圆周运动与万有引力
新高考物理第四章 曲线运动 万有引力与航天4-3 圆周运动
平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，
已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不
打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块
与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由
静止开始缓慢地转动起来；且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是
答案：C
一点一过 1．向心力的公式
Fn＝man＝mvr2＝mω2r＝m·4Tπ22r＝m·4π2f2r＝mωv。 2．做匀速圆周运动的条件
当物体所受的合外力大小恒定，且始终与速度方向垂直时，物体做匀速圆 周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。
研清微点3 离心现象分析
3． (多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水
答案：A
[要点自悟明] 1．匀速圆周运动各物理量间的关系
2．三种传动方式及各自的特点
皮带传动 齿轮传动 同轴转动
皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度 大小相等 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘 线速度大小相等 两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速 度大小相等
(二) 向心力来源分析及离心现象(释疑点)
研清微点1 圆周运动的向心力来源分析
1． (多选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m
的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀
速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的
夹角为θ。下列说法中正确的是
()
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
心运动。
(三) 水平面内的匀速圆周运动(融通点) 1．运动特点 (1)运动轨迹在水平面内。(2)做匀速圆周运动。 2．受力特点 (1)物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。 (2)合外力充当向心力。 3．分析思路
圆周运动模型及万有引力
1.圆周运动及其推论（1）概念：圆周运动是物体绕一个顶点旋转的运动。
（2）在圆周运动中，由于线速度的方向每时每刻都在发生变化，所以圆周运动是变速运动（3）相关物理量：线速度v，指的是物体经过路程与时间之比；角速度w，指的是物体经过的弧度与时间之比；周期T，指的是物体转一圈所用的时间，可以用2π/w来计算；频率/转速f/n，指的是物体转的圈数与所用的时间之比，在数值上与周期T互为倒数。
（4）相关公式：v=wr，T=2π/w，f=w/2π（5）向心力：向心力是一种效果力，并不是真实存在的，它可以是物体所受的合力或某一个力或某一个力的合力，在数值上等于mwv，在匀速圆周运动中，向心力的方向指向圆心。
（6）常见模型·齿轮模型：两个一大一小的齿轮互相嵌入，一个齿轮转动时带动另一个齿轮转动，转动方向相反。
在计算时其实与齿数并无关系。
假设有两个齿轮，齿轮一为r，齿轮二半径为R，则它们的线速度相等，角速度之比为w₁：w₂=R：r，转速之比同角速度之比，周期之比为T₁：T₂=r：R·连杆模型：两个齿轮中心连在同一根柱形上，转动方向相同。
假设有两个齿轮，齿轮一半径为r，齿轮二半径为R，则它们的角速度相等，线速度之比为v₁：v₂=r：R，周期与转速都相等。
2.万有引力与重力的关系（1）万有引力指的是地球对物体的吸引力，重力是指将万有引力分解为物体与地球一起转动的向心力之外的另一个力。
影响重力的因素有，纬度，影响万有引力的因素有，距地心距离。
（2）纬度的影响：在两极的时候，由于物体处于地球的自转轴上，所以向心力为零，此时重力最大，等于地球对物体的吸引力，大小F=MmG/r²，其中m为物体质量，M为地球质量，G为引力常量，G=6.67*10^-11N*m²/kg²，r为地球表面的半径；在赤道的时候，物体随地球转动的半径最长，根据向心力的推导公式F=mw²r，角速度不变，向心力最大，这是重力也最小G=MmG/r²-mw²v。
圆周运动(5复习万有引力
3. 有一圆锥摆，小球质量为4kg， 摆线与竖直方向成37度，现知摆线 长度为1m，求小球的线速度多大？
37
4. 如图，有一质量为1kg的小球，在 半径为1米的光滑水平面上，绳的下 端挂有质量为10kg的物体，若要使小 球在水平面的边缘做匀速圆周运动， 其速度应该多大？
三、万有引力
m1m2 1. 公式： F G 2 r
5. 第一宇宙速度
2 3
GM r R时，v 7.9 103 m / s R
练习：
已知月球的质量为7.35×1022 千克，半径为1738千米。试求 从月球表面发射的人造月球卫 星的绕月的最小周期和相应的 速度。
mv 2 m r 向心力大小： F r
相应的向心加速度：
2
v 2 a r r
2
匀速圆周运动是变加速运动。
练习：
1. 如图R=2r，求a、b、c三点的线速度与 角速度之比。
R
c R/2
r
b
a
2. 如图，已知水平面上一小球质 量为5kg，做10m/s的匀速圆周运动， 绳长为5m，求小球受到的绳的拉力 为多大？
G=6.67×10-11N· 2/kg2 m
2. 人造地球卫星的向心力由万有引力提供
m1m2 m v 2 F G 2 m r r r
GMm 3. 地球表面 F mg 2 R
2
4. 卫星环绕速度与环绕周期
Mm m v2 GM G 2 v R r r
2r GM 4 r v T T r GM
4. 线速度 s 2r v t T 5. 角速度
2 t T
方向：切线，同一 条传送带上各线速 度大小相同 单位：米/秒（m/s） 同一轮子上各点角速 度相同
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1. 引力公式
万有引力定律公式：F = G(m1m2/r²)
其中，
F：两个物体之间的引力；
G：万有引力常量，约等于6.67×10^-11 N·m²/kg²；
m1、m2：分别为两个物体的质量；
r：为两个物体之间的距离。
2. 圆周运动公式
万有引力定律公式也可以用来描述行星绕太阳的圆周运动，其公式为：
F = m*v²/r = G(m1m2/r²)
其中，
m：为行星的质量；
v：为行星绕太阳的线速度；
r：为行星到太阳的距离；
m1、m2：分别为行星和太阳的质量。
3. 行星运动周期公式
行星绕太阳的运动周期公式为：
T² = (4π²r³)/(GM)
其中，
T：为行星绕太阳一周的时间；
r：为行星到太阳的距离；
M：为太阳的质量；
G：万有引力常量。
