方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
量子力学题库
量子力学题库Last revision on 21 December 2020《量子力学》题库一、 简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。
等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。
试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。
或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。
5 什么是定态定态有什么性质答：定态是指体系的能量有确定值的态。
在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理两者的关系是什么答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
有限深方势阱束缚态能级和共振能级
有限深方势阱束缚态能级和共振能级引言物质的微观性质一直以来都是物理学的研究重点。
在量子力学中，我们知道，微观粒子的行为可通过波函数来描述。
而这些波函数可以通过求解波动方程得到。
在此过程中，束缚态能级和共振能级是两个重要的概念。
本文将会深入探讨有限深方势阱中的束缚态能级与共振能级。
有限深方势阱的概念有限深方势阱是指具有有限深度的势能阱，常见于量子力学中对物质的建模。
它是一个在空间中限制粒子运动范围的势能形式。
一般而言，势能为负值，表示粒子在势阱内，而势能为正值，则表示粒子在势阱外。
有限深方势阱的宽度有限深方势阱的宽度是指势能阱的厚度，即在该势能阱中，粒子可以自由活动的区域的大小。
而不同宽度的有限深方势阱所产生的束缚态能级和共振能级也不同。
有限深方势阱中的束缚态能级束缚态能级指的是一个势能阱中的粒子的能量取值，使得粒子几乎总是被束缚在势阱内。
在有限深方势阱中，存在多个束缚态能级，它们对应不同的能量取值。
主要能级的性质•第一能级：具有最低的能量。
粒子在此能级上的概率最高，通过求解定态薛定谔方程可以得到第一能级的波函数。
•第二能级：拥有比第一能级更高的能量。
第二能级的波函数形态与第一能级类似，只是具有更高的能量取值。
•第三能级：粒子在此能级上的概率较低，其波函数形态与前两个能级有所不同。
能级间距的计算方式能级间距是指相邻两个能级之间的能量差值。
在有限深方势阱中，能级间距是通过求解定态薛定谔方程得到的能量本征值之差。
有限深方势阱中的共振能级共振能级是指当一个外部激励作用于有限深方势阱时，使得粒子能量接近或等于势能的一个特定值。
在共振能级上，粒子被激发到能量较高的状态，并可能逐渐脱离势能阱。
主要共振能级的特点•共振能级的能量取值与外部激励的特性有关。
当外部激励的频率与某一共振能级的能量相匹配时，共振现象会出现。
•共振能级的宽度随着势阱的深度而增加。
深度较大的势阱会产生更多的共振能级。
共振的应用共振现象在现实世界中具有广泛的应用。
已知一维势箱中粒子的归一化波函数
一维势箱是量子力学中常见的模型之一，它是一个无限高、有限宽的势阱，通常用来研究粒子在受限空间中的运动和波函数的性质。
在这篇文章中，我们将深入探讨一维势箱中粒子的归一化波函数，从而全面理解这一物理概念。
1. 一维势箱模型的基本原理一维势箱是一个简单而重要的量子力学模型，它由一个无限高的势垒和两个无穷远处的势垒组成。
在这个势能场中，粒子受到的势能只取决于其位置，而不受到时间的影响。
我们可以通过求解薛定谔方程来得到粒子在一维势箱中的波函数和能级。
2. 一维势箱中的波函数形式对于一维势箱中的粒子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
在势能区域内，波函数满足薛定谔方程；而在势能区域外，波函数的取值将被限制在势能区域内。
一维势箱中粒子的波函数形式可以用简单的数学表达式来表示，而每个能级对应的波函数都有其特定的形式和特性。
3. 归一化波函数的重要性对于处于势能区域内的粒子而言，其波函数可以描述其在该位置的概率分布情况。
而为了确保波函数在整个空间内的概率密度为1，即粒子一定在某一位置上的概率为1，我们需要对波函数进行归一化处理。
归一化波函数的重要性在于确保波函数在整个空间内的概率密度总和为1，从而满足量子力学的概率解释。
4. 一维势箱中粒子的归一化波函数在一维势箱中，粒子的归一化波函数可以通过对波函数的幅值进行适当的归一化处理得到。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到不同能级对应的波函数形式，并通过归一化处理得到归一化波函数。
这些归一化波函数具有一定的特性，如满足正交性和归一性等。
5. 个人观点和理解一维势箱中粒子的归一化波函数是量子力学中的重要概念，它不仅可以帮助我们理解粒子在受限空间中的运动和性质，还可以帮助我们理解量子力学中波函数的概念和性质。
通过深入研究一维势箱中粒子的归一化波函数，我们可以更加深入地理解量子力学的原理和应用，从而为理解其他物理现象奠定良好的基础。
在本文中，我们深入探讨了一维势箱中粒子的归一化波函数，从其基本原理到具体的波函数形式和重要性，再到个人观点和理解。
一维方势阱粒子波函数和能级的求解方法
北京：高等教育出版社，2006 北京：科学出版社，2002 合肥：中国儿科学技术大学出版社，1999
指导教师：路兴强 2011 年 12 月 20 日
南 华 大 学
UNIVERSITY OF SOUTH CHINA
毕业论文开题报告
学 题
院：
核科学技术学院
目： 一维方势阱中束缚态粒子波函数和能级
求解方法
3 数值法求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22
3.1 能级的求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·22 3.2 波函数的求解· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23
