2017年秋北师大版七年级上册第3章探索与表达规律同步练习1(含答案)

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最新北师大版七年级数学上册第3章《整式及其加减》同步练习及答案—3.5探索与表达规律【精品】.doc

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北师大版七年级数学上册第3章《整式及其加减》同步练习及答案—3.5探索与表达规律一、填空题1.每包书有12册,m 包书有__________册.2.矩形的一边长为a -2b ,另一边比第一边大2a +b ,则矩形的周长为__________.3.若|x -2y |+(y -1)2=0,则3x +4y =_____.4.a 2+(3a -b ) =a 2-(_______).5.化简:a 2-3ab +4b 2-(2b 2-3ab -3a 2)=__________.6.若n 为整数,则2)1()1(1+-+-n n =______.7.当b a b a +-=2时,(b a b a +-)2-3·ba b a +-=______.8.若3a 4b m +1=-54a 3n -2b 2是同类项,则m -n =__________.9.当a =-1,b =1时,(3a 2-2ab +2b 2)-(2a 2-b 2-2ab )=__________.10.某种酒精溶液里纯酒精与水的比为1∶2,现配制酒精溶液m 千克,需加水_____千克.11.一列火车保持一定的速度行驶,每小时行90千米,如果用t 表示火车行驶的小时数,那么火车在这段时间行驶的千米数是_____.12.产量由m 千克增长10%就达到____千克.13.a 千克大米售价8元,1千克大米售价______元. 14.圆的周长为P ,则半径R =__________.15.某校男生人数为x ,女生人数为y ,教师与学生的比例为1∶12,则共有教师____人.16.某电影院座位的行数为m ,已知座位的行数是每行座位数的32,教室里共有座位__________. 17.当x =7,y =4,z =0时,代数式x (2x -y +3z )的值为__________.18.某人骑自行车走了0.5小时,然后乘汽车走了1.5小时,最后步行a 千米,已知骑自行车与汽车的速度分别为v 1千米/秒和v 2千米/秒,则这个人所走的全部路程为______.19.教学楼大厅面积S m 2,如果矩形地毯的长为a 米,宽b 米,则大厅需铺这样的地毯________块.二、选择题20.长方体的周长为10,它的长是a ,那么它的宽是( ) A.10-2a B.10-a C.5-a D.5-2a 21.下列说法正确的是( ) A.31πx 2的系数为31 B.21xy 2的系数为21x C.3(-x 2)的系数为3 D.3π(-x 2)的系数为-3π22.若a 为负数,下列结论中不成立的是( ) A.a 2>0 B.a 3<0 C.|a |·a 2-a 3>0D.a 4<a 523.若M =-3(-a )2b 3c 4,N =a 2(-b )3(-c )4,P =21a 3b 4c 3,Q =-31a 3b 2(-c )4,则互为同类项的是( ) A.M 与N B.P 与Q C.M 与P D.N 与Q24.下面合并同类项正确的是( )A.3x +2x 2=5x 3B.2a 2b -a 2b =1C.-ab -ab =0D.-x 2y +x 2y =0 25.将m -{3n -4m +[m -5(m -n )+m ]}化简结果正确的是( ) A.8m +2n B.4m +n C.2m +8n D.8(m -n )26.a 、b 、c 、m 都是有理数,且a +2b +3c =m ,a +b +2c =m ,那么b 与c 的关系是( ) A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.无法确定27.水结成冰体积增大111,现有体积为 a 的水结成冰后体积为( ) A.111aB.1112aC.1110aD.1211a 28.你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅,用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸再捏合,再拉伸……反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,这样捏合到第5次时可拉出细面条( )A.10根B.20根C.5根D.32根三、解答题29.某校举办跳绳比赛,第一组有男生m 人,女生n 人,男生平均每分钟跳105次,女生平均每分钟跳110次,一分钟第一组学生共跳绳多少次?当m =5,n =5时,结果是多少?30.今年初共青团中央发出了“保护母亲河的捐款活动”,某校初一两个班的115名学生积极参加,已知甲班31的学生每人捐款10元,乙班52的学生每人捐款10元,两班其余学生每人捐5元,设甲班有学生x 人,试用代数式表示两班捐款的总额,并化简. 31.研究下列等式,你会发现什么规律? 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 …设n 为正整数,请用n 表示出规律性的公式来. 32.已知a =3,b =2,计算 (1)a 2+2ab +b 2;(2)(a +b )2,当a =2,b =1或a =4,b =-3时,分别计算两式的值,从中发现怎样的规律.33.化简(1)(2a 2-1+2a )-3(a -1+a 2)(2)2(x 2-xy )-3(2x 2-3xy )-2[x 2-(2x 2-xy +y 2)]34.某同学计算一多项式加上xy -3yz -2xz 时误认为减去此式计算出错误结果为2xy -3yz +4xz ,试求出正确答案.35.已知:甲的年龄为m 岁,乙的年龄比甲的年龄的3倍少7岁,丙的年龄比乙的年龄的21还多3岁,求甲、乙、丙年龄之和.36.A 、B 两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A 公司年薪两万元,每年加工龄工资400元,B 公司半年薪一万元,每半年加工龄工资100元,求A 、B 两家公司,第n 年的年薪分别是多少,从经济角度考虑,选择哪家公司有利?参考答案一、1.12m 2.8a -6b 3.10 4.b -3a5.4a 2+2b 26.07.-28.-19.4 10.31m 11.90t 12.m (1+10%) 13.a 8 14.π2P 15.12y x + 16.23m 217.70 18.0.5v 1+1.5v 2+a 19.abS二、20.C 21.D 22.D 23.A 24.D 25.D 26.A 27.B 28.D 三、29.105m+110n 1075 30.310 x +52(115-x )·10+[32x +53(115-x )]×5=-3x +80531.n (n +2)+1=(m +1)2 32.(a +b )2=a 2+2ab +b 2 33.(1)-a 2-a +2 (2)-2x 2+5xy +2y 2 34.4xy -9yz 35.211m -21536.A 公司收入:20000+(n -1)400B 公司收入[10000+200(n -1)]+[10000+200·(n -1)+100]=20100+400(n -1) 显然选B 公司。

七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)

七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)

七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.如图,用黑白两种颜色的纸片,按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案,若第n个图案中有2020个白色纸片,则n的值为( )A.671B.672C.673D.6742.下图是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为125,则第2 016次输出的结果为( )A.125B.25C.1D.53.观察下列各式: - 2x,4x2, - 8x3,16x4, - 32x5,…则第n个式子是( )A.- 2n - 1x nB.( - 2)n - 1x nC.- 2n x nD.( - 2)n x n4.观察如图所示图形,则第n个图形中三角形的个数是( )A.2n+2B.4n+4C.4nD.4n-45.下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形…依此规律,第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.286.下列是由一些火柴搭成的图案,图①用了5根火柴,图②用了9根火柴,图③用了13根火柴,按照这种方式摆下去,摆第n○个图案用多少根火柴( )A.4n+3B.5n-1C.4n+1D.5n-47.小明用棋子摆放图形来研究数的规律,图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,…称为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,…称为正方形数,下列数既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.2010B.2012C.2014D.20168.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为()A.21B.24C.27D.30二、填空题9.观察一组数2,5,10,17,26,37…则第n个数是.10.《庄子•天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图.由图易得:= .11.当n等于1,2,3,…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示,则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示,n是正整数)12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列:第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 14 15 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17 …则2023在第行.13.观察等式:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52……猜想:(1)1+3+5+7…+99 =;(2)1+3+5+7+…+(2n﹣1)= _______.14.观察下列各式:13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=.三、解答题15.探究题.用棋子摆成的“T”字形图如图所示:(1)填写下表:图形序号①②③④…⑩每个图案中棋子个数 5 8 …);(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个?(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.(提示:请你先思考下列问题:第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子?第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子?第3个图案与第18个图案呢?)16.我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算:①1×12=1﹣12:②2×23=2﹣23;③3×34=3﹣34;…(1)请直接写出第4个等式是;(2)试用n(n为自然数,n≥1)来表示第n个等式所反映的规律是;(3)请说明(2)中猜想的结论是正确的.17.察下列各式:第1个:1×3=3=22﹣1第2个:2×4=8=32﹣1第3个:3×5=15=42﹣1第4个:4×6=24=52﹣1第5个:5×7=35=62﹣1…这些等式反映出自然数间的某种运算规律.(1)请你根据规律写出下一个等式:;(2)设n(n≥1)表示自然数,请根据这个规律把第n个等式表示出来,并通过你所学过的整式运算知识来验证这个等式成立.18.阅读解题:1111212=-⨯,3121321-=⨯,4131431-=⨯, ... 计算:+⨯+⨯+⨯431321211...200520041⨯+ =+-+-+-413131212111 (2005)120041-+=120051-=20052004 理解以上方法的真正含义,计算:(1)111 (10111112100101)+++⨯⨯⨯ (2)19.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.(1)第4个图案中,三角形的个数有 个,六边形的个数有 个; (2)第n(n 为正整数)个图案中,三角形的个数与六边形的个数各有多少个? (3)第2018个图案中,三角形的个数与六边形的个数各有多少个?(4)是否存在某个符合上述规律的图案,其中有100个三角形与30个六边形?如果有,指出是第几个图案;如果没有,说明理由. (2027)20251531311⨯++⨯+⨯20.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22023的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22022+22023,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22023+22024将下式减去上式得2S﹣S=22024﹣1即S=22024﹣1即1+2+22+23+24+…+22023=22024﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】n2+1.10.【答案】1﹣.11.【答案】n2+4n.12.【答案】45.13.【答案】502;n2.14.【答案】55215.解:(1)11 14 32 (2)3n+2 (3)3n+2=3×20+2=62(个)(4)(5+62)×202=670(个).16.【答案】解:等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数,第二个因数的分子和这个自然数相同,分母比分子大1;右侧恰是左侧两个因数的差; (1)第4个等式:4×=4﹣ (2)第n 个等式:n ×=n ﹣ (3)证明:n ×=,n ﹣=∴n ×=n ﹣∴(2)中猜想的结论是正确的.17.【答案】解:(1)第6个:6×8=48=72﹣1;故【答案】6×8=48=72﹣1; (2)第n 个等式为n(n +2)=(n +1)2﹣1.n(n +2)=n 2+2n (n +1)2﹣1=n 2+2n +1﹣1=n 2+2n 所以n(n +2)=(n +1)2﹣1. 18.【答案】解:①根据题意得:1111111111011111210010110111112100101+++=-+-++-⨯⨯⨯ =1191101011010-= ②根据题意得:=21(1﹣20271)=20272013 19.【答案】解:(1)10 4;(2)观察发现,第1个图案中有4个三角形与1个六边形 以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形则第n 个图案中三角形的个数为4+2(n-1)=(2n +2)个,六边形的个数为n. (3)第2018个图案中,三角形的个数为2×2018+2=4038(个),六边形的个数为2018个.)(4)不存在.理由如下:假设存在这样的一个图案,其中有30个六边形,则这个图案是第30个图案 而第30个图案中三角形的个数为2×30+2=62≠100… 202720251531311⨯++⨯+⨯所以这样的图案不存在.20.【答案】解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+…+210+211 将下式减去上式得:2S﹣S=211﹣1,即S=211﹣1则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1;(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①两边同时乘以3得:3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得:3S﹣S=3n+1﹣1,即S=12(3n+1﹣1)则1+3+32+33+34+…+3n=12(3n+1﹣1).。

