线性代数期末考试试卷+答案合集(20200412011417)
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分,共 25 分)1 3 1 1.若0 5 x 0,则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。
x1x2x303.已知矩阵A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4.已知矩阵A为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。
5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。
二、选择题(每小题 5 分,共 25 分)6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?()A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值()0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是()A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为()1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 .已知矩阵 A, 其特征值为()51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题(每小题 10 分,共 50 分)1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E,求。
a1 12212. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关?111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时,线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解,无解和有无穷多解?当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末测试题及其答案

线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题5分,共25分1. 若022150131=---x ,则=χ__________; 2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵;4.已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A ;5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A ;二、选择题 每小题5分,共25分6.已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值A.3B.-2C.5D.-58.设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是 A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9.过点0,2,4且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为 A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10.已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为 A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 每小题10分,共50分11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T=-)(, 求X ;12.问a 取何值时,下列向量组线性相关 123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭;13. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解 当方程组有无穷多解时求其通解;14. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示;15.证明:若A 是n 阶方阵,且,I AA =T,1-=A 证明 0=+I A ;其中I 为单位矩阵 线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5.解析:采用对角线法则,由002)5(03)2(51=----++-⨯⨯x x 有5=x . 考查知识点:行列式的计算. 难度系数:2.1≠λ.解析:由现行方程组有)1(22211111111-=-+==λλλλλD ,要使该现行方程组只有零解,则0≠D ,即1≠λ.考查知识点:线性方程组的求解 难度系数: 3.n n s s ⨯⨯, 解析;由题可知ns ij c C ⨯=)(,则设D CB AC ==,可知D 的行数与A 一致,列数与B 一致,且A 与B 均为方阵,所以A 为s s ⨯阶矩阵,B 为n n ⨯阶矩阵.考查知识点:n 阶矩阵的性质 难度系数:4. 24解析:由题可知,A 为3阶矩阵且3=A ,则24223==A A .考查知识点:矩阵的运算 难度系数:5. E A 3-解析:由032=--E A A 有E E A A =-)3(,此时E A A 31-=-.考查知识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:二、选择题 6. A解析:由题可知,该二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5212111t t ,而0455212111,0111,1122>--=-->-=>t t t t t t t,可解得054<<-t ;此时,该二次型正定;考查知识点:二次型正定的判断 难度系数7. C解析:由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5,可解得x=-5; 考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数: 8. D解析:由题可知,A 为n 阶可逆矩阵,则A 的行向量组线性无关; 考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:9. A.解析:由题可知,两平面法向量分别为)3,1,0(),2,0,1(21-==n n ,则所求直线的方向向量为k j i n n s ++-=⨯=3221;所以所求直线为14322-=-=-z y x ; 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程难度系数:10. C.解析:由08215132=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-λλλλλE A ,可解得特征值为4,221=-=λλ 考查知识点:求解矩阵的特征值难度系数:三、解答题11. 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------121012100120001][1210012100120001][1234012300120001100021003210432111)()()(B C B C B C TT T E X B C ,, 考查知识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解:)22()12(81212121212121||2321-+=------==a a a a aa a a A ,, 当||A =0时即21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ,,线性相关;考查知识点:向量组的线性相关性 难度系数:13.解:①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解;②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 考查知识点:线性方程组的求解难度系数:14.解:由题可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a A ,,,则()34321=a a a a r ,,,,其中321a a a ,,构成极大无关组,且线性关系为 321422a a a a ++-=考查知识点:向量组的秩与 最大无关组 难度系数:15.证明:由题可知,()()A I TA I A I A AA A I A TT+-=+-=+=+=+∴()02=+A I ,即()0=+A I 考查知识点:n 阶方阵的性质 难度系数:。
期末线代试题及答案

期末线代试题及答案一、选择题(每题2分,共50分)1. 设A为3阶方阵,满足A^2 = I,则A的行列式的值是多少?A. -1B. 0C. 1D. 2答案:C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1),V2 = (2, -1, 3),V3 = (-1, 2, 0),则V1, V2, V3是否线性相关?A. 相关B. 不相关答案:B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1),V2 = (2, 1, 3),V3 = (-1, 4, 5),则V1, V2, V3是否线性相关?A. 相关B. 不相关答案:A4. 设A为3阶方阵,满足行列式det(A) = 3,则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少?A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案:C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],则A的秩是多少?A. 2B. 3C. 1D. 0答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 设A为3阶方阵,满足A^T = 2A,则A的特征值之和是________。
