5.4.3 分式方程

合集下载

5.4.3分式方程

八年级下册导学案
编号 0682067
八年级数学学科导学案
备课人：李宁张秀梅学校：红中集体备课审核人：
批注栏
课题
学习目标学习重点
列分式方程解应用题.。
5.4.3 分式方程
1. 能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤。
学习难点
根据题意，找出等量关系，正确列出方程。
课堂导学过程设计预习案一、温故知新
1
八年级下册导学案

编号 0682067
【试一试】已知甲、乙两站相距 828 千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙
站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍，直达快车比普通快车晚出发 2 个小时，结果比普通快车早 4 个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
训练案二、巩固提升
五、课堂小结：通过这节课的学习你有什么收获?
六、作业布置
课本 P130 题 5.9 第 1、3 题.
反思
2
3 4 x 1 x
②： 1、阅读教材 129 页。 2、解方程：①：
10 5 2 2x 1 1 2 x 探究案
二、导学释疑例 1、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：工作总量：甲输入的学生人数=乙输入的学生人数（都是名学生）工作效率：甲的输入速度=乙的输入速度倍工作时间：甲输入的时间=乙输入的时间 — 分钟（此处时间单位宜化为分钟）第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为 x，并把相关量用 x 表示出来：设甲乙分钟能输入 x 名学生的成绩，则甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩。第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：第五步：（解）解方程得：第六步：（检验）答：。例 2、一队学生去校外参观，他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

5.4.3 分式方程的应用

3．(4 分)(2015· 乌鲁木齐)九年级学生去距学校 10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为 x km/h，则所列方程正确的是( C ) 10 10 1 A. ＝－ x 2x 3 10 10 1 C. ＝＋ x 2x 3 10 10 B. ＝－20 x 2x 10 10 D. ＝＋20 x 2x
10．A，B 两地相距 1 350 km，两辆汽车从 A 地开往 B 地，大汽车比小汽车早出发 5 小时，小汽车比大汽车晚到 30 分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为 5∶3，求两车的速度．设大汽车的速度为 3x km/h，小汽车的速度为 5x km/h，则所列方程是( A ) 1 350 1 1 350 A. ＋＝＋5 3x 2 5x 1 350 1 1 350 C. －＝＋4 3x 2 5x 1 350 1 1 350 B. －＝－5 3x 2 5x 1 350 1 1 350 D. ＋＝－5 3x 2 5x
价格为 x 元 / 立方米，则所列方程为
50 26 －＝8 （1＋20%）x x _________________________________________ ．
三、解答题(共40分) 13．(10分)(2015· 十堰)在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承
7．(6分)一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字
对调，所得数与原数之比为4∶7，求原数． 63
8．(10分求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．

八年级数学下册5.4.3分式方程教案(新版)北师大版(1)【精品教案】

第五章分式与分式方程5.4.3 分式方程【教学内容】列出分式方程解决简单的应用题【教学目标】知识与技能经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；掌握列分式方程解应用题的一般步骤；会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识；过程与方法提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识；对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视情感、态度与价值观让学生经历操作、实验、发现、确认等数学活动，体会数学观点，培养学生的数学意识。

【教学重难点】重点：列出分式方程解决简单的应用题难点：对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视【导学过程】【知识回顾】列方程解应用题的一般步骤【情景导入】1、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）：审清题意；（2）：设未知数；（3）：找出等量关系；（4）：列出分式方程；（5）：解这个分式方程；（6）：检验，既要验证根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7）：写出答案。

2、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的区别：列分式方程解应用题时要注意，既要验证求出的未知数的值是否是所列分式方程的根，又要检验根是否。

【新知探究】探究一、甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？解题方案：解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（）个玩具，①甲加工90个玩具所用的时间为_______，乙加工120个玩具所用的时间为_______；②根据题意,列出相应方程__________________；③解这个方程得___________；④检验： ____________；⑤答：甲每天加工________个玩具，乙每天加工_________个玩具。