4. 轨道速度公式
行星绕太阳的轨道速度公式为：v = (GM/r)¹/²
其中，
v：为行星绕太阳的速度；
r：为行星到太阳的距离；
M：为太阳的质量；
G：万有引力常量。
5. 天体自转周期公式
天体自转周期公式为：
T = 2π(r/v)
其中，
T：为天体的自转周期；
r：为天体的半径；
v：为天体表面的线速度。
以上就是万有引力定律公式大全，每一项公式都有其具体的物理含义和数学表达式，对于物理学或天文学研究者或爱好者都有着极高的参考价值。
圆周运动及万有引力
水平面内匀速圆周运动1．匀速圆周运动条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．向心力来源：向心力可以是重力、弹力、摩擦力、库仑力、洛仑兹力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动的效果的力，就是向心力．向心力是按力的作用效果来命名的．3．向心力作用效果：产生向心加速度，只改变速度方向，不改变速率．4．向心力公式：将牛顿第二定律F 合=ma 用于匀速圆周运动时，F 合就是向心力，a 就是向心力加速度．即得：r n m r f m r Tm r m r mv ma F 22222)2()2()2(/πππω====＝＝心合．(n 为转速，单位：转／秒或r ／s)5．应用步骤(1)四确定：确定研究对象、确定轨道平面、确定圆心位置、确定向心力的方向(确定轨道平面和圆心位置是难点)．(2)受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)．(3)选定向心力方向列方程．练习题1、物体A 在图各种情况中均在水平面内做匀速圆周运动，试对物体进行受力分析，分别求出物体A 的有关物理量(绳拉力F 拉、向心力F 心、向心加速度a 心、角速度ω、线速v 、周期T)是多少?(图中θ、l 、R 及物体A 质量m 、B 质量M 为已知，不计一切摩擦)2、物体A 在图各种情况中均在水平面内做匀速圆周运动，试对物体受力分析．若①②图中r 、ω和③图中h 、θ、r 为已知，物体A 质量为m ，则关于A 的：3、如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R ，若要物体不滑下，圆筒转动的角速度至少为多大?4、如图，细绳一端系着质量为M 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m 的物体，M 的中点与圆孔距离为R ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为f m ，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态?(mg>f m )三、竖直面内圆周运动专题(一)凹桥凸桥模型如图，小车以同一速率通过凹桥和凸桥，凹桥受到的作用力大于小车重力，凸桥受到的作用力小于小车重力．(二)最高点临界问题1．绳子(轨道内侧)约束模型：(1)如图所示．临界条件：绳子和外轨道对小球刚好没有弹力的作用．Rg v Rv m m g ＝临界⇒=∴2(可理解为恰好转过或恰好转不过的速度)(2)能过最高点条件：临界v v ≥ (当临界v v >时绳、轨道对球分别产生拉力、压力)．(3)不能过最高点条件：临界v v < (实际上球还没到最高点就脱离了轨道)．2．“杆模型”——轻杆(光滑管)约束模型：如图所示小球过最高点的临界条件：(1)01＝临界v (有物体支承的小球不会脱落轨内，只要还有向前速度都能向前运动)(2)轻杆和管道对小球刚好没有力的作用的临界条件：Rg v Rv m m g ＝临界22⇒=． (3)如图，球过最高点时，轻杆(管道)对球产生的弹力情况：①当v=0时，N=mg ．(N 为支持力，方向向上)；②当0<v<Rg 时，N 仍为支持力：Rv m N m g 2=-； ③当v=Rg 时，N=0，④当v>Rg 时，N 为拉力(外轨对球的压力)，方向指向圆心：Rv m N m g 2=+． (三)竖直面内的匀速圆周运动条件：要做匀速圆周运动，则要合力大小不变，方向永远指向圆心．训 练 题1、如图所示，质量都为m 的物体均在竖直面内做圆周运动，物体通过最低点或最高点时速率均为v ，甲图中绳长为l ，乙、丙图中轨道半径为R ，则：①甲图中绳的张力为 ，乙图中物体受到的支持力为 ，丙图中物体受到的支持力为 ；②当乙图中物体与轨道间的动摩擦因数为μ时，物体受到的摩擦力为 .2、如图所示，天车用钢索吊一质量为M的工件匀速行驶，当突然刹车时，钢索的拉力：A．等于Mg；B．大于Mg；C．小于Mg；D．无法判断．3、如图所示，物体均在竖直面内做圆周运动．①若R、g为巳知，则球刚好通过最高点的临界速度v0分别是多少?球在最高点，杆、绳或轨道对球作用力刚为零时，球的临界速度v’0分别是多少?②在甲、乙两图中，小球质量均为m，若小球以两倍的临界速度经过最高点时，甲图中小球对绳的拉力为，乙图中小球对轨道的压力为.③在丙、丁图中，小球质量m=3．0kg，半径R=0．5m，g取10m／s2，丁图中管道光滑，求下列情况下，小球受到杆(或管道)的力F及方向：a．当小球在最高点速度v0=2．0m／s时，丙图中F= ，方向，丁图中F= ，方向.b．当小球在最高点速度v0=4．0m／s时，丙图中F ，方向，丁图中F ，方向.4、杂技演员表演“水流星”：在长为L=1．6m的细绳一端，系一个总质量为m=0．5kg 的盛水容器，以绳另一端为圆心，在竖直平面内作圆周运动，如图所示．若“水流星”通过最高点的速度为v=4m／s，则下列哪些说法正确?(不计空气阻力，取g=10m／s2)．A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出；B．“水流星”通过最高点时，绳的张力和容器底受到的压力均为零；C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用；D．绳的张力变化范围为0≤T≤30N．。
2-3圆周运动万有引力与航天
动)的各点角速度相等(轴上的点除外)．再根据描述圆周运
动的各物理量之间的关系不难得出正确的结论．
)
专题二
物体的运动
如图所示，半径为25cm的两圆柱体A和B，靠电动机 带动按相同方向均以角速度ω＝8rad/s转动．两圆柱体的转
动轴互相平行且在同一水平面内，转动方向已在图中标出，
质量分布均匀的木棒水平轻轻放置其上，重心在刚开始运 动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数为0.2，两圆
物体的运动
(2)在下图甲、乙所示的情景中：
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专题二
物体的运动
①当 v＝0 时，轻杆(或内轨)对小球有竖直向上的支持 力 FN，其大小等于小球的重力，即 FN＝mg. ②当 0＜v＜ gR时，杆(或内轨)对小球的支持力的方 向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是 0 ＜FN＜mg. ③当 v＝ gR时，FN＝0. ④当 v＞ gR时，杆(或外轨)对小球有指向圆心的力， 其大小随速度的增大而增大，FN＞0.