答案:62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],则A的伴随矩阵的元素之和为________。
答案:03. 设向量组V1 = (1, 0, 1),V2 = (2, 1, 3),V3 = (-1, 0, -2),则V1, V2, V3的秩为________。
答案:24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0,则A的特征值对应的特征向量分别为________。
答案:(2, 0, 1),(0, 1, -1),(1, 1, -1)5. 设矩阵A = [1 2, 3 4],则A的迹为________。
答案:5三、解答题(每题20分,共60分)1. 设A为2阶方阵,满足det(A) = 3,求A的伴随矩阵。
答案:设A = [a b, c d],则伴随矩阵的元素为:A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为:A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3],求A的特征值和特征向量。
线性代数期末试题

线性代数试题(附答案)一、填空题(每题2分,共20分)1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。
二、单项选择(每小题2分,共12分)1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( )A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( )A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002( ) A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题(每小题9分,共63分)1.计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2.当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解?在方程组有解时,用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线代期末试题及答案

线代期末试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 在三维向量空间中,以下向量中线性无关的是:A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案:D2. 设矩阵A = [a b; c d],若行列式det(A) = 0,则以下哪个等式成立?A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案:A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9],则A的逆矩阵为:A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案:A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3],B = [1 2; 3 4],则A与B的乘积为:A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案:B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6),则a与b的内积为:A) 32B) 22C) 14D) 6答案:C6. 若向量a = (1, 2, 3),b = (4, -2, 5),c = (3, 1, -2),则以下哪个等式成立?A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案:B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4],则A的特征值为:A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案:A8. 设向量a = (1, 2, 3),b = (4, 5, 6),c = (2, 1, 3),则向量集合{a, b, c}的维数为:A) 1B) 2C) 3D) 4答案:C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4],A的转置矩阵为:A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案:A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4],则A的伴随矩阵为:A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案:A二、计算题(共70分)1. 设矩阵A = [1 2; 3 4],求A的逆矩阵。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A 、B 试卷)A 卷一、填空题 (将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)。
1、设1D =3512, 2D =345510200,则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、,已知A =116,且=B ()1-12A 2A --,则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,且32B=A -5A ,则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =,若其中E 是单位阵,那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=,()21,2,3α=,()31,3,t α=线性相关,则t=_____________。
二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案的番号填入下表内,每小题2分,共20分)。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立,则x 是:课程代码: 适用班级:命题教师:任课教师:(A )-2或3; (B )-3或2; (C )-2或-3; (D )3或2; 2、设A 、B 均为n 阶方阵,则下列正确的公式为: (A )()332233A B+3AB +B A B A +=+; B )()()22A B A+B =A B --; (C )()()2A E=A E A+E --; (D )()222AB =A B ; 3、设A 为可逆n 阶方阵,则()**A=?(A )A E ; (B )A ; (C )nA A ; (D )2n A A -;4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵:(A )100002⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B )100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭; (C )011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (D )010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;5、下列命题正确的是:(A )如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=,则1,α2α,,m α 线性无关; (B )向量组1,α2α,,m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示,则1,α2α,,m α线性相关;(C )向量组1,α2α,,m α 的一个部分组线性相关,则原向量组本身线性相关; (D )向量组1,α2α,,m α线性相关,则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线性代数期末测试题及其答案

线性代数期末测试题及其答案一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题5分,共25分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵ns ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、选择题 (每小题5分,共25分)6.已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定?( )A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t7.已知矩阵BA xB A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值( )A.3B.-2C.5D.-58.设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是( ) A. 0≠A B.1≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9.过点(0,2,4)且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为( )A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y xD.24322+=+=z y x10.已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为( ) A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 (每小题10分,共50分)11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(, 求X 。
线性代数期末考试试卷+答案

大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,则A A =-1。
