2020年四川省广元市高考(文科)数学三诊试卷 (解析版)

2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．若复数z=2i1+i，则|z|＝（）A．12B．√22C．1D．√22．已知a→=（2，√3），b→=（1，√3），则a→在b→方向上的投影为（）A．5√77B．12C．√77D．523．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤8}，B＝{﹣2，0}，下列命题为假命题的是（）A．∃x0∈A，x0∈B B．∃x0∈B，x0∈A C．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∈A 4．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，则sin A＝sin B是a＝b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为梯形，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，E，F分别为棱PB，PC的中点，则（）A．AE≠DF，且直线AE，FD是共面直线B．AE≠DF，且直线AE，FD是异面直线C．AE＝DF，且直线AE，FD是异面直线D．AE＝DF，且直线AE，FD是共面直线6．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n为（）A ．50B ．53C ．59D ．627．中国农业银行广元分行发行“金穗广元•剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元共享和谐广元”为主题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江援建省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重新充值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山﹣七里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人到广元旅游（同游），第一天他们游览了剑门关、朝天明月峡，第二天他们准备从上面剩下的5个景点中选两个景点游览，则第二天游览青川唐家河的概率是（ ） A ．425B ．15C ．25D ．238．设函数f(x)=4x 2e|x|，则函数f （x ）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．若log 2a ＝0.3，0.3b ＝2，c ＝0.32，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c10．已知O 为坐标原点，双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)，过双曲线C 的左焦点F 作双曲线两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A ，B ，若四边形OAFB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√2C ．2D ．√5211．如果关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≤3√22B ．a ≤2C ．a ≤1D ．a ≤012．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（ω＞0）对任意的x ∈R 都有f （x ）＝f （2a ﹣x ），且a ＜0时a 的最大值为−π5，下列四个结论： ①x =−π5是f （x ）的一个极值点；②若f （x ）为奇函数，则f （x ）的最小正周期T =4π5； ③若f （x ）为偶函数，则f （x ）在[−π5，0]上单调递增； ④ω的取值范围是（0，5）． 其中一定正确的结论编号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②③④二、填空题13．设实数x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x −2y ≤0y −1≤0，则z ＝3x ﹣y 的最大值为 ．14．若2cos2θ=cos(θ+π4)，且θ∈(π2，π)，则sin2θ的值为 ．15．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C 交于不同的A ，B 两点，且|AF||BF|=25，则k ＝ ．16．如图，二面角α﹣l ﹣β满足半平面α⊥β，半平面α内有一点A （不在l 上），半平面β内有一点C （不在l 上），A ，C 在直线l 的射影分别为B ，D （B ，D 不重合），AB ＝CD ＝1，BD =√3，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为 ．三、解答题17．记S n为各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，已知a1=118，S3+2S2＝13a1，记b n＝[log2a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[43]=1，[2]＝2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和T n．