第二讲信息论基础与古典加密技术-Basic

素数的积
目前已知的最大素数是多大？
2 74207281 －1，有22338618位数 （属于梅森素数，2016） 会随着时代不断更新
哥德巴赫猜想是什么？
凡大于4的偶数都是二个奇素数之和 （1+1=2） 华罗庚的贡献：每一个充分大的偶数都是一个素数及一
个不超过二个素数的乘积之和
素数，则b称为a的素因数
素数上的一些引理
引理5：如果a是大于1的整数，则a的大于1的最小
因数一定是素数。换句话说，任何大于1的整数都 至少有一个素因数
引理6：如果a是一个大于1的整数，所有≤
a 的素 数都除不尽a，则a是素数（提供了一种素数判定方 法，是最简单的“筛法”）
例：100以内，不能被2，3，5，7整除的均为素数
子、（扩展）Euclid算法、唯一分解。。。
因数：a,b为整数，b≠0，如果有整数c，使得
a=bc，则a为b的倍数，b为a的因数。或称b 整除a，记为b|a。
整数上的一些引理
引理1：a|b,则(-a)|b, a|(-b), (-a)|(-b), |a| | |b| 引理2：a|b, b|c, 则a|c 引理3：如果|a|<|b|, |b| | |a|,则a=0 引理4：b≠0，则有且 仅有二个整数q,r，可使
第七讲 初等数论入门
引言
。。。数论是研究数的性质的一门科学，而初等数 论是与算数有极密切联系的，也可以说是算数的继 续。。。数论中的不少世界著名难题，例如哥德巴 赫猜想，费马大定理等，具有初中毕业程度的同志 们，经过自学都能明白其意思，但是对它们的困难 程度却了解很少，甚至没有了解。。。关于哥德巴 赫猜想、费马大定理等世界著名难题是不可能只用 初等数论方法得到证明的，所以希望青年同志们不 要走入歧途，不要浪费时间和精力 ----陈景润 《初等数论》1978
ax+by=1
整数的唯一因子分解

每一个大于1的整数a都可以分解为素数的连乘积
a=p1p2p3…pn n≥1 其中pi均为素数，且可能相同 例：91=7×13； 11011=71×11×11×13 可以表示为
由于a，b为有限的正整数，而每除一步余数都是严
格减小，所以经过有限步除法，必能做到余数为0 id算法（辗转相除法）
rn = (a, b ) 定理 1 l −1 q a − p b = − rl , l = ( 1) 1,..., n 定理 2 l l 由定理 1和定理 2推出 ∃x , y ∈ Z (a, b) = ax + by
整数上的最大公因数和最小公倍数
最大公因数 定义正整数n≥2，a1，a2，…,an和d都是正整数，如果d|ai， 且对任意b|ai都有b|d，那么d是a1，a2，…,an的最大公因 数。 若n=2，记为gcd(a1，a2)=d 两个整数的最大公因数计算方法：Euclid算法 如果d=1，称a1，a2，…,an互素 gcd(a,b)=1,gcd(a,c)=1,则gcd(a,bc)=1 最小公倍数 定义正整数n≥2，a1，a2，…,an和m都是正整数，如果 ai|m；且对任意ai|n都有m|n，那么m是a1，a2，…,an的最 小公倍数 若n=2，记为lcm(a1，a2)= [a1，a2]= m
得 a=qb+r，0≤r＜|b|
整数的分类
分类：1，素数和复合数
1这个数 素数：一个大于1的正整数，若只能被1和它本身
整除，不能被其他正整数整除，这样的正整数叫 素数（或称质数）
复数：一个正整数除了能被1和它本身整除外，
还能被其他正整数整除，这样的正整数叫复合数
素因数：一个正整数a有一个因数b，而b又是
特殊地, 当(a, b) =1
算法 定义序列{si} {ti},满足{s-1=1, s0=1}, {t-1=0, t0=1} ti=ti-2-qiti-1; si=si-2-qisi-1 ri=sia+tib for i=-1,0,…,n+1 算法终止于rn+1=0, 返回sn和tn
引理7：素数个数无限 素数分布： 以Л(x)代表不大于x的素数个数 π ( x) π ( x) lim =0 = 1 即x越大，素数分布越稀疏。 lim x →∞ x →∞ x x
log x
素数上的一些有趣的问题
双生素数个数是否无限多对？(形如p2=p1+2)
3，5；5，7；11，13；。。。 目前的结论：存在无限多个素数p，使得p+2为不超过2个
一次同余式及其求解
一次同余式定义：
a,b都是整数，m为正整数，当a≡0(mod m)时， ax+b ≡0(mod m)叫做模m的一次同余式
若c使得上述等式成立，则x ≡c(mod m)是一次
同余式的一个解
当(a,m)=1时，ax+b ≡0(mod m)一定有整数解
整数上的Euclid算法（辗转相除法）
内容

整数和素数 剩余系 Fermat小定理和Euler定理 素性检测 中国剩余定理 次数和原根 离散对数问题
整数
定义：…,-n,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,n,… 整数的加法运算形成群{Z,0,+} 整数对加法和乘法运算形成整环{Z,+,×,0,1} 回顾：第六章整环中的因子、素因子、公因
(回顾）a,b都是正整数，a>b, a=q1b+ r1 , 0<r1 <b，则有
gcd(a,b)=gcd(b, r1)
a = q1b + r1 , 0 < r1 < b , b = q 2r1 + r2 , 0 < r2 < r1 , r1 = q 3r2 + r3 , 0 < r3 < r2 , ................................... r 0 < rn < rn −1 , n − 2 = q n rn −1 + rn , rn −1 = q n +1rn + rn +1 , rn +1 = 0,