( )5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα,,, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
线性代数期末考试试卷答案合集精修订

线性代数期末考试试卷答案合集SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数期末考试试题及答案

第一学期一.填空题(每小题3分,共15分)1.()013121221110⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭()15202. 若n 阶方阵A 的秩 r n <, 则A = 0 .3.设0=x A ,A 是5阶方阵,且=)(A R 3, 则基础解系中含 2 个解向量.4.若3阶矩阵A 的特征值为2,2,3,则=A 12 .5.设21,λλ是对称阵A 的两个不同的特征值,21,p p 是对应的特征向量,则=],[21p p0 . 二.选择题(每小题3分,共15分)1.若A 为3阶方阵,且2=A ,则2A -=( C ). A.-4 B.4 C.-16 D.162.设B A ,为n 阶方阵,满足等式O AB =,则必有( B ).A.O A =或O B = B.0=A 或0=B C. O B A =+ D.0=+B A3.设n 元线性方程组b x A=,且n b A R A R ==),()( ,则该方程组( B )A.有无穷多解 B.有唯一解 C.无解 D.不确定 4.设P 为正交矩阵,则P 的列向量( A ) A .组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量 5.若二次型()f '=x x Ax 为正定, 则对应系数矩阵A 的特征值( A )A.都大于0; B.都大于等于0; C.可能正也可能负 D.都小于0三.(8分)计算行列式2111121111211112D =的值. 解.21234314211111111111121112110100555112111210010111211120001r r D r r r r r r r r -=+++-=- 四.(8分)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100210321A ,求1-A .解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 010 001 100210321) (E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100 010 021100210101221r r1323100 121010 0122001 001r r r r -⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1002101211A (或用伴随矩阵)五.(8分)求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--03203 0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解.解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=321131111111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→210042001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000021001111 通解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x ,基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111ξ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12012ξ ,通解为2211ξξ k k +,(21,k k 为任意常数)六.(8分)已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32111α ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11112α ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=53313α ,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组表示.解:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==513312311111,,321ααα A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→220110220111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110201 极大无关组21,αα,且2132ααα -=.七.(10分)讨论λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++2321321321)1( )1(0)1( λλλλλx x x x x x x x x(1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解.解:法1 )3(1111111112+-=+++=λλλλλA(1) 当0≠λ且3-≠λ时,有0≠A ,方程组有惟一解;(2)当3-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=93 0 112121211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→600033300211,3)(2)(=<=A R A R ,所以无解;(3)当0=λ时,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→000000000111A , 1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解.法2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=220001111111110111λλλλλλλλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+→2)2(000111λλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+→)1()3(0000111λλλλλλλλ 八.(8分)用配方法将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形,并求可逆的线性变换.(或上届题?)解:232223312132162)44(),,(x x x x x x x x x f --++=232223162)2(x x x x --+=,令⎪⎩⎪⎨⎧==+=33223112x y x y x x y ,即⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311 2y x y x y y x ,所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100010201y y y x x x , 变换矩阵,100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C .01≠=C 标准形23222162y y y f --= .九.(10分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400032020A 的特征值与最大特征值所对应的特征向量.解:)1()4(2+--=-λλλE A ,特征值.1,4321-===λλλ当421==λλ时,解0)4(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211ξ ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002ξ ,A 的对应于421==λλ的全体特征向量为2221ξξη k k +=, 0(2221≠+k k ).十.(每小题5分,共10分)1. 设向量组321,,ααα线性无关,讨论向量组 112123,,αααααα+++的线性相关性. 解:令112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0k k k k k k ααα+++++=因为321,,ααα 线性无关,所以有123223 000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,由于方程组只有零解,故112123,,αααααα+++线性无关。
大学线性代数期末试卷及答案

大学线性代数期末试题一、填空题(每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=TA A ( )。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα,,, 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
线性代数期末试题及答案

