§10.3 Green 公式

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偏微分方程green公式

偏微分方程green公式偏微分方程Green公式是一种重要的数学理论，它可以帮助我们解决很多计算机科学中涉及微分方程的问题。

本文就偏微分方程Green公式的概念和应用进行简要介绍。

一、Green公式的概念Green公式是解决偏微分方程的一种方法，由英国数学家Green 于1837年提出。

Green公式的核心思想是将偏微分方程的求解转化为求解一个特定的定积分。

Green公式的表达式为：$$F(x) =int_{x_0}^x f(t) dt + F(x_0)$$其中，$x_0$是固定的一个常量，$F(x)$和$f(x)$分别是偏微分方程的右端以及多元函数。

二、Green公式的应用Green公式在很多计算机科学中有着广泛的应用。

例如，用Green 公式可以求解偏微分方程的解析解；Green公式也可以用来求解经典微分方程的渐近解；在计算机科学中，Green公式也可以用来计算物体表面的表面积，以及用于解决有限元问题。

三、Green公式的优缺点Green公式与其他解决微分方程的方法相比有着许多优点。

一方面，Green公式可以解决更复杂的偏微分方程；另一方面，Green公式在解决经典微分方程时更快，可以有效减少计算过程所需的时间。

虽然Green公式在许多方面都有着显著的优势，但也要注意它的一些缺点。

例如，Green公式在解决复杂的偏微分方程时，计算量很大，因此不适合求解一些高难度的问题；而且Green公式也不能用来求解有边界条件的偏微分方程。

四、结论以上就是Green公式简要介绍，仅供参考。

虽然Green公式在解决偏微分方程方面有着许多优点，但它也有一些缺点，所以在使用Green公式时要结合实际情况，选择最合适的应用方法。

高等数学格林公式及其应用

D 单连通区域
D 复连通区域
2
10.3 格林公式及其应用
2. 格林公式
定理10.4(格林公式) 设闭区域D由分段光滑
的曲线L围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶
连续偏导数, 则有
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中L是 D的取正向的边界曲线.
3
10.3 格林公式及其应用
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为
逆时针方向.
解记L所围成的闭区域为D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
则x当 2y20时 ,
有 Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P y
22
10.3 格林公式及其应用
计算Lxdxy2yyd2x,
Q x
P y
D
(Q x
P y
)dxdy
L
•
A(a,0) x
Q ex cosy, P excosym
x
y
可知 Q P m 非常简单.
x y
18
10.3 格林公式及其应用
为L应不用闭格合林+公边式L＊再, 使补L充+一L＊段曲线, 使之构成
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
L2
AFC , CE, L3 ,EC 及CGA构成.
B
由(2)知 D(Q xPy)dxdy
L3 E
C
L1 F A

格林公式及其应用

§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。

无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。

1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。

通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。

2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。

简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。

3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。

公式(1)叫做格林(green)公式。

【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。

D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。

南京航空航天大学《高等数学》10.3格林(Green)公式(上)

