算法设计实验指导书

算法设计与分析实验指导书
东北林业大学信息与计算机工程学院
软件工程专业
目录
实验一递归与分治算法设计
实验二动态规划算法设计
实验三贪心算法设计
实验四近似算法设计
实验一递归与分治算法设计
一实验目的:
掌握递归与分治算法的基本原理，利用VC编程实现递归与分治算法设计，解决快速排序问题。

二实验仪器：计算机
三实验原理：
They break the problem into several subproblems that are similar to the original problem but smaller in size, solve the subproblems recursively, and then combine these solutions to create a solution to the original problem.
四实验内容
1. 编程实现快速排序算法
基本思想：选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素,通过一趟扫描，将待排序列分成两部分,一部分比基准元素小,一部分大于等于基准元素,此时基准元素在其排好序后的正确位置,然后再用同样的方法递归地排序划分的两部分。

2. 算法复杂度分析
五实验记录
The following procedure implements quicksort.
QUICKSORT(A,p,r)
{
If( p<r)
{q=Partition(A,p,r);
QUICKSORT(A,p,q-1);
QUICKSORT(A,q+1,r);
}
}
六数据处理与讨论分析
PARTITION(A,p,r)
{ x=A[p];
i=p;
j=r;
while(i<j) { //从表的两端交替地向中间扫描
while(i<j && a[j]>=x) - - j;
a[i]=a[j];
while(i<j && a[i]<=x) + + i;
a[j]=a[i];
}
a[i]=x;
return i;
}
•Performance of quicksort
• The running time of quicksort depends on whether the partitioning is balanced or unbalanced, and this in turn depends on which elements are used for partitioning.
• If the partitioning is balanced, the algorithm runs asymptotically as fast as merge sort. O(nlogn)
•If the partitioning is unbalanced, however, it can run asymptotically as slowly as insertion sort. O(n2)
实验二 动态规划算法设计
一 实验目的:
掌握动态规划算法的基本原理，利用VC 编程实现动态规划算法设计，解决0-1背包问题。

二 实验仪器：计算机
三 实验原理：
分析优化解的结构；递归地定义最优解的代价；自底向上地计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息；根据构造最优解的信息构造优化解。

四 实验内容
1. 证明0-1背包问题具有最优子结构性质和子问题重叠性质，因此可用动态规划算法求解。

2. 递归地定义最优解的代价
3 算法设计
4 算法复杂度分析
五 实验记录
设所给0-1背包问题的子问题
的最优值为m(i, j),即m(i, j)是背包容量为j ，可选择物品为i,i+1,…n 时0-1 背包问题的最优值。

由0-1 背包问题的最优子结构性质，我们可以建立计算m(i, j)的递归式如下：
六 数据处理与讨论分析
按算法Knapsack 计算后，m[1][c]给出所要求的0-1背包问题的最优解。

相应的最优解可由算法Taceback 计算如下。

如果m[1][c]=m[2][c],则x1=0, 否则x1=1 。

当x1=0时，由m[2][c]继续构造最优解。

当x1=1时，由m[2][c-w1]继续构造最优解。

依此类推，可构造出相应的最优解 。

从计算m(i,j)的递归式容易看出，上述算法Knapsack 需要O(nc)计算时间，而Traceback 需要O(n)计算时间。

⎩⎨⎧<≤+≥+++=i i i w j j i m w j v 0)
,1(})w -j 1,m(i j),1,max{m(i j) m(i,i ⎩⎨⎧<≤≥=n
n w j 00v j) m(n,n w j
return A i j }{a A then A f if s to n do for i j a A s length n s, f f f f i j i n 8765241
3}{2][1)SELECT OR(-ACT IVIT Y -GREEDY )
...(121←⋃←≥←←←←≤≤≤
实验三 贪心算法设计
一 实验目的: 掌握贪心算法的基本原理，利用VC 编程实现贪心算法设计，解决活动任务安排问题。

二 实验仪器：计算机
三 实验原理：
Algorithms for optimization problems typically go through a sequence of steps with a set of choices at each step. A greedy algorithm always makes the choice that looks best at the moment . That is, it makes a locally optimal choice in the hope that this choice will lead to a globally optimal solution.
四 实验内容
1. 证明活动任务安排问题具有最优子结构性质和贪心选择性质，因此可用贪心算法求解。

2 算法设计
3 算法复杂度分析
五 实验记录
activity-selection problem :
Input: S = {a 1, a 2, ..., an }, F={[si,fi ]}, 1≤ i ≤n
Output: a maximum-size compatible subset of S.
六 数据处理与讨论分析(略)
Complexity analysis
1)If finish time has been sort
T(n)=θ(n)
2)If finish time has not been sort
T(n)=θ(n)+θ(nlogn)=θ(nlogn)
实验四 近似算法设计
一 实验目的:
掌握近似算法的基本原理，利用VC 编程实现近似算法设计，解决顶点覆盖问题。

二 实验仪器：计算机
三 实验原理：
采用近似算法求解顶点覆盖问题。

输入：无向图G=（V ，E ）
输出：V V '⊆，满足
(1).()∀∈u v E ,，u V ∈'、v V ∈'或{u,v }⊆V’
(2).V '是满足条件(1)的最小集合。

*理论上已经证明优化结点覆盖问题是NP-完全问题。

四 实验内容
1. 编程设计解决顶点覆盖问题的近似算法
2. 近似算法的性能分析
五 实验记录(略)
APPROX-Vertex-Cover (G)
1.θ←C
2.[]E E G '←
3.while E '≠θ DO
4. 任取()u v E ,'∈
5. {}C C u v ← ,
6. E’←E ’-{(u’,v’)|u’=u 或v’=v }
7. Roturn C
Approx-Vertex-Cover 具有Ratio Bound 2
六 数据处理与讨论分析(略)
Approx-Vertex-Cover 具有Ratio Bound 2
分析: 令A={(,)(,)u v u v 是算法第4步选中的边}。

若(u,v)∈A ，则所以与（u,v ）邻接的边皆从'E 中删除。

于是, A 中无相邻接边.
于是，第五步的每次运行增加两个结点到C ，|C |=2|A |
设C*是优化解，C*必须覆盖A。

由于A中无邻接边，C*至少包含A中每条边的一个结点。

于是，|A|≤|C*|，|C|=2|A|≤2|C*|，即|C|/|C*|≤2.。