方势阱中束缚态粒子的归一化波函数

Ｉｌ 一嬖学罢＋ｕ。哆：Ｅ缈，ｌｚ ｌ＞ｎ
９，，（ｚ）＋是；９（工）一ｏ，ｌｚＩ≤口 则分区的定态薛定谔方程为：口，，（ｚ）一是ｌ缈（ｚ）：ｏ，ＩｚＩ＞以
ｆ ９－（ｚ）一Ｃ∥２７，ｚ＜一口
‰匿
—
一口
０
口
图４一维中心对称有限深势井
由此得各分区的通解为：．｛缈。（ｚ）＝Ａｓｉｎ正，ｚ＋Ｂｃｏｓ愚ｔｚ，ＩｚＩ≤日 Ｊ够，（ｚ）一ＤＰ—１２ｚ，ｚ＞口
ｌＯ，ＩｚＩ＞ｄ 与一维中心对称无限深势阱的解一致．
３一维中心对称有限深势阱
设设质瞪量量为为弘“的的粒子粒在子势在场势ｕ‘场Ｔｕ’（一Ｔ）Ｉ一【ｆ，？。ｊ ，Ｉ＿ＩＩ丁≤Ｉａ＞日中中运运动动，＇求求足定态态薛薛足定谔谔力方裎程阴肼的㈤解＜（＼ｏ＜Ｅ‘Ｅ＜、ｕ。ｕ∥）．。
Ｕ
“一席２如卢ｄ丁一２’。呼ｏ…’”。。７ ｆ一关罂：Ｅ妒，…≤口 ２ｐ ｄＴ２
—４“一’、。。
１哆一（Ｔ）一是｝缈（Ｔ）一ｏ，ｚ＜ｏ，ｚ＞口
Ｉ：ｆ ９１ ｉＴ）一Ａ∥ｌ。，ｚ＜ｏ Ⅱ：＜９２（ｚ）一ＢＰｌ‘２１＋ｃ已抽２７，ｏ≤ｚ≤口 Ⅲ：【妙３（ｚ）一ＤＰ。ｌ’，Ｔ＞ｄ
由波函数的连续性条件：
缈ｌ（０）＝９２（０），９’ｌ（０）一９７ ２（０）
缈２（口）＝９３（以），哆’２（口）一９’３（日）
【 一７．５３×１０７（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８ｚ）已一２。８·１４。１。８（，一ｌｏ“。’（ｚ≥１０—ｌ。）
∞（工） ． １０（×１０’Ｊ ８
６ 丑
一１０
一５
（×１０Ⅲ’）
５
１０
图２ 电子在原子大小势阱内外的几率分布 可以看出在此情形下，电子到达经典禁区（ｚ＜Ｏ和ｚ＞１）的几率相当大．
呈三墨』Ｌ—！；善？：；：专；；ｉ拶一８．·４×·ｏｓ 垂酽 再设所考虑的为电子，能量为一个电子伏特，但在经典大小（１０ｑ ｍ）的范围内运动，则是。＝ ｍ～，，口＝，。一ｚ ｍ，２走。口＝。．·６３×·ｏ，，Ａ：，ｏ．
可得到
ｆＡ—Ｂ＋Ｃ
ｌ以走１一一Ｂｉ志２＋Ｃｊ正２
ＢＰ一珏２４＋Ｃｅ珏２“：＝Ｄｅ一’１４
【一Ｂｉ愚２ｅ１‘矿＋ｃｉ志２Ｐ抽２４一一Ｄ志ｌＰ—１４
ｆＡ—Ｂ—Ｃ—Ｏ
整理得
髓毒簟２篇ｉ兰冀三一。 Ｉ已～’２“Ｂ＋Ｐ矗２。ｃ—Ｐ。ｌ“Ｄ—ｏ
①一
【一ｉ是２Ｐ一‘ｚ４Ｂ＋ｉ志２Ｐ墙２“ｃ＋走ｌｅ—ｌ“Ｄ—ｏ
方程组①是关于Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ 的一次齐次方程组，它有不全为零的解的条件是
Ｐ一２‘‘，一ｃｏｓ２足２日一ｉｓｉｎ２志２口＝１
Ｐ２膳２。＝ｃｏｓ２是２口＋ｉｓｉｎ２五２日＝１
Ａ一舍冉
炉鲁庀小…ｃｚ＜。，
再 吼 ｜ｌ 堕％ 也一ｈ 审 卜 等等冉以，：冉ｓｍ一再ｓｉｎ警一ｍ，ｓ，…ｃ。≤ｚ≤口，
一Ｐ
炉∥以圳一惫坩ｃ圳一苦，鲁庀。１一吣＞口，
ｆ０，（ｚ＜Ｏ，ｚ＞口）
综上所述当乩一时’波函数为弦一１冉ｓｉｎ》（。≤ｚ≤…乩２’３，…）
第２４卷第３期 ２００４年６月
黄冈 师 范 学院 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕａｎｇｇａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．２４ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２００４
一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
尹建武，王小梅
