陕西省西安市第七十中学2015届高三下学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

陕西省西安市第七十中学2015届高三下学期第一次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1、若集合{}20x x xM=-≤，函数()()22log1f x x=-的定义域为N，则M N =A．[)0,1B．()0,1C．[]0,1D．(]1,0-2、若复数31a izi+=-（Ra∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．3-B．3C．6-D．63、某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法4、已知向量a与b的夹角为30，且1a=，21a b-=，则b=（）ABCD5、由曲线y=3y x=所围成的封闭图形的面积是（）A．1112B．512C．23D．146、若sin cos24παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）A．12-B．12C．34D．34-7、设变量x、y满足约束条件4020340x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则124yxz⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．12B ．14C ．16D ．188、在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱1111CD C D AB -A B 中，C 3π∠AB =，侧棱1AA 与对角线1D B 所成的角为θ，则θ为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9、一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ）A ．35B ．45C ．320D ．31010、阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，那么输入实数x 的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．(],1-∞-C ．[]1,2- D ．[)2,+∞11、已知P 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12F F 0P ⋅P =，若12F F ∆P 的面积为9，则a b +的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812、若()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x=，若在区间(]1,1-内()()g x f x mx m=--有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知73ax ⎛ ⎝的展开式中，常数项为14，则a = （用数字填写答案）．14、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，若C 0AB⋅A =，a =，6b c +=，则cos A = ．15、设经过点()4,0-的直线l 与抛物线212y x=的两个交点为A 、B ，经过A 、B 两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线l 的斜率等于 ．16、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．） 17、（本小题满分12分）已知递增的等比数列{}n a 前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．()1求等比数列{}n a 的通项公式；()2若不等式220n n n a a k +-≥对一切n *∈N 恒成立，求实数k 的取值范围．18、（本小题满分12分）9台发动机分别安装在甲、乙、丙3个车间内，每个车间3台，每台发动机正常工作的概率为12．若一个车间内至少有一台发动机正常工作，则这个车间不需要停产维修，否则需要停产维修．()1求甲车间不需要停产维修的概率；()2若每个车间维修一次需1万元（每月至多维修一次），用ξ表示每月维修的费用，求ξ的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11C C AA ⊥底面C AB ，11C C 2AA =A =A =，C AB =B 且C AB ⊥B ，O 为C A 中点．()1设E 为1C B 中点，连接OE ，证明：//OE 平面1A AB ； ()2求二面角11C A -A B -的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>，过椭圆顶点(),0a ，()0,b 的直线与圆2223x y +=相切．()1求椭圆C 的方程；()2若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足tOA+OB=OP（O为坐标原点），当25PA-PB<t的取值范围．21、（本小题满分12分）已知函数()1axxϕ=+，a为正常数．()1若()()lnf x x xϕ=+，且92a=，求函数()f x的单调增区间；()2若()()lng x x xϕ=+，且对任意1x，(]20,2x∈，12x x≠，都有()()21211g x g xx x-<--，求实数a的取值范围．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为121x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．()1求曲线C的直角坐标方程；()2求11+PA PB的值．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AB BC B A B CD A C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.１３．２ １４．53 １５．81１６．π3520三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤８．