区域连通性的分类格林(Green)公式一个简单应用1一、区域连通性的分类设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.D D单连通区域复连通区域2设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.G G G一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通3二、格林(Green)公式规定 D 的边界曲线 L 的正向 :L1 L1DL2DL2L由L1与L2连成L由L1与L2组成边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.4定理1设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 P ( x , y )及Q( x , y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D 其中 L是 D 的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.(1)5y证明(1)若区域 D 既是 X − 型又是Y − 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点.d x = ψ 1( y) A c o aEy = ϕ 2 ( x)DBx = ψ 2 ( y) Cy = ϕ 1 ( x ) x bD = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }6d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D2 1=∫c Q (ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q (ψ 1 ( y ), y )dyd d= ∫CBE Q( x , y )dy + ∫EAC Q( x , y )dy∫L Q( x, y )dyy dx = ψ 1( y)E D B Cx = ψ 2 ( y)= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q( x , y )dyd d= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy∂Q ∴ ∫∫ dxdy = ∫ Q( x , y )dy L ∂x D ∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx 同理可证 D ∂yc oAx7两式相加得∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy DL3 D3 D2证明(2) 若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是 X − 型又是 Y − 型的区域 D1 , D2 , D3 .l3 l1D1l2L2DL1L∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D +∫∫+ D ( ∂x − ∂y )dxdy D 1 D2 38∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy D D D1 2 3=∫L + l Pdx + Qdy + ∫L + l1 1 2Pdx + Qdy +2∫L + l3Pdx + Qdy3==∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy1 2 3∫L Pdx + QdyL3 D3l3 l1D2l2L2( L1 , L2 , L3 对D 来说为正方向 )L1DD1L9证明(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. 由(2)知∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy D2 3GL3E DL2B AL1C F= { ∫AB ∫L+ ∫BA ∫AFC ∫CE ∫L+ ∫EC ∫CGA } ⋅ ( Pdx + Qdy ) + + + + += ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) = ∫ Pdx + Qdy2 3 1L( L1 , L2 , L3 对D 来说为正方向 )1011∫∫∫+=∂∂∂∂L DQdy Pdx dxdy QP y x .格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.上有连续的一阶偏导数在有方向的闭使用格林公式L y x Q y x P L L ),(),,()3()2()1(−−−−注12∫∫∫∫∫+=−−=−∴DDLd y x d x y ydxx dy xy σσ)()]([222222的正向闭路是沿圆周计算x y x L ydxx dy xy L2:2222=+−∫22,x yP y x Q −=∂∂=∂∂23cos 42222244cos 203πθθθππππθ===∫∫∫−−d dr r d 例1解yx P xy Q 22−==　∵1323168]sin [sin 8sin )sin 1(2sin )cos 2cos 31()]sin (sin )cos 1(cos sin )cos 1[(402220220222202222πππππππππ=⋅+=−+=−+=++=−+−+=−∫∫∫∫∫dt t t tdtt tdtt t dt t t t t t t ydxx dy xy Lπ20:,sin ,cos 1→==−t t y t x θθθθsin 2cos ,cos 2cos :==y x 令又解ty t x cos ',sin '=−=又解14222222222)(:y x y x x Q y P y x xQ yx y P ++−=∂∂=∂∂+=+−=用格林公式例2解法二点处不连续在)0,0(,Q P ∵C xyo1222'',','0D C C C D C D C y x C o 围成的区域为与围成的区域。

10-3green公式

解 L非闭,但 L AB BO 闭,但非正向
例2 设 L : 2 x y 上由(0,0)到 ( ,1) 一段,计算
2

Q P ( )dxdy AB BO y D x o B Q P 2 而 2 y cos x 6 xy , x y AB : x , dx 0; BO : y 0, dy 0 2 2 2 2 0 0 . I 1 (1 2 y 3( ) y )dy 0dx 4 2 2
x1
0 0
B ( x1 , y1 )
P ( x , y0 )dx Q( x1 , y )dy
x0 y0
y1
o
x
或 Q( x0 , y )dy P ( x , y1 )dx
y0 x0
y1
x1
例 1 计算 ( x 2 2 xy)dx ( x 2 y 4 )dy . 其中
在G 内恒成立.
有关定理的说明：
(1) (2)
开区域G 是一个单连通域. 函数 P ( x , y ), Q( x , y ) 在 G 内具有一阶连
续偏导数. 两条件缺一不可
P Q 若 y x
y
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
C ( x1 , y0 )
则
A( x , y ) Pdx Qdy
2 2
D
沿 L : x2 y2 2x
正向闭路.
x
y
( y 2 x 2 )d
D
d 0
2

2 cos
r rdr
2
o
3 . 2
2
x
2 I L ( 2 xy 3 y 2 cos x )dx (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 )dy

