苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3导学案 1.1 两个基本计数原理
苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理(第1课时)》参考学案
章节与课题 1.1 两个基本计数原理1 课时安排：1课时学习目标1．通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；2．了解分类、分步的特征，合理分类、分布；3．体会计数原理的基本原则：不重复，不遗漏．重点，难点1．分类计数原理与分步计数原理的区别与联系；2．如何选用分类计数原理与分步计数原理．一．问自学准备与知识导学：1．问题情境一：从甲地到乙地一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具甲地到乙地有多少种不同的走法？思考：假设一天中还有航班1次，轮船2次，那么从甲地到乙地有多少种不同的方法？2.问题情境二：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有两条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？二．学习交流与问题研讨：例1 （课本P6页例2）（1）在图Ⅰ的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？（2）在图Ⅱ的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？变式训练：如下图，从A到B共有多少条不同的线路可通电？（每条线路仅含一条通道）例2 （补充）现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名．（1）从中任选一人参加夏令营，有种不同的选法？（2）从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？变式训练：从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？变式训练：若在登陆某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX（如2a8t），第一位和第三位为0到9中的数字，第二位和第四位为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码最多有个？三,练习测试与拓展延伸：（1）书架的上层放有4本不同的英语书，中层放有5本不同的语文书，下层放有6本不同的数学书，从中任取1本书的不同取法的种数是．（2）在上题中，如果从中任取3本，英语、语文、数学各1本，则不同的取法的种数是．3）用4种不同颜色给下图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？课堂小结弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提与条件．这两个原理都是指完成一件事，区别在于：（1）分类计数原理（加法原理）是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事；（2）分步计数原理（乘法原理）是“分步”，每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成才算完成这件事！四．课后反思。
两个基本计数原理教案
第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
高中数学 1.1 两个基本计数原理教案1 苏教版选修2-3-苏教版高中选修2-3数学教案
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要 “少”
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
分析: (1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,
第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1 = 5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2 = 4种不同的方法;所以,根据分类原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9种。
(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,
教学重点
教学难点
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：
2017年最新苏教版高中数学选修2-3全册教学导学案
苏教版高中数学选修2-3全册导学案目录1.1 两个基本计数原理（1）导学案 (1)1.1 两个基本计数原理（2）导学案 (5)1.2 排列（1）导学案 (9)1.2 排列（3）导学案 (17)1.2 排列（4）导学案 (21)1.3 组合（1）导学案 (26)1.3 组合（2）导学案 (30)1.3 组合（3）导学案 (34)1.4 计数应用题导学案 (38)1.5.1 二项式定理导学案 (42)1.5.2 二项式系数的导学案 (46)2.1 随机变量及其概率分布（1）导学案 (50)2.1 随机变量及其概率分布（2）导学案 (54)2.3.1 条件概率导学案 (62)2.3.2 事件的独立性导学案 (66)2.4 二项分布导学案 (70)2.5.1 离散型随机变量的方差与标准差导学案 (74)1.1 两个基本计数原理（1）导学案个原理分析和解决一些简单的应用问题（如数字、图形等问题）人有到Ｚ这２６个英文字母的一个，这样的密码共有多少个？例题２有５种不同的书（每种不少于３本），从中选购３本送个３名同学，每所有的三位数中，含有层放有种不同颜色中的某一种不同的涂1.1 两个基本计数原理（2）导学案二：课前预习2种不同的方法不同的方法，那么例题１为了确保电子信箱安全，在注册时，通常要设置电子信箱的密码到Ｚ这２６个英文字母的一个，这样的密码共有多少个？，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字的求相邻两块涂不同的颜色，, A. 180 B. 160 C. 96 D. 601.2 排列（1）导学案变其中两个元素的顺序吗？为什么？个字母的所有排列；个字母中，取出四：学后反思1.从3个不同的数字中每次取出两个，则下面问题可归结为排列问题的有（填写序号），1.2 排列（2）导学案了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数 =1____________1.2 排列（3）导学案．若把菜，从中选出种，分别种植在不同土质的块土地1、沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路一年级两个班的辅导员，不同的排法奖情况51.2 排列（4）导学案名女生生站成一排，按下列情况各有多少种不同的排法男生从左到右顺序保持一定，女生也从左到右顺序保持一定三个女生排在一起；幅水彩要求中那么_______________个座位，若1.3 组合（1）导学案人分别担任班名学生中选出数共有多少,名是种子选手，现在挑选赛，种子选手都必须在内，那个．产品中，有件不合格品，从中任取出多少种？1.3 组合（2）导学案=例题100一共有多少种不同的抽法？个开关控制，姓名：．一个口袋内装有大小不同的件产品中，有1.3 组合（3）导学案名女生中，选出同的选法有 _______选法个有多少种？（景点至多选一个？其和为奇数的共有多少种？名教师组成代表团，每校至少1.4 计数应用题导学案种不同职务，那么结果为多少个？，大于人中必须既有男生又名女生站成一排，其中任何两名女生不能相邻，则共有.则所有不同的排法种数为等于1.5.1 二项式定理导学案掌握二项式定理和二项式展开式的通项公式2、写出二、利用二项式定理展开下列各式：式：）求展开式中的第系数的展开式中的常数项1.5.2 二项式系数的导学案…时，如下表所示：…………………………图2，除1以外的每一个数（自主学习）根据“杨辉三角”写出：意思？二项式系数的性质及应用1的展开式中，各项系数的和3。