设计（论文）题目类型 软件仿真 一、设计（论文）依据及研究意义：
量子力学中，不可能同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态， 因为微观粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。波函 数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成正比。 一维方势阱中束缚态 是最基础的情况，是解决各类问题的基础。其他各状态可以由不同的束缚态叠加 得到。
五、进行设计（论文）所需条件： 电脑一台、若干参考书 参考文献： [1] [2] [3] [4] [5] 曾谨言， 量子力学 北京：科学出版社 周世勋， 量子力学 北京：高等教育出版社，200906 马文淦， 计算物理 北京：科学出版社，201101 李丽娟，牛莉 C 语言程序设计 北京：中国铁道出版社，200801 Daniel F. Styer， Common Misconceptions Regarding Quantum Mechanics
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
02-08 g一维无限深方势阱中粒子的波函数
将方程写成 ''( x) k2 (x ) 0
•通解
(x ) A coskx B sinkx
式中 A 和 B 是待定常数
5. 由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是 (x ) A coskx B sinkx
1)解的形式
x 0 (0) 2(0) 0 A 0
解的形式为 ( x) B sin kx
三维方势肼
U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
0 ax
无限深方势阱 （ potential well ）
U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
0 ax
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零 在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
二.薛定谔方程和波函数
粒子在阱内自由运动 不能到阱外
3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
a
( x) *( x)dx 1
0
得
B
a
B2sin 2kxdx 1
0
2
a
•本征函数 (x ) 2sin nπ x
n
aa
(n 1,2,3,)
6. 波函数
考虑到振动因子
e
i
Ent
谢谢
1.x
阱内 U(x) 0 ( 0 x a) 阱外 U(x) ( x 0 x a)
2. 哈密顿量
3. 定态薛定谔方程 阱外：
U(x) 0
0
ax
阱内：
4. 分区求通解 1)阱外
根据波函数有限的条件 阱外
2(x) 0 x a, x 0
2)阱内
为了方便将波函数脚标去掉
金属中的电子
有限深方势阱束缚态能级和共振能级
有限深方势阱束缚态能级和共振能级一、引言有限深方势阱是量子力学中一个经典的问题，它是研究束缚态能级和共振能级的基础模型。
在物理学、化学、材料科学等领域中都有广泛应用，例如在半导体器件中，电子在晶格势场中形成的能带结构就可以看作是一系列的有限深方势阱。
二、有限深方势阱的定义有限深方势阱是指一个宽度为L，高度为V0（V0>0）的无限高平台上存在一个宽度为L1（L1<L）的矩形势场，在矩形势场外部的区域，势能为零。
这个模型可以用以下公式表示：V(x) = { 0, x<0 or x>L;-V0, 0<=x<=L1;0, L1<x<L }三、束缚态能级束缚态是指粒子被限制在一个有限区域内运动，并且其波函数在无穷远处趋于零。
对于有限深方势阱而言，束缚态能级可以通过求解薛定谔方程得到。
1. 薛定谔方程薛定谔方程描述了量子体系的演化，对于一维的有限深方势阱而言，其薛定谔方程可以写成以下形式：-(h^2/2m) * d^2/dx^2 ψ(x) + V(x) * ψ(x) = E * ψ(x)其中，h为普朗克常数，m为粒子质量，V(x)为势能函数，E为能量本征值，ψ(x)为波函数。
2. 解析解对于有限深方势阱而言，当E<V0时存在束缚态能级。
在矩形势场内部的区域（0<=x<=L1）和外部的区域（L1<x<L）分别求解薛定谔方程可以得到两个线性无关的解：ψ1(x) = A * sin(k1*x), 0<=x<=L1;ψ2(x) = B * e^(k2*x), L1<x<L;其中k1=sqrt(2mE/h^2)，k2=sqrt(2m(E-V0)/h^2)，A、B为待定系数。
由于波函数在x=0和x=L处必须连续，并且其导数也必须连续，所以可以列出以下方程组：A * sin(k1*L1) =B * e^(k2*L1);A * k1*cos(k1*L1) =B * k2*e^(k2*L1);解这个方程组可以得到待定系数A、B的值，从而得到波函数和能量本征值E。
量子力学——有限深方形阱
我们可以观察到，当 x 趋向负无穷，包含 F 的项目趋向无穷。类似地，当 x 趋向无 穷，包含 I 的项目趋向无穷。可是，波函数在任何 x 都必须是有限值。因此，我们必须 设定 。阱外区域的波函数变为: 在阱左边，随着 x 越小，波函数 在阱右边，随着 x 越大，波函数 归一化。 由于有限深方形阱对称于 波函数不是奇函数就是偶函数。 呈指数递减。 呈指数递减。这是合理的。这样，波函数才能够 。我们可以利用这对称性来省略计算步骤。
其中，
是约化普朗克常数， m 是粒子质量，x 是粒子位置，V(x) 是位势，E是能量。
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1.1阱内区域
在阱内，位势
，方程简化为：
(2)
设定波数 为
(3)
代入方程 (2) ：
