2015届高考物理大二轮专题复习训练：专题三 第2课时 电场和磁场中的曲线运动

第2课时 电场和磁场中的曲线运动1．带电粒子在电场中受到电场力，如果电场力的方向与速度方向不共线，粒子将会做曲线运动；如果带电粒子垂直进入匀强电场，将会做类平抛运动，由于加速度恒定且与速度方向不共线，因此是匀变速曲线运动．2．研究带电粒子在匀强电场中的类平抛运动的方法与平抛运动相同，可将运动分解为垂直电场方向的匀速直线运动和沿电场方向的匀加速直线运动；若场强为E ，其加速度的大小可以表示为a ＝qEm.3．带电粒子垂直进入匀强磁场时将做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，洛伦兹力始终垂直于运动方向，它不做功．其半径R ＝m v qB ，周期T ＝2πmqB.1．带电粒子在电场和磁场的组合场中运动时，一般是类平抛运动和匀速圆周运动的组合，可以先分别研究这两种运动，而类平抛运动的末速度往往是匀速圆周运动的线速度，分析运动过程中转折点的速度是解决此类问题的关键．2．本部分内容通常应用运动的合成与分解的方法、功能关系和圆周运动的知识解决问题.考向1 带电粒子在电场中的曲线运动问题例1 (2014·山东·18)如图1所示，场强大小为E 、方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd ，水平边ab 长为s ，竖直边ad 长为h .质量均为m 、带电量分别为＋q 和－q 的两粒子，由a 、c 两点先后沿ab 和cd 方向以速率v 0进入矩形区域(两粒子不同时出现在电场中)．不计重力，若两粒子轨迹恰好相切，则v 0等于( )图1A.s 2 2qEmh B.s 2 qE mh C.s 42qEmhD.s 4qE mh审题突破 正负粒子在电场中做什么运动？两粒子轨迹恰好相切说明什么？解析 根据对称性，两粒子轨迹的切点位于矩形区域abcd 的中心，则在水平方向有12s ＝v 0t ，在竖直方向有12h ＝12·qE m ·t 2，解得v 0＝s2qEmh.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 答案 B以题说法 1.带电粒子在电场中的一般曲线运动特点是运动轨迹一定在合力和速度的夹角范围内，且向着力的方向弯曲，这是我们画轨迹或者分析受力的依据.2.对于类平抛运动模型通常采用运动的合成与分解方法处理．一对平行金属板长为L ，两板间距为d ，质量为m ，电荷量为e 的电子从平行板左侧以速度v 0沿两板的中线不断进入平行板之间，两板间所加交变电压u AB 如图2所示，交变电压的周期T ＝L2v 0，已知所有电子都能穿过平行板，且偏距最大的粒子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，则( )图2A ．所有电子都从右侧的同一点离开电场B ．所有电子离开电场时速度都是v 0C ．t ＝0时刻进入电场的电子，离开电场时动能最大D ．t ＝T 4时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为d 16答案 BD解析 电子进入电场后做类平抛运动，不同时刻进入电场的电子垂直电场方向分速度图象如图，可知，各个电子在垂直电场方向的位移不全相同，故所有电子从右侧离开电场的位置不全相同，故A 错误；由图看出，所有电子离开电场时，垂直电场方向分速度v y ＝0，速度都等于v 0，故B 正确；由上分析可知，电子离开电场时的速度都相同，动能都相同，故C 错误；t ＝T4时刻进入电场的电子，在t ＝3T 4时刻侧位移最大，最大侧位移为y m ＝2×12a (T 4)2＝aT 216，在t ＝0时刻进入电场的电子侧位移最大为d 2，则有d 2＝4×12a (T 2)2＝aT 22，解得y m ＝d16，故D 正确．考向2 带电体在电场中的曲线运动问题例2 如图3所示，MPQO 为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，ACB 为光滑固定的半圆形绝缘轨道，圆轨道半径为R ，圆心为O ，A 、B 为圆水平直径的两个端点，OC 竖直．一个质量为m 、电荷量为－q 的带电小球，从A 点正上方高为H 处由静止释放，并从A 点沿切线进入半圆轨道．不计空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的运动情况，下列说法正确的是( )图3A ．