数列作业5等比数列前n项和(文)

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等比数列前n项和

等比数列的前n 项和一．等比数列前n 项和公式1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．【例1】在等比数列{a n }的前n 项和为S n ， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； [解] 由题意知⎩⎨⎧ a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2) a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5； [解]法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.(3) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . [解]因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根．从而⎩⎨⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.(4) a 1＝1，S 3＝34，求S 4.[解] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝34， ∴q ≠1，1－q 31－q ＝34，整理可得，q 2＋q ＋14＝0，解得，q ＝－12，则S 4＝1－q 41－q＝1－1161＋12＝58.跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；[解] 由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5. (2) 在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n . [解] 若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1＝－15， ∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.(3) 在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.[解] [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12，而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.](4) 等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________. [解] 当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1(1－x n )1－x ＝1－x n1－x .二．错位相减法1. 推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)．2. 我们把上述方法叫错位相减法，(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.【例2】已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0，解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·（12）n －1＝12n . (2)根据题意得b n ＝na n ＝n 2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，② 作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，跟踪训练2(1)本例题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1，两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2.(2)本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1，两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n .三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 [解] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，∴数列{a n }是等比数列．(2) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21 [解] [∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(3) 等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________. [解]设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2.又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.](4) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，求S 40 解：S 20＝S 10＋q 10S 10 ， S 30＝S 10＋q 10S 20＝S 10＋q 10（S 10＋q 10S 10）即70=10+q 10（10＋10q 10）解得q 10＝2或q 10＝－3 所以S 40＝S 10＋q 10S 30＝150 跟踪训练3(1) 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. [解]－13 [显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.](2) 正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎨⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)，所以⎩⎨⎧x ＝6，y ＝30或⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30.(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶S 奇＝q .则q ＝12，又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n ＝3128，又a 1＝12，q ＝12，∴12·（12）n －1＋12·（12）n ＝3128⇒12·（12）n －1·（1+12）＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12.则此等比数列的项数为12.(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．[解] 因为S 8＝S 4＋q 4S 4即6=2+2q 4，所以q 4=2 S 16＝S 8＋q 8S 8＝30 ，S 20＝S 4＋q 4S 16＝62 所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝32. 四．分组转化求和一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．【例4】已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋（13）2＋…＋（13）n-1＝32[1-（13）n ](2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －34⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .[解]S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.五：等比数列前n 项和公式的实际应用解数列应用题的具体方法步骤(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.【例5】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.解析设每天植树的棵数构成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得2（1－2n ）1－2≥100，即2n ≥51.而25＝32，26＝64，n ∈N *，所以最少天数n ＝6. 答案 6跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．[解]去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .课后作业1.等比数列12，14，18，…的前10项和等于A.11 024B.511512C.1 0231 024D.1512解析因为数列12，14，18，…是首项为12，公比为12的等比数列，所以S 10＝21-121-12110⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝1 0231 024. 答案 C2.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是A.179B.211C.243D.275解析因为q 4＝a 5a 1＝1681＝（23）4，各项都是正数，所以q ＝23，因此S 5＝a 1－a 5q1－q ＝81－16×231－23＝211.答案 B3.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝A.13B.－13C.19D.－19解析由题意知公比q ≠1，则S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A.11B.5C.－8D.－11解析设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0.所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1（1－q 5）1－q a 1（1－q 2）1－q ＝1－q 51－q2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 C6.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝A.(2n －1)2B.13(4n －1)C.13(2n －1)D.4n －1解析由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n ）1－4＝13(4n－1).答案 B7.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为A.4B.5C.6D.7解析 ∵a 1＝14，a n ＋2＝78，∴S n ＋2＝14－78q1－q＝778，∴q ＝－12，∴a n ＋2＝14（－12）n ＋1＝78，∴n ＝3，∴数列共5项. 答案 B8.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为A.0B.1C.－1D.2解析由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1. 因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1. 答案 C9.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 解析在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A. 答案 A10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇，由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2.答案 211.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，∴q ≠1，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 3212.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________. 解析若q ＝1，则S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1≠2S 9，∴q ≠1.由已知可得：a 1·（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q .∴q 3(2q 6－q 3－1)＝0.∵q ≠0，∴2q 6－q 3－1＝0，∴(q 3－1)(2q 3＋1)＝0. 又∵q ≠1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a 2＋a 4＝2a 3＝10，即a 3＝5. 故a 3－a 1＝2d ＝5－1＝4，即d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知a 5＝9，即b 2b 4＝9，则b 21q 4＝9，q 2＝3.∵{b n }是公比为q 的等比数列，∴b 1，b 3，b 5，…，b 2n －1构成首项为1，公比为q 2＝3的等比数列， ∴b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *).14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)·2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)·2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)·2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）·2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .解析 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0. ∵公比q >1，∴q ＝3.又首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)∵{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1).即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1，S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.等比数列的前n 项和一．等比数列前n 项和公式1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．【例1】在等比数列{a n }的前n 项和为S n ，(1) S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(4) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . (4)a 1＝1，S 3＝34，求S 4.跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；(2)在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n .(3)在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.(4)等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________.二．错位相减法1. 推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．3. 我们把上述方法叫错位相减法，(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.【例2】已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .跟踪训练2(1)本例题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.(2) 本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n .三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 (2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(3)等比数列{a n}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.(4) 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S30＝70，求S40跟踪训练3(1)若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝________.(2) 正数等比数列中S n＝2，S3n＝14”求S4n的值．(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．(4)设等比数列{a n}的前n项和为S n ，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．四．分组转化求和一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．【例4】已知数列{a n}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(a n－a n－1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .五：等比数列前n 项和公式的实际应用解数列应用题的具体方法步骤(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.【例5】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．课后作业1.等比数列12，14，18，…的前10项和等于A.11 024B.511512C.1 0231 024D.15122.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是A.179B.211C.243D.2753.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝A.13B.－13C.19D.－194.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A.11B.5C.－8D.－115.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.158或5B.3116或5C.3116D.1586.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝A.(2n－1)2B.13(4n－1)C.13(2n－1) D.4n －17.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为A.4B.5C.6D.78.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为A.0B.1C.－1D.29.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.11.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.12.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________.13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n＋13a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的通项公式和前n项和S n.。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章数列第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案

第3讲等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________．由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0，所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)．由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n，所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。

等比数列的前n项和公式专题练习(解析版)