(本小题满分12分）解：（1）记某台发动机正常工作的事件为A, 甲车间3台发动机都出现故障的事件为M, 甲车间3台发动机至少有一台能正常工作的事件为N.则21)(=A P …………………………………………………………………………1分81)211())(1()(23=-=-=A P M P …………………………………………………3分 87811)(1)(=-=-=M P N P∴甲车间不需停产维修的概率为87.……………………………………………………5分(2) 记ξ表示每月维修的费用，那么ξ可取0,1,2,3(单位: 万元) …………………………6分依题意有:51234387)0(3=⎪⎭⎫⎝⎛==ξP ……………………………………………………7分5121478781)1(2113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C P ξ …………………………………………………8分 512218781)2(1223=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C P ξ …………………………………………………9分 512181)3(3=⎪⎭⎫⎝⎛==ξP ………………………………………………………………10分 ξ的分布列为:ξ123P512343512147 51221 5121ξ的数学期望为:5121925121351221251214715123430=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………12分１９．（本小题满分12分）证明：（１）取BC 中点F ，连接EF OF ,…1分 ∵E 为1BC 中点． ∴1//,//BB EF AB OF ，∴面//OEF 面1A AB ．…………………3分 又∵⊂OE 面OEF …………………4分 ∴//OE 平面1A AB ． …………………6分 证法二：∵11A A A C =，且Ｏ为AC 的中点， ∴1A O AC ⊥．又由题意可知， 平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1且1A O ⊂平面11AA C C ， ∴1A O ⊥平面ABC ．以Ｏ为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系．……………1分 由题意可知，112,A A A C AC ===又,AB BC AB BC=⊥1,1,2OB AC ∴==∴得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B - …………………2分 则有：)3,1,0(1-=C A ，)3,1,0(1=AA ，)0,1,1(=AB设平面1AA B 的一个法向量为),,(z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AB n AA n 即⎩⎨⎧=+=+003y x z y令1=x ，得33,1=-=z y∴)33,1,1(-=n ．……………………………………………………………………4分又∵E 是1BC 的重点，则)23,1,21(=E ，∴)23,1,21(=OE ………………………5分 ∵0=⋅OE n ，∴//OE 平面1A AB ……………………………………………………6分 （２）由法二，已知)0,2,0(),3,0,1(111=-=C A B A ，设面11BC A 的法向量为),,(z y x m =，则00111==⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅C A m B A m 得⎩⎨⎧==-0203y x x ………………………………………………8分令1=x ，所以)33,0,1(=m ．………………………………………………………9分所以cos＜n m ,7723734311=⨯+……………………………………11分根据图象，得二面角11A A B C --的余弦值为772-…………………………………12分 2０．（本小题满分12分）解：（１）由题意知c e a ==，……………………………………………………1分∴22222212c a b e a a -===．即222a b =……1…………………………………………2分 ∵ 过椭圆顶点),0(),0,(b a 的直线0=-+ab ay bx 与圆3222=+y x 相切∴3222=+b a ab…………2………………………………………………………3分由12联立解得1,222==b a ………………………………………………………5分 故椭圆C 的方程为1222=+y x ．…………………………………………………………6分（２）由题意知直线AB 的斜率存在. 设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=.422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <……………………………………………7分2122812k x x k +=+，22212128k k x x +-=⋅.∵OP t OB OA =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+.∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+……………………………………………………………………8分-，920]4))[(1(212212<⋅-++x x x x k∴920]21284)21(64)[1(222242<+-⨯-++k k k k k ， ∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >…………………………………………………10分∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，………………11分∴2t -<<2t <<，∴实数取值范围为)2,362()362,2(⋃--……………………………………………12分(注意：可设直线方程为2-=x my ，但需要讨论0m =或0m ≠两种情况) ２1. (本小题满分12分）解：（１）2221(2)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++，……………………………………1分∵92a =，令'()0f x >，得2x >，或12x <，……………………………………3分∴函数()f x 的单调增区间为1(0,)2，(2,)+∞.