四川省绵阳市高中2015届高三第一次诊断性考试数学理试题扫描版

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20151101绵阳一诊数学理(精校版)

数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100， 12．3 13．a ≥2 14．2 15．①③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1，∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)，∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α，∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分（2）当λ=1时，a n =2n -1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n nS两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n12211+--=n n n ， ∴n n n n S 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70，∴ 8.070101040>++=n n a b n n ，解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分（2）由题意：n n n n a b a b >++11，即 an n na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)( ><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADC AC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴ θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθcos )120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º，∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+=θθ2sin 212122cos 123+++⨯=)2sin 212cos 23(2143θθ++=)602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，∴ 43≤f (θ)≤2143+，∴ )32(4-≤)(1θf ≤334，∴ )32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}，∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1．于是13-=-a b ，23-=a c，得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分（2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ，即ma ax ax ax =-+62323．∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ．列表如下：x (-∞，-2) -2 (-2，1) 1 (1，+∞) )(x g ' + 0 - 0 + g (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0，由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点，于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ，∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln x k x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+='∵ x >1，∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增，∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ，∴ .221≤<-k又∵ k ∈Z ，∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e .即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增．∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ，于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值．令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值．∵ 1<ln3<2，∴ 3<2+ln3<4，∵ 013)1(>-=e h ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0，∴ k ≤4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分（3）假设存在这样的x 0满足题意，则由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）．要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x e x x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可．∵ )1()(x e a x x h -='，令)(x h '=0，得e x =a 1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ，在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)，则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数．∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件．…………………………………………………14分。

四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷理(含解析)

四川省绵阳市南山实验高中2015届高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．2．（5分）已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A．2 B．1 C．3 D．63．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或274．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题5．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位6．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+37．（5分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A．0 B．4 C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负10．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．12．（5分）计算log36﹣log32+4﹣3的结果为．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．14．（5分）已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．15．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）16．（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=﹣1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为 T n，求证：﹣＜T n＜﹣．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．四川省绵阳市南山实验高中2015届高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N，然后求解M∩N．解答：解：因为集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞1}，则M∩N={﹣2，2}．故选C．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，注意元素的特征，考查计算能力．2．（5分）已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A．2 B．1 C．3 D．6考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为0”的原则，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可得到答案．解答：解：∵平面向量=（2，1），=（x，3），又∵向量∥，∴x﹣2×3=0解得x=6故选：D．点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，是解答本题的关键．3．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：已知各项均为正数的等比数列{a n}，设出首项为a1，公比为q，根据成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；解答：解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；点评：此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=﹣1要舍去否则会有两个值；4．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题考点：特称命题；命题的否定．分析：利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．点评：本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．5．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A．0 B．4 C．D．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．解答：解：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，﹣5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN 时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．解答：解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据条件f（﹣x）=﹣f（x+4）转化为f（4﹣x）=﹣f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，将x1转换为4﹣x1，从而4﹣x1，x2都在（2，+∞）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x1）+f（x2）的值的符号．解答：解：定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），将x换为﹣x，有f（4﹣x）=﹣f（x），∵x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，∴4﹣x1＞x2＞2，∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f（4﹣x1）＞f（x2），∵f（4﹣x）=﹣f（x），∴f（4﹣x1）=﹣f（x1），即﹣f（x1）＞f（x2），∴f（x1）+f（x2）＜0，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性及应用，运用条件，正确理解函数单调性的定义，特别是单调区间，是解决此类问题的关键．10．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得，由此能求出m=2．解答：解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．12．（5分）计算log36﹣log32+4﹣3的结果为﹣1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可．解答：解：log36﹣log32+4﹣3=log3+2﹣4=1+2﹣4=﹣1．故答案为：﹣1点评：本题考查指数与对数的运算法则的应用，基本知识的考查．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据椭圆的方程可设 x=cosθ、y=2sinθ，代入式子x化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．解答：解：由题意得，x，y∈R+，x2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos2θ=1+2sin2θ时取等号，此时sinθ=，所以x的最大值为：，故答案为：．点评：本题考查椭圆的参数方程，以及基本不等式求最值问题，关键是变形后利用平方关系得到和为定值．15．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型．分析：首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．解答：解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大．本题的关键是把问题转化成图形的几何意义求解．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）16．（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，f（x）+=，进而可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=2cos（x+）sin（x+）﹣2cos2（x+）=sin（2x+）﹣cos（2x+）﹣=2sin（2x+﹣）﹣=2sin（2x+）﹣∵A=2，B=﹣，故f（x）的值域为，∵ω=2，故f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，2x+∈，故sin（2x+）∈，此时f（x）+=2sin（2x+）∈，由m+2=0恒成立得：m≠0，∴f（x）+=﹣，即﹣∈，解得：m∈，故实数m的取值范围为：点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．17．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d 的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．19．（12分）已知二次函数f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=﹣1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为 T n，求证：﹣＜T n＜﹣．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=Ax2+Bx的对称轴为x=﹣1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，S n）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由a n=S n﹣S n﹣1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S n的最小值；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，然后利用放缩法证得数列不等式．解答：（Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，，∴A=1，B=2，f（x）=x2+2x，点均在y=f（x）图象上，∴①，（n≥2）②，①﹣②得S n﹣S n﹣1=2n+1，即a n=2n+1 （n≥2），又a1=S1=3，∴a n=2n+1（n∈N*）．由=（n+1）2﹣1，该函数在（Ⅱ）证明：，，==．即证，也就是证，∵，，∴右边成立，又T n随n的增大而增大，，左边成立．∴原不等式成立．点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．当a=1时，．令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值…（4分）（Ⅱ）===（5分）当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得．当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；令f′（x）＞0，得．（7分）综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和单调递减，在上单调递增（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在上单调递减，∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．∴∴ma+ln2＞（10分）而a＞0经整理得由2＜a＜3得，所以m≥0．（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．解答：解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，所以﹣m=﹣1，解得m=1．因为f′（x）=﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=﹣1．（2）因为f′（x）=﹣m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1﹣me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1﹣me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f （x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f （x）max=f （）=﹣lnm﹣1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f （x）在（1，e）上单调递减，则f （x）max=f （1）=﹣m．综上，①当m≤时，f （x）max=1﹣me；②当＜m＜1时，f （x）max=﹣lnm﹣1；③当m≥1时，f （x）max=﹣m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f （x1）=f （x2）=0，所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt﹣（t＞1），则ϕ′（t）=﹣=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．点评：本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．。

