倒立摆小车

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(完整版)一级倒立摆系统分析

一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。

合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。

小车倒立摆

小车单级倒立摆模糊控制实验报告小车倒立摆系统的控制问题一直是控制研究中的一个典型问题，下面先简单介绍一下这个系统。

小车倒立摆系统由一个杆、一个导轨和一辆滑车组成，滑车可以沿导轨水平运动。

在一定的初始条件下，通过在滑车质心处施加一个力μ(控制力)，使杆尽可能的平衡,如下图。

本次实验采用多种控制方法，并进行一下比较。

1.单级倒立摆的经典PID 控制建立系统的动力学方程:假设小车质量为M,摆的质量是m ，小车位置为x ，摆的角度为θ,如上图。

现假设摆杆偏离垂直线的角度为θ，同时规定摆杆重心的坐标为G(Xc,Yc ），则有： Xc=x+lsin θ Yc=lcos θ根据牛顿定律，可以建立摆杆水平和垂直运动状态方程。

摆杆围绕其重心的转动运动可用力矩方程来描述： ..sin cos I Vl Hl θθθ=- 式中，I 为摆杆围绕其重心的转动惯量。

摆杆重心的水平运动由下式描述：22(sin )d m x l Hdt θ+=摆杆重心的垂直运动由下式描述：22cos d m l V mgdt θ=-小车的水平运动由下式描述：22d xm u Hdt =-假设θ很小，sin θ≈θ，cos θ≈1。

则以上各式变为： ..I Vl Hl θθ=- 1.1 ....()m x l H θ+= 1.2 0V mg =- 1.3 ..M x u H =- 1.4 由式1.2和1.4得：....()M m x ml u θ++= 1.5 由式1.2和1.3得：....2()I ml ml x mgl θθ++= 1.6 由1.5和1.6可得单级倒立摆方程：..22()()()m m M gl mlu m M I Mml m M I Mml θθ+=-++++222..22()()m gl I ml x u m M I Mml m M I Mml θ+=-++++ 式中，2112I mL =， l=0.5L .控制指标共有四个，即单级倒立摆的摆角θ、摆速.θ，小车位置x 和小车速度.x 。

倒立摆建模

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ).........(3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))（其中J =mL^2/3，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m=1Kg，倒摆长度l=1m，重力加速度g=10m/s^2）将以上表达式导入函数。

附--倒立摆简介与模型

倒立摆简介倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。

许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。

倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。

通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。

倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。

由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。

同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。

因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。

直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。

除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。

由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。

一. 系统组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。

控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。

实际倒立摆系统的模型参数：M：小车的质量，1.096kg；m：摆杆的质量，0.109kg；b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25mJ：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2；T ：采样周期，0.005秒；二．设计指标：摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒倒立摆系统的数学模型应用牛顿—欧拉法对倒立摆进行数学建模。

(完整版)倒立摆建模

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩&&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-&&2222(sin ) (2)(cos ).........(3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ&⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))（其中J =mL^2/3，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m=1Kg，倒摆长度l=1m，重力加速度g=10m/s^2）将以上表达式导入函数。

