高二数学计数原理提高训练试卷

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计数原理单元测试卷(A卷)

计数原理单元测试卷(A 卷)ʏ河南省郑州实验高中曲海胜一㊁单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂)1.从4名男生与3名女生中选2人去参加一场数学竞赛,则男女生各1人的不同的选派方法数为( )㊂A.7 B .12 C .18 D .242.2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国,吸引了国内众多业余球队参赛㊂现有6个参赛队伍代表站成一排照相,其中贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻,同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻,那么不同的站法共有( )种㊂A.144 B .72 C .36 D .243.已知C 7n +1=C 7n +C 8n (n ɪN *),则n =( )㊂A.14 B .15 C .13 D .124.北斗七星是夜空中的七颗亮星,我国汉代纬书‘春秋运斗枢“就有记载,它们组成的图形像我国古代舀酒的斗,故命名北斗七星㊂北斗七星不仅是天上的星象,也是古人藉以判断季节的依据之一㊂如图1所示,用点A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示某一时期的北斗七星,其中B ,D ,E ,F 看作共线,其他任何3个点均不共线,过这7个点中任意2个点作直线,所得直线的条数为( )㊂图1A.4 B .13 C .15 D .165.如图2所示,古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出形状相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有个阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律㊂由八卦模型图可抽象得到正八边形,从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形,其中梯形的个数为( )㊂图2A.16 B .20 C .24 D .286.在(1-x 2)x -1x6的展开式中,含x 2项的系数是( )㊂A.-20 B .5 C .15 D .357.某学校派出5名教师去3所乡村学校支教,其中有一对教师夫妇参与支教活动㊂根据相关要求,每位教师只能去1所学校参与支教,并且每所学校至少有1名教师参与支教,同时要求这对教师夫妇必须去同所学校支教,则不同的安排方案有( )㊂A.18种 B .24种C .36种D .48种8.中国南北朝时期的著作‘孙子算经“中,对同余除法有较深的研究,设a ,b ,m (m >0)均为整数,若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为a ʉb(m o d m )㊂如9和21被6除得的余数都是3,则记9ʉ21(m o d 6)㊂若a ʉb (m o d 10),且a =C 020+C 120㊃2+C 220㊃22+ +C 2020㊃220,则b 的值可以是( )㊂A.2019 B .2020C .2021D .2022二㊁多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求㊂全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分㊂)9.下列结论正确的是( )㊂11演练篇核心考点A B 卷高二数学 2024年3月A.10ˑ11ˑ ˑ20=A1020B.C26+C36=C37C.C38=C58D.A58+A48 A69-A59=52710.若(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+ a3x3+ +a2021x2021(xɪR),则()㊂A.a0+a1+a2+ +a2021=-1B.a1+a3+a5+ +a2021=32021+12C.a0+a2+a4+ +a2020=1-320212D.a12+a222+a323+ +a202122021=-111.2021年7月24日,中共中央办公厅㊁国务院办公厅印发‘关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见“,要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实㊂同年8月,国务院教育督导委员会办公室印发专门通知,拟对各省双减工作落实进度每半月通报一次㊂2021年10月,全国人大表示: 双减拟明确入法,避免加重义务教育阶段学生负担㊂2021年11月3日,市场监管总局等八部门发布‘关于做好校外培训广告管控的通知“,坚决杜绝地铁㊁公交站台等所属广告牌㊁广告位刊发校外培训广告㊂在双减政策的推动下,某市教育局提出了教师轮岗制度,让更多的学生享受到更好㊁更优质的师资,充分体现教育的公平性㊂现从该市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级任教,要求每个班级至少分配1名教师,至多分配3名教师,则()㊂A.将8名教师平均分配到4个不同的班级,有C28C26C24C22种分配方法B.有2个班级分配1名教师,另2个班级分配3名教师,有C18C17C36C33种分配方法C.根据班级实际情况,(1)班需要1名教师,(2)班和(3)班均需要2名教师,(4)班需要3名教师,则有C18C27C25C33种分配方法D.根据教学经验分析,甲㊁乙㊁丙3名教师分配到1个班级才可达到教学效果最优,则有C15C24C22+C15C14C33A22㊃A44种分配方法12.在某城市中,A,B两地之间有如图3所示的道路网,甲随机沿道路网选择一条最短路径,从A地出发到B地,则下列结论正确的是()㊂图3A.不同的路径共有31条B.不同的路径共有41条C.若甲途经C地,则不同的路径共有18条D.若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有8条三㊁填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂)13.已知(1-x)9+m(x+1)10=a0+ a1x+a2x2+ +a9x9+a10x10,若a9=a10,则a2=㊂14.若(1-a x+x2)4的展开式中x5的系数为-56,则实数a=㊂15.在二项式x+124xn的展开式中,二项式的系数和为256,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为㊂16.已知a,bɪ{-1,0,2,3},则关于x 的方程a x2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为㊂四㊁解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂)17.(本小题10分)电影‘志愿军雄兵出击“讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下,中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利,著名的松骨峰战斗在该电影中就有场景㊂现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片,他们的座位在同一排且连在一起㊂(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种?2 1演练篇核心考点A B卷高二数学2024年3月(2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)甲㊁乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种(列出算式,并计算出结果)18.(本小题12分)(1)解关于x 的不等式A x 8<6A x -28㊂(2)求等式C 5n -1+C 3n -3C 3n -3=195中n 的值㊂19.(本小题12分)已知集合A ={x |1<l o g 2x <3,x ɪN *},B ={4,5,6,7,8}㊂(1)从A ɣB 中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A 中取出1个元素,从集合B 中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的正整数?20.(本小题12分)已知a x -1xn(a ɪR ,n ɪN *)的展开式的前三项的二项式系数之和为22,所有项的系数之和为1㊂(1)求n 和a 的值㊂(2)展开式中是否存在常数项?若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由㊂21.(本小题12分)用1,2,3,4,5,6这6个数字,可以组成多少个无重复数字的:(1)四位偶数?(2)数字1㊁3㊁5互不相邻的六位数?(3)六位数?其中数字6㊁4㊁1按自左至右的顺序保持不变(如634512,562431)㊂注:所有结果均用数值表示㊂22.(本小题12分)已知(a -2x )8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a 8(x -1)8,其中实数a >0,且x 2的系数为81648㊂(1)求实数a 的值㊂(2)计算:(ⅰ)(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)㊃(a 1+a 3+a 5+a 7);(ⅱ)|a 0|+|a 1|+|a 2|+ +|a 8|㊂(结果用幂的形式表示)(责任编辑徐利杰)31演练篇核心考点A B 卷高二数学 2024年3月。

高中数学选修2-3计数原理测试题(含答案)

高中数学选修2-3计数原理测试题（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数（） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数（） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是（） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为（）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则TS 的值为___________．12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x 的偶次幂的所有项的系数的和为 .14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是． 15. 用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .三、解答题（共计75分） 16．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线? （2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条? （4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量? 17．（12分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 18．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？19．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。

(完整版)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习一、选择题1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（）A 11B 30C 56D 652.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（）A 7B 12C 64D 813.若()12nx +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（）A 5B 6C 7D 84.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（）A 50B 30240C 59049D 1000006.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（）A 6B 7C 9D 107.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（）A 421CB 321C C 320CD 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（）A 15B 16C 144D 186二、填空题9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。