18．广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如表：市一诊分数段[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数51015137“过关”人数13886（Ⅰ）由以上统计数据完成如表2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市一诊数学成绩不低于90分与测试“过关”有关？说明你的理由；分数低于90分人数分数不低于90分人数合计“过关”人数“不过关”人数合计（Ⅱ）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.025 k 2.072 2.706 3.841 5.024K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边CD的中点，以EB为折痕把△CEB折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB⊥平面ABED．（Ⅰ）证明：PB⊥AE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣PED的体积．20．已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）函数t(x)=12x2+2af(x)，讨论t（x）的单调性；（Ⅱ）函数g（x）＝x3（x＞0）的图象在点P处的切线为l，证明：有且只有两个点P 使得直线l与函数f（x）的图象也相切．21．已知椭圆C：x22+y2=1，点P（0，1），直线y=kx−13分别交椭圆C于点A，B（A，B与P不重合）．（Ⅰ）证明：PA⊥PB；（Ⅱ）若以点E(0，19)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2cosβy=2+√2sinβ（β为参数），直线l过原点且倾斜角为α，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1相交于不同的两点A，B，求|OB||OA|+|OA||OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b都是实数，a≠0，函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）若f（x）＞1，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若|52a+b|+|a−2b|≥|a|f(t)对满足条件的所有a，b都成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 1．若复数z =2i1+i，则|z |＝（ ） A ．12B ．√22C ．1D ．√2【分析】首先对所给的式子进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数1﹣i ，这样分母变为一个实数，把复数写成a +bi 的形式，即1+i ，求出模长即可．解：∵复数z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i 22=2+2i 2=1+i ， ∴|z |=√12+12=√2 故选：D ．2．已知a →=（2，√3），b →=（1，√3），则a →在b →方向上的投影为（ ）A ．5√77B ．12C ．√77D ．52【分析】由数量积的定义可知，a →在b →方向上的投影为|a →|cos ＜a →，b →＞，代入即可求解． 解：由数量积定义可知，a →在b →方向上的投影为|a →|cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|b →|=2×1+√3×√32=52． 故选：D ．3．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤8}，B ＝{﹣2，0}，下列命题为假命题的是（ ） A ．∃x 0∈A ，x 0∈BB ．∃x 0∈B ，x 0∈AC ．∀x ∈A ，x ∈BD ．∀x ∈B ，x ∈A【分析】先求出集合A ，再根据A ，B 之间的关系即可求解结论． 解：因为集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤8}＝{x |﹣2≤x ≤4}； ∵B ＝{﹣2，0}⊆A ， ∴∀x ∈A ，x ∈B ； 故选：C ．4．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，则sin A ＝sin B 是a ＝b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】在三角形中，由等边对等角及充分必要条件的判定得答案．解：在△ABC中，由sin A＝sin B⇒A＝B⇒a＝b，反之，由a＝b⇒A＝B⇒sin A＝sin B，∴sin A＝sin B是a＝b的充要条件．故选：C．