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理2
第一类方法,乘火车，有4种方法;
第二类方法,乘汽车，有2种方法;
第三类方法,乘轮船,有3种方法;
所以从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法。
问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
分析:从A村经B村去C村有2步,
第一步,选一名男三好学生,有m1 = 5种方法;
第二步,选一名女三好学生,有m2 = 4种方法;
所以,根据分步原理,得到不同选法种数共有N = 5×4 = 20种。
例2
1在图1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
2在图1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要“少”
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3学案 1.1 两个基本计数原理
1.1 两个基本计数原理析和解决一些简单的实际问题.1．分类计数原理完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．预习交流1应用分类计数原理的原则是什么？提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．预习交流2应用分步计数原理的原则是什么？提示：做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．一、分类计数原理问题从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．解：根据运输工具可分四类：第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．答案：14解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．二、分步计数原理问题有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．解：分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球，有5种不同的取法；第3步是取黄球，有4种不同的取法；根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．答案：756解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．答案：12解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．答案：16解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．答案：255解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法；第3步从30～36中选1个号共有7种选法；因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．。
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理1
复习：1.分类计数原理、分步计数原理概念
2.分类计数原理、分步计数原理的不同点
例题讲解：
例1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
课外作业：第10页习题1. 1 6 , 7 , 8
教学反思：要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可分析不透就用 或 乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用 ；反之用 ．其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．
2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于75600=24×33×52×7
(1) 75600的每个约数都可以写成 的形式,其中 , , ,
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1 两个基本计数原理》
两个基本原理的教学设计江苏省丹阳高级中学吴问舟一、教材分析1地位和作用两个基本计数原理是处理计数问题的最基本、最重要的方法,它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想和理论依据2新旧教材的变化新旧教材最大区别在于:旧教材是先学习两个计数原理后学习概率,体现由理论到应用的过程;而新教材是在学习了古典概型的基数上提出了本节内容,体现了由实践到理论、再到实践的过程,学生在具备一定的计数能力树形图、列举法等和实例的前提下,能更好更快地体会两个基本原理的作用与适用范围,在实践中能更灵活地运用两个基本原理来解决问题这样的设计能为学习构建牢固的知识框架3教学目标1知识与技能通过实例,总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题2过程与方法经历由实际问题推导出两个原理,再回归实际问题的解决这一过程,学生体验到发现数学、运用数学的过程3情感、态度与价值观体会真理源于实际、服务于实际的道理,进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣,体现数学实际应用和理论相结合的统一美课程标准指出,必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求,选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求,它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程它力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力因此,在数学课堂教学上不仅要重视知识的形成过程及其运用价值,还要重视学生情感、态度、价值观的正确导向前者已能被广大师生所重视,而