新课标理科综合训练题

2016届南海艺术高中数学综合训练题（1）数学（理科）第I 卷一、选择题：（1）在复平面内，复数11z i=-所对应的点在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{|2}A x x =≥，2{|2}B x x m =≤，且A B ⊆R ð，那么m 的值可以是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（3）已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若()x ⊥b a c +，则实数x =（A ）311-（B ）113-（C ）12（D ）35（4）下列结论中正确的是（A ）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0（B ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)的概率为0.4，则ξ位于区域(1,)+∞内的概率为0.6 （C ）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样（D ）利用随机变量2χ来判断“两个独立事件X ，Y 的关系”时，算出的2χ值越大，判断“X 与Y 有关”的把握就越大（5）给出右面的程序框图 ，若输入的x 值为5-，则输出的y 值是（A ）2- （B ）1- （C ）0（D ）1（6）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形，则该几何体的侧面积为（A ）10123π+（B ）1063π+（C ）122π+ （D ）64π+（7）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30 ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于正视图 侧视图俯视图是 否1()22x >输入x 开始 2x x =+ 结束输出y22log y x =（A ）30(31)+m （B ）120(31)-m（C ）180(21)-m （D ）240(31)-m（8）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为（A ）5（B ）8（C ）10（D ）12（9）在平面直角坐标系中，点(3,)M m 在角α的终边上，点(2,4)N m 在角4πα+的终边上，则m = （A ）6-或1（B ）1-或6（C ）6（D ）1（10）如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，已知12,(,)3x x ππ∈，且12()()f x f x =，则12()f x x +=（A ）1- （B ）32-（C ）12 （D ）32（11）经过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于,M N 两点，若O 是坐标原点，△OMN 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是 （A ）2（B ）5（C ）52（D ）62（12）关于函数2()(ln )f x x x a a =-+，给出以下4个结论：①0,0,()0a x f x ∃>∀>≥； ②0,0,()0a x f x ∃>∃>≤； ③0,0,()0a x f x ∀>∀>≥； ④0,0,()0a x f x ∀>∃>≤．其中正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）330 ° AB C75° 60m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ．（14）已知()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，若2()()log (12)x f x g x +=+，则(1)f = ． （15）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点是F ，点(0,2)M ，线段MF 与C 的交点是N ，过N 作C准线的垂线，垂足是Q ，若90MQF ∠= ，则p = ．（16）四面体ABCD 的体积是16，△ABC 是斜边2AB =的等腰直角三角形，若点A ，B ，C ，D 都在半径为2的同一球面上，则D 与AB 中点的距离是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+．（I ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（II ）求{}n a 的通项公式．（18）（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为2，D 为11AC 中点．（I ）求证：1BC ∥平面1AB D ； （II ）求二面角11A AB D --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示： （I ）估计这100名学生数学成绩的中位数；（II ）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望EX ．分组区间[100,110）[110,120）[120,130）[130,140）:x y1:22:13:41:10.0050.030 0.040频率/组距成绩(分数)100 120 110 130 140 0.020150A B CDA 1B 1C 1（20）（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点210(2,)3H 在椭圆上． （I ）求椭圆的方程； （II ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，求证：△2PF Q 的周长是定值．（21）（本小题满分12分）已知1x =是函数()1(1)ln()f x x kx =+-的极值点，e 自然对数底数．（I ）求k 值，并讨论()f x 的单调性；（II ）是否存在(1,)m ∈+∞，使得当a m >时，不等式()ln()ln x a x a x ae a ++<对任意正实数x 都成立？请说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A ，B ，C ，D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，D 为切点，AC ∥DE ，AC 与BD 相交于H 点．（I ）求证：BD 平分∠ABC ；（II ）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为242cos()604πρρθ--+=．（I ）求C 的参数方程；（II ）若点(,)P x y 在曲线C 上，求x y +的最大值和最小值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|1|||1(0)ax ax a a -+-≥>． （I ）当1a =时，求此不等式的解集；（II ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．2016届南海艺术高中数学综合训练题（1）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B（8）C（9）D（10）D（11）C（12）D（12）题①②④是正确的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）20-（14）12（15）2 （16）2三、解答题：（17）解：（I ）由2122n n n a a a ++=-+得1211122222n n n n n n n n n b b a a a a a a a +++++-=-+=-+-+=，∴{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列；…………（6分）（II ）由（I ）得21n b n =-，于是121n n a a n +-=-， 当2n ≥时，213211[()()()]n n n a a a a a a a a -=-+-++-+[(13(23)]1n =+++-+ 2(1)1n =-+而11a =，∴{}n a 的通项公式2(1)1n a n =-+． …………（12分）【注意】“累加”法，不要忘记验证1n =情形．