其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。

则从甲地到丙地不同的走法共有种。

10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种。

14.()()5211x x +-的展开式中3x 的系数为三、解答题：15（12分）假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（I ）没有次品；（II ）恰有两件是次品；（III ）至少有两件是次品；（IV ）至多有两件是次品；16（12分） 7个人按如下各种方式排队照相，有多少种排法？（I ）甲必须站在正中间；（II ）甲乙必须站在两端；（III ）甲乙不能站在两端；（IV ）甲乙两人要站在一起；17（10分）已知()727012712x a a x a x a x -=++++L ，（I ）求127a a a +++L 的值；（II ）求6420a a a a +++的值；（III ）求127a a a +++L 的值；参考答案一、选择题答案：BBDDCCAD二、填空题答案：14 34 20 12 6 -15三、解答题15题：（I ）没有次品的抽法是从97件正品中抽取5件，共有59764446024C =种（II ）恰有两件次品的抽法是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，共有32973442320C C =种；（III ）至少有两件是次品，可以分为两类：一类是2件次品，另一类是3件次品，所以共有3223973973446976C C C C +=种，或用排除法求解有554110097973446976C C C C --=种16题：（I ）甲站在正中间，其他6人可以任意站，共有66720A =（II ）甲乙站在两端有22A 种；其他5人站里面有55A ，所以共有2525A 240A ⋅=种（III ）在甲乙以外的其他5人中取出2人来站两端有25A 种，剩下的5人站里面有55A ，共有2555A 2400A ⋅=种（IV ）将甲乙当成一个整体和其他5人共当成6个来排有66A 种，另外甲乙可以掉换位置有22A 种，所以共有6262A 1440A ⋅=种 17题、解：（I ）令1x =，则()()77012712121x a a a a -=-=-=++++L 再令0x =，则01a =，所以127a a a +++L =2-，（II ）令1x =，()()77012712121x a a a a -=-=-=++++L (1)令1-=x ,()()7654321077732121a a a a a a a a x -+-+-+-==+=- (2) (1)+(2)得)(21364207a a a a +++=-所以 ()2186132176420=-=+++a a a a （III ）由二项式定理得： 12345670,0,0,0,0,0,0a a a a a a a <><><><，所以 127a a a +++L =1234567a a a a a a a -+-+-+- 令1x =-，()()7770123456712123x a a a a a a a a -=+==-+-+-+- 而01a = ,所以127a a a +++L =1234567a a a a a a a -+-+-+-=7312186-=。

高二理科数学选修计数原理练习题及答案

高二理科数学选修计数原理练习题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】高二理科数学选修2—3《计数原理》练习班别：姓名：学号：增城市华侨中学何敏辉一、选择题（每题4分，共32分）1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（） A 11 B 30 C 56 D 652.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（）A 7B 12C 64D 813.若()12nx +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（） A 5 B 6 C 7 D 84.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（）A 50B 30240C 59049D 1000005.如图：A ，B ，C ，D ，E 五个区域可用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色。

要求相邻的区域着不同的颜色，则不同的着色方式种数有（），AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（）A 6B 7C 9D 107.计算0121734520C C C C ++++的结果为（）A 421CB 321C C 320CD 420C8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（）A 15B 16C 144D 186二、填空题（每题4分，共24分）9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。

二项式定理计数原理提升作业练习含答案解析高二数学北京海淀

课时提升作业四二项式定理一、选择题(每小题5分,共10分)1.若x+x2+…+x n能被7整除,则x,n的值可能为( )A.x=5,n=5B.x=5,n=4C.x=4,n=4D.x=4,n=3【解析】选B.x+x2+…+x n=(1+x)n-1,检验得B正确.2.二项式的展开式中含有x4的项,则正整数n的最小值是( )A.4B.6C.8D. 12【解析】选B.的展开式的通项T r+1=(-x)r=(-1)r,由-n=4得5r=8+2n,又r≤n,经检验r=4,n=6时n的值最小.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若(x+a)2的展开式中常数项为-1,则a的值为__________.【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式通项为T k+1=(-1)k·x k-5,其中k=0,1,2…,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.答案:1或94.(1+x+x2)·的展开式中的常数项为.【解析】展开式的通项T r+1=x6-r=(-1)r x6-2r,T4=-=-20,T5=15x-2,所以(1+x+x2)·的展开式中的常数项为1×(-20)+x2·15x-2=-5. 答案:-5【延伸探究】若本题中的改为(1-x)10,其他条件不变,试求展开式中含x3项的系数.【解析】(1-x)10展开式的通项T r+1=(-x)r=(-1)r x r,T4=-x3=-120x3,T3=x2=45x2,T2=-x=-10x,所以(1+x+x2)(1-x)10的展开式中含x3项的系数为-120+45-10=-85.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a为如图所示的程序框图中输出的结果,求二项式的展开式中含x2项的系数.【解析】记f(x)=,则有f(2)==-1,f(f(2))=f(-1)=,f==2,依题意得题中所给的程序框图中输出的结果是数列2,-1,,2,-1,,…(注:该数列的项以3为周期重复出现)的第2 011项,由于2 011=3×670+1,因此a=2,二项式即的展开式的通项是·(2)6-r·=·26-r·(-1)r·x3-r.令3-r=2得r=1.所以,二项式的展开式中含x2项的系数是·26-1·(-1)1=-192.6.(2018·潍坊高二检测)已知展开式中第5项是常数项.(1)求n的值.(2)求展开式中所有有理项.【解析】(1)展开式的通项公式为T r+1=··,再根据第5项是常数项,可得=0.求得n=6.(2)在通项公式中,令x的幂指数为整数, 可得r=0或4,故有理项为T1=x3, T5=.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(3)

一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（） A ．29B ．59C ．89D ．2093．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<4．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于（）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1035．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 发生次数ξ的期望和方差分别为（） A ．94和916 B ．34和316C ．916和364D ．94和9646．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.27．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( ) A ．38B ．12C ．516D ．7169．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<<10．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3412．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 16．小王做某个试验，成功的概率为23，失败的概率为13，成功一次得2分，失败一次得-1分，求100次独立重复试验的总得分的期望______.17．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．18．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____. 19．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=12,且甲比乙投中次数多的概率为736,则q 的值为____. 20．已知某次数学考试中，学生的成绩X 服从正态分布，即()~N 85,225X ，则这次考试中，学生成绩落在区间[]100,130之内的概率为____________.（注：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=）三、解答题21．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.22．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m，n的概率分布和数学期望.23．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．24．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？25．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828A (01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案．【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ．【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.2．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=，故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.3．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.4．C解析：C 【分析】由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=，则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得34p =，再根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 在每次试验中发生的概率为P ，因为事件A 至少发生一次的概率为6364，即333631(1)64C p --=，解得34p =，则事件A 发生的次数ξ服从二项分布3(3,)4B ξ~，所以事件A 发生的次数ξ的期望为39()344E ξ=⨯=，方差为339()3(1)4416D ξ=⨯⨯-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果．【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率．【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=．故选C ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．9．A解析：A 【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小.详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34，故选B ．二、填空题13．【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率可知然后利用二项分布的期望公式可计算出的值【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知由二项分布的期望公式得故答案为：【点睛】本题考查二项分5【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=.故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．【分析】首先根据题意判断出的可取值有并利用概率公式求得对应的概率最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果【详解】由已知1又所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题涉及到的7【分析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-，又()22242486(2)70C C P X C ===，()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-，故答案为：27-. 【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目.16．100【分析】计算得到答案【详解】设一次实验得分为根据题意：故100次独立重复试验的总得分的期望为故答案为：【点睛】本题考查了数学期望意在考查学生的计算能力和应用能力解析：100 【分析】计算()2121133E X =⨯-⨯=，得到答案. 【详解】设一次实验得分为X ，根据题意：()2121133E X =⨯-⨯=，故100次独立重复试验的总得分的期望为()100100E X =. 故答案为：100. 【点睛】本题考查了数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.17．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】解析：6 【解析】【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=，所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可．【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．19．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投解析：23【分析】由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解答案. 【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p 2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20．【解析】【分析】已知X~N （σ2）则正态曲线关于x=85对称根据与所求区间的关系和已知概率求解【详解】：∵学生的成绩服从正态分布X~N （85225）即=85=15∴P(70<X<100)=06826 解析：0.1574【解析】【分析】已知X~N （μ ，σ2），则正态曲线关于x=85对称.根据[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+] 与所求区间的关系，和已知概率求解. 【详解】：∵学生的成绩X 服从正态分布X~N （85，225）即μ=85，σ=15∴P(70<X<100)=0.6826 ,P(40<X<130)=0.9974 ∴P(100<X<130)=()10.99740.68260.15742-= 【点睛】在实际问题中进行正态分布条件下的概率计算时，关键是确定正态分布的两个重要参数μ和σ，以及三个范围[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+]与所求区间的关系，结合已知概率，进行求解。