8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题(每小题2分,共20分)1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ,则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ,则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ,*A 是A 的伴随矩阵,则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵,则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ,且秩(A )=2,则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系,则=)(A r .二、选择题(每小题2分,共20分)1.已知101yxy x aA =,则A 中元素a 的代数余子式11A 等于( ).A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为1,1,2,3-,则=A ( ).A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵,且2222)(BAB AB A ++=+,则必有( ).A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ).A.0=+B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ,),,(2γβα=B ,其中γβαα,,,21均为3维列向量,若2=A ,1-=B ,则=+B A ( ).A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组,,)(r A r =下列命题中正确的是( ).A .当n m =时,B AX =有唯一解 B .当n r =时,B AX =有唯一解C .当m r =时,B AX =有解D .当n r <时,B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ).A .1或2B .1或-2C .-1或2D .-1或-28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中( ).A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α,则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 ( ).A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解,21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系,21,k k 为任意常数,则方程组b AX =的通解可表成( ).A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题(每小题2分,共20分)1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题(每小题2分,共20分)1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、(8分)解:3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、(10分)解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=,得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、(12分)解:将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵:22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以,⑴ 当1k≠-且4k ≠时,()()3r r ==A A ,此时线性方程组有唯一解.⑵ 当1k =-时,()2=A r ,()3=A r ,此时线性方程组无解.⑶ 当4k=时,()()2==A A r r ,此时线性方程组有无穷多组解.此时,原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此,原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、(10分)解:记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为:123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、(12分)解:(1).⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案线性代数一、填空题(每小题2分,共20分)1.如果行列式,则。
2.设,则。
3.设= 。
4.设齐次线性方程组的基础解系含有2个解向量,则。
5.A、B均为5阶矩阵,,则。
6.设,设,则。
7.设为阶可逆矩阵,为的伴随矩阵,若是矩阵的一个特征值,则的一个特征值可表示为。
8.若为正定二次型,则的范围是。
9.设向量,则与的夹角。
10. 若3阶矩阵的特征值分别为1,2,3,则。
二、单项选择(每小题2分,共10分)1.若齐次线性方程组有非零解,则().1或2 . -1或-2 .1或-2 .-1或2.2.已知4阶矩阵的第三列的元素依次为,它们的余子式的值分别为,则().5 .-5 .-3 .33.设A、B均为n阶矩阵,满足,则必有(). ..或 .或4.设是非齐次线性方程组的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是()A. B. C. D.5. 若二次型的秩为2,则(). 1 .2 . 3 . 4三、计算题 (每题9分,共63分)1.计算阶行列式2. 设均为3阶矩阵,且满足,若矩阵,求矩阵。
3.已知向量组和;已知可以由线性表示, 且与具有相同的秩,求a ,b 的值。
4. 已知向量组(1)求向量组的秩以及它的一个极大线性无关组;(2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
5. 已知线性方程组(1)a为何值时方程组有解?(2)当方程组有解时求出它的全部解(用解的结构表示).6. 设矩阵,矩阵由关系式确定,试求7.将二次型化为标准形,并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题(7分)已知3阶矩阵,且矩阵的列向量都是下列齐次线性方程组的解,(1)求的值;(2)证明:。
参考答案与评分标准1. 填空题1.-16; 2. 0;3.; 4. 1; 5.-4; 6. ; 7.;8.; 9. ; 10. 24。
二. 单项选择:1.C;2. A;3. D; 4.B; 5. C.三.计算题:1. 4分9分2.3分因为显然可逆 6分则 9分3. 3分即,且 5分那么,则 6分,即 9分4. 4分5分其极大线性无关组可以取为 7分且:, 9分5.当时,线性方程组有解 4分即,特解为, 6分其导出组的一般解为,基础解系为 8分原线性方程组的通解为为任意常数) 9分6. 由,得 2分4分7分9分7.= 2分= 4分令 6分即作线性变换 8分可将二次型化成标准形 9分四.证明题:因为,所以齐次线性方程组有非零解,故其方程组的系数行列式,所以 3分(2),,因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1,故,因而。
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)

线性代数期末考试试卷合集(共十一套)目录线性代数期末试卷及参考答案(第一套) .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案(第二套) .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷(第一套) ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷(第二套) ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷(第三套) ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷(A 卷) .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷(B 卷) .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷(C 卷) .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷(D 卷) .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷(E 卷) .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷(F 卷) (62)线性代数期末试卷及参考答案(第一套)一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =,则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ; (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11; (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ; (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .(21k k ,为任意常数) 2、设n 阶方阵A ,B 满足E AB =,则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ; (B )E B A =+ ; (C )1=A 或1=B ; (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2; (B ) 3; (C ) 4; (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示,则正确的是 ( )(A )当s r >时,向量组A 必线性相关; (B ) 当s r <时,向量组A 必线性相关; (C )当s r >时,向量组B 必线性相关; (D ) 当s r <时,向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵,0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解,则b x A =有唯一解;(B ) 若b x A =有无穷多解,则0=x A 有非零解;(C ) 若n m =,则b x A=有唯一解;(D ) 若A 的秩m A R <)(,则b x A=有无穷多解.