0929010003张翠[论文]定稿

本科毕业论文（ 2012 届）题目浅谈中学生对实数的认知学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师完成日期2013年5月摘要初中阶段学生第一次接触到实数的概念，同时这也是学习实数的关键时刻，它为以后的数学学习奠定了很重要的基础。

本文主要通过对学生进行访谈、测试以及问卷调查的方法得知学生对实数的认知情况。

学生对实数认知有偏差的主要原因是对实数概念的不理解（实数的概念太过于抽象）、对有理数和无理数分类还不能完全掌握。

本文描述了中学生学习实数的过程中容易出现的问题，以及教师在教学过程中需要注意的一些问题。

关键词初中学生；实数概念；有理数；无理数；认知IAbstractFor middle school students, it will be their first time to contact with the Real Number, while the stage of middle school is a critical period for students to learn Real Number, which will lay an extremely important foundation for their mathematics learning in the future. Actually, the leading cause of students’ cognitive biases towards the real number is that the concept of the Real Number is too abstract to comprehend, and meanwhile students are having problems in classifying the Rational Number and the Irrational Number entirely. This paper has introduced some problems in the process of learning Real Number for students, and the issues in the process of teaching Real Number for teachers.KeywordsMiddle school students; Real Number; Rational Number; Irrational Number; CognitiveII目录1 研究问题的背景与意义 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究问题 (1)1.3 研究意义 (2)2 实数的定义 (2)2.1 实数的概念 (2)2.2 实数的性质 (3)3 初中生实数学习与教学情况调查 (3)3.1 实数学习情况调查 (3)3.2 中学生对实数认知的整体情况分析 (4)3.3 中学生对实数认知状况的结论 (6)3.4 建议 (7)参考文献 (10)致谢 (11)附录1 (12)III浅谈中学生对实数的认知Middle school students' awareness of the real number数学与信息工程学院数学与应用数学专业张翠指导老师：冯国1研究问题的背景与意义大约在公元前1000年，埃及人就在阿默斯纸草卷中运用了分数。

到了公元前5000年左右，希腊的数学家们意识到无理数存在的必要性。

在公元600年左右印度人又发明了负数。

直到公元17世纪实数才被欧洲国家广泛接受。

在1871年，德国数学家康托尔提出了将实数分为有理数和无理数。

其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。

直观上，实数被视为和数轴上的点一一对应的数。

1.1研究背景在初中的学习过程中，从学习有理数到学习实数是一个比较难的跨越。

初中生常常很难理解实数的概念和实数的范围，实数的表示方法也非常难以理解和接受。

这是中国初中生学习中遇到的一个普遍问题，很多新教材的编写和推出也是为了解决这一难题。

很多高校也针对性的对这一问题提出了一些解决的方法，但是收获甚微。

如何更好地让初中生认识实数并且理解实数是本篇论文的重要讨论对象。

1.2研究问题通过以上的背景分析，我就以下的几个问题进行研究：第一、通过调查分析初中生对实数的认知情况。

包括实数的概念、分类、表示、运算、性质、应用等方面的理解情况。

第二、收集初中生在实数学习过程中出现的一些典型错误。

第三、从以下几个方面探索初中生学习实数的障碍以及成因：1①从小学到初中数学学习的衔接问题。

②实数符号的复杂性及概念的抽象性。

③初中生普遍的学习心理和思维习惯。

④目前初中生使用的教材及其合理性。

⑤教师习题布置的合理性探究。

⑥初中生听课效率问题。

调查初中生实数学习的障碍，并从多方面探讨解决的方案和对策。

1.3研究意义1.3.1理论意义本课题对实数的概念、分类、表示、运算、性质、应用等方面的学习都作了深入的剖析，对初中生在实数理解中遇到的普遍问题进行针对性的调查，并且拟出了适合初中生学习实数的各种方案。

有了更高效的学习方法，初中生实数的学习便会更加地容易。

研究的过程中，先从实践中发现问题从而分析问题的成因，找出解决问题的各种对策，然后回到实践中去引导实践。

1.3.2实践意义在学习的过程中，数的运算法则以及运算律都是一样的，能够学好实数对以后的数学运算奠定良好的基础。

在学习实数以后遇到的问题，一般都是在实数的范围里面进行探讨加以解决的，在接下来的学习中也就能更加好地解决问题，比如解决一元一次方程、一元二次方程以及一元二次不等式问题等。

数向形过度的主要阶段就是在初中时期，所以理解了数才能更好地建设数学的学习大厦。

2实数的定义2.1实数的概念在浙教版教科书上定义实数是这么一句话：有理数和无理数统称实数。

显而易见按照定义分，实数包括有理数和无理数两个方面，其中无理数即无限不循环小数，那么我们常常碰到的有哪些无理数呢？第一是开不尽方的数，第二是含有π的一些数，第三是有规律的无限不循环小数。

