导数求函数单调区间问题易错点分析
高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式
考点十一： 导数与函数的单调性【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）.【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b上为减函数．且导函C.数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数()2sin 20142x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ） A. B. C. D.【答案】B（二）用导数求不含参数的单调区间例2.【2017全国2卷（文）】设函数()()21e xf x x =-.（1）讨论()f x 的单调性.【答案】()f x 在区间(),21-∞，()21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【解析】（1）()()()222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--， 令()0f x '=得2210x x +-=，解得121x =-，221x =， 所以()f x 在区间(),21-∞-，)21,+∞是减函数，在区间()221-是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“ ”.【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> 【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，在]2,2(-上单调递减.（三）用导数求含参函数的单调区间例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+.①当0≤a 时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减.②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．x()ln a -∞-， ln a -()ln a -+∞，()f x ′ -+()f x极小值综上，当0≤a 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得()()()'1e 2.x f x x a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；试题解析：（Ⅰ）()()()()()'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【解析】（Ⅰ）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数()ea xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2,e a b ==；（Ⅱ） ),(+∞-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出)(x f '，根据(2)2e 2,(2)e 1f f '=+=-求a,b 的值即可； （Ⅱ）由题意判断)(x f '的符号，即判断1()1e x g x x -=-+的单调性，知g(x)>0，即)(x f '>0，由此求得f(x)的单调区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()e e xf x x x -=+.由21()e(1e )xx f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+，则1()1ex g x -'=-+.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 ( )A. [)1,+∞ B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1 D. 1,3⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】因()()''213131,[](1)2222f x f x x x x x x =-=-+=-'，故210{ 310x x-≥-≤，解之得13x ≤≤，应选答案D.2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数()()222xx a x af x e +-+-=， 0a ≤（e 为自然对数的底数）.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a <时，则()f x 在(][),,0,a -∞+∞上为减函数；在[],0a 上为增函数；【解析】(Ⅰ) ()()xa x xf x e-'=，令()1200,f x x x a =⇒=='；①0a =时，则()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）()f x ⇒在(),-∞+∞上为减函数； ②当0a <时，则()()()(),0,0x a f x f x ∈-∞⋃+∞<⇒'⇒在(][),,0,a -∞+∞上为减函数； ()()(),00x a f x f x '∈⇒>⇒在[],0a 上为增函数；4．【2017陕西省西安市长安区第一中学4月模考（理）】已知函数()ln f x x =，()()2g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；若0a ≥，并试讨论函数()g x 的单调性；（2）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】(1) 21b a =-- ，单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a 与b 的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析：（1）()()22ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， ()12g x ax b x∴=++'， 由题意得()1120g a b '=++=， 21b a ∴=--；()()()211112221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--=++=+--=>'， ①当0a =时， ()()1(0)x g x x x'--=>，当1x >时， ()0g x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞单调减；当01x <<时， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,1单调增；④当12a >时．即112a<， ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>， ∴函数()g x 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调减区间；函数()g x 在()1,+∞和10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增；（2）由题设210x x >>，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-< 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则()111(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时， ()0h x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数，而()10h =， 1x ∴>时， ()()10h x h <=210x x >>， 211x x ∴>， 222111ln 10x x x h x x x ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，即2211ln 1x xx x <-， ②令()1ln 1(1)H x x x x =+->，则()22111(1)x H x x x x x-=-=>'， 1x ∴>时， ()0H x '>， ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数， 1x ∴>时， ()()10H x H >=， 2221111ln 10x x H x x x x ⎛⎫∴=+->⎪⎝⎭， 即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<． 5．【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数()244ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中常数0k >.（Ⅰ）讨论()f x 在()0,2上的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析;【解析】试题分析：（1）求导数，对k 分类讨论，利用导数的正负，即可得到()f x 在区间()0,2上的单调性；试题解析：（Ⅰ）由已知得， ()f x 的定义域为()0,∞+，且()()222244444(0)x k x x k x k k k k f x k x x x x ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭='=-=->， ①当02k <<时，40k k >>，且42k>， 所以()0,x k ∈时， ()0f x '<； (),2x k ∈时， ()0f x '>. 所以，函数()f x 在()0,k 上是减函数，在(),2k 上是增函数； ②当2k =时，42k k==， ()0f x '<在区间()0,2内恒成立， 所以()f x 在()0,2上是减函数； ③当2k >时， 4402,k k k<， 所以40,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<； 4,2x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>所以函数在40,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在4,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数. 6．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时， 时，单调递减；当时，单调递增；当时， 时，单调递增；当时， 单调递减；【解析】试题分析：（1）求出()'f x ， 讨论两种情况分别令()'0f x >可得增区间，()'0f x <可得得减区间；7．【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈.（Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）当12a =-时， ()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当102a -<<时， ()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当12a <-时， ()f x 的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞，当0a<时，()()()221211212ax a xf x ax ax x+--=+--='()()()1212112a x xax x ax x⎛⎫+-⎪+-⎝⎭==，（ⅲ）若112a-<，即12a<-，1,12xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x是增函数，10,2xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'<，()f x是减函数，()1,x∈+∞时，()0f x'<，()f x是减函数；综上可得，当12a=-时，()f x的减区间是()0,+∞，无增区间，当12a-<<时，()f x的增区间是11,2a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，当12a<-时，()f x的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.8．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()11lnf x m x xm x⎛⎫=++-⎪⎝⎭，其中常数0m>.（1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性. 【答案】（1）()532ln222f=-；（2）当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增；当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件将2m =代入函数解析式可得()51ln 2f x x x x =+-，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）先对函数()11ln f x m x x m x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间：（2）()()()2211110,0x m x m m m f x x m x x x⎛⎫--+⎪⎝⎭=->'--=>， 当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增； 当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 9．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，若0a ≤，若0a >，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，得()()()()211'1x a x a x x a a f x x a x x x+--+-=+--==.若0a ≤，则()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，若0a >，则由()'0f x =，得x a =.