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为梯形，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，E，F分别为棱PB，PC的中点，则（）A．AE≠DF，且直线AE，FD是共面直线B．AE≠DF，且直线AE，FD是异面直线C．AE＝DF，且直线AE，FD是异面直线D．AE＝DF，且直线AE，FD是共面直线【分析】可连接EF，根据条件即可说明四边形ADFE是平行四边形，从而得出AE＝DF，且直线AE，FD是共面直线．解：如图，连接EF，∵E，F分别为棱PB，PC的中点，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，∴EF∥BC，EF=12 BC，∴EF∥AD，且EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，且AE∥DF，∴AE，FD是共面直线．故选：D．6．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n为（）A．50B．53C．59D．62【分析】根据程序框图求出n的初值，代入循环结构中求得输出n的值．解：模拟程序运行知，m1＝112，m2＝120，m3＝105；n＝2×112+4×120+5×105＝1229，代入循环结构，计算得，n＝1229﹣168＝1061，n＝1061﹣168＝893，n＝893﹣168＝725，n＝725﹣168＝557，n＝557﹣168＝389，n＝389﹣168＝221，n＝221﹣168＝53，所以输出n的值为53．故选：B．7．中国农业银行广元分行发行“金穗广元•剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元共享和谐广元”为主题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江援建省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重新充值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山﹣七里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人到广元旅游（同游），第一天他们游览了剑门关、朝天明月峡，第二天他们准备从上面剩下的5个景点中选两个景点游览，则第二天游览青川唐家河的概率是（ ） A ．425B ．15C ．25D ．23【分析】基本事件总数n =C 52=10，第二天他们游览青川唐家河包含的基本事件有m =C 11C 41=4，由此能求出第二天游览青川唐家河的概率．解：第二天他们准备从上面剩下的5个景点中选两个景点游览， 基本事件总数n =C 52=10，第二天他们游览青川唐家河包含的基本事件有m =C 11C 41=4，则第二天游览青川唐家河的概率是P =m n =410=25． 故选：C ．8．设函数f(x)=4x 2e|x|，则函数f （x ）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】先利用函数的奇偶性的定义得知f （﹣x ）＝f （x ），所以函数f （x ）为偶函数，可排除选项B ，对比选项A 、C 和D ，发现当x ＝2时，f （2）＞2，故得答案．解：∵f(−x)=4(−x)2e |−x|=4x 2e |x|=f （x ），∴函数f （x ）为偶函数，排除选项B ，当x ＝2时，f （2）=4×22e 2≈162．72≈2.19＞2，排除选项A 和C ． 故选：D ．9．若log 2a ＝0.3，0.3b ＝2，c ＝0.32，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】可以得出a ＝20.3＞1，b ＝log 0.32＜0，0＜c ＜1，从而得出a ，b ，c 的大小关系．解：a ＝20.3＞20＝1，b ＝log 0.32＜log 0.31＝0，0＜0.32＜1； ∴a ＞c ＞b ． 故选：B ．10．已知O 为坐标原点，双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)，过双曲线C 的左焦点F 作双曲线两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A ，B ，若四边形OAFB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√2C ．2D ．√52【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用已知条件求出A 的坐标，结合面积求解a ，然后求解双曲线的离心率即可．解：由双曲线方程可得渐近线方程x ±ay ＝0，设F （﹣c ，0）是双曲线的焦点，设过F 平行于x +ay ＝0的直线为l ， 则l 的方程为：x +ay +c ＝0，l 与渐近线x ﹣ay ＝0交点为A ， 则A （−c2，c 2a），四边形OAFB 的面积为1，得c ×c 2a =1．即c 2＝2a ＝a 2+1，解得a ＝1，所以c =√2． ∴e =√2． 故选：A ．11．如果关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≤3√22B ．a ≤2C ．a ≤1D ．