高二数学计数原理练习题

高二数学计数原理练习题一. 单项选择题1. 在某城市的某高中，学生共有8个班级，每个班级的人数都是36人。

其中，有一个班级需要选举班委会，班委会共有5个职位，每个职位都需要选1名同学担任。

假设所有学生都有资格参选，那么这个班级选举班委会的方案数是多少？A. 36B. 56C. 96D. 1682. 一共有6本不同的数学书和4本不同的英语书，现需从中选择3本书送给高二学生。

要求至少送1本数学书和至少送1本英语书。

那么总共有多少种不同的选择方案？A. 76B. 84C. 88D. 923. 一家公司的工作服有3种颜色：红色、蓝色和白色。

工作服分为上衣和裤子两部分。

某员工每天需要选择一件上衣和一条裤子作为工作服，并且每天的颜色不能与前一天相同。

那么这名员工连续工作3天，有多少种不同的穿衣方案？A. 12B. 18C. 24D. 36二. 解答题1. 一个球队有12名球员，其中有4名前锋、3名中场和5名后卫。

现需从中选出5名球员组成一支首发阵容，要求首发阵容中至少包含1名前锋、1名中场和1名后卫。

那么总共有多少种不同的选择方案？请列举所有可能的组合。

2. 某城市的汽车号牌由3位字母和4位数字构成。

字母区分大小写，数字不会以0开头。

现要求从中选取5个号牌，要求这些号牌至少包含一个大写字母和一个偶数位的数字。

请计算总共有多少种满足条件的选择方案？3. 一张8×8的棋盘上放置8个象棋的车，使得每个棋子不在同一行、同一列，且两两不互相攻击。

请构造出一个满足条件的放置方案，并计算共有多少种不同的放置方案。

三. 填空题1. 某餐厅每天提供4道主菜和5种甜点供客人选择。

客人需要选择其中一道主菜和一种甜点。

如果今天有70名客人到访该餐厅，他们的选择方案总数是______。

2. 一支舞蹈队共有8名男舞者和7名女舞者。

现要求从中选择5名舞者组成一支舞蹈小组，要求小组中至少包含2名男舞者和2名女舞者。

请计算总共有多少种满足条件的选择方案？3. 某个国家的车牌号码由2位数字、2位大写字母和4位数字构成，字母区分大小写。

2019-2020江苏高二数学下册专题强化训练(三) 计数原理

专题强化训练(三)计数原理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是()A．54B．45C．5×4×3×2 D．5×4B[5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有4种选择，由分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4＝45种选择．]2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18 B．17C．16 D．10B[分两类．第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有3×3＝9(个)；第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17(个)点在第一、二象限．]3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种D[分两类．第一类：同一个城市只有一个项目的有A34＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C23·C24·A22＝36种，则共有36＋24＝60种．]4．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C ．20D ．24A [展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.]5．已知(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n ＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256D [由题意可得C 1n ＝C 3n ，∴n ＝4.令x ＝－1，则(3－x )n ＝(3＋1)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝256.∴a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n ＝256.]二、填空题6．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36 [有C 13·C 24·A 22＝36种满足题意的分配方案．其中C 13表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C 24表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A 22表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．]7．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是________． 3 [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r .当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3.] 8．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. －2 [根据二项展开式的通项公式求解．T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] 三、解答题9．现有5名男生和2名女生站成一排照相．(用数字作答)(1)两女生相邻，有多少种不同的站法？(2)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？[解] (1)把两女生捆绑作为一个元素与5名男生进行排列，有A 22A 66＝1 440种不同的站法．(2)先把5名男生排列后，再把2名女生插入到男生间的空档中，有A 55A 26＝3600种不同的站法．10．设(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019·x 2 019(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 019|的值．[解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝(－1)2 019＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 019＝32 019.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＝－1－32 019，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019＝－1－32 0192. (3)∵T r ＋1＝C r 2 019(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 019·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 019|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 019＝32 019.[能力提升练]1．王刚同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，若从这些参考书中选2本不同学科的书带到图书馆，不同的带法种数为( )A ．44B ．45C ．46D ．47D [带1本语文书和1本数学书时有5×4＝20种带法；同样，外语书、物理书各1本，有5×3＝15种带法；带数学书、物理书各1本，有4×3＝12种带法，故有20＋15＋12＝47种带法．选D.]2．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )A ．288个B ．240个C ．144个D ．126个B [第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A 13种排法，排其余数字有A 34种排法，所以有A 13A 34个数；第2类，个位数字是4，有A 13A 34个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A 14种排法，排其余数字有A 34种排法，所以有A 14A 34个数．由分类加法计数原理，可得共有2A 13A 34＋A 14A 34＝240个数．]3．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．2 [对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.]4．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为________．－1 [令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.]5．已知A 4n ＝40C 5n ，设f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x n . (1)求n 的值．(2)f (x )的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可)．(3)求f (x )的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可)．[解] (1)由已知A 4n ＝40C 5n ，可得n (n －1)(n －2)(n －3)＝40·n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5×4×3×2×1，求得n ＝7. (2)f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·(－1)r ·x 7－4r 3，令7－4r 3为整数，可得r ＝0,3,6，故第1项、第4项、第7项为有理项．(3)由于f (x )的展开式中第r ＋1项的系数为C r 7·(－1)r ，故当r ＝4时，即第5项的系数最大；当r ＝3时，即第4项的系数最小．。