四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题文 (清晰扫描版)新人教A版

四川省绵阳市2013届高三数学第一次诊断性考试试题文（清晰扫描版）新人教A版绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CCBAD BAADD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-4 14．2 15．k >-3 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1x )x+ cos2x=2sin(2x+6π)，………………………………………6分 ∴ 最小正周期22T ππ==．令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）设公比为q ，由已知a 6=2，a 3=41，得5211124a q a q ==，，两式相除得q 3=8，解得q =2，a 1=116， ∴ a n =1512216n n --⨯=．…………………………………………………………6分（Ⅱ）b n =3log2a n =523log 2n -=3n -15，∴ ()()12123153272222n n n b b n n T n n +-+-===-239243228n ⎛⎫=--⎪⎝⎭，当n =4或5时，T n 取得最小值，最小值为-30．……………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）∵ △ABC 的面积为3，即1sin 2ab C =，化简得ab =4，①又c =2，由（Ⅰ）知，224a b ab +-=，∴ 2()3416a b ab +=+=，得a +b =4，②由①②得a=b=2． ……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5，于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a ×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5，于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-．令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12-4×1+5=4，h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527，∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1，由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1，两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ，∴ 121n n a t a t +=+（常数）．∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分（Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1nn b =．………………………………………………………………………8分（III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，.于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，… 设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 9=910452⨯=．设S n 表示数列{c n }的前n 项和，则S 45=[1+12+21()2+…+81()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8]．显然 1+12+21()2+…+81()2=9811()1221212-=--， ∵ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36．∴ S 45=8122-+36=38-812．∴ S 50=S 45+(c 46+c 47+c 48+c 49+c 50)=38-812+5×(-1)9×9=17256-．即数列{c n }的前50项之和为17256-．………………………………………12分22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-，∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1．于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数，当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分（Ⅱ）∀x ∈(0，+∞)，f (x )≤g (x )，即ln x -(k +1)x ≤0恒成立，设()ln (1)h x x k x =-+，有11(1)()(1)k xh x k x x-+'=-+=．①当k +1≤0，即k ≤-1时，()0h x '>，此时(1)ln1(1)h k =-+≥0与()h x ≤0矛盾． ②当k +1>0，即k >-1时，令()h x '=0，解得11x k =+， 101x k ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，，()h x '>0，h (x )为增函数，11x k ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，，()h x '<0，h (x )为减函数， ∴ max 11()()ln 111h x h k k ==-++≤0，即()ln 1k +≥-1，解得k ≥11e-．综合k >-1，知k ≥11e-．∴ 综上所述，k 的取值范围为11e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数， ∴ f (x )≤f (1)=0， ∴ ln x ≤x -1．当n =1时，b 1=ln(1+1)=ln2，当n ≥2时，有ln(n +1)<n ，∵ ()3ln 1n n b n +=321111(1)1n n n n n n n<=<=---， ∴ 1211111112123131n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++-⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1ln 2(1)n=+-<1+ln2．……………………………………………………14分。

四川省绵阳市2015届高三第一次诊断试卷化学 Word含答案.pdf

保密 ★ 启用前【考试时间2014年月日午∶00～∶30】绵阳市高中2012级第一次诊断性考试理科综合化学理科综合考试时间共150分钟满分300分其中物理110分化学100分生物90分5至6页，第Ⅱ卷7至8相对原子质量H 1 C 12 O 16 S 32 Na 23 Cu 64 第Ⅰ卷（选择题共42分）注意事项：使用2B铅笔在答题卡7题，每题6分。

每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 由塑化剂引起的食品、药品问题受到广泛关注。

下列关于塑化剂DBP（结构如下图）的说法不正确的是 A．属于芳香族化合物，能溶于水B．种C．分子D．水解得到的酸性产物能与乙二醇发生. 下列关于物质分类的说法正确的是 A．油脂、糖类、蛋白质均是天然高分子化合物．三氯甲烷、氯乙烯、三溴苯酚均是卤代烃．CaCl2、烧碱、聚苯乙烯均为化合物．稀豆浆、硅酸、均为胶体 3. 下列离子方程式正确的是 A．向Fe(NO3)3溶液中滴入少量的HI溶液：2Fe3＋＋2I－==2Fe2＋＋I2 B．向苯酚钠溶液中通入少量CO2气体：2C6H5O－＋CO2＋H2O —→2C6H5OH↓＋CO C．Cu(OH)2沉淀溶于氨水得到深蓝色溶液：Cu(OH)2＋4NH3==[Cu(NH3)4]2+＋2OH D．澄清石灰水中加入少量NaHCO3溶液：Ca2＋2OH－＋2HCO==CaCO3↓＋CO＋2H2O 4. 短周期主族元素R、T、Q、W在元素周期表中的相对位置如右下图所示，T元素的最高正价与最低负价的代数和为0。

下列判断正确的是 RTQWA．原子半径的大小：W＞Q＞R B．气态氢化物的稳定性：R＞Q＞T C．对应含氧酸的酸性强弱：W＞Q＞T D．R分别与T、Q、W形成化合物的晶体均为分子晶体 5. 设NA为阿伏伽德罗常数的值，下列说法错误的是 A．1?mol?OD－?含有的质子、中子数均为9NA ．3.6?g石墨和C60的混合物中，含有的碳原子数为0.3NA ．含有4.6?g钠元素的过氧化钠和氧化钠的混合物中，所含离子总数为0.NA D．标准状况下，4.48?L含有的子数为0.NA 6. 肼（H2N－NH2）和偏二甲肼?[?H2N－N(CH3)2?]?均可用作火箭燃料。