等比数列的前n 项和公式一、单选题 1．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知{}n a 是等比数列，若12a =，528a a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 为（） A ．22n - B ．121n +- C ．122n +- D ．21n -【答案】C 【分析】设公比为q ，根据528a a =求得公比，再利用等比数列前n 项和的公式即可得出答案. 【详解】解：设公比为q ，因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以()12122212nn n S +⨯-==--.故选：C.2．（2021·河北·高三月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A．1 B C ．2 D ．4【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为42S =，810S =，{}n a 为正项等比数列，所以4845678412344S S a a a a q S a a a a -+++===+++，解得q 故选：B ．3．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q = （） A ．12-B ．12C ．2D ．12或2【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得2132116a a a ==，再由378S =，可得1358a a +=，分别求出13,a a ，即可得出答案. 【详解】解：在等比数列{}n a 中，若214a =，则2132116a a a ==，312378S a a a =++=，所以1358a a +=，由13116a a =，1358a a +=，解得131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2112a a q ==，当131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，212a q a ==，所以q =12或2.故选：D.4．（2021·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】B 【分析】由已知得()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.再求得13a =，从而有数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得n a ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得n S ，从而求得n T 得答案. 【详解】解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=，∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n na --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn n n n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13.故选：B.5．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（） A ．（2n ﹣1）2 B ．()1213n- C ．4n ﹣1 D ．()1413n- 【答案】D 【分析】根据等比数列定义，求出214n n n b a -==，可证明{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --=== 由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列 a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143n n ⋅--=- 故选：D6．（2021·河南郑州·高二期中（理））设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】C 【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C7．（2021·河南郑州·高二期中（理））设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【答案】A 【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠），若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n nn n d d S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭，由两边的对应项相等可得110,1,5,1221b d da q q-====--，解得111,2,5,4a d q b ====，所以3d q -=-.8．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列233464510105，，，，，，，，，，，则此数列的前35项和为（）A ．994B ．995C ．1003D ．1004【答案】B 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前n 项和为21n n S =-，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前n 项总个数为(1)2n n n T +=，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。

高三数学等比数列及其前n项和

考点三
例 2
等比数列的性质及应用
(1)在各项不为零的等差数列{an}中,2a2 019-
b2 020=a2 020,则 log2(b2 019·b2 021)的值为(
+2a2
)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:(1)因为在等差数列{an}中,a2 019+a2 021=2a2 020,
an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且
q≠-1).
释疑
(1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项.

n
n
(2)an= ·q ,当 q>0 且 q≠1 时,可以看成函数 y=cq ,其是一个不为 0 的常数与指数
(- ) -
na1;当 q≠1 时,{an}的前 n 项和 Sn=
-
=
-
.
考点二
等比数列的判定与证明
例1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(1)解:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
第3节
等比数列及其前n项和
课程标准要求
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解
答
.
4.了解等比数列与指数函数的关系.

(等比数列前n项和)

=a1(1+q+q2+q3)
观察：
s1
a11 q
1 q
S2
a1 (1 q)(1 1 q
q)
a1(1 q2 ) 1 q
S3
a1
(1
q q2)(1 1 q
q)
a1(1 q3) 1 q
Sn
a1(1 qn 1 q
)
.(q
1)
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn错
② ① —②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
位
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) . 1 q
相减法
当q=1时， Sn=a1+a2+a3+‥‥an=na1
等比数列{an}前n项和
Sn
na1 a1 (1
例1：在等比数列
an 中，(1)已知a1
4，q
1 2
，求S10
(2)已知a1 1，ak 243，q 3，求Sk 及k
解：(1)根据等比数列的前n项和公式，得
41
1
10
S10
2 1 1
1023 128
2
(2)根据等比数列的前n项和公式，得
1 2433 Sk 1 3 364 由ak a1qk1得，243 1 3k1, 解得k 6
1 2
因此，an
1 2n1 2
2n2
S9
a1 1 q9 1 q
1 1 29 2

等比数列的前n项和数列总结

等比数列的前n 项和一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．专题二数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

等比数列的前n项和例题详细解法

等比数列的前n项和例题详细解法・例题解析【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an．∴a n=aq n-1=54④将③代入①化简得a=q－1 ⑤由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n)类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n)说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧．【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q．解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1．即公比为2，项数为8．说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．【例3】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}．[ ]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析：由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．【例4】已知等比数列1，x1，x2，...，x2n，2，求x1・x2・x3*...・x2n．解∵1，x1，x2，...，x2n，2成等比数列，公比q∴2＝1・q2n+1x1x2x3...x2n＝q・q2・q3...q2n=q1+2+3+ (2)式；(2)已知a3・a4・a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．∴a4＝2【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一∵a、b、c、d成等比数列∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：b＝aq，c＝aq2，d=aq3∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0思路：转化为等比数列．∴{a n＋1}是等比数列∴a n＋1=3・3n-1 ∴a n=3n－1∴{a n+1－a n}是等比数列，即a n+1－a n=(a2－a1)・2n-1=3・2n-1再注意到a2－a1=3，a3－a2=3・21，a4－a3=3・22，...，a n－a n-1=3・2n-2，这些等式相加，即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．证∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0，即又∵a1、a2、a3为实数因而a1、a2、a3成等比数列∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．。

等比数列的前n项和与求和公式

等比数列的前n项和与求和公式等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。

等比数列的求和是数学中的一个重要概念，可以通过求和公式来计算。

首先，我们来了解等比数列的定义和基本性质。

一个等比数列可以用以下的形式表示：a，aq，aq^2，aq^3，...其中，a是首项，q是公比。

我们可以通过不断将前一项乘以公比q来得到下一项。

在等比数列中，每一项与它的前一项的比都是相等的。

即，对于任意项An，有An / An-1 = q。

接下来，我们来研究等比数列的前n项和的求解方法。

假设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。

我们可以通过下面的方法来计算Sn。

首先，将Sn乘以公比q，得到qSn。

我们将qSn与Sn相减，得到：qSn - Sn = a(1 - q^n)，这是因为等比数列的最后一项为aq^(n-1)，所以qSn为除了第一项a之外所有项的总和，即等差数列的前n-1项和，所以qSn - Sn = aq^(n-1) - a(1 - q^n)。

化简上式，我们可以得到：Sn(q - 1) = a(1 - q^n)。

然后，我们将上式两边都除以(q - 1)，得到：Sn = a(1 - q^n) / (q - 1)。

这就是等比数列的前n项和的求和公式。

通过这个公式，我们可以直接计算出等比数列的前n项和，而不需要逐个求和。

需要注意的是，在使用此公式时，我们需要确保公比q不等于1。

因为当q等于1时，等比数列就变成了等差数列，此时的求和方法是不同的。

综上所述，等比数列的前n项和的求和公式为：Sn = a(1 - q^n) / (q - 1)。

通过这个公式，我们可以快速准确地求解等比数列的前n项和，避免了逐个求和的繁琐计算过程，提高了效率。

总结一下，等比数列是数学中重要的概念之一，求和公式为Sn = a(1 - q^n) / (q - 1)。

了解和掌握这个公式，可以帮助我们更好地理解和计算等比数列的前n项和。

等比数列的前项和及性质6大题型总结 (原卷版)