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ,当c b a ,,满足 时,A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3,则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵,且秩2=)(A R ,则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1,则行列式1117110111------z y x = . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关,则常数x= .三、计算题(本题共6小题,共50分)1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、(8分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、(8分)设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、(10分)设向量组A :.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、(8分)计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、(10分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x , 问:当参数b a ,取何值时,(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 1、设矩阵B A ,为3阶方阵,且42==B A ,,则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,,若AC AB =,且O A ≠,则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解,则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题(本题共2小题,每小题5分,共10分) 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862,证明:(1)E A 3+是可逆矩阵,并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵.2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解,且,)(3-=n A R证明:030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系.参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠;2.91; 3. 3; 4. 23- ; 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分), 由R (A ) = 2知,⎩⎨⎧=-=--0201b a , ⎩⎨⎧=-=∴21b a ,一个最高阶非零子式3221-. 2.解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系:,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系:,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E -2A ) -1 A |A |=12(|A |E -2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101, B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解:aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+=)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ,此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ,此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ,此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1.证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962,即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆,且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知,E A E A E A TT T 333+=+=+)()(,故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(,所以E A 3+是正交矩阵.2. 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解,030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解;又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个; 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关, 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案(第二套)一、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ,则当k = 时,.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322,则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ,则 =x . 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ,多项式x x x f 2)(2+=,则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关,则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设A ,B 是任意n 阶方阵(2≥n ),则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+; (B ) 22B A B A B A -=-⋅+; (C ) B A B A ⋅=; (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中,①A 可逆 ; ②A 为列满秩(即A 的秩等于A 的列数); ③A 的列向量组线性无关; ④ O A ≠ ;可使推理“ 若O AB =, 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ; (B ) 2个; (C ) 3个; (D ) 4个.3、向量组s ααα,,,21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ ,,,21线性表示, 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ,,,21线性无关;(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤,向量组s j βββα,,,,21线性相关;(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤,向量组s j βββα,,,,21线性无关;(D ) 向量组s ααα,,,21与向量组s βββ ,,,21等价. 4、设A ,B 均为3阶方阵, 3)(=A R ,2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1; (B ) 2; (C ) 3; (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵,r A R =)(,则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解; (B ) 当n m r == 时有唯一解;(C ) 当n m = 时有唯一解; (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题(本题共6小题,共54分)1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、(9分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、(8分)设3阶方阵C B A ,,满足方程 A B A C =-)2(,试求矩阵A ,其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、(10分)设向量组A :.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、(8分)计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、(12分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202, 问:当参数b a ,取何值时,(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题(本题共2小题,每小题5分,共10分)1、若向量321,,ααα线性无关, 求证 2132αα +,324αα +,135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量,证明:(1) A A =2; (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-; 2. E A +2; 3. 