探究二、例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元。

分式方程知识点归纳

分式方程知识点归纳分式方程是指含有分子和分母的方程，分子和分母分别为代数式或数字，并且方程中包含有未知数的方程。

下面将分式方程的知识点进行归纳，以便更好地理解和应用分式方程。

一、基本概念：1.分式方程的定义：含有未知数、带有分式形式的等式称为分式方程。

2.分式的定义：分式是由一个或多个代数式构成的比。

二、分式方程的解的性质：1.分式方程的等价方程：分式方程可以转化为多项式方程进行求解，这样可以得到等价的方程，两者的解是相同的。

2.分式方程的根的性质：一个分式方程的解，如果使得分式方程中的分子等于0，则该解就是方程的根。

三、分数的性质：1.分式的约分：分式的分子和分母同时除以它们的公因式，可以得到分式的约分式。

2.分式的通分：将不同分母的分式通过找到它们的最小公倍数，转化为具有相同分母的等价分式。

3.分数的四则运算：分数之间可以进行加减乘除的运算，需要注意分子和分母的相应运算。

四、分式方程的解法：1.乘法解法：对分式方程的两边同乘以一个使得方程中的分母消去的数，从而化简为一个多项式方程。

2.加减消去解法：对分式方程的两边同乘以使得方程中的分母消去的数，然后将方程中的分式整理为一个多项式，并进行求解。

3.代入解法：将分式方程中的一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再代入到分式方程中，得到一个不含有代入的未知数的分式方程，进而进行求解。

4.通分解法：对分式方程的两边同时乘以方程中所有的分母的积，将分式方程化简为一个多项式方程进行求解。

五、分式方程的解的判定：1.当方程的分式的分子为0时，方程的解为0。

2.当方程的分式的分子和分母存在着相同的因式时，方程的解为使得分式方程中的分子等于0的值。

3.当分式方程的分母的值等于0时，方程没有解。

六、应用：分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学和金融学中，经常需要使用分式方程来解决实际问题。

比如计算财务利润率、财务收益率、物体的运动速度等。

七、常见的分式方程：1.一次方程：分式方程的分子和分母都是一次函数的方程。

北师大版八年级数学下册：分式方程课件

所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手，戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意，得：
1
1
x
15 x
5.
3
解得：
x3 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件！
在“火神山”医院的建造过程中，有两个工程队共同参其中一项搬运工程，
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半天天，总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间？
解:设小亮每小时各加工x个，则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意，得：
150 120 . x 10 x

5.4.3分式方程

榆林市十一中学生自主学习方案班级组号姓名【自主学习】1.列分式方程解实际问题的一般步骤是什么？2.列分式方程解实际问题的关键是什么？3.课本中的两个问题都是将实际问题转化为数学问题，经历一个建立数学模型的过程，这体现了数学中的什么思想？【讨论展示】讨论1：甲做90个机器零件所用的时间与乙做120个机器零件所用的时间相等，又已知平均每小时甲、乙两人一共做了35个零件，求甲、乙每小时各做多少个？讨论2：:某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少?学年2015-2016 科目八年级数学(下) 课题 5.4.3分式方程授课时间主备人常伟使用人八年级师生课型新授课审核张慧学案序号 39学习目标1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．2.经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程．重点 1.审清题意，寻找等量关系，将实际问题转化为分式方程的数学模型。

2.根据实际意义检验解的合理性。

难点将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．教师寄语认真阅读教材P129页，尝试完成导学案.我的课堂我做主，我的学习我主动，我的人生我努力！展示1：小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？展示2：联系实际编拟一道关于分式方程22x 150150+-=xx 的实际问题，要求表述完整，条件充分并写出解答过程。

【检测小结】一、课堂达标训练：完成课本P129-130页习题二、课后作业：1. 春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.2. 某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？教（学）后小结：。

八年级下册数学 5.4分式方程

第五章　分式与分式方程第四节分式方程（一）【学习目标】1、能找出现实情景中的等量关系；2、会通过设适当的未知数根据等量关系列出分式方程；3、通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：理解分式方程的定义、找出问题中的等量关系列出方程；难点：如何找出等量关系，如何把等量关系转化为分式方程。

【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备：1、分式方程的概念：中含有未知数的方程叫做分式方程；2、判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数；3、与整式方程的区别：分母中是否含有______________；4、列分式方程解应用题。

二、教材精读：5、进一步理解分式方程例 1 中是分式方程的有2,143,032,64,0523==-=-+==-+πx x x x x x x 在方程（）A ．2个 B.3个 C.4个 D.5个6、例2 甲、乙两地相距1500km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。

（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均速度为xkm/h ，那么x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh ，那么y 满足怎样的方程？解：模块二合作探究6、例2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。

