江苏省南京师大附中2012届高三下学期二轮复习周统测(五)数学试题

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2012年江苏高考数学试卷(高清版含详细答案)

2012年江苏高考数学试卷(高清版含详细答案)参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。

．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。

江苏省南京师大附中中考数学二模试卷(含答案解析)

2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 6 小题，共 12 分）1、(2分) 下列计算，结果等于x5的是（）A.x2+x3B.x2•x3C.x10÷x2D.（x2）32、(2分) 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A.B. C. D.3、(2分) √2581256值等于（）A.15116B.±15116C.16116D.±161164、(2分) 点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n-1）对应的点可能是（）A.A点B.B点C.C点D.D点5、(2分) 完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（）A.4mB.4nC.2m+nD.m+2n6、(2分) 如图，▱OABC的周长为14，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）坐标系，函数y=kxA.2√3B.4√3C.6D.12二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）7、(2分) 已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是______．8、(2分) 把多项式2x2-4xy+2y2因式分解的结果为______．9、(2分) 若√1−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10、(2分) 计算（√6-√18）×√1+2√6的结果是______．311、(2分) 若x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则x1+x2-x1x2=______．12、(2分) 如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB=6，AC=4，BC=5，则PQ的长为______．13、(2分) 已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差______乙的方差（填“＞”“=”、“＜”）．14、(2分) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是______．15、(2分) 如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______．16、(2分) 若关于x的不等式组{2x+12+3＞−1x＜m的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是______．三、计算题（本大题共 3 小题，共 22 分）17、(7分) 先化简，再求值：(1x2−4+1x+2)÷x−1x−2，其中2≥x≥-2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．18、(7分) 解方程：23x−1−1=36x−2．19、(8分) 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）20、(8分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE=48°，求∠CBE的度数．21、(8分) 某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？22、(7分) 如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l 过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．23、(8分) 某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A-B-C，A-D-E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）联络员骑车的速度a=______；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．24、(8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=12，CE=3时，求AC的长．25、(8分) 如图，A 、B 、C 三个城市位置如图所示，A 城在B 城正南方向180km 处，C 城在B 城南偏东37°方向．已知一列货车从A 城出发匀速驶往B 城，同时一辆客车从B 城出发匀速驶往C 城，出发1小时后，货车到达P 地，客车到达M 地，此时测得∠BPM=26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q 地，客车到达N 地，此时测得∠BNQ=45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin26°≈25．cos26°≈910，tan26°≈12）26、(8分) 已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=x 2+mx+n 的图象上，当x 1=1、x 2=3时，y 1=y 2．（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是______A ．a ＜1B ．a ＞3C ．a ＜1或a ＞3 D.1＜a ＜3（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则n 的范围是______．27、(11分) 如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BDC=90°，AB=AD ，∠DCB=60°，CD=8．（1）若P 是BD 上一点，且PA=CD ，求∠PAB 的度数．（2）①将图1中的△ABD 绕点B 顺时针旋转30°，点D 落在边BC 上的E 处，AE 交BD 于点O ，连接DE ．如图2，求证：DE 2=DO•DB ；②将图1中△ABD 绕点B 旋转α得到△A'BD′（A 与A'，D 与D′时对应点），若DD′=CD ，则cosα的值为______．2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3=x5，故此选项正确；C、x10÷x2=x8，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项错误；故选：B．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．【第 2 题】【答案】D【解析】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，将水杯正着放可得到B选项的形状，将水杯倒着放可得到C选项的形状，不能得到三角形的形状，故选：D．根据圆柱体的截面图形可得．本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．【第 3 题】【答案】C【解析】解：√2581256=√258×256+1256=√(25716)2=25716=16116．故选：C ．根据二次根式的性质化简即可．本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．【第 4 题】【答案】C【解析】解：（m+1）-m=1，n-（n-1）=1，则点E （m ，n ）到（m+1，n-1）横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位．故选：C ．由（m ，n ）移动到（m+1，n-1），横坐标向右移动1个单位，纵坐标向下移动1个单位，依此观察图形即可求解．本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律．【第 5 题】【答案】B【解析】解：设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，可得左边阴影部分的长为2b ，宽为n-a ，右边阴影部分的长为m-2b ，宽为n-2b ，图中阴影部分的周长为2（2b+n-a ）+2（m-2b+n-2b ）=4b+2n-2a+2m+2n-8b =2m+4n-2a-4b=2m+4n-2（a+2b ）=2m+4n-2m=4n ，故选：B ．设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，表示出左右两个阴影部分矩形的长与宽，进而表示出周长，化简即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【第 6 题】【答案】B【解析】解：设OA=a ，OC=b ，∵▱OABC 的周长为14，∴a+b=7，∴b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，∵∠AOC=60°，∴OD=12a ，AD=√32a ，∴A （12a ，√32a ），∵M 是BC 的中点，∴CN=14a ，MN=√34a ，∴M （7-a+14a ，√34a ），∴12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ）解得a=4，∴A （2，2√3），∴k=2×2√3=4√3，故选：B ．设OA=a ，OC=b ，根据题意得到b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，解直角三角形表示出A 、M 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ），解得a=4，求得A 的坐标，即可求得k 的值．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a ，b 的值．【第 7 题】【答案】8.7×10-3【解析】解：0.0087=8.7×10-3．故答案为：8.7×10-3．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【第 8 题】【答案】2（x-y ）2【解析】解：2x 2-4xy+2y 2=2（x 2-2xy+y 2）=2（x-y ）2．故答案为：2（x-y ）2．首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．【第 9 题】【答案】x≤12【解析】解：由题意得，1-2x≥0，解得x≤12．故答案为：x≤12．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【第 10 题】【答案】 √2+√6【解析】解：原式=√6×13-√18×13+2√6=√2-√6+2√6=√2+√6．故答案为√2+√6．先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【第 11 题】【答案】6【解析】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2=2，x 1x 2=-4，∴原式=2-（-4）=6，故答案为：6根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【第 12 题】【答案】103【解析】解：连接AI 并延长交BC 于D ，如图，∵点I 为△ABC 的重心，∴AI=2ID ， ∴AI AD =23，∵PQ∥BC ，∴△APQ∽△ABC ， ∴PQ BC =AI AD =23，∴PQ=5×23=103．故答案为103．连接AI 并延长交BC 于D ，如图，利用重心的性质得AI AD =23，再证明△APQ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出PQ 的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．【第 13 题】【答案】＞【解析】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即甲的方差＞乙的方差．故答案为：＞．结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了折线统计图．