等比数列的前项和及性质考点预测及题型总结【题型目录】题型一：等比数列求和公式基本运用题型二：等比数列前项片段和的性质及应用n 题型三：等比数列前项和的特点n 题型四：等比数列前奇偶项和的性质及应用（3）为等比数列，若，则成等比数列．}n a 2＝⋅⋯n n a a a T 232，，， nn n nnT T TT T（4）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．0≠q 1≠q )·0－=≠n n S k k q k }n a 11=-ak q题型五：等比数列前项和新文化试题n 题型六：等差等比数列的判定【典型例题】题型一：等比数列求和公式基本运用【例1】（2022·河北深州市中学高三阶段练习）设正项等比数列的前n 项和为，若{}n an S ，则（）13223823,2a S a S a =-=-8S =A ．510B ．511C ．1022D ．1023【例2】（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A ．该人第五天走的路程为14里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，对于任意的，都有{}n a12a =N m n *∈，=m n m na a a +.若正整数满足,则（）k 1551210=22k k k a a a ++++++- k =A ．2B ．3C ．4D ．5【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和，满足，则{}n an n S 4223S S -=64S S -的最小值为（）A ．B ．3C ．4D ．1214【例5】（2023·全国·高三专题练习）等比数列{an }的各项均为实数，其前n 项和为Sn ，已知,374S =，则的值是（）6634S =8a A ．28 B ．32 C ．35 D ．41【例6】（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设为公比的等比数列的前n 项和，且n S 1q ≠{}n a成等差数列，则________．1233,2,a a a 42S S =【例7】（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知等差数列的前n 项和为{}n anS ，且关于x 的不等式的解集为．()212260a x S x -++<(2,3)(1)求数列的通项公式；{}n a(2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 221na n nb a =+-{}n bn T 【例8】（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在等差数列中，已知，{}n a28a =，10185S =(1)求此数列的通项公式；(2)若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第2n项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前项和.{}n b{}n bn n T 【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，且，，成等差数列．若{}n an n S 14a 22a 3a ，则（）11a =4S =A ．16B ．15C ．8D ．72．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（）A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里3．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，{}n an n S 136a a +=，则等比数列的公比为（）4233S a S +=+A ．B ．2C ．D ．312134．（2022·江西·高三阶段练习（文））记正项等比数列的前n 项和为，若{}n an S 2373S S =，则该数列的公比（）q =A ．B ．C ．2D ．313125．（2022·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，，则公比{}n an n S 23S =415S =（）q =A ．5B ．4C ．3D ．26．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设正项等比数列的前项和为，若{}n an n S ，则（）32187238,22S a a S S =+=+2a =A ．4B ．3C ．2D ．17．（2022·四川·高三阶段练习（理））设等比数列的前项和为，且{}n an n S ，则（）1232347,14a a a a a a ++=++=63S S -=A ．28B ．42C ．49D ．568．（2022·上海市吴淞中学高三开学考试）已知数列满足，（），则{}n a 11a =12n n n a a +⋅=*N n ∈2012S =（）A ．B ．C ．D ．201221-1006323⨯-1006321⨯-1005322⨯-9．（2022·全国·高三专题练习）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则{}n an S n 1531,7a a S ==（）6S =A ．B ．C ．D ．61463863461810．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n 项和为，前n 项积为，满足{}n an S n T ，则的最小值是（）12311,238a a S a ==-n T A ．B ．C ．D ．116132164112811．（2022·安徽省宣城中学高二期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（）天墙才能被打穿？A ．3B ．4C ．5D ．612．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））已知正项等比数列的前项和为，{}n an n S ，则（）241364,10,126n a a a a S =+==n =A ．B ．C ．D ．456713．（2023·全国·高三专题练习多选题）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（）A ．该人第五天走的路程为12里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里14．（2022·上海·高三开学考试）已知是等比数列，为其前n 项和，若是、{}n an S 2a 1a 2S 的等差中项，，则______．415S =1a =15．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，，，则项数{}n a165n a a +=2164n a a -⋅=127n S =______．n =16．（2022·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n 项和为，公比．若，则{}n a n S 0q <2373S S =q =__________．17．（2022·安徽·高二期末）如图，在的正方形ABCD 中，点A 1，B 1，C 1，D 1分别为正方形ABCD 各边的中点，点A 2，B 2，C 2，D 2分别为正方形A 1，B 1，C 1，D 1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn 的面积为an ，若数列{an }的前m 项和Sm =，则m =___________.633218．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）在等差数列中，．{}n a2745,6a a a ==+(1)求的通项公式；{}n a(2)设为等比数列的前n 项和，若，求的值．n S {}n b1163,28b a S S ==n S 19．（2022·四川内江·高一期末（文））已知等比数列的前n 项和为，且，.{}n an S 34a =313S a =(1)求通项公式；{}n a (2)若的前3项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求{}n a{}n b{}n b的前n 项和的最小值.n T 题型二：等比数列前项片段和的性质及应用n【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（）A ．B ．C ．12D ．15【例2】（2022·全国·高三专题练习）设等比数列中，前n 项和为，已知，，则{}n a n S 83=S 67S =等于（）789a a a ++A ． B ． C ． D ．1818-578558【例3】（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列的前项和为，公比为{}n a n n S ，若，，则（）q 2321=++a a a 369S S ==9S A ．50B ．100C ．146D ．128【例4】（2022·内蒙古包头·高一期末）若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（）A ．B ．A B C +=2B AC=C ．D ．()22A B C A B +=+()()A C A B B A -=-【例5】（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）A ．若数列的前n 项和（a ，b ，c 为常数），则数列为等差数列{}n a 2n S an bn c=++{}n a B ．若数列的前n 项和，则数列为等比数列{}n a 122n n S +=-{}n a C ．数列是等差数列，为前n 项和，则，，，…仍为等差数列{}n an S n S 2n n S S -32n n S S -D ．数列是等比数列，为前n 项和，则，，，…仍为等比数列{}n an S n S 2n n S S -32n n S S -【题型专练】1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前n 项和为，已知，，则{}n a n S 9n S =236n S =（）3n S =A ．B ．C ．D ．144117108812．（2022·辽宁·高二期中）等比数列的前n 项和为，若，，则（）{}n an S 812S =2436S =16S =A ．24B ．12C ．24或－12D ．－24或123．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）设等比数列的前n 项和为，若，，则{}n an S 23S =621S =（）84S S =A ．B ．C ．5D ．7831334．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比数列的前n 项和为，，则{}n anS 22S =46S =+（）78a a +=A ．B ．C ．D．32+32+16+16+5．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，，，（ {}n a n n S 110=S 1330=S =40S ）A ．　51B ．　20C ．27D ．406．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））已知等比数列的前项和为，若，，则{}n an n S 43S =89S =的值为_______16S 7．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设是等比数列的前n 项和，若，则n S {}na 3613S S =3612S S S =+______.8．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为，若{}n an S ，，成等差数列，则______，最小值为______．2-10S 20S 20102S S -=3020S S -题型三：等比数列前项和的特点n 【例1】（2023·河北·大名县第一中学高三阶段练习）一个等比数列的前项和为n ，则（）(12)2n n S λλ=-+⋅λ=A ．