a ≤0【分析】当x ＝0时，不等式显然成立，a ∈R ，当x ≠0时，由原不等式可得，a ≤x +1x 2，然后构造函数h （x ）＝x +1x 2，﹣1≤x ≤2且x ≠0，结合导数可研究单调性及最值，即可求解．解：当x ＝0时，不等式显然成立，a ∈R ， 当x ≠0时，由原不等式可得，a ≤x +1x 2， 令h （x ）＝x +1x 2，﹣1≤x ≤2且x ≠0，则h ′（x ）＝1−2x 3=x 3−2x 3， 令h ′（x ）＞0，解得：x ＞√23，令h ′（x ）＜0，解得：x ＜√23， 易得函数h （x ）在[﹣1，0），（0，√23）递增，（√23，2]单调递减，故函数的最小值是h （﹣1）或h （2），而h（﹣1）＝0，h（2）=9 4，故当x＝﹣1时，h（x）取得最小值h（﹣1）＝0，故a≤0．故选：D．12．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2a﹣x），且a＜0时a的最大值为−π5，下列四个结论：①x=−π5是f（x）的一个极值点；②若f（x）为奇函数，则f（x）的最小正周期T=4π5；③若f（x）为偶函数，则f（x）在[−π5，0]上单调递增；④ω的取值范围是（0，5）．其中一定正确的结论编号是（）A．①②B．①③C．①②④D．②③④【分析】根据题意可知，f（x）的图象关于直线x＝a对称，再结合三角函数的图象和性质，即可判断各结论的真假．解：因为f（x）＝f（2a﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝a对称，又当a＜0时，a的最大值为−π5，由于三角函数的对称轴对应x的值是函数的极值点，所以①正确；又f（x）为奇函数，且在y轴左侧离y轴最近的对称轴为x=−π5，所以在y轴右侧离y轴最近的对称轴为x=π5，所以T=2×[π5−(−π5)]=4π5，②正确；若f（x）为偶函数，则f（x）在[−π5，0]上可能单调递增，也可能单调递减，所以③不一定正确；令ωx+φ=π2+2kπ，所以x=π2−φ+2kπω，当φ＞π2时，即有π2−φω=−π5，∴ω＞0当φ≤π2时，π2−φ−2πω=−π5，∴ω=5π(φ+32π)≤10，即ω的取值范围是（0，10]，所以④不一定正确．故选：A．二、填空题13．设实数x，y满足约束条件{x−y≥0x−2y≤0y−1≤0，则z＝3x﹣y的最大值为5．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y＝3x可得结论．解：作出实数x，y满足约束条件{x−y≥0x−2y≤0y−1≤0所对应的可行域如图，由{y=1x−2y=0解得A（2，1），变形目标函数可得y＝3x﹣z，平移直线y＝3x，可知当直线经过点A（2，1）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z＝3x﹣y的最大值为5，故答案为：5．14．若2cos2θ=cos(θ+π4)，且θ∈(π2，π)，则sin2θ的值为−78．【分析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简已知等式，结合cosθ﹣sinθ≠0，可得cosθ+sinθ=√24，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．解：∵2cos2θ=cos(θ+π4 )，∴2（cos2θ﹣sin2θ）＝2（cosθ+sinθ）（cosθ﹣sinθ）=√22（cosθ﹣sinθ），又∵θ∈(π2，π)，∴cosθ﹣sinθ≠0，∴解得：cosθ+sinθ=√24，∴两边平方，可得：1+sin2θ=1 8，∴可得：sin2θ=−7 8．故答案为：−7 8．15．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝k（x﹣2）（k＞0）与抛物线C交于不同的A，B两点，且|AF||BF|=25，则k＝2．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，联立即可求得x1，x2，由x1•x2＝4，即可求得k的值．解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，直线AB的方程为y＝k（x﹣2），k＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB的方程和抛物线y2＝4x，化简可得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2＝0，∴x1+x2＝4+4k2①，x1•x2＝4②，由抛物线的焦半径公式可知|AF|＝x1+p2=x1+1，|BF|＝x2+p2=x2+1，由|AF|=25|BF|，可得x1+1=25（x2+1），即x1−25x2=−35③，由①③解得x1=57+87k2，x2=237+207k2，则x1•x2＝（57+87k2）（237+207k2）＝4，化为（k2﹣4）（81k2+40）＝0，整理得k2＝4，解得k＝±2，由k＞0，则k＝2，故答案为：2．16．如图，二面角α﹣l﹣β满足半平面α⊥β，半平面α内有一点A（不在l上），半平面β内有一点C（不在l上），A，C在直线l的射影分别为B，D（B，D不重合），AB ＝CD＝1，BD=√3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为5π．