第20讲

第七章 实数的完备性
§1. Cauchy 收敛准则及迭代法
一 引言
问题 极限{}n x 收敛、发散是什么意思？
答 如果存在数a ，使得lim n n x a →∞
=，则称数列{}n x 收敛；反之称为发散。

问题 上述关于数列“收敛性”的定义有何缺陷？
答 涉及数a ，这在理论上不够完美。

问题 能否不涉及数a ，仅根据{}n x 本身的特性判断{}n x 的收敛性？
答 可以，如前面已学过的“单调有界定理”，“两边夹法则”，“Stolz 定理”等。

问题 上述方法只是数列{}n x 收敛的“充分条件”，有无“充要条件”？
答 有，Cauchy 收敛准则――它是具有重要原则意义的敛散性充要判别法则，它揭示了实数的完备性。

二、基本数列（引进此概念仅为叙述方便）
不严格的讲，如果lim n n x a →∞
=⇒n 充分大时，n x a ≈⇒当n ，m 充分大时，0n m x x a a -≈-=，即从第m 个起，数列{}n x 的任意两项差别可以任意小。

严格的讲，有以下定义：
定义1 对每个ε>0，都能找到一个自然数N ，对一切n ，m ≥N ，成立不等式n m x x ε-<，则称{}n x 为（cauchy ）基本数列，记作,lim ()0n m n m x x →∞
-=。

简写：{}n x 是收敛数列⇔,lim ()0n m n m x x →∞
-=⇔0,,,N n m N ε∀>∃∀≥，n m x x ε-<。

例1 若{}n x 收敛，则{}n x 必是基本数列 例2 {}(1)n -不是基本数列 例3 1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是基本数列。

三、Cauchy 收敛准则
{}n x 收敛⇔{}n x 是基本数列
四、实数系的完备性
实数所组成的基本数列{}n x 比存在实数极限――实数系完备性；有理数域不具有完备性，如
1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭：1lim(1)n n e n →∞+=（无理数）。

五、函数极限的Cauchy 收敛准则
设f 在点a 某个去心邻域有定义，则极限lim ()x a f x →存在且为有限⇔lim[()()]0x a x a
f x f x '→''→'''-=0ε⇔∀>，
0δ∃>，当0x a δ'<-<，0x a δ''<-<时，()()f x f x ε'''-<。

例3 设()f x 在[,)a +∞内任一有限子区间中可积，给出广义积分收敛的充要条件。

六、压缩映射原理（不动点原理）
1、函数f(x)的不动点指什么？
设y ＝f(x)是定义在[a,b]上的一个函数，方程x ＝f(x)的解称为f(x)的不动点。

2、在什么样的条件下不动点一定存在呢？存在时唯一吗？如何求出不动点？
压缩映射：如果存在常数k ，满足0≤k<1，使得对一切,[,]x y a b ∈成立不等式
()()||f x f y k x y -≤-，
则称f 是[a,b]上的一个压缩映射。

压缩映射必连续。

压缩映射原理（不动点原理） 设()x ϕ是[a,b]上压缩映射，且([,])[,]a b a b ϕ⊂，则()x ϕ在[a,b]上存在唯一的不动点。

例4 证明Kapler 方程sin x x b ε=+在||1ε<时，存在唯一实数。

七、Newton 迭代法：
1()()
n n n n f x x x f x +=-
' 用于求f(x)＝0的根。

§2. 上极限和下极限
一、上（下）极限的定义
对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。

例如：{}(1)
n -。

一般地，数列{}n x ，若{}k n x ：k n x a →（k →∞），则称a 是数列{}n x 的一个极限点。

如点例{}(1)n -有2个极限点。

数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）。

如lim(1)1n n →∞-=，lim(1)1n n →∞
-=-。

例1 求数列sin 3n π⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
的上、下极限 例2 [1(1)]n n x n =+-，求上、下极限。

二、上（下）极限的存在性
下面定理指出，对任何数列{}n x ，它的上（下）极限必定存在。

定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一，且lim n n x →∞＝1sup{,,}lim sup n n k n k n x x x +→∞≥= ，lim n n x →∞
＝
1inf{,,}lim inf n n k n k n
x x x +→∞≥= 。

三、上下极限和极限的关系
lim n n x →∞≥lim n n x →∞
. 定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等，即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞。

四、上（下）极限的运算
普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立。

例如：
11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞
-+-=<-+-= . 一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞
+≤+，当{}n x 收敛时，等号成立。

§3. 实数系
一 实数系R 的建立
二 Dedekind 定理
设A/B 是R 的一个切割，则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞，(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞，[,)B ε=+∞无其它可能。

三、有限开覆盖定理
Heine-Borel 定理（有限开覆盖定理） 若开区间族{}O α覆盖了有界必区间[a,b]，即[a,b]O αα⊂ ，则从{}O α中必可挑出有限个开区间1,,n O O αα ，统一覆盖了[a,b]。

即[a,b]= 1n O O αα 。