B ．C ．D ．1-123【例2】（2022·全国·高二课时练习）若等比数列的前项和，则等于（）.{}n an 3nn S a =+a A ．B ．C ．D ．121-2-【例3】（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））已知等比数列的前项和为，且满足{}n an n S ，则的值是122n n S λ+=+λA ．B ．C ．D ．422-4-【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，公比为，前项和为{}n aq n nS ，下列判断错误的有（）A ．为等比数列B ．为等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2log n a C ．为等比数列D ．若，则{}1n n a a ++13n n S r -=+13r =-【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，（为非零常数），且其前n 项和{}n a 1n n a ca +=c 23n n S k -=+，则实数的值为（）k A ．B ．C ．D ．1-13-1919-2．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前n 项和，则（）{}n a23nn S m =+⨯m =A ．B ．2C ．1D ．2-1-3．（2021·福建省长乐第一中学高二阶段练习）记为等比数列的前项和，已知，n S {}n an 11a =，则_______.1n n S a t+=+t =4．（2021·广西·柳州市第二中学高二期末（理））已知等比数列的前项和为{}n a n 13n n S t +=+，则数列的通项公式______________.n a =题型四：等比数列前奇偶项和的性质及应用【例1】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在数列中，，，若{}n a 11a =12nn n a a +=19248m m m a a a +++++= ，则（）m =A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021·全国·高二专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列{}n a，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）43641a =A ．B ．14C ．D ．1236【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，{}n a11a =132185k a a a ++++= ，则（）24242k a a a +++= k =A ．2B ．3C ．4D ．5【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且{}n a13q =9099531=++++a a a a ，则___________.=+++100321a a a a【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，{}n a12a =-22a=221(1)nn n a a +-=--，则下列选项不正确的是（）A ．是等比数列B ．{}21n a-()5211210i i a -=+=-∑C ．是等比数列D ．{}2n a10152ii a==∑【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）A ．6B ．8C ．10D ．122．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为{}n a101854，所有偶数项的和为，则的值为______．1170236912S a a a a =+++3．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列{}n a1399150a a a +++= 2q =的前100项和为______．{}n a 4．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有{}n a2n项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.3q =n题型五：等比数列前项和新文化试题【例1】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【例2】（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里《》【例3】（2022·安徽滁州·高二期末）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布255，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出40尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的2倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（）A ．天B ．天C ．天D ．天2345【例4】（2022·湖南岳阳·高二期末）十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭120,,,1 33⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：）45lg 20.3010=，lg 30.4771=A ．B ．C ．D ．4567【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习（文））费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，221(n+)n F n 0n =1234的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到1732年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足52521F =+{}n a()2log 1n n a F =-，则数列的前项和满足的最小自然数是（）{}n an n S 2020n S >A ．B ．C ．D ．91011122．（2022·全国·高三专题练习）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.n n a {}n an n S =3．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n 项和为n a {}n anS ，若不等式恒成立，则n 的最小值为（）2022n S >A ．7B ．8C ．9D ．104．（广东省广州市七区2021-2022学年高二下学期期末数学试题多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为1a 2a ，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（）3a n n aA ．B ．图5中最小正方形的边长为563a =14C ．D ．若，则图中所有正方形的面积之和为8123102036a a a a ++++= 255n a =n 5．（2022·山东东营·高二期末多选题）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在1P 1P 的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形122P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板3P 4,,,n P P 的周长为，面积为，则下列说法正确的是（）n P n L n S A ．B ．37142L π=+31132S π=C ．D ．1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1212n n n S S π++=-题型六：等差等比数列的判定【例1】（2022·广东·佛山一中高二期中多选题）对任意数列，下列说法一定正确的是（）{}n a A ．若数列是等差数列，则数列是等比数列{}n a {2}naB ．若数列是等差数列，则数列是等差数列{}n a {2}na C ．若数列是等比数列，则数列是等比数列{}n a {lg |}|n a D ．若数列是等比数列，则数列是等差数列{}n a {lg |}|n a 【例2】（2022·海南华侨中学高二期末多选题）已知等比数列{}中，满足，，则（）n a 11a =2q =A ．数列{}是等比数列B ．数列是递增数列2n a 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．数列是等差数列D ．数列{}中，仍成等比数列{}2log n a n a 102030,,S S S 【例3】（2022·湖北·鄂南高中模拟预测多选题）设公比为的等比数列的前项和为q {}n an n S ，则下列说法中一定正确的是（）A ．数列：，，，成等比数列n S 2n n S S -32n n S S -L B ．当时，数列是等比数列1q ≠11n a S q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭C ．是等比数列{}12++nn a a D ．是等比数列{}2na【例4】（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末多选题）设{}n a是等比数列，则下列四个命题正确的是（）A ．是等比数列B ．是等比数列C ．是等比数列D ．是等比数列{}2na {}1n n a a +⋅1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}lg n a 【题型专练】1．（2022·湖北·荆州中学三模多选题）等差数列的前项和为，数列{}n a n n S {}n b 为等比数列，则下列说法正确的选项有（）A ．数列一定是等比数列{2}naB ．数列一定是等比数列{}n a bC ．数列一定是等差数列{}nS n D ．数列一定是等比数列1{}n n b b ++2．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习多选题）已知数列的前n 项和为{}n anS ，下列说法正确的是（）A ．若，则是等差数列()21n S n =+{}n aB ．若，则是等比数列122n n S +=-{}n a C ．若是等比数列，则，，成等比数列{}n an S 2n n S S -32n n S S -D ．若是等差数列，则{}n a()21121n n S n a ++=+3．（2022·辽宁·高二期中多选题）已知数列的前n 项和为，则下列说法正确的是（）{}n an S A ．若，则是等比数列21nn S =-{}n a B ．若（n ≥2），则是等比数列11n nn n a aa a +-={}n aC ．若（n ≥2），则是等比数列211n n n S S S -+={}n aD ．若，则是等比数列2nn S a =-{}n a 4．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习多选题）在公比为整数的等比数列中，q {}n anS 是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）{}n an 1432a a =2312a a +=A ．B ．数列是等比数列2q ={}2n S +C ．D ．数列是公差为2的等差数列8510S ={}2log n a5．（2023广东高三阶段练习多选题）已知数列满足，，是数列{}n a 11a =*12()n n n a a n N +⋅=∈n S {}n a 的前项和，则（）n A ．B ．44a =10112022323S =⨯-C ．D ．数列是等比数列12212n n n a a ---={}n a。