【分析】先根据条件求得球心所在位置，进而求得结论． 解：设AC 的中点F ，∵二面角α﹣l ﹣β满足半平面α⊥β，A ，C 在直线l 的射影分别为B ，D （B ，D 不重合），AB ＝CD ＝1，BD =√3， ∴AB ⊥面BCD ，CD ⊥面ABD ； 故∠ABC ＝∠ADC ＝90°；∴FC ＝FA ＝FB ＝FD ＝R =12AC =12√AB 2+BC 2=12√AB 2+BD 2+DC 2=12√5；∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为：4πR 2＝4π×（12√5）2＝5π； 故答案为：5π．三、解答题17．记S n 为各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，已知a 1=118，S 3+2S 2＝13a 1，记b n ＝[log 2a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[43]=1，[2]＝2． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求{b n }的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n 项和公式求出公比q ，即可写出通项； （Ⅱ）根据题意求出数列{b n }是等差数列，再求它的前n 项和． 解：（Ⅰ）数列{a n }中，由S 3+2S 2＝13a 1，所以：a 3+3a 2﹣10a 1＝0； 所以：q 2+3q ﹣10＝0，解得：q ＝2或q ＝﹣5（舍）；所以数列{a n}的通项公式为：a n=118×2n−1=11⋅2n−4(n∈N∗)；（Ⅱ）根据题意有：b n=[log2a n]=[log2(11⋅2n−4)]=[n−4+log211]；因为：3＜log111＜4，所以：b n＝[n﹣4+log211]＝n﹣4+3＝n﹣1；所以：数列{b n}是以首项为0，公差为1的等差数列；所以{b n}的前n项和为T n=n(0+n−1)2=n2−n2(n∈N∗)．18．广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如表：市一诊分数段[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数51015137“过关”人数13886（Ⅰ）由以上统计数据完成如表2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市一诊数学成绩不低于90分与测试“过关”有关？说明你的理由；分数低于90分人数分数不低于90分人数合计“过关”人数“不过关”人数合计（Ⅱ）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.025 k 2.072 2.706 3.841 5.024K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）先列出频率分布表，再求中位数．解：（Ⅰ）根据题意得2×2列联表如下：分数低于9（0分）人数分数不低于9（0分）人数合计“过关”人数121426“不过关”人数18624合计302050所以：K2=50×(12×6−18×14)226×24×30×20=22552≈4.327＞3.841．因此有95%的把握认为期末数学成绩不低于9（0分）与测试“过关”有关．（Ⅱ）设该市一诊考试数学成绩的中位数为x．市一诊分数段[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数51015137频率0.10.20.30.260.14根据题意有：0.1+0.3+(x−60)×0.330=0.5，解得：x＝70．所以：该校市一诊考试数学成绩的中位数为70．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边CD的中点，以EB为折痕把△CEB折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB⊥平面ABED．（Ⅰ）证明：PB⊥AE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣PED的体积．【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BE．通过面PEB⊥面ABED，证明AE⊥面PEB．然后证明PB⊥AE．（Ⅱ）取线段BE的中点F，连接PF，说明PF⊥面AED，然后求解三棱锥A﹣PED的体积：V=13S△AED⋅PF．【解答】（Ⅰ）证明：因为BC＝CE＝ED＝AD＝1，所以：AE=BE=√2，又因为：AB＝2，所以：AE⊥BE．因为：面PEB⊥面ABED且面PEB∩面ABED＝BE，所以：AE⊥面PEB．所以：PB⊥AE．（Ⅱ）解：取线段BE的中点F，连接PF，如图所示：因为PE＝PB＝1，且F为线段BE的中点．所以：PF⊥BE且PF=√22．又因为：面PEB⊥面ABED且面PEB∩面ABED＝BE，所以：PF⊥面AED．所以：三棱锥A﹣PED的体积V=13S△AED⋅PF=13×12×1×1×√22=√212．20．已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）函数t(x)=12x2+2af(x)，讨论t（x）的单调性；（Ⅱ）函数g（x）＝x3（x＞0）的图象在点P处的切线为l，证明：有且只有两个点P 使得直线l与函数f（x）的图象也相切．