小球一定能从B 点离开轨道 B ．小球在AC 部分可能做匀速圆周运动C ．若小球能从B 点离开，上升的高度一定小于HD ．小球到达C 点的速度可能为零审题突破 小球在运动过程中有哪几个力做功，是正功还是负功？小球在AC 部分做匀速圆周运动的条件是什么？如果小球到达C 点的速度为零，小球还能不能沿AC 半圆轨道运动？ 解析 由于题中没有给出H 与R 、E 的关系，所以小球不一定能从B 点离开轨道；若重力大小等于电场力，小球在AC 部分做匀速圆周运动．由于小球在AC 部分运动时电场力做负功，所以若小球能从B 点离开，上升的高度一定小于H ；若小球到达C 点的速度为零，则电场力大于重力，则小球不可能沿半圆轨道运动，所以小球到达C 点的速度不可能为零． 答案 BC以题说法 1.带电体一般要考虑重力，而且电场力对带电体做功的特点与重力相同，即都与路径无关．2．带电体在电场中做曲线运动(主要是类平抛、圆周运动)的分析方法与力学中的方法相同，只是对电场力的分析要更谨慎．如图4所示，在竖直向上的匀强电场中，从倾角为θ的斜面上的M 点水平抛出一个带负电小球，小球的初速度为v 0，最后小球落在斜面上的N 点．在已知θ、v 0和小球所受的电场力大小F 及重力加速度g 的条件下，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )图4A ．可求出小球落到N 点时重力的功率B ．由图可知小球所受的重力大小可能等于电场力C ．可求出小球从M 点到N 点的过程中电势能的变化量D ．可求出小球落到N 点时速度的大小和方向 答案 BD解析 质量未知，故无法求重力功率，故A 错误；小球做类平抛运动，重力与电场力的大小不确定，可能两者相等，故B 正确；小球从M 点到N 点的过程中电势能的变化量ΔE p ＝Fy ＝F ·v 2y 2a ，由于加速度a 无法求出，所以电势能的变化量不能求出，故C 错误；利用平抛知识有y x ＝v y t 2v 0t ＝v y 2v 0＝tan θ，速度偏向角设为α，则tan α＝v y v 0＝2tan θ，则得：v y ＝2v 0tan θ，故v N ＝v 20＋v 2y ＝1＋4tan 2θv 0，D 正确．考向3 带电粒子在磁场中的圆周运动问题例3 如图5所示，在xOy 平面内，有一个圆形区域的直径AB 与x 轴重合，圆心O ′的坐标为(2a,0)，其半径为a ，该区域内无磁场．在y 轴和直线x ＝3a 之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴上某点射入磁场．不计粒子重力．图5(1)若粒子的初速度方向与y 轴正向的夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B 点，求粒子的初速度大小v 1；(2)若粒子的初速度方向与y 轴正向的夹角为60°，在磁场中运动的时间为Δt ＝πm /3Bq ，且粒子也能到达B 点，求粒子的初速度大小v 2；(3)若粒子的初速度方向与y 轴垂直，且粒子从O ′点第一次经过x 轴，求粒子的最小初速度v min .审题突破 粒子不经过圆形区域到达B 点时速度有何特点？画出运动轨迹，如何根据几何关系求半径？解析 (1)粒子不经过圆形区域就能达到B 点，故粒子到达B 点时的速度竖直向下，圆心必在x 轴正半轴上，设粒子圆周运动的半径为r 1， 由几何关系得：r 1sin 30°＝3a －r 1 又q v 1B ＝m v 21r 1，解得：v 1＝2qBa m .(2)粒子在磁场中运动的周期T ＝2πmBq ，故粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为 α＝ΔtT×360°＝60°粒子到达B 点的速度与x 轴夹角β＝30° 设粒子做圆周运动的半径为r 2，由几何关系得： 3a ＝2r 2sin 30°＋2a cos 230°又q v 2B ＝m v 22r 2，解得：v 2＝3qBa 2m.(3)设粒子从C 点进入圆形区域，O ′C 与O ′A 夹角为θ，轨迹圆对应的半径为r ， 由几何关系得：2a ＝r sin θ＋a cos θ 故当θ＝60°时，半径最小为r min ＝3a 又q v min B ＝m v 2minr min ，解得v min ＝3qBa m .答案 (1)2qBa m (2)3qBa 2m (3)3qBam以题说法 1.对于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题，基本思路是：根据进场点和出场点的速度方向，确定洛伦兹力的方向，其交点为圆心，利用几何关系求半径． 