高中数学必修五等比数列及前n项和(总结、例题、练习)

第五节等比数列及前n 项和【基础知识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{2n a }，{a n ·b n }，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，S n ＝111(1)(1)(1)11n n na q a a q a q q q q =⎧⎪--⎨=≠⎪--⎩6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 难点正本疑点清源 1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．【考点剖析】考点一：等比数列基本量的运算【题组训练】1．已知等比数列{a n}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.18【答案】C【解析】由{a n}为等比数列，得a3a5＝24a，又a3a5＝4(a4－1)，所以24a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{a n}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{a n}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1 B．－1 2C．1或－12D．－1或12【答案】C【解析】当q＝1时，a n＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，由21317,(1)=211a qa qq⎧=⎪⎨-⎪-⎩得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝71(12)12a--＝381，解得a1＝3..【名师微点】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝11(1)11n n a a q a q q q--=--. 考点二：等比数列的判定与证明例1．[典例精析]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．【证明】因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以1n n b b +＝211111112442242222n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===--- 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]等比数列的判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三：等比数列的性质及应用例2．(1)已知等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A．12B．10C．8 D．2＋log35(2)设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C. 578D.558(3)已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【答案】(1)B(2)A(3)2【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3(a1a2 (10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18，所以a7＋a8＋a9＝1 8 .(3)由题意，得=240=80S SS S+-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶奇偶，，解得=80=160SS-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶，所以q＝160=80SS--偶奇＝2.[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．2.4 等比数列基础练一、单选题1．在等比数列{}n a 中，201920168a a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．82．已知等比数列{}n a 中，2017a ，2019a 是方程2410x x -+=的两个根，则2018a =（）A ．1B ．±1C ．2018D ．1，2018 3．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且132,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为（）A ．11,-2B ．1C ．1-2D ．-24．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b 为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知等比数列{}n a 满足112a =，且()24341a a a ⋅=-，则5a =（） A ．8B ．16C ．32D ．646．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题7．若,22,33x x x ++是一个等比数列的前3项，则第四项为_________．8．在等比数列{}n a 中，1132a =，当11n 时，1n a >恒成立，则公比q 的取值范围是______．9．已知数列{}n a 满足()*1111,3n n n a a n a a +==∈+N ，那么{}n a 的通项公式是___.三、解答题10．已知：n S 为{}n a 的前n 项和，且满足n n a S n +=.（1）求证：{}1n a -成等比数列；（2）求n a .2.5 等比数列的前n 项和基础练一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11{}n n a a +⋅的前6项和为（）A ．215 B ．415 C ．511 D ．1011 2．数列11111,2,3,424816…的前n 项和为（）A ．()211122n n n ++-B ．()1111122n n n +++-C ．()211222n n n ++-D ．()1112122n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭3．数列{}n a的通项公式为n a =n S 为其前n 项和.若9n S =，则n =（）A ．99B ．98C ．97D ．964．若数列{}n a 的通项公式为221n n a n =+-,则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．221n n +-B ．1221n n ++-C ．1222n n ++-D ．222n n +-5．数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A ．2nn +B ．22nn + C ．1n n + D ．21nn + 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（）A ．3(1)2n n -++⨯B ．3(1)2n n ++⨯C ．1(1)2n n ++⨯D ．1(1)2n n +-⨯二、填空题7．已知数列｛a n ｝的通项a n =2n +n ，若数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，则S 8＝_________8．()()11114473231n n +++=⨯⨯-+ 9．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于_________．三、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．参考答案11．【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2019=8a 2016，∴q 3=8，解得q =2．故选A ． 2．【答案】B【解析】∵2017a ，2019a 是方程x 2﹣4x+1=0的两个根，∴20172019a a =1，则在等比数列{a n }中，201720192018a a a =2=1，2008a ∴=±1故选B ． 3．【答案】A【解析】数列{}n a 是公比为q 的等比数列,132,,a a a 故3122a a a =+,由此解得112q =-，故选A 。