2020-2021学年高二数学下学期计数原理本章专题复习卷3

2020-2021学年高二数学下学期专题强化训练试卷八（提升篇）计数原理一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.n x )2(+的展开式共有11项，则n 等于（）A.9B.10C.11D.8【答案】B【解析】因为n x )2(+的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的简单性质的应用，属于基础题.2.899091100⨯⨯⨯⨯ 可表示为（）A.10100A B.11100A C.12100A D.13100A 【答案】C【解析】12100=10099(100121)1009989⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯L L A ，故选：C【点睛】本题考查了排列数的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于基础题.3.二项式1022x+展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.360【答案】A【解析】二项式1022)x展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r-=，求得2r =，可得展开式中的常数项是22102180C ⋅=，故选：A．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．4.若实数2a =，则1019228101010222a C a C a -+-+ 等于（）A.32B.－32C.1024D.512【答案】A【解析】由题意可得：()()1019222101010101022222232.a C a C a a -+-+=-== 【点睛】本题考查了利用二项式的展开式化简，属于基础题.5.若456,,n n n C C C 成等差数列，则n 值为（）A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】∵456,,n n n C C C 成等差数列，∴5462n n n C C C =+，∴!!!25!(5)!4!(4)!6!(6)!n n n n n n =+---，解得：7n =或14n =.故选：A.【点睛】本题考查了等差中项的性质、组合数公式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A.2283C A B.2686C A C.2286C A D.2285C A 【答案】C【解析】第一步从后排8人中选2人有28C 种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有26A 种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是2286C A 【点睛】本题考查了排列组合，此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法，属于基础题．7.已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值（）A.1265B.1285C.1253D.26【答案】B【解析】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182rrr rT C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2·2·2·2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩，即56r r ⎧⎨⎩，求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =，故选：B．【点睛】本题考查了二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．8.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A.48种B.72种C.96种D.144种【答案】B【解析】根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析：①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法，③，对于C 区域，与A B 、相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、区域有2+1＝3种涂色方法，则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；故选：B．【点睛】本题考查了两个计数原理的综合问题，使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若1021001210(21),x a a x a x a x x R +=+++∈ ，则（）A.01a = B.00a =C.10012103a a a a ++++= D.012103a a a a ++++= 【答案】AC【解析】因为1021001210(21),x a a x a x a x x R +=+++∈ ，令0x =得01a =，故A 正确.令1x =得10012103a a a a ++++= ，故C 正确，故选:AC【点睛】本题考查了二项式定理展开式的项的系数和系数的和，一般采用通项公式和赋值法，属于基础题.10.下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（）A．()111mm n n n A A +++=B．11mm n n mC nC --=C．!m m nnA C n =D．11m mn nA A n m+=-【答案】ABD【解析】对于选项A，()()()()111111n m n mn n n n m A n A ++-⋅⋅-+==++ ，故A 正确；对于选项B，()!!!mn n C m n m =-，()()()111!1!!m n n C m n m ---=--，所以()()()()()()111!1!1!!1!!m m nn n n n n n C C m m n m m m n m m----==⨯=⨯----所以11m m n n mC nC --=，故B 正确；对于选项C，!m m m n nnm m A A C A m ==，故C 错误；对于选项D，()()()()111111mm n n n n n m n n n n m A A n m m+⨯⨯-⨯⨯-⨯=-=⨯-⨯-+=- ，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了利用组合数公式、排列数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论,属于基础题．11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人都安排一项工作的不同方法数为54B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D【解析】①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误，②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误，④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ，故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确，故选：D．【点睛】本题考查了排列知识的应用.求解排列问题的六种主要方法:①直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;②优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;③捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;④插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;⑤定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;⑥间接法:正难则反、等价转化的方法.属于中档题.12.已知6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A.1a =B.展开式中常数项为160C.展开式系数的绝对值的和1458D.若r 为偶数，则展开式中r x 和1r x -的系数相等【答案】ACD【解析】对于选项A， 6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+=,1a \=，故A 正确；对于选项B，661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q 6611122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r rr T C x --+=-，当612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为：令620r -=,得3r =,可得展开式中常数项为：33346(1)2160T C =-=-，当6112x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为：662665261(1)2(1)2r r r r r r r rC x C x x ----=⋅--令520r -=,得52r =(舍去),故6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为160-.故B 错误；对于选项C, 661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求其展开式系数的绝对值的和与61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和相等61112x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，可得：66111112231458⎛⎫⎛⎫++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝==⎭∴61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和为：1458.故C 正确；对于选项D， 66611111222a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r rr T C x --+=-，当r 为偶数，保证展开式中r x 和1r x -的系数相等①2x 和1x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中2x 系数为：622226(1)2C x--展开式系数中1x 系数为：622226(1)2C x --,此时2x 和1x 的系数相等，②4x 和3x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中4x 系数为：15146(1)2C x-展开式系数中3x 系数为：15146(1)2C x -,此时4x 和3x 的系数相等，③6x 和5x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中6x 系数为：66600(1)2C x-展开式系数中5x 系数为：666(1)2C x -,此时6x 和5x 的系数相等，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.龙马负图、神龟载书图象如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图象如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则不同选法的种数是____________.【答案】40【解析】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有215440C C =种，故答案为：40【点睛】本题考查了以数学文化为背景,考查了组合的应用,属于基础题.14.()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为______．【答案】1330【解析】()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为：222223420C C C C ++++ 322233420C C C C =++++ 3224420C C C =+++ 3225520C C C =+++ 321C =21!3!18!=⨯212019321⨯⨯=⨯⨯1330=.故答案为：1330.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式、组合数的性质、组合数的计算公式，属于基础题.15.设n∈N*，则0n C 1n 80+1n C 1n﹣181+2n C 1n﹣282+3n C 1n﹣383+……+1n n C -118n﹣1+ nn C 108n除以9的余数为______________【答案】0【解析】因为C 0n 1n 80+C 1n 1n﹣181+C 2n 1n﹣282+C 3n 1n﹣383+……+C 1n n -118n﹣1+C nn 108n ＝（1+8）n ＝9n；故除以9的余数为0；故答案为：0【点睛】本题考查了二项式定理及应用，解题时需注意组合数性质及二项式定理的合理运用，属于基础题.16.已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a xm +-=+++++∈ ，若127a =，则_________=m ;()81i i i a =⋅∑的值为_______.【答案】243【解析】 7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr r r r rr T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=又 777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑,故答案为：243【点睛】本题考查了掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）A 、B 两人不排在一起，有几种排法？（2）A 、B 两人必须排在一起，有几种排法？（3）A 不在排头，B 不在排尾，有几种排法？【答案】（1）480；（2）240；（3）504.【解析】（1）将A 、B 插入到其余4人所形成的5个空中，因此，排法种数为42452420480A A =⨯=；（2）将A 、B 两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排，因此，排法种数为25252120240A A =⨯=；（3）分以下两种情况讨论：①若A 在排尾，则剩下的5人全排列，故有55120A =种排法；②若A 不在排尾，则A 有4个位置可选，B 有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有114444384C C A =种排法.综上所述，共有120384504+=种不同的排法种数.【点睛】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.18.已知二项式()*2nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子0615243342516066666662222222C C C C C C C ++++++的值.【答案】（1）6；（2）60；（3）63.【解析】（1）依题意，12:2:5n n C C =，即5(1)n n n =-，解得6n =；（2）由（1）知6n =，∴622n x x ⎛⎛=+ ⎝⎝，36662166(2)2r rrrr rr T C x C x---+∴==，由3602r -=，得4r =，∴展开式中常数项2646260C -=⋅．（3）令1x =得061524366662222C C C C +++34251666662223C C C +++=．【点睛】本题考查了二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想,属于基础题．19.从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数，（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）若将（1）中所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少？【答案】(1)1260;(2)7205.【解析】（1）不选0时,有224534720C C A ⋅⋅=个;选0时,0不能排在首位,21135333540C C A A ⋅⋅⋅=,根据分类计数原理,共有720+540=1260个四位数.（2）①“1××5”，中间所缺的两数只能从0，2，4，6中选排,有2412A =个；②“2××5"，中间所缺的两数是奇偶数各一个,有112432C C A 24⋅⋅=个；③“3××5"，仿“1××5”，也有2412A =个；④“4××5"，仿“2××5"，也有112432C C A 24⋅⋅=个；⑤“6××5”也有112432C C A 24⋅⋅=个；即小于7000的数共有96个，故第97个数是7025，第98个数是7045，第99个数是7065，第100个数是7205.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，要不重不漏，属于中档题.20.已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列.（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x .【解析】（1）由题意，n +的展开式是1r n r r r n T C -+=，化简得23244122n r r n r r r r r r n n T C xx C x -----+=⋅=⋅⋅则02211nn n T C x x =⋅=⋅，23231144222n nn n T C x x ---=⋅⋅=⋅，()3322223128n nn n n T C x x ----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n -⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅二项式系数是8r C ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C x x --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<，则计算00441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x -=⋅⋅=⋅，5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅，7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅则当2r =或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查了二项式定理求二项式系数最大项以及系数最大项；考查了运算能力，注意概念辨析，属于中档题.21.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【答案】（1）840种（2）3360种（3）360种【解析】（1）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法4474840C A ⋅=（种）．（2）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法4147443360C C A ⋅⋅=（种）．（3）先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有36C 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有13C 种，其余3人全排列有33A 种，所以共有不同选法313633360C C A ⋅⋅=（种）．【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件,先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件，属于中档题.22.已知11*121()(N )r n n r nn n F n a a C a C a C n -+=+++++∈ .（1）若21n a n =-，求(5)F ；（2）若17n n a -=，求(20)F 除以9的余数；（3）若2(1)n a n =-，求()F n .【答案】（1）192；（2）1；（3）()222n n n -+⋅.【解析】（1）因为21n a n =-，所以125555(5)51311F C C C =+++ ……①同时，543555119(5)71F C C C =+++ ……②，①②两式相加得：25555152(5)12121212122F C C C ==++⨯+ 所以4121259)2(F =⨯=（2）因为17n n a -=，所以22020002011192020020202020220120(20)1777171771F C C C C C C =+++=⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ ()()2020201222020202020718911999C C C =+==-=-⋅+⋅-⋅⋅⋅+⋅因为1222020202020999C C C -⋅+⋅-⋅⋅⋅+⋅都能被9整除，所以1除以9的余数就是(20)F 除以9的余数，故(20)F 除以9的余数为1.（3）因为2(1)n a n =-，所以通项()()()()22111!!!!1!!k k n n n n T k C k k n nkC k n k k n k ---==⋅=⋅⋅=⋅--⋅-所以()21222011111()1212n n n n n n n n F n C C n C n C C nC ----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+同时()111111()11n n n n F n n nC n C C ----⎡⎤=+-+⋅⋅⋅+⎣⎦上述两式相加有()()()()()0210211111112()1111n n n n n n n n F n n n C n C n C n n C C C --------⎡⎤=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+⎣⎦()()121122n n n n n n --=+⋅=+⋅所以()22()2n F n n n -=+⋅【点睛】本题考查了二项式定理的综合应用，主要涉及构造法的体现，属于稍难题.。