【第 14 题】【答案】135°【解析】解：连接OC 、OA ，设∠AOC=n°，则nπ×2180=π，解得，n=90，∴∠AOC=90°，由圆周角定理得，∠ABC=45°，∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，故答案为：135°．连接OC 、OA ，根据弧长公式求出∠AOC ，根据圆周角定理求出∠ABC ，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【第 15 题】【答案】43【解析】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．∴ME=CE ，MB=12AB=4=AM ，∠D'ME=∠C=90°，在Rt△MBE 中，ME 2=MB 2+BE 2，∴ME 2=16+（8-ME ）2，∴ME=5∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM ，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM ∴AM BE =AG MB =GM ME∴43=AG4=GM 5 ∴AG=163，GM=203∴△AMG 的内切圆半径的长=AG+AM−GM 2=43故答案为：43 由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM ，可得AG=163，GM=203，即可求解．本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG ，GM 的长度是本题的关键．【第 16 题】【答案】-3＜m≤-2或2＜x≤3【解析】解：解不等式2x+12+3＞-1，得：x ＞-4.5，∵不等式组的整数解的和为-7，∴不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，则-3＜m≤-2或2＜x≤3，故答案为：-3＜m≤-2或2＜x≤3．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为-7，知不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，据此求解可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【第 17 题】【答案】解：(1x −4+1x+2)÷x−1x−2=1+x−2(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=x−1(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=1x+2，当x=0时，原式=10+2=12．【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由2≥x≥-2，且x 为整数，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【第 18 题】【答案】解：方程两边同时乘以2（3x-1），得4-2（3x-1）=3，化简，-6x=-3，解得x=12．检验：x=12时，2（3x-1）=2×（3×12-1）≠0所以，x=12是原方程的解．【解析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x 的值，代入公分母进行检验即可．本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．【第 19 题】【答案】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P（恰好选中乙同学）=1；3（2）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=1．6【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率【第 20 题】【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∠ABC=60°∵△BEF是等边三角形∴BE=BF，∠FBE=60°∴∠ABC=∠EBF，∴∠ABF=∠CBE，且AB=BC，BE=BF∴△ABF≌△CBE（SAS）∴CE=AF（2）∵四边形ABCD是菱形∴∠C+∠D=180°，∵∠BEF=60°∴∠DEP+∠BEC=120°∵∠DPE+∠D+∠DEP=180°，∠C+∠CBE+∠BEC=180°∴∠DPE+∠D+∠DEP+∠C+∠CBE+∠BEC=360° ∴∠CBE=60°-∠DPE=60°-48°=12°【解析】（1）由菱形的性质和等边三角形的性质可得AB=BC ，BE=BF ，∠ABC=∠EBF ，由“SAS”可证△ABF≌△CBE ，可得CE=AF ；（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE 的度数．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．【第 21 题】【答案】解：（1）平均数：200+170+130×2+80×5+50×3+40×21+1+2+5+3+2=90台；∵共14人，∴中位数：80台；有5人销售80台，最多，故众数：80台；（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．【解析】（1）用加权平均数的求法求得其平均数，出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；（2）众数和中位数，是大部分人能够完成的台数．本题考查了中位数、众数的确定及加权平均数的计算方法，解决本题的关键是正确的从表中整理出所有数据，并进行正确的计算和分析．【第 22 题】【答案】解：如图所示，直线l 1、l 2即为所求．【解析】根据轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图可得．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图．【第 23 题】【答案】解：（1）由图可得，a=（4+4×12）÷12=12，故答案为：12；（2）设线段AD 对应的函数表达式为y=kx+b ，{b =412k +b =0，得{k =−8b =4，即线段AD 对应的函数表达式为y=-8x+4（0≤x≤12）；（3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th 时，（12+6）（t-12）=4-（6-4）×12，解得，t=23，答：联络员出发23h 时第一次与后队相遇．【解析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a 的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD 对应的函数表达式；（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【第 24 题】【答案】解：（1）如图，连接BD ，∵∠BAD=90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC ，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC ，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE ，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵DE∥AC ，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=12，AF=CF=12AC ， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD ，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE ，∴BC CD =CDCE∴12CD =CD3，∴CD=6，在Rt△BCD 中，BD=√BC 2+CD 2=6√5同理：△CFD∽△BCD ，∴CF BC =CDBD ，∴CF 12=6√5，∴CF=12√55，∴AC=2AF=24√55．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=12，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．【第 25 题】【答案】解：作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，由题意可知：BM=x，BN=2x，AP=y，AQ=2y，BQ=180-2y，在Rt△BDM中，∴sinB=DMBM ，cosB=BDBM，∴DM=xsin37°，BD=xcos37°，在Rt△DMP中，∴tan∠DPM=DMPD =DMAB−AP−BD，∴tan26°=x⋅sin37∘180−y−x⋅cos37∘，∴1 2≈35x180−y−45x，即2x+y=180①，在RtBEQ中，∴sinB=QEBQ ，cosB=BEBQ，∴QE=sin37°•（180-2y），BD=cos37°（180-2y），在△EQN中，∠BNQ=45°，∠QEN=90°，∴△EQN为等腰直角三角形，∴QE=NE，则sin37°（180-2y）=2x-cos37°（180-2y），上式化简可得：630-7y=5x②，联立①②可得：{2x+y=180 630−7y=5x，解得：{x=70 y=40，∴客车速度约为70km/h，货车速度约为40km/h．【解析】作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，根据锐角三角函数的定义列出关于x与y的方程后，利用二元一次方程组的解法即可求出答案．本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，二元一次方程组的解法等知识，综合程度较高，属于中等题型．【第 26 题】【答案】解：（1）∵当x1=1、x2=3时，y1=y2．∴函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x=2，∴m=-4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2-4n=0，∴n=4，∴y=x2-4x+4；（3）y=x2-4x+n，∵开口向上，∴当x=2时，函数有最小值n-4，∴2（n-4）=2n-8≥2，∴n≥5．【解析】（1）由已知可知函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1；（2）由对称轴可求m=4，抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，进而可求n的值；（3）当x=2时，函数有最小值n-4，则有2（n-4）=2n-8≥2，即可求n 的范围．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键．【第 27 题】【答案】解：（1）在Rt△BCD 中，∠BDC=90°，∠DCB=60°，CD=8， ∴BC=16，BD=8√3，在Rt△BAD 中，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD=BD•√22=4√6，作AH⊥BD 于H ，则AH=12BD=4√3，∠BAH=45°，当点P 在点线段DH 上时，cos∠PAH=AH AP =√32，∴∠PAH=30°，∴∠PAB=30°+45°=75°，当点P′在点线段BH 上时，∠PAB=45°-30°=15°，综上所述，∠PAB 的度数为75°或15°；（2）①证明：由题意得，BD=BE ，∠DBE=30°，∠AEB=45°，∴∠BDE=∠BED=75°，又∠BDE=∠EDO ，∴△BDE∽△EDO ， ∴DE DO =BD DE ，即DE 2=DO•DB ； ②解：如图3，符合条件的点有两个D′和D′′，由题意得，∠DBD′=∠DBD′′，它们的余弦值相等，作BH⊥DD′，DG⊥BD′，则DH=HD′=4，在Rt△BDH 中，BH=√BD 2−DH 2=4√11， △BDD′的面积=12×DD′×BH=12×BD′×DG ，即12×8×4√11=12×8√3×DG ，解得，DG=4√333，由勾股定理得，BG=√BD2−DG2=20√33，∴cosα=cos∠DBD′=BGBD =5 6，故答案为：56．【解析】（1）根据勾股定理求出BC、BD，分点P在点线段DH上、点P在点线段BH上两种情况，根据余弦的定义解答；（2）①证明△BDE∽△EDO，根据相似三角形的性质证明结论；②作BH⊥DD′，DG⊥BD′，根据三角形的面积公式求出DG，根据勾股定理求出BG，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．。