3±; 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ; 5. 6 ; 6. n b A R A R <=),()(; 7. -1 ,-3 ,0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分), 由R (A ) = 2知,⎩⎨⎧=-=-03039λλ,3=∴λ (2分), 一个最高阶非零子式5221 .2.解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系:,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系:,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 (初等变换步骤不一,请酌情给分)所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解:)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234=xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a , (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R , 此时方程组有唯一解; (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ,此时方程组无解;(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ,此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1.证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=,022 可逆, 又321,,ααα线性无关,所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR , 即 2132αα +,324αα +,135αα+ 也线性无关.2. 证明: (1) η为单位向量,1=∴ηηT ,A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知,A A =2, 即 O E A A =-)(,3)()(≤-+∴E A R A R ,η为单位向量,O E A T ≠-=-∴ηη , 1)(≥-E A R ,从而32)(<≤A R , 所以0=A , 故A 不可逆.另一证法: 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ,的非零解,为线性方程组0=∴ηηA所以0=A , 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷(第一套)共6 页第1页课程所属部门:基础部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷(第二套)共6 页第1页课程所属部门:基础部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科南京工程学院期末试卷(第三套)共6 页第1页课程所属部门:数理部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科线性代数 期末试卷(A 卷)一、(本大题共8小题,每题3分,共24分)1. 设B A ,均为n 阶方阵,则下面各式正确的是----------------------------------( C ) (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------( C ) (A) 若02=A ,则0=A (B) 若A A =2,则0=A 或E A = (C) 若E A =,则E A n = (D) 若E A =2,则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号,则--------------------------------------------------( D ) (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321,则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------( B ) (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零,则该方程组------------------------------( D ) (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6.已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的,则t =-----( B )(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵,则下列说法中正确的是--------------------------------------( B ) (A) 若A 可对角化,则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵,则A 可对角化 (C) 若A 可对角化,则A 必可逆 (D) 若A 可逆,则A 可对角化二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分)1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案 A 卷一、填空题:(每空3分, 共 15分)1、在五阶行列式中,项4335521421a a a a a 的符号取 正2、A 为一个四阶方阵,且||=3,A k R ∈,则|k |=A 43k3、设A 为一个三阶方阵,其特征值为1,2,3,则||=A 6 ,则112233++=a a a 64、设=,,T T Tαβγ==(2,1,2)(1,2,2)(2,2,t )线性相关,则t =38二、单项选择题:( 每小题 3 分, 共 15分 )1.设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3,D 1=111112132121222331313233737373a a a a a a a a a a a a +++,则D 1的值为( C ) (A) -21(B) –9 (C) 9(D)212、设n 元齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=AX 有非零解的充分必要条件是( B )(A )n r =; (B )n r <; (C )n r >; (D )n r ≥3、设,A B 均为n 阶矩阵,则( D )(A) A B A B +=+ (B) AB BA = (C) ()()R AB R BA = (D)AB B A =4、下面的陈述中,正确的选项是( D )(A)向量组中,整体向量线性相关,则部分向量必线性相关 (B)向量组中,部分向量线性无关,则整体向量必线性无关(C)向量组中,整体向量线性无关,则部分向量必线性相关 (D)向量组中,部分向量线性相关,则整体向量必线性相关5、设n n A ⨯是n 阶可逆矩阵,*A 是A 伴随矩阵,则( A ).(A )1-*=n AA ; (B )A A =*;(C )nA A =*; (D )1-*=A A .三、(10分)计算n 阶行列式121212333n n n x x x x x x x x x +++。
线性代数期末考试试卷及答案

一、 填空题(每空3分,共15分)1、设A 为n 阶方阵,且3A =,则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则A *= 。
(其中A *是A 的伴随矩阵) 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =,则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分,共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是( )(A )1k ≠ (B )3k ≠-(C )1k ≠且3k ≠- (D )1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =,则121122212020021a a a a --的值为( ) ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵,且0AB =,则下列一定成立的是( )()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是( )()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时,1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=( ) (A )d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(B )1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(C )1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(D )1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、(8分)计算行列式411102*********23D -=-四、(11分)求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组,并将其余向量用此最大无关组线性表示。
线性代数期末考试试卷 答案合集

2
0
10 0
1 0
4 16
2
16
0 3 1 7
0 3 1
7
0 0 13 13
1 0 0 2
0 1 0
2
0 0 1 1
0 0 0
0
则 ra1, a2, a3, a4 3 ,其中 a1, a2, a3 构成极大无关组, a4 2a1 2a2 a3
7.
1 0 0 E A 0 1 0 ( 1)3 0
1. ×
2. √
三、单项选择题
1. ③
2. ③
四、计算题
1.