这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 与余弦函数的线性组合：
是正弦函数
其中， A与 B都是复值常数，由边界条件而决定。
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1.2 阱外区域
在阱外，位势
，薛定谔方程为：
视能量是否大于位势而定，有两种不同的解答：
一种是自由粒子解答 另一种是束缚粒子解答
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二、束缚态
假若，粒子的能量小于位势：E＜V0 ，则这粒子束缚于位势阱内．称这粒子的 量子态为束缚态（bound state）。设定 (4)
代入方程 (1) ： 一般解是指数函数。所以，阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是
其中，F ，G ，H ，I 都是常数。 从正确的边界条件，我们可以找到常数 A，B ，F ，G ，H ，I 的值
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2.1 束缚态的波函数
薛定谔方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的 边界条件。 总结前面导引出的结果，波函数 的形式为： （阱外区域）， （阱内区域）， （阱外区域）。 ：阱左边， ：阱内， ：阱右边，
一维有限深方势阱能量本征方程的数值解与近似解析解
一维有限深方势阱能量本征方程的数值解与近似解析解杨梓骞;苗青;樊转转;陈鹏;吕铭;金光日【摘要】一维有限深方势阱的束缚态本征值问题无法精确求解.数值计算能量满足的超越方程,可以给出能谱和能量本征波函数.本文基于超越方程的泰勒级数展开,给出了一级近似下能谱及其波函数的解析解,发现束缚态个数由一个无量纲参数R确定,该参数正比于势阱宽度乘以势阱高度开方.除了最高能级波函数,能谱及其波函数的近似解析解与数值结果吻合.大R极限下,发现近似解析解退化为可精确求解的无限深势阱情况.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2018(037)012【总页数】4页(P49-52)【关键词】一维有限深方势阱;束缚态;超越方程;能谱;能量本征波函数【作者】杨梓骞;苗青;樊转转;陈鹏;吕铭;金光日【作者单位】浙江理工大学物理学系,浙江杭州310018;浙江理工大学物理学系,浙江杭州310018;浙江理工大学物理学系,浙江杭州310018;浙江理工大学物理学系,浙江杭州310018;浙江理工大学物理学系,浙江杭州310018;浙江理工大学物理学系,浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】O413.1在特定边界条件下，求解能量本征值问题是量子力学的重要内容. 一维无限深方势阱中的能量本征值方程可以严格求解，能谱满足如下关系:(1)式中，上标∞标记无限深势阱情况，ћ=h/(2π)为普朗克常量，m为粒子的质量，a 为阱宽. 从式(1)可清楚看出，无限深势阱中运动的微观粒子能量是离散的，并随量子数n的平方增大.有限深方势阱的能量本征方程无法精确求解,这是因为粒子能量遵从一个超越方程. 目前，诸多量子力学教材仅限于图解法求解超越方程[1，2],并未给出能谱及本征能量波函数. 1991年，Barker等人[3]利用一阶泰勒级数展开，给出了能量本征值的近似解析解，但并未精确预言有限深方势阱中束缚态个数. 2016年，王再军[4]用一维谐振子能量本征波函数为基函数，求解了有限深势阱中粒子的能级及其本征波函数，但该方法复杂，略显”大材小用”(原作者评).瞄准上述问题，本文首先数值求解能量满足的超越方程，给出一维有限深方势阱的能谱及其波函数.然后基于超越方程的泰勒级数展开,给出了一级近似下能谱及其波函数. 与Barker等人[3]不同，我们的解析结果自然给出势阱内束缚态个数，它依赖于一个无量纲参数其中a为阱宽，V0为势阱高度. 除了最高能级波函数，近似解析的能谱及其波函数与数值结果吻合. 最后考虑大R极限，发现近似解析解退化为可精确求解的无限深势阱情况,这对课堂教学及学生理解物理具有很大帮助.1 能量本征方程下面我们具体考虑有限深势阱问题，能量本征方程为其中势阱由分段函数描述:(2)全文只讨论束缚态情况,即粒子的能量E满足0<E<V0.在阱外，外势为V0，因此能量本征方程以简化为ψ″-β2ψ=0，式中引入参数:(3)在阱内,V(x)=0，能量本征方程为式中引入参量(4)具体考虑束缚态边界条件(即，|x|→∞时，ψ→0)，求解能量本征方程[1,2]，得到波函数:(5)由于势阱具有空间反射不变性，阱内波函数具有确定的宇称:1) 偶宇称,及2)奇宇称下面分别讨论奇、偶宇称情况的能谱和波函数.1.1 偶宇称解偶宇称情况，阱内、外波函数及其一阶导数在x=±a/2处连续，因此得到(6)(7)式中，为了便于计算,已引进无量纲参数:ξ=ka/2，η=βa/2以及无量纲半径由式(7)的第二个等式定义. 以电子为例，质量m=9.1×10-31 kg,取势阱高度V0=20 eV，阱宽a=0.5 nm，则R≈57.注意到，式(7)的第一个结果一个关于本征能量E的超越方程，只能数值求解. 如图1所示，我们采用Mathematica计算软件得到一系列实根(ξn，ηn)，n=1，2，3，…为自然数. 由此确定本征能谱(9)进一步，利用波函数的归一化条件，得到(10)其中，k和β由数值计算结果(ξn，ηn)确定. 一旦的值确定，自然得到系数Α和B，以及偶宇称情况下阱内、外能量本征波函数.图1 超越方程(7)和(11)的数值求解.实线:偶宇称情况，折线:奇宇称情况，二者与粗实线(ξ2+η2=R2)的交点确定一系列实根(ξn，ηn)，n=1，2,…，N，其中奇数n对应于偶宇称的根(实心圆)，偶数n对应于奇宇称(×). 