Green公式及拓展

Green第一第二第三公式的证明1.1Green第一公式证明Green第一公式：∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]S dxdy=−∬us∆udxdy+∮u∂u∂n⃗cds证明：不妨设n⃗=(cosθ,sinθ);由方向导数的定义有：∂u ∂n⃗=∂u∂xcosθ+∂u∂ysinθ可知有cosθ=dy√(dx)2+(dy)2；sinθ=−dx√()2()2ds=√()()；故有∮u ∂u ∂n⃗cds=∮uc (∂u∂xdy()2()2+∂u∂ydy()2()2)√(dx)2+(dy)2=∮uc∂udy−u∂udx由Green公式∬(∂Q∂x−∂P∂y)D dxdy=∮Pdx+Qdy∂D；得∮u c ∂u∂xdy−u∂u∂ydx=∬[∂∂x (u∂u∂x)−∂∂y(−u∂u∂y)]Sdxdy=∬[∂(u∂u)+∂(u∂u)]Sdxdy=∬[∂∂x(∂u∂x)u+(∂u∂x)2+∂∂y(∂u∂y)u+(∂u∂y)2]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS +∬[∂∂x(∂u∂x)u+∂∂y(∂u∂y)u]dxdy S=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬u[∂∂x(∂u∂x)+∂∂y(∂u∂y)]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy即有∮u ∂u ∂n⃗c ds=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy移项可得原式，得证。

1.2Green第二公式证明Green第二公式：∬|∆u∆vu v |dx dyS =∮|∂u∂n⃗∂v∂n⃗u v|Cds证明：等式左边展开：∬|∆u ∆vu v|dx dyS=∬v∆u −u∆vdx dy S=∬v∆u −u∆vdx dyS右边∮|∂u ∂n ⃗ ∂v∂n ⃗ u v |C ds=∮(∂u ∂n ⃗Cv −∂v∂n ⃗u) ds=∮∂u ∂xC dy √()2()2−∂u ∂y dx√()2()2−u∂v ∂x dy√()2()2+u ∂v dx()2()2√(dx )2+(dy )2 =∮v ∂u ∂xC dy −v ∂u ∂y dx −u ∂v ∂x dy +u ∂v ∂y dx=∮(u ∂v ∂y −v ∂u ∂y )dx +(v ∂u ∂x −u ∂v ∂x)dyC有Green 公式有∬(∂Q ∂x −∂P∂y) Ddxdy =∮Pdx +Qdy∂D；有P=(u ∂v ∂y −v∂u∂y ) Q=(v∂u ∂x−u∂v ∂x)∂Q =∂(v ∂u ∂x −u ∂v∂x )=∂v∂u+v∂2u2−∂v∂u−u∂2v2 =v∂2u∂x2−u∂2v∂x2同理∂P=u ∂2v2−v∂2u2故有∬(∂Q−∂P)Ddxdy=∬(v ∂2u∂x2−u∂2v∂x2−u∂2v∂y2+v∂2u∂y2)Ddxdy=∬v∆u−u∆v D dxdy=∬|∆u∆vu v|dx dyS1.3Green第三公式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：u(x,y)=12π∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds C其中C为S边界，∂u∂n⃗为u沿着C的外法线方向的方向导数；r=√(ξ−x)2+(η−y)2；为（x，y）到边界C上动点（ξ，η）的距离；证明：由Green 第二公式得到∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∬v∆u−u∆vDdxdy由于u为有界闭区域S中的调和函数，∆u=0∆v=∆ln r=∆ln√(ξ−x)2+(η−y)2=0可知ln r也是调和函数；故有在没有奇点的情况下，S内的任何区域∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∬u∆v−v∆uDdxdy=0故有设以(x，y)为中心，t为半径的一个领域D，∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds ∂D有在∂D上，∮ln r ∂u ∂n⃗ds∂D =ln t∮∂u∂n⃗ds∂D=ln t∬∆udsD=0∮u ∂ln rds∂D =∮u∂ln rds∂D=∮u1ds∂D=1∮uds∂D=2πu(ξ1，η1)故由u在S上的连续性得到lim t→0∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds=Climt→02πu(ξ1，η1)=2πu(x，y)故得证u(x,y)=12π∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds C第二十二章各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。