2．带电粒子在常见边界磁场中的运动规律 (1)直线边界：①对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场．②完整性：正、负带电粒子以相同的速度进入同一匀强磁场时，两带电粒子轨迹圆弧对应的圆心角之和等于2π.(2)圆形边界：沿径向射入的粒子，必沿径向射出．如图6所示，在屏蔽装置底部中心位置O 点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v ＝3.2×106 m 的α粒子．已知屏蔽装置宽AB ＝9 cm 、缝长AD ＝18 cm ，α粒子的质量m ＝6.64×10－27kg ，电量q ＝3.2×10－19C ．若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B ＝0.332 T ，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空环境中．图6(1)若所有的α粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d 至少是多少？ (2)若条形磁场的宽度d ＝20 cm ，则射出屏蔽装置的α粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？(结果保留2位有效数字) 答案 (1)0.34 m (2)2.0×10－7 s 6.5×10－8 s解析 (1)由题意：AB ＝9 cm ，AD ＝18 cm ，可得： ∠BAO ＝∠ODC ＝45°所有α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R ， 根据牛顿第二定律有：Bq v ＝m v 2R解得R ＝0.2 m ＝20 cm由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD 方向进入磁场的α粒子的圆周轨迹相切，则所有α粒子均不能从条形磁场隔离区右侧穿出，如图(1)所示．(1)设此时磁场宽度为d 0，由几何关系得： d 0＝R ＋R cos 45°＝(20＋102) cm ≈0.34 m(2)设α粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T ，则 T ＝2πm Bq ＝π8×10－6 s设速度方向垂直于AD 进入磁场区域的α粒子的入射点为E ，如图(2)所示．(2)因磁场宽度d ＝20 cm<d 0，且R ＝20 cm ，则在∠EOD 间出射进入磁场区域的α粒子均能穿出磁场右边界，在∠EOA 间出射进入磁场区域的α粒子均不能穿出磁场右边界，所以沿OE 方向进入磁场区域的α粒子运动轨迹与磁场右边界相切，在磁场中运动时间最长． 设在磁场中运动时间最长为t max ，则 t max ＝T 2＝π16×10－6 s ≈2.0×10－7 s若α粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆弧轨迹的弦最短，则α粒子穿过磁场时间最短．最短的弦长为磁场宽度d .设在磁场中运动的最短时间为t min ，轨迹如图(2)所示．因R ＝d ，则圆弧对应圆心角为60°， 故t min ＝T 6＝π48×10－6 s ≈6.5×10－8 s5．带电粒子在电场和磁场中运动的综合问题例4 (16分)如图7所示，坐标系xOy 在竖直平面内，水平轨道AB 和斜面BC 均光滑且绝缘，AB 和BC 的长度均为L ，斜面BC 与水平地面间的夹角θ＝60°，有一质量为m 、电量为＋q 的带电小球(可看成质点)被放在A 点．已知在第一象限分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小E 2＝mgq ，磁场为水平方向(图中垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ；在第二象限分布着沿x 轴正向的水平匀强电场，场强大小E 1＝B 2qL6m .现将放在A点的带电小球由静止释放，则小球需经多少时间才能落到地面(小球所带的电量不变)?