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一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(
)
)
专题二
物体的运动
A．Q受到桌面的支持力变大 B．Q受到桌面的静摩擦力变大 C．小球P运动的角速度变大 D．小球P运动的周期变大
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方向垂直，因此它只改变线速度的方向，不改变线速度的
大小． 友情提示 解决圆周运动的关键：正确受力分析，进 行力的分解(沿法向Байду номын сангаас切向)，建立F供＝F需的关系．
万有引力与重力和圆周运动的关系
知识点1 万有引力定律 定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物 体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比． 公式： 适用范围：质点或者均用球体外部，r为质点间距离或者球解为重力和自转向心力。当不计自转时，重力即为万有引力。 记为：mg=GMm/r2
【例7】 “神舟六号”飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传 感器，传感器上面压着一个质量为m的物体，火箭点火后从地面向 上加速升空 当升到某 高度时 加速度为0.5g，压力传感器此时 上加速升空，当升到某一高度时，加速度为 压力传感器此时 显示出物体对平台的压力为点火前压力的17/16．已知地球的半径为 R，g为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度． 为地面附近的重力加速度 试求此时火箭离地面的高度
【例5】 不同的行星表面重力加速度不一样，观测知道火星的半径为r，火星 的一颗卫星围绕火星以半径R做近似圆周运动，其周期为T，已知万 有 有引力常数为 常数 G： 1.火星质量为多少？ 2.火星表面重力加速度多少？ 3.如果一颗星球密度为ρ，推导其表面重力加速度与其半径关系。
2
【例6】 有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地面 上重力加速度的4倍,则该星球的质量将是地球质量的( ) A 1/4 B 4倍 C 16倍 D 64倍
知识点3 万有引力与天体圆周运动 外围天体在万有引力作用下围绕中心天体圆周运动。 计算： 中 天体质量信 中心天体质量信息 或外围天体运动参数 可解：： F向=F F万
【例1】处理卫星问题方法：把天体运动看成匀速圆周运动、万有引力提供 向心力，计算可知： r 越大，卫星线速度越 ； 角速度越 ；周期越 。
1
【例2】 卫星A、B、C在相隔不远的不同轨道上，且运动方向相同，若在某 个时刻恰好在同一直线上，则当卫星A转过一个周期时，下列关于 三颗卫星的说法正确的是（ 的说法 确的是 ） A. 三颗卫星的位置仍在一条直线上 B. A的位置超前于B，C的位置滞后于B C. A的位置滞后于B，C的位置超前于B D. A的位置滞后于B和C
圆周运动万有引力运动
圆周运动、万有引力知识点点拨：１．圆周运动：质点的运动轨迹是圆或是圆的一部分。
（１）速率不变的是匀速圆周运动。
（２）速率变化的是非匀速圆周运动。
注：圆周运动的速度方向和加速度方向时刻在变化，因此圆周运动是一种变加速运动。
２．描写匀速圆周运动的物理量（１）线速度：质点沿圆弧运动的快慢（即瞬时速度）。
s方向：圆弧在该点的切线方向。
tθv（２）角速度：质点绕圆心转动的快慢。
ω= ω=大小：v=tR（３）周期：质点完成一次圆周运动所用的时间。
T=（４）转速：质点１秒内完成圆周运动的次数。
n=３．向心加速度向心加速度是描写线速度方向变化快慢的物理量。
2πRv=v=2πω=1T2πRω2π⎧v22⎪a==ωR=ωv这组公式对于匀速圆周运动和非匀速圆周运动都适用。
R⎪大小：⎨ 2⎪a=v=ω2R=ωv=(2π)2R=(2πn)2R这组公式只适用匀速圆周运动。
RT⎪⎩方向：始终指向圆心。
注：匀速圆周运动只有向心加速度而没有切向加速度。
而非匀速圆周运动不仅有向心加速度，还有切向加速度，切向加速度是改变线速度大小的。
４．向心力：提供向心加速度所需要的力。
（向心力是效果力）v2m 2R m v 方向：始终指向圆心。
大小：F ma mR注：对于匀速圆周运动是合外力提供向心力。
对于非匀速圆周运动是合外力的法向分力提供向心力，而切向分力是产生切向加速度的。
5.皮带传动问题解决方法：结论:1).固定在同一根转轴上的物体转动的角速度相同。
2).传动装置的轮边缘的线速度大小相等。
6．万有引力定律宇宙间的一切物体都是相互吸引的，这个吸引力称万有引力。
大小：F G11m1m2r22 方向：两个物体连线上、相吸。
2其中G 6.67 10牛米/千克称为万有引力恒量，由卡文迪许钮秆测定。
圆周运动,开普勒三定律,牛顿万有引力定律及其应用
圆周运动，开普勒三定律，牛顿万有引力定律及其应用开普勒的三大定律第一定律(轨道定律)：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点上。
第二定律(面积定律)：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的时间内总是扫过相等的面积。
第三定律(周期定律)：每个行星的椭圆轨道是半长轴的立方跟公转周期行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时，公式中的a即为圆半径。
开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定的实验基础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。
牛顿万有引力定律：天体密度的测定应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该天体的半径或直径，就可求出该天体的密度，即例如：某登月密封舱在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球运行，运行周期为120.5分钟，月球半径为1740km，应用万有引力公式算出月球质量为月球平均密度为如果不易测知天体半径，也可用人造飞行器沿该天体的表面匀速率绕密度为天体质量的测定假定某天体的质量为M，有一质量为m的行星(或卫星)绕该天体做圆周运动，圆周半径为r，运行周期为T，由于万有引力就是该星体做圆周运动的向心力，故有例如：测知月球到地球平均距离为r=3.84×108m，月球绕地球转动周期T=27.3日=2.36×106秒，万有引力常量G=6.67×10-11牛·米2／kg2，将数据代入上式可求得地球质量约为5.98×1024kg。
由于地球表面物体的重力近似等于万有引力，所以地球质量还可用下式粗算近地点和远地点人造地球卫星的轨道多数不是圆而是椭圆，地球的球心位于椭圆的一个焦点上，如图所示，当卫星位于图中P点时，距离地球表面最近，此位置称为近地点，长轴上的另一项点Q则为远地点。
由开普勒定律可知卫星位于近地点时速率最大，位于远地点时速率最小，由于近地点和远地点处曲率半径相同，所以由上面两式比得vP：vQ=LOQ：LOP此式说明同一颗卫星在近地点和远地点速率之比等于它们与地球中心距离的倒数。
动力学中的圆周运动与万有引力
动力学中的圆周运动与万有引力在物理学的领域中，动力学是研究物体运动的科学分支。
它涉及了一系列基本概念和定律，其中包括圆周运动和万有引力。
本文将探讨这两个概念的关系以及它们在动力学中的重要性。
一、圆周运动圆周运动是指物体在一个平面上绕着一个中心点进行的运动。
它具有特定的运动轨迹，即圆形。
在圆周运动中，物体沿着圆周的周长进行移动，同时也存在向心加速度的作用。
这个向心加速度是使物体保持圆周运动的关键因素。
1.1 圆周运动的基本概念圆周运动涉及一些基本概念，包括半径、角度、角速度和周期。
半径是从圆心到圆周上一个点的距离，它可以决定圆周的大小。
角度是圆心处的两条射线之间的夹角，它可以用来描述物体在圆周上的位置。
角速度是单位时间内角度的变化率，它反映了物体在圆周运动中的快慢程度。
周期是物体从一个位置回到相同位置所需的时间，即一个完整的圆周运动所花费的时间。
1.2 圆周运动的力学原理在圆周运动中，存在一个向心加速度，它使物体不断改变方向，并保持在圆周上运动。
根据牛顿第二定律，物体的加速度是由外力和质量决定的。
对于圆周运动，向心加速度是由一个称为向心力的特殊力提供的。
向心力的大小与质量、半径和角速度有关，它的方向指向圆心。
二、万有引力万有引力是在动力学中的另一个重要定律，它由牛顿在17世纪提出。
根据牛顿的万有引力定律，任何两个物体之间存在一种引力，这种引力与它们的质量和距离有关。
万有引力是一种吸引力，它使得物体朝向彼此靠拢。
2.1 万有引力定律的表达式万有引力定律可以用以下数学表达式来表示：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F是两个物体之间的引力，G是一个常数称为万有引力常数，m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