后者往往会被教师忽视,但它是新教材的亮点之一,对发展学生理性思维、不断创新发挥着独特的作用4教学重点和难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的推导及简单运用是本节课的重点与难点两个原理的推导与应用对以后排列、组合、二项式定理等内容的掌握有着理论支撑的作用同时,知识与实践的紧密结合,能让学生感受数学的广泛应用,增强学生研究数学的兴趣二、教学方法1创设情境———提出问题———探索尝试———引导归纳———拓展应用2教具:多媒体投影系统三、学法指导1学生在学习概率这一节后已具备一定的计数能力,在此基础上归纳两个计数原理是比较简单的,可以充分发挥学生的自主性2引导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点四、教学过程新课标的所有要求都是在向课堂要效率,一个优质课堂必须达到三个“有”:有效果,即让所有学生能理解原理;有效率,即90%的学生会运用知识;有效益,即在考试中出成绩1问题情境本节课的引入设计了三个情景,分别借助计算乘坐交通工具从起点到达终点的方法个数与竞选班干的例子,自然地引入了两个计数原理问题１：杭州是我国东南一流风景旅游城市，国庆期间，家庭到杭州自助旅游，从丹阳去杭州，一天中火车有３班，汽车有２班，那么一天中乘坐这些交通工具从丹阳到杭州有多少种不同的走法？２ 千岛湖是我国东南一流风景旅游城市杭州的“后花园”，到杭州后再决定前往千岛湖旅游。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》
追问4：如果还有3个班次的动车呢？
问题2：小包同学进入大学后对自己严格要求、勤奋好学、积极上进，学习游刃有余，所以小包同学想再选修第二专业。通过了解，他在以下学院中选择一个专业，那么他可能选择的专业有几种？
追问1：这里小包同学完成了什么事？
追问2：这里有几种可供他选择的类型？
追问3：中选择这里任何一个专业时，这件事有没有完成？
问题3：小包同学暑期放假，他想“既要读万卷书、也要行万里路〞所以他决定到舍友的家乡杭州游历，欣赏一下西湖美景，然后再回常州。他准备先乘火车去杭州，两天后乘汽车回常州。每天适宜的火车有4个班次，汽车有3个班次，那么他从上海回到常州有几种不同的走法？
请看下面几个问题：
问题1：如果我班班长包栋梁同学经过自己的努力，一年后考上了上海的大学开学报到时,他在思考如何选择适宜的交通工具如果从常州到上海一天中适宜的高铁有3班次，直达客车有2个班次，那么一天中乘坐这些交通工具从常州到上海会有多少种不同的直达方法？
追问1：“5〞是怎么来的？为什么将他们相加？
追问2：这里，小包同学完成了一件什么事？
在图⑵的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
问题7：上述问题⑴中需要完成什么事？
问题8：能否一步完成？采用哪种计数原理？
问题9：对于问题⑵你有是怎么想的？
解：在图⑴中，按要求接通电路，只要在中的2只开关或中的3只开关中合上1只即可根据分类计数原理，共有种不同的方法
在图⑵中，按要求接通电路，必须分两步进行：第一步，合上中的1只开关；第二步，合上中的1只开关根据分步计数原理，共有种不同的方法
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》84
课题：两个基本计数原理授课教师：崔绪春教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-3 第节教学目标：①理解分类计数原理与分步计数原理的内容；②能选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．教学过程:问题情境：一． 学生活动：问题1：乘汽车从淮安到宿迁，假设汽车北站直达宿迁有4班次，汽车总站直达宿迁有3班次，那么从淮安直达宿迁共有多少种不同的方法问题2：乘汽车从淮安到宿迁，假设汽车北站直达宿迁有4班次，汽车总站直达宿迁有3班次，汽车南站直达宿迁有1班次，那么从淮安直达宿迁共有多少种不同的方法二．数学建构分类计数原理：如果完成一件事，有n 类方式,在第1类方式中有1m 种不同的方法,在第2类方式中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法问题3：乘汽车从淮安到宿迁，若先从淮安乘车到洋河办事，一天后再从洋河乘车到达宿迁，假设从淮安直达洋河的汽车有4班次，从洋河直达宿迁的汽车有3班次，那么从淮安经洋河到宿迁共有多少种不同的方法分步计数原理：如果完成一件事要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =⨯⨯⨯不同方法．三．数学运用例1：某班有男生30名，女生24名。
(1) 现要从中任选一名学生代表班级参加公益活动，共有多少种不同选法？(2) 若要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同选法？例2：书架上第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书若从书架上任取1本书，有多少种不同取法？变式1：若从第一,二,三层中各取1本书，有多少种不同取法？变式2：若从书架上取2本不同类别的书，有多少种不同取法？四．练习巩固五．课堂小结。
高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列 第1课时 排列与排列数公式学案 苏教版选修2-3-苏教版高
第1课时排列与排列数公式1.了解排列及排列数的意义．2.理解排列数公式的推导并应用．3.掌握排列数公式并会运用．1．排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．3．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.4．全排列与n的阶乘(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m＝n时，即有A n n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1．(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有A n n＝n！.5．排列数公式的阶乘形式A m n＝n！（n－m）！(n≥m)，规定0！＝1．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：A3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙4．A24＝________，A33＝________．答案：12 6排列的有关概念判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．“树形图”解决排列问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来．解：按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法． 故共有3×2×1＝6种不同的分法． 列出树形图，如下：所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．