九年级数学教学大纲设计

第二十一章 一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式：

（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二

次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式： 2

0(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为

一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：

形如2

()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=

或者x a +=∴x a =-±

注意：若b<0，方程无解 （2）因式分解法： 一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3） 配方法:

用配方法解一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为

2()(0)x m n n +=≥的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解 （4） 公式法：

一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：2

4b ac ∆=-

0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a

-=

（2

40b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点

0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点

0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点

3. 韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax 2

+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与

方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：

1x +2x ＝b a -

； 1x •2x ＝c a

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

第二十二章二次函数

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

=++（a b c

y ax bx c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数。

强调：和一元二次方程类似，二次项系数0

，可以为零．二次函数的定义域

a≠，而b c

是全体实数．

2. 二次函数2

=++的结构特征：

y ax bx c

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a b c

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

=的性质：

y ax

2. 2y ax c =+的性质：

上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

5．二次函数的图象与性质附图如下：

0a > 向上

()h k ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随

x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．

0a < 向下

()h k ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随

x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．

函数的图象

图象特点

函数性质

①当a>O 时向上无限伸展； 当a

②a>O 时开口向上； a

b 2,a b a

c 442

-)．

②a>O 时，当x=－

a

b

2时， y 有最小值为a

b a

c 442

-；

a

a

b

2时， y 有最大值为a

b a

c 442

-．

③对称轴为x=－

a

b 2， a>O 时， 对称轴左侧图象从左到右下降，

对称轴右侧图象从左到右上升； a

对称轴左侧图象从左到右上

③a>O 时，当x<－

a

b

2时， y 随x 的增大而减小；

当x>－a

b 2时，y 随x 的增大而增大；

a

a

b

2时， y 随x 的增大而增大；