格林公式(公开教学用)

B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成；（2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2）条其实是可以修改的，应该改成什么？

green 公式外法向量形式

green 公式外法向量形式Green公式是微积分中的重要定理，它以外法向量形式表达了曲线线积分和曲面面积分之间的关系。

在本文中将详细介绍Green公式的概念、推导过程以及应用。

Green公式是由英国数学家George Green在19世纪提出的，它是微积分中的一个重要定理。

它建立了曲线线积分和曲面面积分之间的联系，通过它我们可以将曲线上的线积分转化为曲面上的面积分，从而简化问题的求解过程。

我们来看一下Green公式的具体表达形式。

设D是一个有界闭区域，其边界为C，C是一个分段光滑的曲线，方向为逆时针方向，f(x,y)和g(x,y)是D上的连续可微函数，则Green公式可以表达为以下形式：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA其中，∮C表示沿曲线C的闭合积分，∬D表示在区域D上的面积分，dA表示面积元素，(dx, dy)表示位移元素。

接下来，我们来推导一下Green公式的证明过程。

首先，我们可以将曲线C分成若干小段，记第i段的长度为Δs_i，方向为ΔC_i。

在每一小段上，我们将f(x,y)dx和g(x,y)dy分别展开为：f(x,y)dx = f(x_i,y_i)Δx_i = f(x_i,y_i)cosθ_iΔs_ig(x,y)dy = g(x_i,y_i)dy_i = g(x_i,y_i)sinθ_iΔs_i其中，(x_i,y_i)是第i段的起点坐标，(Δx_i,Δy_i)是位移矢量，θ_i是位移矢量与x轴的夹角。

然后，我们将上述展开式代入到Green公式中，得到：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∑[f(x_i,y_i)cosθ_i + g(x_i,y_i)sinθ_i]Δs_i使用极限的思想，当Δs_i趋近于0时，上述求和式可以看作是对曲线C的积分。

根据极限的性质，我们可以将曲线C的积分转化为曲面D的积分，即：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA至此，我们完成了Green公式的推导过程。

Green公式

A
L
同理可证:
c
E
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx.
o
x
两式相加得:
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2): 若区域D由分段光滑的闭曲线L围成. 以如图所示为例. A
D2 L2
B
L3 D3
C
用线段AB, BC将D分成三个既是X—
D
型又是Y—型的区域D1, D2, D3, 其边界分别为CBA+L1, AB+L2和BC+L3.
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
解令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
L由L1与L2组成
二、Green 公式
定理1: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数
P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有
D
(Q x
P y
)dxdy
其中L是D的取正向的边界曲
线. 公式(1)叫Green公式.
证明(1): 若区域D既是X
L Pdx
y
d
x 1( y)
Qdy
解利用格林公式，注意L不是闭路, 故加作辅助线：直线BA
P e y cos x,Q x 1 e y sin x,
P e y cos x, Q 1 e y cos x
y
x

10.3 格林(Green)公式

lim P ( , y )
x 0
lim P( , y ) P( x, y )
同理可得
u y
Q ( x , y ).
又由于P ( x , y ), Q ( x , y ) 连续，
所以 u ( x , y ) 可微，且
du P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy .
D.
由条件（1）有
Q x
,
( x, y ) E .
由格林公式有