2.2 万有引力与圆周运动的关系万有引力对于圆周运动具有重要的影响。
根据牛顿的第二定律，物体在受到向心力的作用下会产生加速度。
而在圆周运动中，向心力可以由万有引力提供。
具体而言，当一个物体绕着另一个物体进行圆周运动时，它所受到的向心力可以由万有引力计算得出。
圆周运动、万有引力
线 速度 、 角速度 、 期和频 率 ， 四个量之 间的关 系 ： 周 这
一 一 ＿ ．； 一 ÷一 Ｔ — ．一 ｚ 厂 ， ２ ’ ’ ，
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第 二定律 ： 于 每 一 个 行 星而 言 ， 阳和 行 星 的连 线 对 太 在相等 的时 间内扫过 的 面积相等 ． 第 三定律 ： 所有行 星 的轨道 半 长轴 的三 次方 跟公 转周
表 达式 ： Ｆ—Ｇｍ ｍ２ 其 中 引力 常 量 Ｇ一 ６ ６ × １ Ｔｌ ．７ ０
．
，
Ｎ ・ ／ ． ｍ ｋ
Байду номын сангаас
作用 ：产生 的加 速 度 只 改 变速 度 方 向 ， 改 变 速 度 大 不
小．
来 源 ：向心 力不 是 某 种 性 质 的 力 ， 是 根 据 力 的作 用 而 效 果命 名 的． 因此 向心 力可 以 由某 一 个力 提供 ， 也可 由若 干
方 程 及 决 定 式
条长 Ｌ的细 绳 ， 一端 固定在 圆 锥 体的顶 点 ０处 ， 一端拴 着一 另 个质 量 为 ｍ 的 小 物 体 （ 体 可 物 视 为质 点 ）物 体 以速 度 ７绕 圆 ， ３ 锥 体的 轴 线 做 水 平 匀 速 圆 周 运
力 的合力提 供 ， 甚至可 以 由一 个力 的分 力提供．
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曼
维普资讯
金代换 ”． ）
四 、圆周运动规律应用于天体运动 问题的处理 思路
１ ．天 体 运 动 近 似 地 认 为 是 匀速 圆 周 运 动
天 体有 自然天体 （ 月球 、 球 ） 如 地 和人 造天 体 （ 卫 星 ） 如 ， 以下统 称 为天体． 速 圆 周 运动 的 运动 学 规 律 及动 力 学 规 匀 律 适用 于天体 运动 ． ２ ．万有 引 力是提 供 天体做 匀速 圆周运 动的 向心 力 由于 天体 运动 做匀 速圆周 运动 ， 万有 引力 充 当 向心 力 ， 也是 天体 的合 外力 ， 天体运 动“ 则 三力 ” 一． 统 ３ ．牛顿 第二 定律 Ｆ：ｌ ｎ ａ应 用 于 天体 运动 可得 动 力 学
平抛运动、圆周运动及万有引力
圆周运动是常见的运动形式之一，其运动轨迹是一个圆或椭 圆。物体做圆周运动时，其速度方向始终与运动轨迹相切， 而加速度方向始终指向圆心。
圆周运动的公式和定理
总结词 圆周运动的公式和定理包括周期、 转速、向心加速度、线速度等。
3. 线速度 线速度的大小为 v = 2πr/T，方 向始终沿着圆周运动的切线方向。
详细描述
万有引力公式是描述两物体之间相互吸引的力的数学表达式。这个公式表明，两 个物体之间的万有引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。 这个公式是牛顿万有引力定律的基础。
万有引力的实例和应用
总结词
万有引力的实例包括地球对物体的吸引力、 行星之间的相互吸引以及黑洞之间的相互作 用等。万有引力在科学研究、天文学、航天 工程等领域有着广泛的应用。
04
3. 离心机
离心机利用离心力的原理，将物体从 旋转轴上分离出来。在机械制造、制 药等领域中广泛应用。
06
5. 洗衣机
洗衣机中的脱水机利用圆周运动原理，通过快 速旋转将衣物中的水分甩出。
03 万有引力
万有引力的定义
总结词
万有引力是指任何两个物体之间相互吸引的力，其大小与两个物体的质量成正比，与物体之间的距离的平方成反 比。
平抛运动与万有引力的关系
平抛运动
物体在不受其他外力的作用下， 以一定的初速度沿水平方向抛出，
仅受重力作用而做的曲线运动。
万有引力
任何两个物体间都存在相互吸引的 力，这种力与两个物体的质量成正 比，与它们之间的距离的平方成反 比。
总结
平抛运动中，物体受到的重力（即 万有引力）使物体沿着抛物线的轨 迹运动。
三者之间的关系表明，万有引力是物体运动的基本规律之一，它决定了物体的运动轨迹和状 态。无论是平抛运动、圆周运动还是其他形式的运动，都受到万有引力的影响和制约。
圆周运动 与万有引力
4.1圆周运动 与万有引力
• 7．行星绕着质量为M的恒星做匀速圆周运动。若已知行星的轨道半径 是r，万有引力常量是G，则可求得（ B）
• （A）行星所受的向心力
（B）行星运动的向心加
速度
• （C）恒星的密度 速度
（D）恒星表面的重力加
4.1圆周运动 与万有引力
• 质量分别为2m和m的两颗恒星A和B组成双星系统，仅在相互
4.1圆周运动 与万有引力
• F=ma=mv2/r = mω2r =m ( 2π/T)2r =GmM/r2
例1. 探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上
仍做匀速圆周运动，则变轨后探测器的（ D ）
（A）半径变大，速度变小 （B）半径变大，速度变大 （C）半径变小，速度变小 （D）半径变小，速度变大
针对训练．如图所示，两个卫星A、B绕着同一行星做匀速圆周运动，
轨道半径分别为RA和RB（RA＞RB），已知A、B的运行周期分别为TA、
TB，线速度分别为vA、vB，则（ B ）
（A）TA>TB，vA> NhomakorabeaB（B）TA>TB，vA<vB
（C）TA<TB，vA>vB
（D）TA<TB，vA<vB
4.1圆周运动 与万有引力
木星外层上有一个环，为了判断它是木星的一部分还是木星的卫星群， 可以测量环中各层的线速度v与该层到木星中心的距离R之间的关系来 判断（D） （A）若v∝1/R ，则该层是木星的一部分 （B）若v2∝R，则该层是木星的一部分 （C）若v∝R，则该层是木星的卫星群 （D）若v2∝1/R ，则该层是木星的卫星群
之间万有引力的作用下，以两星连线上的某点为圆心，在
同一平面内做周期相同的匀速圆周运动。则A、B两颗恒星
圆周运动和万有引力
例：一长为L，不可伸长的轻绳，一端握住用手，另 一端系一个质量为m的小球，今使手握的一端在水平 面上做半径为r，角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳 始终与半径为r的圆相切，小球也将在同一平面内做 匀速圆周运动，如图所示，求小球做圆周运动的线速 度大小和小球在运动过程中所受的摩擦力大小？
ω r
解析: （1） 从o点到小球连线，长为小球做圆运动的半径
物体：h
1 2
gt22
2 6
h Lsin
2 L
2
13 6
t2
L g
要使物体与杆相碰，应有 t1/ t2
即 13 L 13 g
6 g
6L
2. 匀速圆周运动和非匀速圆周运动：
(1) 匀速圆周运动:
条件:受到的合外力大小不变,方向始终与线速度垂直沿
半径指向圆心.(切线力为零)
例如：细绳一端栓一小球在竖直面内作圆周运动，分 析受力及运动情况。 例如：细绳一端栓一小球在竖直面 内作圆周运动，分析受力及运动情况。
例：关于圆周运动的说法正确的是( ) A.做匀速圆周运动的物体，所受合外力一定指向圆 心 B.做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心 C.做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心 D.做圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心 ，其速度方向就不与合外力方向垂直 答案:A.B.D
顺时针匀速转动，问取什么值时，杆OA与小物体可以
再次相碰？
3L / 2
o
A
L
解析: 杆突然转动后，杆OA与小物体再次相碰，有两种可能： （1）物体做自由落体运动，如果在杆的转动时间t1内，杆 端A恰好转到小物体的正下方A/处物体与杆端相碰，即杆 转过角的时间与小物体自由下落高度的时间相等，此时杆 所对应的角速度是两者相碰的一个临界值，角速度稍大些， 物体不会相碰。
抛体运动 圆周运动 万有引力知识总结
x 抛体运动 圆周运动和万有引力总结一、曲线运动知识结构1. 知识结构2. 说明：（1）曲线运动中物体的速度方向一定变化, 所以物体一定有加速度, 物体受的合力一定不为零, 但合力和加速度可以是变化的, 也可以是恒定的，即曲线运动可以是匀变速运动。
（2）求解平抛运动的线索：合成与分解，两个分运动的联系时时间；求时间可以通过竖直分速度，也可以通过竖直位移求解；用好速度三角形和位移三角形。
在已知位移S 和方向角θ和速度v 及方向角φ怎样求时间？ （3）平抛运动实验: 测初速度的方法 ①已知抛出点和轨迹时求测初速度 ②不知道抛出点，知道竖直（或水平）方向和一段轨迹时 ③不知道抛出点，知道Y 轴和一段轨迹时（3）向心力公式F 向＝m2vr对变速圆周也适用；变速圆周运动的合力和加速度不在是指向圆心的。
