3.1《不等式与不等关系》课件

< 6 1) 2 ; ⑵ ( 3 2) 2 ____(
1 1 ⑶ ______ ; < 52 6 5
> log 1 b. ⑷若0 a b ， log 1 a ____
2 2
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”
连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有
这些不等号的式子叫做不等式.
bm b bm b 0∴ ∴ am a am a
性质１:对称性
a<b
性质２:传递性
b>a
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
* n n
c c 例4、已知 a＞b＞0，c＜0，求证：a ＞ b 1 证明：因为 a＞b＞0，所以ab＞0， ＞0 ． ab 1 1 于是 a×ab＞b× ab 即 1 1 b ＞ a
c c 由c＜0，得 a ＞ b
变式 4、下列不等式： ①x2＋3>2x (x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2 (a，b∈R)；
性质５:可加性 (同向不等式可相加)
a b，c d a c b d
性质６: (正数同向不等式可相乘)
a b 0，c d 0 ac bd
性质７:乘方法则
a b （ 0 n N ） a b 0
* n n
性质８:开方法则
a b （ 0 n N , n ≥ 2） a b 0
围，强调同向不等式可以相加的性质。
用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应 使汽车的速度v不超过40km/h .
0<v≤40
40
(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道, 它的飞行速度( 宙速度(记
v1 ). v1 v v2
b m b (b m)a (a m)b 证明: ∵ am a (a m)a ab ma ab bm (a m)a m(a b) (a m)a
若b>a,结论又 会怎样呢?
∵a、 b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
解 (1)∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
(2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 1 当且仅当 x＝y＝ 且 z＝1 时取等号． 2
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
x A O B
判断两个实数大小的依据是：
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
作差,与零比较大小.
变式 2：(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小； (2)设 x， y， z∈R， 比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
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第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
本节主要讲解不等关系及不等式的基本性质。通过三个不等 关系的实例引入新课，三个问题体现了的不等关系在各个领域 的应用。 问题探究一是比较大小的方法，强调作差法的重要性，例 2 、 变式2、3对作差法加以巩固。问题探究二不等式的性质，利用3 个例题和3个变式加以巩固。问题探究三利用不等式的性质求范
0<h≤4
3.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是
绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
5m
5m
5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
5m
变式 1：在下列各题的横线中填入适当的不等号. ⑴ ( 3 2) 2 _____ < 6 2 6;
例 5、下列命题正确的是( B．a<b⇒ a< b
A
)
A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 C．a>b 且 c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒ac>bc
解析：∵c≠0， ∴c2>0， 又∵a>b， ∴由不等式的性质可得ac2>bc2， 故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； 1 1 ③若a<b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
变式 3：设 m＝x2＋y2＋2y，n＝2x－5，则 m，n 的大小关系是( A ) A．m＞n B．m＜n C．m＝n
解析
D．与 x，y 取值有关
∵m－n＝x2＋y2＋2y－2x＋5
＝(x2－2x＋1)＋(y2＋2y＋1)＋3
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3＞0，
∴m＞n.
bm b b 、m 都是正数,且 a b ,求证: 例 3、已知 a 、 am a
α＋β α－β π π 变式 6、已知－2≤α<β≤2，求 2 ， 2 的范围．
π π π α π π β π 解析:∵－2≤α<β≤2，∴－4≤2<4，－4<2≤4. π α＋β π 两式相加，得－2< 2 <2.
π β π π β π ∵－4<2≤4， ∴－4≤－2<4， π α－β π ∴－2≤ 2 <2. π α－β ∴－2≤ 2 <0. α－β 又∵α<β，∴ 2 <0.
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根
据题意，应当有什么样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，
1. 如何将实际问题中的不等关系表示成不等式（组）.
2.利用性质证明不等式比较两代数（式）的大小.
3.利用不等式的性质求取值范围。
课后练习
课后习题
v
)不小于第一宇宙速度(记作 2 ),且小于第二宇
v
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%.
f 2 .5 % p 2. 3 %
问题1. 设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则
d≤|AB|.
A
d B B
可以用下面的不等式组来表示：
500x 600y 4000 3x y x 0 y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
例1:用不等式表示下面的不等关系： 1.a与b的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
x 2.5 8 0 .2 0 .1
x 2.5 (8 0.2)x万 元 0.1
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万 本 0.1
因此，销售总收入为：
x 2.5 (8 0.2)x万 元 0.1

o
B
问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收 入仍不低于20万元呢？ 思考:(1)销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x 2.5 0.2万 本 0.1
①③ ． ③a2＋b2≥2(a－b－1)中正确的命题序号有________
解析 ①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x.
②a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
∵(a－b)2(a＋b)与 0 的大小关系不确定． ∴a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大小关系不确定． ③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1) ＝(a－1)2＋(b－1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－等式的性质求取值范围
a 例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，b的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围， 应先求－b 的取值范围， 欲求 1 a b的取值范围，应先求b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. 1 1 1 ∵2<b<3，∴3<b<2， a ∵－6<a<8，∴－2<b<4.