当0x a <<时， ()'0f x <；但x a >时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.10．【2017河北省唐山市三模（理）改编】已知函数()()2ln 1f x x ax =++， 0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221'1ax ax f x x ++=+， 分0∆<， 0∆=， 0∆>，三种情况讨论可得单调区间.试题解析：（Ⅰ） ()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++， 1x >-， 令()2221g x ax ax =++， ()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x >， ()f x 单调递增，若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x ≥， ()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>， 102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<， 当()11,x x ∈-时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时， ()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时， ()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 11．【2018河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数()e xf x ax =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数()x f x e a '=- 通过0a ≤和0a ＞ 两种情况分类讨论，分别判断函数的单调性．12．【2018湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数()()()21ln 102f x a x a x x a =-++->. （1）讨论()f x 的单调性；【答案】(1) 当1a =时， ()f x 在()0,+∞上单调递减；当01a <<， ()f x 的单调递增区间为(),1a ；单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；当1a >， ()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞；【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，通过1,01,1a a a =<的讨论，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；试题解析：（1）()()()()2111x a x a x a x af x a x x x x-++---+=-++-=='，()()()()11x a x af x a x x x---=++-=-'， ①当1a =时， ()()()10x a x f x x---'=≤，∴()f x 在()0,+∞上单调递减；②当01a <<，由()0f x '>解得1a x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),1a ， 单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；③当1a >，同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞.。
利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)
第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。
导数试题中的易错易误点归类剖析
ʏ贵州省遵义市第四中学 刘德文长期以来,高中数学中导数板块的内容都是同学们学习的痛点㊂虽说运用导数解决问题是一种十分优美的方式,但是不少同学在实际解题过程中会出现因为对导数的工具性认识不足,理解不够透彻,掉进命题人设置的各种各样的陷阱里面,进而造成在考试中出现失分的现象㊂针对上述情况,本文从以下八个容易出现错误的题型入手,分析常见错解情况,再剖析同学们出错的原因,最后给出正确解答,从而帮助大家一起厘清概念,精准理解,高效解题㊂易错点一㊁对导数定义理解不清例1 已知函数f (x )=14x 4-23x 3+6,则l i m Δx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=( )㊂A.-1 B .0 C .-12D .2错解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx =f '(1)=-1㊂故选A ㊂错因分析:该题致错的主要原因在于同学们未能准确理解函数在某点处的导数的含义,实际上,最原始的导数表达式为f '(x )=l i m Δx ң0Δy Δx =l i mΔx ң0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy 必须对应一致㊂正解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=l i mΔx ң012㊃f (1+Δx )-f (1)(1+Δx )-1=12f '(1)=-12㊂故选C ㊂易错点二㊁忽略函数的定义域例2 函数f (x )=x +4x-3l n x 的单调递减区间是( )㊂A.(-1,4) B .(0,1)C .(4,+ɕ) D .(0,4)错解:对f (x )求导得f '(x )=1-4x2-3x =(x +1)(x -4)x 2,令f '(x )<0,解得-1<x <4,所以函数f (x )的单调递减区间是(-1,4)㊂故选A ㊂错因分析:求函数的单调递增区间时,由f'(x )>0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递增区间;求函数的单调递减区间时,由f '(x )<0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递减区间㊂同学们要牢记函数单调区间的求法,一定要定义域优先㊂正解:前面同错解得-1<x <4㊂又因为函数f (x )的定义域是(0,+ɕ),所以函数f (x )的单调递减区间是(0,4)㊂故选D ㊂易错点三㊁误以为导数不存在,切线就不存在例3 函数y =3x 2的图像在点(0,0)处的切线方程为㊂错解1:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处没有切线㊂错解2:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线为y =0㊂错因分析:错解1主要是未能厘清导数与切线㊁切线斜率之间的关系,误以为导数不存在,切线就不存在;错解2考生混淆切线斜率为0与斜率不存在㊂实际上,大家要准确理解斜率不存在,可以理解为该切线为x =x 0,结合过原点(0,0),其实切线方程就是x 42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.=0㊂正解:由已知得y'=23x-13,易知函数在x=0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线的斜率不存在,即函数y=3x2的图像在点(0,0)处的切线方程为x=0㊂易错点四㊁对曲线切线的定义理解有误例4已知曲线C:y=f(x)=13x3+ 43,曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y= 4x-4㊂试问:该切线与曲线C是否还有其他公共点若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由㊂错解:由于直线y=4x-4与曲线C相切,因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点㊂错因分析:对于圆㊁椭圆等封闭的几何图形来说, 切线与曲线有唯一公共点 ,就是说直线与这些曲线的交点只有切点,没有其他点,但对一般曲线来说是不一定成立的,同学们可以画出三次函数的草图试一试㊂正解:联立y=4x-4,y=13x3+43,消去y整理得x3-12x+16=0,即(x-2)(x2+2x-8) =0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4,所以交点的坐标为(2,4),(-4, -20),所以该切线与曲线的公共点除了切点还有点(-4,-20)㊂易错点五㊁混淆单调区间为D与在区间D上单调例5已知函数f(x)=l n x+x2+a x 的单调递减区间为12,1,则()㊂A.aɪ(-ɕ,-3]B.a=3C.a=-3D.aɪ(-ɕ,3]错解:因为函数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+aɤ0在12,1上恒成立,即aɤ-1x+2x m i n,易知y=1x+2x在12,22上单调递减,在22,1上单调递增,故y=1x+2x的最大值在端点处取得,计算可知最大值为f(1)=3,所以aɤ-3㊂故选A㊂错因分析:未能准确理解 函数的单调区间为D 与 函数在区间D上单调 两者的区别㊂准确来说,函数在区间D上单调,函数的单调区间不一定就是D㊂错解求出的结果实为函数在区间12,1上单调递减时的答案㊂若函数f(x)=l n x+x2+a x存在单调递减区间,则存在实数x,使得f'(x)=1x+2x+a<0,即a<-1x+2xm a x=-22㊂正解:因为数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+a=0的两个根为12和1㊂代入方程,解得a=-3㊂故选C㊂易错点六㊁误以为导数为0的点一定取得极值例6已知函数f(x)=x3+3m x2+n x+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=()㊂A.4B.11C.4或11D.3或9错解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+6m x+n,则f'(-1)=0,f(-1)=0,即3-6m+n=0,-1+3m-n+m2=0,解得m=1,n=3,或m=2,n=9,所以m+n=4或11㊂故选C㊂错因分析:若函数在x=x0可导,则f'(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件,而非充要条件㊂如y=x3在x=0处的导数值为0,但0不是该函数的极值点㊂因此,需要将求出的m㊁n的值代入导函数中检验㊂正解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+52解题篇易错题归类剖析高考数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.6m x +n ,则f'(-1)=0,f (-1)=0,即3-6m +n =0,-1+3m -n +m 2=0, 解得m =1,n =3,或m =2,n =9㊂当m =1,n =3时,f '(x )=3x 2+6x +3=3(x +1)2ȡ0,函数f (x )在R 上单调递增,与函数f (x )在x =-1处取得极值0矛盾,不合题意,舍去;当m =2,n =9时,f'(x )=3x 2+12x +9=3(x +1)(x +3),函数在x =-1处取得极小值0,符合题意,所以m +n =11㊂易错点七㊁混淆极值与最值例7 求函数f (x )=x 3-2x 2+x 在[-3,3]上的最值㊂错解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f13=427,所以函数f (x )的最大值为427,最小值为0㊂错因分析:函数并不一定在极值点处取最值,最值是针对函数的整个区间而言,是整体性质,而极值是局部性质,是两个不同的概念㊂对于闭区间而言,需要将极值与端点处的函数值进行比较,才能得出函数的最值㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f 13=427,f (-3)=-48,f (3)=12,所以函数f (x )的最大值为12,最小值为-48㊂易错点八㊁对极值理解有偏差例8 已知函数f (x )=exx+k (l n x -x ),若x =1是函数f (x )的唯一极值点,则实数k 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,e ] B .(-ɕ,e)C .(-e ,+ɕ) D .[-e ,+ɕ)错解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x2+k 1x -1=x -1x e xx-k㊂因为f (x )有唯一极值点x =1,所以f '(x )=0有唯一根x =1,所以exx-k =0无解,即y =k 与g (x )=e xx 无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g'(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂故选B ㊂错因分析:首先,f (x )有唯一极值点x =1并不能说明f '(x )=0有唯一根x =1,因为可能会存在两侧导数不变号的根,此时的根并不是极值点;其次,若x =1是函数f (x )的唯一极值点,并不能推出exx-k =0无解,因为可能还会存在exx-k =0有解且解为x =1的情况,所以需要进行分类讨论;最后,并没有检验在x =1的两侧导数是否变号㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x 2+k1x-1=x -1x e xx -k㊂(1)若方程exx-k =0有解,则方程的解为x =1,解得k =e ,此时f '(x )=x -1x ㊃exx-e㊂当x ɪ(0,1)时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以x =1是函数f (x )的极小值点㊂(2)若方程exx-k =0无解,则y =k 与g (x )=exx无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g '(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂综上所述,k ɤe㊂故选A ㊂(责任编辑 王福华)62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)