Pdx Qdy
L
( x
E
Q

P y
) dxdy 0 .
（2）
（3）：设

L 1 , L 2是 D
D
内任意两条由 A 到
B 的曲线，则 L 2 L1
是
内一条正向闭曲线。由条
件（2）有
A
其中 AB 在 D 内；与起点 A 和终点 B 有关，
即 du Pdx Qdy .
（4） Pdx Qdy 在 D 内是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，
证（1）
（2）：设
L
为 D 中任一条闭曲线，
它所围成的区域记为 E , 由于D 是单连通
L
D
E
区域，所以 E
P y
偏导数， L 是 D 的正向边界曲线，则有

P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
( x
D
Q

P y
) dxdy
（格林公式）
例1 求 L
xdy 2 ydx , 其中 L 是圆周 x 2 y 2 1,

green公式的条件

green公式的条件Green 公式是高等数学中的一个重要公式，它在计算平面区域上的曲线积分与二重积分之间的关系时非常有用。

要理解 Green 公式，咱们得先搞清楚它成立的条件。

Green 公式表述为：设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有∮(L) Pdx + Qdy = ∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。

那 Green 公式成立的条件到底是啥呢？首先，曲线 L 得是分段光滑的。

啥叫分段光滑呢？就好比咱们走的路，有的地方平坦，有的地方有点小坡，但是整体上还算顺畅，没有那种突然断开或者特别尖锐的拐角。

这样的曲线才能保证咱们在计算的时候不会出现奇奇怪怪的问题。

再说说函数 P(x, y) 和 Q(x, y) ，它们得在闭区域 D 上具有一阶连续偏导数。

这就好比是要求两个小伙伴，不仅要能在这个区域里好好表现，还得表现得稳稳当当，不能有大的波动。

给您举个例子吧。

就说咱们有一个简单的闭区域 D ，是由一个以原点为圆心，半径为 2 的圆围成的。

假设函数 P(x, y) = x^2 ，Q(x, y) =2xy 。

咱们来验证一下 Green 公式是否成立。

先算算曲线积分∮(L) Pdx + Qdy 。

这个圆的参数方程可以设为 x =2cosθ ，y = 2sinθ ，θ 从 0 到2π 。

代入计算一番，这可得费点功夫，但算出来是8π 。

再算算二重积分∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。

先求偏导数，∂Q/∂x =2y ，∂P/∂y = 0 ，然后积分，算出来也是8π 。

您瞧瞧，这两个结果一样，Green 公式成立啦！在实际应用中，如果不满足 Green 公式的条件，那可就不能随便用啦。

比如说，如果曲线不是分段光滑的，或者函数的偏导数不连续，那咱们就得另想办法，可能得把区域分割或者做一些其他的处理。

总之，搞清楚Green 公式的条件，咱们在解题的时候就能心中有数，知道啥时候能用，啥时候不能用，不会乱用公式出错啦！希望您通过我的讲解，对 Green 公式的条件有了更清楚的认识。

偏微分方程green公式

偏微分方程green公式微分方程是数学中广泛使用的一种方法，用来求解函数等式。

由于它能够解决很多实际应用中的问题，所以它在科学和工程领域的应用也越来越广泛。

其中，偏微分方程是一种特殊的微分方程，它可以用来解决多元变量函数的微分方程。

偏微分方程Green公式是偏微分方程学习、研究和应用时最常用的一种方法。

偏微分方程Green公式是偏微分方程的一般解法，可用来解决高维变量函数的偏微分方程，它是由英国数学家George Green在1828年提出的。

此公式有助于解决求解多变量函数不同梯度变量的问题，即求解某一具体变量梯度的值。

Green公式的具体内容是：$$int_V abla fcdot ndV=int_{partial V}frac{partial f}{partial n}dS$$其中，$V$为某个区域，$partial V$为$V$的边界，$n$为边界的单位法向量，$f$为一个(空间)偏导数变量函数，$abla f$为$f$的梯度，$dV$和$dS$分别为$V$和$partial V$上的小元素，$frac{partial f}{partial n}$为$f$在$partial V$上的单位法矢偏导数。