图7思维导图解析 设带电小球运动到B 点时速度为v B ， 则由功能关系：E 1qL ＝12m v 2B ，解得：v B ＝3BLq3m(2分) 设带电小球从A 点运动到B 点用时为t 1， 则由v B ＝E 1q m t 1，解得t 1＝23mqB (2分)当带电小球进入第一象限后所受电场力为 F 电＝E 2q ＝mg (2分)所以带电小球做匀速圆周运动Bq v B ＝m v 2BR(1分)则带电小球做匀速圆周运动的半径R ＝m v B qB ＝33L (1分)则其圆周运动的圆心为如图所示的O ′点，BO ＝BC ·cos 30°＝32L ，OO ′＝BO －R ＝36L ， OC ＝BC ·cos 60°＝12L (2分)假设小球直接落在水平面上的C ′点，则 OC ′＝R 2－(OO ′)2＝12L ＝OC (2分)所以C ′与C 重合，小球正好打在C 点． ∠BO ′C ＝120°(1分)所以带电小球从B 点运动到C 点运动时间 t 2＝13T ＝2πm 3qB(1分)所以小球从A 点出发到落地的过程中所用时间 t ＝t 1＋t 2＝23m qB ＋2πm3qB.(2分) 答案23m qB ＋2πm 3qB(限时：15分钟，满分：20分)(2014·全国大纲·25)如图8所示，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向．在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d,0)点沿垂直于x 轴的方向进入电场．不计粒子重力．若该粒子离开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ，求：图8(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值； (2)该粒子在电场中运动的时间． 答案 (1)12v 0tan 2θ (2)2dv 0tan θ解析 (1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动．设磁感应强度的大小为B ，粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ，圆周运动的半径为R 0.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得q v 0B ＝m v 20R 0①由题给条件和几何关系可知 R 0＝d ②设电场强度大小为E ，粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为a x ，在电场中运动的时间为t ，离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为v x .由牛顿第二定律及运动学公式得Eq ＝ma x ③ v x ＝a x t ④v x2t ＝d ⑤ 由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有tan θ＝v xv 0⑥联立①②③④⑤⑥式得E B ＝12v 0tan 2θ⑦(2)联立⑤⑥式得t ＝2dv 0tan θ.(限时：45分钟)题组1 带电粒子在电场中的曲线运动问题1．如图1所示，图中MN 是由负点电荷产生的电场中的一条电场线．一带正电粒子q 飞入电场后，只在电场力作用下沿图中虚线运动，a 、b 是该曲线上的两点，则下列说法正确是( )图1A ．a 点的电场强度小于b 点的电场强度B ．a 点的电势低于b 点的电势C ．粒子在a 点的动能小于在b 点的动能D ．粒子在a 点的电势能小于在b 点的电势能 答案 AC解析 由只受电场力作用且做曲线运动物体受力指向轨迹内侧知，场源电荷在左侧，根据负电荷周围电场分布特点可知：a 点的电场强度小于b 点的电场强度，a 点的电势高于b 点的电势，故A 正确，B 错误；粒子从a 运动到b 的过程中，电场力做正功，电势能减小，动能增加，故C 正确，D 错误．故选A 、C.2．如图2所示，虚线表示某电场的等势面．一带电粒子仅在电场力作用下由A 点运动到B 点的径迹如图中实线所示．粒子在A 点的速度为v A 、电势能为E p A ；在B 点的速度为v B 、电势能为E p B .则下列结论正确的是( )图2A ．粒子带正电，v A >vB ，E p A >E p B B ．粒子带负电，v A >v B ，E p A <E p BC．粒子带正电，v A<v B，E p A<E p BD．