苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3导学案 1.1 两个基本计数原理

1.1 两个基本计数原理

1．分类计数原理

完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．

预习交流1

应用分类计数原理的原则是什么？

提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．

预习交流2

应用分步计数原理的原则是什么？

提示：

做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．

一、分类计数原理问题

从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？

思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．

解：根据运输工具可分四类：

第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；

第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；

第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；

第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；

根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.

设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．

答案：14

解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．

如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．

二、分步计数原理问题

有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？

思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．

解：分三步完成：

第1步是取红球，有6种不同的取法；

第2步是取白球，有5种不同的取法；

第3步是取黄球，有4种不同的取法；

根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.

现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．

答案：756

解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．

如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．

1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．

答案：12

解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．

2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．

答案：16

解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．

3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的

学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．

答案：255

解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；

第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；

第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；

由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．

4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？

解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；

第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法；

第3步从30～36中选1个号共有7种选法；

因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．

(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？

(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？

解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．

(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．