2024届江苏省南京师范大学附属中学高三寒假模拟测试数学试题及答案

2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数学2024.2本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部2四、解答题:本题共5小题,共15．（13分）已知函数()f x =(1)解关于x 的不等式：()f x <(2)若()()f a f b =（a b ≠），求的整数部分，a b(1)当点N为线段AD的中点时，求证：2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数学学科参考答案第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C D D BB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9 10 11 ACD ACD AD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5613.714.816.（1）由题可知，()821x +展开式中第1k +项为：()888188C 21C 2kk k k k kk T x x −−−+=×=，则系数最大的项需满足()()818188*818188C 2C 2,C 2C 2k k k k k k k k k −−−−−+−+ ≥ ∈ ≥ N ，解得2k =或3k =，所以系数最大为第3项或第4项，即3n =或4n =，所以最大项系数为282348C 21792a a -===．（2）因为421135790i i a a a a a a +==++++∑，32224680i i a a a a a +==+++∑，。

江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题(含解析)

2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（）A B.C. D.2.已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.7B.15C.25D.354.有3个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（）A.B.C.D.5.设，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.设，且，则（）A.B.107.已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）U =R {}13A x x =-<<{}2B x x =≤()U A B = ð(](),12,-∞-+∞ ()[),12,-∞-+∞ [)3,+∞()3,+∞()32i 12i z -=-+i za b c 112163413x y ∈R 224x y +≥2x ≥2y ≥152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭112a b -=m =110()1f x +R 1x ∀[)21,x ∈+∞12x x ≠()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦()()1215x f f +-+<1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),1-∞1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()1,-+∞ABCD 1AB AD CD ===BD =BD CD ⊥BD A BCD '-A BD '⊥BCD A BCD '-B.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A. B.长度落在区间内的个数为35C.长度的众数一定落在区间内D.长度的中位数一定落在区间内10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）A. B.C.D.11.已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（）A.当时，B.函数的最小正周期为2C.函数的图象关于点（）中心对称D.函数在（）上单调递减12.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦，的长度分别等于，分别为，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（）A.弦，可能相交于点B.弦，可能相交于点C 的最大值为5D.的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3π2π[)90,91[)91,92[)92,93[)93,94[)94,95[]95,960.25b =[)93,94[)93,94[)93,940a >0b >1a b +=22log log 2a b +≥-133a b ->113a ab +≥+11212a b +≥++()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()f x [)1,0x ∈-()sin f x x =[]2,3x ∈()()sin 2f x x =-()1y f x =+()y f x =(),0k k ∈Z ()y fx =[]2,21k k +k ∈Z AB CD M N AB CD AB CD M AB CD N MN MN13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为______.14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是______.15.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______.16.已知的内角，，的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.18.（12分）已知函数.（1）求函数的值域；（2）若的值.19.（12分）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.20.（12分）已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质？并说明理由；（2）证明：函数具有性质.21.（12分）如图，在四棱柱中，侧棱垂直于底面，底面为等腰梯形，l ()1,2A -l 111ABC A B C -V AB BC ⊥6AB =8BC =15AA =V ()log ,02,30a x x f x x x >⎧=⎨+-≤≤⎩0a >1a ≠()f x Ya ABC △A B C abc ABC △S 22232a b c =+222Sb c+a b c ()1,2a =b =//a b b c =2a c + 43a c - a c θ()21cos sin cos 2222x x x f x =--()f x ()fα=sin 2α3411214()2231xf x x =-+()lng x x =()F x t ()()()11F t F t F +=+()F x M ()g x M ()f x M 1111ABCD A B C D -ABCD，，，，、、分别是棱、、的中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.22.（12分）设的三个内角、、所对的边分别为、、且.（1）求的大小；（2）若的取值范围.//AB CD 4AB =2BC CD ==12AA =E 1E F AD 1AA AB 1//EE 1FCC 1B FC C --ABC △A B C a b c 1cos 2a C cb +=A a =22b c +2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C.【解析】∵，，∴，∴.故选：C.2.【答案】C.【解析】因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3.【答案】B.【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.故选：B.4.【答案】C.【解析】先求两个盒子中有一个空的概率为，所以两个盒子都不空的概率为.故选：C.5.【答案】B.【解析】若，则如满足条件，但不满足且，不是充分条件，若且，则，，所以，即，是必要条件，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.{}13A x x =-<<{}2B x x =≤{}{}{}1323A B x x x x x x =-<<≤=< (){}3U A B x x =≥ ð()()()()32i 34i i i 43i 43i 34i 34i 34i 25252512i z -+---=====-------+-+z 43,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭z 715715=311224⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭13144-=224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥2x ≥2y ≥6.【答案】D.【解析】∵，∴，，∴，∴故选：D.7.【答案】B.【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称，由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称，，，且，都有，在上单调递增，∴在上单调递减，∵，且，，∴，∴，解得，∴原不等式的解集为.故选：B.8.【答案】B.【解析】由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以所以球的表面积为：.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭11log 2m a =1log 5m b =1111log log 5log 2210m m m a b -=-==m ==()1f x +R ()1f x +y ()y f x =()1f x +()y f x =1x =1x ∀[)21,x ∈+∞12x x ≠()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦()y f x =[)1,+∞()y f x =(),1-∞()()1215x f f +-+<()()53f f =-1211x +-+<1213x +-+>-124x +<1x <(),1-∞A BCD -BCD △ABC △BC BC =24π3π⋅=目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABD.【解析】对于A ：由频率之和为1，得，解得，所以选项A 正确，对于选项B ：长度落在区间内的个数为，所以选项B 正确，对于选项C ：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间内，所以选项C 错误，对于选项D ：对这100件产品，因为，而，所以长度的中位数一定落在区间内，所以选项D 正确，故选：ABD.10.【答案】BC.【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，，A 错误；∵正实数，满足，，则，B 成立；当且仅当，即时取等号，C 成立；，当且仅当，即，时取等号，D 错误.故选：BC.11.【答案】AB.【解析】因为函数对任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.函数是奇函数，当时，.