专题02 利用导数求函数单调区间与单调性专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性一、多选题1．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（ ）A ．()2sin f x x x =+B ．()2f x x =C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【解析】A ：由()()2sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-，因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意；B ：由()()22f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数，所以符合题意；C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()12g x f x x x'==+，则()2221212x g x x x -'=-=，当2x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题2．已知函数()()21e xf x x x a -=++-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 至少有两个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)由2()(21)e (1)e (1)e x x x f x x x x x x ---'=+-++=-， 在(,0)-∞，(1,)+∞上()0f x '<，在(0,1)上()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,1)上递增，(1,)+∞上递减.(2)由（1）知：()f x 极小值为(0)1f a =-，极大值为3(1)ef a =-，要使()f x 至少有两个零点，则1030ea a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可得31e a ≤≤.3．设函数()323f x x ax b =-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处与直线8y =相切，求a ，b 的值； (2)讨论函数()y f x =的单调性.【解析】(1)由题意知，2()36f x x ax '=-，又(2)8(2)0f f '==，即322232832620a b a ⎧-⨯+=⎨⨯-⨯=⎩，解得112a b ==，； (2)已知2()36f x x ax '=-，令()0f x '=，知1202x x a ==， 当0a =时，2()30f x x '=≥，此时函数()f x 在R 单调递增当0a >时，令()00f x x '>⇒<或2x a >，令()002f x x a '<⇒<<， 所以函数()f x 在(0)(2)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(02)a ，上单调递减， 当0a <时，令()02f x x a '>⇒<或0x >，令()020f x a x '<⇒<<， 所以函数()f x 在(2)(0)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(20)a ，上单调递减. 4．已知函数()1()x f x e axlnx a R =--∈，2()x g x xe x =-．当1a =时，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【解析】证明：当1a =时，()ln 1x f x e x x =--，(0,)x ∈+∞，则()1x f x e lnx '=--，又1()x f x e x ''=-在(0,)+∞上单调递增，且1()202f ''<，且f ''（1）10e =->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得0001()0xf x e x ''=-=，当0(0,)x x ∈时，()0f x ''<，当0(x x ∈,)+∞时，()0f x ''>，()f x ∴'在0(0,)x 上单调递减，在0(x ,)+∞上单调递增，000()()1x f x f x e lnx ∴'≥'=--，0010x e x -=，∴001x e x =，00ln x x =-，001()10f x x x ∴'=+->，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.5．已知函数()()()()211422ln f x x x a a x =-+-+-，讨论()f x 的单调性；【解析】因为2()(1)(14)(22)ln f x x x a a x =-+-+-，所以[][]2'2(1)(1)22()24(0)x a x a a f x x a x x x---+-=-+=>， 当1a ≤-时，110a a -<+≤，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增．当11a -<≤时，10a -≤，10a +>，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若(0,1)x a ∈-，则'()0f x >，()f x 单调递增．当1a >时，110a a +>->，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若 (0,1)x a ∈-或(1,)x a ∈++∞，则'()0f x >，()f x 单调递增．综上可得，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当11a -<≤时()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(0,1)a -，(1,)a ++∞上单调递增． 6．已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若()2ln xf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)()()()11a x a a f x x a x x x a ++'=+=++，0x >且x a >-， ①0a ≥，()0f x '>，()f x 单调递增；②1a ≤-，()0f x '<，()f x 单调递减； ③10a -<<，01aa a ->->+， ,1a x a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,1a x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a ≤-时，()f x 在(,)a -+∞单调递减； 当10a -<<时，()f x 在,1a a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭单调递减，在,1a a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增 (2)()()2ln ln lnxf x a x a x a x a=++≤+， 即()2ln ln 0a x a a x a +-+≤，令()()2ln ln h x a x a a x a =+-+， 则()232a a x a a h x a x a x a -+-'=-=++，令()0h x '=，可得21a x a-=， 当1a ≥时，()0h x '≤，则()h x 在()0,∞+单调递减，则只需满足()0ln ln 0h a a a =+≤，∴ln 0≤a ，解得01a <≤，∴1a =；当01a <<时，可得()h x 在210,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在21,a a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭单调递减，则()()22max11ln 1ln 0a h x h a a a a a a ⎛⎫-==--+≤ ⎪⎝⎭，整理可得2ln 0a a a --≤，令()2ln a a a a ϕ=--，则()()()121121a a a a a aϕ-+-'=--=， ()1002a a ϕ'>⇒<<，()1012a a ϕ'<⇒>>，则可得()a ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则()max 13ln 2024a ϕϕ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，故01a <<时，()0h x ≤恒成立，综上，01a <≤；7．已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(1)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'， 所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-， 即390x y --=.（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =， 所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参)一、单选题1．函数()1e 2xf x x =-的单调减区间是（ ）A ．(2),ln -∞B ．(ln2,)+∞C ．(–),2∞D ．(2,)+∞【解析】1()1e 2xf x '=-,由()0f x '<，得ln 2x >，所以()f x 的单调递减区间为(ln2,)+∞.故选：B2．函数()()2ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫⎪⎝⎭， D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题得函数的定义域为(0,)+∞.()121222x f x x x-'=-⨯=， 令1()0,02f x x '<∴<<.所以函数的单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()2ln 1f x x f x '=+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由()()2ln 1f x x f x '=+得1()2(1)f x f x x''=+，所以(1)12(1)f f ''=+，(1)1f '=-， 2112()2x f x x x x -'=-=，因为0x >，所以由212()0x f x x -'=>得0x <<C ． 4．已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)【解析】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为(-∞,0).故选：A二、多选题 5．函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（ ） A ．（e ，+∞）B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e ）D ．（1e，1）【解析】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-， 所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意.故选：AD三、填空题6．函数()2ln f x x x x =+-的单调递增区间是______．【解析】()2ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+，()()()2222211221x x x x f x x x x x -+--='=--=，令()0f x '>，解得：2x >或1x <-， 因为定义域为()0,∞+，所以单调递增区间为()2,+∞.7．函数()2cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的增区间为___________.【解析】由已知得()12sin f x x =-'，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，即12sin 0x ->，解得π06x <<，令()0f x '<，即12sin 0x -<，解得ππ62x <<， 则()f x 的单调递增区间为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为:π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题8．已知函数2()ln 3f x x x x=++． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．【解析】(1),()0x ∈+∞，22221232(32)(1)()3x x x x f x x x x x +--+=-+=='， 解()0f x '<得20,3x <<解()0f x '>得2,3x >所以()f x 的单调减区间是20,,()3f x ⎛⎤ ⎥⎝⎦的单调增区间是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(2)由（1）知(1)2f '=，而(1)5f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为52(1)y x -=-，即23y x =+．专项突破三 利用导数求函数单调区间(含参)1．设函数()e 2xf x ax =--，求()f x 的单调区间．【解析】()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e xf x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增．若0a >，则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 2．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ 0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x > ∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增； ③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a > ∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增； (2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可 ，∴12a ≤-.