（18）（本小题满分12分）（I ）证明：如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ，∴1BC ∥平面1AB D ； …（6分）（II ）方法1：过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1，连结EF ，DE ，∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1， 则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角， ………（8分）在正三角形A 1B 1C 1中，∵D 是A 1C 1的中点，∴11132B D A B =＝3， 又在直角三角形AA 1D 中，∵AD ＝AA 21＋A 1D 2＝3，∴AD ＝B 1D ，可求得32DF =， ∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得32EF =，∴cos ∠DEF ＝22，即二面角A 1－AB 1－D 的余弦值为22．（12分）方法2：建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,1,0)A -，1(0,1,2)B ，1(3,0,2)C -，1(0,1,2)A -，1(3,,2)2D --，∴1AB ＝（0，1，2），1BD ＝（－3a ，－32,0），设n 1＝（x ，y ，z ）是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0，即220,330.22y z x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩． ∴n 1＝（－3，1，－2）．1(3,,2)2D -- ，又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC ＝（－3,0,0），设n 1与n 2的夹角是θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22，又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角，∴二面角A 1－AB 1－D 的余弦值为22． …（12分） （19）解：（I ）∵140.0520.40.30.70.523⨯+⨯+⨯=>，0.70.50.2-=， ∴这100名学生数学成绩的中位数是0.21301012540.33-⨯=⨯； …………（6分）（II ）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===， X 分布列X 012P38874087329∴3840320128787293EX =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（20）（本小题满分12分）解：（I ）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，1c =，∵210(2,)3H 在椭圆上，∴2222122102102(21)()(21)()633a HF HF =+=+++-+=， 3a =，22b =，椭圆的方程是22198x y +=；…（6分）（II ）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，()()22222112111118(1)(3)93x xPF x y x =-+=-+-=-，∵103x <<，∴1233x PF =-，在圆中，M 是切点，∴222222111111||||88(1)893x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=，∴211113333PF PM x x +=-+=，同理23QF QM +=，∴22336F P F Q PQ ++=+=，因此△2PF Q 的周长是定值6． …（12分）方法2：设PQ 的方程为(0,y k x m k m =+<>，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922x x mkx y ，得072918)98(222=-+++m kmx x k 设),(),,(2211y x Q y x P ，则2219818k km x x +-=+，222198729km x x +-=， ∴||1||212x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k--+=22222189721()48989km m kk k --=+-⨯++ 22222498(98)1(89)k m kk ⨯⨯⨯-+=++，∵PQ 与圆822=+y x 相切，∴2221m k=+，即2122k m +=，∴26||89kmPQ k=-+， ∵()()22222112111118(1)(3)93x xPF x y x =-+=-+-=-，∵103x <<，∴1233x PF =-，同理2221(9)333x QF x =-=-， ∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQ k k k+++=--=+-=+++， 因此△2PF Q 的周长是定值6． ……（12分）（21）解：（I ）1()ln()xf x kx x-'=-+，由题意(1)0f '=，得1k =， ……（2分） 此时()1(1)ln f x x x =+-，定义域是(0,)+∞， 令1()()ln x g x f x x x -'==-+，21()x g x x+'=- ∵()0g x '<，∴()g x 在(0,)+∞是减函数，且(1)0g =，因此当(0,1)x ∈时，()()0f x g x '=>，当(1,)x ∈+∞时，()()0f x g x '=<， ∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数；…………（6分）（II ）不等式()ln()ln x a x a x ae a ++<可以化为()ln()ln a x a a x a x a ae e+++<，设ln ()xx xh x e =，则()()h a x h a +<， 即判断是否存在(1,)m ∈+∞，使()h x 在(,)m +∞是减函数，…………（8分）∵)1(1)ln (()x x x x x f h x e e +-=='，∵22212()0e f e e-=<，(1)10f =>，()20f e e =-<，∴()h x '在(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，分别设为1x 和2x ，列表：x1(0,)x1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()h x ' - 0+- ()h x极小极大∴()h x 在12(,)x x 是增函数，在2(,)x +∞是减函数，∵2x (1,)∈+∞，∴存在这样的m 值，且2m x =． ……（12分）（22）证明：（I ）ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// ，又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴，CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠∴，即BD 平分∠ABC ； （5分）（II ）由（I ）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴又ADH ∠ 为公共角，∴DBA ∆与DAH ∆相似，BDADAB AH =∴，∵AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，∴AH =3． …（10分） （23）解：（I ）C 的极坐标方程化为24cos 4sin 60ρρθρθ--+=，∴C 的直角坐标方程是224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=，C 的参数方程是22cos 22sin x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，ϕ是参数；……（5分）（II ）由22cos 22sin x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ是参数）得到42sin()4x y πϕ+=++∴x y +的最大值是6，最小值是2． …………（10分）（24）解：（I ）当1a =时，此不等式为112x -≥，解得1322x x ≤≥或，∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞ ； ……（5分）（II ）∵11ax ax a a -+-≥-， ∴原不等式解集为R 等价于11a -≥，∵0a >，∴2a ≥， ∴实数a 的取值范围为[2,)+∞．…………（10分）。