偏微分方程Green公式是一种常用的定理，它可以推广到更多次元空间，是求解自定义多变量函数偏微分方程的重要工具。

此公式也可以用来解决若干种由偏微分方程产生的特殊问题，例如变分问题、传热问题等。

Green公式又是偏微分方程在经典力学、热力学等物理学领域的重要应用，因此，在偏微分方程的学习和研究中，Green 公式的掌握非常重要。

Green公式不仅在应用中有重要意义，而且在理论上也有重要意义。

它对理解偏微分方程的物理意义有重要作用，更重要的是，它引出了外积分的概念，为偏微分方程的理论研究奠定了基础。

同时，Green公式也为后来的场论微分方程的研究奠定了基础，因此它的重要性不言而喻。

掌握Green公式的重要性不言而喻，它不仅可以用来解决偏微分方程的具体问题，而且可以帮助我们更好地理解偏微分方程的相关知识。

green公式法

green公式法Green公式是数学分析中常用的一个重要定理，是微积分中的一种基本方法。

它的原理是通过将一个区域内的曲线或曲面的积分转化为该区域内的区域积分，从而简化计算过程。

在本文中，我们将介绍Green公式的定义、推导过程以及一些应用案例。

1. Green公式的定义给定一个平面区域D，边界为C。

设函数P(x, y)和Q(x, y)在D上具有连续的偏导数，那么Green公式可以表示为：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)其中，∂Q/∂x 和∂P/∂y 分别表示Q(x, y)和P(x, y)对x和y的偏导数，∬D 表示对D上的区域积分，∮C 表示对C上的曲线积分。

2. Green公式的推导为了推导Green公式，我们先假设区域D是简单闭合区域，即边界C是一个简单闭合曲线。

然后，将区域D划分为无穷多个小的区域，每个小区域都可看作是矩形区域。

通过对小矩形区域应用散度定理，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV其中，∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA 可以看作是在D上的曲面积分，∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV 则是在D的内部体积上的体积积分。

由于无穷小小矩形区域趋近于零，所以体积积分项在推导过程中可以忽略。

因此，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)通过以上推导，我们成功地得到了Green公式。

3. Green公式的应用案例Green公式在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用案例。

3.1 流场的流量计算假设在平面区域D上存在一个流场，流速由函数V(x, y)表示，那么流过闭合曲线C的总流量可以通过Green公式计算得出。

根据Green公式，我们有：∮C (V · n) ds = ∬D ( ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y) dA其中，V · n 表示V向量与曲线的法向量的点积，∂Vx/∂x 和∂Vy/∂y 分别表示Vx(x, y)和Vy(x, y)对x和y的偏导数。

偏微分方程green公式

偏微分方程green公式偏微分方程Green公式是指由美国数学家GeorgeGreen于1828年定义的一类古老的数学方程，它是用来描述各种物理性质的物理过程中的非线性系统，并通过求解偏微分方程组来进行数值计算。

偏微分方程Green公式能够用来描述一定物理现象的流动、渗透、吸收、平衡等多种物理现象，比如电势、能量、电流等，并被广泛应用于地球物理、流体力学、电磁学、物理化学及工程等领域中。

偏微分方程Green公式是由英国数学家George Green于1828年首次提出，他曾经从分析几何方面来考察磁通现象，在尝试将其作为一个具体的物理现象出现时，发现了它的实际用处并将其写成了一个数学方程。

他以此创建了自己的方程，称之为Green公式，该方程是一个双曲偏微分方程，描述了磁通现象的运动，并且可以运用到其他物理过程中，如傅里叶传输方程。

Green公式的数学表示为：begin{equation}frac{partial ^2u}{partial x^2} + frac{partial^2u}{partial y^2} = frac{1}{c^2} frac{partial ^2u}{partial t^2}end{equation}其中，u物理过程的值，x,y,t分别是该系统的时空变量，其中c代表的是该系统的光速。