倒立摆控制

倒立摆控制Johnny Lam 摘要: 倒立摆沿着水平轨道车移动时的平衡问题是控制领域中的经典问题。

本文将介绍两种方法，使系在小车上的倒立摆从初始向下位置摆到直立位置，并保持该状态。

通过非线性启发式控制器和能量控制器，可以使倒立摆摆向直立位置。

倒立摆摆动起来后，通过线性二次型调节器的状态反馈最优控制器维持其平衡状态。

在合适的时间，启发式控制器输出一个重复信号，然后通过微调使摆锤到达最合适的位置。

通过能量控制器增加合适的能量到倒立摆系统，来达到所期望的能量状态。

最优状态反馈控制器是基于各地的直立位置线性模型一个稳定的控制器，它在车摆系统接近平衡状态时能产生效果。

这两种方法都在倒立摆摆在向下位置时记录实验结果。

1.简介倒立摆系统是在控制系统领域中的一个标准问题。

在证明线性控制的思想上它经常常是很有效的，例如使不稳定的系统的稳定化等。

由于该系统本质上是非线性的，它也一直在说明一些结论在非线性控制方面也是有效的。

在这个系统中，倒立摆附着到配备有马达驱动的沿水平轨道行驶的小车上。

用户能够通过电机来控制小车的位置和速度还能通过轨道来控制小车在水平方向上运动。

传感器被连接到小车和小车的中心上来测量小车的位置和钟摆关节的角度。

测量采用连接到MultiQ - 3通用数据采集和控制电路板上的正交编码器。

Matlab / Simulink用于实现控制和分析数据。

倒立摆系统本身有两个平衡点，其中之一是稳定的，而另一个是不稳定的。

稳定平衡对应于一个状态，其中摆锤向下。

在没有任何外力的情况下，该系统会自然返回到这个状态。

稳定平衡不需控制输入来实现，因此，从控制的角度来看是没有意义的。

不稳定的平衡对应于另一个状态，其中摆点完全向上，因此，需要控制输入力的大小，来保持在这个位置。

倒立摆系统的基本控制目标是使倒立摆在不稳定平衡位置上平衡。

该项目的控制目标将侧重于从稳定的平衡位置（摆朝下）起，摆动到它的不稳定的平衡位置（直立摆），并保持在这种状态。

学前教育专业文献综述范文3000字(合集5篇)

学前教育专业文献综述范文3000字(合集5篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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两轮自平衡小车的设计与实现

两轮自平衡小车的设计与实现一、本文概述随着科技的飞速发展，智能化、自主化已经成为现代机器人技术的重要发展方向。

两轮自平衡小车作为一种典型的动态稳定控制机器人，其设计与实现技术对于推动机器人技术的进步具有重要意义。

本文旨在深入探讨两轮自平衡小车的设计理念、实现方法以及关键技术，为相关领域的研究者和爱好者提供有益的参考。

本文将首先介绍两轮自平衡小车的基本概念和原理，阐述其动态稳定控制的基本思想。

随后，将详细介绍两轮自平衡小车的硬件设计，包括电机驱动、传感器选型、控制器设计等关键部分，并阐述各部件之间的协同工作原理。

在此基础上，本文将重点探讨两轮自平衡小车的软件实现，包括平衡控制算法、运动控制算法以及人机交互界面设计等。

本文还将对两轮自平衡小车的性能优化和实际应用进行深入分析，探讨如何提高其稳定性、响应速度以及续航能力等问题。

本文将对两轮自平衡小车的发展趋势和前景进行展望，为相关领域的研究和发展提供有益的参考。

通过本文的阐述，读者可以全面了解两轮自平衡小车的设计与实现过程，掌握其关键技术和应用方法，为推动机器人技术的发展做出贡献。

二、两轮自平衡小车的基本原理两轮自平衡小车，又称作双轮自稳车或双轮倒立摆，是一种基于动态稳定技术设计的个人交通工具。

其基本原理主要涉及到力学、控制理论以及传感器技术。

两轮自平衡小车的稳定性主要依赖于其独特的力学结构。

与传统三轮或四轮的设计不同，双轮自平衡小车只有两个支撑点，这意味着它必须通过动态调整自身姿态来维持稳定。

这种动态调整的过程类似于杂技演员走钢丝，需要精确的平衡和快速的反应。

实现自平衡的关键在于控制理论的应用。

两轮自平衡小车通常搭载有先进的控制系统，该系统通过传感器实时监测小车的姿态（如倾斜角度、加速度等），并根据这些信息计算出必要的调整量。

控制系统随后会向电机发送指令，调整小车的运动状态，以保持平衡。

传感器在两轮自平衡小车中扮演着至关重要的角色。

常见的传感器包括陀螺仪、加速度计和角度传感器等。

自控期末设计一阶倒立摆小车实验报告

B J 1 vl sin Hl cos 2 m d (l cos ) v mg ml cos 2 ml sin dt 2 d2 2 ml cos ml sin m 2 ( z l sin ) H mz dt d2z dz uH M 2 B2 dt dt
倒立摆实验素孙圳
自控原理期末设计倒立摆实验报告
课程名称：自控原理倒立摆实验报告指导老师：杨智学生学院：信息科学与技术学院专业班级：12 级自动化学号：12350068 12350015 12350054 郭素素孙圳
学生姓名：许天野
完成时间： 2014 年 12 月
其中： H 和 v 分别是摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力，B1 为摆杆和小车的摩擦系数， B2 为小车摩擦系数， J 为转动惯量， u 是作用在小车上的力。化简得：
ml cos m lg sin ( J ml 2 ) z B1 B z 2 u ml sin ( M m) z (ml cos )
1
倒立摆实验报告
12 自动化
许天野郭素素孙圳
目录
一、理论设计思路........................................................................................................................... 3 1.1 数学模型..........................................................................................................