(4)匀速圆周运动的两个实例:①圆锥摆运动：会求角速度、周期和细绳的拉力②车转弯问题：知道水平路面转弯时是什么力提供向心力；会求倾斜路面转弯时，只靠重力和路面的支持力提供向心力时速度，会判断火车何时对内外轨道有侧向压力 （5）竖直面内圆周运动的三个模型和在圆周轨道上运动的条件 ⑿会求高点时的最小速度（或最大速度）①细绳固定的小球：求高点的最小速度和最小加速度②轻杆固定的小球：完成圆周运动的条件是高点时的速度大于等于零；求杆不受力的条件、以及受拉力和压力条件，并会求杆的作用力③物体沿竖直外轨道运动：求高点的最大速度 (6)求解圆周运动的思路步骤（7）抛体与圆周运动的综合题，注意多解题（圆周运动的周期性）二、万有引力和天体运动1. 知识点(1)开普勒定律，行星的运动 (2)万有引力定律 (3) 引力加速度(4)宇宙速度：求第一宇宙速度 (5)人造卫星：2. 说明：（1）求解天体运动的思路线索：看成是匀速圆周运动，中心天体的引力提供向心力，列万有引力公式、向心力公式、引力加速度公式联立求解 （2）求测天体的质量和密度，通常用天体的卫星 （3）第一宇宙速度的定义，列方程求解（4）天体表面的引力加速度可以从在表面的抛体的运动求解（如上抛、自由落体、平抛） （5）区别发射速度和环绕速度，第一宇宙速度（7.9km/s ）是卫星匀速圆周运动的最大速度，是发射卫星的最小速度 （6）注意卫星的轨道形状(7)同步卫星：知道几个确定量；会求同步卫星的高度；知道发射变轨情况，知道速度变化情况；三颗卫星可是实现全球通讯覆盖。
动力学中的圆周运动与万有引力
动力学中的圆周运动与万有引力在我们所生活的这个充满奇妙物理现象的世界里，圆周运动和万有引力无疑是两个极其重要的概念。
它们不仅在理论物理学中占据着关键的地位，还与我们日常生活中的许多现象息息相关。
首先，让我们来聊聊圆周运动。
想象一下，一个小孩在游乐场里快乐地坐着旋转木马，或者一辆赛车在赛道上急速地绕圈飞驰，这些都是圆周运动的常见例子。
圆周运动，简单来说，就是一个物体沿着一个圆形的轨迹运动。
要理解圆周运动，有几个关键的物理量是我们必须要知道的。
首先是线速度，它表示物体在圆周上运动的快慢，等于物体通过的弧长与所用时间的比值。
比如说，一辆汽车在一分钟内绕着圆形赛道跑了一圈，我们就可以通过赛道的周长除以这一分钟来计算出汽车的线速度。
其次是角速度，它描述的是物体转动的快慢，等于物体转过的角度与所用时间的比值。
如果一个摩天轮在一小时内转了十圈，我们就能算出它的角速度。
还有向心加速度，这是物体在做圆周运动时指向圆心的加速度。
它的大小与线速度的平方除以圆周半径成正比，也与角速度的平方乘以圆周半径成正比。
向心加速度的存在，使得物体在做圆周运动时不断改变运动方向。
那么，是什么力量让物体能够持续地做圆周运动呢？这就引出了向心力的概念。
向心力是一种使物体沿着圆周或者曲线轨道运动的力，它始终指向圆心。
比如，当你用绳子绑着一个小球，然后甩动绳子让小球做圆周运动时，绳子对小球的拉力就是向心力。
在实际生活中，圆周运动的例子比比皆是。
汽车在弯道上行驶时，轮胎与地面的摩擦力提供了向心力，使得汽车能够顺利转弯。
地球绕着太阳公转，太阳对地球的引力就是向心力。
接下来，我们说一说万有引力。
万有引力定律告诉我们，任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
万有引力的发现，要归功于伟大的科学家牛顿。
据说，牛顿在看到苹果从树上落下时，突然灵光一闪，想到了万有引力的存在。
这个看似简单的定律，却有着极其深远的意义。
抛体运动、 圆周运动、万有引力与宇宙航行 知识点总结 -高一物理
抛体运动知识点一：曲线运动一、曲线运动的速度方向1.质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.2.曲线运动是变速运动.(1)速度是矢量，既有大小，又有方向.(2)在曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动.二、物体做曲线运动的条件1.物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动.2.物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的加速度一定不为0；物体所受的合力一定不为0.3.物体做曲线运动的条件：(1)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.技巧点拨一、曲线运动的速度方向1.曲线运动中，质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.2.曲线运动中，质点的速度方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零.二、物体做曲线运动的条件1.物体做曲线运动的条件(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上.(2)运动学条件：加速度方向与物体的速度方向不在同一直线上.说明：物体做曲线运动时，所受合力可能变化，也可能不发生变化.2.物体运动性质的判断(1)直线或曲线的判断看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上.(2)匀变速或非匀变速的判断合力为恒力，物体做匀变速运动；合力为变力，物体做非匀变速运动.(3)变速运动的几种类型轨迹特点加速度与速度方向的关系加速度特点运动性质直线共线加速度不变匀变速直线运动加速度变化非匀变速直线运动曲线不共线加速度不变匀变速曲线运动加速度变化非匀变速曲线运动三、曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系由于曲线运动的速度方向时刻改变，合力不为零.合力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总向合力所指的一侧弯曲.知识点二：运动的合成与分解一、一个平面运动的实例——观察蜡块的运动1.建立坐标系研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系.如图1所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系.图12.蜡块运动的位置：玻璃管向右匀速平移的速度设为v x，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为v y，在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝v x t，y＝v y t.3.蜡块运动的轨迹：将x、y消去t，得到y＝v yv x x，可见蜡块的运动轨迹是一条过原点的直线.4.蜡块运动的速度：大小v＝v2x＋v2y，方向满足tan θ＝v yv x.二、运动的合成与分解1.合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动.2.运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫作运动的分解.3.运动的合成与分解遵循矢量运算法则.技巧点拨一、运动的合成与分解1.合运动与分运动(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.2.合运动与分运动的四个特性等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响3.运动的合成与分解(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.其合成、分解遵循平行四边形定则. (2)对速度v 进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解. 二、合运动的性质与运动轨迹1.分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v 和合加速度a ，然后进行判断. (1)是否为匀变速的判断：加速度或合力⎩⎪⎨⎪⎧变化：变加速运动不变：匀变速运动(2)曲、直判断：加速度或合力与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动2.两个互成角度的直线运动的合运动轨迹的判断：轨迹在合初速度v 0与合加速度a 之间，且向加速度一侧弯曲实验：探究平抛运动的特点知识点：实验：探究平抛运动的特点一、抛体运动和平抛运动1.抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力作用的运动.2.平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动.3.平抛运动的特点： (1)初速度沿水平方向； (2)只受重力作用.二、实验：探究平抛运动的特点 (一)实验思路：(1)基本思路：根据运动的分解，把平抛运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动，分别研究物体在这两个方向的运动特点.