排列数公式及其应用(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)解方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(2)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)． 因为x ≥3，且x ∈N *，所以3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0. 解得x ＝5，x ＝23(舍去)．所以x ＝5.利用排列数公式①A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或②A mn ＝n ！（n －m ）！解题时，要注意题目特点，当m 较小时，用公式①较方便，第②个公式常用在化简或证明问题中．3.已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于________．解析：由已知3×8！（9－n ）！＝4×9！（11－n ）！，即4×3（11－n ）（10－n ）＝1，因为n ≤9，所以解得n ＝7. 答案：71．排列定义的两个要素一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素． 2．对排列数公式的说明(1)这个公式是在m ，n ∈N *，m ≤n 的情况下成立的，m ＞n 时不成立．(2)公式右边是m 个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n 开始，依次递减1，连乘m 个．3．排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号A m n 中，m ，n 均为正整数，且m ≤n ，A mn 是一个整体．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【解】 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200(种)坐法．(1)本题易出现以下错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题．(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断．1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3．5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：3484．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________． 解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6. 答案：6[A 基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．10解析：选B.列树形图如下：5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3，所以A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7447．给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是________．①A mn ＝（n －m ）！n ！；②A m －1n －1＝n －1！（m －n ）！；③A m n ＝n A m －1n －1；④n ！＝（n ＋1）！n ＋1.解析：①②不成立，③④成立． 答案：28．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________．解析：画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 9．求证：12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！<1.证明：因为n －1n ！＝n n ！－1n ！＝1（n －1）！－1n ！， 所以12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1（n －1）！－1n ！ ＝1－1n ！<1. 所以原式得证． 10．计算下列各题． (1)A 215； (2)A 66； (3)A m －1n －1·A n －mn －m A n －1n －1；(4)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！. 解：(1)A 215＝15×14＝210.(2)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(3)原式＝（n －1）！[n －1－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1.(4)因为n ·n ！＝[(n ＋1)－1]·n! ＝(n ＋1)n ！－n! ＝(n ＋1)！－n ！，所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.[B 能力提升]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C.2．若2<（m ＋1）！A m －1m －1≤42，则满足条件的m 的集合是________． 解析：原不等式可化为2<（m ＋1）！（m －1）！≤42.即2<m 2＋m ≤42.所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0m 2＋m －42≤0，解不等式组得，－7≤m <－2或1<m ≤6，又m ∈N *，所以满足题意的m 的集合为{2，3，4，5，6}． 答案：{2，3，4，5，6}3．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．4．(选做题)A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .。
选修2-3第一章计数原理导学案
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P2~ P5，找出疑惑之处） 复习 1 从高二（1）班的 50 名学生中挑选 1 名同学 担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结 果？
复习 2：一次会议共 3 人参加，结束时，大家两两 握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共 有多少？
二、新课导学 ※ 学习探究
4. 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班 和晚班，有 种不同的选法. 变式 ：要从甲，乙，丙 3 副不同的画中选出 2 副， 分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少 种不同的选法？ 5. 一种号码拨号锁有 4 个拨号盘， 每个拨号盘上有 从 0 到 9 共 10 个数字， 这 4 个拨号盘可以组成 个 四位数号码.