已知七年级同学捐款总额为4900元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。

如果设七年级捐款人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？____________________________________________________（列出方程）模块三形成提升1、A 、； B 、；C 、中，（）是分式方程,（）是整352x +=302x x -=+21x π=式方程。

北师大版八年级下册数学5.4分式方程(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分式的方程，其中分母不为零。它在解决涉及比例、速率等问题时非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了分式方程在解决速度与时间关系问题中的应用，以及它如何帮助我们计算出未知数。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式方程的解法和验根的重要性。对于去分母、解整式方程等难点部分，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、解法步骤和实际应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的分式方程教学过程中，我发现学生们对于分式方程的概念和特点掌握得比较快，但在具体的解题过程中，仍然存在一些问题。首先，部分同学在去分母这一步骤上容易出错，特别是在处理复杂分式时，容易漏项或错项。在今后的教学中，我需要加强对这一部分学生的个别指导，帮助他们熟练掌握去分母的方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式方程在实际情境中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
-解整式方程的技巧：在得到整式方程后，学生可能在解方程时遇到困难。
-举例：讲解如何解决含有绝对值、平方项的整式方程，如解$x^2-5x+6=0$。
-验根的重要性：学生可能忽视验根的步骤，导致错误答案。

5.4.3 分式方程

课题：5.4.3分式方程课型：新授课年级：八年级教学目标：1．能运用列表法将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．2.经历“实际问题－分式方程模型-解分式方程-检验合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学重点与难点：重点：1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．2.根据实际意义检验解的合理性．难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、温故知新，引入新课（投影问题）1．解分式方程的步骤？2.解下列分式方程:214111x x x +-=--. 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？处理方式：教师利用多媒体展示，学生独立思考、交流，学生小组间竞争抢答.找两名学生口述第1题和第3题过程，再找两名学生板演第2题，其他学生在下面做题，教师巡视，然后由学生纠错，并强调注意事项；教师多媒体展示结果.1.(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．2.省略.3.(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．你能用所学过的知识和方法为下列应用题列出方程吗?做一做：（投影）某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？（3）这两年每间房屋的租金各是多少？处理方式：学生先独立阅读解答，然后互相交流.教师顺利引出课题.【教师板书课题——5.4 分式（3）】设计意图：回顾解分式方程的步骤、解有关分式方程及列一元一次方程解应用题的一般步骤和列分式方程解有关应用题，引出新问题．二、合作探究，获取新知做一做：（投影）某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？（3）这两年每间房屋的租金各是多少？处理方式：学生先独立阅读解答，然后互相交流.选代表回答，合理即可，教师投影.（1）等量关系：①第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.还有一个等量关系：②第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数.③出租房屋间数=(所有出租房屋的租金)÷（每间房屋的租金)（2）①求出租的房屋总间数；②分别求两年每间房屋的租金.（3）方法一：解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元.第一年租出的房间为96000x间，第二年租出的房间为102000500x+间，根据题意，得96000 x = 102000500 x+解，得x=8000经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意.x+500=8500（元）所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元. 方法二：解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为96000x 元，第二年每间房屋的租金为102000x元，根据题意，得 102000x =96000x+500 解这个方程，得x =12经检验x =12是原方程的解，也符合题意.所以每年各有12间房屋出租.所以，102000÷12=8500（元）,96000÷12=8000（元）所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元.设计意图：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．学生都能找出所有房屋的总租金和每间房屋的租金以及房屋总数之间的关系式，并能提出解出房屋总数的问题，应用列方程的一般方法解决这个问题，并能多角度思考问题，提出很多不同问题．三、学以致用，解决问题例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．处理方式：审清题意，找出题中的等量关系.小丽家今年7月份的用水量-小丽家去年12月份的用水量=5水费÷用水价格=用水量.解：设去年用水的价格为x 元/m 3，则今年的水价为()+1313x 元/m , 根据题意，得()-=+30155113x x 解这个方程，得.=15x经检验.=15x 是所列方程的根..()⨯+=115123 元/m 3答：该市今年居民用水的价格为2元/m 3.列分式方程解应用题的一般步骤：（投影）处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:设计意图：老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育，同时激发学生的学习兴趣．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程．在老师的指导下，老师和学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解方程到验证解的合理性”这一完整过程，并规范书写．随堂练习：1.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？处理方式：学生自主尝试完成，小组内交流成果，小组组长负责搜集本组组员出现错误情况,利用实物投影展示并及时纠正.最后教师利用课件出示正确解题过程，规范学生解题过程．题中的等量关系有两个：15元钱买的文学书的本数=15元钱买的科普书的本数+1本.科普书的价格=文学书的价格×（1+21）解：设文学书的价格为x 元，则科普书的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买文学书15x 本，科普书15112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭本.根据题意，得， 15x =15112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1解，得x =5经检验x =5是原方程的根，也符合题意，所以（1+21）x =23×5=7.5（元）故这种文学书和科普书的价格各为5元、7.5元.2.某化肥厂计划在x 天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合x 的方程是（）A ．1201803x x =+ B.1201803x x += C.1201803x x =+ D.1201803x x=+ 3．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为x 千米/时，那么根据题意可列方程为（） A.101012252x .x +=+. B.101020525..x x -=- C.101020525.x .x -=- D.101020525.x .x-=+ 处理方式：学生自主完成后，选代表说出自己的答案.最后教师利用课件出示正确解题过程．设计意图：练习题密切联系学生生活实际，又关注社会热点问题，学生大部分能将实际问题转化为数学模型，并进行解答，解释解的合理性．使学生体会丰富的实例，乐于接触社会环境中的数学信息，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．四、回顾课堂，盘点收获通过本堂课的学习，你学到了那些知识？你学会了哪些数学方法？处理方式：一名学生先进行归纳总结，其余同学进行补充，使本节课的知识真正形成系统.1．列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.2．列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:注意单位和语言完整.设计意图：学生都能积极参与活动，感受到数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；课堂小结设计成问题的形式，是为了培养学生自主学习、自主思维的能力.给学生充分的时间相互交流，由学生用自己的语言进行表达，同时通过互相补充修正.通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆.五、快乐套餐，深化提高A 组：1.老张师傅做m 个零件用了一个小时，则他做20个零件需要的小时数是（） A.20m B.20mC.20mD.20+m 2.一项工程，甲独做需m 小时完成，若与乙合作20小时完成，则乙单独完成需要的时间是（） A.2020m m - B.2020m m + C.2020m m - D.2020m m+ 3.甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数想等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是（） A.80705x x =- B.80705x x =+ C.80705x x =+ D.80705x x =- B 组： 4.甲做90个机器零件所用的时间与乙做120个机器零件所用的时间相等，又已知平均每小时甲、乙两人一共做了35个零件，求甲、乙每小时各做多少个？5.某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少?处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：当堂检测，能全面了解学生本节课掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，以便能及时地进行查缺补漏,为下一节课的学习做好准备.六、布置作业，课堂延伸必做题：课本习题5.9 第1、2题.选做题：课本习题5.9 第3题.板书设计：。