()0.350.150.120.0511b +++⨯+⨯=0.25b =[)93,941000.3535⨯=[)93,940.10.10.250.5++<0.10.10.250.350.5+++>[)93,94a b 1a b +=2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==()22221log log log log 24a b ab +=≤=-a b 1a b +=()1211a b a a a -=--=->-11333a b -->=()11121212213a b b a a b a ab a ab a b a b a b+⎛⎫+=+=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b=a =()()()11112111222214124124b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭12a b +=+1a =0b =()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()()2220f x f x -++-=()()20f x f x +-=()()22f x f x +=-()()2222f x f x ++=+-()()4f x f x =+()f x ()f x [)1,0x ∈-()sin f x x =故时，.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，作出的图象如图所示：对于A.由前面的推导可得：当时，.故A 正确；对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B 正确；对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C 错误；对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D 错误.故选：AB.[]1,1x ∈-()sin f x x =[]1,3x ∈()[]21,1x -∈-()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()()20f x f x +-=()()()2sin 2f x f x x =--=--()()sin ,11sin 2,13x x f x x x -≤≤⎧=⎨--≤≤⎩()y f x =[]1,3x ∈()()()sin 2sin 2f x x x =--=-()y f x =()y f x =x x x ()y f x =()y f x =()2,0k k ∈Z ()y fx =[]2,1--()y f x =12.【答案】ACD.【解析】设球心为，则，.因为，所以弦，可能相交于点，不可能相交于点.因为，所以，当、、三点共线且，在两侧时，有最大值5；当、、三点共线且，在同侧时，有最小值1；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】或.【解析】当直线在坐标轴上的截距为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即直线的方程为，当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即，即直线的方程为.故答案为：或.14.【答案】.【解析】如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.需保证截面圆与内切，记圆的半径为，则由等面积法得，∴，又，，∴，得.由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，∴的最大值是.O 3OM ==2ON ==OM ON >AB CD M N OM ON MN OM ON -≤≤+15MN ≤≤O M N M N O MN O M N M O MN 20x y +=10x y ++=l l y kx =l ()1,2A -2k -=l 20x y +=l l x y a +=l ()1,2A -21a -+=1a =-l 10x y ++=20x y +=10x y ++=32π3ABC △O r ()12ABC S AB AC BC r =++⋅△()68AC AB BC r ++=⨯6AB =8BC =10AC =2r =r V 3432ππ233⨯=故答案为：.15.【答案】.【解析】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可.由题意，时，显然成立；时，关于轴的对称函数为，则，∴，综上所述，的取值范围是，故答案为：.16..【解析】由，得，则，同时，则，时取等号，则，故，32π3()()0,11,3 0x =Y 3x ≥-0x ≠()f x y 01a <<1a >()log a f x x =y ()()log a f x x =-log 31a >13a <<a ()()0,11,3 ()()0,11,3 22232a b c =+222223332a b b c c =-+-()22222236cos b c b c a bc A +=+-=()222123a b c =+222222222223cos 226b c b c b c a b c A bc bc bc ++-+-+===≥=()2222221sin sin sin tan 22212cos 1222bc AS bc A bc A A b c b c bc A b c ====+++tan A =≤=b =22tan 212S A b c =≤+222Sb c +.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1），或；（2）.【解析】（1）∵；∴设，且，；∴；∴；∴，或；（2）∵与垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴与的夹角.18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，所以的值域为.（2）由（1）知，，()3,6b = ()3,6b=-- 4π//a b b ka = b = a =b k a ==3k =±()3,6b = ()3,6b =-- 2a c + 43a c - ()()2430a c a c +⋅-= 228230a a c c -⋅-= a = c = 852,3100a c ⨯--⨯= cos ,a c ∴= [],0,πa c ∈ a c π4θ=⎡⎢⎣725()21cos sin cos 2222x x x f x =--()()111π1cos sin 2224f x x x x ⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭()f x ⎡⎢⎣()π4f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以，所以.19.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设事件表示“甲家庭回答正确这道题”，事件表示“乙家庭回答正确这道题”，事件表示“丙家庭回答正确这道题”，由题意得：，解得乙家庭回答正确这道题的概率，丙家庭回答正确这道题的概率.（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：.20.【答案】（1）否，理由见解析；（2）见解析.【解析】（1）函数不具有性质.由，可得，，，由，即，可得，即，该方程无解，故函数不具有性质；（2）证明：，由，可得，化简可得，即，由图像可知，两个函数必有交点，可得函数在定义域内存在实数，使得成立，π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ187sin2cos 2cos212cos 12442525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭38232132A B C ()()()()()341111214P A P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎪⎡⎤⎡⎤--=⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩()38P B =()23P C =()()()()P P ABC P ABC P A C P ABC B =+++3321323523312148348348348332=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()g x M ()ln g x x =()()1ln 1g t t +=+()ln g t t =()10g =()()()11g t g t g +=+()ln 1ln ln1t t +=+()ln 1ln t t +=1t t +=()g x M ()2231x f x x =-+()()()11f t f t f +=+()2122311231t t t t +-++=-+2630t t --=263t t =+()f x t ()()()11f t f t f +=+故函数具有性质.21.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）取的中点，连接，，，.∵，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴.∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）过作交于，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，，，，所以，，，由，所以.又平面，所以为平面的一个法向量.()f x M 11A B G 1C G GF CG 1A D //CD AB 111122CD AB A B ==112A G AF AB ==1//CD A G 1CD A G =1A DCG 1//A D CG E 1E AD1A A 11//EE A D 1//EE CG 1EE ⊄1FCC CG ⊂1FCC 1//EE 1FCC D DR CD ⊥AB R D )F )B ()0,2,0C ()10,2,2C ()0,2,0FB = ()11,2BC =- )DB = FB CB CD DF ===DB FC ⊥CC ⊥ABCD DB 1FCC设平面的一个法向量为，则由得，即，取，则，，因此，所以，.22.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得：，∴，∵，∴又∵，∴.（2）由正弦定理得：∵，，又由（1）知：，∴∴，1BFC (),,n x y z = 1n FB n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ()()()(),,0,2,00,,1,20x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩2020yy z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1x =0y =z =n ⎛=⎝cos ,DB n DB n DB n ⋅===⋅ π3A =(]3,6()1sin cos sin sin sin 2A C CB AC +==+sin cos cos sin A C A C =+1sin cos sin 2C A C =sin 0C ≠1cos 2A =0πA <<π3A =sin 2sin sin a B b B A ==sin 2sin sin a C c C A==2π3B C +=2π3C B =-2222222π4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭2224sin 3cos cos sin B B B B B =+++232sin cos B B B=++π4cos 2242sin 26B B B ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴，∴.π3A =2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]223,6b c +∈。