参数: R=10.1.2 奇宇称解对于奇宇称情况，由波函数及其一阶导数连续性，可得η=-ξcot(ξ)，ξ2+η2=R2(11)(12)再由波函数的归一化条件，得到2 能谱和波函数的数值解图1中，取无量纲半径R=10，数值求解超越方程(7)和(11)，得到7个实根(ξn,ηn)，如图1所示. 可以发现偶宇称解(实心圆)和奇宇称解(叉)交替出现，解的个数有限，当R<π/2时，只有一个偶宇称解,当π/2<R<π，有两个解(奇、偶宇称各一个)，而当3π<R<7π/2时,有7个根. 暗示超越方程根的总数目N≈2R/π.给定R，可得到超越方程的根(ξn,ηn)，n=1,2,…,N,下一步计算能谱和波函数. 首先，由式(7)中R的定义，及式(9)可得(14)可见能谱以势阱高度V0为单位. 为了计算简单，全文中取a=V0=1.如图2所示，En近似和n2成正比，这一点可从能谱的log-log图更清楚地看出. 但是，对于每个量子数n，En总是低于无限深势阱的能级高度此外，有限深方势阱的能级总数是有限的,这是因为束缚态能级图3给出有限深方势阱的能量本征波函数. 对于每一个给定的量子数n，我们将数值解(kn，βn)=(2ξn/a，2ηn/a)代入式 (10)和式(13)中,从而确定波函数的系数，以及能量本征波函数ψn(x). 从数值结果(实心圆)发现: 1) ψn(x)具有确定的宇称，ψn(-x)=(-1)n-1ψn(x)，与无限深势阱的能量本征波函数类似; 2) 量子数n越大,ψn(x)在阱内振荡越快; 3) 与无限深势阱情况显著不同，在阱外ψn(x)≠0，即粒子有一定的概率出现在经典禁区(即|x|>a/2).图2 有限深势阱的能级En随量子数n的变化(实心圆)，以及与无限深势阱能谱(叉)比较，实线为近似解析解，式(20). (b)为能谱的log-log图.参数:a=V0=1，R=20. 图3 有限深势阱的能量本征波函数随坐标x的变化(实心圆)，从上至下，量子数取为(a) n=1;(b)n=2;(c)n=N-1；(d) n=N. 实线: 近似解析波函数，折线:无限深势阱的波函数 (见式(23)). 参数: a=V0=1，R=11.5. 除了最高能级(n=N=8)，近似解析波函数与数值解吻合.3 能谱及波函数的近似解析解为了挖掘更多物理内容，下面讨论有限深势阱的近似解析能谱及其波函数. 与Barker等人[3]的结果不同，我们的解析结果自然给出束缚态个数N.3.1 能谱的近似解从图1可见ξn～nπ/2，暗示其中为一个相对于R的小量. 首先考虑偶宇称,即n取奇数，将式(7)的第一个等式的右边级数展开，只保留到得(15)再代入式(7)的第二个表达式中，得(16)该近似结果，同样只保留到因此得到一个关于的一元二次方程，两根取其一，得(17)式(17)的第一个结果存在实根的条件为4R2n2-n4π2>0，即n<2R/π. 由此自然得到有限深势阱中束缚态个数:(18)式中Ceiling(x)表示大于或等于x的最小整数. 注意到无论R的取值是多少，必定存在一个偶宇称解(即基态)，因此N≥1.注意到，在式(17)的第一个解中消掉分母n2π2、分子n4π2，又可以得到第二个解(即，简化的由此进一步得到(19)以及能谱的近似结果:(20)与Barker等人[3]的结果一致.上述近似结果对奇宇称情况也成立. 图2中实线给出的结果正是En的近似结果，与数值解吻合，且自然截断到EN. 在大R极限下，即(21)近似解析解所以能谱自然回归到无限深方势阱情况.3.2 波函数的近似解波函数的近似解析解由式(19)可知. 将ξn的近似解代入式(7)，得到以及参数(kn,βn)=(2ξn/a,2ηn/a).再由式(6)和式(10)，得到波函数的系数A、B和以及偶宇称波函数的近似解. 类似地,可求出奇宇称情况的近似解析波函数. 如图3中实线所示，除了ψN(x)，近似解析波函数与数值解(实心圆)吻合.大R极限下，前面的分析已知有限深势阱内粒子能谱：(22)表明kn→nπ/a，即sin(kna)=0. 另一方面，考虑阱宽a固定，阱高V0→∞，则βn→∞(见式(3)). 因此，式(10)和(13)给出阱内波函数自然回归到可精确求解的无限深势阱情形:(23)此外，还可以证明大R极限下，阱外ψn(x)→0.4 总结及讨论本文给出有限深对称方势阱能量本征方程的数值和近似解析解. 将能量E满足的超越方程泰勒级数展开，发现一级近似下可以确定束缚态个数N,它由无量纲参数唯一确定. 此外，大R极限下，粒子的能谱和波函数自然退化到无限深方势阱情况. 近似解析和数值解有助于学生直观地理解: 1) 有限深方势阱的能谱近似与量子数n 平方成正比、且能级个数有限;2) 与无限深势阱情况不同，粒子有一定的概率出现在阱外经典禁区.注意到一级近似下，能谱与波函数和解析解与数值结果吻合. 但需要特别指出，对于某些特殊的R值，最高能级的近似解析波函数ψN(x)无法计算，例如R=11.5，如图3(d)所示. 这些R值处，束缚态个数N准确、依然由式(18)给出，但式(19)给出的近似参量ξN>R，与实际情况相悖. 为了克服这一问题，需要给出高阶近似的能量本征波函数，这将为后续研究一维势阱中粒子的动力学问题[5]、相空间的波函数表示[6]提供便利.【相关文献】[1] 曾谨言. 量子力学教程 [M]. 3版. 北京: 科学出版社，2014: 33-35.[2] David J Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics [M]. Beijing: China Machine Press，2006:78-80.[3] Barker B I，Rayborn G H，Ioup J W，et al. Approximating the finite square well with an infinite well: Energies and Eigenfunctions [J]. Am J Phys，1991，59: 1039-1041.[4] 王再军. 用基函数展开法求解一维有限深方势阱模型 [J].大学物理，2016，35(08): 39-43.[5] Venugopalan A, Agarwal G S. Superrevivals in the quantum dynamics of a particle confined in a finite square-well potential [J]. Phys Rev A 1999，59:1415-1421[6] 张涵，刘志伟，任政学，等. 基于实稳定方法求解单粒子共振态的Wigner 函数[J]. 大学物理，2018，37(01): 17-24.。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