5.4.3分式方程的应用上课课件

有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二
种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
一列分式方程解决工程问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：设乙单独完成这项工程需要x月.
第五章分式
5.4 分式方程
第3课时分式方程的应用
学习目标
1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式
方程解决实际问题.（重点）
问题引入
1.解分式方程的基本思路是什么？
分式方程
转化去分母
整式方程
2.解分式方程有哪几个步骤？
一化二解三检验
3.验根有哪几种方法？
二列分式方程解决行程问题
例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？
0
180
200
分析：设小轿车的速度为x千米/小时
列表格如下：
面包车
小轿车
路程 200
180
速度时间
x+10 200
x 10
x
180
x
等量关系：面包车的时间=小轿车的时间
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得
180 200 x x 10
注意两次检验: (1)是否是所列方程的
经检验，解x＝得9x0＝是9原0 方程解(的2);解是，否满足实际意义.

分式方程知识点归纳总结

分式方程知识点归纳总结分式方程（fractional equations）是含有一个或多个分式的方程。

解分式方程的方法与解普通方程的方法相似，但在处理分式时需要额外注意。

以下是分式方程的一些常用知识点的归纳总结。

1.分式方程的定义：分式方程是含有一个或多个分式的方程，其中分式可以是单个分式，也可以是多个分式的组合。

2.分式方程的定义域：在求解分式方程之前，首先需要确定方程的定义域。

分式方程中的分母不能为0，因此需要排除使得分母为0的数值。

3.清除分母的方法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以分母的公倍数来清除分母。

要注意在清除分母后所得到的方程仍然保持等价关系。

4.分式方程的乘除法原则：分式方程中的分式可以通过乘除法原则进行运算。

即可以通过乘以一个数或除以一个数来改变方程两边的比例关系。

5.分式方程的加减法原则：分式方程中的分式可以通过加减法原则进行运算。

即可以通过加上一个数或减去一个数来改变方程两边的比例关系。

6.分式方程的倒数原理：分式方程中的分式的倒数可以用来求解方程。

当一个分式与它的倒数相加时，结果为17.分式方程的转化：有时候，可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。