综上，12a ≤-.3．设函数()()32211,3f x x x m x =-++-其中0m >．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率； （2）求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）由题设，()3213f x x x =-+，则()22f x x x '=-，∴()11f '=，故点()()1,1f 处的切线斜率为1.（2）由题设，()()2221f x x x m '=-++-，又2244(1)40m m ∆=+-=>，∴()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，且11m m -<+， 当0f x 时，11m x m -<<+，()f x 单调递增； 当0fx时，1x m <-或1x m >+，()f x 单调递减；∴()f x 在(1,1)m m -+上递增，在(,1)m -∞-、(1,)m ++∞上递减.4．已知函数()()22x xf x ae a e x =+--，讨论()f x 的单调性．【解析】()f x 的定义域为R ，()()()22211(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，若0a ≤，则()0f x '<恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上为减函数； 若0a >，则当ln x a <-时，()0f x '<，当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数，综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a >时，()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数． 5．已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．【解析】(1)()()21a f x x a x ax a x x'=--=--，令()0f x '=，得20x ax a --=．因为0a >，则240a a ∆=+>，即原方程有两根设为12,x x 0x >，所以10x =<（舍去），2x =则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '> ()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数．(2)由（1）可知()()2min f x f x =．①若()20f x =，则()()220,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=，设()12ln h x x x =--，()h x 在()0,∞+上单调递减所以()0h x =至多有一解且()10h =，则21x =，代入解得12a =． ②若()20f x <，则()()220,0,f x f x ⎧<⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--<⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --<，结合①可得21>x ，因为211ex <<，21111ln e 2ee ef a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2102e e a a =+->，所以()y f x =在21,ex ⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点．当4x a >时，()2ln f x ax a x ax >--()ln 0a x x =->，所以()y f x =在()2,x +∞存在一个零点．因此()y f x =存在两个零点，不合题意 综上所述：12a =．6．已知函数()()e 1xf x m x =++()m ∈R .(1)当1m =时，求()f x 在()()22f ,处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性.【解析】(1)当1m =时，()e 2x f x x =+，()22e 4f =+，()e 2x f x '=+，()22e 2f '=+，故()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()22e 4e 22y x -+=+-，即()22e 2e 0x y +--=；(2)()e 1xx m f =++'，当10m +≥，即1m ≥-时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； 当10+<m ，即1m <-时，由()0f x '>，得()ln 1x m >--，由()0f x '<，得()ln 1x m <--， ∴()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 综上所述，当1m ≥-时，()f x 在R 上单调递增；当1m <-时，()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 7．设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.【解析】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =--(0)x >， 所以2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以当1x =时，该函数有极小值(1)0f =，无极大值. (2)由2()(2)ln (0)f x x a x a x x =+-->，22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x+--+-'⇒=+--==，当0a ≥时，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当0a <时，1()02af x x '=⇒=-，或21x =，当2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数在0x >时，单调递增， 当2a <-时，12a ->， 当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当12a x <<-时，()0,()f x f x '<单调递减， 当2a x >-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当20a -<<时，12a -<， 当02a x <<-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当12a x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，综上所述：当0a ≥时， ()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当2a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a <-时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)2a -单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增； 当20a -<<时，()f x 在(0,)2a -单调递增，在(,1)2a -单调递减，在(1,)+∞上单调递增 8．已知函数()2()ln(1)2f x x a x x =++++(其中常数0a >)，讨论()f x 的单调性； 【解析】21231()(21)11ax ax a f x a x x x +++=++=++， 记2()231g x ax ax a =+++，28a a ∆=-，①当0∆≤，即08a <≤时，()0g x ≥，故'()0f x ≥，所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．②当0∆>，即当8a >时，()0g x =有两个实根1x ，2x 注意到(0)10g a =+>， (1)610g a =+>且对称轴3(1,0)4x =-∈-，故12(),1,0x x ∈-，所以当11x x -<<或2x x >时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当2i x x x <<时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当08a <≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当8a >时，()f x 在(-和)+∞上单调递增，在上单调递减．专项突破四 利用函数单调性比较大小一、单选题1．已知ln 33a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【解析】令()ln x f x x =,则()21ln x f x x -'=, 当0e x <<时,()()0,f x f x '>单调递增,当e x >时,()()0,f x f x '<单调递减,因为e<35<,所以()()()e 35f f f >>,所以b a c >>故选:C2．设11011,ln2,10a b c e ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 【解析】根据题意，111,ln2110a b =>=<，则a b >， 构造函数()1(0)x f x e x x =-->，所以()10x f e x ='->恒成立，所以()1xf x e x =--在()0,∞+上单调递增，所以()110111001010f e f ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，即1101110e >，所以c a >，故c a b >>.故选：A3．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<； 则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．4．已知函数()sin f x x x =，ln 22a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 3b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln )c f π=，则a ，b ，c 大小（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】由题意，函数()sin f x x x =，可得()sin cos f x x x x '=+，当(0,)2x π∈时，可得()0f x '>，()f x 单调递增，又由ln 21,sin ln 1223e ππ==>=，且3ln 2π<=， 所以ln 20sin ln 232πππ<<<<，所以a b c <<.故选：B. 5．已知()232ln 3ln 31,,e 3ea b c -===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >> 【解析】由题可知22e ln ln 3ln e 3,,e 33a b c e ===，构造函数ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=， 所以()f x 在()0,e 单调递增，()e,∞+单调递减，所以()()max e f x f =，即c 最大；对于a 、b ，构造函数()()2e ,(e)g x f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 因为()222222e e ln ln 2ln e e e e x x x x x f x x-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令()()22ln e x x h x -=，得()21ln e x h x -'=， 在(,)e +∞上，()()22221ln 1ln 111ln 0e e x x g x x x x--⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭'，()g x 单调递增； 所以()()3e 0g g >=，从而()2e 303f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，(3)b f =，2()3e a f =，即b a >，综上，c b a >>.故选：A 6．若2e 2e x x y y ---<-，则（ ）A ．()ln 10y x -+<B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【解析】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x x f x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y ---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误. 故选：B7．已知21ln 2ln3,,e 49a b c ===，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】设2ln ()x f x x =，则()()()e ,2,3a f b f c f ===，又312ln ()-'=x f x x ，于是当)x ∞∈+时，()0f x '<，故2ln ()x f x x =2e 3=<<，则有()()()3e 2f f f <<，即c a b <<.故选：B. 8．