(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。

2024学年江苏省南京师大附中高三二模英语试题试卷与答案含解析

2024学年江苏省南京师大附中高三二模英语试题试卷与答案注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．Mark ______ have hurried. After driving at top speed, he arrived half an hour early.A．needn’t B．wouldn’t C．mustn’t D．couldn’t2．—Would you mind giving your advice on how to improve our business management?—If you make ________ most of the equipment, there will be ________ rise in production.A．the; a B．/; / C．/; a D．the; /3．The incident turned him into different person, even if he did not realize it at beginning.A．a; a B．the; the C．the; a D．a; the4．— I wonder what makes you a good salesperson.— I ________ as a waiter for three years,which contributes a lot to my today’s work.A．serve B．servedC．have served D．had served5．the key to the car when my boss came towards me.Finally I could drive himhome as usual.A．Never had I found B．Seldom did I findC．Hardly had I found D．No sooner did I find6．What the country did _____ the international trade regulations, for which it was widely condemned. A．approved B．violated C．bothered D．interrupted7．—Are you ready to leave?—Almos t, I’ll be ready to go just as soon as I ________ putting the clean dishes away.A．get through B．give upC．carry out D．set about8．The importance ______ a national day and how it is celebrated are very different from country to country. A．connected to B．given to C．meaning to D．attached to9．Some people use hand-written letters ______ typing because they’re more personal and represent your sincerity. A．in preference to B．in process of C．in reference with D．in search of10．John's success has nothing to do with good luck. It is years of hard work _________ has made him what he is today. A．what B．whichC．where D．that11．They came back from their long walk and went into bed, .A．tiredly but relaxing B．tired but relaxingC．tiredly but relaxed D．tired but relaxed12．Good food，good sleep，no exercise．That's he gained weight．A．how B．when C．what D．whether13．His advice made me happy, but ____others angry.A．making B．to make C．/ D．make14．—Will it cost a lot to be an exchange student?—________, but you can apply for scholarship and student loan.A．I would imagine so B．Y ou’ve got me thereC．By all means D．I’m with you on that15．I thought it hard to complete the project at first, but I______my mind.A．change B．have changedC．had changed D．would change16．As ______ healthier lifestyle is being promoted, the bicycle has also become a tool that keeps people on ______ go. A．the; a B．a; aC．a; the D．a; /17．High-speed trains which travel through my hometown ________ up to 250 km per hour make it a small world. A．with B．againstC．at D．over18．More expressways in Sichuan soon to promote the local economy.A．are being built B．will be builtC．have been built D．had been built19．There has been positive reaction to the proposal to help the disabled, the impact will be lasting especially for younger ones.A．on which B．on whomC．of which D．of whom20．he newly-discovered star was named _____ a Chinese astronomer ________his contributions to astronomy. A．for; in favor of B．after; in honor ofC．by; in memory of D．as; in praise of第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

4月南师大附中统测5

2012届南京师大附中高三数学二轮复习周统测（五）（2012.3.28）（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题．．卷．相应的位．．．．置上．．. 1．设复数1()z bi b R =+∈且||1z =，则复数z 的虚部为 ▲ ． 2．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过 60km/h 的汽车数量为 ▲ 辆． 3．设函数3()cos 1f x x x =+，若()11f a =，则()f a -= ▲ ．4．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a⊥b ，则yx39+的最小值为 ▲ ．5．点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是 ▲ ． 6．已知1sin()43πα+=，则sin cos αα的值为 ▲ ． 7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ▲ ．8．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：,,191715134,11973,532333 +++=++=+=仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是31，则m 的值为 ▲ ．9．如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ， PD =AD =1，设点C 到平面P AB 的距离为1d ，点B 到平面P AC 的距离为2d ，则比较21,d d 的大小有 ▲ ．10．执行如图的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是 ▲ ．11．已知函数()f x 满足(1)(1)2f x f x ++-=，且直线(1)1yk x =-+与()f x 的图象有5个交点，则这些交点的纵坐标之和为 ▲ ．(km/h)12．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题中真命题的编号是 ▲ ． ① 数列{}n a 的各项均为正数；② 数列{}n a③ 数列{}n a 的公比必是正数；④ 数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1． 13．如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动（说明：“正方形P ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形P ABC 可以沿x 轴负方向滚动．向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积S 是 ▲ ．14．已知平面向量,,OA OB OC 满足：||||||1,0OA OB OC OA OB ===⋅=，若y x +=(,)x y R ∈，则x y +的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题共l4分)已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．(1) 求()f x 的最小正周期和最小值；(2) 已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求()f β的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，6AC =，BD =E 是PB 上任意一点． (1) 求证：AC DE ⊥；(2) 当AEC ∆面积的最小值是9时，证明EC ⊥平面PAB ．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30︒，已知S（将眼睛距地面的距离(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.(本小题满分16分)设A、B分别为椭圆22221(,0)x ya ba b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且4x=是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设P为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．已知函数()()x f x e kx x =-∈R .(1) 若k e =，试确定函数()f x 的单调区间；(2) 若0k >且对任意x R ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； (3) 设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(2)()n n F F F n e n N +*⋅>+∈ ．20.(本小题满分16分)已知等比数列{}n a 的首项12012a =，公比12q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为()n ∏．(1) 求数列{}n S 的最大项和最小项；(2) 判断()n ∏与(1)n ∏+的大小，并求n 为何值时，()n ∏取得最大值；(3) 证明{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为123,,,n d d d d ，证明:数列{}n d 为等比数列．（参考数据1021024=）答案１．0；２．38；３．-9；４．6；５．01=-+y x ；６．718-；７．21；８．6；９．12d d <；１０．8；１１．5；１２．③；１３．1S π=+；１４．),0()0,(+∞-∞ 15.(1) 解析：7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x 2sin()4x π=-， …………………………4分∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-． ………………7分 (2) 证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=- 两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．……… 12分∴()2sin()24f ππβ=-= ……………………………… 14分16.解：（1）证明：连接BD ，设AC 与BD 相交于点F 。

江苏省南京市南京师大附中2024学年高二化学第二学期期末监测试题(含解析)

江苏省南京市南京师大附中2024学年高二化学第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(共包括22个小题。

每小题均只有一个符合题意的选项）1、用乙烯和乙醇为原料制取草酸二乙酯的过程中发生的反应类型及顺序正确的是①酯化反应②氧化反应③水解反应④加成反应A．②④③①B．④①②③C．④③②①D．②③①④2、分子式为C5H8O3，能发生银镜反应且能与NaHCO3溶液反应的有机物共有（）A．5种B．6种C．7种D．8种3、将13.7g Mg、Al和Zn的混合物溶于足量的盐酸中，产生标准状况下11.2L气体。