倒立摆小车

2014年TI杯福建省大学生电子设计竞赛平衡杆小车（B题）【本科组】2014年9月6日摘要：自动控制原理可以使被控制的对象在无人为的情况下按照预定的要求来运行，进而达到预想的控制目的。

本电子设计竞赛选择的项目为平衡杆小车，在此，我们以自动控制原理为主要思想，通过绝对式编码器采集平衡杆的偏转角度；以角度偏转大小为基准，来控制小车的速度大小，以小车的速度来牵制平衡杆的偏转趋势，进而强制杆的偏转角度在一定的范围内，达到偏转为0度的平衡位置。

完成这一系列的控制中心是STC12C5A60S2 单片机，通过分析传感器采集的数据，做出相应的速度转换。

此外，在小车的驱动部分，采用的是L298 直流电机；直流电机的控制比较简单，命令的传输也比较直接。

关键词：自动控制、角度传感器、单片机、直流电机。

目录一、题目要求 (1)二、理论分析与计算 (2)(1)原理分析 (2)(2)各器件的选择 (2)三、参数的测定 (4)四、附页 (5)一、小组项目2．要求1> 基本要求（1）控制小车在原地前后小范围运动，保持倒立杆平衡10s以上；（2）小车的倒立摆平衡时，用10cm细绳系一30g砝码，拉开45度撞击摆杆顶端，撞击方向与行车方向一致，摆杆能自动恢复平衡并保持5s以上；（3）控制小车巡迹行走在直线上（图中从A到B点）行驶并保持倒立杆平衡，100s内行驶100cm以上。

2> 发挥部分（1）在完成基本要求的前提下，控制小车放在B点开始巡迹行走，以最短时间（180s）走完如图圆形部分轨迹(B-C-D-E)，并保持倒立杆平衡；（2）在摆杆顶端固定一个网球，如图所示，控制小车放在B点开始巡迹行走，以最短时间（180s）走完如图圆形轨迹(B-C-D-E-B)，并保持倒立杆平衡。

二、理论分析与计算(1)原理分析图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg；m 摆杆质量0.109Kgb 小车摩擦系数0.1N/m /secI 摆杆质量0.0034kg*m*ml摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mT 采样频率0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

倒立摆的数学模型

倒立摆的数学模型质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。

由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。

在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。

倒立摆模型如图所示。

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x'x 'θθ Y=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x 由线性化后运动方程组得x1’=θ’=x2 x2’=''θ=()Ml g m M +x1-Ml1 F X3’ =x ’=x4 x4’=x ’’=-M mg x1+M1 F 故空间状态方程如下： X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+00010000000010Mm gMl g m M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M Ml 1010 FY= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡01000001 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + 0⨯F 其中，M=1 kg ，m=0.1kg ，l=.1m ，g=10m/s 。

由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。

倒立摆

机械工程试验二——直线倒立摆控制实验实验报告摘要倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。

由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。

本实验针对固高公司提供的倒立摆实验设备，对一、二倒立摆的控制方法进行了研究，并做了相应的仿真和实物控制。

首先应用PID、状态反馈、LQR、三种方法分别对一级倒立摆进行建模，完成实时控制，得到了较好的控制效果。

然而，由于以上方法的抗干扰能力差，鲁棒性弱，所以尝试运用模糊控制，使控制性能进一步提高。

对于二级倒立摆，由于其控制变量多、非线性强，所以控制规则与隶属函数很难确定。

考虑这些原因，文中采用了神经模糊推理系统(ANFIS)，对二级倒立摆做了实时控制，该方法生成规则数少，形式简单，实时性更好。

对于控制难度更高的三级倒立摆，本文采用遗传算法优化LQR参数后，用最优控制的方法，对倒立摆系统进行了仿真研究，得到了很好的控制效果。

完成本实验后，通过对一、二倒立摆的多种实物控制的过程和结果进行研究，可以看出控制的难度在不断加大，需要运用的控制方法也越来越先进。

在运用PID控制时，由于倒立摆是多输出的复杂系统，所以选择合适的输出量是关键问题：状态反馈方法中，为了使系统响应速度快而且能够满足试验设备硬件要求，极点的选择是主要的设计问题：在模糊控制器的设计过程中，隶属函数的选取和控制规则的确定是难点，而应用ANFIS推理系统后，规则确定和隶属函数选取的问题就迎刃而解了。