高二数学计数原理练习试卷(人教版)

高二数学计数原理练习测试题一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 某商店销售的电视机中，本地产品有4种，外地产品有6种，现购买一台电视机，不同的选法有（）A.10种B.24种C. 46种D. 64种2. 从A 地到B 地有2条路，从B 地到C 地有5条路，某人从A 地经B 地到C 地，则此人所经线路有（）A.7种B.10种C. 25种D. 52种3. 从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在3块不同的土地上，不同种植方法的种类数是（）A.36B.64C.24D.81 4. )1(9-x 的展开式第5项的系数是（）A.C 59B. C 59-C. C 49D. C 49-5. 若x a x a x a a x 7722107)21(++++=- ，则=++++a a a a 7210 （）A.1B.－1C. 27D. 266．已知集合{}{}d c b a B A ,,,,3,2,1==，则集合A 到集合B 的映射的个数是（） A ．81 B ．64 C ．24 D ．47．从4双不同的鞋中任取4只，恰有两只配成一双的取法有（）A ．24种B ．16种C ．32种D ．48种8．从6人中选4人，分别到D C B A 、、、四个城市游览，要求每个城市有1人游览，每人只能游览一个城市，又知道这6人中，甲、乙两人都不去A 城市游览，则不同的选择方案有（）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种9．若A A A A M 20082008332211++++= ，则M 的个位数字是（）A ．3B ．8C ．0D ．5 10．)312(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项11. n+1个不同的球放入n 个不同的盒子中，其放法总数为n n n A C 31+的放法是（）A 、指定某盒放3球，此外最多放1球B 、恰有一盒放3球，此外最多放1球C 、恰有一盒放2球，此外最多放1球D 、恰有3盒放2球，此外最多放1球二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.12. 计算=-C A 52848_________13. 从4名男生和3名女生中选3人参加一项活动，若女生甲必须参加，则不同的选法种数是___________14. =++++C C C C C 9979593919________15. )2(6xx -中常数项是__________16．有编号为1、2、3、4的四个盒子，现将10个完全相同的小球放入这四个盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法有种17．过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条，其中构成异面直线的有对 18．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如12578），若把所有的五位渐升数按从小到大的顺序排列，则第100个数是 19．在)11)(524(225xx x +--的展开式中，常数项为20.对于正整数n 和m ，其中m ＜n ，定义)()3)(2)((!km n m n m n m n n m ----= 其中k 是满足n ＞km 的最大整数，则=!12!1034___________ 三．解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.计算下列各题： ⑴A C C 31019710098100)(÷+ ⑵C C n n n n 313172+-+22. 有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求，各有多少种不同排法？⑴男生甲排在正中间；⑵男生甲不排在两端；⑶三个女生排在一起；⑷三个女生两两都不相邻 23. 已知CC n n54=，求)1(xx n-的展开式中x 3的系数24．解不等式A A x x 2696-＞25．由四个不同数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数，⑴若5=x ，其中能被5整除的共有多少个？⑵若0=x ，其中的偶数共有多少个？⑶若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x .24． ⑴设21≥∈n N n a ，且，＞，求证：na a n 11--＜ . ⑵求证：对任何自然数n ，12633--n n 都可以被676整除25. 设数列{}n a 是等比数列，123321-+=m m m A C a ，公比q 是42)41(xx +的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）（1）用n 、x 表示通项a n 与前n 项和S n ；（2）若n nn n n n S C S C S C A +++= 2211，用x 、n 表示A n ．26.已知i 、m 、n 是正整数，且1＜i≤m ＜n （1）证明：in i i A m A n ＜；（2）证明：（1+m ）n ＞（1+n ）m参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ABCCBBDBAC11B二、填空题：12. 1540 13. 20 14. 256 15.－160 16．84 17．36 18．24789 19．15 20.272三、解答题：21. 解：⑴ 原式= 6113331013101310198101==÷=÷A A C A C ⑵ 由6213317133217=⇒≤≤⇒⎩⎨⎧+≤≤-n n nn n n∴原式31191211911218191112=+=+=+=C C C C22. 解： ⑴72066=A ，∴男生甲排在正中间的排法有720种；⑵36006615=A C ，∴男生甲不排在两端的排法有3600种；⑶7205533=A A ，∴三个女生排在一起的排法有720种； ⑷1444433=A A ，∴三个女生两两都不相邻的排法有144种.23. 解：∵C C n n 54=，∴9=n∴在)1(xx n -中，x C x x C T r r rrr r r 299991)1()1(--+-=-⋅=令329=-r 得3=r∴x x C T 334494126)1(=-= ∴x 3的系数是126.24．解：原不等式化为：）！（！＞）！（！266699+-⨯-x x 解得75-＞x又⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥-62902x x x 得82≤≤x 且Z x ∈ ∴原不等式的解集为{}8765432，，，，，，. 23．解：⑴ 由要求知：5只能在个位，故能被5整除的三位数有623=A 个 ⑵ 当0在个位时，三位数有623=A 个当2或4在个位是，三位数有8121212=⋅⋅A A C 个∴当0=x 时，三位偶数共有1486=+个 ⑶易知：0≠x∵1，2，4，x 在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A A 2313⋅次 ∴数字之和为A A x 2313)421(⋅⋅+++∴25218)7(=⋅+x ，解得7=x .24．证明：⑴ 设x a n =-1，则a x n=+)1(，∴原不等式等价于：）＞（＜01)1(x x nx n-+∵111)1(111110+=+++++=+---nx x C x C x C x C x n n n n n n n n n＞∴原不等式成立. ⑵12633--n n12627--=n n 126)126(--+=n n126126262626261222211--+⋅+++++=----n C C C C n n n n n n n n n )262626(262423122C C C n n n n n n n ----++++=∵676262=∴12633--n n 都可被676整除25. 解：（1） ∵123321-+=m m m A C a∴{m m m 33212≥+≥- 即{33≤≥m m∴ m=3 由42)41(x x +知：x xx C T ==-21414241 ∴1-=n n xa ，⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(11)1(x xx x n S n n（2）当x=1时，n S n =nnn n n n nC C C C A +++=32132 ∴01210)2()1(n n n n n n n n n C C C n C n nC A +++-+-+=-- 两式相加得：n n n n n n n n C C C C n A 2)(2321⋅=+++=∴12-⋅=n n n A当x≠1时，xx S n n --=11∴xx C x x C x x C x x C A nn n n n nn --++--+--+--=1111111133221 =)]()[(1133221321nn n n n n n n n n n x C x C x C x C C C C C x +++-+++- =]1)1()12[(11++---n n x x=])1(2[11n n x x+-- 综上，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-==-)1(1)1(2)1(21x x x x n A n n n n ．26. 证明：（1）ii im m i m m m m m A )1()2)(1(+-∙∙--= ， ii i n n i n n n n n A )1()2)(1(+-∙∙--= ，对于m ＜n ，当k=1，2，…，i-1，有mkm n k n --＞ ∴i im i i n mA n A ＞， ∴ini i m i A m A n ＜．（2）由二项式定理：nn n n n n n m C m C m C m C m ++++=+ 221100)1(mm m m m m m n C n C n C n C n ++++=+ 221100)1(又∵!i m A m C i i n iin=，!i n A n C ii m i i m =，而ii m i i n n A m A ＞∴i i m i i n n C m C ＞ ∴2222n C m C m n ＞，3333n C m C m n ＞， ……，m m m m m n n C m C ＞又∵0000n C m C m n =， 1111n C m C m n =∴mn n m )1()1(++＞。