§ 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
伯数字，以 A1 , A2 , , B1 , B2 , „的方式给教室的座 位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部 分是 ，有____种编法，第二部分是 ， 有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两 部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码 一共有 个. 新知 ：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤， 完成第 1 步有 m 种 不同的方法， 完成第 2 步有 n 种不同的方法， 那么， 完成这件工作共有 m n 种不同方法。 试试：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条， 从 A 村经 B 村去 C 村， 不同的路 线有 条. 反思 ：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理 可以推广到两部以上的问题吗？
2018版高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理1
教学反思：要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可分析不透就用 或 乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用 ；反之用 ．其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．
巩固练习：
1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
第一类, m1 = 1×2 = 2条
第二类, m2 = 1×2 = 2条
第三类, m3 = 1×2 = 2条
所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N = 2 + 2 + 2 = 6条
例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3种,
第二步, m2 = 2种,
第三步, m3 = 1种,
第四步, m4 = 1种,
所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N = 3×2×1×1 = 6
变式
1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》9
分类计数与分步计数原理（一）班级 学号 姓名一、 目标要点：理解分类计数原理与分步计数原理,并能用此原理解决一些简单的实际问题。
二、 要点回顾：1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，第二类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：=N 种不同的方法。
注意：1）分类要全、清； 2）任何一种方法均能完成此事；3）各类方法相互独立。
2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有的=N 种不同的方法。
注意：1）各步方法数相互独立； 2）每步均完成后才能完成这件事。
三、 目标训练：1、一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同（1）从两个口袋内任取一个小球，有 种不同的取法；（2）从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法2、新华书店有语文、数学、英语不同的练习册各10本，（1）买其中一本有 _____种方法；（2）买语文、数学、英语各一本有 _____种方法；（3）买两本不同科的书有 种方法3、某考生填报高考志愿，有10个不同志愿可供选择，若考生只能按第一、第二、第三填入3个不同的志愿，则有 种不同填法。
4、现有3名同学报名参加体操、美术、计算机、游泳等四个兴趣小组，每人必选报且只能选报其中一个，则有 种不同报名方式。
5、从集合{}11,7,5,3,2,1,0中任取3个元素分别作为直线方程0=++C By Ax 中的系数C B A ,,，则所得经过原点的直线有 条。
思考：若将集合改为{}6,5,4,3,2,1,0则有 条。
6、若+∈N b a ,，且b a b a ≠≤+,6,则不同数对),(b a 的个数是 （ ）A 72 .36 C7、三科教师都布置了作业，若同一时刻4名学生都做作业，则可能情形有 （ ）.81 C8、若5个运动员争夺三项冠军，则冠军结果（无并列）种数为（） .60 C9、书橱上原来并放着6本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法有（）种种种种10、某工厂有三个车间，第一车间有三个小组，第二车间有四个小组，第三车间有五个小组有一个新工人分配到该工厂工作，有几种不同的安排？11、完成一件产品需要三道工序，这三道工序分别有第一、第二、第三车间来完成，第一车间有三个小组，第二车间有四个小组，第三车间有五个小组，各车间的每一个小组都只可以独立完成车间所规定的工序，问完成这件产品有几种不同的分配方案？12、2021年奥运会在中国北京举办，若进行从北京经南京去上海的火炬接力，计划北京到南京有东路8天，中路4天，西路6天三种走法，南京到上海有东路5天，西路3天两种走法，若总时间不超过12天，则共有多少种不同的走法？13、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种不的作物，每种作物种植一垄，为利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则共有多少种不同的种植方法？。
苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》参考教案
1.1《两个基本计数原理》教案一、教学目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.二、教学重难点1、理解分类计数原理与分步计数原理2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题三、教学过程一、问题情况问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.二、学生活动探究：你能说说以上两个问题的特征吗？三、数学构建一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有=N+mn种不同的方法.分类记数原理的另一种表述:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m种不同的方法,在第二1类办法中有m种不同的方法，……，在第n类办法中有n m种不同的方法.那么完2成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.问题1解答：分析:从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法.所以，从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.问题2解答：分析:从A 村经B 村去C 村有两步：第一步,由A 村去B 村有3种方法,第二步,由B 村去C 村有2种方法,所以，从A 村经 B 村去C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法.四、数学运用例 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 1m = 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共有2m = 3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有3m = 2 种不同的方法.A 南 北所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有N = 4+3+2= 9 种.点评:解题的关键是从总体上弄清楚这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”.例2 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个).二、分步记数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.例 3 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数有多少？首位数字是0的号码数又有多少？分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位、第四位,需分为四步完成：第一步,1m =10;第二步,2m = 10; 第三步,3m =10，第四步，4m = 10.根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 =410种四位数的号码. 答:首位数字不为0的号码数有N =9×10×10 ×10 = 9×310种,首位数字是0的号码数有N = 1×10×10 ×10 =310种.由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数.分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法.若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集.分步记数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.练习：练习1 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？投影完成解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m= 3种,1第二步,m= 2种,2第三步,m= 1种,3第四步,m= 1种.4所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.练习2 如图,该电路,从A 到B 共有多少条不同的线路可通电？解:从总体上看由A 到B 的通电线路可分三类,第一类, 1m = 3 条，第二类,2m =1条，第三类,3m =2×2 = 4条.所以, 根据分类记数原理, 从A 到B 共有N = 3 + 1 + 4 = 8条不同的线路可通电. 点评: 我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.五、课堂小结1．主要学习了分类记数原理和分步记数原理2.两个原理的异同点：共同点是：它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事.分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.这也是本节课的重点.A B。