………………………………………4分 ⑵∵2121()()1g x g x x x -<--，∴2121()()10g x g x x x -+<-，∴221121()[()]g x x g x x x x +-+<-，设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(]0,2上是减函数……………………………5分 当12x ≤≤时， ()ln 1a h x x x x =+++，21'()1(1)a h x x x =-++，令'()0h x ≤，得：222(1)1(1)33x a x x x x x +≥++=+++对[1,2]x ∈恒成立，……6分设21()33m x x x x =+++，则21'()23m x x x =+-，………………………………7分 ∵12x ≤≤，∴21'()230m x x x =+->，∴()m x 在[1,2]上是增函数，则当2x =时，()m x 有最大值为272，∴272a ≥.……9分 当01x <<时， ()ln 1a h x x x x =-+++，21'()1(1)a h x x x =--++，令'()0h x ≤，得：222(1)1(1)1x a x x x x x +≥-++=+--，……………………10分 设21()1t x x x x =+--，则21'()210t x x x =++>，∴()t x 在(0,1)上是增函数，∴()(1)0t x t <=，∴0a ≥， ………………………11分综上所述，272a ≥………………………………………………………………12分22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 证明：（１）连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°. …………1分∵AG ⊥FG ，∴∠AGE=90°.又∠EAG=∠BAC ，∴∠ABC=∠AEG. ………2分 又∠FDC=∠ABC ，∴∠FDC=∠AEG.…………3分 ∴∠FDC+∠CEF=180°. ………………………4分 ∴C ，D ，F ，E 四点共圆.………………………5分 （２）∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线，∴GH2=GC·GD. ………………………………………………………………………6分 由C ，D ，F ，E 四点共圆，得∠GCE=∠AFE ，∠GEC=∠GDF.∴△GCE ∽△GFD. ……………………………………………………………………7分∴GE GC =GD GF，即GC·GD=GE·GF ， ……………………………………………………8分∴CH2=GE·GF. ………………………………………………………………………10分 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程)4πρθ=+化为22sin 2cos ρρθρθ=+，……………………………………………………………2分∴普通方程是2222x y y x +=+，………………………………………………………4分ABC D E F GHO即22(1)(1)2x y -+-=………………………………………………………………5分 （2）直线与曲线C 交于A,B 两点，与y 轴交于点P ，把直线的参数方程1,2(,1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入曲线C 的普通方程22(1)(1)2x y -+-=中，得210t t --=，……………………………………………………………………7分121211t t t t +=⎧∴⎨⋅=-⎩…………………………………………………………………………8分∴||1||1||1||121t t PB PA +=+…………………………………………………………9分 2122121214)(||||t t t t t t t t -+=⋅-=5=……………………………………………………10分24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（1）解法一：当1-=a 时，|1||1|)(++-=x x x f …………………………………1分 |11|++-≥x x 3|2|≥=x∴23≥x ，或23-≤x解法二：当1a =-时，则()11f x x x =-++. ………………………………………1分由()3f x ≥得11 3.x x -++≥①当1x ≤-时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦……2分②当11x -<≤时,不等式化为113x x -++≥,不可能成立.其解集为∅. ……………3分③当1x ≥时, 不等式化为113,x x -++≥即23x ≥.其解集为3[,)2+∞ ……………4分综上得()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …………………………………5分解法三：当1-=a 时，|1||1|)(++-=x x x f …………………………………………1分 由3)(≥x f ，则3|1||1|≥++-x x ，据3|1||1|≥++-x x 的几何意义，表示数轴上与实数1,1-距离之和不小于3的实数x 的集合，…………………………3分由于数轴上数23-左侧的点与数23右侧的点与数-1与1的距离之和不小3，…………4分所以所求不等式解集为（-∞，23-]∪[23，+∞）. ………………………………5分（2）解法一：若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件.若()()()21,1,1,121,1x a x a a f x a a x f x x a x -++≤⎧⎪<=-<<⎨⎪-+≥⎩的最小值为1a -…………………7分若()()()21,11,1,121,x a x a f x a x af x x a x a -++≤⎧⎪>=-<<⎨⎪-+≥⎩的最小值为1a -. ………………9分所以(),2x R f x ∀∈≥.a 的取值范围是(][),13,.-∞-+∞ …………………10分解法二：由2)(≥x f ，即2|||1|≥-+-a x x ，由2|||1|≥-+-a x x 的几何意义， 表示数轴上到的距离与到a 的距离之和大于等于2恒成立的实数x 的集合， ………7分 则1与a 之间的距离必大于等于2，…………………………………………………9分 从而有),3[]1,(+∞⋃--∞∈a . ……………………………………………………10分。