向反应后的溶液中逐滴加入氢氧化钠溶液，最多可得到沉淀的质量为（）A．19.7g B．22.3g C．30.7g D．39.2g4、下列各组物质中，既不是同系物，又不是同分异构体的是A．CH4和C4H10B．乙酸和甲酸甲酯C．和D．苯甲酸和5、关于下列各装置图的叙述中，正确的是A．实验室用装置①制取氨气B．装置②中X若为四氯化碳，可用于吸收氨气，并能防止倒吸C．装置③可用于制备氢氧化亚铁并观察其颜色D．装置④是电解池，锌电极为正极，发生氧化反应6、已知：①H2(g)+ 12O2(g)=H2O(g)；ΔH1= akJ·mol-1②2H2(g)+O2(g) = 2H2O(g)；ΔH2= b kJ·mol-1③ H2(g)+ 12O2(g)=H2O(l)；ΔH3= c kJ·mol-1④2H2(g)+O2(g) = 2H2O(l)；ΔH4= d kJ·mol-1，下列关系式中正确的是( ) A．2a=b<0 B．b>d>0 C．a<c<0 D．2c=d>0 7、某化学小组欲利用如图所示的实验装罝探究苯与液溴的反应。

江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

有 1 件次品的抽法有
种．（请用具体数字作答）
13．已知圆 x2 + y2 - 2ax + a2 - 9 = 0 与圆 x2 + y2 = 4 相内切，则实数 a 的值为
．
( ) ( ) 14．已知存在实数 x，使得不等式 ex2+2 - tex 2 + t x2 - 2x + 2 - 2 ln t £ 0 成立，则实数 t 的取
B．12π 是 f (x) 的一个正周期 D． f (x) 在区间 (0,π) 上单调递增
11．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC = 4 ，M 是 AD 的中点，将VABM 沿着直线 BM
翻折得到△A1BM ．记二面角 A1 - BM - C 的平面角为a ，当a 的值在区间 (0,π) 范围内变化时，下列说法正确的有（）
【详解】令 f ( x) = ex - x ，则 f ¢( x) = ex -1，令 f ¢( x) > 0 ，解得 x > 0 ，令 f ¢( x) < 0 ，解得 x < 0 ，所以 f ( x) 在(0, +¥ ) 上单调递增， (-¥ , 0) 上单调递减，所以 f ( x) = ex - x ³ f (0) = 1 ， ex - x ³ 1一定成立，故 A 不合题意；
【详解】根据题意可知，复数1+ 2i 对应的向量绕原点 O 按逆时针方向旋转 90o 可得
( ) (1+ 2i) cos 90o + isin90o = i (1+ 2i) = i + 2i2 = -2 + i ，
即所得的向量对应的复数为 -2 + i . 故选：A 3．C

2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

F
B
C
E
＝ ( a b c )2 ＝64. 2
…………………16 分
三、解答题（本题满分 20 分）
已知椭圆ax22＋by22＝1 (a＞b＞0) 右焦点为 F，右准线 l 交 x 轴于点 N，过椭圆上一点 P 作
PM 垂直于准线 l，垂足为 M．若 PN 平分∠FPM，且四边形 OFMP 为平行四边形，
证明：e＞23．
y l
P
M
O
F
Nx
证法一：设点 P(x0,y0).由对称性，不妨设 y0＞0．
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 3 页共 5 页
四边形 OFMN 为平行四边形，所以 PM＝OF＝c，于是由 PM＝ac2－x0＝c，得 x0＝bc2. 又 xa022 +yb022＝1，得 y02＝b2(1－ ab24c2)．
2 22
22
2
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 2 页共 5 页
＝ 1 (b2+c2－2bccosA)+ 1 b2+ 1 c2+ 1 ab+ 1 ac + 1 bc
4
442
22
＝ 1 (a2+b2+c2+2ab+ 2ac +2bc)2＝ 1 (a+b+c)2＝64．
4
4
……………………16 分
别为 P、Q．求证：PQ 是以 AB 为直径的圆的一条切线．
E Q
D
H
C
A
O
O1 P
O2
B
证明：设 CP，DQ 相交于 E 点，
则∠BDQ＝180°－∠BAD＝∠CAB＝∠BCP．

2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试卷1.设集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．1D．-13.设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（）A．34B．18C．12D．74.在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架的高度，点是屋宽的五等分点，连接，在处下“折”安置第一榑，连接，在处下“折”安置第一榑，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑的高度为（）A．B．C．D．5.已如是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．6.若直线与曲线和圆都相切，则的方程可能为（）A．B．C．D．7.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A．B．C．D．8.已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．9.已知数列，记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A．若“”是“为递增数列”的充分不必要条件B．“为等差数列”是“为等差数列”的必要不充分条件C．若为等比数列，则成等比数列D．若为等比数列，则可能是等差数列10.已知函数，则在区间上可能（）A．单调递增B．有零点C．有最小值D．有极值点11.已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A．若O为线段中点，则B．若，则C．存在直线l，使得D．△PFQ面积的最小值为212.已知点A，B是函数图象上不同的两点，则下列结论正确的是（）A．若直线AB与y轴垂直，则a的取值范围是B．若点A，B分别在第二与第四象限，则a的取值范围是C．若直线AB的斜率恒大于1，则a的取值范围是D．不存在实数a，使得A，B关于原点对称13.在中，已知点满足，若，则__________.14.已知分别为内角的对边.若，则的最小值为__________.15.已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为________16.若函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则的最大值为__________.17.已知的三内角所对的边分别是分别为，且.(1)求；(2)若，求周长的最大值.18.如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，(1)证明：平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值.19.已知等比数列公比为2，数列满足，若数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式；(2)是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数，如不存在，请说明理由.20.随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.(1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出.21.设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线轴于点，求.22.已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)已知实数，设.（i）若，求的极值；（ii）若有3个零点，求的值.。

南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)