这可以通过清除分母或将分式转化为分数来实现。

8.分式方程的校验：在解分式方程时，需要对所得到的解进行校验，以确定是否满足原始方程。

9.解分式方程的常见步骤：解分式方程的一般步骤是先对方程进行整理，然后通过乘法、除法、加法、减法等原则对方程进行运算，最后校验所得到的解是否满足原始方程。

10.特殊类型的分式方程：-线性分式方程：分子和分母都是一次函数的分式方程。

-二次分式方程：分子或分母含有二次函数的分式方程。

-变比分式方程：分子和分母是由未知数构成的变比或常数的乘积的分式方程。

总结：分式方程是含有一个或多个分式的方程，解分式方程的方法包括清除分母、乘除法原则、加减法原则、倒数原理、转化为普通方程、校验等。

解分式方程的一般步骤是整理方程、运用原则对方程进行运算，最后校验解答是否正确。

5.4.3解分式方程

（2012•赤峰）解分式方程的结果为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．无解【考点】解分式方程．【专题】压轴题．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+2），得：x+2=3解得：x=1．检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，即x=1不是原分式方程的解．则原分式方程无解．故选D．【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．（2008•长春）（2007•湘潭）下列说法或计算正确的是（）A．在将分式方程化为整式方程时，可将方程两边同时乘以x（x﹣1）B．函数中，自变量x的取值范围是x≥5C．与不是同类二次根式D．（3﹣sin30°）0=0【考点】解分式方程；零指数幂；同类二次根式；函数自变量的取值范围．【专题】压轴题．【分析】本题涉及分式方程，函数，二次根式，0指数运算的知识，需要从每个问题的要求着手解题．【解答】解：A、最简公分母是x（x﹣1），所以要在方程两边乘x（x﹣1），正确；B、除了保证根式成立以外，还得保证分母不为0，结果为x＞5，错误；C、化简后是2，两个是同类二次根式，错误；D、任何不等于0的数的0次幂是1，错误．故选A．【点评】本题需注意当分式与根式相结合时，两方面都需考虑．（2006•益阳）解分式方程：时，去分母后得（）A．3﹣x=4（x﹣2）B．3+x=4（x﹣2）C．3（2﹣x）+x（x﹣2）=4D．3﹣x=4【考点】解分式方程．【专题】压轴题．【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣2和2﹣x互为相反数，可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可得最简公分母为x﹣2，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：3﹣x=4（x﹣2）．故选A．【点评】对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：3﹣x=4形式的出现．（2002•曲靖）下列判断：（1）分式方程无解（2）直径是弦（3）任意一个三角形都有一个外接圆且只有一个外接圆（4）圆内接四边形的任一个外角等于它的内角（5）长度相等的弧所对的圆心角相等其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．5个【考点】解分式方程；圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】本题涉及面广，需要针对不同问题，分别作出准确的判断．需要注意两个问题：①圆内接四边形的对角和为180°；②长度相等的弧并不一定是同圆或等圆中的等弧．【解答】解：（1）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得：x+1=2，解得x=1，经检验x=1是原方程的增根，原方程无解，正确；（2）直径是圆中最大的弦，正确；（3）任何一个三角形都属于不在同一直线上的三个点，所以都有一个外接圆，正确；（4）圆内接四边形的任一个外角等于与它相对的内角，错误；（5）因为在同圆或等圆中，同弧或等弧等弧所对的圆心角相等，所以原命题错误．故选C．【点评】本题考查了几个易错点，注意在做题过程中加深理解，特别是对于定义的东西要注意细节．（2001•常州）已知等式，则x的值是（）A．1B．2C．3D．1或3【考点】解分式方程；二次根式的性质与化简．【专题】压轴题．【分析】由等式可知x﹣2≠0，按照x﹣2＞0，x﹣2＜0分类，将等式化简，解一元二次方程即可．【解答】解：∵x﹣2≠0，①当x﹣2＞0时，原等式整理得1+（x﹣2）2=0，一个正数加一个非负数不可能为0，这种情况不存在．②当x﹣2＜0，即x＜2时，原等式整理得：﹣1+（x﹣2）2=0，则x﹣2=1或x﹣2=﹣1，解得x=3或x=1，而x＜2，所以，只有x=1符合条件．故选A．【点评】本题的难点在于判断第一项为1，还是﹣1，分情况讨论后，所得结果还应适合给定的范围．（1999•湖南）分式方程的根为（）A．x1=1，x2=2B．x1=﹣1，x2=﹣2C．x=2D．x=1【考点】解分式方程．【专题】压轴题．【分析】本题考查解分式方程的能力，观察方程可得最简公分母是：（x+2）（x﹣2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得x﹣2+4x﹣2（x+2）=（x+2）（x﹣2），解得x=1或2．经检验，x=1是原方程的解，x=2不是原方程的解．所以原方程的解为：x=1．故选D．【点评】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．（2015•衡阳）（2012•荆州）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x=3．