人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图[陈智安]【市一等奖】优质课

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数学必修Ⅱ人教新课标A版1-2-3空间几何体的直观图课件(39张)

(2)画相应的 x′轴和 y′轴，使∠x′O′y′＝ 45°，在 x′轴上取 O′B′＝AB，在 y′轴上取 O′D′＝12AD，过 D′作 x′轴的平行线 l，在 l 上沿 x′轴正方向取点 C′使得 D′C′＝DC.如图(2)．
(3)连接 B′C′，所得四边形 O′B′C′D′就是直角梯形 ABCD 的直观图．如图(3)．
思考：三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，如何绘制空间图形的直观图呢？
作图较复杂，又不易度量．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．
【解答】立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法．
y
F
ME
A
O
D
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤.
【提升总结】
斜二测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′ 轴，两轴交于点O′，且使∠x′o′y′=45°（或 135°），它们确定的平面表示水平面．
∠xOz=90°.
（2）画底面.以点O为中心，在x轴
z
上取线段MN，使MN4=____cm；在y轴
y
上取线段PQ，使PQ=1._5____cm，分别MD O
过点M和N作y轴的平行线，过点 A
P和Q作x轴的平行线，设它们的交点
P
QC
N
B
x
分别为A，B，C，D，四边形ABCD
就是长方体的底面ABCD.

新人教A版必修2高中数学第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图

【警示】解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变
化，直观图面积
S′与原图形面积
S
满足
S′＝
2 4 S.
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．
对斜二测画法理解不透致误
【示例】如图 ① 所示， △ ABC 水平放置的直观图为 △A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，请用作图法画出原△ABC，并量出△ABC的各内角，∠BAC是否等于∠B′A′C′ 的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？
2．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知
A′B′∥y′轴，O′B′＝4，且△ABO的面积为16，过A′作
A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为( )
A． 2
B．2 2
C．2
D．4
【答案】B
【解析】∵A′B′∥y′轴，∴在△ABO 中，AB⊥OB．又
三角形的面积为 16，∴12AB·OB＝16，∴AB＝8.∴∠A′B′C′ ＝∠x′O′y′＝45°，A′B′＝4.又 A′C′⊥O′B′，∴ A′C′＝4sin 45°＝2 2.
①
②
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在 y′
轴上取
O′A′ ＝
1 2
OA ，
连
接
A′B′ ， A′C′ ，则三角形
A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图，如图②所示．

高一数学人教版A版必修二课件：1.2.3 空间几何体的直观图

第一章 § 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3　空间几何体的直观图学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.问题导学题型探究达标检测问题导学新知探究点点落实知识点　斜二测画法思考1　边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？答案　A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，思考2　正方体ABCD－AB1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个1面都画成正方形了吗？答案　没有都画成正方形.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则保持原长度不变一半45°135°y ′轴的线段x ′轴或水平面2.立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′不变垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度，其他同平面图形的画法.题型探究重点难点个个击破类型一　水平放置的平面图形的画法例1　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.跟踪训练1　将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.类型二　简单几何体的直观图例2　已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm).跟踪训练2　已知几何体的三视图如下图所示，用斜二测法画出它的直观图.类型三　直观图的还原和计算问题例3　如图所示，梯形AB1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若1A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1试画出原四边形的形状，并求原图形的面积.跟踪训练3　已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )123达标检测 451.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )解析　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.C2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )CA.16B.64C.16或64D.无法确定解析　等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )DA.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC是______三角形.解析　∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形.直角5.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.规律与方法1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.。

人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图[陈智安]【市一等奖】优质课

教学目标1、知识与技能:掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2、过程与方法:学生观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图3、情感态度与价值观:感受空间几何体,增强学生学习的积极性,同时体会对比在学习中的作用,提高学生的观察能力2学情分析1.学生已经整体认识了空间几何体的类型,对于基本的“柱锥台球”的形状有了初步的认识2.学生通过自学可以掌握规则图形直观图画法的基本步骤,但是对于不规则图形的画法需要加以引导3.原图与直观图的关系需要引导学生去思考,如形状关系、长度关系以及面积关系3重点难点重点:利用“斜二测”画法画平面图形的直观图并且在平面图形的基础上画出空间几何体的直观图难点:由平面图形的直观图还原平面图形的原图4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【活动】学生展示自学成果1.请一位学生展示正三角的直观图的画法,并阐述作图步骤(借助投影设备)2.请两个学生展示正五边形直观图的不同画法,引导学生思考不同画法的区别(建立平面直角坐标系的不同方法)3.学生自己用两种不同的建系方法尝试画一个平面图形的直观图,并比较两种方法的优劣,从而理解选择坐标系的原则,即简洁方便。