（黄冈师范学院物理系，湖北黄州４３８０００）
摘要：对在一维有限深势阱中运动的粒子，各类书籍都只给出了确定其处于束缚态时能级的方
１引言
在量子力学的教科书中，一维势阱问题是比较简单且较早处理的问题．对于在一维无限深势阱中运 动的粒子，各类书籍详细地给出了粒子的能级和归一化波函数‘卜３｜．但对在一维有限深势阱中运动的粒 子，各类书籍都只给出了确定其能级的方程，并未给出它们的归一化波函数‘卜３｜．本文将完整地求出～ 维有限深中心对称和中心不对称势阱中粒子的归一化波函数，并将所得结果在势趋于无穷大时与无限 深势阱中的波函数进行比较．
考虑到势阱（．厂（工）有圣商反射对称性，能量本征态必有确定的宇称．因此取ｓｉ缺·ｚ，ｃ。ｓ忌·ｚ形式的
解．以下分别讨论之．
ｆ９ｔ一＠‘２。，ｚ＜一日
①偶宇称态｛９：＝Ｂｃｏｓ是－ｚ，ｌｚｌ≤ｄ
【哕３一Ｄｅ＿２。，ｚ＞ｄ
·ｃ是：ｅ一＾ｚ４＝志‘Ｂ志ｔ（ｓｉｎ正－日） 由［１ｎ９（ｚ）］７在ｚ＝±日处连续可得：
＋曩∥·“警ｗ中学ｃｏｓ２如ｗ－扣跣疵叫州ｚ
一一瓦麦十Ｌ＋—（矿警乜乜十—＋矿警ＳｌＳｎｉｚ定ｎ２２盘锄十＋蕊龛‘ｌ（—１ｃ一ｏｓｚｓ宠２２如口’） ＋（谢＋锗ｃｏｓ２如＋麦Ｓｉｎ２如） ’、４矗ｌ愚ｌ‘４是ｌ矗；…。“１“’２是２…‘。“１“７
少＝
ｏ ＜∞
警肛呜Ⅷ≤ｚ≤口） 妙 ＝
所以，一维不对称有限深势阱的波函数为：
．４１．
垂酽 设所考虑的为电子，能量为一个电子伏特，在原子大小的范围内运动，则矗。一
２×９．１×１０—３１×１．６×１０—１９
（６．６２６×１０８）２
—８．１４×１０８ ｍ～，口＝１０—１０ ｍ，２志ｌ口＝０．１６３，以一２．７４×１０４．
ｆ山ｌ—Ａ２Ｐ２＋１７—７．５３×１０７Ｐ２×８·１４ｘｌ。８，（ｚ＜ｏ） Ｊ∞２＝Ａ ２（１＋ｓｉｎ２志ｌｚ）＝７．５３×１０７（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８’ｒ）（ｏ≤ｚ≤１０—ｌ。） ｃｕ３一Ａ２（１＋ｓｉｎ２志１日）ｅ一２‘ｌ‘…’
万方数据
第３期
尹建武．等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
·４３·
击一警＋訾＋口 通过积分可得
Ｂ２
是２
２走ｌ
１“
将是：＝是，ｔｇ（是、ｄ）代入上式，即得：击一击ｃｔｇ（志ｔ盘）＋ｄ． ．·．Ｂ一
因此
Ｄ—Ｃ＝Ｐ‘∥ｃｏｓ矗ｌ口· ～／ｌ＋走生ｌ！ｄ！ｔ曼ｇ！正！！ １日一一‘，·‘：。～２／＋２是生ｌ！“！！翌ｔｇ！是！！竺ｌ口
１
—１
—１
０
志ｌ
ｉ愚２
０
ｅ一¨２“
一ｉ愚２
０
Ｐ‘‘２４——ｅ一‘１４
一Ｏ
０——ｉ志２Ｐ一珏２“
ｉ忌２ｅ沾２。
正１Ｐ一‘１４
化简可得：ｔｇ（是。ｎ）一磊竺‰，且有：是｝＋走；一薯笋．
粒子的能级由上述方程确定．
卜皆Ａ 由方程组①的前三个方程，可以得到： ｛ｃ＝皆Ａ ＩＤ乩∽“：ｈ％≥ “ｐ叱¨皆］Ａ
９：一皆∥矿＋警觥飞。≤ｚ≤日） ｆ妙１一Ａｅ。ｌ。（ｚ＜０）
Ｉ Ｐ
ｐ
●一Ｃ
，●ｌｆ、●【
ＰＩ铲
，一Ｄ
·（一Ｄ正：）已一ｚｄ一百鬲ｂｉ·Ｂ是·（一ｓｉｎ正ｔ口）
且口是２＝走ｌｔｇ（是ｌｄ）
此外有 针栌警
令∈＝是１ｎ，叩一是２乜，则有
ｆ叩一手ｔｇ｝
≮。，。。 【拿２＋７２
２气产 ２产ｕ弘２
由上述方程组可以求出粒子的能级．
由波函数的连续性可知：
｛善！：ｊ！ｉ。芝２）（一曲
一维对称有限深势阱的偶宇称解为：
霍 炉、矿１。＝∥ ：溉：２“ 。？ｔｃ：ｎｏ，、ｓ、／如７。；；山甄。？—Ｉ矿—≤２·。ｚ，，，丁口。＜ｒ＞一—口—ｃｚ