3. s s , n n
4. 相关
3. √ 3. ③
4. √ 4. ②
5. × 5. ①
共 3 页第 4页
大学生校园网— 线性代数 综合测试题
xa b c d xabcd b c d
a xb c
d xabcd xb c
五、解答题(本题共 3 小题,每小题 12 分,满分 32 分。解答应写出文字说明或演算步骤)
2 0 0
13、设
A
0
3
2
,求一个正交矩阵
P
使得
P
1
AP
为对角矩阵。
0 2 3
14、已知方程组
x1 x2 x1 2x2
x3 ax3
x1 4x2 a 2 x3
0 0 与方程组 x1 2x2 x3 a 1有公共解。 0
1 x 1 1 1
9、计算行列式 D 1 1 x 1
1
1 1 1 y 1
1 1 1 1 y
10、计算 n 阶行列式
x1 3 x2 xn
Dn
x1
x2 3 xn
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大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1311.若005x,则__________。
122x 1 x2x32.若齐次线性方程组x1 x2x30只有零解,则应满足。
x 1 x2x33.已知矩阵A,B,C(c ij)sn,满足ACCB,则A与B分别是阶矩阵。
a 11 a1 24.矩阵A aa的行向量组线性。
2122a 31 a322AE5.n阶方阵A满足30A,则1 A。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1.若行列式D中每个元素都大于零,则D0。
()2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
()3.向量组a1,a2,,a中,如果a1与a m对应的分量成比例,则向量组a1,a2,,a s线性相关。
m()01004.10001。
()A,则AA000100105.若为可逆矩阵A的特征值,则1A的特征值为。
()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1.设A为n阶矩阵,且A2,则T AA()。
①n2②2n③2n1④412.n维向量组1(3sn)线性无关的充要条件是()。
s,2,,①1,2,中任意两个向量都线性无关,s②1,2,,s中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1,2,,s中任一个向量都不能用其余向量线性表示共3页第1页大学生校园网—线性代数综合测试题④1,2,,s中不含零向量2.下列命题中正确的是()。
①任意n个n1维向量线性相关②任意n个n1维向量线性无关③任意n1个n维向量线性相关④任意n1个n维向量线性无关3.设A,B均为n阶方阵,下面结论正确的是()。
①若A,B均可逆,则AB可逆②若A,B均可逆,则AB可逆③若AB可逆,则AB可逆④若AB可逆,则A,B均可逆4.若1,,,是线性方程组A0的基础解系,则1234是A0的()234①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分,共63分)xabcd6.计算行列式a xbcdabxcd。
abcxd解·xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x1bxcd00x01bcxd000x3017.设ABA2B,且A,求B。
110014211522解.(A2E)BA ( 1A2E)221,B(A2E)1A 432111223共3页第2页大学生校园网—线性代数综合测试题110021340110 设B, 00110213C且矩阵满足关系式0021'X(CB)E,求。
000100025.问a取何值时,下列向量组线性相关?121a211,a,1232211a22。
x 1 x2x336.为何值时,线性方程组x1 x2x32有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多x 1 x2x32解时求其通解。
①当1且2时,方程组有唯一解;②当2时方程组无解211③当1时,有无穷多组解,通解为0c11c20011213490107.设.,,,1求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向23411370317量用该极大无关组线性表示。
100A,求A的特征值及对应的特征向量。
0107.设021五、证明题(7分)若A是n阶方阵,且AAI,A1,证明AI0。
其中I为单位矩阵。
共3页第3页×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题8.52.13.ss,nn4.相关8.A3E二、判断正误3.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x1bxcd00x01bcxd000x2.211522(A2E)BA(1A2E)221, B ( A 2E)1A 4 3 2 1112233.12341000CB 012132,(C B')231210 0001432110001000CB '1 21121,XEC B'1 2112101210121共3页第4页9.11a221112 a1,a,aa(2a1)(2a2)当2322811a221a或a1时,向量组a1,a2,a3线性相2关。
10.①当1且2时,方程组有唯一解;②当2时方程组无解211③当1时,有无穷多组解,通解为0c11c200111.121312131213(a1,a2,a3,a4) 4191310713442101416216 031703170013131002010200110000则3ra1,a,a,a,其中a1,a2,a3构成极大无关组,a42a12a2a323412.1003EA010(1)002100010特征值11,对于λ1=1,231EA000,特征向量为k0l002001五、证明题AIAAAAIAIAIA∴2IA0,∵IA0共3页第5页大学生校园网—线性代数综合测试题一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A,B为n阶方阵,满足等式AB0,则必有()(A)A0或B0;(B)AB0;(C)A0或B0;(D)AB0。