【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）结合已知及导数的几何意义及导数与函数单调性的关系即可证明．解：（Ⅰ）因为：t(x)=12x2+2alnx，所以：t′(x)=x+2ax=x2+2ax．所以：①当2a≥0即a≥0时：t（x）在（0，+∞）增；②当2a＜0即a＜0时：令t'（x）≥0有：x≥√−2a，所以：t（x）在(0，√−2a]减，在[√−2a，+∞)增．（Ⅱ）证明：设P(x0，x03)(x0＞0)．因为：g'（x）＝3x2，所以：g′(x0)=3x02．所以直线l的方程为：y−x03=3x02(x−x0)，即：y=3x02x−2x03①．假设直线l与f（x）的图象也相切，切点为：（x1，lnx1）．因为f′(x)=1x，所以：f′(x1)=1x1．所以直线l的方程也可以写作为：y−lnx1=1x1(x−x1)．又因为：3x 02=1x 1，即：x 1=13x 02． 所以直线l 的方程为：y −ln 102=3x 02(x −12)，即：y =3x 02x −2lnx 0−ln3−1②． 由①②有：−2lnx 0−ln3−1=−2x 03，即：2x 03−2lnx 0−1−ln 3=0．令：m(x 0)=2x 03−2lnx 0−1−ln3=0(x 0＞0)， 所以：m′(x 0)=6x 02−2x 0．令m′(x 0)=6x 02−2x 0≥0，得：x 0≥√133， 所以：m （x 0）在(0，√133]减，在[√133，+∞)增．所以：m(x 0)min =m(√133)=2×13−2ln √133−1−ln3=−13−13ln3＜0，又因为：当x →0时，m （x 0）→+∞；当x →+∞时，m （x 0）→+∞．所以：m(x 0)=2x 03−2lnx 0−1−ln3=0在（0，+∞）有且只有两个实数根． 所以：有且只有两个点P 使得直线l 与函数f （x ）的图象也相切．21．已知椭圆C ：x 22+y 2=1，点P （0，1），直线y =kx −13分别交椭圆C 于点A ，B （A ，B 与P 不重合）． （Ⅰ）证明：PA ⊥PB ；（Ⅱ）若以点E(0，19)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【分析】（Ⅰ）由题意将直线AB 与椭圆的联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线PA ，PB 的斜率之积，可得之积为﹣1，可证得PA ⊥PB ；（Ⅱ）三种方法，（法一）由（Ⅰ）可得线段AB 的中点D 的坐标，求出DE →，由直线AB 的方程可得AB →=（1，k ），由题意可得DE ⊥AB ，可得DE →⋅AB →=0，由数量积为0求出k 的值，进而求出半径DE 的值，求出圆的方程．（法二）同法一）先求出AB 的中点D 的坐标，进而求出半径|DE |，再求E 到直线AB 的距离d ，由直线与圆相切可得d ＝|DE |，求出k 的值，进而求出半径r ，写出圆的方程； （法三）由直线与圆相切可得，AB 的中点为切点可得|AE |＝|BE |，设A ，B 的坐标，可得等式，再由A ，B 在椭圆上，求出A ，B 的纵坐标的关系，化简得：(y 1−y 2)(y 1+y 2+29)=0，当y 1＝y 2时可得k 的值，进而求出r 的值，写出圆的方程，当y 1+y 2=−29时，由（Ⅰ）求出x 1+x 2，再由y 1+y 2=k(x 1+x 2)−23=43k22k 2+1−23=−29，可得k 的值，进而求出圆的方程．解：（Ⅰ）证明：根据题意有：直线PB 、PA 斜率均存在，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）联立：{x 22+y 2=1y =kx −13，有：(2k 2+1)x 2−4k 3x −169=0， 所以：x 1+x 2=4k 32k 2+1，x 1x 2=−1692k 2+1．因为：k PA ⋅k PB=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=kx 1−43x 1⋅kx 2−43x 2=k 2x 1x 2−43k(x 1+x 2)+169x 1x 2=−169k 22k 2+1−169k 22k 3+1+169−1692k 2+1=−1，所以：PA ⊥PB ．（Ⅱ）方法一、如图所示：设线段AB 的中点为D （x D ，y D ），则：x D =x 1+x 22=23k 2k 2+1，y D =kx D −13=23k 2k 2+1⋅k −13=−132k 2+1． 因为以E(0，19)为圆心的圆与直线AB 相切于AB 的中点D ， 所以：ED →⊥AB →， 又因为：ED →=(23k 2k 2+1，−132k 2+1−19)，且AB →与（1，k ）平行，所以：23k2k 2+1+(−132k 2+1−19)k =0，解得：k ＝0或±1． ①当k ＝0时：r =|−19−13|√k +1=49，所以：圆E 的方程为：x 2+(y −19)2=1681． ②当k ＝±1时：有：r =|−19−13|√k +1=2√29，所以：圆E 的方程为：x 2+(y −19)2=881．由①②有：圆E 的方程为x 2+(y −19)2=1681或x 2+(y −19)2=881．