活动2【讲授】教师讲授重点知识1.教师点评学生的自学情况2.根据学生自学情况,引出本节课的教学内容和重点3.例题讲题,让学生明白画图的关键以及操作的注意事项。

例1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

强调斜二测画法的步骤。

根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查。

人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图

①取轴并建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ② 平行于轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴 ③与轴平的线段横向长度不变，纵向长度减半
y
.....
y’
. . . . o.
x . . . . o’.
x’
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
6.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
3. 如何根据平面图形直观图还原原图？人教A高中数学必修二1.2.3空间几何体的直观图
还原原图的关键： 1.坐标轴的对应 2.平行线段的对应 3.点的位置对应
B．②③ D．③④
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
例2．画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A
O Bx
D FH
y
C
E
G
A
O
B
x
D F H
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
3. 怎样画立体图形的直观图？人教A高中数学必修二1.2.3空间几何体的直观图
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
人教A高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图
1．用舟轻快、风吹衣的飘逸来表现自己归居田园的轻松愉快，形象而富有情趣，表现了作者乘舟返家途中轻松愉快的心情。 2．“问征夫以前路，恨晨光之熹微”中的“问” 和“恨” 表达了作者对前途的迷茫之情。
例1:画水平放置的正六边形的直观图.

人教A版高中数学高一必修2课件1.2.3空间几何体的直观图

A'B'C'D'E'F'. -13-
1.2.3 空间几何体的直观图
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探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
课前预习案课堂探究案
(3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴上取点P',使P'O'=PO. (4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图2(2)所示.
课前预习案课堂探究案
变式训练3 如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2
cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为
(填形状),面积为
cm2.
解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形.因为
OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).
答案:矩形 8
.
答案:6
-6-
1.2.3 空间几何体的直观图
首页
课前预习案课堂探究案
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)相等的角,在直观图中仍相等. ( ) (2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等. ( ) (3)若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行. ( ) (4)若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直. ( )
标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B'到x'轴

高一数学人教A版必修2课件1.2.3空间几何体的直观图

答案:D
4.以下说法正确的是( ) A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关 B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关 C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关 D.正方体的三视图一定是全等的正方形
答案:C
5.如下图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中 B′C′边的中点,那么A′B′､A′D′､A′C′三条线段对应原图形中线段 AB､AD､AC中( )
22
2
答案:C
基础强化
1.关于斜二测直观图的画法,以下说法不正确的是( ) A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴,长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的 C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′必须是45° D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AD,最短的是AC
解析:还原为原图形知,在△ABC中AD⊥BC. 且∠C=∠B,∴AB最长,AD最短.
答案:C
6.如图,△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图,则△OAB的面积为________. 12
②在图(2)中以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取 M′N′=MN,以N′点为中点画B′C′平行于x′轴,并且等于BC;再以M′点为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF;
③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
.故选A.
答案:A
解:画法:(1)画轴.画Ox轴､Oy轴､Oz轴,∠xOy=45°(或 135°),∠xOz=90°,如图(1).

数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14

数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
例1：画水平放置形的的正直六观边图
y
y/
F HE
AO
F/ H/ E/
Dx A /
O/
D/
x/
B/ G / C /
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
练习3：已知几何体的三视图如下，请画出它的直观图；单位：cm
z8
4
z
y 4
y
x
4
x
x
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
Байду номын сангаас
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
练习4：如图是一个奖杯的三视图.根据奖杯的三视图画出它的直观图。
12
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
空间几何体直观图的步骤画轴——画底面——画侧棱——成图
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
数学人教A版必修二1.2.3空间几何体的直观图课件 14
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
• 由三视图可知：
该几何体是怎么的一个组合体？
·O
·O
• 如何画出一个圆柱的直观图？
三视图从细节上刻画了空间几何体的结构。根据三视图，我们就可以得到一个精确的空间几何体。直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实物的形象。

人教A版高中双数学必修二课件1.2.3空间几何体的直观图2高二上(1)

z
y′
正视图
侧视图
A′ o′
B′ y B x′
俯视图
A
o
x
练习6：如图ΔA/B/C/是水平放置的 ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是( AC )
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是
练习4:已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形。数学必修2来自空间几何体的直观图（二）
一、几何体的直观图:
直观图:表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
例2．用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图
联想水平放置的平面图形的画法，并注意到高的处理
1 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 , xOz 90 .
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行线,过点P和Q 作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
x
P
B
斜二测画法
由几何体的三视图可以得到几何体的直观图
A．8cmB．6cm C．2(1＋)cmD．2(1＋)cm
练习7：右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA’B’C’，其中A’B’∥y’轴，B’C’∥x’轴，若ΔA’B’C’ 的面积是3，则ΔABC的面积是( 6) 2