已知函数()f x '为函数()f x 的导函数，满足()tan ()x f x f x '⋅>，6a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】根据题意，()()tan ()tan ()0x f x f x x f x f x ''⋅>⇔⋅->，变换可得：()()()()cos tan 0tan 0tan sin f x f x x x f x x f x x x ⋅⎛⎫⎛⎫''->⇔-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫⇔> ⎪⎝⎭， 解析可得，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x >，()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos 0x <，()0sin f x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以643sin sin sin 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，即2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 9．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c << 【解析】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'= 当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>. 故()ln x f x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> ，2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > ，故c a b <<，故选: B10．若01a b <<<，则（ ）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e x f x x'=-， 当01x <<时，1()e x f x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>> 故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=， 则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x-'， 当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减， 所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a b a b> ，即e e a b b a >， 故C 错误，D 正确，故选：D 11．设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【解析】∵ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+， 令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，∴()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ∴()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()202020210f f >>，∴()()2020ln 1ln 2021f a b f => ∴ln ln a b >.∴a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A二、多选题12．下列命题为真命题的个数是（ ）A．ln3< B．ln π<C．15< D．3eln2<【解析】设函数()0f x x =>，则()f x '==当20e x <≤时，()0f x '>，当2e x >时，()0f x '<，故()0f x x =>在2(0,e ) 上递增，在2(e ,)+∞ 上递减， 对于A ，由234e << ，故(3)(4)f f <,<， 即2ln 2,ln 322<<，A 正确； 对于B ，2e<π <e ，故(e)(π)f f <<ln πB 错误； 对于C ，21615e >> ，故(16)(15)f f <4ln 24<<故ln 22ln15<<，则ln 15<<，故C 正确； 对于D ，28e > ，故2(8)(e )f f <22e<，即3eln2<D 正确，故选：ACD专项突破五 函数与导函数图像关系一、单选题1．函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦，故选：C ． 2．如图是函数y =f （x ）的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()2,1-上f （x ）单调递增B ．在区间（1，3）上f （x ）单调递减C ．在区间()4,5上f （x ）单调递增D ．在区间（3，5）上f （x ）单调递增 【解析】由导数图象知，在区间32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上小于0，在3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，函数f （x ）先减后增，A 错误； 在区间()1,2上大于0，在()2,3上小于0，函数f （x ）先增后减，B 错误；在区间()4,5上大于0，函数f （x ）单调递增，C 正确；在区间()3,4上小于0，在()4,5上大于0，函数f （x ）先减后增，D 错误.故选：C.3．函数f （x ）的图象如图所示，则()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．()()320,1--,B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()()2,10,--⋃+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当()(),3,2,1x x ∞∈--∈-时，()0f x '<，当()()3,2,1,x x ∞∈--∈+时，()0f x '>，故当()()(),3,2,0,1,,x x x ∞∈--∈-∈+∞时，()0x f x '⋅>；当()0,1x ∈时，()0x f x '⋅<；当()3,2x ∈--时，()0x f x '⋅<，故()0x f x '⋅<的解集为()()320,1--,.故选：A4．若函数()y f x =的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A 选项. 故选：A5．已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ） A ．B ．C ． D ． 【解析】1()sin 2f x x x '=-，()'f x 为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项A 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故选B ． 6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f ''<-<B ．()()()()222242f f f f '<<-C ．()()()()222442f f f f ''<<-D ．()()()()422422f f f f ''-<<【解析】由函数()f x 的图象可知，当0x ≥时，()f x 单调递增，所以(2)0f '>，(4)0f '>，(4)(2)0f f ->，由此可知，()'f x 在(0,)+∞上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以()'f x 单调递增，结合导数的几何意义， 故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，所以()()()()224224f f f f ''<-<，故选：A ．。
导数解决单调性问题三注意
导数解决单调性问题三项注意利用导数解决函数的单调性问题比利用函数的单调性定义简捷，但是，在应用中要注意三个方面的问题：一、不能忽略定义域例1求函数0)y a =>的单调递减区间.解析：这是一个复合函数，且可以看作两个函数的成绩，同时注意求出函数的定义域.由20ax x ->得0x a <<，故函数的定义域为(0,)a.1221'()(2)2y x ax x a x -=⋅-⋅-22==， 令'0y <，得0x <或34x a >，又0x a <<，∴函数的单调递减区间是3(,)4a a . 【点评】本题如果忽略函数的定义域就会得出错误的答案(,0)-∞，3(,)4a +∞，因此，在解决函数问题时要首先考虑定义域.牢记函数问题定义域优先，单调区间是定义域的子集.【跟踪】求函数2()32ln f x x x =-的单调区间.【答案】单增区间()3+∞，单减区间(0,3. 二、多个同单调区间不能盲目用并集符号相连 例2 函数32()267f x x x =-+的单调递增区间是 .解析：解不等式'()0f x >可求单调递增区间.由2'()6120f x x x =->可得2x >或0x <，故函数的单调递增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，或写出(,0)-∞，(2,)+∞.点评：当函数的同一单调性的区间不唯一时，不能盲目利用“并集”符号把区间并起来，可以用“逗号”（或“和”）字界开（或相连）.取并集后，集合就是一个整体，区间的端点处的大小和函数单调性保持一致.我们通过下面的一个例题进一步理解：例3 已知函数5(6)()(4)4(6)2x a x f x a x x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩在R 单调递增，则实数a 的取值范围是 . 解析：在每一段上函数()f x 都应该是单调递增的，且注意区间端点6x =的处理. 由1402a a >⎧⎪⎨->⎪⎩，得18a <<. ∵函数在R 单调递增，∴65(4)642a a -≥-⋅+，解之可得7a ≥，因此a 的取值范围是[7,8). 点评：分段函数在整个定义域上的单调性，要确保间断点处的衔接.如果函数()f x 在(,)ab 和(,)cd 上单调递增（或单减），且()()f b f c <（或()()f b f c >），那么单调区间可以写成(,)(,)a b c d .三、准确理解有关函数单调性的不同说法例4 若函数1()x f x ax-=在[1，+∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围． 解析：由已知：)(x f ' =()012>-a ax ax依题意得：21ax ax -≥0对x ∈[1，+∞)恒成立∴ax －1≥0对x ∈[1，+∞)恒成立 ∴a －1≥0即：a ≥1【点评】这类问题容易错解为'()0f x >.其实，'()0f x >（或0<）是函数()f x 为增（或减）函数的充分不必要条件.注意区别：⑴求函数的单调区间：'()0f x >→单增区间，'()0f x <→单减区间；⑵知道函数在某个区间的单调性，单调递增'()0f x →≥，单调递减'()0f x →≤（()f x 非常数函数）. 【跟踪】若曲线163123-+-=kx x kx y 在R 上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．k>1或k<-1 B ．1≥k C ．k>1 D ．11-≤≥k k 或【答案】B\例 5 已知cx bx ax x f ++=23)(的单增区间是[0,1],单减区间是),1(),0,(+∞-∞,又13'()=22f ， 求)(x f 的解析式. 解析：0和1是方程'()=0f x 的两个根，再利用13'()=22f ，可以建立三个方程，求出三个参数. 2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，． 2()33f x ax ax '∴=-，13332422a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-， 32()23f x x x ∴=-+.【点评】注意这类问题的说法不同，解法不同：⑴函数()f x 的单调区间是(,)a b ，则'()0f a =和'()0f b =；⑵函数()f x 在区间(,)a b 上单调，则区间(,)a b 是对应单调区间的子集，那么，'()0f x ≥或'()0f x ≤.【跟踪】1.已知函数3()2(0)f x ax bx b =->，若函数是区间(1,2)上的增函数，则a ，b 的取值范围是 .2.已知函数d cx bx x x f +++=23)(的减区间是[1,2],则bc 的值为_________.【答案】1.2'()23f x a bx =-，则2'()230f x a bx =-≥，即223a x b≥在(1,2)恒成立，则243a b≥，即60a b -≥. 2.由题意知，1x =和2x =是2'()320f x x bx c =++=的两个根，则212,1233b c +=-⨯=，则92b =-，6c =，故27bc =-.。
易错点10函数零点定理使用不当致误
易错点16 对等差、等比数列的性质理解错误
错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。
Байду номын сангаас
易错点8 求函数奇偶性的常见错误
错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。
三、数列
易错点14 用错基本公式致误
错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2；等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn－1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。
利用导数判断函数的单调性(不含参)
做对了吗
【例3解析】[答案] D [解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为 增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线 上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D. [点评] 本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系，
即：函数看增减，导数看正负．
变式训练
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
变式训练
[答案] D
[解析] 由题意可知，当 0≤x<π 时， f(x)＝2(12x－S△AOB)＝x－sinx； 当 π≤x≤2π 时，f(x)＝212x＋S△AOB ＝x＋sin(2π－x)＝x－sinx. 因此，当 0≤x≤2π 时，f(x)＝x－sinx.