当ｕ。一。。时，可求得是ｔ一芸 （ｎ＝１，３，５，…），五ｚ一。。，
聩波函晶数黼可一化为啪：州够一（ｚＪ）一去ｌｃ万ｏｃｓ０篆８五训幻ｚ∽ｌ≤ｌ≮口口
与一维不对称无限深势阱的解‘１３完全一致．
下面讨论各区间的几率密度：
Ｉ叫ｌ ２ 妒ｌ ２一Ａ２ｅ外Ｉ。（ｚ＜ｏ）
附刊ｃ警＋错ｃｏｓ２缸＋急 ｊ叫２一
ｓｉｎ２志２ｚ）（０≤ｚ≤口）
附刊ｃ警＋罐ｃｏｓ２如＋瓮 ｌ山３一
ｓｉｎ２志２ａ）Ｐ一２‘ｌ‘…’（ｚ＞ｄ）
√ 迈砰 为了具体看看各区间的几率分布情况，下面取Ｅ—Ｕ。／２（Ｕ。一２Ｅ）来作图，此时，是－一是ｚ一
万方数据
第３期
尹建武，等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
·３９·
一
一Ｅ９，０≤丁≤口
√掣＾一√警 一
，● ，／、● ●Ｌ
铲一即酽一即 水一山水一山缈一，少一，
＋Ｕｏ妒一Ｅ９，丁＜０，ｚ＞口
令屉１一 ～
ｈ２
”Ⅵ
～ｈ２
则分区的定态薛定谔方程为 由此得各分区域的通解为 式中４、Ｂ、Ｃ、Ｄ为待定常数．
ｆＣＰ一２。＝Ｂｃｏｓ是ｌ口
即１鼬ｓ如一防印
可求得
Ｄ—Ｃ—Ｐ‘矿ｃｏｓ是ｌｎ‘Ｂ
ｆ哆ｌ＝∥２。ｃ。ｓ是１日Ｂ矿矿，ｚ＜一口
则各区域的波函数可写为：｛缈ｚ＝Ｂｃｏｓ是－丁，ｌＴｌ≤ｎ １９。＝矿ｚ“ｃｏｓ是。日Ｂｅ一‘ｚ。，ｚ＞ｄ
由波函数的归一化条件Ｉ Ｉ妒Ｉ ２ｄ丁一１，即有：
ｆ一一：、上；ｚＰｚ＾ｚ“ｃ。ｓ２是。日Ｐ２Ｉｚ。（１ｊｒ—｝一ｊ“一。上；２ｃ。ｓ２是－ｊ’ｃｌｊｒ—｝一Ｊ。上；２Ｐ２‘２“ｃ。ｓ２是。日Ｐ一２‘２。ｄｊｌ＝＝１
２一维中心不对称有限深势阱
如图，设质量为卢的粒子在势场【，（工） 一
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∽姜善＞“中运动，求其定态薛定谔方程的解．这里我ｆｆｌ
只考虑束缚态情形，即０＜Ｅ＜（＿，ｏ． 写出分区的定态薛定谔方程
Ｈ少一Ｅ哕
０
ａ
图１ 一维中心不对称有限深势阱
收稿日期：２００３一ｌ ２一ｌｏ． 作者简介：尹建武．男．湖北罗田人，副教授，主要从事理论物理的教学和研究
ｊ
Ｉ！Ｐ。：：［Ｐｒ－，一ｔ＊ｚ，“Ｊ！！——挚——ｒ－ｅ（＾，＋Ｉ＾：）“警］Ａｅ一＾ｔ３（·ｒ＞ｃｚ）
万方数据
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黄 冈 师 范学 院学报
第２４卷
由归一化条件 ｔ…ｍ＝川ｐ心中¨口警扩吒¨＋警∥９Ｖｄ丁
＋』二。ｌ Ｖ“警＂¨ｚ¨警降叫州丁㈣２一，
解得
上小 壶＋ｆｃ警＋错ｃｏｓ２缸＋净２缸ｍ
ｈ一 舭 吨 ＋
妙 一 胁絮抄心 ０一盘独 ｈ一ｗ…ｚｈ警弘１沁＞口）
现讨论当【，。一。。时，势阱的波函数的表示式．
针牡警
咖＝畿 因为
，当砜一Ｃｘ３时，五。一ｏ。，正。为有限值．
，● ● Ｊ‘０● ●ｋ
．·．ｔｇ正：口一。得足２口一九７ｒ（九一１，２，３，…），即是２一警（，２＝１，２，３，…），则
ＹＩＮ Ｊｉａｎ—ｗｕ，ＷＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｍｅｉ