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《等比数列的前n项和公式》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《等比数列的前n 项和公式》一、选择题1.等比数列{a n }中，a n =2n ，则它的前n 项和S n =( )A ．2n -1B ．2n -2C ．2n ＋1-1D ．2n ＋1-22.在等比数列{a n }中，若a 1=1，a 4=，则该数列的前10项和S 10=( )18A ．2-B ．2-C ．2-D ．2-128129121012113.等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( )A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．2或-14.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，54则S 5=( )A ．35B ．33C ．31D ．295.等比数列{a n }中，a 3=3S 2＋2，a 4=3S 3＋2，则公比q 等于( )A ．2 B. C ．4 D.12146.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n-1)2 B.(2n -1) C ．4n -1 D.(4n -1)13137.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若=3，则=( )S4S2S6S4A ．2 B. C. D ．1或273310二、填空题8.若数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ，n=1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n =________.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．10.等比数列的前n 项和S n =m·3n ＋2，则m=________.11.已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于________．12.设数列{a n}(n=1,2,3，…)的前n项和S n满足S n＋a1=2a n，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5=________.三、解答题13.在等差数列{a n}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20.14.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-n2，a n=log5b n，其中b n>0，求数列{b n}的前n项和T n.15.已知数列{a n }的前n 项和S n =1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5=，求λ.313216.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =ln a 3n ＋1，n=1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：D ；解析：a 1=2，q=2，∴S n ==2n ＋1-2.2× 1－2n1－22.答案为：B ；解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 4=，得q 3=，解得q=，181812于是S 10===2-.a1 1－q10 1－q 1－ 12 101－121293.答案为：C ；解析：S 4==1，①S 8==17，②；②÷①得1＋q 4=17，a1· 1－q41－qa1· 1－q81－qq 4=16.q=±2.4.答案为：C ；解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3=a ·q 3=a 1·a 4=2a 1，∴a 4=2.21又∵a 4＋2a 7=a 4＋2a 4q 3=2＋4q 3=2×，∴q=.∴a 1==16.S 5==31.5412a4q3a1· 1－q51－q5.答案为：C ；解析：a 3=3S 2＋2，a 4=3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4-a 3=3a 3，即a 4=4a 3，∴q=4.6.答案为：D ；解析：根据前n 项和S n =2n -1，可求出a n =2n-1，由等比数列的性质可得{a }仍为等比数2n 列，且首项为a ，公比为q 2，∴a ＋a ＋…＋a =1＋22＋24＋…＋22n-2=(4n -1)．212122n 137.答案为：B ；解析：设S 2=k ，则S 4=3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q≠-1)，得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4为等比数列，又S 2=k ，S 4-S 2=2k ，∴S 6-S 4=4k ，∴S 6=7k ，∴==，S6S47k 3k 73故选B.8.答案为：2n -1；解析：由=2，∴{a n }是以a 1=1，q=2的等比数列，故S n ==2n -1.an ＋1an 1× 1－2n1－29.答案为：；13解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2=S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q)=a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，∴4(1＋q)=1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q=.1310.答案为：-2；解析：设等比数列为{a n }，则a 1=S 1=3m ＋2，S 2=a 1＋a 2=9m ＋2⇒a 2=6m ，S 3=a 1＋a 2＋a 3=27m ＋2⇒a 3=18m ，又a =a 1·a 3⇒(6m) 2=(3m ＋2)·18m ⇒m=-2或m=0(舍去)．∴m=-2.211.答案为：2n -1；解析：由题意，Error!，解得a 1=1，a 4=8或者a 1=8，a 4=1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1=1，a 4=8，即q 3==8，所以q=2，a4a1因而数列{a n }的前n 项和S n ===2n -1.a1 1－qn 1－q 1－2n1－212.答案为：34；解析：由S n ＋a 1=2a n ，得a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n≥2)，即a n =2a n-1(n≥2)．从而a 2=2a 1，a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3=2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1=2(2a 1＋1)，解得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n ，所以a 1＋a 5=2＋25=34.13.解：设数列{a n }的公差为d ，则a 3=a 4-d=10-d ，a 6=a 4＋2d=10＋2d ，a 10=a 4＋6d=10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10=a ，26即(10-d)(10＋6d)=(10＋2d)2.整理，得10d 2-10d=0.解得d=0或d=1.当d=0时，S 20=20a 4=200；当d=1时，a 1=a 4-3d=10-3×1=7，于是S 20=20a 1＋d=20×7＋190=330.20×19214.解：当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2n-n 2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n ＋3，当n=1时，a 1=S 1=2×1-12=1也适合上式，∴{a n }的通项公式a n =-2n ＋3(n ∈N *)．又a n =log 5b n ，∴log 5b n =-2n ＋3，于是b n =5-2n ＋3，b n ＋1=5-2n ＋1，∴==5-2=.bn ＋1bn 5－2n ＋15－2n ＋3125因此{b n }是公比为的等比数列，且b 1=5-2＋3=5，125于是{b n }的前n 项和T n ==.5[1－(125)n ]1－12512524[1－(125)n ]15.解：(1)证明：由题意得a 1=S 1=1＋λa 1，故λ≠1，a 1=，a 1≠0.11－λ由S n =1＋λa n ，S n ＋1=1＋λa n ＋1得a n ＋1=λa n ＋1-λa n ，即a n ＋1(λ-1)=λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以=.an ＋1an λλ－1因此{a n }是首项为，公比为的等比数列，于是a n =n-1.11－λλλ－111－λ(λλ－1)(2)由(1)得S n =1-n .(λλ－1)由S 5=得1-5=，即5=.3132(λλ－1)3132(λλ－1)132解得λ=-1.16.解：(1)由已知得Error!解得a 2=2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2=2，可得a 1=，a 3=2q ，2q又S 3=7，可知＋2＋2q=7，即2q 2-5q ＋2=0.解得q 1=2，q 2=.2q 12由题意得q>1，∴q=2，∴a 1=1.故数列{a n }的通项为a n =2n-1.(2)由于b n =ln a 3n ＋1，n=1,2，…，由(1)得a 3n ＋1=23n ，∴b n =ln 23n =3nln 2.又b n ＋1-b n =3ln 2，∴{b n }是等差数列，∴T n =b 1＋b 2＋…＋b n ==·ln 2.n b1＋bn 23n n ＋12故T n =ln 2.3n n ＋1 2。

等比数列的前n项和

(2)求数列1 1 ，2 1 ，3 1，...，n 1 ,...的前项和;
2 48
2n
(3)求数列
1，1 2，1 2+22，...，(1 2+22 2n-1),...的前项和;
(4)求和：2+3 22 （2n 1） 2n.
四、练习：课本 P 54 1--4
五、小结： 1.上述几种求和的推导方式中第一种方法我们源自a1(1 qn ) 1 q
当q=1时，S n na1
（法2）借助和式的代数特征进行恒等变形
Sn a1 a2 a3 ... an
a1 q(a1 a2 a3 ... an1 )
a1 q(Sn an )
当q≠1时，S n
a1 an q 1 q
当q=1时，Sn na1
（法3）用等比定理推导因为所以
？想一想：如何计算
Sn a1 a1q a1q 2 ... a1q n1
（法1）错位相减法
Sn a1 a1q a1q 2 ... a1q n1（1）
qSn=a1q+ a1q2 + ---+ a1qn-1 +a1qn （2）
（1）—（2）得(1 q)Sn a1 a1q n
当q≠1时，Sn
一个数列：1,2,22 ,23 ,,263
求和的表达式为：
S64=1+2+22+…+262+263 （1）
上式两边同时乘以2，有：
2S64=2+22+23…+263+264 （2）
S64=1+2+22+23+…+263
（1）
2S64= 2+22+23+…+263+264 （2）

题型05 等比数列通项公式、前n项和公式及其变形公式(解析版)

11.(高考题)在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1， a8 a6 2a4 ，则 a6 的值是
．
【解析】： q4 q2 2 0 ， q2 2 ， a6 a2 q4 4 。
12.( 高考题 ) 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公比不为 1 ，若 a1 1 ，且对任意的 n N ，都有
2
17
D.
2
【解析】：
S4
a2 2
a2
2a2
4a2
15 ，选
C。
a2
a2
2
4.(2009 年新课标全国卷 7)等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 4a1 ，2a2 ，a3 成等差数列，若 a1 =1，则 S4 =
(
)
A.7
B.8
C.15
D.16
【解析】： 4a2 4a1 a3 q 2 ， S4 1 2 4 8 15 ，选 C。
an
中,
a1
=
1 2
, a4 =-4,则公比 q =______；
a1
a2
...
an
_________。
【解析】： q =－2；前 n 项和为： 2n1 1 。 2
3.(高考题)在等比数列 {an } 中，若
a1
1，
a4
1 8
，则该数列的前
10
项和为
(
)
A.
2
1 28
【解析】：选 B。
B.
2
1 29
C.
2
1 210
D.
2
1 211
4.(高考题)设 f (n) 2 24 27 210 23n10(n N ) ，则 f (n) 等于 (