小试牛刀
[例 1] 求下列函数的单调区间： f(x)＝x3－3x＋1
做对了吗
【例1解析】(1)函数f(x)的定义域为R 导数f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和
(0,1)，故应选A.
随堂演练
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内
导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时, 恒成立,当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
导数研究函数单调性5种题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第5讲导数研究函数单调性5种题型总结【考点分析】考点一：含参数单调性讨论①先求函数定义域；②求导，化简，通分，分解因式；③x 系数有未知数a ，先考虑x 系数0=a 的情况；再考虑0,0<>a a 情况，求出()0='x f 的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式∆，若不是二次函数可以考虑二次求导【题型目录】题型一：导函数为一次函数型题型二：导函数为准一次函数型题型三：导函数为二次可分解因式型题型四：导函数为二次不可因式分解型题型五：导函数为准二次函数型【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数()ln 1f x a x x =+-（其中a 为参数）．(1)求函数()f x 的单调区间；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数()()R a x ax x f ∈++=1ln ，讨论()f x 的单调性。
【解析】1(),0ax f x x x'+=>，①当0a ≥时，1()0ax f x x+'=>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增②当0a <时，令()0f x '>得10x a<<-，∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减综上所述：当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数()()()R m mx x x f ∈--=1ln ，讨论函数()f x 的单调性。
导数求函数单调区间问题易错点分析
2
1 3a
，
所以x>
－
1 3a
或x<－
－
1 3a
；
f ′(x)>0，即3ax2＋1>0， 解得－ － 1 3a <x< － 1 3a
错解
C 一般地，由f ′(x)>0能推出f (x)为增函
错解分析
数，反之，则不一定．如函数f (x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f ′(x)≥0.因此f ′(x)>0是函 数f (x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f (x)＝m x －3(m ＋1)x ＋
三、未理解题意 【例3】 设f (x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间．
错解 f ′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f ′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 若a<0时，f ′(x)<0，得3ax ＋1<0，解得x >－ 所以x> － 或x<－ 3a 1 － . 3a － ，＋∞上为减函数． 3a 1 1
2
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化如下表：
x
2 ( ,1 ) 1＋ m
2 m
(1 2 ,1) m来自1(1，＋∞)
2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)解析版
专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的单调性1.在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ′(x)；③由f ′(x)>0（或f ′(x)<0）解出相应的x 的取值范围，当f ′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．（二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．【常考题型剖析】题型一：判断或证明函数的单调性例1.（2017·山东·高考真题（文））若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（ ）A ．()2xf x -= B ．()2f x x = C ．()-3xf x = D ．()cos f x x =【答案】A 【解析】 【详解】对于A,令()e 2x x g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A.例2．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.例3.（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎣⎦上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 题型二：求函数的单调区间例4．（2012·辽宁·高考真题（文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ） A ．（-1,1] B ．（0,1] C ．[1，+∞） D ．（0，+∞）【答案】B 【解析】 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B例5.（2016·北京·高考真题（理））设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b 的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e -=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为()a x f x xe bx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'. 依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()x f x xe ex -=+. 由21()(1)x x f x e x e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e -=-+'. 所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.【总结提升】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f ′(x )结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 题型三： 利用函数的单调性解不等式例6．（2015·全国·高考真题（理））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f xg x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f xg x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()3x x 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1[1,]2-【解析】 【详解】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+，所以数()f x 在R 上单调递增，又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．题型四：利用函数的单调性比较大小 例8.（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A例9．（2007·陕西·高考真题（理））已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )． A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )【答案】A【解析】 【详解】因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以()f x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝2'()()xf x f x x -≤22()f x x -≤0， 则函数()f x x在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a <b ，则()()f a f b a b≥，即af (b )≤bf (a ) 例10．（2013·天津·高考真题（文））设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：对函数()2x f x e x =+-求导得()=1x f x e '+，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<.例11．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 【总结提升】1.在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．2.构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e. 题型五：根据函数的单调性求参数范围例12．（2014·全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．例13．（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞例14．（2014·全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 题型六：利用导数研究函数的图象例15．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.例16．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.例17.（2017·浙江·高考真题）函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 题型七：与函数单调性相关的恒成立问题例18．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 ()e xf x x =-，则 ()f x 的单调递增区间为________； 若对任意的()0,x ∞∈+， 不等式 ln 2e 1xx ax+-≥恒成立， 则实数 a 的取值范围为________．【答案】 (0,)+∞(填[)0,∞+亦可) 1(,]2-∞【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数()e ln x g x x x x =⋅--的最小值，令ln t x x =+换元后可根据单调性求最值. 【详解】 ()1x f x e =-',令()0f x '>,可得()f x 的单调递增区间(0,)+∞ (或[)0+∞，亦可); ln 2e 1x x ax+-≥可化为2e ln x a x x x ≤⋅--. 令()e ln x g x x x x =⋅--=ln e e ln x x x x ⋅--=ln e (ln )x x x x +-+， 设ln t x x =+，则()e =-t h t t ，由()e xf x x =-在[)0+∞，上单调递增可知， 0()(0)e 01h t h ≥=-=，则21a ≤， 故解得12a ≤.故答案为：(0,)+∞(填[)0,∞+亦可)；12a ≤例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[)0,∞+ 【解析】 【分析】令()()g x f x x =-，进而原题等价于()g x 在()0,∞+单调递增，从而转化为()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．故答案为：[)0,∞+.例20．（2010·全国·高考真题（理））设函数()21x f x e x ax =---.(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a 的取值范围为(－∞，12]. 【解析】 【分析】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0可求()f x 的单调区间；(2求导得到)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故问题转化为f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而对1－2a 的符号进行讨论即可得出结果. 【详解】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加 (2)()12x f x e ax'-＝－.由(1)知1x e x ≥＋，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由1x e x ≥＋ (x ≠0)得1x e x -≥- (x ≠0)，从而当a >时，f ′(x )< 1x e -＋2a (1x e --)＝x e - (1x e -)(x e －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0， 综上可得a 的取值范围为(－∞，]． 【规律方法】处理此类问题，往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解20---导数与函数的单调性