| n |2 dx 1
A2 a sin2 nπ xdx A2 a 1 (1 cos 2n x)dx A2 a 1
0
a
02
a
2
因此
可见：波函数的归一化常数与能级的级
A 2 / a 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
波函 数为
n (x)
2 sin nπ x aa
概率密 度为
|
n (x)
E
0(0
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为ຫໍສະໝຸດ d2dx2k 20
O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数
一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数在量子力学中，一维半壁无限高势阱是一个经典的模型系统。
本文将讨论在这个势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数。
一维半壁无限高势阱是一个具有无限高度的势阱，只在一侧存在。
势阱的长度为L。
根据量子力学的基本原理，粒子的能级和波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程是描述量子力学粒子行为的基本方程。
在一维情况下，薛定谔方程可以写成：$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$其中，$\hbar$是约化普朗克常数，m是粒子的质量，$\psi(x)$是粒子的波函数，E是粒子的能量。
我们假设势阱在0<x<L区间内，势能为无穷大，在其他区间内势能为0。
为了求解薛定谔方程，需要考虑势阱内和势阱外的两种情况。
首先，考虑势阱内的情况，即0<x<L区间范围。
在0<x<L区间内，势能为无限大，因此波函数必须为0。
解得波函数为：$\psi(x) = 0$ (0<x<L)接下来，考虑势阱外的情况，即x<0和x>L的区间范围。
在势阱外，势能为0，可以得到波函数满足薛定谔方程。
解得波函数为：$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$ (x<0和x>L)解上述微分方程得到的波函数为：$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ (x<0)$\psi(x) = Ce^{ikx} + De^{-ikx}$ (x>L)其中，k是波矢，A、B、C、D是待定系数。
根据波函数的归一化条件，我们可以得到归一化常数的关系。
$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1$由于势阱外波函数为平面波，归一化条件可以写成：$\int_{-\infty}^{0} |Ae^{ikx} + Be^{-ikx}|^2 dx + \int_{L}^{\infty} |Ce^{ikx} + De^{-ikx}|^2 dx = 1$化简上述积分表达式，并考虑到平面波的性质，可得：$|A|^2 + |B|^2 + |C|^2 + |D|^2 = \frac{1}{L}$以上是在一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数的讨论。
曾量子力学题库(网用)(1)
一、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位）3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量子理论5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。
问在此状态中能否测得其它力学量的概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某一力学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件11.（2）假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零，试解释是否存在某一激发态，该激发态在全空间范围内也都大于零。
12.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 16.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。
17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）一维无限深势阱体系⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(⎩⎨⎧><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某一维体系，粒子的势能为222x μγ，其中μ为粒子质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
量子力学-束缚态和散射态概念比较汇总
)()(x x V γδ-=束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中E <V 0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。
散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。