四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案

2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数学（理工农医类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A) {}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x 2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称3．二项式52)1xx +（的展开式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 254.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ，则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 (A) 2 (B) 4(C) 8(D) 166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A) x y -=2(B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A) 30(B) 60 (C) 120 (D) 1509.双曲线)0,012222>>=-b a by a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)3510.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B)12 (C) 14 (D)第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ 与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立．则其中所有正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．18.（本题满分12分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC.（I ）证明:GH //平面ACD ；（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.19. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设函数x x f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T .20. （本题满分13分）已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是14-（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试判断点O 到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.21. （本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=234)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，上单调递增，在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得极小值. （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(22-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为12,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.高中2012级一诊测试数学（理工类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14. 15. ①③④三、解答题（共75分）16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分）∵π=T 且0ω>，故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分）(2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分）∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）17.解：（I ）由已知得1231223135P P P P P P P++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得：123122,, (4555)P P P ===（分）（II ）ξ的可能取值为200，250，300，350，400...........................5（分）11(200),55124(250)2,552512228(300)2,555525228(350)2,5525224(400) (105525)P P P P P ξξξξξ==⨯==⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=（分）随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为14884200250300350400320() (122525252525)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=瓶（分）18.解： (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分）∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ...............................................................（.4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分） (2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE 的法向量)0,1,0(=m ，设平面OCE 的法向量),,(000z y x n =.......................（8分）)0,1,1(),2,0,2(==CO CE∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CO n CE n 则⎩⎨⎧=+=+0220000y x z x ，故⎩⎨⎧-=-=0000x y x z令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10分）∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则33311cos cos =⨯<=m θ................................................................（12分）法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE ..........................................................................................（8分） ∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分）由,~CBE Rt CMH Rt ∆∆且CE=22. ∴2212=⇒=HM CE CH BE HM ∴22=HM 又OH=121=AC分）∴332622cos ===∠OH HM OMH ......................................................................................（12分）19.（Ⅰ）因为a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S .当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n n a 2= ..................................................................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--n n b b --=∴+3)21(1)21(1nn b b +=∴+321211∴ 31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列∴13-=n b n ................................................................（8分）（ⅱ） n n n nn a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n nn n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T 1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（nn n n T 21323-321--+=- nn n T 253-5+= ................................................................（12分）20.（Ⅰ）解：,)Mx y （，由题可得1.224y y x x =-+- ..............................（4分） 2214x y +=所以点M 的轨迹方程为2214x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分）（Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值，设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ............................（8分）② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2212)4x y x +=≠±（联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+ ............................（9分）因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分）所以点O 到直线AB 的距离d ==综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552........................（13分）21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)又32()432f x x ax bx '=++由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分) 令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=由(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)（Ⅱ）若()f x 关于直线x t =对称（显然0t ≠），则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，即(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分) 又0t≠1t ∴= ……………………(7分)验证，满足(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)（也可直接证明()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；）（Ⅲ）由（1）知，432224455x x x x λ-+-=-，即4322244x x x x λ-+=又0x=为其一根，得224(4)0x x λ-+-=22164(4)40λλ∴∆=--=>且21240x x λ=-≠故{|022}A R λλλλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分)版权所有：中华资源库又1221244x x x x λ+=⎧⎨=-⎩，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=， 12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ∀∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分) 2[3,3],,22||t A m tm λλ∴∀∈-∈++≤对使恒成立’ 即只需[3,3],t ∀∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分) 设2()2,[3,3]g t mt m t =++∈-(3)012(3)021g m g m ≤≤≤⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨-≤-≤≤-⎩⎩无解即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)。

四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学(文)试题

绵阳市高中2015级第一次诊断性考试数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合()(){}410A x x x =∈-+<Z ，{}2,3,4B =，则A B =I （） A ．()2,4 B ．{}2,4 C ．{}3 D ．{}2,3 2．若x y >，且2x y +=，则下列不等式成立的是（） A ．22x y < B ．11x y< C ．1x > D ．0y < 3．．已知向量()1,2a x =-r ，(),1b x =r，若a b ∥r r ，则x 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．若tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（） A ．3- B ．3 C ．34-D ．345．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米. A ．13 B ．14 C ．15 D ．166．已知命题0:p x ∃∈R ，使得00xe ≤；命题:,q a b ∈R ，若12a b -=-，则1a b -=-.下列命题为真命题的是（）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当11x -≤≤时，()f x x =.若函数()y f x =的图象与函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（） A ．()4,5 B ．()4,6 C ．{}5 D ．{}68．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若将()y f x =的图象向右平移16个单位得到()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一条对称轴方程是（） A ．56x =B ．13x =C ．12x = D ．0x = 9．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知01a b <<<，给出以下结论：①1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②1132a b >；③1123log log a b >. 则其中正确的结论个数是（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（）A ．1-B ．2- C．2-．1-12．已知,,a b c ∈R ，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a +的取值范围是（）A ．[]2,2- B．⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡-⎣第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()21f =，若()211f x +<，则x 的取值范围是．15．在ABC ∆中，2AB =，4AC =，3A π∠=，且,M N 是边BC 的两个三等分点，则AM AN ⋅=uuu r uuu r．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，且121n n a a n ++=+，如果{}n a 是单调递增数列，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin 2α的值. 18.设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . （1）求n T ；（2）若对于任意的*n ∈N ，11n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围.19．在ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC上一点，且AD =2BD =. （1）求ADC ∠的大小；（2）若AC =ABC ∆的面积. 20．已知函数()()32f x x x x a a =+-+∈R .（1）求()f x 在区间[]1,2-上的最值；（2）若过点()1,4P 可作曲线()y f x =的3条切线，求实数a 的取值范围. 21．函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R .（1）求()f x 的单调区间；（2）若0a >，求证：()32f x a≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2123f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≥；（2）记()f x 的最小值是m ，正实数,a b 满足22ab a b m ++=，求2a b +的最小值.绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．)21()23(∞+--∞，， 15．320 16．(21，23) 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ，解得π=T ，于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………3分∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ，∴2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ，又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分(Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα，因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin)62cos(6cos)62sin(ππαππα-+-==21542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ， ∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n nn n n T n ．……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn，∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ，得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2．在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222，即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ，又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增． …………………………………………………………………3分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，，∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-275．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+，则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ，整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分由题知此方程应有3个解．令a x x x x -+--=5222)(23μ， ∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ，即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ，且0)1(<μ，解得271453<<a ，即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；………………3分 ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<．即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增；综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a ． ……………………5分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增，则121ln )1()(min --==aa a f x f ． …………………………………………6分要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a≥0，即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分构造函数11ln )(-+=a a a μ，则22111)(aa a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+aa ≥0成立．从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分（Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ，由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，，．…………………………………5分（Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +，解得b a 2+≥252-，∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。