北师大版数学7年级上册3.5《探索与表达规律》同步练习

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《探索与表达规律》同步练习A 100 B. 125 C. 150 D.175答案:C解析:解答:∵2=1+1=13+12,12=8+4=23+22,36=27+9=33+32,80=64+16=43+42,∴下一个数是53+52=125+25=150.(第n个数为n3+n2).故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和,从而得解.2.现定义一种变换:对于一个由有限个数组成的序列S0,将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数,可得到一个新序列S1,例如序列S0:(4,2,3,4,2),通过变换可生成新序列S1:(2,2,1,2,2),若S0可以为任意序列,则下面的序列可作为S1的是()A.(1,2,1,2,2)B.(2,2,2,3,3)C.(1,1,2,2,3)D.(1,2,1,1,2)答案:D解析:解答:A.∵ 2有3个,∴不可以作为S1,故A选项错误;B.∵ 2有3个,∴不可以作为S1,故B选项错误;C.3只有1个,∴不可以作为S1,故C选项错误;D.符合定义的一种变换,故D选项正确.选:D.分析:根据题意可知,S1中2有2的倍数个,3有3的倍数个,据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律,2007应在()A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列答案:D解析:解答: 因为(2007+1)÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数;因为1004÷4=251,所以2007在第251行;又因为奇数行的数从小到大排列,偶数行的数从大到小排列,所以2007应在第5列,综上,可得2007应在第251行第5列.选:D.分析: 首先判断出2007是第1004个奇数;然后根据每行有4个奇数,用1004除以4,判断出2007在第251行;最后根据奇数行的数从小到大排列,偶数行的数从大到小排列,可得2007应在第5列,据此判断4. 一组数1,1,2,x,5,y…满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为()A.8 B.9 C.13 D.15答案:A解析:解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和,∴x=1+2=3,∴y=x+5=3+5=8,即这组数中y表示的数为8.故选:A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和,可得x=1+2=3,y=x+5=3+5=8,据此解答即可.5.多位数139713…、684268…,都是按如下方法得到的:将第1位数字乘以3,积为一位数时,将其写在第2位;积为两位数时,将其个位数字写在第2位.对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字为4时,所得多位数前2014位的所有数字之和是()A.10072 B.10066 C.10064 D.10060答案:B解析:解答:当第1位数字为4时,得到42684268…,每四个数字一循环,∵2014÷4=503…2,∴第2014位的数字是2,则(4+2+6+8)×503+4+2=20×503+6=10066.选:B.分析: 通过计算发现,每4位数为一个循环组依次循环,然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字,由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时,发现了下面有趣的结果:3-2=1,8+7-6-5=4,15+14+13-12-11-10=9,24+23+22+21-20-19-18-17=16,…根据以上规律可知,第20行左起第一个数是()A.360 B.339 C.440 D.483答案:C解析:解答: ∵3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,…∴第20个式子左起第一个数是:212-1=440.选:C.分析: 根据左起第一个数3,8,15,24…的变化规律得出第n行左起第一个数为(n+1)2-1,由此求出7.四个小朋友站成一排,老师按图中的规则数数,数到2015时对应的小朋友可得一朵红花.那么得红花的小朋友是()A.小沈B.小叶C.小李D.小王答案:A解析:解答: 去掉第一个数,每6个数一循环,(2015-1)÷6=2014÷6=335…4,则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个.选:C.分析: 从图上可以看出,去掉第一个数,每6个数一循环,用(2015-1)÷6算出余数,再进一步确定2015的位置8.观察下列数据:0,3,8,15,24…它们是按一定规律排列的,依照此规律,第201个数据是()A.40400 B.40040 C.4040 D.404答案:A解析:解答: ∵0=12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,…,∴第201个数据是:2012-1=40400.选A.分析: 观察不难发现,各数据都等于完全平方数减1,然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n,设f(n)表示n(n+1)的末位数字.例如:f(1)=2(1×2的末位数字),f(2)=6(2×3的末位数字),f(3)=2(3×4的末位数字),…则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)的值为()A.6 B.4022 C.4028 D.6708答案:C解析:解答:∵f(1)=2(1×2的末位数字),f(2)=6(2×3的末位数字),f(3)=2(3×4的末位数字),f(4)=0,f(5)=0,f(6)=2,f(7)=6,f(8)=2,f(9)=0,…,∴每5个数一循环,分别为2,6,2,0,0…∴2012÷5=402..2∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×(2+6+2)+8=4028.选:C.分析: 首先根据已知得出规律,f(1)=2(1×2的末位数字),f(2)=6(2×3的末位数字),f(3)=2(3×4的末位数字),f(4)=0,f(5)=0,f(6)=2,f(7)=6,f(8)=2,f(9)=0,…,进而求出10.两列数如下:7,10,13,16,19,22,25,28,31,…7,11,15,19,23,27,31,35,39,…第1个相同的数是7,第10个相同的数是()A.115 B.127 C.139 D.151答案:A解析:解答: 第一组数7,10,13,16,19,22,25,28,31,…第m个数为:3m+4,第二组数7,11,15,19,23,27,31,35,39,…第n个数为:4n+3,∵3与4的最小公倍数为12,∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12,∵第一个相同的数为7,∴相同的数的组成的数列的通式为12a-5,第10个相同的数是:12×10-5=120-1=115.选:A.分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式,从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值,再结合第一个相同的数写出通式,然后把序数10代入进行计算11.对正整数n,记n!=1×2×3×…×n,则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为()A.0 B.1 C.3 D.5答案:C解析:解答: ∵1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=1×2×3×4=24,而5!、…、10!的数中都含有2与5的积,∴5!、…、10!的末尾数都是0,∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3.选C.分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=1×2×3×4=24,且5!、...、10!的数中都含有2与5的积,则5!、...、10!的末尾数都是0,于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1,1,2,x,5,y…满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为()A.8 B.9 C.13 D.15答案:A解析:解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和,∴x=1+2=3,∴y=x+5=3+5=8,即这组数中y表示的数为8.选:A.分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和,可得x=1+2=3,y=x+5=3+5=8,据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:根据此规律确定x的值为()A.135 B.170 C.209 D.252答案:C解析:解答: ∵a+(a+2)=20,∴a=9,∵b=a+1,∴b=a+1=9+1=10,∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209选:C.分析: 首先根据图示,可得第n个表格的左上角的数等于n,左下角的数等于n+1;然后根据4-1=3,6-2=4,8-3=5,10-4=6,…,可得从第一个表格开始,右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…,n+2,据此求出a的值是多少;最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数,求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015=()A.(31,50)B.(32,47)C.(33,46)D.(34,42)答案:B解析:解答:2015是第201512+=1008个数,设2015在第n组,则1+3+5+7+…+(2n-1)≥1008,即()1212n n+-≥1008,解得:当n=31时,1+3+5+7+…+61=961;当n=32时,1+3+5+7+…+63=1024;故第1008个数在第32组,第1024个数为:2×1024-1=2047,第32组的第一个数为:2×962-1=1923,则2015是(201512923-+1)=47个数.故A2015=(32,47).选B.分析:先计算出2015是第1008个数,然后判断第1008个数在第几组,再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,请根据这组数的规律写出第10个数是()A.25 B.27 C.55 D.120答案:C解析:解答:1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,13+21=34,21+34=55.所以第10个数是55.选C.分析: 观察发现,从第三个数开始,后一个数是前两个数的和,依次计算求解得之差在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,9,8,依此类推,则从数串,开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析:解答:一个依次排列的n个数组成一个数串:a1,a2,a3,…,a n,依题设操作方法可得新增的数为:a2- a1,a3- a2,a4- a3,a n- a n -1,所以,新增数之和为:(a2- a1)+(a3- a2)+(a4- a3)+…+(a n - a n -1)= a n - a1,原数串为3个数:3,9,8,第1次操作后所得数串为:3,6,9,-1,8,根据(*)可知,新增2项之和为:6+(-1)=5=8-3,第2次操作后所得数串为:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8,根据(*)可知,新增2项之和为:3+3+(-10)+9=5=8-3,按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为:(3+9+8)+100×(8-3)=520,答案为:520.分析: 根据题意,计算可得第1次操作后所得数串为:3,6,9,-1,8;进而可得第2次操作后所得数串;分析可得其规律,运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵,根据上述排列规律,数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析:解答: 由排列的规律可得,第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n(n-1)个数.所以第n行从左向右的第5个数12n(n-1)+5.所以n=10时,第10行从左向右的第5个数为50.答案为:50.分析:先找到数的排列规律,求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数,再求第n行从左向右的第5个数,即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数,规定:①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲报5,乙报6…,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,按此规律,当报到的数是50时,报数结束;②若报出的数为3的倍数,则该报数的同学需拍手一次,在此过程中,甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析:解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲报5,乙报6…按此规律,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时,报数结束;∴50÷4=12余2,∴甲共报数13次,分别为1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,∴报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.在此过程中,甲同学需报到:9,21,33,45这4个数时,应拍手4次.答案为:4.分析: 根据报数规律得出甲共报数13次,分别为1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,即可得出报出的数为3的倍数的个数,即可得出答案19.观察下列等式:1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42,…,则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案:1016064解析:解答:因为1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…,所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+(2×1008-1)=10082=1016064答案为:1016064.分析: 根据1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…,可得1+3+5+…+(2n-1)=n2,据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…依此类推,那么第9个三角形数是________ 答案:45解析:解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现:第n个三角形数是1+2+3+…+n,由此代入分别求得答案52-1=24=8×3,72-1=48=8×6,92-1=80=8×10,…你发现了什么?答案:(2n+1)2-1=8×(1+2+3+…+n)解答: (1)n=1时,(2×1+1)2-1=8×1;n=2时,(2×2+1)2-1=24=8×(1+2);n=3时,(2×3+1)2-1=48=8×(1+2+3);n=4时,(2×4+1)2-1=80=8×(1+2+3+4);…n=n时,(2n+1)2-1=8×(1+2+3+…+n).即发现的规律为:(2n+1)2-1=8×(1+2+3+…+n)解析:分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1;等式右边是8的倍数,即(2n+1)2-1=8×(1+2+3+…+n)22.观察下列各式你会发现什么规律?1×5=5,而5=32-222×6=12,而12=42-223×7=21,而21=52-22…(1)求10×14的值,并写出与题目相符合的形式;答案:解答: 10×14=140=122-22;(2)将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来,并说明等式的正确性.答案: n(n+4)=(n+2)2-22.解答:第n个等式为n(n +4)=(n+2)2-22.∵左边= n(n +4)=n2+4n右边=(n +2)2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∴n(n+4)=(n+2)2-22.解析:分析: 由1×5=5,而5=5=32-22;2×6=12,而12=42-22;3×7=21,而21=52-22…可以看出两个因数相差4,所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方,由此规律计算23.有规律排列的一列数:2、4、6、8…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示;有规律的一列数:1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么?第n个数是什么?答案:100个数是-100,第n个数,(-1)n+1n;解析:解答:(1)奇数为正数,偶数为负数,并且第n个数的绝对值为n,所以100个数是-100,第n个数,(-1)n+1n;分析: 先得到符号的规律,再得到绝对值的规律即可;24.观察下列等式:12-02 ①,22-12 ②,32-22 ③,42-32 ④,…(1)按此规律猜想写出第⑥和第⑩个算式;答案:观察所给的4个算式,可知⑥、⑩个算式为:62-52,102-92;(2)请用含自然数n的等式表示这种规律.答案:用含自然数n的式子表示这种规律为:n2-(n-1)2解析:解答:(1)观察所给的4个算式,可知⑥、⑩个算式为:62-52,102-92;(2)用含自然数n的式子表示这种规律为:n2-(n-1)2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题,比较简单,考查学生的观察和总结能力25.观察:4×6=24,14×16=224,24×26=624,34×36=1224…,(1)上面两数相乘后,其末尾的两位数有什么规律?答案:末尾都是24;(2)如果按照上面的规律计算:124×126(请写出计算过程).答案:124×126=12×(12+1)×100+24=15600+24=15624;答案:(10a+4)(10a+6)=100a2+100a+24=100a(a+1)+24.解析:分析:本题考查了数字的变化类问题,仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。

北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)

北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)

试题汇编——找规律1、如图所示,观察小圆圈的摆放规律,第一个图中有5个小圆圈,第二个图中有8个小圆圈,第100个图中有__________个小圆圈.(1) (2) (3)2、 找规律.下列图中有大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形.3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需棋子 枚(用含n 的代数式表示).4、观察表一,寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,其中a 、b 、c 的值分别为______________.5、如图①是一块瓷砖的图案,用这种瓷砖来铺设地面.如果铺成一个22⨯的正方形图案(如图②),其中完整的圆共有5个,如果铺成一个33⨯的正方形1 2 3 n … … 第1个图 第2个图 第3个图…图案(如图③),其中完整的圆共有13个,如果铺成一个44⨯的正方形图案(如图④),其中完整的圆共有25个.若这样铺成一个1010⨯的正方形图案, 则其中完整的圆共有 个.6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案,则第n 个图案需要用白色棋子 枚(用含有n 的代数式表示,并写成最简形式).○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第334个图形 需 根火柴棒。

8、将正整数按如图5所示的规律排列下去,若有序实数对(n ,m )表示第n 排,从左到右第m 个数,如(4,2)表示实数9,则表示实数17的有序实数对是 .9、如图 2 ,用n 表示等边三角形边上的小圆圈,f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数,那么f(n)和n 的关系是第一排 第二排 第三排 第四排 6 ┅┅ 10 9 87 32 15 410、观察图4的三角形数阵,则第50行的最后一个数是 ( )1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。

北师大版七年级上册数学探索与表达规律1同步练习题

北师大版七年级上册数学探索与表达规律1同步练习题

3.5 探索与表达规律1.(8分)如图是用棋子摆成的“T”字图案.从图案中可以看出,第一个“T”字图案需要5枚棋子,第二个“T”字图案需要8枚棋子,第三个“T”字图案需要11枚棋子.(1)照此规律,摆成第四个图案需要几枚棋子?(2)摆成第n个图案需要几枚棋子?(3)摆成第2014个图案需要几枚棋子?2.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第100个数是多少?(3)2013是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?3.(10分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×=×25;②×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).参考答案与解析1.【解析】(1)9+5=14(枚).故摆成第四个图案需要14枚棋子.(2)因为第①个图案有5枚棋子,第②个图案有(5+3×1)枚棋子,第③个图案有(5+3×2)枚棋子,依此规律可得第n个图案需5+3×(n-1)=5+3n-3=(3n+2)枚棋子.(3)3×2014+2=6044(枚),即第2014个图案需6044枚棋子.2.【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n+1n(n是正整数)表示.(2)它的第100个数是(-1)100+1×100=-100.(3)当n=2013时,(-1)2013+1×2013=2013,所以2013是其中的第2013个数.3.【解析】(1)①因为5+2=7,所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,所以52×275=572×25.②因为左边的三位数是396,所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