2018版高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理2
分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法。
、㈢例题
1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？
(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？
教学重点
教学难点
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：
问题1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要“少”
分析略
巩固练习：书本第9页练习1，2，3习题1. 1 1，2
课外作业：第9页习题1. 1 3 , 4 , 5
教学反思：
分配问题
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》7
通过实例分析,让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并弄清它们之间的内在联系与主要区别,能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的计数问题; 2通过探究活动,使学生在经历两个原理发现的过程中,理解由特殊到一般的归纳推理思维,体会一般到特殊的演绎推理思维,培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和应用数学知识分析问题、解决问题的能力; 3通过合作交流,培养学生周密思考、细心分析的良好习惯,使学生在现实生活中面对复杂的现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进而制订出完善的处理方案,体验数学知识的广泛应用性学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些简单的计数问题,已经具备了一定的归纳、类比能力,在平时的学习中会自学或不自觉地使用“分类〞和“分步〞的方法来思考和解决问题,这些都是学生学习两个计数原理的认知根底,形成了学生思维的“最近开展区〞两个计数原理深刻地反映了人类计数最根本的思想,即“分解〞的思想,具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去计数分类用加法原理,分步用乘法原理,单纯这点学生是容易理解的学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍,局部同学对乘法原理的运算结果难以理解这是需要在教学中着力解决的问题对于学生而言,“计数〞是其学习数学的根本能力之一,简单的计数问题,其解决方法就是“数〞数,但复杂的问题呢要使学生意识到,只会机械地“数〞是不够的,必须从简单的、已能解决的计数问题中,抽象出能够解决一“类〞问题的方法,并明确界定适用该方法的问题的“类〞学习的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程,从而掌握解决实际计数问题的流程,即:分析问题→构造方法→选择原理→解决问题学生学习的难点那么是在具体问题解决中,区别使用计数原理本节内容中的课本引例、例题和习题,学生通过预习大多都能看懂为了贴近学生实际生活,激发学生学习兴趣,在创设情境和例题的选用上,教学时选择了学生所熟悉的校园生活事例学生在合作交流中,对问题的理解可以得到互补完善从学生答复下列问题和学生间的相互评价中,使老师更多地了解学生的理解程度采用教师引导启发、学生分组合作学习的方式进行教学利用多媒体显示问题情境,让学生通过小组活动,具体地分析比拟,进而归纳总结,遵循从特殊到一般的思维过程,既关注学生的认知根底,又促使学生在原有认知根底上获取知识,学会思考,提高思维能力,保持高水平的思维活动,符合学生的认知规律凸显数学知识发生开展的过程,力求教学内容的生活化,创设真实、自然、贴近学生实际的教学情境,组织形式多样的教学活动,做到为用而学,在用中学自始至终地关注学生的情感、态度和价值观,充分利用直观、形象等图文并茂、灵活多样的教学方式,努力营造宽松、民主、和谐的教学气氛,让学生积极参与课堂活动,感受成功的喜悦【导入】设置情境，引入新课【活动】探索研究，形成概念评论问题1:要开学了, 通过查询,小高得知:从太仓到南京,一天当中适宜的直达高铁车有2个班次,直达客车有3个班次,那么一天中乘坐这些交通工具从太仓到南京会有多少种不同的直达方法问题2:小高想从南京大学两个学院中选择一个专业,那么他可能的专业选择有多少种问题3:从太仓到南京要途径常州, 上午从太仓去常州坐高铁有3个班次, 下午从常州到南京坐汽车有2个班次, 那么从太仓到南京要途径常州有多少种不同的方法问题4:小高去黄山时带有4件不同的外衣,3件不同的外裤,那么小明有多少种搭配穿衣的方法【设计意图】问题驱动,引导学生感知计数原理对4个问题,讨论它们的异同、特点,总结模型分类计数原理:如果完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m n 种不同的方法分步计数原理:如果完成一件事需要两个步骤,做第一步有m 种不同的方法,做第2 步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m×n 种不同的方法问题5:小高因为优秀成为家里弟妹的典范,经常帮助弟妹解答疑难,这是表妹小红的问题:在由电键组A与B所组成的并联电路中,如图1,仅合上1只开关接通电路使电灯发光,有多少种不同的方法如果再增添一组电键C呢继续添加呢在数学上该怎么表达图1图2 变式:如果电键组A、B组成如图3的串联电路中,仅合上2只开关接通电路,使电灯发光的不同方法有多少种如果再增添一组电键C呢继续添加呢在数学上该怎么表达【设计意图】推广模型,帮助学生建构计数原理分类计数原理加法原理:完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第n类方式中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法活动3【活动】比拟归纳，深化概念评论问题6:两个计数原理有什么异同相同点:都是完成一件事的不同方法的种数的问题不同点:分类计数原理是将办事方法分为假设干类,每一类方法之间是相互独立的,用任一种方法都可以完成这件事情;而分步计数原理是将办事方法分成假设干步进行,各个步骤相互依存,必须是各个步骤都完成了,这件事情才完成问题7:区别分类和分步的依据是什么分类时各类方法都能独立完成这件事;而分步时每一步都不能独立完成这件事例题1小明在学校不仅认真学习,还非常积极地参加学校的活动,他竞选上了系文艺部长,现在需要举办一次艺术节活动,要在 3 名教师,8名男生和5 名女生当中1选出一人主持这个文娱演出,会有多少种不同的选法2如果需要教师、男生、女生各1人共同主持,有多少种不同选法3如果需要1名教师、1名学生来主持,会有多少种不同的选法例题2小明为了更好地和以前的教师及同学联络,上网注册了一个电子邮箱我们知道,在申请电子邮箱的时候,除了用户名还要有密码为了确保电子邮箱的平安, 在注册时,要设置电子邮箱密码,在某网站设置的信箱中: 1密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个2密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的一个,这样的密码共有多少个3密码为4—6位,每位均为0到9这10个数字中的一个,这样的密码共有多少个例题3 江苏省太仓高级中学社团活动很丰富，小高同学习小组的5名同学准备报名参加心理协会、辩论协会、推理协会，每人限报其中的一项且必须报一项，不同的报名方法有多少种？总结:请同学们思考解决计数应用问题的方法和步骤: 1、完成的这件事是什么2、如何完成这件事3、它们属于分类还是分步是否独立完成4、运用哪个计数原理5、进行计算【设计意图】通过这两个例题,让学生辨析两个计数原理的异同,初步掌握解决计数应用问题的策略活动4【练习】学以致用，培养能力评论练习1 生活中有很多的计数问题,那么现在你能举出一些用分类或是分步原理进行计数的例子吗请学生举例,视时间决定请2到3位学生如:学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤菜1假设你只吃一样菜,你有多少种选择2假设要配成一荤一素一汤的套餐,可以配制出多少种不同的品种4现有甲、乙、丙、丁4种不同的花供选种，要求在如图环形花坛里每块区域种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么有种不同的种法总数，请同学们课后思考区域变成4块或5块呢？5【活动】总结反思，感悟收获评论请同学们说说今天这堂课的收获, 最后总结: 一个中心问题:计数; 两个根本原理:分类加法原理,分步乘法原理; 三个核心关键:完成怎样的一件事,需要分类,还是分步。
高中数学苏教版选修2-3教案 1.1 两个基本计数原理1