对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。
实际上二者有极其密切的联系。
下面将予以讨论2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有)()(x x V γδ-=，)0(>γ见右图。
在0≠x 处，0)(=x V 。
0>∴E 为游离态（自由态），E可取任何连续值。
0<E 时则可能存在束缚态，此时E取分立值。
以下讨论0<E 的情况。
定态Schrodinger 方程为，0)]([2d d 222=++ψγδψx E mx积分⎰-→+εεεx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件，)0(2)0(')0('2ψγψψ m -=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψm =--+在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为0)(''2=-ψβψx其中02>-=mEβ，)0(<E 解为x e β±，可写为x x Be Ae ββ-+，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。
考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），(a)偶宇称态⎩⎨⎧<>=-0)(x cex ce x xxββψ 或写成||)(x ce x βψ-=c 为归一化因子。
现在根据跃变条件求解。
按'ψ的跃变条件，c m c c ⋅-=--2/2 γββ2/ γβm =∴因此可得出粒子能量的本征值2222022γβm m E E -=-==由归一化条件⎰∞∞-==1/||d ||22βψc x ，可得出L m c /1/2=== γβ，γm L /2 =是势的特征长度。
物理-粒子在一维无限深方势阱中的运动
a
2a
x
a 3
处的几率密度:
(x a ) 2 1 cos 0
3 a2
例2 在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
f (x) 1 sin x 1 sin 2 x
aaa a
问(1)每次可能测到的值和相应概率？ (2)能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
m
a
xsin n
a
xdx
1 a
a 0
cos
m a
n
xdx
a 0
cos
m a
n
xdx
0
若mn
a
*
m
(
x)
m
(
x)dx
1
0
可一般的证明,任意Hamiltonian算子属于不同本征值的
本征函数都是正交的。
4、粒子的物质波在阱中形成驻波
k n ,n 1,2,
a
定态波函数: n (x)
2 sin n x
2 2
2ma 2
n2,
n 1,2,3,
质子基态能量:
E1
2 2
2m pa2
3.31013(J )
第一激发态能量:
E2
2 2
2m pa2
22
4E1
E2 E1 9.9 1013 J 6.2(MeV )
1eV 1.6021019 J
相应的能量本征值： E 2k2 ―连续谱
2m
( x) eikx , eikx
自由粒子波函数：
2k2 E
2m
E (x,t)
e ikx
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
定态方程
2 2 [ V (r )] E (r ) E E (r ) 2m
V ( r ) 不显含t时的形式，是我们后
面讨论大多数物理问题的情况，为 方便，通常将略去 E (r ) 中的下标E。
4
简短回顾（3）
力学量算符
动量算符
动能算符
ˆ i p
2 1
e
a 2 x 2 / 2
E1 3 / 2 1 ( x) 2a axea x 1/ 4 E2 5 / 2 2 ( x)
1
0
/2
2 2
n
0
x
1/ 4
a 2 2 a 2 x 2 / 2 (2a x 1)e 2
20
四、方势垒的反射与透射(1)
经典粒子
2 ˆ T 2 , 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 ˆ T ˆ V 哈密顿算符 H V (r ) 2m ˆ 能量算符 E i t
角动量算符
ˆ ˆ l r p ir
18
三、一维谐振子(4)
2
4、能量本征态（1） n d / 2 H n ( ) (1) n e e , n 0,1,2, . 因为 ( ) Ae H ( ) ， n d A 要根据 ( )的归一化条件确定，即 其中， * 2 2 ( ) ( ) d | A | H ( ) e d 1 n 1, m n n 由于 H m ( )H n ( )e d 2 n! mn mn 0, m n 得到 A An [a /( 2n n!)]1 2 a m 能量本征态 a x / 2
第2章 习题课21(一维势阱系列I)
习题课021 第2章 一维势场中的粒子1.例题（一维势阱系列题I ）①质量为μ的粒子在一维无限深势阱 ⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x V 00)( 中运动,求出粒子的能级和对应的波函数。
解：本征值方程： ⎪⎩⎪⎨⎧><=≤≤=-a x x a x E dx d ,0,00,2222ψψψμ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=a x 0, x ,0a x 0,sin 2x an a nπψ),3,2,1n (a2n E 2222n =μπ=，（有三种一般解的形式可令。