北师大版七年级数学上册第三章3.5.1探索规律同步测试题

北师大版七年级数学上册第三章3.5.1探索规律同步测试题

北师大版七年级数学上册第三章3.5.1探索规律同步测试题北师大版七年级数学上册第三章 3.5.1探索规律同步测试题一、选择题1.观察一串数:0,2,4,6,…,则第n个数是( )A.2(n-1) B.2n-1 C.2(n+1) D.2n+1 2.已知a1=3+1,a2=32+2,a3=33+3,a4=34+4,…,则a n的值为( ) A.3n+n B.3n C.3n+3 D.3+3n 3.观察以下一列数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…,则第11个数是( )A.-121 B.-100 C.100 D.121 4.按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,…,第n个单项式是( )A.(-1)n-1x2n-1B.(-1)n x2n-1 C.(-1)n-1x2n+1D.(-1)n x2n+1 5.在某月的月历上用长方形圈出a,b,c,d四个数(如图),如果d=20,那么a+b+c=( )A.38 B.44 C.48 D.586.如图所示,下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第6个图形中共有五角星的个数是( )A .23B .24C .25D .267.如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,若按此规律排列下去,则第7个图形中小圆圈的个数为( )A .46B .52C .56D .608.a 是不为1的有理数,我们把11-a 称为a 的差倒数,如2的差倒数为11-2=-1,-1的差倒数为11-(-1)=12.已知a 1=5,a 2是a 1的差倒数,a 3是a 2的差倒数,a 4是a 3的差倒数…,依此类推,a 2 019的值是( )A .5B .-14C.43D.459.已知一列数:1,-2,3,-4,5,-6,…,将这列数排成下列形式:按照上述规律排列下去,第10行数的第1个数是( ) A .-46B .-36C .37D .4510.观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72 019的结果的个位数字是( )A.0 B.1 C.7 D.82.假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y=( )A.2 B.3 C.6 D.x+3二、填空题11.如图所示,图1表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌,每个小圆表示一把椅子),图2表示2张餐桌和8把椅子,图3表示3张餐桌和10把椅子,….若按这种方式摆放25张桌子,需要_____把椅子.…图1 图2 图312.观察下列各式:22-1=1×3,32-1=2×4,42-1=3×5,52-1=4×6,…,根据上述规律,第n个等式应表示为_____ 13.已知一列数:a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,…,按照这个规律写下去,第9个数是_____14.假设有足够多的黑白棋子,按照一定的规律排列成一行:请问第2 020个棋子是_____.(填“黑棋”或“白棋”)15.有一列数:1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第二个数数到第n个数时,共数了(n -1)个数;当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,共数了_____个数.16.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有_____根小棒.17.用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“F”,第1个“F”需要4根,第2个需要7根,第3个需要10根,依此规律,第6个需要19根,第n个需要_____根(用含n的代数式表示).三、解答题18.观察下列单项式:-x,3x2,-5x3,7x4,…,-37x19,39x20,…,回答下列问题:(1)这组单项式的系数的规律是什么?(2)这组单项式的次数的规律是什么?(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第n个单项式是什么?(4)请你根据猜想,写出第2 019,2 020个单项式.19.如图所示是一个数表,现用一个长方形在数表中任意框出4个数.(1)写出a,c的关系式;(2)当a+b+c+d=32时,求a的值.20.如图,用长度相等的小木棒搭成的三角形网格,根据图示填写下列表格:…21.将连续偶数2,4,6,…排成如下形式,用十字框框出5个数,问:…(1)十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系?(2)5个数的和与32有什么关系?(3)如果将十字框上下左右移动,仍框住5个数,这5个数还有这种规律吗?(4)设中间的数为a,用代数式表示十字框框住的5个数的和.参考答案一、选择题1.观察一串数:0,2,4,6,…,则第n个数是(A)A.2(n-1) B.2n-1 C.2(n+1) D.2n+1 2.已知a1=3+1,a2=32+2,a3=33+3,a4=34+4,…,则a n的值为(A) A.3n+n B.3n C.3n+3 D.3+3n 3.观察以下一列数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…,则第11个数是(B)A.-121 B.-100 C.100 D.121 4.按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,…,第n个单项式是(C)A.(-1)n-1x2n-1B.(-1)n x2n-1 C.(-1)n-1x2n+1D.(-1)n x2n+1 5.在某月的月历上用长方形圈出a,b,c,d四个数(如图),如果d=20,那么a+b+c=(B)A.38 B.44 C.48 D.586.如图所示,下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第6个图形中共有五角星的个数是(B)A.23 B.24 C.25 D.267.如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,若按此规律排列下去,则第7个图形中小圆圈的个数为(D)A.46 B.52 C.56 D.608.a 是不为1的有理数,我们把11-a 称为a 的差倒数,如2的差倒数为11-2=-1,-1的差倒数为11-(-1)=12.已知a 1=5,a 2是a 1的差倒数,a 3是a 2的差倒数,a 4是a 3的差倒数…,依此类推,a 2 019的值是(D)A .5B .-14C.43D.459.已知一列数:1,-2,3,-4,5,-6,…,将这列数排成下列形式:按照上述规律排列下去,第10行数的第1个数是(A) A .-46B .-36C .37D .4510.观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72 019的结果的个位数字是(A) A .0B .1C .7D .82.假设嘉嘉抽到牌的点数为x ,淇淇猜中的结果应为y ,则y =(B)A .2B .3C .6D .x +311.如图所示,图1表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌,每个小圆表示一把椅子),图2表示2张餐桌和8把椅子,图3表示3张餐桌和10把椅子,….若按这种方式摆放25张桌子,需要54把椅子.…图1 图2 图3二、填空题12.观察下列各式:22-1=1×3,32-1=2×4,42-1=3×5,52-1=4×6,…,根据上述规律,第n个等式应表示为(n+1)2-1=n(n+2).13.已知一列数:a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,…,按照这个规律写下去,第9个数是13a+21b.14.假设有足够多的黑白棋子,按照一定的规律排列成一行:请问第2 020个棋子是黑棋.(填“黑棋”或“白棋”)15.有一列数:1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第二个数数到第n个数时,共数了(n -1)个数;当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,共数了(n-m+1)个数.16.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有(5n+1)根小棒.17.用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“F”,第1个“F”需要4根,第2个需要7根,第3个需要10根,依此规律,第6个需要19根,第n个需要(3n+1)根(用含n的代数式表示).三、解答题18.观察下列单项式:-x,3x2,-5x3,7x4,…,-37x19,39x20,…,回答下列问题:(1)这组单项式的系数的规律是什么?(2)这组单项式的次数的规律是什么?(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第n个单项式是什么?(4)请你根据猜想,写出第2 019,2 020个单项式.解:(1)这组单项式的系数的符号规律是(-1)n,系数的绝对值规律是2n-1.(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.(3)第n个单项式是(-1)n(2n-1)x n.(4)第2 019个单项式是-4 037x2 019,第2 020个单项式是4 039x2 020.19.如图所示是一个数表,现用一个长方形在数表中任意框出4个数.(1)写出a,c的关系式;(2)当a+b+c+d=32时,求a的值.解:(1)a,c的关系式是:a=c-5.(2)因为a+b+c+d=32,所以a+a+1+a+5+a+6=32.所以a=5.20.如图,用长度相等的小木棒搭成的三角形网格,根据图示填写下列表格:…21.将连续偶数2,4,6,…排成如下形式,用十字框框出5个数,问:…(1)十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系?(2)5个数的和与32有什么关系?(3)如果将十字框上下左右移动,仍框住5个数,这5个数还有这种规律吗?(4)设中间的数为a,用代数式表示十字框框住的5个数的和.解:(1)十字框框出的5个数,上面的数比中间的数小12,下面的数比中间的数大12,左面的数比中间的数小2,右面的数比中间的数大2.(2)因为5个数的和为20+30+32+34+44=160,160=32×5,所以5个数的和是32的5倍.(3)仍有这种规律.(4)十字框框住的5个数的和为(a-12)+(a-2)+a+(a+2)+(a+12)=5a.。

北师版七年级数学上册第3章 规律探索 专项训练

北师版七年级数学上册第3章   规律探索    专项训练

北师版七年级上册第三章整式及其加减规律探索 专项训练一、填空题1.已知:一组数1,3,5,7,9,…,按此规律,则第n 个数是___________. 2.已知:一组数1,4,7,10,13,…,按此规律,则第n 个数是__________.3.观察下列一组数:32,1,710,1917,1126,…,它们是按一定规律排列的,那么这组数的第n 个数是____________.(n 为正整数)4.按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,221,….若x ,y ,z 表示这列数中的连续三个数,猜想x ,y ,z 满足的关系式是______________.5.观察一列数:a 1=3,a 2=9,a 3=27,a 4=81……则a 6=________,a n =________. 6.观察下列数表:请猜想第n 行第n 列交叉点上的数应为___________.7.小李用围棋子排成下列一组有规律的图案,其中第1个图案有1枚棋子,第2个图案有3枚棋子,第3个图案有4枚棋子,第4个图案有6枚棋子……那么第9个图案的棋子数是________枚.8.观察下列一组数:-1,12,-13,14,-15,16……则第7个数是_______,第8个数是_______,第n 个数是 .9. 找出下列各图形中数的规律,依此判断,a的值为________.10.观察下列式子:1×3+1=22;7×9+1=82;25×27+1=262;79×81+1=802;……可猜想第n个式子为_____________________________.11. 如图,该数表是由1开始的连续自然数组成,观察规律并完成下列各题.(1)表中第8行的最后一个数是_______,它是自然数________的平方,第8行共有________个数;(2)用含n的代数式表示:第n行的第一个数是____________,最后一个数是__________,第n行共有_____________个数.12.观察下列等式:9×0+1=1;9×1+2=11;9×2+3=21;9×3+4=31;9×4+5=41;……猜想第n(n为正整数)个等式应为___________________________.13. 观察下列式子:1×3+1=22;7×9+1=82;25×27+1=262;79×81+1=802;……可猜想第2019个式子为____________________________.14.观察下列一组图形:它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第n个图形共有_______________个.15.按如下规律摆放三角形:(1)第④堆三角形的个数为___________;(2)第○n堆三角形的个数为__________二、选择题16. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10,…)和“正方形数”(如1,4,9,16,…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为( )A.33 B.301C.386 D.57117. 把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个角形第③个图案中有8个三角形,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为( )A.12 B.14C.16 D.1818. 观察下列一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形②中共有6颗星,图形③中共有11颗星,图形④中共有17颗星,…,按此规律,图形⑧中星星的颗数是( )A.43颗B.45颗C.51颗D.53颗19.如图用棋子摆出下列一组“口”字,按照这种方法摆下去,则摆第n个“口”需用棋子( ) A.4n枚B.(4n-4)枚C.(4n+4)枚D.n2枚20. 用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形的个数是( )A.(2n+1)个B.(n2-1)个C.(n2+2n)个D.(5n-2)个21.某校组织若干师生到活动基地进行社会实践活动.若学校租用45座的客车x辆,则余下20人无座位;若租用60座的客车则可少租用2辆,且最后一辆还没坐满,则乘坐最后一辆60座客车的人数是( )A.200-60xB.140-15xC.200-15xD.140-60x三、解答题22.一串数字的排列规律是:第一个数是20,从第二个数起,每一个数比前一个数小8.(1)第10个数是多少?(2)第n个数是多少?(3)第几个数是-60?23.仔细观察下列三组数:第一组:1,4,9,16,25……第二组:1,8,27,64,125……第三组:-2,-8,-18,-32,-50……(1)写出每组的第6个数各是多少?(2)第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍?(3)取每组数的第n个数,计算这三个数的和.24.观察图中的棋子:(1)按照这样的规律摆下去,第4个图形中的棋子个数是多少?(2)用含n的式子表示第n个图形的棋子个数.25.观察下列算式:22-02=4=4×1,42-22=12=3×4,62-42=20=5×4,82-62=28=7×4,….(1)按照此规律,写出第五个等式;(2)按照此规律,写出第n个等式;参考答案 一、填空题 1. 2n -1 2. 3n -2 3. 2n+1n 2+14. xy =z5. 729,3n6. 2n -17. 138. -17,18,(-1)n 1n9. 22610. (3n -2)×3n +1=(3n -1)2 11. (1)64,8,15 (2)(n -1)2+1,2n -1。

七年级数学北师大版上册课时练第3章《3.5探索与表达规律》(含答案解析)

七年级数学北师大版上册课时练第3章《3.5探索与表达规律》(含答案解析)

答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友,你们好!经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的!课时练3.5探索与表达规律一.选择题(共10小题)1.按规律排列的一组数据:12,35,□,717,926,1137,¼,其中□内应填的数是()A .23B .511C .59D .122.按一定规律排列的单项式:2a ,34a ,49a ,516a ,625a ,¼,第n 个单项式是()A .21n n a +B .21n n a -C .1n n n a +D .2(1)n n a +3.观察下列一组数:13,45-,97,169-,2511,¼,它们是按照一定规律排列的,那么这组数的第n 个数是()A .221n n +B .2(1)21nnn -+C .2(1)21n n n --D .21(1)21n n n --+4.按规律排列的单项式3x ,5x -,7x ,9x -,11x ,¼的第n 个单项式是()A .121(1)n n x ---B .21(1)n n x --C .21(1)n n x +-D .121(1)n n x -+-5.观察下列图形它们是按一定的规律排列的,依照此规律,第20个图形的“★”有()A .57个B .60个C .63个D .85个6.观察下面三行数:第①行:2、4、6、8、10、12、¼第②行:3、5、7、9、11、13、¼第③行:1、4、9、16、25、36、¼设x 、y 、z 分别为第①、②、③行的第100个数,则22x y z -+的值为()A .9999B .10001C .20199D .200017.观察下列按一定规律排列的n 个数:2,4,6,8,10,12,¼,若最后三个数之和是3000,则n 等于()A .500B .501C .1000D .10028.若x 是不等于1的实数,我们把11x-称为x 的差倒数,如2的差倒数是1-,1-的差倒数为12,现已知113x =-,2x 是1x 的差倒数,3x 是2x 的差倒数,4x 是3x 的差倒数¼依此类推,则2020x 等于()A .1-B .12C .13-D .39.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为()A.448B.452C.544D.60210.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“〇”的个数,则第7个“龟图”中有()个“〇”.A.44B.45C.46D.47二.填空题(共4小题)11.观察一列数:371115,,,24816,¼,按此规律,这列数的第n个数是.12.按一定规律排列的一列数依次为:2a,52a,83a,114a,¼,(0)a¹按此规律排列下去,这列数中的第n个数为.(n为正整数)13.观察下面的变化规律:211133=-´,2113535=-´,2115757=-´,2117979=-´,¼根据上面的规律计算:2222 13355720212023+++¼+=´´´´.14.海南黎锦有着悠久的历史,已被列入世界非物质文化遗产名录.如图是黎锦上的图案,每个图案都是由相同菱形构成的,若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案,则第5个图中有个菱形,第n个图中有个菱形(用含n的代数式表示).三.解答题(共6小题)15.观察下列等式:第1个等式:1112 12122+-=´;第2个等式:1112 23233+-=´;第3个等式:111234344+-=´;¼;按照以上规律,解决下列问题.(1)写出第6个等式:.(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.16.观察以下等式:第1个等式:311222´=-;第2个等式:412333´=-;第3个等式:513444´=-;第4个等式:614555´=-;第5个等式:715666´=-;¼按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式;(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的等式表示),并证明.17.观察下列各式:3312189+=+=,而2(12)9+=,33212(12)\+=+;33312336++=,而2(123)36++=,3332123(123)\++=++;33331234100+++=,而2(1234)100+++=,333321234(1234)\+++=+++;猜想并填空:(1)3333312345++++=2=2;根据以上规律填空:(2)3333123n +++¼+=2=2;(3)求解:333331617181920++++.18.如图是用棋子摆成的“T ”字图案.从图案中可以看出,第一个“T ”字图案需要5枚棋子,第二个“T ”字图案需要8枚棋子,第三个“T ”字图案需要11枚棋子.(1)照此规律,摆成第四个图案需要枚棋子.(2)照此规律,摆成第n 个图案需要枚棋子.(用含n 的代数式表示)(3)照此规律,摆成第2018个图案需要几枚棋子?(4)摆成这种“T ”字图案的棋子数可能是2017枚吗?如果是,请计算出是第几个图案,如果不是,请说明理由.19.图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,试回答以下问题:(1)摆第4个图案需要枚棋子;(2)是否存在摆了130枚棋子的图案?若存在,试求出是第几个图案;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.D二、填空题11.412nn -12.31n na -13.2022202314.41,2(221)n n -+.三、解答题15.解:(1)111267677+-=´;(2)猜想:第n 个等式为:11121(1)1n n n n n +-=+++,证明:1111(1)n n n n +-++11(1)(1)(1)n n n n n n n n +=+-+++11(1)n n n n ++-=+2(1)n n n =+21n =+=右边.故等式成立.16.解:(1)816777´=-;(2)猜想:第n 个等式是21(1)11n n n n n +´=+-++,证明:左边221n nn +=+,右边22(1)1211n n nn n +-+==++,左边=右边,21(1)11n n n n n +\´=+-++.17.解:(1)(12345)++++;15;(2)(123...)n ++++;(1)[]2n n +;(3)原式333333333333(1231617181920)(12315)=+++¼+++++-+++¼+22(123...20)(123...15)=++++-++++2220(120)15(115)[[22´+´+=-22210120=-4410014400=-29700=.18.解:(1)14;(2)(32)n +;(3)按(2)中规律,当2018n =时,323201826056n +=´+=.故摆成第2018个图案需要6056枚棋子.(4)不可能,理由如下:令322017n+=,解得20153n=,n为小数,与题意不符,故摆成这种“T”字图案的棋子数不可能是2017枚.19.解:(1)61;(2)由(1)得:第6个图案有:16(123456)127+´+++++=枚,第7个图案有:16(1234567)169+´++++++=枚,所以不存在摆了130枚棋子的图案.。