四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

第I 卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第I 卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A ={x ∈Z |x 2-1≤0}，B ={x |x 2-x -2=0}，则A ∩B =(A)(B) {2}(C) {0}(D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以=⋂B A {}1-，故选B. 【思路点拨】化简集合A 、B,从而求得A B ⋂. 【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1” (B) 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1” (C) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若22b a <，则b a <” (D) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若2a ≥2b ，则a ≥b ” 【知识点】四种命题 A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B. 【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n }满足n n a a 21=+(n ≥1)，S n 是其前n 项和，若5422a a a =，则S 4=(A) 42 (B) 28 (C) 233+ (D) 266+【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由)1(21≥=+n a a n n 知数列{}n a 是以2为公比的等比数列，因为5422a a a =，所以34111122a q a q a q a ⋅=⇒=，所以()414161a q S q-==+- D.【思路点拨】由已知条件确定数列{}n a 是等比数列，再根据5422a a a =求得1a ，进而求3a . 【题文】4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DB AD ⋅=(A) -3 (B) 3- (C) 3(D) 3【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,AD AB BD AB BD =+⊥,所以=⋅()203AB BD DB AB DB BD DB BD+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x = (A)2518(B) 2524±(C) 257-(D)257 【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6 【答案解析】C 解析：因为53)4cos(=-x π，所以 27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7cos 2sin 2225x x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭值，再用诱导公式求得sin2x 值. 【题文】6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 则2x -y 的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4http//www【知识点】简单的线性规划.E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B. 【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[π-，π]，则“x ∈]22[ππ，-”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx＜﹣cosx，∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ） ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]， ∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 (A) c b a <<(B) c a b << (C) b a c <<(D) a b c <<【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，即对任意两个不相等的正数21,x x ，都有21121212121212()()()()0x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，所以函数()()f x h x x=是()+∞,0上的减函数，因为20.220.22log 5<<，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数()()f x h x x =，根据条件可以判断它是()+∞,0上的减函数，由此可以判断a,b,c 的大小关系.【题文】9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是 (A) )330(，(B) )155(， (C) )133(， (D) )550(，【知识点】分段函数的应用 B1【答案解析】D 解析：解：若x ＞0，则﹣x ＜0， ∵x＜0时，f （x ）=sin （）﹣1，∴f（﹣x ）=sin （﹣）﹣1=﹣sin （）﹣1，则若f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称，则f （﹣x ）=﹣sin （）﹣1=f （x ），即y=﹣sin （）﹣1，x ＞0，设g （x ）=﹣sin （）﹣1，x ＞0作出函数g （x ）的图象，要使y=﹣sin （）﹣1，x ＞0与f （x ）=log a x ，x ＞0的图象至少有3个交点，则0＜a ＜1且满足g （5）＜f （5），即﹣2＜log a 5，即log a 5＞，则5，解得0＜a ＜，故选：A【思路点拨】求出函数f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知∈b a ，R ，且1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是(A) 321e (B)322e (C)323e(D) 3e【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1+x e -ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =，即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

四川省绵阳市高中高三数学第一次诊断性考试试卷理 (绵阳“一诊”)(扫描版)

绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBCDA DAACC BC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．1000 14．2x -y -e =0 15．23- 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由|x -a |≤4有-4≤x -a ≤4，解得a -4≤x ≤a +4，即A ={x |a -4≤x ≤a +4}． ……………………………………………………2分由116<+x 可变形为015<+-x x ，等价于(x +1)(x -5)＞0，解得x ＜-1或x ＞5，即B ={}51>-<x x x 或． ………………………………………………………4分（Ⅰ）由A ∩B =(]75，知a +4=7，解得a =3． ……………………………7分（Ⅱ）∵ p 是q 的充分不必要条件，∴ a +4＜-1，或a -4＞5， …………………………………………………10分解得a ＜-5或a ＞9． ………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）设共有n 枚硬币，根据题意得 922111==-nn C C P ，解得n =9. ……………………………………………………2分（Ⅱ）ξ=1，2，3，4，P (ξ=1)=922918=C C ，P (ξ=2)9227162928=⋅=C C C C ，P (ξ=3)=92251427262938=⋅⋅C C C C C C ， P (ξ=4)931252427262928=⋅⋅⋅=C C C C C C .…………………………………………………10分 ∴ ξ的分布列为∴ 394939291=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q ，则q ＞0，由已知有⎩⎨⎧⋅==+，，)(9)(164112111q a a q a q a a 可解得31=q (31-=q 已舍去)，311=a ． ∴ n n n a )31()31(311=⨯=-． ……………………………………………………6分（Ⅱ）∵ 2)1(-2)1(3213213)31()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n ， ∴ 2)1(1+-=n n b n ，即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n ．………………………9分∴n n b b b b S ++++= 321)1113121211(2+-++-+--=n n)111(2+--=n12+-=n n． ………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意得h (x )的图象经过(3，4)，代入得231294-+-=m，解得m =7.∴23223)2(274)(22-+-=-+-=-+-=x x x x x x x x h ，∴x x x h x f 3)2()(+=+=． …………………………………………………7分（Ⅱ）∵x ax x g ++=3)(，∴ 由已知有xa x ++3≥8有a ≥-x 2+8x -3，令t (x )=-x 2+8x -3，则t (x )=-(x -4)2+13，于是t (x )在(0，3)上是增函数． ∴ t (x )max =12．∴ a ≥12．……………………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）证明：令x =y =0时，则由已知有)00100()0()0(⨯--=-f f f ，可解得f (0)=0．再令x =0，y ∈(-1，1)，则有)010()()0(yyf y f f ⋅--=-，即f (-y )=-f (y )，∴ f (x )是(-1，1)上的奇函数．……………………………………………4分（Ⅱ）令x =a n ，y =-a n ，于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--，由已知得2f (a n )=f (a n+1)，∴2)()(1=+n n a f a f ， ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项，2为公比的等比数列．∴.221)(11---=⋅-=n n n a f ……………………………………………………8分（III ）由(II)得f (a n +1)=-2n，于nb n 21=. ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n)131211(21n ++++= ， )12131211(2112+++++=+n T n .∴ )121312111(2112++++++++=-+n n n n T T n n . 令).1212111(21)(++++++=n n n n k于是)3213121(21)1(++++++=+n n n n k ， ∴ 0)32)(1(41)11321221(21)()1(<++-=+-+++=-+n n n n n n k n k . ∴ k (n +1)<k (n )，即k (n )在N *上单调递减，∴ k (n )max =k (1)=125)131211(2113=-++=-T T ，∴15m ≥125即m ≥425. ∵ m ∈N *，∴ m 的最小值为7．…………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）x x a x F ln 1)(+-=，于是)(xax x F -='. ①当a ≤0时，)(x F '≥0，∴ F (x )在(0，3)上是增函数；②当0<a <3时，x ∈(0，a )时，)(x F '≤0，∴ F (x )在(0，a )上是减函数；x ∈(a ，3)时，)(x F '≥0，∴ F (x )在(a ，3)上是增函数．③当a ≥3时，)(x F '≤0，∴ F (x )在(0，3)上是减函数．………………4分（Ⅱ）令a =1，则x x x F ln 11)(+-=，于是21)(xx x F -='， ∴ F (x )在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数． ∴ 在区间(0，+∞)上F (x )有F (x )min =F (1)=0. ∵)(st F ≥F (1)=0，即st t s ln 1+-≥0，整理得st ≥t se e -⋅，即t ste ≥se ，即t t e s ≥s t e t.………………………………8分（III ）由已知得)1(2)12(22+=++x g m x a f ，代入整理得414)1ln(2122+-+=x x m . 于是题意即为直线y =m 与y =414)1ln(2122+-+x x 的图象有4个不同的交点. 令414)1ln(21)(22+-+=x x x h ，则)1(2)1)(1()(2++-='x x x x x h .可绘出()的大致图象如右. 由图象可知当m ∈(41，2ln 21)时满足有四个不同的交点.∴存在实数)2ln 2141(， m 时满足条件. ………………………………………………………………………………14分。