(2)平抛运动的分解：可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动. (二)进行实验：方案一：频闪照相(或录制视频)的方法(1)通过频闪照相(或视频录制)，获得小球做平抛运动时的频闪照片(如图所示)；(2)以抛出点为原点，建立直角坐标系；(3)通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置；(4)测量出经过T ,2T ,3T ，…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格； (5)分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点.抛出时间T 2T 3T 4T 5T 水平位移竖直位移结论水平分运动特点竖直分运动特点方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律 步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点(1)如图所示，用小锤击打弹性金属片后，A 球做________运动；同时B 球被释放，做__________运动.观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音.(2)改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，即改变A 球的初速度，发现两球____________，说明平抛运动在竖直方向的分运动为______________.步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点 1.装置和实验(1)如图所示，安装实验装置，使斜槽M 末端水平，使固定的背板竖直，并将一张白纸和复写纸固定在背板上，N 为水平装置的可上下调节的向背板倾斜的挡板.(2)让钢球从斜槽上某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与背板平行.钢球落到倾斜的挡板N 上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹.(3)上下调节挡板N ，进行多次实验，每次使钢球从斜槽上同一(选填“同一”或“不同”)位置由静止滚下，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.(4)以斜槽水平末端端口处小球球心在木板上的投影点为坐标原点O ，过O 点画出竖直的y 轴和水平的x 轴. (5)取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，得到钢球做平抛运动的轨迹.(6)根据钢球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为y 、4y 、9y …的点，即各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，确定水平方向分运动特点.(7)结论：平抛运动在相等时间内水平方向位移相等，平抛运动水平方向为匀速直线运动. 2.注意事项：(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平). (2)背板必须处于竖直面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直. (3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放.(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时钢球球心在木板上的投影点.(5)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜.抛体运动的规律知识点：抛体运动的规律一、平抛运动的速度以速度v 0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，v x ＝v 0.(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg ＝ma .所以a ＝g ；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，v y ＝gt . (3)合速度大小：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋(gt )2；方向：tan θ＝v y v x ＝gtv 0(θ是v 与水平方向的夹角).二、平抛运动的位移与轨迹 1.水平位移：x ＝v 0t ①2.竖直位移：y ＝12gt 2②3.轨迹方程：由①②两式消去时间t ，可得平抛运动的轨迹方程为y ＝g 2v 02x 2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线. 三、一般的抛体运动物体被抛出时的速度v 0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v 0与水平方向夹角为θ). (1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v 0x ＝v 0cos θ.(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v y 0＝v 0sin θ.如图所示.技巧点拨一、对平抛运动的理解 1.平抛运动的特点(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化. 2.平抛运动的速度变化如图所示，由Δv ＝g Δt 知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.二、平抛运动规律的应用1.平抛运动的研究方法(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等. 2.平抛运动的规律(1)平抛运动的时间：t ＝2hg，只由高度决定，与初速度无关.(2)水平位移(射程)：x ＝v 0t ＝v 02hg，由初速度和高度共同决定. (3)落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝v y v 0＝2gh v 0，落地速度由初速度和高度共同决定. 3.平抛运动的推论(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α. 证明：如图所示，tan θ＝v y v x ＝gtv 0tan α＝y A x A ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0所以tan θ＝2tan α.(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点. 证明：x A ＝v 0t ，y A ＝12gt 2，v y ＝gt ，又tan θ＝v y v 0＝y A x A ′B ，解得x A ′B ＝v 0t 2＝x A2.三、平抛运动的临界问题分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件四、斜抛运动 1.斜抛运动的规律(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示) ①水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0. ②竖直方向：v 0y ＝v 0sin θ，F 合y ＝mg .(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动. ①速度公式：v x ＝v 0x ＝v 0cos θ v y ＝v 0y －gt ＝v 0sin θ－gt②位移公式：x ＝v 0cos θ·t y ＝v 0sin θ·t －12gt 22.斜抛运动的对称性(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间. (2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等. (3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.圆周运动知识点：圆周运动一、线速度1.定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt 内，通过的弧长为Δs .则Δs 与Δt 的比值叫作线速度，公式：v ＝ΔsΔt .2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢.3.方向：为物体做圆周运动时该点的切线方向.4.匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动. (2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变. 二、角速度1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，公式：ω＝ΔθΔt .2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢. 3.