（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｈｕａｎｇｇａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｚｈｏｕ ４３８０００，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｉＩｌ ｎｏｗ ｎｏ ｂｏｏｋ ｈａｓ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｆｒｅｅｌｙ ｍｏＶｉｎｇ ｉｎ ａ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｃｑｕｉｒｅｓ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｎｅ—ｄｉ— ｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｗｅｌｌｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｉｎ ａｃｃｏｒｄ ｗｉｔｈ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｗｅｌｌｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌ；ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅＵ；ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
程，并未给出它们的归一化波函数．本文完整地求出了一维有限深对称和不对称势阱中的归一
化波函数，所得结果在势趋于无穷大时与无限深势阱中的波函数完全一致．
关键词：有限深势阱；无限深势阱；归一化波函数
中图分类号：０４１３．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—８０７８（２００４）０３一００３８一０７
Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｂＯｕｎｄ ｉｎ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｑｕａｒｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌｓ
仨
＝／ｌ ２ｅ２‘ｌｒ＝１００Ｐ２×８ １４×１０８ｒ（ｚ＜Ｏ） ＝Ａ ２（１＋ｓｉｎ２志Ｉｚ）一１００（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８ｚ）（Ｏ≤ｚ≤１０—２）
＝Ａ ２（１＋ｓｉｎ２是ｌ口）Ｐ一２＋ｌ‘。一ｕ’＝１００（１＋ｓｉｎ２×８．１４×１０８ｚ）Ｐ一２Ⅶ１４×ｌ。８（ｚ—ｌ。－２’（ｚ≥１０—２）
图示如下：
缈（ｘ）
、
。
２．５
（×ｌＯＯ）
０．５
图３ 电子在经典大小势阱内外的几率分布 可以看出在次情形下，电子处于势阱内各处的平均值相等，而电子到达经典禁区的几率迅速降为 零
万方数据
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黄 冈 师范 学 院学 报
第２４卷
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第３期
尹建武·等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
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∞Ｉ ２ ｜９，Ｉ ２一Ａ ２Ｐ２‘ｌ。（ｚ＜０）
（Ｕｏ＝ Ｉ缈：Ｉ ２一Ａ ２（１＋ｓｉｎ２志ｌｚ）（０≤ｚ≤Ⅱ）
，●（●ｌ 山３ ２ ９。Ｉ ２一Ａ２（１＋ｓｉｎ２是１日）Ｐ一曲ｌ‘。一“１（ｚ＞口）