: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】 由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－233＝127， P(ξ＝1)＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232＝29， P(ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝49， P(ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P(C)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23⎣⎢⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎥⎤12＋13×13×12＝1034， P(D)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．(2016·余姚高二质检)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P(A i )＝12，P(B j )＝13，P(C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )＝P(A i ∪C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，23，即P(ξ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是[构建·体系]1．(2016·桂林二模)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582 【解析】 “X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此，P(X ＝12)＝38·C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582.【答案】 D2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14【解析】 ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34.【答案】 C3．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________. 【62690039】【解析】 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P(A)＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝827. 【答案】8274．设X ～B(4，p)，且P(X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．【解析】 P(X ＝2)＝C 24p 2(1－p)2＝827，即p 2(1－p)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23.【答案】13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 【解】 设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P(A)＝23，P(B)＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A)[1－P(A)]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＝1681. 所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A)·[1－P(A)]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C34P3(B)·[1－P(B)]1＝27 64.故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )A．0.93B．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92 【解析】 由独立重复试验恰好发生k 次的概率公式知，该事件的概率为C 35×0.93×(1－0.9)2.【答案】 C2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116 B.135512C.45512D.271 024【解析】 此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫343＝135512. 【答案】 B3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56 D.34【解析】 设所求概率为p ，则1－(1－p)4＝6581，得p ＝13.【答案】 A4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123 D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125【解析】 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为 P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125.故选B.【答案】 B5．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，则P(ξ＝k)最大时，k 的值为( )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．5【解析】 依题意P(ξ＝k)＝C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P(ξ＝0)＝32243，P(ξ＝1)＝80243，P(ξ＝2)＝80243，P(ξ＝3)＝40243，P(ξ＝4)＝10243，P(ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P(ξ＝k)最大．【答案】 A 二、填空题6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)【解析】 设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B(1 000，0.001)． (1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X ＝0)＝1－0.9991000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P(X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 17．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)【解析】 由已知可求通项公式为a n ＝10－2n(n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12. ∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＝625. 【答案】6258．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①② 三、解答题9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ，求X 的分布列．【解】 由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以P(X ＝k)＝C k 4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)，所以X 的分布列为10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为35，乙队获胜的概率为25，且每局比赛的胜负是相互独立的．(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．【解】 (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P 1，则P 1＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35＝6483 125. (2)设乙队获胜的概率为P 2，则P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35·25＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·25＝9923 125.[能力提升]1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648【解析】 甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648.【答案】 D2．(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子n 次，设出现k 次点数为1的概率为P n (k)，若n ＝20，则当P n (k)取最大值时，k 为( ) A ．3B ．4C ．8D ．10【解析】 掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X ，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20，16，P n (k)＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5620－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16k .P n k P nk －1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1.