 2.向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,AB a BC b ==，则a
平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a
,,……来表示，或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+=
向
量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，
0 与任意向量平行零向量a ＝0
⇔｜a
｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量⇔｜0a
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量，称为平行向量a ∥b
由于向量可以进行任意的平移(即自
由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a
=大
小相等，方向相同
),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2
12
1y y x x
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,AB a BC b ==，则a
高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型
量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对
角线，方向是从减向量指向被减向量
（ 2） 三角形法则的特点是 “首尾相接 ”，由第一个向量的起点指
向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从
减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首
7 特别注意 :
（ 1）向量的加法与减法是互逆运算
（ 2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，
而向量平行则包括共线（重合）的情况 （ 4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置 无关，只与其相对位置有关
高中必修 4 平面向量知识点归纳及常见题型 一 .向量的基本概念与基本运算
1 向量的概念： ①向量 ：既有大小又有方向的量 向量一般用 a,b,c …… 来表示，或用有 向线段的起点与终点的大写字母表示， 如： AB 几何表示法 AB ，a ； 坐标表示法 a xi yj ( x, y) 向量的大小即向量的模（长度） ，记作 | AB | 即向量的大小，记作｜ a ｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量： 长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0 与任意向量 平行 零向量 a ＝ 0 ｜ a ｜＝ 0 由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平 行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否 有“非零向量 ”这个条件．（注意与 0 的区别） ③单位向量： 模为 1 个单位长度的向量 向量 a0 为单位向量 ｜ a0 ｜＝ 1 ④平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行 向量都可以移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量 记作 a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量 )，平行向量总可 以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。
8.三角形法则：
AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+
13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=
⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
（8）若ma na =，则m n =。 （9）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（10）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。（11）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
题型2.向量的加减运算
1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。
2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。
3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。
5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =
,则AC = BC ，AB = BC 。 题型3.向量的数乘运算
1.计算：2(253)3(232)a b c a b c +---+-=
2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132
a b -= 。 题型4.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，
表示AD 。
2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。
题型5.向量的坐标运算
1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。
2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。
3.若物体受三个力1(1
,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。 4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。
5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。
6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = 。
7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A.1212e e e e +-和
B.1221326e e e e --和4
C.122133e e e e +-和
D.221e e e -和
2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3--
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。
2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标。
题型8.求数量积
1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，
（3）1()2
a b b -
⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。
2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，（3）(2)a a b ⋅+，
（4）(2)(3)a b a b -⋅+。
题型9.求向量的夹角
1.已知||8,||3a b ==，12a b ⋅=，求a 与b 的夹角。
2.已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。
3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。
题型10.求向量的模
1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -。
2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（5）||a b +，（6）1||2
a b -
。 3.已知||1||2a b ==，
，|32|3a b -=，求|3|a b +。
题型11.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||
a e a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 2.与1(1,)2
m =-平行的单位向量是 。 题型12.向量的平行与垂直 1.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直（2）k 为何值时向量ka b +与3a b -平行
2.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-。
题型13.三点共线问题