南昌大学 线性代数期末考试试卷及答案

南昌大学2007～2008学年第二学期期末考试试卷
可能线性相关，也可能线性无关
一、1
_________
3
-；2 1234___________________________
0a a a a +++=；3
______
；4
______
1
-；5
____________________
22
t -<<。

二、1（B ）； 2（C ）； 3（D ）； 4（A ）； 5
（A ）。

三
()
1 203042302A B ⎡⎤
⎢⎥+=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
；
003000300A B ⎡⎤
⎢⎥-=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
--------2分
()()906600609A B A B -⎡⎤
⎢⎥+-=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
------------------4分
2106043001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
；
2100343601B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
--------8分
22006300600A B ⎡⎤
⎢⎥-=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
------------------9分
四、()1令()1
2
3
4
,,,A αααα''''=并对矩阵A 作初等行变换
115111511123027431810274139704148A ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
--------3分 3
1
11151202747012200000
0000
0000
000⎡⎤⎢
⎥--⎡⎤⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-
→→⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
--------6分
南昌大学07～08学年第二学期线性代数期末考试（A卷）评分标准
五、方法（一）
1A =- ------------------3
分
11
2131112223213
23
3311A A A A A A A A A A A A A -⎡⎤
⎢⎥∴=*=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
--------------5分
143143153153164164---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
--------------11分
方法（二）
223100110010110010121001121001223100-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
--------2分
110010011011043120-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 110010011011001164-⎡⎤
⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦ --------6分 110010100143010153010153001164001164---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ --------10分 1143153164A ---⎡⎤
⎢⎥∴=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
-------------------11分 六、对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：
[]1212012120,211110515131210515A b λλ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
--------2分
1212
00515100001λ--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
-------------------4分
由此可见：
()1当1λ≠时， ()2R A =，[](),3R A b =
此时原方程组无解。

-------------------5分
()2当1λ=时，()[](),24R A R A b ==<（未知量的个数）
此时原方程组有无穷多个解。

-------------------6分
当1λ=时，阶梯形矩阵为：121201303105151051510000000000---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
----7分
求得非齐次方程的一个特解和对应齐次方程的基础解系：
1010η*
⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 13150ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 23051ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
-------------------10
分
一般解是：1122x k k ηξξ*=++（12,k k 为任意实数） ---------11分
七
、
1
211
2
1
1
5
3
E A λλλλ----=-+--=
()()()2110λλλ-+-=
------2分
解得特征值为：12λ=，21λ=，31λ=- ---------3分 对应于12,λ=根据()0E A X λ-=，有
123123123204050x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，即1323
30x x x x x
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 取31x =，则易求得121,0x x ==。

得基础解系为()1,0,1'，
∴A 的属于特征值12λ=的全部特征向量为()11,0,1k '，
（其中1k 为任意非零常数） ---------6分 对应于21,λ=根据()0E A X λ-=，有
231231232030520x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，即12
223
22x x x x x x
=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩ 取21x =，则易求得131,2x x ==-。

得基础解系为()1,1,2'-
∴A 的属于特征值21λ=的全部特征向量为()21,1,2k '-
（其中2k 为任意非零常数） ---------9分
对应于31,λ=-根据()0E A X λ-=，有
123123
1
232200540x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，即13
23331434x x x x x x ⎧
=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩ 取34x =，则易求得131,3x x ==-。

得基础解系为()1,3,4'-
∴A 的属于特征值31λ=-的全部特征向量为()31,3,4k '-
（其中3k 为任意非零常数） ---------12分
八、 1
2
3||(1)(2)00,1,2E B λλλλλλ
λ-=--=⇒=== ---------2
分
A 与
B 相似，∴E A E B λλ-=- ---------4分
当10λ=时，有()2
0E A λαβ-=-=，
即0αβ-= ---------()1 ---------5分 当21λ=时，有20E A λαβ-=-=，
即0αβ= ---------()2 ---------6分 当32λ=时，有()2
0E A λαβ-=-+=，
即0αβ+= ---------()3 ---------7分 由()1、()2、()3知：0αβ== ---------9分
九、由B E AB =+知()E A B E -= ---------2
分
从而E A -可逆，()1
B E A -=- ---------3分 由
C A CA =+知()C E A A -=，()1
C A E A -=- ---------5分 从而()()1
1
B C E A A E A ---=---
()()1
E A E A E -=--= ---------7分。