）其含时波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ax 0, x ,0ax 0,e)sin(2),(i -tE n n x an a t x πψ②粒子处于基态，则找到粒子的概率密度为最大的位置是哪里？ 解：在区间ax 0≤≤内求x aaπψω2211sin2||==的极大值，结果为x=a/2③设粒子处于一维无限深势方阱中（如图），证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子， 2a x =）（）（22226112πn ax x -=-。
讨论∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
[解]写出归一化波函数：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<>=ψ)0(,sin 2),0(,0a x a xn a a x x x n π 先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaan ）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式： 2cos sin cos ppx ppxx pxdx x +-=⎰22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-已知，可计算2xdx axn x adx ax n x adx x x aan ）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式pxppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰ （5）有 aa x n x n a a x n n a x n a x a x 0222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的概率密度看作相同，由于总概率是1，概率密度a1=ω。
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整理得
髓毒簟２篇ｉ兰冀三一。 Ｉ已～’２“Ｂ＋Ｐ矗２。ｃ—Ｐ。ｌ“Ｄ—ｏ
①一
【一ｉ是２Ｐ一‘ｚ４Ｂ＋ｉ志２Ｐ墙２“ｃ＋走ｌｅ—ｌ“Ｄ—ｏ
方程组①是关于Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ 的一次齐次方程组，它有不全为零的解的条件是
ｆＣＰ一２。＝Ｂｃｏｓ是ｌ口
即１鼬ｓ如一防印
可求＝∥２。ｃ。ｓ是１日Ｂ矿矿，ｚ＜一口
则各区域的波函数可写为：｛缈ｚ＝Ｂｃｏｓ是－丁，ｌＴｌ≤ｎ １９。＝矿ｚ“ｃｏｓ是。日Ｂｅ一‘ｚ。，ｚ＞ｄ
由波函数的归一化条件Ｉ Ｉ妒Ｉ ２ｄ丁一１，即有：
ｆ一一：、上；ｚＰｚ＾ｚ“ｃ。ｓ２是。日Ｐ２Ｉｚ。（１ｊｒ—｝一ｊ“一。上；２ｃ。ｓ２是－ｊ’ｃｌｊｒ—｝一Ｊ。上；２Ｐ２‘２“ｃ。ｓ２是。日Ｐ一２‘２。ｄｊｌ＝＝１
程，并未给出它们的归一化波函数．本文完整地求出了一维有限深对称和不对称势阱中的归一
化波函数，所得结果在势趋于无穷大时与无限深势阱中的波函数完全一致．
关键词：有限深势阱；无限深势阱；归一化波函数
中图分类号：０４１３．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—８０７８（２００４）０３一００３８一０７
Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｂＯｕｎｄ ｉｎ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｑｕａｒｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌｓ
万方数据
第３期
尹建武，等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
·３９·
一
一Ｅ９，０≤丁≤口
√掣＾一√警 一
，● ，／、● ●Ｌ
铲一即酽一即 水一山水一山缈一，少一，
＋Ｕｏ妒一Ｅ９，丁＜０，ｚ＞口
令屉１一 ～
ｈ２
”Ⅵ
～ｈ２
则分区的定态薛定谔方程为 由此得各分区域的通解为 式中４、Ｂ、Ｃ、Ｄ为待定常数．
ＹＩＮ Ｊｉａｎ—ｗｕ，ＷＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｍｅｉ
（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｈｕａｎｇｇａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｚｈｏｕ ４３８０００，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｉＩｌ ｎｏｗ ｎｏ ｂｏｏｋ ｈａｓ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｆｒｅｅｌｙ ｍｏＶｉｎｇ ｉｎ ａ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｃｑｕｉｒｅｓ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｎｅ—ｄｉ— ｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｗｅｌｌｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｉｎ ａｃｃｏｒｄ ｗｉｔｈ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｗｅｌｌｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌ；ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅＵ；ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｉｌ 一嬖学罢＋ｕ。哆：Ｅ缈，ｌｚ ｌ＞ｎ
９，，（ｚ）＋是；９（工）一ｏ，ｌｚＩ≤口 则分区的定态薛定谔方程为：口，，（ｚ）一是ｌ缈（ｚ）：ｏ，ＩｚＩ＞以