南京师大附中2023—2024学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，包括单选题（第1题～第8题）、多选题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点(),P m n 在直线26x y −=上的概率是（）A.13B.14C.112 D.118【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2，()()()()()()()()()()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,()()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6.5,6,6共36种结果，即点(),P m n 有36个.而满足在26x y −=上的有()()()4,2,5,4,6,63种，故其概率为313612=.故选：C2.设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +−=，2l ：()5350x m y +−−=，若12//l l ，则m =（）A.5− B.2C.2或5− D.5或2−【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出m 的值，再代入检验即可.【详解】因为直线1l ：220mx y +−=与直线2l ：()5350x m y +−−=平行，所以()325m m −=×，解得2m =−或5m =，当2m =−时直线1l ：10x y −+=与直线2l ：10x y −−=平行，符合题意；当5m =时直线1l ：5220x y +−=与直线2l ：5250x y +−=平行，符合题意. 综上可得：2m =−或5m =. 故选：D3. 若双曲线22221x y a b −=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c，则b c =（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可.【详解】易知双曲线22221x y a b−=的一条渐近线为b y x a =，故(),0F c到其距离为d b ==，所以b c =. 故选：A4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,0A ，动点(),P x y 满足2PA PO=，则动点P 的轨迹与圆()()22111x y −+−=的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.【详解】由2PAPO=，得2PA PO =，()2214x y ++=，表示圆心为(1,0)−，半径为2R =的圆，圆()()22111x y −+−=的圆心为(1,1)为圆心，半径1r =，，满足2121−<<+，所以两个圆相交. 故选：C.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =（） A.32B. 4C.94D.116【答案】C 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出12d a =，由此能求出96S S 的值【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， ∵等差数列{}n a 前n 项和为n S ，634S S =， ∴11656243232a d a d×+=×+，整理得12d a =， ∴1916119899369265615462a d S a d S a d a d ×++===×++．故选：C .6. 已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=−,则抛物线C 的方程为（） A. x 2＝8y B. x 2＝4y C. y 2＝8xD. y 2＝4x的【答案】C 【解析】【分析】设抛物线方程为22,(0)y px p =>,直线方程为2px my =+再联立,利用韦达定理表示12OA OB ⋅=− 进而求得抛物线方程即可.【详解】由题意,设抛物线方程为22,(0)y px p =>,直线方程为2p x my =+,联立222y px p x my ==+消去x 得2220y pmy p −−=,显然方程有两个不等实根.设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝－p 2,得222221212121223444y y p OA OB x x y y y y p p p ⋅=+=+=−=− , 故23124p −=−得p ＝4（舍负）,即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 故选：C【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解平面向量数量积的问题,属于中等题型.7. 设m 为正实数，椭圆C ：22213x y m+=长轴的两个端点是1A ，2A ，若椭圆C 上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则m 的取值范围是（） A. ][()0,19,∞∪+ B. (][)0,13,∪+∞C. ([)4,+∞D. ([)9,+∞【答案】B 【解析】【分析】当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解.【详解】因为m 为正实数，则若椭圆焦点在x 轴上，即203m <<，即0m <<则当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，则1tan tan 60A PO ∠≥ ，解得01m <≤；若椭圆焦点在y 轴上，即23m >，即m >时，则当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，则1tan tan 60A PO ∠≥ ，解得3m ≥，综上，m 的取值范围是(][)0,13,∪+∞ 故选：B.8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，满足5AB AC ==且()1,3B −，()4,2C −，若ABC 的“欧拉线”与圆M ：()2223x y r −+=（0r >）相切，则下列结论正确的是（）A. 圆M 上点到直线10x y −+=的最小距离为B. 圆M 上点到直线10x y −+=的最大距离为C. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最小时，PB =D. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最大时，PB =【答案】C 【解析】【分析】先根据定义确定ABC 的“欧拉线”方程，再根据直线与圆相切求出圆M ，由圆与直线的位置关系及平行线的距离一一判定选项即可.【详解】由题意可知BC =所以ABC 是以A 为顶点的等腰三角形，则其欧拉线为BC 的中垂线，易知32114BC k +==−−−，BC 的中点为31,22，故ABC 的“欧拉线”方程为：13122y x y x −=−⇒=−，可设(),1A a a −，由51AB AC a ==⇒=−或4a =，即()1,2−−A 或()4,3A ，又圆M ：()2223x y r −+=，可知圆心()3,0M ，根据圆M 与欧拉线相切可得()3,0M 到1y x =−的距离为d r ==，即圆M ：()2232x y −+=，对于A 、B 选项，显然10x y −+=与1y x =−平行，两平行线的距离为d ，故圆M 上的点到10x y −+=的距离最大为2r d +，最小值为d =故A 、B 均错误；对于C 、D 选项，易知当点P 为直线PB 与圆M 的切点时PBA ∠取得最值，此时PB =，故D 错误，C 正确.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（） A. 极差为6 B. 众数为4C. 方差为4D. 中位数为5【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算可得. 【详解】依题意这组数据的众数为4，极差为826−=，中位数为454.52+=，平均数为()124457856+++++=，所以方差为()()()()()()222222125454555758546−+−+−+−+−+−=. 故选：ABC10. 下列化简正确的是（）A. 1sin75cos754°°=B.1cos 4040sin 802°+°=°C. 1sin10cos 20cos 408°°°= D. tan1052°=−【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值依次判断即可. 【详解】对于A ，根据二倍角的正弦公式可得111sin75cos752sin75cos75sin150224°°=⋅°°=°=，A 正确；对于B ，1cos 4040sin 30cos 40cos30sin 40sin 70sin 802°+°=°°+°°=°≠°，所以B 错误；对于C ，8cos10sin10cos 20cos 40sin 801sin10cos 20cos 408cos108sin 808°°°°°°°°===°°，所以C 正确；对于D ，()tan 60tan 45tan105tan 604521tan 60tan 45+°=+°===−−，所以D 正确；故选：ACD11. 若抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A .过点F 作直线l 与抛物线交于点,M N ，且MF FN λ=（1λ>），直线AM 与抛物线的另一交点为E （点E 在点M 的左边）.下列结论正确的是（） A. 直线lB. tan MAF ∠C. MAF NAF ∠=∠D. AE AN =【答案】CD 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,M x y N x y ，根据MF FN λ= （1λ>），可得12,y y 的关系，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，进而可求出12,y y ，从而可求出m ，即可判断A ；求出M 点的坐标即可判断B ；根据0AM AN k k +=是否成立即可判断C ；根据C 选项结合抛物线的对称性即可判断D. 【详解】,0,,022p p F A−，设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,M x y N x y ，则1122,,,22p p MF x y FN x y=−−=−，因为MF FN λ=（1λ>），所以121222p p x x y y λλ −=− −= ，所以()121212p x x y y λλλ=+−=− ，联立222p x my y px=+ = 得2220y pmy p −−=，则21212,2y y pm y y p +==−，所以()12212y y y pm λ+=−=，所以2122,11pm pm y y λλλ==−−−，所以2122211pm pm y y p λλλ=−⋅=−−−，解得1m =即直线l的斜率为，故A 错误；由121pm y λλ=−−，得()()()()222222222112241212422211p m p y pm p x ppλλλλλλλλλ−⋅−=====−−，由1m =，得121p y λλ =−⋅=± −即,2p M λ ±，所以MA k ==，故B 错误；1212121222AM AN y y y y k k pp my p my p x x +=+=+++++()()()()()22121212122220my y p y y mp mp my p my p my p my p ++−+==++++，所以AM AN k k =−，所以直线,AM AN 关于x 轴对称，所以MAF NAF ∠=∠，故C 正确；由题意可得,E N 都在M 的左侧，且直线,AM AN 关于x 轴对称，根据抛物线的对称性可得AE AN =，故D 正确. 