北师大版七年级数学上学期探索与表达规律课后练习题.doc

北师大版七年级数学上学期探索与表达规律课后练习题.doc

北师大版七年级数学上学期探索与表达规律课后练习题初中数学课堂上大家学习了很多数学知识点,在课下大家要及时进行练习巩固,通过做练习题能够让大家发现自己课堂上没掌握好的知识点,下面为大家带来北师大版七年级数学上学期探索与表达规律课后练习题,希望有助于大家学好初中数学知识。

1. 观察下面三行数:-2,4,-8,16,-32,64 ①0,6,-6,18,-30,66②-1,2,-4,8,-16,32③(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数有什么关系?(3)取每行数的第十个数,计算这三个数的和.2. 解答题.观察下列各算式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20.(1)第5个算式是什么?第6个算式是什么?(2)第n个算式是什么?(用n来表示)3. 给出一组式子:32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,112+602=612,(1)请你观察给出的式子,找出一些规律并写出,运用所发现的规律给出第10个式子,并利用计算器验证所得式子的正确性;(2)已知:20032+p2=q2,其中p,q为连续正整数,且q=p+1,用较为简便的方法写出p和q的值,并利用计算器验证它的正确性.4. 两个人做游戏:轮流报数,报出的数不能超过8(也不能是O),即是1,2,3,4,5,6,7,8中的一个,把两个人报出的数连加起来,谁报数后能使他们报出的数和为88,谁就获胜.如果让你先报数,那么你如何报数才能一定获胜?5. 观察下面三行数:2,-4,8,-16,①-1,2,-4,8,②3,-3,9,-15,③(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和?为大家带来了北师大版七年级数学上学期探索与表达规律课后练习题,希望大家能够养成课后做数学练习题的好习惯,这样能够在做题中加深大家对初中数学知识点的掌握程度。

北师大版 七年级 上册 3.5 探索与表达规律 练习(带答案)

北师大版 七年级 上册 3.5 探索与表达规律 练习(带答案)

探索与表达规律练习一、选择题1. 一列数按某规律排列如下:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,若第n 个数为57,则n =( )A. 50B. 60C. 62D. 712. 已知有理数a ≠1,我们把11−a 称为a 的差倒数,如:2的差倒数是11−2=−1,−1的差倒数是11−(−1)=12.如果a 1=−2,a 2是a 1的差倒数,a 3是a 2的差倒数,a 4是a 3的差倒数……依此类推,那么a 1+a 2+⋯+a 100的值是( )A. −7.5B. 7.5C. 5.5D. −5.53. 观察以下一列数的特点:0,1,−4,9,−16,25,…,则第11个数是( )A. −121B. −100C. 100D. 1214. 观察点阵图的规律,第100个图的小黑点的个数应该是( )A. 399B. 400C. 401D. 4025. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )A. 11B. 13C. 15D. 176. 仔细观察下列数字排列规律,则a =( )A. 206B. 216C. 226D. 2367.按一定规律排列的单项式:x3,−x5,x7,−x9,x11,……,第n个单项式是()A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)n x2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)n x2n+18.求1+2+22+23+⋯+22016的值,可设S=1+2+22+23+⋯+22016,于是2S=2+22+23+⋯+22017,因此2S−S=22017−1,所以S=22017−1.我们把这种求和方法叫错位相减法.仿照上述的思路方法,计算出1+5+52+53+⋯+ 52016的值为()A. 52017−1B. 52016−1C. 52017−14D. 52016−149.在下列数字宝塔中,从上往下数,2018在_____层等式的______边.1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+1516+17+18+19+20=21+22+23+24正确的答案是()A. 44,左B. 44,右C. 45,左D. 45,右10.观察下列各图中小圆点的摆放规律,并按这样的规律继续摆放下去,则第5个图形中小圆点的个数为().A. 49B. 50C. 53D. 5611.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,那么:71+72+73+⋅⋅⋅+72021的末位数字是()A. 9B. 7C. 6D. 012.观察下列两行数:1,3,5,7,9,11,13,15,17,…1,4,7,10,13,16,19,22,25,…探究发现:第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…若第n个相同的数是103,则n等于()A. 18B. 19C. 20D. 2113.计算9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=()A. 9a7b B. a97bC. 9ab7D. a9b714.如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次.移动规则是:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处),按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题15.如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成:……,按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________.16.如图,用火柴棍摆出一列正方形图案,其中图①有4根火柴棍,图②有12根火柴棍,图③有24根火柴棍……以此类推,则图⑩中火柴棍的根数是_____________.17.已知a1=t1+t ,a2=11−a1,a3=11−a2,…,a n+1=11−an(n为正整数,且t≠0,1),则a2016=______(用含有t的代数式表示).18.如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第2020次输出的结果为______________.19.如图,在矩形ABCD中,M为CD的中点,连接AM、BM,分别取AM、BM的中点P、Q,以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ,使S、R在AB上.在矩形PSRQ中,重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB,矩形ABCD的周长为30,则第n个矩形的边长分别是______,______.三、解答题20.观察下列关于自然数的等式:2×4−12+1=8;3×5−22+1=12;4×6−32+1=16;5×7−42+1=20;…利用等式的规律,解答下列问题:(1)若等式8×10−a2+1=b(a,b都为自然数)具有以上规律,则a=_________,a+b=_________.(2)写出第n个等式(用含n的代数式表示).21.请观察下列算式,找出规律并填空:①11×2=1−12;②11×3=12×(1−13);③11×4=13×(1−14);④11×5=14×(1−15)……(1)第6个算式是__________________,第n(n为正整数)个算式是_________________;(2)从以上规律你可以得到哪些启示?根据你的启示,试解答下列问题:若有理数a,b满足|a−1|+(b−4)2=0,求1ab+1(a+3)(b+3)+1(a+6)(b+6)+1(a+9)(b+9)+⋯+1(a+30)(b+30)的值.22. 符号“f ”表示一种运算,它对一些数的运算如下:f(1)=1+21,f(2)=1+22,f(3)=1+23,f(4)=1+24… (1)利用以上运算的规律写出f(n)=______;(n 为正整数) (2)计算:f(1)⋅f(2)⋅f(3)…f(100)的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,可写为:11,(12,21),(13,22,31),(14,23,32,41),…, ∴分母为11开头到分母为1的数有11个,分别为111,210,39,48,57,66,75,84,93,102,111,∴第n 个数为57,则n =1+2+3+4+⋯+10+5=60,2.【答案】A【解答】 解:∵a 1=−2, ∴a 2=11−(−2)=13,a 3=11−13=32,a 4=11−32=−2,…… ∴这个数列以−2,13,32依次循环,且−2+13+32=−16, ∵100÷3=33…1,∴a 1+a 2+⋯+a 100=33×(−16)−2=−152=−7.5,故选:A .3.【答案】B【解析】解:0=−(1−1)2,1=(2−1)2,−4=−(3−1)2,9=(4−1)2,−16=−(5−1)2,∴第11个数是−(11−1)2=−100,4.【答案】C【解析】解:∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1=5个, 第2个图形中小黑点个数为1+4×2=9个, 第3个图形中小黑点个数为1+4×3=13个,…∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100=401个,5.【答案】B【解答】 解:观察图形知:第①个图形有3个正方形,第②个有5=3+2×1(个),第③个图形有7=3+2×2(个),…故第⑥个图形有3+2×5=13(个),故选B.6.【答案】C【解答】解:观察发现:2=1×2−0;10=3×4−2;26=5×6−4;50=7×8−6;…a=15×16−14=226,故选C.7.【答案】C【解答】解:∵第1个式子:x3=(−1)1+1x2×1+1,第2个式子:−x5=(−1)2+1x2×2+1,第3个式子:x7=(−1)3+1x2×3+1,第4个式子:−x9=(−1)4+1x2×4+1,第5个式子:x11=(−1)5+1x2×5+1,……∴由上可知,第n个单项式是:(−1)n+1x2n+1,故选C.8.【答案】C【解析】解:设S=1+5+52+53+⋯+52016,则5S=5+52+53+⋯+52017,∴5S−S=52017−1,∴S=52017−1.49.【答案】B【解答】解:第1层等式左右两边共3个数,第2层等式左右两边共5个数,第3层等式左右两边共7个数,第4层等式左右两边共9个数,…,第n层等式左右两边共2n+1个数,3+5+7+9+⋯+2n+1=n(n+2),当n=43时,n(n+2)=1935,当n=44时,n(n+2)=2024,∵1935<2018<2024,∴2018在第44层,又∵2018−1935=83,83>44+1,∴2018在第44层的右边.故选:B.10.【答案】B【解答】解:根据题意分析可得:第1个图形中小圆点的个数为10=(1+2)2+1;第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1;第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1;…;,第n个图形中小圆点的个数为(n+2)2+1,∴第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50.故第5个图形中小圆点的个数为50.故选B.11.【答案】B【解答】解:由71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,...可知;个位数字的变化规律为:7,9,3,1,所以2021÷4=505...1,所以72021的末位数字为7,∴所有数的个位数之和为:(7+9+3+1)×505+7=10107, 所以71+72+73+⋯+72021的末位数字是7. 故选B .12.【答案】A【解答】解:第1个相同的数是1=0×6+1, 第2个相同的数是7=1×6+1, 第3个相同的数是13=2×6+1, 第4个相同的数是19=3×6+1, …,第n 个相同的数是6(n −1)+1=6n −5, 所以6n −5=103,解得n =18. 故选A .13.【答案】C【解析】解:9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=9ab 7,14.【答案】D【解析】解:经实验或按下方法可求得顶点C ,E 和F 棋子不可能停到. 设顶点A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 分别是第0,1,2,3,4,5,6格,因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k =12k(k +1),应停在第12k(k +1)−7p 格,这时P 是整数,且使0≤12k(k +1)−7p ≤6,分别取k =1,2,3,4,5,6,7时,12k(k +1)−7p =1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋,若7<k ≤2020,设k =7+t(t =1,2,3)代入可得,12k(k +1)−7p =7m +12t(t +1), 由此可知,停棋的情形与k =t 时相同,故第2,4,5格没有停棋,即顶点C ,E 和F 棋子不可能停到.15.【答案】9n +3【解析】解:∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3;∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3;∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3,…,∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3.16.【答案】220【解答】解:设摆出第n个图案用火柴棍为S n.①图,S1=4;②图,S2=4+3×4−(1+3)=4+2×4=4×(1+2);③图,S3=4(1+2)+5×4−(3+5)=4×(1+2+3);…;图⑩火柴棍的根数是:S10=4×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=220,故答案为220.17.【答案】−1t【解答】解:根据题意得:a1=t1+t ,a2=11−t1+t=1+t,a3=11−1−t=−1t,a4=11+1t=tt+1⋯2016÷3=672,∴a2016的值为−1t,故答案为−1t.18.【答案】3【解答】解:∵第二次输出的结果为12,∴第三次输出的结果为6,第四次输出的结果为3,第五次输出的结果为6,第六次输出的结果为3,…,∴从第三次开始,第偶数次输出的为3,第奇数次输出的为6,∴第2020次输出的结果为3.故答案为3.19.【答案】10×(12)n−1; 5×(12)n−1【解析】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC ,∠D =∠C =90°∵M 为CD 的中点,∴DM =CM ,∴△ADM≌△BCM(SAS),∴AM =BM ,∵AM ⊥MB ,∴△ABM 是等腰直角三角形,∴∠MAB =∠MBA =45°,∴∠DAM =∠CBM =45°,∴∠DAM =∠DMA ,∴AD =MD =12CD ,∵矩形ABCD 的周长为30,∴CD =10,AD =5,∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点,∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2:1,在△ABM 中,PQ =5,则宽为52,同理可得:第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2,则可得:第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1,5×(12)n−1. 20.【答案】解:(1)7,39;(2)由已知的等式可得:第n 个等式为(n +1)(n +3)−n 2+1=4(n +1).【解答】解:(1)∵2×4−12+1=8;3×5−22+1=12;4×6−32+1=16;5×7−42+1=20;....∴第7个等式为8×10−72+1=4×(7+1),故a =7,b =32,∴a +b =7+32=39,故答案为7,39;(2)见答案.21.【答案】解:(1)11×7=16×(1−17),11×(n+1)=1n ×(1−1n+1);(2)∵|a −1|+(b −4)2=0,∴a −1=0,b −4=0,∴a =1,b =4,∴原式=11×4+14×7+17×10+110×13+···+131×34,=13×(1−14)+13×(14−17)+⋯+13×(131−134),=13×(1−14+14−17+⋯+131−134),=13×(1−134),=1134.22.【答案】解:(1)1+2n ;(2)f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)=(1+21)(1+22)(1+23)(1+24)…(1+2100) =31×42×53×64×…×102100 =101×1021×2=5151.(1)根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法,写出f(n)的表达式即可.(2)根据(1)中求出的f(n)的表达式,求出f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)的值是多少即可.【解答】解:(1)∵f(1)=1+21,f(2)=1+22,f(3)=1+23,f(4)=1+24…∴f(n)=1+2n .。

北师大版数学七年级上《3.5探索与表达规律》同步练习(有答案)

北师大版数学七年级上《3.5探索与表达规律》同步练习(有答案)