四川省绵阳市2015届高三数学第一次诊断试题理

四川省绵阳市2015届高三数学第一次诊断试题理本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕。

第I 卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

总分为150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试完毕后，将答题卡交回。

第1卷〔选择题，共50分〕须知事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I 卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．集合A={x ∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，如此A ∩B= (A)(B) {2}(C) {0}(D) {-1}2．如下说法中正确的答案是(A)命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x 〞的否认是“)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1〞 (B)命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x 〞的否认是“)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1〞 (C)命题“假设b a >，如此22b a >〞的逆否命题是“假设22b a <，如此b a <〞 (D)命题“假设b a >，如此22b a >〞的逆否命题是“假设2a ≥2b ，如此a ≥b 〞3．设各项均不为0的数列{an}满足n n a a 21=+(n≥1)，Sn 是其前n 项和，假设5422a a a =，如此S4=(A) 42(B)28 (C) 233+(D) 266+4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，如此DB AD ⋅= (A) -3 (B)3-(C) 3(D) 3ABDE F5．53)4cos(=-x π，那么sin 2x = (A) 2518 (B)2524±(C)257-(D)2576．x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 如此2x-y 的最大值为(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4 ://www 7．x ∈[π-，π]，如此“x ∈]22[ππ，-〞是“sin(sinx)<cos(cosx)成立〞的 (A) 充要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件8．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，如此(A)c b a <<(B)c a b << (C)b a c <<(D)a b c <<9．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，如此实数a 的取值范围是(A))330(，(B) )155(，(C) )133(， (D))550(， 10．∈b a ，R ，且1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，如此ab 的最大值是(A)321e (B)322e (C) 323e (D)3e第II 卷〔非选择题共100分〕须知事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

2015年四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷(理科)

2015年四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.集合M={-2，0，1，2}，N={x||2x-1|＞1}，则M∩N=（）A.{-2，1，2}B.{0，2}C.{-2，2}D.[-2，2]【答案】C【解析】解：因为集合M={-2，0，1，2}，N={x||2x-1|＞1}={x|x＜0或x＞1}，则M∩N={-2，2}．故选C．求出集合N，然后求解M∩N．本题考查集合的求法，交集的运算，注意元素的特征，考查计算能力．2.已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A.2B.1C.3D.6【答案】D【解析】解：∵平面向量=（2，1），=（x，3），又∵向量∥，∴x-2×3=0解得x=6故选：D．根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为0”的原则，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可得到答案．本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，是解答本题的关键．3.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，，，成等差数列，则=（）A.-1或3B.3C.27D.1或27【答案】C【解析】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵，，成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=-1或3，∵正数的等比数列q=-1舍去，故q=3，∴====27，故选C；已知各项均为正数的等比数列{a n}，设出首项为a1，公比为q，根据，，成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=-1要舍去否则会有两个值；4.下列说法错误的是（）A.若命题p：∃x∈R，x2-x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1≠0B.“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C.命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D.已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题【答案】B【解析】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2-x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2-x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．5.为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【答案】A【解析】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6.设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）-e x]=e+1（e 是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A.1B.e+lC.3D.e+3【答案】C【解析】解：设t=f（x）-e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7.若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A.0B.4C.D.【答案】A【解析】解：作出可行域如图，由，可得A，，由，可得B（0，），由，可得C（0，-5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=-1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z 最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A.（1，2014）B.（1，2015）C.（2，2015）D.[2，2015]【答案】C【解析】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．9.已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负【答案】A【解析】解：定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），将x换为-x，有f（4-x）=-f（x），∵x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，∴4-x1＞x2＞2，∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f（4-x1）＞f（x2），∵f（4-x）=-f（x），∴f（4-x1）=-f（x1），即-f（x1）＞f（x2），∴f（x1）+f（x2）＜0，首先根据条件f（-x）=-f（x+4）转化为f（4-x）=-f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，将x1转换为4-x1，从而4-x1，x2都在（2，+∞）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x1）+f（x2）的值的符号．本题主要考查函数的单调性及应用，运用条件，正确理解函数单调性的定义，特别是单调区间，是解决此类问题的关键．10.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A.3f（ln2）＞2f（ln3）B.3f（ln2）=2f（ln3）C.3f（ln2）＜2f（ln3）D.3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定【答案】C【解析】解：令g（x）=，则′′=′，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即＜，所以＜，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.幂函数y=（m2-3m+3）x m过点（2，4），则m= ______ ．【答案】2【解析】解：∵幂函数y=（m2-3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．由题意得，由此能求出m=2．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．12.计算log36-log32+4-3的结果为______ ．【答案】-1解：log36-log32+4-3=log3+2-4=1+2-4=-1．故答案为：-1直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可．本题考查指数与对数的运算法则的应用，基本知识的考查．13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为______ ．【答案】2【解析】解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=-2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4-2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14.已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由题意得，x，y∈R+，x2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos2θ=1+2sin2θ时取等号，此时sinθ=，所以x 的最大值为：，故答案为：．根据椭圆的方程可设x =cos θ、y =2sin θ，代入式子x 化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．本题考查椭圆的参数方程，以及基本不等式求最值问题，关键是变形后利用平方关系得到和为定值．15.已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＞x 2）是函数f （x ）=x 3-|x |图象上的两个不同点，且在A ，B 两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ______ ．【答案】（-1，0）【解析】解：由题意，f （x ）=x 3-|x |=，，＜，当x ≥0时，f ′（x ）=3x 2-1，当x ＜0时，f ′（x ）=3x 2+1，因为在A ，B 两点处的切线互相平行，且x 1＞x 2，所以x 1＞0，x 2＜0 （否则根据导数相等得出A 、B 两点重合），所以在点A （x 1，y 1）处切线的斜率为f ′（x 1）=3 -1，在点B （x 2，y 2）处切线的斜率为f ′（x 2）=3 +1所以3 -1=3+1，即，（x 1＞x 2，x 2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（-1，0），故答案为：（-1，0）．首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A ，B 两点处的切线互相平行，即在A ，B 两点处的导数值相等，分析出A 点在y 轴的右侧，B 点在y 轴的左侧．根据A ，B 两点处的导数相等，得到x 1与x 2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大．本题的关键是把问题转化成图形的几何意义求解．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f （x ）=2cos （x +）[sin （x +）- cos （x +）]．（1）求f （x ）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈[0，]，使得m[f（x）+]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=2cos（x+）sin（x+）-2cos2（x+）=sin（2x+）-cos（2x+）-=2sin（2x+-）-=2sin（2x+）-∵A=2，B=-，故f（x）的值域为[-2-，2-]，∵ω=2，故f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故sin（2x+）∈[，1]，此时f（x）+=2sin（2x+）∈[，2]，由m[f（x）+]+2=0恒成立得：m≠0，∴f（x）+=-，即-∈[，2]，解得：m∈[，-1]，故实数m的取值范围为：[，-1]【解析】（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；（2）若对任意x∈[0，]，使得m[f（x）+]+2=0恒成立，f（x）+=，进而可得实数m的取值范围．本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．17.设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n-1）×2=2n-1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1--（1-）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n-1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）-=--，∴T n=3-．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1--（1-）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合-≤φ＜可得φ=-．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α-）=，∴sin（α-）=．再根据0＜α-＜，∴cos（α-）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α-）+]=sin（α-）cos+cos（α-）sin=+=．【解析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合-≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α-）=．再根据α-的范围求得cos（α-）的值，再根据cos （α+）=sinα=sin[（α-）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．19.已知二次函数f（x）=A x2+B x（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=-1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为T n，求证：-＜T n＜-．【答案】（Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，，∴A=1，B=2，f（x）=x2+2x，点，均在y=f（x）图象上，∴①，（n≥2）②，①-②得S n-S n-1=2n+1，即a n=2n+1（n≥2），又a1=S1=3，∴a n=2n+1（n∈N*）．由=（n+1）2-1，该函数在[-1，+∞）上为增函数，又n∈N*，∴当n=1时，（S n）min=3；（Ⅱ）证明：，，==．即证＞，也就是证＜，∵＜，＜，∴右边成立，又T n随n的增大而增大，＞＞，左边成立．∴原不等式成立．【解析】（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=A x2+B x的对称轴为x=-1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，S n）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由a n=S n-S n-1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S n的最小值；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，然后利用放缩法证得数列不等式．本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．20.设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．当a=1时，，′．令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值…（4分）（Ⅱ）′===（5分）当，即a=2时，′，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当＜，即a＞2时，令f′（x）＜0，得＜＜或x＞1；令f′（x）＞0，得＜＜．当＞，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或＞；令f′（x）＞0，得＜＜．（7分）综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在，和（1，+∞）单调递减，在，上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和，∞单调递减，在，上单调递增（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．∴∴ma+ln2＞（10分）而a＞0经整理得＞由2＜a＜3得＜＜，所以m≥0．（12分）【解析】（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得＞，从而可求实数m的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．21.已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【答案】解：（1）因为点P（1，-1）在曲线y=f（x）上，所以-m=-1，解得m=1．因为f′（x）=-1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=-1．（2）因为f′（x）=-m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f（x）max=f（）=-lnm-1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=-m．综上，①当m≤时，f（x）max=1-me；②当＜m＜1时，f（x）max=-lnm-1；③当m≥1时，f（x）max=-m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1-lnx2=m（x1-x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt-（t＞1），则ϕ′（t）=-=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．【解析】（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．。