关键词：倒立摆，PID，LQR，单级，双级，模糊控制，状态反馈目录1 倒立摆实验介绍 (5)1.1 倒立摆概述 (5)1.2 倒立摆系统的组成 (5)2 直线一级倒立摆的控制 (8)2.1 直线一级倒立摆的建模 (8)2.2 系统稳定性、可控性、可观性分析 (11)2.3 PID控制方法对一级倒立摆控制............... 错误！未定义书签。

直线一级倒立摆自动摆起控制实验

第5章直线一级倒立摆自动摆起控制实验对于直线一级倒立摆，其初始状态为静止下垂状态，为使其转化到竖直向上的状态，需要给摆杆施加力的作用。

上面的实验，我们都是采用手动的方法将摆杆提起，下面我们采用自动摆起的方法对其进行控制。

5.1 摆起的能量控制策略单个不受约束的倒立摆系统的能量为：)1(cos 212−+=⋅φφmgl J E 有：φφφφφφCos mul Sin mgl J dtdE ...−=−=⋅⋅ 其中 u ——为水平向右的控制量。

应用李亚普诺夫方法，令：2)(21ref E E V −= 则：φφCos mul E E dtdV ref .)(−−= 因此，令：φφCos E E k u ref .)(−=注意当00.＝或＝φφCos 时，0=u 。

另外，由于实际物理系统的限制，控制量不能太大，因此采用：⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅−=02])[(.πθφφng Cos E E sign v ref其中，()sign 为取符号函数，g v n /max =为常数。

5.2 直线一级倒立摆摆起控制实验实时控制实验在MATALB Simulink 环境下进行，用户在实验前请仔细阅读使用手册。

z在进行MATLAB实时控制实验时，请用户检查倒立摆系统机械结构和电气接线有无危险因素存在，在保障实验安全的情况下进行实验。

实验步骤：1)在MATLAB Simulink中打开直线一级倒立摆起摆控制程序：（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo）图 5-1直线一级倒立摆摆起实时控制程序2)其中“Swing-up Controller”为起摆控制模块。

一级倒立摆数学模型建立

一、直线一级倒立摆系统的数学模型1、倒立摆系统是一种复杂的非线性系统，为了简化对系统的反洗，在建立数学模型的过程中，作以下假设：1.）小车、摆杆在运动过程中都是不变得刚体；2.）皮带轮与传动带之间没有相对滑动，皮带不能拉伸变长，传动带没有抖振以及伸长的现象；3.）交流伺服电机的输入和输出之间是纯线性的关系；而且忽略不计电机的电枢绕组中的电感等动态特性；4.）将整个系统运行中的摩擦、各种阻力及机械传动间隙等不确定性忽略不计。

通过上述假设，则可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和均质敢组成的系统，如图1.1所示。

图1.1倒立摆系统2、各参数符号含义如下：符号含义单位数值M 小车质量kg 1.096m 摆杆质量kg 0,109b 小车摩擦系数N/m/sec 0.1l 摆杆转动轴心到杆质心的长度m 0.25I 摆杆转动惯性Kg*m²0.0034g 重力加速度N/kg 9.8x 小车的水平位置mθ摆角大小radN 小车对摆杆水平方向作用力NP 小车对摆杆竖直方向作用力NF 电动机经传动机构给小车的力Nφ摆杆与垂直向上方向的夹角rad3、采用牛顿--欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