北师大版数学七年级上册同步练习3.5 探索与表达规律学校:___________姓名:___________班级:___________一.选择题(共10小题)1.如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是()A.2B. C.5 D.2.观察图中的“品”字形中个数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为()A.75 B.89 C.103 D.1393.农夫将苹果树种在正方形的果园内.为了保护苹果树不怕风吹,他在苹果树的周围种针叶树.在下图里,你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律:当n为某一个数值时,苹果树数量会等于针叶树数量,则n为()A.6 B.8 C.12 D.164.观察下列关于自然数的式子:4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律,则第2021个式子的值是()A.8068 B.8069 C.8070 D.80715.如图,四个小朋友站成一排,老师按图中所示的规则数数,数到2021时对应的小朋友可得一朵红花,那么得红花的小朋友是()A.小沈B.小叶C.小李D.小王6.把所有正偶数从小到大排列,并按如下规律分组:第一组:2,4;第二组:6,8,10,12;第三组:14,16,18,20,22,24第四组:26,28,30,32,34,36,38,40……则现有等式A m=(i,j)表示正偶数m是第i组第j个数(从左到又数),如A10=(2,3),则A2021=()A.(31,63)B.(32,17)C.(33,16)D.(34,2)7.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值应是()A.110 B.158 C.168 D.1788.将正整数按如图所示的位置顺序排列,根据排列规律,则2021应在()A.A处B.B处 C.C处 D.D处9.如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是()A.M=mn B.M=m(n+1)C.M=mn+1 D.M=n(m+1)10.将一列有理数﹣1,2,﹣3,4,﹣5,6,……,按如图所示有序排列,根据图中的排列规律可知,“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4,那么,“峰6”中D的位置是有理数(),2022应排在A、B、C、D、E中的()位置.其中两个填空依次为()A.29,C B.﹣29,D C.30,B D.﹣31,E二.填空题(共5小题)11.已知a>0,S1=,S2=﹣S1﹣1,S3=,S4=﹣S3﹣1,S5=,…(即当n为大于1的奇数时,S n=;当n为大于1的偶数时,S n=﹣S n﹣1﹣1),按此规律,S2021=.12.按一定顺序排列的一列数叫做数列,如数列:,,,,…,则这个数列前2021个数的和为.13.根据下列各式的规律,在横线处填空:,,=,…,+﹣=14.将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第8列的数是.15.将数1个1,2个,3个,…,n个(n为正整数)顺次排成一列:1,,…,记a1=1,a2=,a3=,…,S1=a1,S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3,…,S n=a1+a2+…+a n,则S2021=.三.解答题(共4小题)16.观察以下等式:第1个等式: ++×=1,第2个等式: ++×=1,第3个等式: ++×=1,第4个等式: ++×=1,第5个等式: ++×=1,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.17.(1)根据下列算式的规律填空:﹣=,﹣=,﹣=,﹣=,第n个算式为;(2)利用上述规律计算: ++…=.18.如图,将连续的奇数1,3,5,7…按图1中的方式排成一个数表,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数(如图2)分别用a,b,c,d,x表示.(1)若x=17,则a+b+c+d=.(2)移动十字框,用x表示a+b+c+d=.(3)设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2022,请说明理由.19.观察下列等式的规律,解答下列问题:a1=(+),a2=(+),a3=(+),a4=(+),…….(1)第5个等式为;第n个等式为(用含n的代数式表示,n 为正整数);(2)设S1=a1﹣a2,S2=a3﹣a4,S3=a5﹣a6,……,S1008=a2021﹣a2021.求S1+S2+S3+……+S1008的值.参考答案一.选择题(共10小题)1.B.2.A.3.B.4.D.5.B.6.B.7.B.8.A.9.B.10.C.二.填空题(共5小题)11.﹣.12..13..14.2021.15.63.三.解答题(共4小题)16.(1)根据已知规律,第6个分式分母为6和7,分子分别为1和5故应填:(2)根据题意,第n个分式分母为n和n+1,分子分别为1和n﹣1故应填:证明:=∴等式成立17.(1)∵第1个算式为﹣==,第2个算式为﹣==,第3个算式为﹣==,∴第4个算式为﹣==,…∴第n个算式为﹣=.故答案为,﹣=;(2)由(1)可知﹣=,∴=﹣.∴++…=(++…+)=(﹣+﹣+…+﹣)=(﹣)=.故答案为.18.观察图1,可知:a=x﹣12,b=x﹣2,c=x+2,d=x+12.(1)当x=17时,a=5,b=15,c=19,d=29,∴a+b+c+d=5+15+19+29=68.故答案为:68.(2)∵a=x﹣12,b=x﹣2,c=x+2,d=x+12,∴a+b+c+d=(x﹣12)+(x﹣2)+(x+2)+(x+12)=4x.故答案为:4x.(3)M的值不能等于2022,理由如下:令M=2022,则4x+x=2022,解得:x=404.∵404是偶数不是奇数,∴与题目x为奇数的要求矛盾,∴M不能为2022.19.(1)由题意得:a5=;∴a n=(+)=;故答案为: +,;(2)由(1)可知a n=,∴S1=a1﹣a2=(1+)﹣(+)=1﹣,S2=a3﹣a4=(+)﹣(+)=﹣,S3=a5﹣a6=(+)﹣(+)=﹣,………S1008=a2021﹣a2021=(+)﹣(+)=﹣,∴S1+S2+S3+…+S1008,=(1﹣)+()+(﹣)+…+(),=1﹣,=.。

北师大版七年级(上)数学3.5.1探索与表达规律(1)课时同步检测(原创)

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北师大版七年级(上)数学3.5.1探索与表达规律(1)课时同步检测(原创)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为()A.11 B.13 C.15 D.172.用棋子摆出下列一组图形:按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为()A.3n B.6n C.3n+6 D.3n+33.下表给出的是某月份的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,请你运用方程思想来研究,发现这三个数的和不可能是()A.69 B.54 C.27 D.404.为庆祝六一儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛,如图:按照上面的规律,摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为( ) A .(62)n +根B .(68)n +根C .(44)n +根D .8n 根5.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,…,依此规律,第11个图案需( )根火柴.A .156B .157C .158D .1596.根据如图所示的三个图所表示的规律,依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( )A .3nB .3n (n+1)C .6nD .6n (n+1)7.观察图中给出的四个点阵,s 表示每个点阵中的点的个数,按照图形中的点的个数变化规律,猜想第n 个点阵中的点的个数s 为( ).A .3n -2B .3n -1C .4n +1D .4n -38.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第n 个图形中需要黑色瓷砖多少块(用含n 的代数式表示)( )A.4n B.3n+1C.4n+3D.3n+2二、填空题9.如图所示,图①是一个三角形,分别连接三边中点得图②,再分别连接图②中的小三角形三边中点,得图③……按此方法继续下去.在第n个图形中有______个三角形(用含n的式子表示)10.如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成,第2个,第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得,那么(1)第4个图案中有白色六边形地面砖________块,第n个图案中有白色地面砖________ 块.11.如图,是用火柴棒拼成的图形,则第n个图形需_____根火柴棒.12.如图,每个图案都由若干个棋子摆成,按照此规律,第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为______.…第1个第2个第3个第4个…13.如图所示,将多边形分割成三角形.图(1)中可分割出2个三角形;图(2)中可分割出3个三角形;图(3)中可分割出4个三角形;由此你能猜测出,n边形可以分割出_____个三角形.14.观察下列图形并填表:三、解答题15.学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子,碟子的个数与碟子的高度的关系如下表:(1)当桌子上放有x(个)碟子时,请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示);(2)分别从三个方向上看,其三视图如上图所示,厨房师傅想把它们整齐叠成一摞,求叠成一摞后的高度.16.如图,五边形ABCDE内部有若干个点,用这些点以及五边形ABCDE的顶点A B C D E的顶点把原五边形分割成一些三角形(互相不重叠):,,,,内部有1个点内部有2个点内部有3个点(1)填写下表:(2)原五边形能否被分割成2019个三角形?若能,求此时五边形ABCDE内部有多少个点?若不能,请说明理由.17.如图,将连续的奇数1,3,5,7…按图1中的方式排成一个数表,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数(如图2)分别用a,b,c,d,x表示.(1)若x=17,则a+b+c+d=.(2)移动十字框,用x表示a+b+c+d=.(3)设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.18.若按下图方式摆放餐桌和椅子,请探索规律并填表:19.用同样大小的灰、白两种正方形地砖铺设地面,方法是(如图):第一层只有2块白色地砖,第二层是在第一层外面围一圈灰色地砖,第三层是在第二层外面围一圈白色地砖……(1)第七层共有几块地砖,是白色的还是灰色的?(2)第n层共有几块地砖(结果化成最简)?如果这些地砖是白色的,那么正整数n有什么特点?20.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式,探究其中的规律:(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式.①·↔4×0+1=4×1-3;②↔4×1+1=4×2-3;③↔4×2+1=4×3-3;④↔______________;⑤↔______________;(2)通过猜想,写出与第个图形相对应的等式.参考答案1.B【解析】【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形,第二个有5=3+2×1个,第三个图形有7=3+2×2个,由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可.【详解】观察图形知:第一个图形有3个正方形,第二个有5=3+2×1个,第三个图形有7=3+2×2个,…故第⑥个图形有3+2×5=13(个),故选B.【点睛】此题主要考查了图形的变化规律,是根据图形进行数字猜想的问题,关键是通过归纳与总结,得到其中的规律,然后利用规律解决一般问题.2.D【解析】观察可知:①中有棋子6个,6=3×1+3,②中有棋子9个,9=3×2+3,③中有棋子12个,12=3×3+3,…所以第n个图形用的棋子个数为:3n+3,故答案为3n+3.【点睛】主要考查了规律性问题,对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.3.D【解析】【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是:上面的数总是比下面的数小7.可设中间的数是x ,则上面的数是7x -,下面的数是7x +,列式计算即可判断. 【详解】设中间的数是x ,则上面的数是7x -,下面的数是7x +. 则这三个数的和是:()()773x x x x -+++=, 因而这三个数的和一定是3的倍数.69、54、27都是3的倍数,只有40不是3的倍数, 则这三个数的和不可能是40. 故选:D . 【点睛】本题考查了数表中的规律;解决的关键是观察图形找出数之间的关系,从而找到三个数的和的特点. 4.A 【解析】 【分析】观察给出的3个例图,注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根,图③的火柴棒比图②的多6根,而图①的火柴棒的根数为2+6. 【详解】解:第②个图比第①个图多6根火柴棒,第③个图比第②个图多6根火柴棒,则第n 个图需86(1)866(62)n n n +-=--=+根火柴棒,故选A.【点睛】本题考查了对图形变化规律的考查,查出前三个图形的火柴棒的根数,并观察出后一个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键. 5.B 【解析】根据第1个图案需7根火柴,7=1×(1+3)+3,第2个图案需13根火柴,13=2×(2+3)+3,第3个图案需21根火柴,21=3×(3+3)+3,得出规律第n 个图案需n (n+3)+3根火柴,再把11代入即可求出答案.解:根据题意可知:第1个图案需7根火柴,7=1×(1+3)+3,第2个图案需13根火柴,13=2×(2+3)+3,第3个图案需21根火柴,21=3×(3+3)+3,…,第n个图案需n(n+3)+3根火柴,则第11个图案需:11×(11+3)+3=157(根);故选B.“点睛”此题主要考查图形的变化类,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.6.B【解析】【分析】从题中这三个图形中找出规律,可以先找出这三个图形中平行四边形的个数,分析三个数字之间的关系.从而求出第n个图中平行四边形的个数.【详解】从图中我们发现=⨯⨯(1)中有6个平行四边形,6312,=⨯⨯,(2)中有18个平行四边形,18323=⨯⨯,(3)中有36个平行四边形,36334∴第n个中有3n(n+1)个平行四边形.故选B.7.D【解析】根据所给的数据,不难发现:第一个数是1,后边是依次加4,则第n个点阵中的点的个数是1+4(n-1)=4n-3.故选D.8.B【解析】通过观察可得:第1个图中正方形的个数是4,第2个图中正方形的个数是437,+=第3个图中正方形的个数是43310,++=所以第n 个数是()43131n n +-=+,故选:B. 9.()43n - 【解析】 【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数,可以发现:第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3.如图③中三角形的个数为9=4×3-3.按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形. 【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数, 图①中三角形的个数为1=4×1-3; 图②中三角形的个数为5=4×2-3; 图③中三角形的个数为9=4×3-3; …可以发现,第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3. 按照这个规律,如果设图形的个数为n ,那么其中三角形的个数为4n-3. 故答案为4n-3. 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握,解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形,数据等条件,通过认真思考,归纳总结出规律,此类题目难度一般偏大,属于难题.10.18; 4n +2 【解析】 【分析】根据所给的图案,发现:第一个图案中,有6块白色地砖,后边依次多4块,由此规律解决问题. 【详解】解:第1个图案中有白色六边形地面砖有6块; 第2个图案中有白色六边形地面砖有6+4=10(块);第3个图案中有白色六边形地面砖有6+2×4=14(块);第4个图案中有白色六边形地面砖有6+3×4=18(块);第n个图案中有白色地面砖6+4(n-1)=4n+2(块).故答案为18,4n+2.【点睛】此题考查图形的变化规律,结合图案发现白色地砖的规律是解题的关键.11.2n+1.【解析】【分析】【详解】解:根据图形可得出:当三角形的个数为1时,火柴棒的根数为3;当三角形的个数为2时,火柴棒的根数为5;当三角形的个数为3时,火柴棒的根数为7;当三角形的个数为4时,火柴棒的根数为9;……由此可以看出:当三角形的个数为n时,火柴棒的根数为3+2(n﹣1)=2n+1.故答案为:2n+1.n n+12.()1【解析】【分析】从每个图案的横队和纵队棋子个数分析与n的关系【详解】每个图案的纵队棋子个数是:n,每个图案的横队棋子个数是:n+1,那么第n个图案中棋子的总个数可以用含n的代数式表示为:n(n+1).故答案为:n(n+1).【点睛】本题主要考查图形的变化规律:首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善于联想来解决这类问题.n-13.()1【解析】【分析】(1)三角形分割成了两个三角形;(2)四边形分割成了三个三角形;(3)以此类推,n边形分割成了(n−1)个三角形.【详解】n边形可以分割出(n−1)个三角形.【点睛】此题注意观察:是连接n边形的其中一边上的点.根据具体数值进行分析找规律.n边形分割成了(n−1)个三角形.n+14.8 11 14 17 32【解析】【分析】通过分析可知:一个梯形的周长是5=3×1+2,两个梯形的周长是8=3×2+2,…,总结可知当梯形的个数为n时,周长=3n+2.【详解】解:由题意可知:n=1时,周长=5=3×1+2,n=2时,周长=8=3×2+2,n=3时,周长=11=3×3+2,…∴当梯形的个数为n时,周长=3n+2.n故答案为:8,11,14,17,32【点睛】本题主要考查通过对图形的分析总结规律,关键在于通过认真分析周长并结合图形总结出n 与周长之间的关系.15.(1)1.5x+0.5;(2)21.5cm.【解析】【分析】(1)由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律,可以看出碟子数为x时,碟子的高度为2+1.5(x﹣1);(2)根据三视图得出碟子的总数,代入(1)即可得出答案.【详解】(1)由题意得:2+1.5(x﹣1)=1.5x+0.5;(2)由三视图可知共有12个碟子,∴叠成一摞的高度=1.5×12+0.5=18.5(cm).答:叠成一摞后的高度为18.5cm.【点睛】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识,解题的关键是具有获取信息(读表)、分析问题解决问题的能力.找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键.16.(1)详见解析;(2)1008【解析】【分析】(1)查出题干图形中三角形的个数,并观察发现,每多一个点,三角形的个数增加2,然后据此规律填表即可;(2)根据(1)中规律,列式求解,如果n是整数,则能分割,如果不是整数,则不能分割.【详解】(1)有1个点时,内部分割成5个三角形;有2个点时,内部分割成5+2=7个三角形;有3个点时,内部分割成5+2×2=9个三角形;有4个点时,内部分割成6+2×3=11个三角形;…以此类推,有n个点时,内部分割成5+2×(n-1)=(2n+3)个三角形;故可填表为:(2)可以,n=.令232019n+=,解得1008∴此时正方形ABCD内部有1008个点.【点睛】本题是对图形变化问题的考查,根据数据的变化规律,结合图形,总结出每增加一个点,三角形的个数增加2的规律是解题的关键.17.(1)68(2)4x(3)M的值不能等于2020【解析】【分析】(1)直接求和;(2)a+b+c+d=(x﹣12)+(x﹣2)+(x+2)+(x+12),化简即可;(3)令M=2020,则4x+x=2020,求出x,若x是奇数就说明成立,否则就不能为2020. 【详解】观察图1,可知:a=x﹣12,b=x﹣2,c=x+2,d=x+12.(1)当x=17时,a=5,b=15,c=19,d=29,∴a+b+c+d=5+15+19+29=68.故答案为68.(2)∵a=x﹣12,b=x﹣2,c=x+2,d=x+12,∴a+b+c+d=(x﹣12)+(x﹣2)+(x+2)+(x+12)=4x.故答案为4x.(3)M的值不能等于2020,理由如下:令M=2020,则4x+x=2020,解得:x=404.∵404是偶数不是奇数,∴与题目x为奇数的要求矛盾,∴M不能为2020.【点睛】本题考核知识点:观察总结规律. 解题关键点:用式子表示规律.18.详见解析.【解析】【分析】第一张桌子坐的人数为6+4×0,第二张桌子坐的人数为6+4×1,第三张桌子坐的人数为6+4×2,第四张桌子坐的人数为6+4×3,所以可以猜想第10张桌子坐的人数为6+4×9=42人,第n张桌子坐的人数为6+4×(n-1),即4n+2.【详解】【点睛】此题主要考查图形的规律探索,解题的关键是找出图形间的联系与规律.19.(1)50块,白色;(2)正整数n是奇数.【解析】【分析】(1)由图形可知单数层是白色瓷块,双数层是灰色地砖;第一层中白色瓷块有1×2块,第二层中灰色地砖有3×4-1×2块,第三层中白色瓷块有5×6-3×4块,…,可知第7层的地砖的块数;(2)由(1)可知第n层的地砖有2n(2n-1)-(2n-2)(2n-3)=8n-6,从这些地砖是白色的,可知正整数n是奇数.【详解】解:(1)第7层是奇数层,地砖是白色的,地砖的块数是2×7×(2×7−1)−(2×7−2)(2×7−3)=182−132=50块(2)第n层的地砖有2n(2n−1)−(2n−2)(2n−3)=8n−6,∵这些地砖是白色的,∴正整数n是奇数.【点睛】考查了规律型:图形的变化,解决这类问题首先要从简单图形入手,抓住随着“层数”增加时,后一个图形与前一个图形相比,在数量上增加(或倍数)情况的变化,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论.20.(1) 4×3+1=4×4-3 ;4×4+1=4×5-3 (2) 4(n-1)+1=4n-3【解析】试题分析:⑴ 根据前三个式子的形式,可知第四个式子为4×3+1=4×4−3,第五个式子为4×4+1=4×5−3 .⑵点阵图形第一层有1个点,每增加一层,就增加4个点,所以第n个图形的总点数为1+ 4(n−1)或4n−3,即对应的等式为4(n−1)+1=4n−3.试题解析:⑴ ④4×3+1=4×4−3;⑤4×4+1=4×5−3.⑵ 第n个图形的总点数为4(n−1)+1或4n−3,所以与第n个图形相对应的等式为4(n−1)+1=4n−3.点睛:本题考查逻辑推理能力,解题的关键在于分析等式的组成与图形的关系,进而推导出等式的一般形式.。