当1≤k ≤3时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1>1，P n (k)>P n (k －1)．当k ≥4时，15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1<1，P n (k)<P n (k－1)．因此k ＝3时，P n (k)取最大值．故选A.【答案】 A3．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________. 【62690040】【解析】 所有同学都不通过的概率为(1－p)n ，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n .【答案】 1－(1－p)n4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，13，则P(X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827， P(X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫231＝29，P(X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127.X 的分布列如下：第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点))2．会应用两个计数原理解决简单的实际问题．(难点[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分，完成下列问题．两个计数原理的联系与区别：【答案】分解成若干个完成独立一种中间独立地完成任何一步各个步骤1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________．【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．【答案】363．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．【答案】184．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个．【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型](1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16种B．18种C．37种D．48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．【答案】(1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[再练一题]1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)，选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码．(2)四位整数．【精彩点拨】(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解．【自主解答】(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个)．1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[再练一题]2．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．[探究共研型]探究1 用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？图114【提示】涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．探究2 在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．探究3 在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图115所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？图115【精彩点拨】给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．【自主解答】法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．第二类，用3种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.[再练一题]3．如图116所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．。
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1.1 两个基本计数原理
1．分类计数原理
完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．
预习交流1
应用分类计数原理的原则是什么？
提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理
完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．
预习交流2
应用分步计数原理的原则是什么？
提示：
做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．
一、分类计数原理问题
从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？
思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．
解：根据运输工具可分四类：
第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；
第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；
第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；
第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；
根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.
设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．
答案：14
解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．
如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．
二、分步计数原理问题
有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？
思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．
解：分三步完成：
第1步是取红球，有6种不同的取法；
第2步是取白球，有5种不同的取法；
第3步是取黄球，有4种不同的取法；
根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.
现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．
答案：756
解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．
如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．
1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．
答案：12
解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．
2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．
答案：16
解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．
3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的
学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．
答案：255
解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；
第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；
第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；
由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．
4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？
解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；
第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法；
第3步从30～36中选1个号共有7种选法；
因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．
(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？
(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？
解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．
(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．。