人教A版高中数学必修二1.2.3《空间几何体的直观图》word教案

§1.2.3 空间几何体的直观图一、教材分析“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法.值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中的作用.（3）感受几何作图在生产活动中的应用.三、重点难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学难点：直观图和三视图的互化.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图.思路2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.（二）推进新课、新知探究、提出问题①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤.活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.②根据上述画法来归纳.③让学生比较两种画法的步骤.讨论结果：①画法：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y 轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD ，在y′轴上取M′N′=21MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC ；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. 3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.图1②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.2°已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3°已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.③画法：1°画轴.如图2，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.图22°画底面.以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN=4 cm;在y 轴上取线段PQ ，使PQ=23cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD.3°画侧棱.过A 、B 、C 、D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°.2°画出与Ox 、Oy 、Oz 对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.3°已知图形中，平行于x 轴、y 轴和z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.4°已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.斜二测画法的作图技巧:1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.2°在原图中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.（三）应用示例思路1例1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.解：（1）如图3(1)，在⊙O 上取互相垂直的直径AB 、CD ，分别以它们所在的直线为x 轴与y 轴，将线段AB n 等分.过各分点分别作y 轴的平行线，交⊙O 于E ，F ，G ，H ，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°.图3(2)如图3(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB ，在y′轴上取C′D′=21CD ，将A′B′ n 等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=EF 21,G′H′=GH 21，…. （3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)〕.点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.变式训练1.画水平放置的等边三角形的直观图.答案：略.2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）A.原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B.原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的21 C.在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同分析：在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C 不正确.答案：C例2 如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.图4活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.解：画法：（1）画轴.如图5（1），画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(1) (2)图5（2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z 轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox 的平行线O′x′,Oy 的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O 一样）.（3）画圆锥的顶点.在Oz 上截取点P ，使PO′等于三视图中相应的高度.（4）成图.连接PA′，PB′，A′A ，B′B ，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕.点评：空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.变式训练图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？图6答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体.其直观图略.思路2例1 如图7所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4 cm ，CD=2 cm ，∠DAB=30°，AD=3 cm ，试画出它的直观图.图7活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过Ｄ作出该点在x 轴的垂足，则对应地可以作出线段ＤＥ的直观图，进而作出整个梯形的直观图.解：步骤是：（1）如图8所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°.（2）如图8所示，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′=AB=4 cm ，A′E′=AE=323cm ≈2.598 cm ；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′=ED 21，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′=CD=2 cm.图8 图9 图10（3）连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图10所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确定D′的位置.变式训练1.如图11所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF 旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.图11答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图12所示，三视图如图13所示.图12 图132.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）A.16B.64C.16或64D.都不对分析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.答案：C（四）知能训练1.利用斜二测画法画直观图时：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是___________.分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错.答案：①②2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（） A.62 B.64 C.3 D.都不对分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的22倍，而正三角形的高是3，所以原三角形的高为62，于是其面积为21×2×62=62. 答案：A3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（） A.2221+ B.221+ C.21+ D.22+ 分析：平面图形是上底长为1，下底长为21+，高为2的直角梯形.计算得面积为22+.答案：D4.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点是M′,则点M′的找法是___________.分析：在x′轴的正方向上取点M 1，使O′M 1=4，在y′轴上取点M 2，使O′M 2=2，过M 1和M 2分别作平行于y′轴和x′轴的直线的交点就是M′.答案：在x′O′y′中，过点（4，0）和y′轴平行的直线与过（0，2）和x′轴平行的直线的交点即是.5.根据图14所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.图14分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔.从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔.解：由此可以推测该物体大致形状如图15所示.图15（五）拓展提升问题：如图16所示,已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.图16探究：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥拼接而成.图17解：步骤是：（1）作出长方体的直观图ABCD—A1B1C1D1，如图17(1)所示.（2）再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图17(2)所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥的直观图，如图17（2）.（3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图17(3).（六）课堂小结本节课学习了：1.直观图的概念.2.直观图的画法.3.直观图和三视图的关系.4.规律总结：（1）三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图.(2)画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则.若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线是它们原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出.(3)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法.(4)如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不同.（七）作业习题1.2 A组第5、6题.。