粒子带负电，v A<v B，E p A>E p B答案 B解析根据电场力与等势面垂直，又要指向轨迹弯曲的内侧，又电场线垂直于等势面由高电势指向低电势，故可判断电场力与电场方向相反，即该粒子带负电，由题图知U AB＝5 V，粒子从A运动到B的过程中，电场力做功W＝qU AB，做负功，故动能减小，电势能增大，所以v A>v B，E p A<E p B，故B正确，A、C、D错误．3．如图3所示，真空中有A、B两个等量异种点电荷，O、M、N是AB连线的垂线上的三个点，且AO>OB.一个带正电的检验电荷仅在电场力的作用下，从M点运动到N点，其轨迹如图中实线所示．下列说法正确的是()图3A．A电荷为正电荷，B电荷为负电荷B．M点的电势高于N点的电势C．M点的电场强度大于N点的电场强度D．检验电荷在M点的动能大于在N点的动能答案BC解析据带正电粒子的运动轨迹，粒子受到的电场力指向轨迹弯曲的内侧知A为负电荷，B 为正电荷，故A错误．因为AO＞OB，根据等量异种点电荷电场线及等势面分布特点可知M 点的电势高于N点的电势，M点的电场强度大于N点的电场强度，故B、C正确．正电荷在电势高处电势能大，M点的电势高于N点的电势，则正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能，在M点的动能小于在N点的动能．故D错误．4．如图4所示，两对金属板A、B和C、D分别竖直和水平放置，A、B接在电路中，C、D 板间电压为U.A板上O处发出的电子经加速后，水平射入C、D板间，电子最终都能打在光屏M上．关于电子的运动，下列说法正确的是()图4A．S闭合，只向右移动滑片P.P越靠近b端，电子打在M上的位置越高B．S闭合，只改变A、B板间的距离．改变前后，电子由O至M经历的时间相同C ．S 闭合，只改变A 、B 板间的距离，改变前后，电子到达M 前瞬间的动能相同D ．S 闭合后再断开，只向左平移B ，B 越靠近A 板，电子打在M 上的位置越高 答案 CD解析 S 闭合，只向右移动滑片P ，极板A 、B 之间的电压U 1增大，U 1越大，电子离开B 板时的速度越大，经过C 、D 极板时的时间越短，在竖直方向的位移y ＝12at 2越小，即高度越低，故选项A 错误；S 闭合，若只将A 板向B 板靠近时，极板A 、B 间的电压不变，电子获得速度不变，到达M 时的时间为t ＝d v 2＋L v ＝2d ＋Lv ，所以时间变短；S 闭合，若只将B 板向A 板靠近时，设A 、B 板的间距为d ，A 板与M 的间距为s ，极板A 、B 间的电压不变，电子获得速度不变，到达M 时的时间为t ＝d v 2＋s －d v ＝d ＋sv ，所以时间变短，故选项B 错误；S 闭合，只改变A 、B 板的间距，由动能定理得电子获得动能为E k ＝U 1q ＋Uq ，所以动能不变，故选项C 正确；S 闭合后再断开，极板A 、B 的电量不变，只向左平移B ，B 靠近A 板，间距减小，由C ＝εS 4πkd 可知电容C 增大，由C ＝QU可知其电压减小，所以电子获得的速度减小，通过极板C 、D 的时间变长，在竖直方向的位移y ＝12at 2增大，即高度增高，故选项D 正确．题组2 带电体在电场中的曲线运动问题5．如图5所示，真空中存在一个水平向左的匀强电场，场强大小为E .一根不可伸长的绝缘细线长度为l ，一端拴一个质量为m 、电荷量为q 的带负电小球，另一端固定在O 点．把小球拉到使细线水平的位置A ，由静止释放，小球沿圆弧运动到位置B 时，速度为零．图中角θ＝60°.以下说法正确的是( )图5A ．小球在B 位置处于平衡状态B ．小球受到重力与电场力的关系是mg ＝3qEC ．小球在B 点的加速度大小为gD ．小球从A 运动到B 的过程中，电场力对其做的功为－12qEl答案 CD解析 小球到达B 点时速度为零，但合力不为零，不是平衡状态，故A 错误；小球从A 到B 的过程中，由mgl sin θ－qEl (1－cos θ)＝0，可解得qE ＝3mg ，所以B 错误；小球沿切向方向的合力F 合＝qE cos 30°－mg sin 30°＝ma ，a ＝qE cos 30°－mg sin 30°m ＝3mg ·32－mg ·12m ＝g ，故C正确；小球从A 到B ，沿电场线方向运动的有效距离：d ＝l －l cos θ＝12l ，所以电场力做功：W＝－qEd ＝－12Eql ，故D 正确．6．如图6所示，地面上某区域存在着竖直向下的匀强电场，一个质量为m 的带负电小球以水平方向的初速度v 0由O 点射入该区域，刚好通过竖直平面中的P 点，已知连线OP 与初速度方向的夹角为45°，则此带电小球通过P 点时的动能为( )图6A ．m v 20 B.m v 202C ．