单位：弧度每秒，符号是rad/s 或rad·s －1. 4.匀速圆周运动是角速度不变的运动. 三、周期1.周期T ：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s).2.转速n ：物体转动的圈数与所用时间之比.单位：转每秒(r /s)或转每分(r/min).3.周期和转速的关系：T ＝1n (n 的单位为r/s 时).四、线速度与角速度的关系1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积.2.公式：v ＝ωr .技巧点拨一、线速度和匀速圆周运动1.对线速度的理解 (1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.(3)线速度的定义式：v ＝ΔsΔt ，Δs 代表在时间Δt 内通过的弧长.2.对匀速圆周运动的理解(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化. (2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变.(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零. 二、角速度、周期和转速 1.对角速度的理解(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快. (2)角速度的定义式：ω＝ΔθΔt ，Δθ代表在时间Δt 内物体与圆心的连线转过的角度.(3)在匀速圆周运动中，角速度不变. 2.对周期和频率(转速)的理解(1)匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同.(2)当单位时间取1 s 时，f ＝n .频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.3.周期、频率和转速间的关系：T ＝1f ＝1n .三、描述匀速圆周运动各物理量之间的关系 1.描述匀速圆周运动各物理量之间的关系(1)v ＝Δs Δt ＝2πrT＝2πnr(2)ω＝ΔθΔt ＝2πT ＝2πn(3)v ＝ωr2.各物理量之间关系的理解(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2πT＝2πn 知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了.(2)线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v ＝ω·r 知，r 一定时，v ∝ω；v 一定时，ω∝1r ；ω一定时，v ∝r .四、同轴转动和皮带传动问题向心加速度知识点：向心加速度一、匀速圆周运动的加速度方向1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小. 二、匀速圆周运动的加速度大小 1.向心加速度公式 a n ＝v 2r或a n ＝ω2r .2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.技巧点拨一、向心加速度及其方向 对向心加速度及其方向的理解1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.3.圆周运动的性质：不论向心加速度a n 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周同轴转动皮带传动齿轮传动装 置A 、B 两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A 、B 两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A 、B 两点分别是两个齿轮边缘上的点特点 角速度、周期相同线速度大小相等 线速度大小相等规 律 线速度大小与半径成正比：v A v B ＝rR角速度与半径成反比：ωA ωB ＝r R 角速度与半径成反比：ωA ωB ＝r 2r 1运动是变加速曲线运动.4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心. 二、向心加速度的大小 1.向心加速度公式(1)基本公式：①a n ＝v2r；②a n ＝ω2r .(2)拓展公式：①a n ＝4π2T 2r ；②a n ＝4π2n 2r ＝4π2f 2r ；③a n ＝ωv .2.向心加速度公式的适用范围向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v 即为那一位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心. 3.向心加速度与半径的关系(如图所示)向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系. (1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.向心力一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.2.方向：始终沿着半径指向圆心.3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.5.表达式： (1)F n ＝m v 2r(2)F n ＝mω2r .二、变速圆周运动和一般的曲线运动1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.(1)跟圆周相切的分力F t ：改变线速度的大小. (2)指向圆心的分力F n ：改变线速度的方向. 2.一般的曲线运动的处理方法(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.知识点一：实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系探究方案一 用绳和沙袋定性研究 1.实验原理如图(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.2.实验步骤在离小沙袋重心40 cm 的地方打一个绳结A ，在离小沙袋重心80 cm 的地方打另一个绳结B .同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：操作一 手握绳结A ，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小. 操作二 手仍然握绳结A ，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小. 操作三 改为手握绳结B ，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.操作四 手握绳结A ，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小. (1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系. (2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系. (3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系. 3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大. 探究方案二 用向心力演示器定量探究 1.实验原理向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.2.实验步骤(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系. (2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系. (3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系. 探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究 1.实验原理与操作如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m 、做圆周运动的半径r 及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS 数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS 数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系. 2.