绵阳市高中第一次诊断性考试数学文

绵阳市高中2015级第一次诊断性考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上经所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共12小题。

1.设集合(){}01x 4-x x ＜）（+∈=Z A ，集合B={}4,3,2，则B A = A.（2,4） B.{2.4} C.{3} D.{2,3} 2.若x ＞y ，且x+y=2，则下列不等式成立的是 A.22y x ＜ B.y1x 1＜ C.x ＞1 D.y ＜0 3.已知向量a=（x-1,2），b=（x ，1），且a ∥b ，则x 的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.若=∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂2tan 24-tan ，则π A.-3 B.3 C.43-D.43 5.某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。

某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。

A.13B.14C.15D.16 6. 已知命题2-b 1-a ,b a q 0e x p 0x 0=∈≤∈∃若，：：命题，使得：R R ，则a-b=-1，下列命题为真命题的是 A.p B.q ⌝ C.q p ∨ D.q p ∧7. 函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且当-1≤x ≤1时，f （x ）=|x|。

若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=x log a （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为A. （4,5）B.（4,6）C.{5}D.{6}8. 已知函数最低点）图象的最高点与相邻＞（）（0x cos 3x sin x f ϖϖϖ+=的距离是17，若将y=f （x ）的图象向右平移61个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是 A.65x =B.31x =C.21x = D.x=0 10. 已知0 ＜a ＜b ＜1，给出以下结论：①；＞ba 3121⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛b log a log b a 31213121＞；③＞②.则其中正确的结论个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个11. 已知1x 是函数f （x ）=x+1-ln （x+2）的零点，2x 是函数g （x ）=4a 4ax 2-x 2++的零点，且满足|21x -x |≤1，则实数a 的最小值是 A.-1 B.-2 C.22-2 D.22-112. 已知a ，b ，c ∈R ，且满足1c b 22=+，如果存在两条相互垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则c 3b 2a ++的取值范围是A. [-2,2]B.[-55，]C.[66-，]D.[22,22-] 第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