2m v 20D.5m v 202答案 D解析 由题可知，小球到P 点时，水平位移和竖直位移相等，即v 0t ＝0＋v Py 2t ，合速度v P ＝v 20＋v 2Py ＝5v 0，则E k P ＝12m v 2P ＝52m v 20. 7．如图7所示，半径为R 的14光滑圆弧轨道与光滑水平面相切于B 点，O 为光滑圆弧的圆心，其中OB 竖直，OC 水平，且AB ＝R ，整个空间存在水平向右的匀强电场，质量为m 的带正电小球从A 点静止释放，其所受电场力为重力的43倍，重力加速度为g ，求：图7(1)小球到达C 点时对轨道的压力大小；(2)小球从A 点运动到C 点过程中最大速度的大小． 答案 (1)143mg (2)2gR解析 (1)已知Eq ＝43mg ，小球从A 到C ，由动能定理得： Eq ·2R －mgR ＝12m v 2C －0 对小球，在C 处由牛顿第二定律得： F N C －Eq ＝m v 2C R得小球受轨道的支持力F N C ＝143mg由牛顿第三定律小球对轨道的压力 F N C ′＝F N C ＝143mg .(2)在BC 圆弧上某点D ，电场力和重力的合力与速度方向垂直时速度有最大值，此时小球所在位置D 的半径与水平方向的夹角tan θ＝mg Eq ＝34，小球从A 到D ，由动能定理得Eq (R ＋R cos θ)－mg (R －R sin θ)＝12m v 2D －0解得最大速度v D ＝2gR .题组3 带电粒子在磁场中的圆周运动问题8．(2014·新课标Ⅱ·20)图8为某磁谱仪部分构件的示意图．图中，永磁铁提供匀强磁场．硅微条径迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹．宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子．当这些粒子从上部垂直进入磁场时，下列说法正确的是( )图8A ．电子与正电子的偏转方向一定不同B ．电子与正电子在磁场中运动轨迹的半径一定相同C ．仅依据粒子运动轨迹无法判断该粒子是质子还是正电子D ．粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小 答案 AC解析 根据左手定则，电子、正电子进入磁场后所受洛伦兹力的方向相反，故两者的偏转方向不同，选项A 正确；根据q v B ＝m v 2r ，得r ＝m v qB，若电子与正电子在磁场中的运动速度不相等，则轨迹半径不相同，选项B 错误；对于质子、正电子，它们在磁场中运动时不能确定m v 的大小，故选项C 正确；粒子的m v 越大，轨道半径越大，而m v ＝2mE k ，粒子的动能大，其m v 不一定大，选项D 错误．9．如图9所示，竖直面内有一倒立等边三角形OMN 区域，边长为L ，MN 边是水平的．在该区域有一垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场．在同一竖直面内有一束质量为m 、电荷量为q 、速度大小不同的带正电粒子从N 点沿NM 方向射入该磁场区域(可认为能发生偏转)．过O 点作与MN 边平行的直线作为x 坐标轴，且O 点为x 坐标轴的原点．不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，试求：图9(1)射到x 坐标轴上的O 点的粒子速度大小； (2)垂直OM 边射出的粒子与x 坐标轴的交点位置； (3)粒子在磁场中运动的时间和速度的关系． 答案 (1)3qBL3m(2)2(3－1)L (3)t ＝⎩⎨⎧2πm 3qB (v ≤3qBL3m)m [arccos (m v －3qBL 2m v )－π3]qB(v >3qBL3m)解析 (1)粒子的行进路线如图中弧线的轨迹NO ，根据几何知识有R ＝L2cos 30°又q v B ＝m v 2R ，得到射到x 坐标轴上O 点的粒子速度大小v ＝qBL 2m cos 30°＝3qBL3m(2)粒子的行进路线如图中的轨迹2， 根据几何知识有：R 2＝3L 另有R 2－Lsinπ6＝x ，得x ＝2(3－1)L .(3)从ON 边射出的粒子根据几何知识有：在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角都是2π3，所以这些粒子在磁场中运动的时间与速度无关，则t ＝2πm3qB.