基本计数原理计数原理提升作业练习含答案解析高二数学北京海淀

课时提升作业一基本计数原理一、选择题(每小题5分,共10分)1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )A.7种B.12种C.64种D.81种【解析】选B. 要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件中任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同选法.故共有4×3=12种不同配法.2.在正方体中,由一条棱和一平面对角线可以组成异面直线的对数( )A.72B.60C.48D.24【解析】选A.完成“组成异面直线”这一件事需分两步进行:第一步选棱,共有12种方法;第二步选与所选棱异面的面对角线,共有6种选法;故完成这件事共有12×6=72种不同方案,故选A.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2018·北京高二检测)湖中有四个小岛,它们的位置恰好近似构成四边形的四个顶点,若要搭3座桥将它们连接起来,则不同的建桥方案有__________种.【解题指南】由建桥的方式可以分为两类:从一个岛出发向其他三岛各建一桥,一个岛最多建两座桥,利用排列的计算公式即可得出.【解析】分为以下两类:设四个小岛为A,B,C,D第一类,从一个岛出发向其他三岛各建一桥,共有4种方法;第二类,一个岛最多建两座桥,但是像A-B-C-D,D-C-B-A这样的两个排列对应一种建桥方法,要去掉这样的重复,因此共有×4×3×2×1=12(种)方法.根据分类加法计数原理,知道共有4+12=16(种).答案:164.(2018·锦州高二检测)5个人有5个座位,其中甲不能坐1号座位,则不同的坐法有__________种.【解析】第1步,安排1号座位,有4种方法.第2步,安排2号座位,有4种方法.第3步,安排3号座位,有3种方法.第4步,安排4号座位,有2种方法.第5步,安排5号座位,有1种方法.共有:4×4×3×2×1=96(种).答案:96三、解答题5.(10分)(2018·济南高二检测)从1,2,3,4中选3个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个?(1)三位数.(2)三位偶数.【解析】(1)可分三个步骤完成:第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法;第2步,排十位,从剩下的3个数中选1个数字,有3种方法;第3步,排百位,从剩下的2个数中选1个数字,有2种方法.根据分步乘法计数原理,共有4×3×2=24个满足要求的三位数.(2)分三个步骤完成:第1步,排个位,从2,4中选1个数字,有2种方法;第2步,排十位,从剩下的3个数中选1个数字,有3种方法;第3步,排百位,从剩下的2个数中选1个数字,有2种方法.根据分步乘法计数原理,共有2×3×2=12个满足要求的三位偶数.。

高二下计数原理专项练习题

高二下计数原理专项练习题在高二下学期，计数原理是数学课程中的一个重要内容。

为了帮助同学们更好地掌握计数原理知识，以下是一些针对计数原理的专项练习题。

1. 一个班级有10个男生和8个女生。

如果要选出3个学生组成一个小组，其中至少有一个女生，那么有多少种不同的小组组合？答案示例：有 ${8 \choose 1} \times {17 \choose 2} = 816$ 种不同的小组组合。

2. 一家餐馆提供3种主菜和5种甜点供客人选择。

如果客人必须选择1道主菜和1道甜点，那么客人有多少种不同的选择组合？答案示例：有 $3 \times 5 = 15$ 种不同的选择组合。

3. 一条由红色、蓝色和绿色组成的蛇游戏，蛇的身体长度为10节。

如果蛇每次只能向前移动一节，并且蛇头不能碰到自己的身体，那么蛇能够有多少种不同的移动路径？答案示例：蛇的移动路径数目为 $3^{10} = 59049$ 种。

4. 一个5位数的密码，每位数字都是从1到9的数字。

如果密码不能有重复的数字，并且最大位数数字必须大于最小位数数字，那么一共有多少种不同的密码？答案示例：在满足条件的情况下，一共有 $9 \times 8 \times 7 \times6 \times 5 = 15120$ 种不同的密码。