【考点】解分式方程；一次函数的定义；正比例函数的定义．【专题】压轴题；新定义．【分析】首先根据题意可得y=x+m﹣2，再根据正比例函数的解析式为：y=kx（k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．【解答】解：根据题意可得：y=x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2，则关于x的方程变为+=1，解得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=3．【点评】此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．（2012•荆州）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x=3．【考点】解分式方程；一次函数的定义；正比例函数的定义．【专题】压轴题；新定义．【分析】首先根据题意可得y=x+m﹣2，再根据正比例函数的解析式为：y=kx（k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．【解答】解：根据题意可得：y=x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2，则关于x的方程变为+=1，解得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=3．【点评】此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．（2008•吉林）方程的解x=1．【考点】解分式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题比较容易，分式方程方程两边同乘以x（x+3）化为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘以x（x+3），得x+3=4x，移项得3=4x﹣x，合并同类项得3x=3．方程两边同除以3得x=1．经检验x=1是原分式方程的解．【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．（2005•广州）方程x2+=2的解是±1．【考点】解分式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题的最简公分母是x2，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解：方程两边都乘x2，得x4+1=2x2，即（x2﹣1）2=0．解得x=1或﹣1．检验：当x=1或﹣1时，x2≠0．∴x=1或﹣1是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．（2007•贵阳）方程=的解是x=4．【考点】解分式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣2），得x=2（x﹣2），解得x=4．检验：当x=4时，x（x﹣2）≠0．∴x=4是原方程的解．故答案为：4．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（2004•茂名）若x为实数，且+x2+2x=﹣2，则x2+2x的值为﹣1．【考点】解分式方程．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】本题可设x2+2x=m（m≠0），那么原方程可化为：+m=﹣2，方程两边都乘以m，转化为整式方程求m．【解答】解：设x2+2x=m（m≠0），那么原方程可化为：+m=﹣2，方程两边都乘以m，得m2+2m+1=0，解得m1=m2=﹣1．检验：当m=﹣1时，方程左边=﹣1﹣1=﹣2，因此m=﹣1是方程的解．故x2+2x=﹣1．故答案为﹣1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．（2003•滨州）如果规定两数a、b通过符号“#”构成运算a#b=，且a#b≠b#a．那么方程x#5=x#4+1的解是x=±1．【考点】解分式方程．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】通过对规定运算的理解，把方程转化为分式方程，再去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解答】解：根据规定运算得：+=++1，化简得=1，解得x=1或﹣1．经检验：x=1或﹣1都是方程的解．【点评】解决本题需真正读懂所给的新运算的意义，把它转换为常见的运算方式．（2013•武汉模拟）解方程：．【考点】解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是2（x﹣2）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘2（x﹣2）（x+2），得3（x+2）﹣2x（x﹣2）=（x﹣2）（x+2），3x+6﹣2x2+4x=x2﹣4，3x2﹣7x﹣10=0，解得x1=﹣1，x2=．经检验：x1=﹣1，x2=是原方程的解．【点评】考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（2012•眉山）（2012•丹阳市校级一模）解方程或不等式组：（1）解方程：（2）解不等式组：．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集中的公共部分即可确定出不等式组的解集．