北师大版初中数学七年级上册《3.5 探索与表达规律》同步练习卷(含答案解析

北师大版初中数学七年级上册《3.5 探索与表达规律》同步练习卷(含答案解析

北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷一.解答题(共37小题)1.阅读材料,求值:1+2+22+23+24+ (22015)解:设S=1+2+22+23+24+…+22015①,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (2)(2)利用(1)的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299.2.计算:1+3+32+33+34+…+399+3100时,可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则:3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算:1+8+82+ (82006)3.阅读下列材料:因为=,=,=,=,…所以+++…+=.解答下列问题:(1)在和式+++…中,第五项为,第n项为.(2)利用上述结论计算:+++…+.4.若=+,对任意自然数n都成立,(1)求a,b的值;(2)试根据(1)的变式,计算:+++…+.5.(1)先观察,然后想一想其中的规律,并利用你所想的规律计算.==,==,==,请你计算:+.(2)试计算(1﹣)(1﹣)…(1﹣)(1﹣)的值.6.看清题目,奇思妙算.规定:正整数的“运算”是①当n为奇数时,H=3n+13;②当n为偶数时,H=n×××…(其中H为奇数)如:数n=3经过1次“运算”的结果是22(=3×3+13),经过2次“运算”的结果是11(=22×),经过3次“运算”的结果是46(=11×3+13),经过4次“运算”的结果是23(=46×),请解答:数257经这257次“H运算”得到的结果.7.观察下列计算过程,发现规律,利用规律猜想并计算:1+2==3;1+2+3==6,1+2+3+4==10;1+2+3+4+5= =15;…(1)猜想:1+2+3+4+…+n=.(2)利用上述规律计算:1+2+3+4+ (200)(3)尝试计算:3+6+9+12+…3n的结果.8.观察下列各等式:13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题:(1)填空:13+23+33+…+(n﹣1)3+n3=×()2×()2(n为正整数);(2)计算:①13+23+33+…+493+503;②23+43+63+…+983+10039.阅读下列材料:1×2=(1×2×3﹣0×1×2)2×3=(2×3×4﹣1×2×3)3×4=(3×4×5﹣2×3×4)由以上三个等式相加,可得:1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料,请你计算下列各题:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程)(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=;(3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=.10.观察下列等式:=(1﹣),=(﹣),=(﹣),…(1)猜想并写出第n个等式;【猜想】(2)计算:+++…+.11.求1+2+22+23+…+22016的值,令S=1+2+22+23+…+22016,则2S=2+22+23+…+22016+22017,因此2S﹣S=22017﹣1,S=22017﹣1.参照以上推理,计算5+52+53+…+52016的值.12.观察下列等式:=1﹣,=﹣,,将以上三个等式两边分别相加得:++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=(1)猜想并写出:=(2)直接写出下列各式的计算结果:+++…+=(3)探究并计算:+++…+.13.观察下列各等式,并回答问题:=1﹣;=;=;=;…(1)填空:=(2)猜想:=(n是正整数)(3)计算:….14.观察下列等式:=1﹣,=﹣,=﹣,…,=﹣将以上等式两边分别相加,可得+++…=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题(1)猜想并写出:=(2)直接写出下列各式的计算结果:①+++…+=;②+++…+=;(3)探究并计算:+++…+.15.观察下列算式:①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④…(1)请你按以上规律写出第4个算式;(2)再按以上规律写出第n个算式(n为正整数).16.先阅读下面例题的解题过程,再解答后面的题目:例:计算:1+2+22+23+…+2100解:设S=1+2+22+23+…+2100(1)则2S=2+22+23+24+…+2101(2)(2)﹣(1)得:S=2101﹣1请计算:1+5+52+53+ (52018)17.阅读观察下列解题过程:例:计算+++…++解:因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算:+++…+.18.探究与应用请观察下列各式:①,②,③,④.(1)第10个算式为=;(2)请计算:+++…+;(3)请参照以上各式特点计算:+++…+.19.观察下列等式:第1个等式:a1==(1﹣)第2个等式:a2==(﹣)第3个等式:a3==(﹣)第4个等式:a4==(﹣)…请回答下列问题:(1)按上述等式的规律,列出第5个等式:a5==(2)用含n的式子表示第n个等式:a n==(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.20.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22017的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017,等式两边同时乘2得:2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得:2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).21.如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值,我们可以用如下的方法:解:设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2,则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去 式,得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算(1)1+3+32+33+…+399+3100(2)1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100.22.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22017的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22017,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+ (32016)23.阅读理解并解答:为了求1+2+22+23+24+…+22013的值.可令S=1+2+22+23+24+…+22013,则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=(2+22+23+…+22013+22014)﹣(1+2+22+23+…+22013)=22014﹣1.所以:S=22014﹣1.即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1.请依照此法,求:1+5+52+53+54+…+52016的值.24.德国著名数学家高斯在上小学时,有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”,许多同学都采用了依次累加的计算方法,计算起来非常烦琐,且易出错.聪明的小高斯经过探索后,给出了下面漂亮的解答过程.解:设S=1+2+3+…+100,①则S=100+99+98+…+1.②①+②,得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101,S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050.后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.阅读上面扥文字,解答下面的问题:(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算:1+2+3+ (200)(2)请你运用高斯的“倒序相加法”计算:1+2+3+…+n.(3)请你利用(2)中的结论计算:1+2+3+ (2000)25.请先阅读下列一组内容,然后解答问题:因为:=1﹣,=﹣,=﹣…=﹣所以:+++…+=+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题:计算:①+++…+;②+++…+.26.观察下列等式:=1,,.再以上三个等式两边分别相加得:=1=1﹣.(1)猜想并写出:=.(2)直接写出下列各式的计算结果:①=.②.(3)探究并计算:.27.观察下列等式=﹣,=﹣,=1﹣,++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得:(1)猜想并写出:=;(2)直接写出下列各式的计算结果:+++…+ =;(3)探究并计算:+++…+.28.连续整数之间有许多神奇的关系,如:32+42=52,这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方,称这样的正整数组为“奇幻数组”,进而推广:设三个连续整数为a,b,c(a <b<c)若a2+b2=c2,则称这样的正整数组为“奇幻数组”;若a2+b2<c2,则称这样的正整数组为“魔幻数组”;若a2+b2>c2,则称这样的正整数组为“梦幻数组”(1)若有一组正整数组为“魔幻数组”,写出所有的“魔幻数组”;(2)现有几组“科幻数组”具有下面的特征:若有3个连续整数:=2;若有5个连续整数:=2;若有7个连续整数:=2;…由此获得启发,若存在n(7<n<11)个连续正整数也满足上述规律,求这n个数.29.计算:观察下面的变形规律:=1﹣;=﹣;=﹣;…解答下面的问题:(1)若n为正整数,请你猜想=;(2)求和:+++…+;(3)求和:+++…+;(4)求和+++…+.30.观察下列三行数:﹣2,4,﹣8,16,﹣32,…①0,6,﹣6,18,﹣30,…②﹣1,2,﹣4,8,﹣16,…③(1)第①行的数按什么规律排列?写出第①行的第n个数;(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行第7个数,计算这三个数的和.31.阅读材料,大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题,1+2+3+…10=?经过研究,这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n(n+1),其中n是正整数,现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…+n(n+1)=?观察下面三个特殊的等式:1×2=(1×2×3﹣0×1×2)2×3=(2×3×4﹣1×2×3)3×4=(3×4×5﹣2×3×4)将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料,请你计算:(1)1×2+2×3+…+100×101(2)1×2+2×3+…+n(n+1)(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)32.阅读下列材料:1×2=(1×2×3﹣0×1×2),2×3=(2×3×4﹣1×2×3),3×4=(3×4×5﹣2×3×4),由以上三个等式相加,可得:1×2+2×3+3×4=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)=(1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4)=×3×4×5=20.根据以上材料,请你完成下列各题:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11;(写出过程)(2)1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=;(用含n的代数式表示)(3)根据以上学习经验,猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=.(写出最后结果)33.阅读理解:为了求1+3+32+33+…+3100的值,可M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+…+3101,因此3M﹣M=3101﹣1.所以M=,即1+3+32+33+…+3100=.问题解决:仿照上述方法求下列式子的值.(1)1+4+42+43+ (420)(2)5101+5102+5103+ (52016)34.先阅读并填空,再解答问题:我们知道,,,那么(1)=;=.(2)用含有n的式子表示你发现的规律:.(3)依据(2)中的规律计算:.(写解题过程)(4)的值为.35.阅读与理解在有理数的范围内,我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”:a⊕b⊕c=(|a﹣b﹣c|+a+b+c).如:(﹣1)⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+(﹣1)+2+3]=5解答下列问题:(1)计算:3⊕(﹣2)⊕(﹣3)的值;(2)在﹣,﹣,﹣,…,﹣,0,,,,…,这15个数中,任意取三个数作为a,b,c的值,进行“a⊕b⊕c”运算,求在所有计算结果中的最大值.36.观察下列算式,你发现了什么规律?13=;13+23=,13+23+33=;13+23+33+43=;…(1)根据你发现的规律,计算下面算式的值:13+23+33+43+53;(2)请用一个含n的算式表示这个规律:13+23+33+…+n3=.37.观察下列式子:=1﹣,=﹣,=﹣…将以上三个等式两边分别相加得:++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=用你发现是规律解答下列问题:(1)①+++…+=.②+++…+=(其中n为大于1的自然数).(2)探究并计算:+++…+.北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷参考答案与试题解析一.解答题(共37小题)1.阅读材料,求值:1+2+22+23+24+ (22015)解:设S=1+2+22+23+24+…+22015①,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (2)(2)利用(1)的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299.【分析】(1)根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+2n的值;(2)根据题目中材料可以得到用类比的方法得到结果.【解答】解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+2n,则2S=2+22+23+24+…+2n+1,∴2S﹣S=S=2n+1﹣1,则1+2+22+23+24+…+2n=2n+1﹣1;(2)设S=1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299,①∴2S=2+2×22+3×23+…+99×299+100×2100,②①﹣②得,﹣S=1+2+22+23+24+…+299﹣100×2100=2100﹣1﹣100×2100,∴1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299=1+99×2100.【点评】此题考查了规律型:数字的变化类,弄清题中的规律是解本题的关键.2.计算:1+3+32+33+34+…+399+3100时,可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则:3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算:1+8+82+ (82006)【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可.【解答】解:设S=1+8+82+ (82006)则8S=8+82+ (82007)∴8S﹣S=7S=82007﹣1,则S=1+8+82+…+82006=.【点评】此题考查了规律型:数字的变化类,弄清题中的规律是解本题的关键.3.阅读下列材料:因为=,=,=,=,…所以+++…+=.解答下列问题:(1)在和式+++…中,第五项为,第n项为.(2)利用上述结论计算:+++…+.【分析】(1)由已知等式得出第n项为,据此可得;(2)利用裂项法得出原式=×(﹣)+×(﹣)+×(﹣)+…+×(﹣),进一步运算可得.【解答】解:(1)∵第1项=,第2项=,第3项=,∴第5项为=,第n项为,故答案为:,;(2)原式=×(﹣)+×(﹣)+×(﹣)+…+×(﹣)=×(﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(﹣)=×=.【点评】本题主要考查数字的变化规律和分式的化简,根据题意得出第n项为且=(﹣)是解题的关键.4.若=+,对任意自然数n都成立,(1)求a,b的值;(2)试根据(1)的变式,计算:+++…+.【分析】(1)由+=结合=+对任意自然数n都成立得出,解之可得;(2)利用(1)中的结论可得,原式=×(1﹣)+×(﹣)+×(﹣)+…+×(﹣),进一步计算可得.【解答】解:(1)+==,∵=+对任意自然数n都成立,∴,解得:;(2)由(1)知,+++…+=×(1﹣)+×(﹣)+×(﹣)+…+×(﹣)=×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(1﹣)=×=.【点评】本题主要考查分式的化简、解方程组的能力及数字的变化规律,将分式变形由等式对任意自然数n都成立得出关于a、b的方程组及利用已得结论裂项求解是解题的关键.5.(1)先观察,然后想一想其中的规律,并利用你所想的规律计算.==,==,==,请你计算:+.(2)试计算(1﹣)(1﹣)…(1﹣)(1﹣)的值.【分析】(1)利用连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差,将原式拆解开,再计算即可得;(2)先计算括号内的减法,再计算乘法即可得.【解答】解:(1)原式=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=﹣=;(2)原式=××…××=.【点评】本题主要考查数字的变化规律,根据题意得出连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差是解题的关键.6.看清题目,奇思妙算.规定:正整数的“运算”是①当n为奇数时,H=3n+13;②当n为偶数时,H=n×××…(其中H为奇数)如:数n=3经过1次“运算”的结果是22(=3×3+13),经过2次“运算”的结果是11(=22×),经过3次“运算”的结果是46(=11×3+13),经过4次“运算”的结果是23(=46×),请解答:数257经这257次“H运算”得到的结果.【分析】按照①②运算一次一次的输入,得出它们的结果,从中发现规律,从第10次开始偶数次等于1,奇数次等于16.从而求数257经过257次“H运算”得到的结果.【解答】解:1次=3×257+13=7842次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=493次=3×49+13=1604次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=55次=3×5+13=286次=28×0.5×0.5=77次=3×7+13=348次=34×0.5=179次=3×17+13=6410次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=111次=3×1+13=1612次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次所以从第10次开始,偶数次等于1、奇数次等于16,∵257是奇数所以第257次是16.【点评】此题考查了数字的变化规律;关键是找出规律:从第10次开始,偶数次等于1、奇数次等于16.7.观察下列计算过程,发现规律,利用规律猜想并计算:1+2==3;1+2+3==6,1+2+3+4==10;1+2+3+4+5= =15;…(1)猜想:1+2+3+4+…+n=.(2)利用上述规律计算:1+2+3+4+ (200)(3)尝试计算:3+6+9+12+…3n的结果.【分析】(1)从1开始连续自然数的和,等于两端的数相加乘数的个数,再除以2,由此得出答案即可;(2)利用(1)的规律计算即可;(3)把整体和提公因式3可进行计算.【解答】解:(1)1+2+3+4+…+n=;故答案为:;(2)1+2+3+4+…+200==20100.(3)3+6+9+12+…3n=3(1+2+3+4+…+n)=.【点评】此题考查数字的变化规律,找出数字之间的联系,得出运算规律是解决问题的关键.8.观察下列各等式:13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题:(1)填空:13+23+33+…+(n﹣1)3+n3=×(n)2×(n+1)2(n为正整数);(2)计算:①13+23+33+…+493+503;②23+43+63+…+983+1003【分析】(1)括号内是两个连续的自然数,最小的数与等号左边的最大底数相同;(2)①根据规律得所有底数和的平方,计算即可;②提公因式23,可得结论.【解答】解:(1)13+23+33+…+(n﹣1)3+n3=×n2×(n+1)2(n为正整数);故答案为:n,n+1;(2)计算:①13+23+33+…+493+503;=(1+2+3+…+50)2,=[]2,=12752,=1625625,②23+43+63+…+983+1003,=23(13+23+33+…+503),=8×1625625,=13005000.【点评】此题考查算式的规律,注意结果与等式左边的各个数的关系是解题的关键,并进一步利用规律解决问题.9.阅读下列材料:1×2=(1×2×3﹣0×1×2)2×3=(2×3×4﹣1×2×3)3×4=(3×4×5﹣2×3×4)由以上三个等式相加,可得:1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料,请你计算下列各题:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程)(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=n(n+1)(n+2);(3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=2970.【分析】根据给定等式的变化找出变化规律“n(n+1)=[n(n+1)(n+2)﹣(n ﹣1)n(n+1)]”.(1)根据变化规律将算式展开后即可得出原式=×10×11×12,此题得解;(2)根据变化规律将算式展开后即可得出原式=n(n+1)(n+2),此题得解;(3)通过类比找出变化规律“n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)﹣(n ﹣1)n(n+1)(n+2)]”,依此规律将算式展开后即可得出结论.【解答】解:观察,发现规律:1×2=(1×2×3﹣0×1×2),2×3=(2×3×4﹣1×2×3),3×4=(3×4×5﹣2×3×4),…,∴n(n+1)=[n(n+1)(n+2)﹣(n﹣1)n(n+1)].(1)原式=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)+…+(10×11×12﹣9×10×11),=×10×11×12,=440.(2)原式=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)+…+[n(n+1)(n+2)﹣(n﹣1)n(n+1)],=n(n+1)(n+2).故答案为:n(n+1)(n+2).(3)观察,发现规律:1×2×3=(1×2×3×4﹣0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5﹣1×2×3×4),3×4×5=(3×4×5×6﹣2×3×4×5),…,∴n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)﹣(n﹣1)n(n+1)(n+2)],∴原式=(1×2×3×4﹣0×1×2×3)+(2×3×4×5﹣1×2×3×4)+(3×4×5×6﹣2×3×4×5)+…+(9×10×11×12﹣8×9×10×11),=×9×10×11×12,=2970.故答案为:2970.【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算,根据等式的变化找出变化规律是解题的关键.10.观察下列等式:=(1﹣),=(﹣),=(﹣),…(1)猜想并写出第n个等式;【猜想】(2)计算:+++…+.【分析】(1)根据所给出的等式找出规律,即可得出第n个算式;(2)根据(1)得出的规律解答即可.【解答】解:(1)第n个等式为:;(2)===.【点评】此题考查数字的变化规律,发现规律,利用规律解决问题.11.求1+2+22+23+…+22016的值,令S=1+2+22+23+…+22016,则2S=2+22+23+…+22016+22017,因此2S﹣S=22017﹣1,S=22017﹣1.参照以上推理,计算5+52+53+…+52016的值.【分析】仿照例题可设S=5+52+53+…+52016,从而得出5S=52+53+…+52017,二者做差后即可得出结论.【解答】解:设S=5+52+53+...+52016,则5S=52+53+ (52017)∴5S﹣S=52+53+…+52017﹣(5+52+53+…+52016)=52017﹣5,∴S=.