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第20讲导数与函数的单调性考向预测核心素养考查函数的单调性，利用函数单调性解不等式，求参数范围，题型以解答题为主，中高档难度.逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．函数单调性与导数符号的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．2．函数值的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤第1步：确定函数的定义域．第2步：求出导数f′(x)的零点．第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 86例2改编)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上，f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上，f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上，f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上，f (x )单调递增解析：选C.在区间(4，5)上，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．(人A 选择性必修第二册P 97习题5.3 T 1(2)改编)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )≥0，则f (x )在此区间内单调递增．( )(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( )(3)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内不具有单调性．( )答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏1．(求单调区间忽视定义域致误)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0，1) B.(0，＋∞)C．(1，＋∞) D.(－∞，0)，(1，＋∞)解析：选A.函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0，1)．2．(求参数范围忽视等号成立致误)若y＝x＋a2x(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．解析：由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.所以y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．因为函数在[2，＋∞)上单调递增，所以[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.又a>0，所以0<a≤2.答案：(0，2]考点一不含参数的函数的单调性(自主练透) 复习指导：直接利用导函数的符号求函数的单调区间．1．当x>0时，f(x)＝x＋4x的单调递减区间是( )A．(2，＋∞) B.(0，2) C．(2，＋∞) D.(0，2)解析：选 B.令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B.2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B.(0，3) C ．(1，4)D.(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.3．函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．解析：f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x. 令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x <0时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，1)． 答案：(－∞，0) (0，1)4．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln 2x ，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：f ′(x )＝2x －5＋2x ＝（2x －1）（x －2）x(x ＞0)．由f ′(x )>0可得(2x －1)(x －2)>0， 所以x >2或0<x <12，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)利用导函数求函数单调区间的注意点(1)当f ′(x )＝0无解时，可根据f ′(x )的结构特征确定f ′(x )的符号． (2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．考点二 含参数的函数的单调性(综合研析)复习指导：含参数的函数，要根据f ′(x )的形式讨论f ′(x )的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性． 【解】 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)， 令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，令f ′(x )>0，得x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，得0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0， 得x >0或x <2－2aa，令f ′(x )<0，得2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0上单调递减．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．(2)对参数的分类讨论要明确标准，不重不漏，体现了逻辑推理的核心素养．|跟踪训练|(2022·辽宁省辽西联合校测试)讨论函数f (x )＝x 3－a ln x (a ∈R )的单调性． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－a x ＝3x 3－ax(x >0)，①若a ≤0时，f ′(x )>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0时，令f ′(x )>0，可得x >3a 3，f ′(x )<0，可得0<x <3a 3，所以函数在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，3a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3a3，＋∞上单调递增． 考点三 函数单调性的应用(多维探究)复习指导：利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度1 比较大小或解不等式(1)(2021·新高考八省联考模考)已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )A ．c <b <a B.b <c <a C ．a <c <bD.a <b <c(2)(2022·南昌摸底调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A．4f(－2)<9f(3) B.4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D.3f(－3)<2f(－2)(3)(2022·沈阳一模)函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则不等式（x＋2 023）f（x＋2 023）3＜3f（3）x＋2 023的解集为( )A．{x|x＞－2 020} B.{x|x＜－2 020}C．{x|－2 023＜x＜0} D.{x|－2 023＜x＜－2 020} 【解析】(1)由题意得0<a<5，0<b<4，0<c<3.令f(x)＝e xx(x>0)，则f′(x)＝e x（x－1）x2，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为a e5＝5e a，所以e55＝e aa，即f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理0<b<1，0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)．因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.故选D.(2)根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，由题意可知，当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)．故选A.(3)根据题意，设g(x)＝x2f(x)(x＞0)，则导函数g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)．函数f(x)在区间(0，＋∞)上，满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则有x 2f ′(x )＋2xf (x )＞0，所以g ′(x )＞0，即函数g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数．（x ＋2 023）f （x ＋2 023）3＜3f （3）x ＋2 023⇒(x ＋2 023)2f (x ＋2 023)＜32f (3)⇒g (x ＋2023)＜g (3)，则有0＜x ＋2 023＜3， 解得－2 023＜x ＜－2 020，即此不等式的解集为{x |－2 023＜x ＜－2 020}． 【答案】 (1)D (2)A (3)D角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(链接常用结论2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)由题意得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以当x ＝4时，G (x )max ＝－716， 所以a ≥－716，因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．1．本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )在区间(a ，b )上为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．|跟踪训练|1．(多选)已知定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cosxf ′(x )＋sin xf (x )＜0成立，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4解析：选CD.根据题意，令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋sin xf （x ）cos 2x ，又由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )＜0，则有g ′(x )＜0，即函数g (x )为减函数．由π6＜π3，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cosπ6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，分析可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3；又由π6＜π4，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，分析可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.2．若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B.(－∞，1] C ．(－∞，2)D.(－∞，2]解析：选D.由f (x )＝x 2－a ln x ， 得f ′(x )＝2x －a x，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， 因为当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2， 所以a ≤2.3．(2022·宁波市北仑中学期中测试)函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 22－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x.令f ′(x )＝0，因为x >0，可得x ＝1，列表如下：所以，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，由于函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则1∈(k －1，k ＋1)，由题意可得⎩⎨⎧k －1<1，k ＋1>1，k －1>0，解得1<k <2.因此，实数k 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)[A 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0，1) B.(1，＋∞) C ．(－∞，1)D.(－1，1)解析：选A.因为f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x(x >0)，令f ′(x )<0得0<x <1，所以函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是(0，1)． 2．函数f (x )＝e xx的图象大致为()解析：选B.函数f (x )＝e xx的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e xx 2，可得函数的极值点为x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数，当x >1时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，并且f (x )>0，选项B ，D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝exx<0，选项D 不正确，选项B 正确．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)解析：选A.f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.4．(2022·天津市高三模拟)函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为() A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1aD.(－∞，a )解析：选A.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .5．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，8) B.(－∞，－8)∪(8，＋∞) C ．(－∞，16]D.(－∞，－16]∪[16，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 所以a ≤16.6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)7．f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．解析：构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，F (x )在(－∞，0)上单调递减． 因为f (x )为偶函数，y ＝x 为奇函数， 所以F (x )为奇函数，所以F (x )在(0，＋∞)上也单调递减，根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．