从OM 边射出的粒子行进路线可用图中的轨迹3代表，根据几何知识有：R ＝R cos α＋(L －R sin α)tan π3其中R ＝m v qB 且α角的范围是(0，2π3)可得α＝arccos(m v －3qBL 2m v )－π3，而t ＝αmqB ，得t ＝m [arccos (m v －3qBL 2m v )－π3]qB.题组4 带电粒子在电场和磁场中运动的综合问题分析10．(2014·江苏·9)如图10所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I ，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B 与I 成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为I H ，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压U H 满足：U H ＝k I H Bd，式中k 为霍尔系数，d 为霍尔元件两侧面间的距离．电阻R 远大于R L ，霍尔元件的电阻可以忽略，则( )图10A ．霍尔元件前表面的电势低于后表面B ．若电源的正负极对调，电压表将反偏C ．I H 与I 成正比D ．电压表的示数与R L 消耗的电功率成正比 答案 CD解析 当霍尔元件通有电流I H 时，根据左手定则，电子将向霍尔元件的后表面运动，故霍尔元件的前表面电势较高．若将电源的正负极对调，则磁感应强度B 的方向换向，I H 方向变化，根据左手定则，电子仍向霍尔元件的后表面运动，故仍是霍尔元件的前表面电势较高，选项A 、B 错误．因R 与R L 并联，根据并联分流，得I H ＝R L R L ＋R I ，故I H 与I 成正比，选项C 正确．由于B 与I 成正比，设B ＝aI ，则I L ＝R R ＋R L I ，P L ＝I 2L R L ，故U H ＝k I H B d ＝ak (R ＋R L )R 2d P L ，知U H ∝P L ，选项D 正确．11．如图11所示，在以坐标原点O 为圆心，半径为R 的半圆形区域(图中虚线与x 轴所围区域)内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E ，方向沿x 轴负方向．匀强磁场方向垂直于xOy 平面．一带负电的粒子(不计重力)从P (0，－R )点沿y 轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经时间t 0从O 点射出．图11(1)求匀强磁场的大小和方向；(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从P 点以相同的速度射入，经时间t 02恰好从半圆形区域的边界射出．求粒子的加速度和射出时的速度大小；(3)在满足(2)的条件下，若仅撤去电场，带电粒子从O 点沿y 轴负方向射入，且速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间． 答案 (1)Et 0R 垂直xOy 平面向外 (2)43t 20R13t 0R (3)318πt 0解析 (1)设带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，初速度为v ，磁感应强度为B .可判断出粒子受到的电场力沿x 轴正方向，则洛伦兹力沿x 轴负方向，于是可知磁感应强度垂直xOy 平面向外．且有qE ＝q v B ，R ＝v t 0，则B ＝Et 0R.(2)仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动 在y 方向位移y ＝v t 02＝R2设在水平方向位移为x ，因射出位置在半圆形区域边界上，于是x ＝32R 又有x ＝12at 2＝12a (t 02)2得a ＝43t 20R设出射速度v 1，出射时x 方向分速度为v x ，则 v x ＝2x t ＝23t 0R则v 1＝v 2x ＋v 2＝13t 0R(3)仅有磁场时，入射速度v 2＝4v ，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，圆心为C ，圆心角为2α，如图，设轨道半径为r ， 由牛顿第二定律有q v 2B ＝m v 22r又q v 2B ＝4qE ，qE ＝ma ，得r ＝33R 由几何关系知sin α＝R 2r ＝32，则α＝π3带电粒子在磁场中运动周期T ＝2πm qB ＝2πrv 2则带电粒子在磁场中运动时间t ＝2α2πT ＝318πt 0。