【解答】（1）解：去分母，得x﹣3﹣（4﹣x）=﹣1，去括号、整理，得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是原分式方程的解；（2）解：由不等式组得，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．（2012•天宁区校级模拟）（1）解不等式组（2）解分式方程：=3．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【专题】计算题；【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）先把分式方程化为整式方程求出x的值，再把x的值代入x﹣2进行检验即可．【解答】解：（1），解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x＞1，故不等式组的解集是1＜x≤3；（2）解：去分母得x﹣1+1=3（x﹣2）解得x=3．经检验：x=3是原方程的根．故原方程的根为x=3．【点评】本题考查的是解分式方程及解一元一次不等式组，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键．（2011•广州校级二模）解法二：设，则原方程化为得y2﹣4y+3=0解得y1=1，y2=3当y1=1时，，无解；当y1=3时，，得．经检验是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，注意，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．本题也可以运用换元法解方程．（2010•自贡校级三模）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是，，且点A到B的距离为1，求x的值．【考点】解分式方程；数轴．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意可得分式方程，再把分式方程变形得+=1，然后乘以最简公分母x﹣1去分母，移项，合并同类项，把x的系数化为1，最后一定要检验．【解答】解：∵点A到B的距离为1，∴，变形得：+=1，去分母得：3x+2=x﹣1，移项得：3x﹣x=﹣1﹣2，合并同类项得：2x=﹣3，把x的系数化为1得：x=﹣，检验：把代入最简公分母中：x﹣1≠0，∴原方程的根为：．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．（2008•温江区校级一模）解答下列各题：（1）计算：（2）化简求值：，其中（3）解方程：．【考点】解分式方程；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）根据45°的正弦值为，任何非0数的0次幂等于1，立方根的定义，30°角的余弦值为，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，进行计算即可得解；（2）先把括号内的分式通分，并把分子分母分解因式，把除法运算转化为乘法运算进行分式的乘除运算，然后把x的值代入化简后的代数式进行计算即可得解；（3）方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，然后求解，再进行检验即可．【解答】解：（1）2sin45°+（﹣）0+﹣（cos30°）﹣2，=2×+1﹣（﹣2）﹣（）﹣2，=+1+2﹣，=+；（2）（+1）÷（1﹣）•，=÷•，=••，=，当x=﹣时，原式==﹣；【点评】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（2000•山东）（1）如表，方程1，方程2，方程3，…，是按照一定规律排列的一列方程．解方程1，并将它的解填在表中的空白处；序号方程方程的解1x1=x2=2x1=4x2=63x1=5x2=8…………（2）若方程（a＞b）的解是x1=6，x2=10，求a、b的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程．【考点】解分式方程．【专题】压轴题；规律型．【分析】（1）两边同时乘最简公分母x（x﹣2），可把分式方程化为整式方程来解答．（2）先将x1=6，x2=10分别代入方程，求得a、b的值．因此得到方程为，发现它是（1）中所给一列方程中的一个，是第4个．（3）先按照规律列出方程的第n个方程，再求解并检验．【解答】解：（1）=1，整理，得x2﹣7x+12=0．解得x1=3，x2=4经检验知，x1=3，x2=4是原方程的根．（2）将x1=6，x2=10分别代入=1，得，消去a，整理得b2﹣17b+60=0，解得b1=5，b2=12．当b1=5时，a1=12；当b2=12时，a2=5．∵a＞b，∴．经检验知，适合分式方程组．所得方程为．它是（1）中所给一列方程中的一个，是第4个．（3）这个方程的第n个方程为．（n≥1，n为整数）它的解为x1=n+2，x2=2（n+1）检验：当x1=n+2时，左边===2﹣1=1=右边当x2=2（n+1）时，左边=﹣==1=右边所以，x1=n+2和x2=2（n+1）是方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（2007•湘潭）下列说法或计算正确的是（）A．在将分式方程化为整式方程时，可将方程两边同时乘以x（x﹣1）B．函数中，自变量x的取值范围是x≥5C．与不是同类二次根式D．（3﹣sin30°）0=0【考点】解分式方程；零指数幂；同类二次根式；函数自变量的取值范围．【专题】压轴题．【分析】本题涉及分式方程，函数，二次根式，0指数运算的知识，需要从每个问题的要求着手解题．【解答】解：A、最简公分母是x（x﹣1），所以要在方程两边乘x（x﹣1），正确；B、除了保证根式成立以外，还得保证分母不为0，结果为x＞5，错误；C、化简后是2，两个是同类二次根式，错误；D、任何不等于0的数的0次幂是1，错误．故选A．【点评】本题需注意当分式与根式相结合时，两方面都需考虑．。