5. 在一个双人棒球大赛中，共有5名打者。

每名打者击球时都有3种可能的结果：全垒打、安全上垒或被出局。

那么共有多少种不同的比赛结果？答案示例：共有 $3^5 = 243$ 种不同的比赛结果。

通过以上专项练习题，你能够更好地理解和运用计数原理的知识。

希望同学们能够在学习中不断探索，提高自己的数学能力。

祝你学业有成！。

排列计数原理提升作业练习含答案解析高二数学北京海淀

课时提升作业二排列一、选择题(每小题5分,共10分)1.5名同学排成一排,其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有( )A.70种B.72种C.36种D.12种【解析】选C.甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列,共有=36种排法.2.(2018·德州高二检测)给出下列四个关系式:①n!=;②=n;③=;④=.其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由=可知:=,故④不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若2<≤42,则m的取值集合是__________.【解析】根据排列数公式可得2<≤42,即2<(m+1)m≤42,所以-1<m≤6或-7<m<-2(舍),又因为m-1>0,m∈N+,所以m∈{2,3,4,5,6}.答案:{2,3,4,5,6}4.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了__________ 条毕业留言.(用数字作答)【解题指南】两两彼此写留言相当于从40人中任选两人的排列数,可直接利用排列数公式计算.【解析】依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了=40×39=1 560条毕业留言.答案:1 560【补偿训练】用1,2,3,4,5,6,7这7个数字可以组成没有重复数字的四位数,其中偶数有个.【解析】偶数的个位数只能是2,4,6有种排法,其他位上有种排法,由分步乘法计数原理知共有四位偶数=360(个).答案:360三、解答题(每小题10分,共20分)5.两名老师和两名学生合影留念,写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法,并回答共有多少种?【解析】由于老师不站左端,故左端位置上只能安排学生,设两名学生分别为A,B,两名老师分别为M,N,此问题可分为两类:由此可知所有可能的站法为:AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,BANM,共8种.6.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下:当n为偶数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)…6×4×2;当n为奇数时,n!!=n(n-2)·(n-4)…5×3×1.求证:(1)(2 010!!)·(2 009!!)=2 010!.(2)4 030!!=22 015·2 015!.【证明】(1)由定义,得(2 010!!)·(2 009!!)=(2 010×2 008×2 006×…×6×4×2)×(2 009×2 007×2 005×…×5×3×1)=2 010!.(2)4 030!!=4 030×4 028×4 026×…×6×4×2=22 015(2 015×2 014×…×3×2×1)=22 015·2 015!.。

计数原理训练练习含答案解析高二数学北京海淀

考前过关训练(一)计数原理(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若=,则的值为 ( )A.1B.20C.35D.7【解析】选C.由=得n=7,====35.2.已知等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则b1,b2,b3,b4的值分别为 ( )A.0,0,0,0B.-4,6,-3,0C.4,-6,4,-1D.-4,6,-4,1【解题指南】由于x4=[(x+1)-1]4,所以可先利用二项式定理展开,然后由对应系数相等计算b1,b2,b3,b4.【解析】选D.根据题意,由于等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则[(x+1)-1]4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,b1,b2,b3,b4的值分别为-,,-,,可知答案为D.3.将5名学生分到A,B,C三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A.18种B.36种C.48种D.60种【解析】选D.当甲一人住一个宿舍时有:×=12种,当甲和另一人住一起时有:×××=48,所以有12+48=60(种).4.的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6【解析】选B.的展开式中第r+1项为= (-1)r ,当5-为正整数时,r=0,2,所以项数为2.5.如图,花坛内有5个花池,有5种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案的种数为 ( )A.180B.240C.360D.420【解析】选D.本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻),故应先种区域1,有5种栽种方案,再种区域2,有4种栽种方案,接着种区域3,有3种栽种方案,种区域4时应注意:区域2与4种同色花时,区域4有1种栽种方案,此时区域5有3种栽种方案;区域2与4种不同色花时,区域4有2种栽种方案,此时区域5有2种栽种方案,故共有5×4×3×(1×3+2×2)=420种栽种方案.【延伸探究】若将本例图改为如图,如何解决?【解析】分以下种情况讨论:(1)5种颜色的花全种,共有=120种方法.(2)只种4种颜色的花,分1,3同色;1,5同色;2,5同色;3,5同色共四种情况,共有4=480种方法.(3)只种3种颜色的花,只能是1,3,5同色,共有=60种方法.共有120+480+60=660种栽种方案.6.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若该动点从原点出发,经过6步运动到(6,2)点,则有__________ 种不同的运动轨迹.( )A.15B.14C. 9D.10【解析】选C.如图,该动点从原点出发,按规律运动到A或B或C或D或F 各有一种,运动到E有两种,到G,H各三种,…,由此可知它符合二项式系数规律,如此下去可得经过6步运动到P(6,2)点,有-=9种不同的运动轨迹.7.二项式展开式中x的系数为__________.【解析】二项式展开式中,T r+1=(x2)5-r=x10-3r,令10-3r=1得,r=3,所以,二项式展开式中x的系数为=10.答案:108.若展开式的常数项是60,则常数a的值为__________ .【解析】T r+1=x6-r=(-1)r x6-3r,由6-3r=0⇒r=2,所以(-1)2a=60.解得a=4.答案:49.如下表所示,现有一种跳格游戏,从第1格跳到第8格,每次可跳一格或两格,那么不同的跳法有__________种.1 2 3 4 5 6 7 8【解析】按跳的步数进行分类.第一类7步跳完,只有1种方法;第二类6步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有1个格不跳,有6种方法;第三类5步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有不相邻的2格不跳,有10种方法; 第四类4步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有不相邻的3格不跳,有4种方法, 故共有1+6+10+4=21(种)不同方法.答案:2110.由-1,0,1,2,3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=a2x+bx+c的系数.(1)开口向下的抛物线有几条?(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?(3)与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条?【解析】(1)a<0,a只能取-1,b,c有种选法,共有=12(条).(2)a>0且c≠0,共有=27(条).(3)ac<0,当a>0,c<0时,a,b,c分别有,,种选法;当a<0,c>0时,a,b,c有,,种选法,共有+=18(条).11.已知=40,设f(x)=.(1)求n的值.(2)f(x)的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可).(3)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可).【解析】(1)由已知=40,可得n(n-1)(n-2)(n-3)=40·,求得n=7.(2)f(x)=的展开式的通项公式为T r+1=·(-1)r·,令7-为整数,可得r=0,3,6,故第1项、第4项、第7项为有理项.(3)由于f(x)的展开式中第r+1项的系数为·(-1)r,故当r=4时,即第5项的系数最大;当r=3时,即第4项的系数最小.【补偿训练】已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于展开式的常数项,而(a2+1)n展开式中的系数最大的项等于54,求a的值.【解析】展开式的通项为T r+1=·=,令=0,得r=4,所以常数项为T5=·=16.又因为(a2+1)n的展开式的各项系数之和等于2n.所以2n=16,所以n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,T3=a4=54,解得a=±.。

高二数学计数原理测试题

放一个球，恰好 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（） 2 3 4 5(等，则 r = ________.1、若 ( x + 1 x 计数原理) n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（） A10B.20C.30D.1202、在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521的数共有（）A ．58 个B ．57 个C ．56 个D ．60 个 3、某电视台连续播放 6 个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有（）A ．48 种B ．98 种C ．108 种D ．120 种4、从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班主任），要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A ．210 种B ．420 种C ．630 种D ．840 种5、 (1 - x ) 5 ⋅ (1 + x ) 3 的展开式中 x 3 的系数为（） A ．6 B ．-6 C ．9 D ．-96、将标号为 1，2，…，10 的 10 个球放入标号为 1，2，…，10 的 10 个盒子里，每个盒内．A ．120B ．240C ．360D ．720 7、如图 1，要用三根数据线将四台电脑 A ，B ，C ，D 连接起来以实资源共享，则不同的连接方案种数为______________8、由数字 1，，，，组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 偶数共有______________ 现的9、设 ( x 2 + 1)(2x + 1)9 = a + a ( x + 2) + a ( x + 2)2 + 0 1 2+ a 的值为 a + a + a + 0 1 2 11 + a ( x + 2)11 ， 11 则10、 1 - x 2 )10的展开式中第 4r 项和第 r + 2 项的二次项系数相图 2 11、用五种不同的颜色，给图 2 中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种。

2020-2021学年高二数学下学期计数原理章末检测卷(提升篇)(江苏专用)解析版

最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；
对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，
最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，
共有种，故B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；
对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大D．展开式中的常数项为45
【答案】BCD
【解析】由题意，，所以（负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
2.若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，有多少种不同的放法（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，
根据乘法原理可得不同放法为种.故选：C
【点睛】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题.
3. 的展开式中的系数是（）
A. B. C. 120D. 210
C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法