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)求数列前N 项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

1. 公式法等差数列前n 项和： 11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n kS nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n nn ＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n]2. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +. [例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(nn n Sn-+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

等比数列的前n项和(5)

Sn
na1
a1 anq‌ 1 q
q 1 ‌ q 1
18
等比数列的前n项和作业
P129习题3.5 :1, 2
祝同学们学习愉快，人人成绩优异！
19
当x 0, x 1, y 1时
x
1 y
x2
1 y2
…
xn
1 yn
x x2 … xn
1 y
1 y2
…
1 yn
x 1 xn
1 x
1 y
1
1 yn
1 1
x xn1 yn 1 1 x yn1 yn
y
13
现在我们把该题推广一下
x
1 y
x2
Sn a1 a2 a3 an的1 方法a,n就得
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1q是n1减错法位!相
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
Sn qSn (a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1)
a1
(a1q a1q n
∴a5 16, a10 512,
把第5项作为新等比数列的首项,第10项作为末项. 从第1项到第6项的和:
Sn
a1 anq 1 q
16 512 2 S6 1 2 1008
17
课堂小结
• 这堂课主要让大家掌握等比数列前n项和求和公式及其推导方法.
na1
Sn
a1
1 qn
1 q
‌
q 1 ‌ q 1
)
2麦是4的说年全…产世量界约都2为要66130亿)00吨多，年就
S64
264
1
才能生产这么多小麦，国
18446744王0无7论3如7何0是9不5能5实1现6发15 明者的要求的。

等比数列的前n项和的公式

等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。

求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。

方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。

证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。

当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。

2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。

3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。

4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。

5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。

6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。

这就是等比数列的前n项和公式。

方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。

逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。

等比数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

数学等比数列及其前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－233．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．1285．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( )A ．－13B ．13C ．－12D ．126．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 67．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( )A ．62B ．48C ．36D ．31二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝_____．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝．11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝_____．12．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____．三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．122．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．75．已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．【参考答案】一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( C ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－23[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23，又a 1<0，因此q ＝－23.故选C ．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由x (1－27)1－2＝381可得x ＝3．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( C ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128[解析] 由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( A )A ．－13B ．13C ．－12D ．12[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13．6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( D )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 6[解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )a 1(1－q 6)－a 3(1－q )a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q )1－q 6，由于q >0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6<T 3，故选D ．7．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( C ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．158[解析] 设数列{a n }的公比为q ．当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027．8．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( A )A ．62B ．48C ．36D ．31[解析] 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{a n }的公比为q ，则a 1＝32，q ＝12，所以S 5＝32[1－(12)5]1－12＝62，选A ．二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝__320___．[解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 22a n ，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝647(1－2－3n) ．[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q＝4.易知数列{a n a n ＋1a n＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n＋1a n ＋2＝8(1－18n )1－18＝647(1－2－3n )． 11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝__32___．[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2．又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32．12．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)___．[解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝1q ＋q ＋1∵|1q ＋q |＝1|q |＋|q |≥2(当且仅当|q |＝1时取等号) ∴1q ＋q ≥2或1q＋q ≤－2∴S 3≥3或S 3≤－1，∴S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．[分析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． (1)根据已知，建立含有q 的方程→求得q 并加以检验→代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前n 项和公式与已知建立等量关系即可求解． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1．由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6． [解后反思] 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略： (1)求通项．求出等比数列的两个基本量a 1和q 后，通项便可求出． (2)求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解．(4)求前n 项和．直接将基本量代入等比数列的前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．[易错警示] 解方程时，注意对根的检验．求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]，又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C ． [技巧点拨] (1)在等差(比)数列的基本运算中要注意数列性质的运用，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度．(2)根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误．2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵a n ＝192， ∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－12663＝－2．又S n ＝a 1－a n q1－q＝S 奇＋S 偶，∴a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，解得a 1＝3，故选C ．3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( B ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16[解析] 由等比数列的性质知S n 、S 2n －S n 、S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －2)2＝2(14－S 2n )，∴S 2n ＝6或－4(舍去)，又S 2n －S n 、S 3n －S 2n 、S 4n －S 3n 成等比数列，∴82＝4(S 4n －14)，∴S 4n ＝30.故选B ．另解：(特殊化)不妨令n ＝1，则a 1＝S 1＝2，S 3＝2(1－q 3)1－q ＝14，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或－3(舍去)∴S 4＝2(1－q 4)1－q＝30.故选B ．4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 在等比数列{a n }中，a 3·a n －2＝a 1·a n ＝81，又a 1＋a n ＝82，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝81或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝81，a n ＝1.当a 1＝1，a n ＝81时，S n ＝1－81q1－q ＝121，解得q ＝3．由a n ＝a 1q n －1得81＝3n －1，解得n ＝5．同理可得当a 1＝81，a n ＝1时，n ＝5.故选B ．5．已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．[解析] (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1，n ∈N *，由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，得q ＝3，由已知a 2n ＝3a 2n ，即a 1q 2n －1＝3a 21q 2n －2，解得q ＝3a 1，a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．因为b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，可得b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝5，…，b n －b n －1＝2n －1，累加可得b n ＝n 2．(2)当n ＝1时，c 1a 1＝1，c 1＝1，当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝n 2①c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n －1a n －1＝(n －1)2② 由①－②得到c na n ＝2n －1，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ≥2，综上，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ∈N *．T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)×3n －2＋(2n －1)×3n －1③ 3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ④ 由③－④得到－2T n ＝1×30＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1×30＋2×3(3n －1－1)3－1－(2n －1)×3n ．所以T n ＝1＋(n －1)×3n ．。