2、A和B均为n阶矩阵,且222(A B)A2ABB,则必有()(A)AE;(B)BE;(C)AB.(D)ABBA。
3、设A为mn矩阵,齐次方程组Ax0仅有零解的充要条件是()(A)A的列向量线性无关;(B)A的列向量线性相关;(C)A的行向量线性无关;(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()(A)A的秩小于n;(B)A0;(C)A的特征值都等于零;(D)A的特征值都不等于零;二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式A5,A是A的伴随矩阵,则A=。
6、A为nn阶矩阵,且220AAE,则1 (A2E)。
121 x117、已知方程组23 a2x3无解,则a。
21a2 x348、二次型222fxxxxxtxxxxx是正定的,则t的取值范围(,,)23221231231213是。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)1x1119、计算行列式 D 11x11 111y1 1111y10、计算n阶行列式共3页第6页大学生校园网—线性代数综合测试题x3xx12nD n x x3x12nxxx12n3四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。
写出证明过程)11、若向量组1,2,3线性相关,向量组2,3,4线性无关。
证明:(1)1能有2,3线性表出;(2)4不能由1,2,3线性表出。
12、设A是n阶矩方阵,E是n阶单位矩阵,AE可逆,且1 f(A)(EA)(EA)。
证明(1)(E f(A))(EA)2E;(2)f(f(A))A。
五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。
解答应写出文字说明或演算步骤)20013、设A,求一个正交矩阵P使得0321PAP为对角矩阵。
023x 1 x2x314、已知方程组x1 2x2a x30与方程组x12x2x3a1有公共解。
x 1 4x2a2x3求a的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知1,2,3是它的三个解向量,且共3页第7页21 31,42323 54求该方程组的通解。
解答和评分标准一、选择题1、C;2、D;3、A;4、A。
二、填空题5、-125;6、;7、-1;8、23 t。
5三、计算题9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:xx00D 11x1100yy1111yx000第二列减第一列,第四列减第三列得: D 1x1000y0(4分)101y按第一行展开得x10Dx0y001y按第三列展开得x022Dxyxy1y。
(4分)n10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子xi 3,再通过行列式的变换化i1为上三角形行列式共3页第8页1 x x2n nDxnii131x3x2n (4分)1xx32n1 x x2nnxi3030i1003nn133x(4分)ii1四、证明题11、证明:(1)、因为2,,线性无关,所以2,3线性无关。
,33又1,2,3线性相关,故1能由2,3线性表出。
(4分)r(,,)3,123(2)、(反正法)若不,则4能由1,2,3线性表出,不妨设4kkk。
112233由(1)知,1能由2,3线性表出,不妨设1tt。
1223所以4k(tt)kk,112232233这表明2,,线性相关,矛盾。
3412、证明(1)1(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)](EA)1(E A)(E A)(EA)(E A)(E A)(E A)2E(4分)1(2)f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]共3页第9页大学生校园网—线性代数综合测试题由(1)得:11[E f(A)](E A),代入上式得211111f(f(A))[E(EA)(EA)](EA)(E A)(E A)(EA)(EA)22211(EA)(EA)A(4分)22五、解答题13、解:(1)由EA0得A的特征值为11,22,35。
(4分)(2)11的特征向量为11,1122的特征向量为20,。
(3分)35的特征向量为311(3)因为特征值不相等,则1,2,3正交。
(2分)(4)将010 111,2,3单位化得p11,p20,p31(2分)22101 010(5)取11Pp,p,p0123221122100(6)1PAP(1分)02000514、解:该非齐次线性方程组Axb对应的齐次方程组为Ax0共3页第10页大学生校园网—线性代数综合测试题因R(A)3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。
(5分)另一方面,记向量2()1,则23AA(2123)2A1A2A32bbb0T,就是它的一个基础解系。
根据非齐次线性方程组解的结构直接计算得(3,4,5,6)0知,原方程组的通解为3243xk1k,kR。
(7分)546515、解:将①与②联立得非齐次线性方程组:x 1 x2x30,x 1 2x2a x30,x 1 4x22a x 3 0,x 1 2x2x3a1.若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得:11101110A 1124a2a10 (aa2)(1a 1).(4分)121a1001aa11°当a1时,有r(A)r(A)23,方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解,此时10100100A,000000001则方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为:,1共3页第11页大学生校园网—线性代数综合测试题1所以①与②的全部公共解为k0,k为任意常数.(4分)12°当a2时,有r(A)r(A)3,方程组③有唯一解,此时10000101A,0011000000故方程组③的解为:,即①与②有唯一公共解x.(4分)1111大学生校园网—V v S c ho o l.CN线性代数线性代数习案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。