Green公式运用于物理过程及各种工程应用中，它能够很好地描述物理现象的运动，其中，最常见的包括气体在容器中的运动、声波在媒质中的传播和电磁波在介质中的传输。

它还可以运用于电子工程方面，如信号处理及超导体量子电路等。

Green公式在求解偏微分方程组时，可以用分析法或数值法求解。

分析法是指通过求解Green公式的通解，从而获得问题的精确结果，常用的方法有特征值分解，时域谋略等；数值法是指根据Green公式的数学模型，通过计算机解算，从而获得一些近似值，常用的方法有有限差分法、有限元法等。

Green公式在数学方面有着深远的影响，它能够精确描述物理现象的运动特性，在工程应用和科学研究中都有着广泛的运用，未来的发展将会有更多的应用。

格林(Green)公式及其应用

格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定理中发挥了重要作用，如黎曼定理和克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中的推广，它描述了高维空间中向量场和标量场之间的关系。
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格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式或应用，它们在特定情况下可能更加方便或有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多格林公式的变种。这些变种可能在某些特定情况下更加适用，例如在处理非线性问题或复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格林公式在各个领域的应用越来越广泛。未来，我们可以进一步探索格林公式的各种应用，如数值计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过程。

偏微分方程green公式

偏微分方程green公式Green式是一种重要的偏微分方程的数学工具。

它是由英国数学家GeorgeGreen于一七九七年提出的，用来分析不同流体和介质的物理量，例如速度、流量等。

该公式常被各类学科用来进行复杂的系统建模求解，如理论流体动力学、声学，电磁学，控制等。

Green公式的原理可以归纳为涡流公式，即可用来描述不同介质的流:F = 0其中 F = (F1, F2, F3)一个流量矢量场， = (/x1,/x2,/x3)一个偏微分型运算符。

根据Green公式，可以把任何复杂的流动系统映射到一个偏微分方程组：^2φ= 0其中φ为流场中的潜力流函数，^2 为二阶偏微分运算符，表示二阶拉普拉斯运算，是确定流场参数的基本公式。

Green公式在各学科中应用十分广泛，并得到了很好的应用效果。

在应用偏微分方程的理论流体动力学中，Green公式被作为基本的重要工具，用于推导出稳定流动、湍流流动和多米诺效应等复杂流动的数学方程。

此外，Green公式在声学领域也发挥了重要作用，当以局部方程组形式描述声音在各种介质中的传播时，则可以使用Green公式求解声音在介质中传播的过程。

Green公式还可以应用于电磁学中，用以解决电磁场中存在的复杂问题，比如电磁波在介质中的传播。

Green公式中的偏微分方程可以用于描述电磁场中复杂的介质场，从而更加清晰地了解电磁场行为。

此外，Green公式还被应用在控制系统中，可用于求解控制系统的状态和输出，从而可以进行自动化的控制设计。

此外，Green公式也可以用于分析非线性控制系统，可以使用其求解控制系统的复杂性和稳定性，从而对控制系统进行更加有效的控制设计。

从上述可以看出，Green公式发挥着十分重要的作用，用来推导复杂的流动系统和控制系统的偏微分方程，是理论研究和技术应用的重要工具之一。

在实际应用中，Green公式有着众多的应用，比如可以用来描述流体、声学和电磁学的复杂系统，也可以用来解决控制系统的复杂性和稳定性等问题。

偏微分方程green公式

偏微分方程green公式偏微分方程Green公式也称为拉格朗日-Green公式，是一种重要的物理学结论，由英国数学家George Green于1828年提出。

它主要描述了偏微分方程在给定边界条件下的解，深刻地影响着物理和工程领域中的许多研究。

Green公式是一个由一个通用的偏微分方程推导出来的公式，由微分方程的解决形式所表示，是描述偏微分方程在给定边界条件下的一种解。

换句话说，Green公式可以用来表示偏微分方程的某种分类解，这种解是由特定的边界特征约束的。

Green公式可以表示偏微分方程的一下形式：u/t + [f(t,x)u]=0。

此外，Green公式还可以用来表示非线性偏微分方程的解，例如，Green 公式可以表示热传导方程：u/t + [f(t,x)u]=/x(a(t,x)u/x)。

Green公式在物理学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在流体动力学、热传导学、电磁学、声学学等方面，可以研究各种物理系统的特性。