方法二、因为以E(0，19)为圆心的圆与直线AB 相切于AB 的中点D ，所以：圆的半径r =|−19−13|√k +1=√(23k 2k 2+1)2+(−132k 2+1−19)2，解得：k ＝0或±1． 前后同方法一：…… 方法三、如图所示：根据题意结合图形有：|EA |＝|EB |，即：√x 12+(y 1−19)2=√x 22+(y 2−19)2， 即：√2−2y 12+(y 1−19)2=√2−2y 22+(y 2−19)2， 化简得：(y 1−y 2)(y 1+y 2+29)=0，所以：y 1﹣y 2＝0或y 1+y 2=−29．①当y 1﹣y 2＝0时，易得：k ＝0，即：l AB ：y =−13，易得：D(0，−13)，所以：r =|ED|=49．所以：圆E 的方程为：x 2+(y −19)2=1681．②当y 1+y 2=−29时：y 1+y 2=k(x 1+x 2)−23=43k 22k 2+1−23=−29，解得：k ＝±1．所以：y D =y 1+y 22=−19，所以：x D =y D +13k =29k． 即：D(29k ，−19)．有：r =|ED|=√(29k )2+(−19−19)2=2√29，所以：圆E 的方程为：x 2+(y −19)2=881． 由①②有：圆E 的方程为x 2+(y −19)2=1681或x 2+(y −19)2=881．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2cosβy =2+√2sinβ（β为参数），直线l 过原点且倾斜角为α，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求|OB||OA|+|OA||OB|的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据曲线C 1的参数方程{x =√2cosβy =2+√2sinβ，先求出普通方程，然后转化为极坐标方程即可，根据直线l 过原点且倾斜角为α，可直接得到直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）联立{ρ2−4ρsinθ+2=0θ=α，可得ρ1+ρ2＝4sin α，ρ1ρ2＝2，然后根据|OB||OA|+|OA||OB|=ρ2ρ1+ρ1ρ2，结合sin 2α的范围，求出|OB||OA|+|OA||OB|的取值范围．解：（Ⅰ）由{x =√2cosβy =2+√2sinβ（β为参数）有x 2+y 2﹣4y +2＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ+2＝0，直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ）（α∈[0，π））．（Ⅱ）联立{ρ2−4ρsinθ+2=0θ=α，有ρ2﹣4ρsin α+2＝0，根据题有△＝16sin 2α﹣8＞0，∴12＜sin 2α≤1．在极坐标系下设A （ρ1，α）、B （ρ2，α），∴ρ1+ρ2＝4sin α，ρ1ρ2＝2． ∴|OB||OA|+|OA||OB|=ρ2ρ1+ρ1ρ2=ρ22+ρ12ρ1ρ2=16sin 2α−42=8sin 2α−2．∵12＜sin 2α≤1，∴2＜8sin 2α﹣2≤6， ∴|OB||OA|+|OA||OB|取值范围为（2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b 都是实数，a ≠0，函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|． （Ⅰ）若f （x ）＞1，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若|52a +b|+|a −2b|≥|a|f(t)对满足条件的所有a ，b 都成立，求实数t 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由f （x ）＝|x +1|+|x −32|+|x −32|，运用绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得f （x ）的最小值，即可得到所求x 的范围；（Ⅱ）由题意可得f(t)≤(|52a+b|+|a−2b||a|)min ．运用绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得最小值，再由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求范围．解：（Ⅰ）因为f(x)=|x +1|+|2x −3|=|x +1|+2|x −32|≥|x +1|+|x −32|≥52（x =32时取等号），而52＞1．可得x 的取值范围为R ；（Ⅱ）由|52a +b|+|a −2b|≥|a|f(t)，有f(t)≤|52a+b|+|a−2b||a|，即f(t)≤(|52a+b|+|a−2b||a|)min ．因为：|52a+b|+|a−2b||a|=|52a+b|+2|a 2−b||a|≥|52a+b|+|a 2−b||a|≥3|a||a|=3（a ＝2b 时取等号）， 所以f （t ）≤3．即|t +1|+|2t ﹣3|≤3，即{t ≥32t +1+2t −3≤3或{−1＜t ＜32t +1+3−2t ≤3或{t ≤−1−t −1+3−2t ≤3， 解得32≤t ≤53或1≤t ＜32或无解，所以t ∈[1，53]．。