高中高三数学第一次诊断性考试试卷理绵阳一诊扫描试题

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高2021级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分HY一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．BBCDA DAACC BC二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．1000 14．2x -y -e =0 15．23- 16．①④三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．解：由|x -a |≤4有-4≤x -a ≤4，解得a -4≤x ≤a +4，即A ={x |a -4≤x ≤a +4}． ……………………………………………………2分由116<+x 可变形为015<+-x x ，等价于(x +1)(x -5)＞0，解得x ＜-1或者x ＞5，即B ={}51>-<x x x 或． ………………………………………………………4分〔Ⅰ〕由A ∩B =(]75，知a +4=7，解得a =3． ……………………………7分〔Ⅱ〕∵ p 是q 的充分不必要条件，∴ a +4＜-1，或者a -4＞5， …………………………………………………10分解得a ＜-5或者a ＞9． ………………………………………………………12分18．解：〔Ⅰ〕设一共有n 枚硬币，根据题意得922111==-nn C C P ，解得n =9. ……………………………………………………2分〔Ⅱ〕ξ=1，2，3，4，P (ξ=1)=922918=C C ，P (ξ=2)9227162928=⋅=C C C C ，P (ξ=3)=92251427262938=⋅⋅C C C C C C ， P (ξ=4)931252427262928=⋅⋅⋅=C C C C C C .…………………………………………………10分 ∴ ξ的分布列为∴ 394939291=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．………………………………………12分19．解：〔Ⅰ〕设{a n }的公比为q ，那么q ＞0，由有⎩⎨⎧⋅==+，，)(9)(164112111q a a q a q a a 可解得31=q (31-=q 已舍去)，311=a ． ∴ nn n a )31()31(311=⨯=-． ……………………………………………………6分〔Ⅱ〕∵ 2)1(-2)1(3213213)31()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n，∴2)1(1+-=n n b n ，即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n ．………………………9分 ∴n n b b b b S ++++= 321)1113121211(2+-++-+--=n n )111(2+--=n12+-=n n． ………………………………………………………………12分 20．解：〔Ⅰ〕由题意得h (x )的图象经过(3，4)，代入得231294-+-=m，解得m =7.∴23223)2(274)(22-+-=-+-=-+-=x x x x x x x x h ， ∴x x x h x f 3)2()(+=+=． …………………………………………………7分〔Ⅱ〕∵xax x g ++=3)(，∴ 由有xa x ++3≥8有a ≥-x 2+8x -3，令t (x )=-x 2+8x -3，那么t (x )=-(x -4)2+13，于是t (x )在(0，3)上是增函数．∴ t (x )max =12．∴ a ≥12．……………………………………………………………………12分 21．解：〔Ⅰ〕证明：令x =y =0时，那么由有)00100()0()0(⨯--=-f f f ，可解得f (0)=0．再令x =0，y ∈(-1，1)，那么有)010()()0(yyf y f f ⋅--=-，即f (-y )=-f (y )，∴ f (x )是(-1，1)上的奇函数．……………………………………………4分〔Ⅱ〕令x =a n ，y =-a n ，于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--，由得2f (a n )=f (a n+1)， ∴2)()(1=+n n a f a f ， ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项，2为公比的等比数列．∴.221)(11---=⋅-=n n n a f ……………………………………………………8分〔III 〕由(II)得f (a n +1)=-2n，于nb n 21=. ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n)131211(21n ++++= ， )12131211(2112+++++=+n T n .∴ )121312111(2112++++++++=-+n n n n T T n n . 令).1212111(21)(++++++=n n n n k于是)3213121(21)1(++++++=+n n n n k ，∴ 0)32)(1(41)11321221(21)()1(<++-=+-+++=-+n n n n n n k n k .∴ k (n +1)<k (n )，即k (n )在N *上单调递减，∴ k (n )max =k (1)=125)131211(2113=-++=-T T ，∴15m ≥125即m ≥425. ∵ m ∈N *，∴ m 的最小值为7．…………………………………………………………12分 22．解：〔Ⅰ〕x x a x F ln 1)(+-=，于是2)(xax x F -='. ①当a ≤0时，)(x F '≥0，∴ F (x )在(0，3)上是增函数；②当0<a <3时，x ∈(0，a )时，)(x F '≤0，∴ F (x )在(0，a )上是减函数；x ∈(a ，3)时，)(x F '≥0，∴ F (x )在(a ，3)上是增函数．③当a ≥3时，)(x F '≤0，∴ F (x )在(0，3)上是减函数．………………4分〔Ⅱ〕令a =1，那么x x x F ln 11)(+-=，于是21)(xx x F -='， ∴ F (x )在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数． ∴ 在区间(0，+∞)上F (x )有F (x )min =F (1)=0. ∵)(stF ≥F (1)=0，即stt s ln1+-≥0，整理得st ≥t se e -⋅，即t ste ≥se ，即t t e s ≥s t e t.………………………………8分〔III 〕由得)1(2)12(22+=++x g m x a f ，代入整理得414)1ln(2122+-+=x x m .于是题意即为直线y =m 与y =414)1ln(2122+-+x x 的图象有4个不同的交点.令414)1ln(21)(22+-+=x x x h ，那么)1(2)1)(1()(2++-='x x x x x h .可绘出h (x )的大致图象如右.由图象可知当m ∈(41，2ln 21)时满足有四个不同的交点. ∴存在实数)2ln 2141(， m 时满足条件.………………………………………………………………………………14分本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2015年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)