例如，它可以应用于湍流流动的混合物，考虑复杂的物理机制和流体动力学现象；可以应用于热传导方程，考虑特殊的温度场，例如稳定的温度场和不稳定的温度场；可以用于求解特定的有限元素模型，可以求解许多复杂的结构件及其结构外响应；可以应用于声学中，以求解复杂场景下声场及其关联振动特性；还可以用于磁学，研究和计算各种磁体以及磁性体在不同激发下的特性。

Green公式是一种重要的数学结论，它的发现深刻地影响着物理和工程领域的许多研究，广泛应用于流体动力学、热传导学、电磁学、声学学等多个领域，为深入研究物理系统提供了关键突破。

虽然Green 公式已经被用于各种研究领域，但仍有许多不完善之处，需要进一步研究和应用。

Green公式及其在物理学和工程领域的应用对于研究物理系统来说具有重要的意义，可以提供更多的结构外响应，综合考虑的许多物理机制，更有效地描述物理系统的动力学特性，从而更好地研究物理系统的行为。

向量微积分中的Green公式

向量微积分中的Green公式Green公式，也叫格林公式，是向量微积分中的一个基本定理，它是关于曲线和曲面的一个重要公式。

Green公式可以用来求解曲线和曲面上的积分，和场的无旋和任意面积的关系等。

首先，我们来看一下Green公式在平面上的形式。

设$C$是一条闭合的简单曲线，$\vec{n}$是该曲线所在平面的法向量，$D$是这个闭合曲线所包围的区域，$\vec{F}=(M,N)$是二维空间上的一个向量场。

那么，Green公式就可以表述为：$$\oint_C \vec{F}\cdot \vec{T} ds = \iint_D \left(\frac{\partialN}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dxdy$$其中，$\vec{T}$是曲线$C$的切向量，$s$是弧长，$dxdy$是面积元素。

公式右边的第一项表示曲线$C$上的环量，第二项表示曲线所围成的区域$D$内向量场的环量。

对于三维空间，Green公式还有一个更为一般的形式，称为Stokes公式。

它描述了曲线与曲面之间的关系。

设$M$, $N$,$P$是三维空间中的一个向量场，曲面$S$是一个紧致的光滑曲面，边界为曲线$C$，$\vec{n}$是曲面$S$的法向量，$\vec{T}$是曲线$C$的切向量，那么Stokes公式可以写为：$$\int_C \vec{M}\cdot d\vec{r} = \iint_S\left(\text{rot}\,\vec{M}\right)\cdot \vec{n}\,dS$$其中，$\text{rot}\,\vec{M}$表示向量场$\vec{M}$的旋度。

要理解Green和Stokes公式，我们需要先了解向量场的性质和运算。

向量场是指空间中对每个点都定义了一个向量的函数，这个函数的值随着点的位置而变化。

在向量场中，有一些基本的运算，比如梯度、散度和旋度。

§10.3 Green 公式

偏微分方程green公式

高等数学 格林公式及其应用

格林公式及其应用

南京航空航天大学《高等数学》10.3格林(Green)公式(上)

10-3green公式

Green公式及拓展

格林公式(公开教学用)

green 公式 外法向量形式

Green公式

10.3 格林(Green)公式

green公式的条件

偏微分方程green公式

green公式法

偏微分方程green公式

格林(Green)公式及其应用

偏微分方程green公式

偏微分方程green公式

向量微积分中的Green公式

高等数学格林公式及其应用

green 公式外法向量形式