在直观意义上，实数定义为和数轴上的点一一对应的数。

22.2实数的性质实数满足以下的性质：1)四则运算封闭性。

2)实数集有序性。

3)实数的传递性。

4)实数的阿基米德性。

5)实数的稠密性。

6)实数的连续性3初中生实数学习与教学情况调查3.1实数学习情况调查3.1.1研究对象我们选取了天台赤城中学和古林中心中学两所学校的学生。

具体情况如下表1所示。

表1 调查人数统计表3.1.2研究方法本课题主要通过测试进行调查如表2所示。

表2 研究方法统计表33.1.3研究过程第一、访谈在调查过程中访谈对象主要是天台赤城中学和古林中心中学的教师以及初二初三的学生，访谈涉及到的内容主要分为以下几点：1)实数概念的理解。

2)实数分类的掌握情况。

3)实数的性质。

访谈的主要目的是能够反映出学生们在实数的学习过程中所遇到的实际问题而不是像测试那样单单只能反映出一个结果。

和老师的交谈能够知道学生在学习实数的课堂表现、课间提问以及作业中出现的基本错误，还能够和老师共同讨论学生们理解偏差的原因，使得调查更加全面透彻。

第二、测试测试卷的评分状况：选择题共10题每题3分，填空题10题每题3分，解答题6题前4题6分后2题8分，共一百分。

每个部分的考查点如下面的表3所示。

表3 测试分值统计表3.2中学生对实数认知的整体情况分析主要从实数的概念、分类、表示、运算、性质、应用这六个方面来进行调查。

下面是所有测试者在这几个方面上的表现所得的数据如表4所示。

表4 数据分析表4根据上表4数据分析所得统计图如下图5所示。

图5 数据分析统计图注明：其中各方面满分分数的60%来确定及格线，85%来确定优秀线。

图5直观地表现出中学生在实数不同方面的理解程度。

显而易见中学生在实数的概念和分类这一块表现的相对较弱，抽象的实数概念造成学生在理解方面出现了很大的偏差，下面我们还会对这些问题的成因展开具体的分析说明。

3.2.1男生和女生对实数认知的不同掌握情况不少专家认为，数学的学习过程中存在着性别的差异，但是这种差异也是可以减少的，那么在实数的理解上也存在性别差异吗？男女生对实数认知的不同情况进行统计如表6所示。

表6 男女生对实数的认知不同掌握情况统计表从上表的数据统计我们可以看出男女生在最高分以及最低分这一档是没有差异的，而且都有满分，虽然男生的优秀率高于女生但是女生的及格率略微多余男生。

那么男生女生对实数的认知情况还是基本相同的。

3.2.2两个年级学生对实数认知的不同掌握情况在实数的学习过程中，由于时间的推移不同年级学生对实数的认知存在一定的差异，下表是针对不同年级展开的调查如表7所示。

表7 两个年级学生对实数认知差异统计表从上表我们可以看出初二初三的及格率、优秀率以及平均分都是呈现上升的趋势，成绩是趋于稳定。

然而，初二有满分初三却没有，从这一点可以看出由于时间的推移学生对基本概念又开始淡忘了。

3.3中学生对实数认知状况的结论A.从实数的概念方面来看，学生对有理数无理数的概念还是不够清楚，绝对值、相反数以及倒数的概念还是很模糊以至于做题目出错率很高。

B.从实数的分类方面来看，按符号分为的正实数，0，负实数还是很清晰，但是从定义分的有理数和无理数还是相对较模糊的，尤其是分数这一块很多学生都很难理解从而错误率很高。

C.从实数的表示方面来看，平方根的符号表示还有将近65%的同学不能够理解。

很多同学认识到实数和数轴上的点存在一一对应的关系，而且还能在数轴上表示2，可是8又不会表示了。

D.从实数的运算方面来看，在计算题中去绝对值的错误率很高，很多人还是不能够判断几个无理数之间的大小关系。

当然有些更低级的错误就是计算题的运算格式还是出现很多错误。

如在计算9的平方根这一问题上，很多学生的格式是9=±3。

E.从实数的性质方面来看，在比较几个无理数的大小时很多学生会用计算机求近似值的方法来估算一个无理数的范围，只有很小部分学生会去利用算数平方根的增减性质。

而且对于一个整数有两个平方根这一点的应用能力方面也存在着很大的不足之处。

如9的平方根和3的和是多少，不少学生会直接回答6，惯性思维导致错误频频。

F.从实数的应用方面来看，很多学生能够根据实际问题来抽象出数学的问题而且选择正确的解题方法，但是基本的运算能力还是有很大的提升空间。

3.4建议在本次的调查过程中，以我的角度看可以在教学和课程安排上进行这些改进。

3.4.1教材方面从历史上看，人类对于数的认识大体上是按照以下的逻辑顺序进行的：N（自然数集）→Z（整数集）→Q（有理数集）→R（实数集）→C（复数集）。