实验数据的记录与分析(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三) ①m 、r 一定(表一)序号 1 2 3 4 5 6 F n ω ω2②m 、ω一定(表二)序号123456F n r③r 、ω一定(表三)序号 1 2 3 4 5 6 F nm(2)数据处理分别作出F n －ω、F n －r 、F n －m 的图像，若F n －ω图像不是直线，可以作F n－ω2图像. (3)实验结论：①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比. ②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比. ③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.知识点二：向心力的分析和公式的应用一、向心力的理解及来源分析 导学探究1.如图1所示，用细绳拉着质量为m 的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.图1(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？ (2)若小球的线速度为v ，运动半径为r ，合力的大小是多少？答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.(2)合力的大小F ＝m v 2r.2.若月球(质量为m )绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r .月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小F n ＝mω2r ，方向指向地球球心. 知识深化 1.对向心力的理解(1)向心力大小：F n ＝m v 2r＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r .(2)向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小. 2.向心力的来源分析向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小. 二、匀速圆周运动问题分析 1.匀速圆周运动问题的求解方法圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面). (2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等). (3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程. (4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论. 2.几种常见的匀速圆周运动实例图形受力分析力的分解方法满足的方程及向心加速度⎩⎪⎨⎪⎧Fcos θ＝mg Fsinθ＝mω2l sin θ或mg tan θ＝mω2l sin θ⎩⎪⎨⎪⎧F N cos θ＝mg F N sin θ＝mω2r 或mg tan θ＝mω2r⎩⎪⎨⎪⎧F 升cos θ＝mg F 升sin θ＝mω2r 或mg tan θ＝mω2r⎩⎪⎨⎪⎧F N ＝mgF 拉＝m B g ＝mω2r 三、变速圆周运动和一般的曲线运动导学探究用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.图5(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果. (2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？答案 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F 有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向. (2)由于拉力F 沿切线方向的分力与v 一致，故沙袋的速度增大. 知识深化 1.变速圆周运动(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F 产生改变线速度大小和方向两个作用效果.(2)某一点的向心力仍可用公式F n ＝m v 2r ＝mω2r 求解.(3)2.一般的曲线运动曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理. (1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.生活中的圆周运动知识点：生活中的圆周运动一、火车转弯1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.。
匀变速直线运动公式、圆周运动、万有引力总结
1．自由落体运动
①末速度: ②下落高度:
③下落时间：
2.竖直下抛运动
①末速度: ②下落高度:
3.竖直上抛运动
①末速度： ②下落高度：
③上升时间: ④总时间:
⑤最大高度：
曲线运动
（1)①条件:ｖ０与 不共线②速度方向：切线方向
③弯曲方向：总是从v0的方向转向 的方向
7．平抛运动
②合速度：
(１)在连续相等的时间间隔(T)内的位移之差等于一个恒量，即Δs=aT2⑤
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即： ⑥
(3)某段位移内中间位置的瞬时速度v中与这段位移初、末速度v0和vｔ关系: ⑦
注意：无论匀加速还是匀减速总有 = = < ＝
4、初速度为零的匀加速直线运动的一些特殊比例式(从t＝0开始),设T为时间单位,则有:
20.中心天体质量:
21．中心天体密度：
22．卫星的运行速度：
23.地球表面的重力加速度：
2４．第一宇宙速度（环绕速度):
第二宇宙速度(脱离速度):１1.２ｋm／s
第三宇宙速度(逃逸速度):1６.７kｍ/s
③速度方向：
⑤位移方向:
⑥飞行时间： ,与v0无关
8.斜抛运动
③飞行时间:
④射程: ⑤射高:
圆周运动
1．线速度： 2．角速度：
3．线速度与角速度的关系：
4.周期与频率的关系: ５.转速与频率的关系：
6.向心力:７.向心Fra bibliotek速度：8．竖直平面内圆周运动最高点的临界速度：
万有引力
18．开普勒第三定律:
１９.万有引力定律: ,G＝6.67×10－11
依题意可得：vｔ＝０,t=3s,a=-6m／s2
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生活中圓周運動的應用
雨傘旋轉，水滴飛出
生活中圓周運動的應用
慢慢旋轉雨傘時，則傘面上的水滴會 隨著雨傘轉動做圓周運動，此時水滴 在傘上的附著力(摩擦力)可提供作為向 心力。 若將傘快速旋轉，則所需的向心力也 增大，此時水滴在傘上的附著力無法 提供向心力，所以水滴會沿切線方向 飛出。
生活中圓周運動的應用
C
洗衣機的脫水原理，是利用脫水槽上 有許多小孔，當高速旋轉時，衣服上 的水與衣服的附著力不足作為旋轉時 的向心力，所以水沿切線方向飛出。 高速公路轉彎處，設計成外高內低， 這是利用車子本身的重力和路面對車 子的反作用力，兩者合力，做為車子 轉彎時所需的向心力。
生活中圓周運動的應用
生活中圓周運動的應用
的作用? (A)與運動方向相同的力 (B)與運動方向相反的力 (C)沿切線方向的力 (D)與運動方向垂直的力
D
2.洗衣機內，當高速脫水時，筒內
的水由筒孔處沿那一個方向飛出? (A)任意方向 (B)切線方向 (C)向轉軸方向 (D)由下方排水口飛出 B
3.洗衣機的脫水槽之所以能夠脫水，是
利用何種原理? (A)離心力大於向心力 (B)牛頓第二運動定律 (C)水滴與衣服的附著力不足以提供向 心力 (D)轉動的速度愈快，其附著立愈小
第二章 力與運動
第四節 圓周運動和萬有引力
為什麼要學圓周運動?
因為牛頓之前所講的多為直線運動，
是否有物體受力之後是做不是直線 的運動? 我們將不是直線運動的稱為曲線運 動，最典型的例子即為圓周運動
什麼是圓周運動?
想想看日常生活當中，你
是否有做圓周運動?
何謂圓周運動
即物體運動的規跡以圓周為
(N) (路面對車子的反作用力)
路面
向心力
車的重力(W)
合力畫法
4牛頓
6牛頓合力=2牛頓 Nhomakorabea合力畫法
平行四邊形法
合力
生活中圓周運動的應用
高速公路轉彎處，設計成外高 內低，這是利用車子本身的重 力(W)和路面對車子的反作用 力(N)，兩者合力，做為車子 轉彎時所需的向心力。
牛刀小試
1.作圓周運動的物體，始終受到何種力
若整個運動過程中，速率一定， 則我們稱此運動為等速率圓周 運動，其表示速率大小相等。 若整個運動的速度越來越大， 則其所需的向心力越大。
切線方向
運動方向
垂直
向心力
旋轉方向
若將手一放掉，即向心力消失， 則保特瓶會因為慣性作用而延切 線方向飛出。我們稱此方向為物 體的速度方向，即為 運動方向。 圓周運動的物體，受力方向(或加 速度方向)與切線方向(或速度方 向)互相垂直。
一圈，繞圓運動稱之。 例子：繞操場跑一圈
圓周運動力的分析
圓心
向心力
離心力
向心加速度
離心力與向心力互為 作用力與反作用力
保特瓶運動時，手必須向內拉著 細線以提供拉力，此力指向圓心， 稱為向心力。 根據牛頓第二運動定律得知力與 加速度同向，因此其所產生的加 速度稱為向心加速度。 整個運動過程中，速度一直改變， 因為其運動方向改變。