2015年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•绵阳模拟）已知i是虚数单位，则等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）（2015•绵阳模拟）已知向量，为非零向量，则“⊥”是|+|=|﹣|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条既3．（5分）（2015•绵阳模拟）已知函数f（x）=cos2x与g（x）=cosωx（ω＞0）的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A．4 B．2 C．1 D．4．（5分）（2015•绵阳模拟）一机器元件的三视图及尺寸如图所示（单位：dm），则该组合体的体积为（）A．80dm3B．88dm3C．96dm3D．112dm35．（5分）（2015•绵阳模拟）若a，b，x∈R，a＞b＞1＞x＞0，则下列不等式成立的是（）A．a x＜b x B．x a＞x bC．log x a＞log b D．log a x＞log b x6．（5分）（2015•绵阳模拟）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S ﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20 B．20 C．﹣D．607．（5分）（2015•绵阳模拟）绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都要有学生去，每个学生只去一个城市旅游，且学生甲不到北京，则不同的出行安排有（）A．180种B．72种C．216种D．204种8．（5分）（2015•绵阳模拟）已知函数f（x）=，给出如下四个命题：①f（x）在[，+∞）上是减函数；②f（x）≤在R上恒成立；③函数y=f（x）图象与直线y=﹣有两个交点．其中真命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．（5分）（2015•绵阳模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的各条棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）（2015•绵阳模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=4，若AB的垂直平分线交x轴于点M，则AMB的面积的最大值是（）A．B．8 C．D．6二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2015•绵阳模拟）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是．12．（5分）（2015•江苏模拟）设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为．13．（5分）（2015•绵阳模拟）如图是绵阳市某小区100户居民2014年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，则该小区2014年的月平均用水量的中位数的估计值为．14．（5分）（2015•绵阳模拟）已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得•=0，则m的最大值为．15．（5分）（2015•绵阳模拟）用|S|表示集合S的元素个数，由n个集合为元素组成的集合称为“n个元素”，如果集合A、B、C满足、|A∩B|=|B∩C|=|A∩C|=1，且A∩B∩C=∅，则称{A，B，C}为最小相交“三元集”．给出下列命题：①集合{1，2}的非空子集能组成6个“二元集”；②若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则|M|≥3；③集合{1，2，3，4}的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个；④若集合|M|=n，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有2n个．其中正确的命题有．（请填上你认为所有正确的命题序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2015•绵阳模拟）商场决定对某电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销，即将该商品的售价提高100元，但是购买此商品的顾客可以抽奖．规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则获得数额为6m的奖金．假设顾客每次中奖的概率都是．设顾客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量ξ．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）若要使促销方案对商场有利，试问商场最高能将奖金数额m定位多少元？17．（12分）（2015•绵阳模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB，E，F分别为BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥PD；（Ⅱ）求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．18．（12分）（2015•绵阳模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．（I）求f（x）在R上的单调递增区间；（II）设x0（x0∈（0，））是函数y=f（x）的一个零点，求cos（2x0）的值．19．（12分）（2015•绵阳模拟）在公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a4，a8成公比为a2的等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=．①求数列{b n}的前n项和为T n；②令c2n﹣1=（n∈N+），求使得c2n﹣1＞10成立的所有n的值．20．（13分）（2015•绵阳模拟）已知△ABC中，点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足=λ（常数λ＞1），C点轨迹为i．（I）试求曲线i的轨迹方程；（II）当λ=时，过定点B（1，0）的直线与曲线交于P，Q两点，N是曲线上不同于P，Q的动点，试求△NPQ的面积的最大值．21．（14分）（2015•绵阳模拟）设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb（a＞0，b＞0）．（I）设h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的单调区间；（II）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．2015年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•绵阳模拟）已知i是虚数单位，则等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算化简．【解答】解：=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．（5分）（2015•绵阳模拟）已知向量，为非零向量，则“⊥”是|+|=|﹣|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条既【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数量积的应用进行判断即可．【解答】解：由|+|=|﹣|平方得（+）2=（﹣）2，即2+•+2=2﹣•+2，即•=0，∴⊥成立，反之也成立，故“⊥”是|+|=|﹣|的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的运算和性质是解决本题的关键．3．（5分）（2015•绵阳模拟）已知函数f（x）=cos2x与g（x）=cosωx（ω＞0）的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A．4 B．2 C．1 D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴，解方程即可．【解答】解：f（x）=cos2x==+cos2x，则函数f（x）的对称轴和y=cos2x的对称轴相同，则ω=2，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式将函数进行化简是解决本题的关键．4．（5分）（2015•绵阳模拟）一机器元件的三视图及尺寸如图所示（单位：dm），则该组合体的体积为（）A．80dm3B．88dm3C．96dm3D．112dm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】首先把三视图转化成立体图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据三视图得知：该几何体是：下面是一个长宽高分别是9dm、4dm、2dm的长方体，上面是一个底面是直角三角形，且直角边为3dm和4dm，高为4dm的三棱柱．所以：V=V长方体+V三棱柱==96dm3故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图与立体图的转化，几何体的体积公式的应用．主要考查学生的空间形象能力．5．（5分）（2015•绵阳模拟）若a，b，x∈R，a＞b＞1＞x＞0，则下列不等式成立的是（）A．a x＜b x B．x a＞x bC．log x a＞log b D．log a x＞log b x【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由条件，不妨令a=4，b=2，x=，代入各个选项检验，即可的出结论．【解答】解：∵a＞b＞1＞x＞0，不妨令a=4，b=2，x=，可得a x=2＞b x=，故排除A；由x a=＜x b=，故排除B；由log x a=﹣2＜log b==﹣，故排除C；由log a x=﹣＞log b x=﹣1，可得D正确，故选：D．【点评】本题主要考查用特殊值法比较几个式子的大小，属于基础题．6．（5分）（2015•绵阳模拟）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S ﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20 B．20 C．﹣D．60【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图；二项式定理．【分析】模拟程序框图的运行过程，求出输出a的值，再求二项式的展开式中常数项的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：i=0，s=1，i=1，i＜4，是，s==﹣1；i=2，2＜4，是，s==3；i=3，3＜4，是，s==；i=4，4＜4，否，退出循环，输出s的值为．∴二项式（﹣）6的展开式中的通项是T r+1=•（）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r••（）6﹣2r•x3﹣r；令3﹣r=0，得r=3；∴常数项是T4=（﹣1）3••（）0=﹣20．故选：A．【点评】本题考查了出现框图的应用以及二项式定理的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，并利用二项式的通项公式进行计算，属于基础题．7．（5分）（2015•绵阳模拟）绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都要有学生去，每个学生只去一个城市旅游，且学生甲不到北京，则不同的出行安排有（）A．180种B．72种C．216种D．204种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】先安排甲，再安排其余4人，利用分步计算原理可得结论．【解答】解：甲在上海、杭州、广州中任选一个，有3种方法，在这个前提下，剩下4个人可以到北京、上海、杭州、广州等4个城市种各一个城市，就是=24，也可以在除了甲去的之外的3个城市旅游，就是=36，∴不同的安排方案共有3（24+36）=180．故选：A．【点评】本题考查分步计算原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）（2015•绵阳模拟）已知函数f（x）=，给出如下四个命题：①f（x）在[，+∞）上是减函数；②f（x）≤在R上恒成立；③函数y=f（x）图象与直线y=﹣有两个交点．其中真命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①x∈[，+∞），f（x）=+2x，f′（x）=﹣x2+2=﹣，由f′（x）≤0，即可得出f（x）在[，+∞）上单调性；②x＜0，函数f（x）=e x+x﹣1单调递增，可得f（x）＜f（0）；利用导数研究其单调性可得：当x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，=，即可判断出正误；③由①②画出函数f（x）的图象，即可判断出正误．【解答】解：①x∈[，+∞），f（x）=+2x，f′（x）=﹣x2+2=﹣，∵x∈[，+∞），∴f′（x）≤0，∴f（x）在[，+∞）上是减函数，正确；②x＜0，函数f（x）=e x+x﹣1单调递增，∴f（x）＜f（0）=1+0﹣1=0；当x≥时，由①可得：f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，=+2=，因此②不正确．③由①②画出函数f（x）的图象，可得：函数y=f（x）图象与直线y=﹣有两个交点，正确．综上可得：真命题的个数是2．故选：B．【点评】本题考查了分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．9．（5分）（2015•绵阳模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的各条棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用已知条件求出MA，BN，通过空间向量的数量积去MN即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的各条棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，可得PA⊥BD，∠PAB=60°，∠ABD=45°，MA=8，AB=13，BN=5，，∴，。

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