【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算,仿照例题找出4S=52017﹣5是解题的关键.12.观察下列等式:=1﹣,=﹣,,将以上三个等式两边分别相加得:++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=(1)猜想并写出:=﹣(2)直接写出下列各式的计算结果:+++…+=(3)探究并计算:+++…+.【分析】(1)先根据题中所给出的列子进行猜想,写出猜想结果即可;(2)根据(1)中的猜想计算出结果;(3)根据乘法分配律提取,再计算即可求解.【解答】解:(1)=﹣,故答案为:﹣,;(2)+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=,故答案为:;(3)+++…+=(+++…+)=(1﹣)=×=.【点评】本题考查的是有理数的混合运算,根据题意找出规律是解答此题的关键.13.观察下列各等式,并回答问题:=1﹣;=;=;=;…(1)填空:=﹣(2)猜想:=﹣(n是正整数)(3)计算:….【分析】(1)根据已知等式的规律:两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差,即可得;(2)根据(1)中的规律可得;(3)利用(1)中的规律,裂项求和可得.【解答】解:(1)根据题意,得:=﹣,故答案为:﹣;(2)猜想:=﹣,故答案为:﹣;(3)原式=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.【点评】本题主要考查数字的变化规律,根据已知等式得出两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差是解题的关键.14.观察下列等式:=1﹣,=﹣,=﹣,…,=﹣将以上等式两边分别相加,可得+++…=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题(1)猜想并写出:=﹣(2)直接写出下列各式的计算结果:①+++…+=;②+++…+=1﹣;(3)探究并计算:+++…+.【分析】(1)归纳总结得到一般性规律,写出即可;(2)两式利用得出的规律变形,计算即可得到结果;(3)先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式,再计算.【解答】解:(1)=﹣;故答案为:﹣;(2)①+++…+=1﹣+﹣+﹣,…+﹣=;②+++…+=﹣1﹣+﹣+﹣,…+﹣=1﹣;故答案为:;1﹣;(3)+++…+=(+++…+)=(1﹣+﹣+﹣,…+﹣)=(1﹣)=.【点评】此题考查了分式的加减法,弄清拆项法则是解本题的关键.15.观察下列算式:①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④4×6﹣52=24﹣25=﹣1…(1)请你按以上规律写出第4个算式﹣1;(2)再按以上规律写出第n个算式(n为正整数)n(n+2)﹣(n+1)2=﹣1.【分析】根据题目给出的规律即可求出当.【解答】解:(1)4×6﹣52=24﹣25=﹣1(2)n(n+2)﹣(n+1)2=﹣1故答案为:(1)﹣1;(2)n(n+2)﹣(n+1)2=﹣1【点评】本题考查数字规律,解题的关键是正确理解题目给出的规律,本题属于基础题型.16.先阅读下面例题的解题过程,再解答后面的题目:例:计算:1+2+22+23+…+2100解:设S=1+2+22+23+…+2100(1)则2S=2+22+23+24+…+2101(2)(2)﹣(1)得:S=2101﹣1请计算:1+5+52+53+ (52018)【分析】根据题意设出5S,进而解答即可.【解答】解:设S=1+5+52+53+…+52018(1)则5S=5+52+53+…+52019(2)(2)﹣(1)得:4S=52019﹣1∴S=.【点评】此题考查规律型:数字的变化,关键是设出5S,进而解答.17.阅读观察下列解题过程:例:计算+++…++解:因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算:+++…+.【分析】利用=×(﹣)列项求解可得.【解答】解:+++…+=×(1﹣)+×(﹣)+×(﹣)+…+×(﹣)=×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(1﹣)=×=.【点评】本题主要考查数字的变化规律,熟练掌握=×(﹣)列项求解是解题的关键.18.探究与应用请观察下列各式:①,②,③,④.(1)第10个算式为=﹣;(2)请计算:+++…+;(3)请参照以上各式特点计算:+++…+.【分析】(1)第1个算式的分子为1,分母为1×2,第2个算式的分子为1,分母为2×3,…第10个算式的分子为1,分母为10×11,第n个算式的分子为1,分母为n×(n+1);(2)依据上面这种算式的规律把各个分数分解为2个分数的差,化简后只剩2个数的差,计算即可;(3)把各个分数分解为2个分数的差乘,化简后计算即可.【解答】解:(1)第10个算式为=﹣;(2)+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;(3)+++…+=×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(1﹣)=×=.【点评】此题考查数字的变化规律;得到分子为1,分母为两个相邻数的分数的计算规律是解决本题的关键.19.观察下列等式:第1个等式:a1==(1﹣)第2个等式:a2==(﹣)第3个等式:a3==(﹣)第4个等式:a4==(﹣)…请回答下列问题:(1)按上述等式的规律,列出第5个等式:a5==×(﹣)(2)用含n的式子表示第n个等式:a n==(﹣)(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.【分析】(1)观察知,找第一个等号后面的式子规律是关键:分子不变,为1;分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为:序号的2倍减1和序号的2倍加1.(2)运用(1)中变化规律计算得出即可.(3)运用以上规律裂项求和即可.【解答】解:(1)观察下列等式:第1个等式:a1==(1﹣)第2个等式:a2==(﹣)第3个等式:a3==(﹣)第4个等式:a4==(﹣)…则第5个等式:a5==×(﹣);故答案为,×(﹣);(2)由(1)知,a n==(﹣),故答案为:,(﹣);(3)原式=+++…+=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×=.【点评】此题考查了数字的规律及运用规律计算.寻找规律大致可分为2个步骤:不变的和变化的;变化的部分与序号的关系.20.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22017的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017,等式两边同时乘2得:2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得:2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【分析】(1)设原式=S,两边乘2变形后,相减求出S即可;(2)设原式=S,两边乘3变形后,相减求出S即可.【解答】解:(1)设S=1+2+22+ (210)两边乘2得:2S=2+22+ (211)两式相减得:2S﹣S=S=211﹣1,则原式=211﹣1;(2)设S=1+3+32+33+…+3n,两边乘3得:3S=3+32+33+…+3n+1,两式相减得:3S﹣S=3n+1﹣1,即S=(3n+1﹣1),则原式=(3n+1﹣1).【点评】本题考查了规律型:数字的变化类,有理数的混合运算,读懂题目信息,理解运算方法是解题的关键.21.如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值,我们可以用如下的方法:解:设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2,则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去 式,得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算(1)1+3+32+33+…+399+3100(2)1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100.【分析】(1)利用题中的方法求出原式的值即可;(2)根据题中的方法利用加法即可.【解答】解:(1)设S=1+3+32+33+…+3100,①①式两边都乘以3,得3S=3+32+33+…+3101,②②﹣①得:2S=3101﹣1,即S=,则原式=;(2)设S=1﹣3+32﹣33+…+3100,①①式两边都乘以3,得3S=3﹣32+33﹣…+3101,②②+①得:4S=3101+1,即S=,则原式=.【点评】本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键.22.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22017的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22017,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+ (32016)【分析】(1)设原式=S,两边乘以2变形后,相减求出S即可;(2)设原式=S,两边乘以3变形后,相减求出S即可.【解答】解:(1)设S=1+2+22+ (210)两边乘以2得:2S=2+22+ (211)两式相减得:2S﹣S=S=211﹣1,则原式=211﹣1;(2)设S=1+3+32+33+ (32016)两边乘以3得:3S=3+32+33+ (32017)两式相减得:3S﹣S=32017﹣1,即S=(32017﹣1),则原式=(32017﹣1).【点评】本题考查了规律型:数字的变化类,有理数的混合运算,读懂题目信息,理解运算方法是解题的关键.23.阅读理解并解答:为了求1+2+22+23+24+…+22013的值.可令S=1+2+22+23+24+…+22013,则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=(2+22+23+…+22013+22014)﹣(1+2+22+23+…+22013)=22014﹣1.所以:S=22014﹣1.即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1.请依照此法,求:1+5+52+53+54+…+52016的值.【分析】根据题目信息,设S=1+5+52+53+…+52016,求出5S,然后相减计算即可得解.【解答】解:设S=1+5+52+53+ (52016)则5S=5+52+53+54 (52017)两式相减得:4S=52017﹣1,则S=.∴1+5+52+53+54+…+52016的值为.【点评】本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键.24.德国著名数学家高斯在上小学时,有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”,许多同学都采用了依次累加的计算方法,计算起来非常烦琐,且易出错.聪明的小高斯经过探索后,给出了下面漂亮的解答过程.解:设S=1+2+3+…+100,①则S=100+99+98+…+1.②①+②,得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101,S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050.后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.阅读上面扥文字,解答下面的问题:(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算:1+2+3+ (200)(2)请你运用高斯的“倒序相加法”计算:1+2+3+…+n.(3)请你利用(2)中的结论计算:1+2+3+ (2000)【分析】(1)通过观察可知,题目中的加数构成一个公差为1的等差数列,则本题根据高斯求和的有关公式计算即可;(2)根据等差数列和=(首项+末项)×项数÷2,即可解答;(3)根据(2)中的规律,即可解答.【解答】解:(1)1+2+3+4+5+…+200=(1+200)×200÷2=201×200÷2=20100.(2)1+2+3+…+n=(1+n)•n÷2=.(3)1+2+3+…+2000==2001000.【点评】本题考查了有理数的加法,解决本题的关键是明确等差数列和=(首项+末项)×项数÷2.25.请先阅读下列一组内容,然后解答问题:因为:=1﹣,=﹣,=﹣…=﹣所以:+++…+=+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题:计算:①+++…+;②+++…+.【分析】观察阅读材料中的运算过程,得到拆项规律,将所求式子变形,计算即可得到结果.【解答】解:(1)原式=1﹣﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;(2)原式=×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=.【点评】此题考查了有理数的混合运算,有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算.26.观察下列等式:=1,,.再以上三个等式两边分别相加得:=1=1﹣.(1)猜想并写出:=﹣.(2)直接写出下列各式的计算结果:①=.②.(3)探究并计算:.【分析】(1)利用规律即可写成结果;(2)①②把一个式子写成两个式子的差,再加减即可.(3)模仿(2)进行恒等变形,即可解决问题;【解答】解:(1)=﹣.故答案为﹣.(2)①=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.②=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.故答案为,(3)=(﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=.【点评】本题考查规律型:数字的变化类、有理数的混合运算等知识,解题的关键是学会利用规律解决问题,属于中考常考题型.27.观察下列等式=﹣,=﹣,=1﹣,++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得:(1)猜想并写出:=﹣;(2)直接写出下列各式的计算结果:+++…+=;(3)探究并计算:+++…+.【分析】(1)根据已知等式做出猜想,写出即可;(2)原式利用得出的规律变形,计算即可得到结果;(3)仿照(2)将:+++…+转换成×(﹣+﹣+﹣+…+﹣)就可轻易算出结果.【解答】解:(1)猜想得到=﹣;(2)+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;(3)+++…+=×(﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(﹣)=×=;故答案为:(1)﹣,(2).【点评】本题考查了数字的变换规律问题,解题的关键是能够总结出规律等式=﹣并应用于求和运算.28.连续整数之间有许多神奇的关系,如:32+42=52,这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方,称这样的正整数组为“奇幻数组”,进而推广:设三个连续整数为a,b,c(a <b<c)若a2+b2=c2,则称这样的正整数组为“奇幻数组”;若a2+b2<c2,则称这样的正整数组为“魔幻数组”;若a2+b2>c2,则称这样的正整数组为“梦幻数组”(1)若有一组正整数组为“魔幻数组”,写出所有的“魔幻数组”;(2)现有几组“科幻数组”具有下面的特征:若有3个连续整数:=2;若有5个连续整数:=2;若有7个连续整数:=2;…由此获得启发,若存在n(7<n<11)个连续正整数也满足上述规律,求这n个数.【分析】(1)根据“魔幻数组”的定义,找出所有的“魔幻数组”即可得出结论;(2)根据规律找出n=9,设出这9个数,再根据“科幻数组”的特征找出关于m 的一元二次方程,解方程即可得出结论.【解答】解:(1)若a2+b2<c2,则称这样的正整数组为“魔幻数组”,∴“魔幻数组”为:1,2,3及2,3,4.(2)由已知可得:32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272,…故可知n=9,可设这9个数为m﹣4,m﹣3,m﹣2,m﹣1,m,m+1,m+2,m+3,m+4,则有:(m﹣4)2+(m﹣3)2+(m﹣2)2+(m﹣1)2+m2=(m+1)2+(m+2)2+(m+3)2+(m+4)2,整理得:m2﹣40m=0,由题意m不为0,故m=40,∴这9个数为36,37,38,39,40,41,42,43,44.【点评】本题考查了数字的变化类问题以及新定义的应用,根据新定义的意义找出方程是解题的关键.29.计算:观察下面的变形规律:=1﹣;=﹣;=﹣;…解答下面的问题:(1)若n为正整数,请你猜想=﹣;(2)求和:+++…+;(3)求和:+++…+;(4)求和+++…+.【分析】(1)根据已知等式做出猜想,写出即可;(2)原式利用得出的规律变形,计算即可得到结果;(3)原式利用得出的规律变形,计算即可得到结果;(4)仿照(2)将:转换成×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)就可轻易算出结果.【解答】解:(1)猜想得到=﹣;(2)原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;(3)原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;(4)原式=×(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(1﹣)=×=;故答案为:(1)﹣.【点评】此题考查了有理数的混合运算,弄清题中的拆项规律是解本题的关键.30.观察下列三行数:﹣2,4,﹣8,16,﹣32,…①0,6,﹣6,18,﹣30,…②﹣1,2,﹣4,8,﹣16,…③(1)第①行的数按什么规律排列?写出第①行的第n个数;(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行第7个数,计算这三个数的和.【分析】(1)第①行有理数是按照﹣2的正整数次幂排列的;(2)第②行为第①行的数加2;第③行为第①行的数的一半,分别写出第n个数的表达式;(3)根据各行的表达式求出第7个数,然后相加即可得解.【解答】解:(1)第①行的有理数分别是﹣2,(﹣2)2,(﹣2)3,(﹣2)4,…,故第n个数为(﹣2)n(n是正整数);(2)第②行的数等于第①行相应的数加2,即第n的数为(﹣2)n+2(n是正整数),第③行的数等于第①行相应的数的一半,即第n个数是×(﹣2)n(n是正整数);(3)∵第①行的第7个数为(﹣2)7=﹣128,第②行的第7个数为(﹣2)7+2=﹣126,第③的第7个数为×(﹣2)7=﹣64,所以,这三个数的和为:(﹣128)+(﹣126)+(﹣64)=﹣318.【点评】本题是对数字变化规律的考查,认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键.31.阅读材料,大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题,1+2+3+…10=?经过研究,这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n(n+1),其中n是正整数,现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…+n(n+1)=?观察下面三个特殊的等式:1×2=(1×2×3﹣0×1×2)2×3=(2×3×4﹣1×2×3)3×4=(3×4×5﹣2×3×4)将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料,请你计算:(1)1×2+2×3+…+100×101(2)1×2+2×3+…+n(n+1)(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)【分析】(1)根据题目中的信息可以解答本题;(2)根据题目中的信息可以解答本题;(3)根据题目中的信息,运用类比的数学思想可以解答本题.【解答】解:(1)1×2+2×3+…+100×101==343400;(2)1×2+2×3+…+n(n+1)=;(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=++…+[n(n+1)(n+2)(n+3)﹣(n﹣1)n(n+1)(n+2)]=n(n+1)(n+2)(n+3).【点评】本题考查数字的变化类,解题的关键是明确题意,发现数字的变化规律.32.阅读下列材料:1×2=(1×2×3﹣0×1×2),2×3=(2×3×4﹣1×2×3),3×4=(3×4×5﹣2×3×4),由以上三个等式相加,可得:1×2+2×3+3×4=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)=(1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4)=×3×4×5=20.根据以上材料,请你完成下列各题:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11;(写出过程)(2)1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=n×(n+1)×(n+2);(用含n的代数式表示)(3)根据以上学习经验,猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=35910.(写出最后结果)【分析】(1)利用已知材料得出原式=×10×11×12,进而求出即可;(2)利用(1)中所求,进而求出即可;(3)仿照已知得出原式=(1×2×3×4)+(2×3×4×5﹣1×2×3×4)+(3×4×5×6﹣2×3×4×5)+…+(18×19×20×21﹣17×18×19×20),进而求出即可.【解答】解:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)+…+(10×11×12﹣9×10×11)=(1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+10×11×12﹣9×10×11)=×10×11×12=440;(2)1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)+…+ [n×(n+1)×(n+2)﹣(n﹣1)×n×(n+1)]=n×(n+1)×(n+2).故答案为n×(n+1)×(n+2);(3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+18×19×20=(1×2×3×4)+(2×3×4×5﹣1×2×3×4)+(3×4×5×6﹣2×3×4×5)+…+(18×19×20×21﹣17×18×19×20)=×18×19×20×21=35910.故答案为35910.【点评】此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用找出的规律解决问题.33.阅读理解:为了求1+3+32+33+…+3100的值,可M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+…+3101,因此3M﹣M=3101﹣1.所以M=,即1+3+32+33+…+3100=.问题解决:仿照上述方法求下列式子的值.(1)1+4+42+43+ (420)(2)5101+5102+5103+ (52016)【分析】(1)根据题目信息,设S=1+4+42+43+…+420 ,求出4S,然后相减计算即可得解;(2)设P=5101+5102+5103+…+52016,求出5P,两式相减计算即可得.【解答】解:(1)设S=1+4+42+43+…+420 ①,则4S=4+42+43+…+420+421②,②﹣①得:3S=421﹣1,∴S=,即1+4+42+43+…+420=;(2)设P=5101+5102+5103+…+52016①,则5P=5102+5103+…+52016+52017②,②﹣①得:4P=52017﹣5101,∴P=,即5101+5102+5103+…+52016=.【点评】本题考查了有理数的乘方和数字的变化类,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键.34.先阅读并填空,再解答问题:我们知道,,,那么(1)=﹣;=﹣.(2)用含有n的式子表示你发现的规律:=﹣.(3)依据(2)中的规律计算:.(写解题过程)(4)的值为.【分析】(1)根据题意可得;(2)由已知等式可得=﹣;(3)利用(2)中的结论,裂项求和可得;(4)根据=(﹣)裂项求和可得.【解答】解:(1)根据题意得,=﹣;=﹣,故答案为:﹣,﹣;(2)由题意知=﹣,故答案为:=﹣;(3)原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;(4)原式=×(﹣+﹣+﹣+…+﹣)=×(﹣)=×=,故答案为:.【点评】本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算,根据题意得出=﹣和=(﹣)及裂项求和的方法是解题的关键.35.阅读与理解在有理数的范围内,我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”:a⊕b⊕c=(|a﹣b﹣c|+a+b+c).如:(﹣1)⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+(﹣1)+2+3]=5解答下列问题:(1)计算:3⊕(﹣2)⊕(﹣3)的值;(2)在﹣,﹣,﹣,…,﹣,0,,,,…,这15个数中,任意取三个数作为a,b,c的值,进行“a⊕b⊕c”运算,求在所有计算结果中的最大值.【分析】(1)根据给定的新定义,代入数据即可得出结论;(2)分a﹣b﹣c≥0和a﹣b﹣c≤0两种情况考虑,分别代入定义式中找出最大值,比较后即可得出结论.【解答】解:(1)根据题中的新定义得:3⊕(﹣2)⊕(﹣3),=(|3﹣(﹣2)﹣(﹣3)|+3+(﹣2)+(﹣3)),=(8﹣2),=3.(2)当a﹣b﹣c≥0时,原式=(a﹣b﹣c+a+b+c)=a,此时最大值为a=;当a﹣b﹣c≤0时,原式=(﹣a+b+c+a+b+c)=b+c,此时最大值为b+c=+=.∵>,。