等差等比数列及其前n项和作业及答案

等差等比数列及其前n 项和作业及答案一、选择题：1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b≠2. 答案：B 2.(2009·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12＝2. 答案：C 3．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)－10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152<k <9，又∵k ∈N *，∴k ＝8. 答案：B 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于 ( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：由{a n }是等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．由2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案：B5.设数列{a n }是等差数列，且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 6解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5. 答案：C6.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，123，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5＋12或5－12解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0， ∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52，a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：A 7.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C.2 D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6a 5＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 答案：B 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，又∵S 6∶S 3＝1∶2，∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C 9.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2np (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{a n }是等比数列则a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1a 2n＝q 2，则{a n }为“等方比数列”．当{a n }为“等方比数列”时，则a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，当n ≥1时a n ＋1a n ＝±p ，所以此数列{a n }并不一定是等比数列．答案：B10.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：∵q 3＝a 5a 2＝18∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C. 答案：C11. 在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当S n 取得最小值时，n 等于A ．10B ．11C ．9或10D ．10或11解析：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×(9－1)d ＝12a 1＋12×12×(12－1)d ，即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d . ∵a 1<0，∴d >0. ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－441d 8∴S n 有最小值，又n ∈N *， ∴n ＝10，或n ＝11时，S n 取最小值．答案：D12.在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n n 最大时，n 的值等于 ( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，而a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ， b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n＜0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S n n 最大．答案：C 二、填空题：13．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.解析：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52. 答案：52 14．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，所以a 4＝13. 答案：1315．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________. 解析：a 4＝a 1(12)3＝181，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1， ∴S 4a 4＝15. 答案：15 16．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝－3或q ＝2. ∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152三、解答题：17．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2－，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n 2－＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n＋1. 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋22，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 19．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n ＋1＞b n 成立．解：(1)∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝6n ＋(－1)n －1·λ·22n －1，要使得对任意n ∈N *都有b n ＋1＞b n 恒成立， ∴b n ＋1－b n ＝6n ＋1＋(－1)n ·λ·22n ＋1－6n －(－1)n －1·λ·22n －1＝5·6n －5λ·(－1)n －1·22n －1＞0恒成立，即12λ·(－1)n －1＜(32)n . 当n 为奇数时，即λ＜2·(32)n ，而(32)n 的最小值为32， ∴λ＜3. 当n 为偶数时，λ＞－2(32)n ，而－2(32)n 的最大值为－92，∴λ＞－92.由上式可得－92＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2. 20．(2010·株州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，满足f (0)＝f (12)＝0，且f (x )的最小值是－18.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点(n ，S n )在函数f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过b n ＝S n n ＋c 构造一个新的数列{b n }，是否存在非零常数c ，使得{b n }为等差数列； (3)令c n ＝S n ＋n n，设数列{c n ·2c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为f (0)＝f (12)＝0，所以f (x )的对称轴为x ＝0＋122＝14，又因为f (x )的最小值是－18，由二次函数图象的对称性可设f (x )＝a (x －14)2－18. 又f (0)＝0，所以a ＝2，所以f (x )＝2(x －14)2－18＝2x 2－x . 因为点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3(n ＝1时也成立)，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)因为b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c c ＝－12(c ≠0)，即得b n ＝2n ，此时数列{b n }为等差数列，所以存在非零常数c ＝－12{b n }为等差数列． (3)c n ＝S n ＋n n ＝2n 2－n ＋n n＝2n ，则c n ·2c n ＝2n ×22n ＝n ×22n ＋1. 所以T n ＝1×23＋2×25＋…＋(n －1)22n －1＋n ×22n ＋1，4T n ＝1×25＋2×27＋…＋(n －1)22n ＋1＋n ×22n ＋3，两式相减得：－3T n ＝23＋25＋…＋22n ＋1－n ×22n ＋3＝23(1－4n )1－4n ·22n ＋3， T n ＝23(1－4n )9＋n ·22n ＋33＝(3n －1)22n ＋3＋89. 21．已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *)②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，法一：迭代法得：b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．法二：可用累加法，即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， … b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)． (2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增．且f (4)＝1， ∴当k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0， ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．22.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝24，a 2＝5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)试问a 11是数列{b n }的第几项；(3)是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5， ∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.(2)依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023， 1023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．(3)依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ， a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，故数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010，而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个，即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010.。

等比数列前n项和公式怎么求

等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。

2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。

3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。

(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。

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数学练习5：等比数列的前n 项和(文) 姓名：
1.公式：
S n =⎩
⎨⎧≠=1 1 q q
2.推导方法：错位相减法
当n n n b a c =(其中数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列)时，可以用错位相减法求和.
3.性质：若S n 为等比数列{a n }的前n 项和，则：S m , S 2m -S m ,,S 3m S 2m -S 2m 成比差数列例1(1).在等比数列{a n }中,S n 表示前n 项和,若 a 3=2S 2+1, a 4=2S 3+1,公比q = .
(2).已知等比数列{a n }中,前n 项和
S n =54,S 2n =60,则S 3n 等于 ; (3) =+++++
n n 2
1
2423132 . (4)如果数列{a n }的前n 项和32
3
-=n n a S ,求这个数列的通项公式.
例2.已知数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,并且
S n +1=4a n +2(n =1,2,…),a 1=1
(1)设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),求证{b n }是等比数列; (2)设c n =
n
n
a 2(n =1,2,…),求证{c n }是等差数列; (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式.
1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189 2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是 {a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1
a n }
的前5项和为( )
A.158和5
B.3116和5
C.3116
D.158 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n
＋1
＝3S n (n ≥1)，则a 6等于
( )
A ．3×44
B ．3×44＋1
C ．45
D ．45＋1
4.等比数列{a n }的各项都是正数,若
a 1=81,a 5=16,则它的前5项的和是( ) A.179 B.211 C.243 D.275
5.已知等比数列的公比为2，若前4项之和等
于1，则前8项之和等于( ) A.15 B.17 C.19 D.21
6.在公比为整数的等比数列{a n }中, a 1+a 4=
18,a 2+a 3=12,那么a 5+ a 6+ a 7+ a 8等于( ) A.480 B.493 C.495 D.498
7.数列1,1+2,1+2+22
,…,(1+2+22
+…+2n-1
),…
前n 项和等于( )
A.2n +1-n
B.2n +1-n -2
C.2n -n
D.2n
8.若等比数列{a n }的前n 项之和S n =3n
+a ,则a 等于( )
A.3
B.1
C.0
D.-1
9.等比数列{a n }的前n 项和S n =2n
-1,则
a 21+a 22+…+a 2n 等于( )
A.2)12(-n
B.2)12(3
1
-n
C.14-n
D.)14(3
1
-n
10．等比数列{a n }共2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ _______.
11．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.
12.等比数列｛a n ｝中，公比q =2,log ２a １+log
２
a 2+…+log ２a 10=25,则a １+a ２+…+a 10= .
13.等比数列{a n }中,a 1=1, a n =-512, S n =-341,
则q = .
14.=++++++12
1
)12(815413
211n n . 15.在等比数列{a n }中,若a 5-a 4=576,a 2-a 1=9,
则前5项的和为________.
16. 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a n +1=2S n +1
(1)求证：数列｛a n ｝为等比数列； (2)求数列｛a n ｝的通项公式.
17.已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为各
项为正数的等比数列，且a 1= b 1=1, a 3+ b 5=21, a 5+ b 3=13,
(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和S n .。