高中试卷-第六章计数原理--复习与小结 -B提高练(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第六章计数原理--复习与小结-B 提高练一、选择题1．（2021·北京大兴区高二月考）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（）A ．420种B ．1225种C ．441种D ．735种【答案】A【详解】根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在7项中选取2项，共有27C 21=种不同的方法；第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有15C 5=种不同的方法；第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有14C 4=种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有2154420´´=（种），故选：A ．2．（2021·安徽肥东高二月考）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【详解】的展开式通项为：，由2100r -=得=5r ，所以的常数项系数为；由2102r -=-得4r =，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.3．（2021·浑源县第七中学校高二月考）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹!脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续现固脱贫成果.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A 乡镇的3个脱贫村与B 乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（）A ．37B ．1021C ．47D ．57【答案】A【详解】从7个村子中选2个共有2721C =(种)方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为22439C C +=，∴所求概率为93217P ==.故选：A 4.（2021·重庆市蜀都中学校高二月考）已知20212012(1)x a a x a x +=++3202132001a x a x ++×××+，则2000201920182017234a a a a +++1020202021a a +×××++=（）A ．202120212´B ．202020212´C ．202120202´D ．202020202´【答案】B【详解】依题意，2021(1)x +的展开式中各项系数(,2021)i a i N i Î£就是对应项的二项式系数，即()2021,2021ii a C i N i =Î£,由二项展开式中二项式系数的对称性202120212021i iC C -=知：2021(,2021)i i a a i N i -=Î£，所以原等式为2021220201*********2021191200022()(1)a a a f x x x a x a a x x x =+=++++++L 求导得20202201920120192020201208032020()2021(1)22021a x f x x a x a x a a x ¢=+=+++++L ，取x =1得20202019201820120027102021224320202021a a a a a a +´+++=++L ，所以20202019201820171200203202202021420212a a a a a a +++=´+++L .故选：B5. （多选题）（2021·江苏苏州市高二期中）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A ．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B ．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C ．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D ．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法【答案】BC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有2615C =种选法，女生的选法有24C 6=种选法，则4人中男生女生各有2人选法有15690´=种选法，A 错误；对于B ，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有2828C =种选法，B 正确；对于C ，在10人中任选4人，有410C 210=种选法，甲乙都不在其中的选法有7870C =，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有21070140-=种，C 正确；对于D ，在10人中任选4人，有410210C =种选法，只有男生的选法有4615C =种，只有女生的选法有441C =种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有210151194--=种，D 错误；故选：BC .6.（多选题）（2021·海口市·海南中学高二）已知2233nx x æö+ç÷èø展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（）A ．展开式中的有理项是第2项和第5项B ．展开式中没有常数项C ．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项D ．展开式中系数最大的项是第5项【答案】BCD【详解】对选项A ,由题意可得42992n n -=，求得232n =或231n =-（舍），5n \=．所以2253(3)x x +的展开式的通项公式为1043153rr r r T C x++=g g ，(0,1,2,3,4,5)r =，所以当2r =或=5r 时，10+43r是整数，所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项A 错误；对选项B ，令10+450,32r r =\=-，所以展开式中没有常数项，所以选项B 正确；对选项C ，因为5n =，故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项C 正确；对选项D ，第1r +项的系数为53r r C g ，(0,1,2,3,4,5)r =，计算得展开式各项的系数依次为115,90,270,405,243,，所以展开式第5项的系数最大．所以选项D 正确.故答案为：BCD.二、填空题7．（2021·重庆南开中学高二月考）某地为了庆祝建党100周年，将在7月1日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.【答案】14【详解】若参与“剪辑”工作的有1人，则不同的分配方法数为()322212´-=；若参与“剪辑”工作的有2人，则不同的分配方法数为2种.综上所述，不同安排方案的种数是12214+=种.8．（2021·湖南师大附中高二月考）在10201511x x æö++ç÷èø的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x æöæö++=++=++++ç÷ç÷èøèøL ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =9．（2021·山东泰安一中高二月考）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.该校派遣甲、乙，丙、丁、戊五个小组到A 、B 、C 三个街道进行打扫活动，每个街道至少去1个小组，则不同的派遣方案有____________________种.【答案】150【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有335360C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配时，则有2134532290C C A A =种不同的方案.故共有150种不同的派遣方案.10．（2021·湖北襄阳高二月考）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（1）4位回文数有个；（2）位回文数有个．【答案】（1）90（2）【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n 个．三、解答题11．（2021·苏州市第三中学校高二月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？【答案】（1）360；（2）504；（3）504.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有66226543213602A A ´´´´´==种；（2）如果体育排在最后一节，有55120A =种，体育不排在最后一节有114444384C C A =种，所以共有120384504+=种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有9966987504A A =´´=种12．已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012()2311)1)((()n n n x a a x a x a x =++++----L ．（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++LL 的值；（3）求(20)20f -被6整除的余数．【答案】(1)144-，（2）2，（3）5【详解】解：（1）因为()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，所以2512n =，解得9n =，因为99(23)[2(1)1]x x -=--，所以722792(1)144a C =-=-，（2）在9920129(23111)()()()x a a x a x a x ---+++-=+L 中，令1x =，则90(213)1a =´-=-，令2x =，可得01201299(223)1n a a a a a a a a ++++=++++=´-=L L ，所以120129031(1)2n a a a a a a a a a +++++++=-=--+=LL LL （3）9(20)20(361)20f -=+-09182789999993636363620C C C C C =+++×××++-，091827899993636363619C C C C =+++×××+-，因为（0918278999936363636C C C C +++×××+）能被6整除，而19(4)65-=-´+，即19-被6整除余数为5，所以(20)20f -被6整除的余数为5。

组合计数原理提升作业练习含答案解析高二数学北京海淀

课时提升作业三组合一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·江苏高考改编)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.假设3名女生为a,b,c,2名男生为d,e,恰好选中2名女生的情况有:选a和b;a和c;b和c三种,总情况有a和b;a和c;a和d;a和e;b 和c;b和d;b和e;c和d;c和e; d和e这10种.两者相比即为答案.2.下列有关排列数、组合数计算正确的是( )①=.②(n+2)(n+1)=.③+++…+=.④+是一个常数.A.①②B.②③C.①④D.②④【解题指南】分别按排列数、组合数公式及性质计算判定.【解析】选D.①错,=·m!;②正确;③错,应为-1;④正确,由组合数定义可得由(ⅰ)得n≥2,由(ⅱ)得≤n≤2,所以n=2.所以+=+=2.所以②④正确.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若=+(n∈N*),则n=__________.【解析】由题意知=+=,从而n=5.答案:54.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案) 【解题指南】本题是一道关于组合计数的题目,并且在涉及至多至少问题时多采用间接法,间接法是得出选3人的选法总数,利用总的减去没有女生入选的选法种数,该题还可以用直接法,分别求出有1位女生和有2位女生入选分别有多少种选法,之后相加求解.【解析】方法一:根据题意,没有女生入选有=4种选法,从6名学生中任意选3人有=20种选法,故至少有1位女生入选的选法共有20-4=16种. 方法二:恰有1位女生,有=12种,恰有2位女生,有=4种,所以不同的选法共有12+4=16种.答案:16三、解答题5.(10分)求证:++…+=.(m≤n)【证明】在含有n个红球、m个白球的n+m个球中,任取m个球,共有种不同取法,完成这件事还可以用如下方法:只取m个红球;取m-1个红球,1个白球;取m-2个红球,2个白球;……,于是得到=+++…+=+++…+.得证.。