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3.5 探索与表达规律
1.(8分)如图是用棋子摆成的“T”字图案.
从图案中可以看出,第一个“T”字图案需要5枚棋子,第二个“T”字图案需要8枚棋子,第三个“T”字图案需要11枚棋子.
(1)照此规律,摆成第四个图案需要几枚棋子?
(2)摆成第n个图案需要几枚棋子?
(3)摆成第2014个图案需要几枚棋子?
2.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…
它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?
(2)它的第100个数是多少?
(3)2013是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?
3.(10分)观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26,

以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52×=×25;
②×396=693×.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b ≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).
参考答案与解析
1.【解析】(1)9+5=14(枚).
故摆成第四个图案需要14枚棋子.
(2)因为第①个图案有5枚棋子,
第②个图案有(5+3×1)枚棋子,
第③个图案有(5+3×2)枚棋子,
依此规律可得第n个图案需5+3×(n-1)
=5+3n-3=(3n+2)枚棋子.
(3)3×2014+2=6044(枚),
即第2014个图案需6044枚棋子.
2.【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n+1n(n是正整数)表示.
(2)它的第100个数是(-1)100+1×100=-100.
(3)当n=2013时,(-1)2013+1×2013=2013,
所以2013是其中的第2013个数.
3.【解析】(1)①因为5+2=7,
所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,
所以52×275=572×25.
②因为左边的三位数是396,
所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,
63×396=693×36.
(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,
所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,
右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,
所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).。

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