图1.2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

(a)小车的受力分析 (b)摆杆受力分析图1.2小车与摆杆的受力分析对小车水平方向所受的力进行受力分析，可以得到方程：N x b F x M --=⋅⋅⋅ 式（1.1）对摆杆水平方向所受的力进行受力分析并化简整理，可以得到等式：θθθθsin cos 2⋅⋅⋅⋅⋅-==ml ml x m N 式（1.2）将式（1.2）带入式（1.1）中，可以得到系统的第一个运动方程：θθθθsin cos )(2⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+++=ml ml x b x m M F 式（1.3）对摆杆垂直方向所受的力进行受力分析并化简整理，可以得到下面等式：θθθθcos sin 2⋅⋅⋅--=ml ml mg P 式（1.4）力矩平衡方程如下：⋅⋅=--θθθI Nl Pl cos sin 式（1.5）将有关P 和N 的等式代入式（1.5）中，得到系统的第二个运动方程：θθθcos sin )(2⋅⋅⋅⋅-=++x ml mgl ml I 式（1.6）假设φ与1(单位弧度)相比很小，即φ<<1，并设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向的夹角)，可以作近似处理：φθθθ-=-==⎪⎭⎫⎝⎛s i n ,1c o s,02dt d 式（1.7）将被控对象的输入力F 用u 来表示，可以得到两个线性化后运动方程，如下所示：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u m l x b x m M x m l m glm l I φφφ)()(2式（1.8）对方程组式（1.8）进行拉氏变换，得到：⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 式（1.9）假设初始条件为零，对上述方程组的第一个方程求解，可得：)()()(22s s g ml ml I s X Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= 式（1.10）将式(1.10)代入方程组式(1.9)中的第二个方程，可得：222222)()()()()()()(s s ml s s s g ml ml I b s s s g ml ml I m M s U Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++= 式（1.11）整理，可以得到摆角的传递函数为：sq bm gl s q m gl m M s q m l I b s sqm l s U s -+-++=Φ23242)()()()( 式（1.12）式中：]))([(222l m ml I m M q -++=将倒立摆的实际参数值代入上式，得到摆角的传递函数为：ss s s s s U s 3141.28853.270883.03566.2)()(2342-++=Φ 式（1.13）同理，可以得到小车位置的传递函数：sq bm gl s q m gl m M s q m l I b s qm gls q m l I s U s X -+-++-+=23242)()()()()( 式（1.14）将实际的参数值代入，得到小车位置的传递函数为：s s s s s s U s X 3141.28853.270883.01413.238832.0)()(2342--+-= 式（1.15）在方程组（1.8）中对⋅⋅x 、⋅⋅φ求解代数方程，得到解如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u Mm l m M I m l Mm l m M I m M m gl x Mm l m M I m lb u Mm l m M I m l I Mm l m M I gl m x Mm l m M I b m l I x xx 2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ 式（1.16）设系统状态空间方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⋅Du Cx y Bu Ax x 式（1.17）整理式（1.16），得到系统状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I bml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222222222)(0)()(00)()()(010000)()()(00010φφφφ 式（1.18）u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅0001000001φφφ 式（1.19）将已知的M 、m 、b 、g 、l 、I 代入式（1.18）可得状态方程u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3566.208832.0008285.272357.00100006293.00883.000010φφφφ 式（1.20）输出方程u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅0001000001φφφ 式（1.21）。

倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)

系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。

整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。

如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。

1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。

这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。

一级倒立摆物理建模传递函数和状态方程的推导

一级倒立摆物理建模和传递函数的推导设定：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量F 加在小车上的力 x 车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角图一、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆彼此作用。

分析小车水平方向所受的合力，能够取得以下方程：N x b F x M --=••• (1)由摆杆水平方向的受力进行分析能够取得下面等式：)sin (22θl x dtd m N += (2)即： θθθθsin cos 2•••••-+=ml ml x m N (3) 把那个等式代入式(3)中，就取得系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M=-+++••••••θθθθsin cos )(2(4)对摆杆垂直方向上的合力进行分析，能够取得下面方程:)cos (22θl dtd m mg P =- (5) θθθθcos sin 2•••--=-ml ml mg P (6)力矩平稳方程： ••=--θθθI Nl Pl cos sin (7)此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。

归并这两个方程，约去 P 和N ，取得第二个运动方程：θθθcos sin )(2••••-=++x ml mgl ml I (8)设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相较很小，即c <<1，那么能够进行近似处置：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2=dtd θ。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：{uml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+•••••••••φφφ)()(2(9)假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换：{)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10)由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，能够取得：)(])([)(22s sgml ml I s X Φ-+= (11)或mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()( (12)令••=x v ，那么有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，取得：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++ (14)整理后取得传递函数：qbmgl s q mgl m M s q ml I b s sqmls U s -+++=Φ2223)()()()( (15) 其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=。