答案：(－∞，－4)∪(0，4)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上小于0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎨⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎨⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)9．已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x (a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．解：由题知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间． 10．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0(x ≠0)，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数， 在(－a ，0)和(0，a )上是减函数． (2)因为函数f (x )在(1，2)上为单调函数， 若f (x )在(1，2)上为单调递增函数， 则f ′(x )≥0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≥0，即a ≤x 2在x ∈(1，2)时恒成立， 所以a ≤1.若f (x )在(1，2)上为单调递减函数， 则f ′(x )≤0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≤0，即a ≥x 2在x ∈(1，2)时恒成立， 所以a ≥4.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[4，＋∞)．[B 综合应用]11．(多选)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cosx ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：选CD.构造函数g (x )＝f （x ）cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x（cos x ）2<0， 即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，同理，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.故选CD.12．(多选)(2022·辽宁压轴试题)已知正数α，β满足e α＋12β＋sin β>e β＋12α＋sin α，则()A ．2α－β＋1>2 B.ln α＋α<ln β＋βC.1α＋1β>4α＋β D.1e α＋1α<1e β＋1β 解析：选ACD.由题意，得e α－12α＋sin α>e β－12β＋sin β，构造函数f (x )＝e x －12x ＋sin x，x >0，令g (x )＝2x ＋sin x ，则g ′(x )＝2＋cos x >0恒成立， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知－12x ＋sin x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝e x －12x ＋sin x在(0，＋∞)上单调递增，由f (α)>f (β)，可得α>β>0，对于A ，由α>β，可得α－β＋1>1，所以2α－β＋1>2，故A 正确；对于B ，由α>β>0，可得ln α>ln β，则ln α＋α>ln β＋β，故B 错误； 对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β(α＋β)＝2＋αβ＋βα>2＋2αβ·βα＝4，所以1α＋1β>4α＋β，故C 正确；对于D ，由α>β>0，可得e α>e β>0，1α<1β，所以1e α<1e β，所以1e α＋1α<1e β＋1β，故D 正确．13．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知得g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 可得a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立．又当x ∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72.所以a ≤－72.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－7214．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案：(0，1)∪(2，3)[C 素养提升]15．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .由题意知，f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时， f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞16．(2022·北京高三一模)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常数函数，没有单调区间． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.所以g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意的t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.所以－373<m <－9.21 / 21 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性(重难点突破)(解析版)
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。
导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。
讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。
第03讲 利用导数求函数的单调性-《高中数学选修2-2重难点解读》(解析版)
第三讲 利用导数求函数的单调性1．函数单调性与导数的关系在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； 如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0.2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f ′(x )|越大，则函数f (x )的切线的斜率越大，函数f (x )的变化率就越大考点一 利用导数求单调区间【例1】求下列函数的单调区间。
（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得f(x)的定义域为R ，2()63f x x '=-.令2()630f x x '=->，解得x <或x >.当(,)2x ∈-∞-时，函数为增函数；当)2x ∈+∞时，函数也为增函数.令2()630f x x '=-<，解得x <<.当(x ∈时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和,)2+∞，单调递减区间为(22-.（2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x -+'=-=.令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<.故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)2+∞，单调递减区间为(0,2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x 2＞0.即⎩⎨⎧ 1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f ′(x )＜0，则1－x 2x －x 2＜0，即⎩⎨⎧ 1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．1．函数()e x f x x -=的单调递减区间是 。
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。
常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。
二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解18---利用导数解决函数的单调性问题
在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( ) (3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内是减函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√
考点 2 含参数函数的单调性
研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面
①二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论，
பைடு நூலகம்
④根在不在定义域内讨论．
(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类．
(3)讨论完必须写综述． 已知函数 f(x)＝12x2－2a ln x＋(a－2)x，当 a＜0 时，讨论函数 f(x)的单调性．
-4-/8
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0).
(1)若函数 h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；
(2)若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求 a 的取值范围． [解] (1)h(x)＝ln x－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
考点 4 利用导数比较大小或解不等式
用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化
为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．
常见构造的辅助函数形式有： (1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)； (2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；
(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f (x)的单 调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增． 同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.
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当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化如下表：
x
2 ( ,1 ) 1＋ m
2 m
(1
2 ,1) m
1
(1，＋∞)
f′(x)
f(x)
－
单调递减
0
极小 值
＋
单调递增
0
极大 值
－单调递减Fra bibliotek2 由上表可知，当m <0时，f (x)在－∞，1＋ 上单调 m 2 1＋ ，1 递减，在 上单调递增，在(1，＋∞)上单 m 调递减．
3 2
nx＋1的一个极值点，其中m 、n∈R，m <0. (1)求m 与n的关系； (2)求f (x)的单调区间．
错解 (1)f ′(x)＝3m x －6(m ＋1)x＋n.因为x＝1
2
是函数f (x)的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即 3m －6(m ＋1)＋n＝0，所以n＝3m ＋6.
(2)因为f ′(x)＝3m x －6(m ＋1)x＋n，此函数 是二次函数，它的对称轴为x＝ m ＋1 m m ＋1 上是增函数， 所以函数f (x)在x∈－∞， m m ＋1 ，＋∞上是减函数． 在x∈ m .又因为m <0，
2 2
1 3a
，
综上所述，a>0时，函数f (x)在R上为增函数；a<0时，函数 f (x)在－∞，－ 1 － 和 3a
错解分析
题意是求恰有三个单调区间时a满足的条
件，显然，a>0时，函数f (x)在R上为增函数不满足题 意；另外，a<0时没有研究f ′(x)>0的情况，更没有 讨论a＝0的情况． 正解
3
.
综上所述，a<0时，f (x)＝ax ＋x恰有三个单调区 －3a －3a ， 间．其中增区间为 ，－ 3a 3a －3a －3a 减区间为－∞， 、－ ，＋∞. 3a 3a
返回
f ′(x)＝3ax2＋1，若a≥0时，f ′(x)＝3ax2＋ 1>0.f ′(x)>0恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 此时f (x)只有一个单调区间，与已知矛盾． 若a<0时，f ′(x)<0，即3ax2＋1<0， 解得x >－
2
1 3a
，
所以x>
－
1 3a
或x<－
－
1 3a
；
f ′(x)>0，即3ax2＋1>0， 解得－ － 1 3a <x< － 1 3a
三、未理解题意 【例3】 设f (x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间．
错解 f ′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f ′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 若a<0时，f ′(x)<0，得3ax ＋1<0，解得x >－ 所以x> － 或x<－ 3a 1 － . 3a － ，＋∞上为减函数． 3a 1 1
2
错解分析 此题要求的是函数f (x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函 数f ′(x)的单调区间取代f (x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略． (2)f ′(x)＝3m x －6(m ＋1)x＋n 2 ＝3m (x－1)x－1＋ ， m 2 当m <0时，1>1＋ . m
错解
C 一般地，由f ′(x)>0能推出f (x)为增函
错解分析
数，反之，则不一定．如函数f (x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f ′(x)≥0.因此f ′(x)>0是函 数f (x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f (x)＝m x －3(m ＋1)x ＋
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导数求函数单调区间问题 易错点分析
利用导数求函数的单调区间问题较复杂，学生在 学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的 错误分析如下，供大家参考． 一、未弄清逻辑关系 【例1】 “在区间(a，b)内f ′(x)>0”是“f (x)在 ( ) 该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件