ｆ ９－（ｚ）一Ｃ∥２７，ｚ＜一口
‰匿
—
一口
０
口
图４一维中心对称有限深势井
由此得各分区的通解为：．｛缈。（ｚ）＝Ａｓｉｎ正，ｚ＋Ｂｃｏｓ愚ｔｚ，ＩｚＩ≤日 Ｊ够，（ｚ）一ＤＰ—１２ｚ，ｚ＞口
１哆一（Ｔ）一是｝缈（Ｔ）一ｏ，ｚ＜ｏ，ｚ＞口
Ｉ：ｆ ９１ ｉＴ）一Ａ∥ｌ。，ｚ＜ｏ Ⅱ：＜９２（ｚ）一ＢＰｌ‘２１＋ｃ已抽２７，ｏ≤ｚ≤口 Ⅲ：【妙３（ｚ）一ＤＰ。ｌ’，Ｔ＞ｄ
由波函数的连续性条件：
缈ｌ（０）＝９２（０），９’ｌ（０）一９７ ２（０）
缈２（口）＝９３（以），哆’２（口）一９’３（日）
Ｐ一２‘‘，一ｃｏｓ２足２日一ｉｓｉｎ２志２口＝１
Ｐ２膳２。＝ｃｏｓ２是２口＋ｉｓｉｎ２五２日＝１
Ａ一舍冉
炉鲁庀小…ｃｚ＜。，
再 吼 ｜ｌ 堕％ 也一ｈ 审 卜 等等冉以，：冉ｓｍ一再ｓｉｎ警一ｍ，ｓ，…ｃ。≤ｚ≤口，
一Ｐ
炉∥以圳一惫坩ｃ圳一苦，鲁庀。１一吣＞口，
ｆ０，（ｚ＜Ｏ，ｚ＞口）
综上所述当乩一时’波函数为弦一１冉ｓｉｎ》（。≤ｚ≤…乩２’３，…）
万方数据
第３期
尹建武·等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
——————————————————————————————————————————————————一一
∞Ｉ ２ ｜９，Ｉ ２一Ａ ２Ｐ２‘ｌ。（ｚ＜０）
（Ｕｏ＝ Ｉ缈：Ｉ ２一Ａ ２（１＋ｓｉｎ２志ｌｚ）（０≤ｚ≤Ⅱ）
，●（●ｌ 山３ ２ ９。Ｉ ２一Ａ２（１＋ｓｉｎ２是１日）Ｐ一曲ｌ‘。一“１（ｚ＞口）
ｈ一 舭 吨 ＋
妙 一 胁絮抄心 ０一盘独 ｈ一ｗ…ｚｈ警弘１沁＞口）
现讨论当【，。一。。时，势阱的波函数的表示式．
针牡警
咖＝畿 因为
，当砜一Ｃｘ３时，五。一ｏ。，正。为有限值．
，● ● Ｊ‘０● ●ｋ
．·．ｔｇ正：口一。得足２口一九７ｒ（九一１，２，３，…），即是２一警（，２＝１，２，３，…），则
万方数据
第３期
尹建武．等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
·４３·
击一警＋訾＋口 通过积分可得
Ｂ２
是２
２走ｌ
１“
将是：＝是，ｔｇ（是、ｄ）代入上式，即得：击一击ｃｔｇ（志ｔ盘）＋ｄ． ．·．Ｂ一
因此
Ｄ—Ｃ＝Ｐ‘∥ｃｏｓ矗ｌ口· ～／ｌ＋走生ｌ！ｄ！ｔ曼ｇ！正！！ １日一一‘，·‘：。～２／＋２是生ｌ！“！！翌ｔｇ！是！！竺ｌ口
１
—１
—１
０
志ｌ
ｉ愚２
０
ｅ一¨２“
一ｉ愚２
０
Ｐ‘‘２４——ｅ一‘１４
一Ｏ
０——ｉ志２Ｐ一珏２“
ｉ忌２ｅ沾２。
正１Ｐ一‘１４
化简可得：ｔｇ（是。ｎ）一磊竺‰，且有：是｝＋走；一薯笋．
粒子的能级由上述方程确定．
卜皆Ａ 由方程组①的前三个方程，可以得到： ｛ｃ＝皆Ａ ＩＤ乩∽“：ｈ％≥ “ｐ叱¨皆］Ａ
９：一皆∥矿＋警觥飞。≤ｚ≤日） ｆ妙１一Ａｅ。ｌ。（ｚ＜０）
与一维不对称无限深势阱的解‘１３完全一致．
下面讨论各区间的几率密度：
Ｉ叫ｌ ２ 妒ｌ ２一Ａ２ｅ外Ｉ。（ｚ＜ｏ）
附刊ｃ警＋错ｃｏｓ２缸＋急 ｊ叫２一
ｓｉｎ２志２ｚ）（０≤ｚ≤口）
附刊ｃ警＋罐ｃｏｓ２如＋瓮 ｌ山３一
ｓｉｎ２志２ａ）Ｐ一２‘ｌ‘…’（ｚ＞ｄ）
√ 迈砰 为了具体看看各区间的几率分布情况，下面取Ｅ—Ｕ。／２（Ｕ。一２Ｅ）来作图，此时，是－一是ｚ一
２一维中心不对称有限深势阱
如图，设质量为卢的粒子在势场【，（工） 一
∽姜善＞“中运动，求其定态薛定谔方程的解．这里我ｆｆｌ
只考虑束缚态情形，即０＜Ｅ＜（＿，ｏ． 写出分区的定态薛定谔方程
Ｈ少一Ｅ哕
０
ａ
图１ 一维中心不对称有限深势阱
收稿日期：２００３一ｌ ２一ｌｏ． 作者简介：尹建武．男．湖北罗田人，副教授，主要从事理论物理的教学和研究
仨
＝／ｌ ２ｅ２‘ｌｒ＝１００Ｐ２×８ １４×１０８ｒ（ｚ＜Ｏ） ＝Ａ ２（１＋ｓｉｎ２志Ｉｚ）一１００（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８ｚ）（Ｏ≤ｚ≤１０—２）
＝Ａ ２（１＋ｓｉｎ２是ｌ口）Ｐ一２＋ｌ‘。一ｕ’＝１００（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８ｚ）Ｐ一２Ⅶ１４×ｌ。８（ｚ—ｌ。－２’（ｚ≥１０—２）
ｌＯ，ＩｚＩ＞ｄ 与一维中心对称无限深势阱的解一致．
图示如下：
缈（ｘ）
、
。
２．５
（×ｌＯＯ）
０．５
图３ 电子在经典大小势阱内外的几率分布 可以看出在次情形下，电子处于势阱内各处的平均值相等，而电子到达经典禁区的几率迅速降为 零
万方数据
．４２．
黄 冈 师范 学 院学 报
第２４卷
———————————————————————————————————————————————————————————一
考虑到势阱（．厂（工）有圣商反射对称性，能量本征态必有确定的宇称．因此取ｓｉ缺·ｚ，ｃ。ｓ忌·ｚ形式的
解．以下分别讨论之．
ｆ９ｔ一＠‘２。，ｚ＜一日
①偶宇称态｛９：＝Ｂｃｏｓ是－ｚ，ｌｚｌ≤ｄ
【哕３一Ｄｅ＿２。，ｚ＞ｄ
·ｃ是：ｅ一＾ｚ４＝志‘Ｂ志ｔ（ｓｉｎ正－日） 由［１ｎ９（ｚ）］７在ｚ＝±日处连续可得：
【 一７．５３×１０７（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８ｚ）已一２。８·１４。１。８（，一ｌｏ“。’（ｚ≥１０—ｌ。）
∞（工） ． １０（×１０’Ｊ ８
６ 丑
一１０
一５
（×１０Ⅲ’）
５
１０
图２ 电子在原子大小势阱内外的几率分布 可以看出在此情形下，电子到达经典禁区（ｚ＜Ｏ和ｚ＞１）的几率相当大．
呈三墨』Ｌ—！；善？：；：专；；ｉ拶一８．·４×·ｏｓ 垂酽 再设所考虑的为电子，能量为一个电子伏特，但在经典大小（１０ｑ ｍ）的范围内运动，则是。＝ ｍ～，，口＝，。一ｚ ｍ，２走。口＝。．·６３×·ｏ，，Ａ：，ｏ．
Ｉ Ｐ
ｐ
●一Ｃ
，●ｌｆ、●【
ＰＩ铲
，一Ｄ
·（一Ｄ正：）已一ｚｄ一百鬲ｂｉ·Ｂ是·（一ｓｉｎ正ｔ口）
且口是２＝走ｌｔｇ（是ｌｄ）
此外有 针栌警
令∈＝是１ｎ，叩一是２乜，则有