故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解12. 已知曲线C：12yx +是双曲线，下列说法正确的是（） A. 直线0x =是曲线C 的一条渐近线 B. 曲线CC. (为曲线C 的其中一个焦点D. 当t 为任意实数时，直线l ：yx t =+与曲线C 恒有两个交点【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据对勾函数的性质判断；B选项根据对勾函数的性质得到y x =是双曲线的另外一条渐近线，然后联立123y x yx ==+得到顶点坐标，即可得到实轴长；C选项，根据渐近线的特点得.到虚轴长，即可得到焦距，然后求焦点坐标即可；D 选项，根据渐近线的性质判断.【详解】根据对勾函数的性质可得0x =是双曲线的一条渐近线，故A 正确；当x →+∞时，双曲线的方程趋近于y x =，所以y x =是双曲线的另外一条渐近线，倾斜角为30°，所以y =是双曲线的一条对称轴，联立123y x y x ==+得32x y = =或32x y==−，所以点32和32−，故B 错；如图，设双曲线的一个焦点为F ，过双曲线的一个顶点A 作AB垂直y =交0x =于点B ， 30AOB ∠=°，OA =2，焦距为4，即2OF =，所以(F ，故C 正确；因为y x =，0x =为渐近线方程，所以yx t =+与双曲线有两个交点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：对勾函数(),0by ax a b x=+>的渐近线方程：0x =；y bx =. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 过直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点，且垂直于直线210x y ++=的直线方程是______. 【答案】11202x y −+= 【解析】【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为20x y n −+=，代入交点坐标求出n 的值，即可得解.【详解】由42503290x y x y ++= −+= ，解得232x y =− =，所以直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点为32,2−，设所求直线方程为20x y n −+=，则()32202n ×−−+=，解得112n =，所以所求直线方程为11202x y −+=. 故答案为：11202x y −+= 14. 已知椭圆2212516x y +=的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______________．【答案】−. 【解析】【分析】设椭圆得左焦点为F ′，连接,OM PF ′，根据线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，可得OMOF c ==，从而可求得,PF PF ′，在PFF ′ ，利用余弦定理求得PFF ′∠的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：设椭圆得左焦点F ′，连接,OM PF ′，由椭圆2212516x y +=得，5,4,3a b c ===，则()()3,0,3,0F F ′−，26FF c ′==，210PF PF a ′+==，因为点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，所以3OM OF c ===，因为,O M 分别为,FF PF ′得中点，所以26PF OF ′==，所以104PF PF ′=−=，所以1636361cos 2463PFF+−′∠==××，则sin PFF ′∠ 为所以tan PFF =′∠，因为点P 在椭圆上且在x 轴上方，则直线PF 的倾斜角与PFF ′∠互补，所以直线PF 的斜率−.故答案为：−.15. 设ω是正实数，已知函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点，则ω的取值范围是______. 【答案】59,44【解析】【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可.【详解】由()πsin cos 4f x x x x ωωω=−−，由()πππ0,π,π444x x ωω∈⇒−∈−−，因为函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点，则π59ππ2π,444ωω <−≤⇒∈ 故答案为：59,4416. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线22:14x C y −=的左焦点为F ，过双曲线C 右支上任意一点作其切线l ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方程为______.【答案】224(x y +=其中x > 【解析】【分析】由双曲线的光学性质，得到AH 为12F AF ∠的平分线，延长FH 交2AF 于点E ，根据中位线的性质，得到222111()()222OH F E AE AF AF AF a ==−=−=，结合圆的定义和双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线22:14x C y −=，可得2a =，其右焦点为2F ，且渐近线方程为12y x =±，设双曲线C 右支上任意一点A ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则过点A 的切线为AH ，根据双曲线的光学性质，可得AH 为12F AF ∠的平分线，延长FH ，设FH 的延长线与2AF 的延长线交于点E ，如图所示，则AH 垂直平分FE ，即点H 为FE 的中点，又因为O 的中点，所以222111()()2222OH F E AE AF AF AF a ==−=−==，可得点H 2为半径的圆，可得点H 的轨迹方程为224x y +=，联立方程组22124y x x y =± +=，可得x =，因为A 在双曲线的右支上，且AH 为双曲线的切线，则12AH k ≥，所以点H 的轨迹方程为224(x y +=其中x >. 故答案为：224(x y +=其中x >.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是23，12，34，面试合格的概率分别是12，23，13. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率；（2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 【答案】（1）49. （2）23. 【解析】【分析】（1）设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出()P A 、()P B ；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果.（2）设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果. 【小问1详解】设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 相互独立.因为两轮选拔之间相互独立所以()211323P A =×=，()121233P B =×=. 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：()()()()()()()111141133339P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =+=+=+=×−+−×=所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率49. 【小问2详解】设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立. 则()314431P C =×=. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为()()()()11121111113343P P ABC P A P B P C   =−=−=−−−−=    所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率23. 18. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .已知262a a +=，918S =−. （1）求n a ；（2）当n 为何值时，n S 最小？并求此最小值.【答案】（1）133na n =− （2）8，4 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由262a a +=，918S =−求解；（2）由()()()1233,71223312323,82nn n n S n n n n n −≤ =−= −≥ ，分7n ≤，8n ≥，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又262a a +=，918S =−，所以11262,93618a d a d +=+=−，解得110,3a d ==−，所以()11133n a a n d n =+−=−；的【小问2详解】由（1）得()()()1233,71223312323,82nn n n S n n n n n −≤ =−= −≥ ，当7n ≤时，()2132352923322624n T n n n =−=−−+，当13,N n n ≤≤∈时，n T 递增，当47,N n n ≤≤∈时，n T 递减，又1710,7T T ==，所以n T 的最小值为7；当8n ≥时，()2132352932322624n T n n n =−=−−，n T 在[8,)+∞上递增，又84T =，所以n T 的最小值为4，综上：n S 的最小值为4.19. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()sin sin sin sin b B C a A c C −=−. （1）求角A 的值；（2）若a =，且ABC的面积为ABC 的周长. 【答案】（1）π3（2）6+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用余弦定理求A ；（2）根据三角形面积公式得到8bc =，根据余弦定理得到2220b c +=，然后求周长即可. 【小问1详解】由正弦定理得()22b bc a c −=−，整理得222b c a bc +−=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，因为()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】因为ABC的面积为1sin 2bc A=，则8bc =，由余弦定理得22112cos 22b c A bc+−==，则2220b c +=，所以()222236b c b c bc +=++=，则6b c +=，所以ABC的周长为6+.20. 已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =. （1）求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若点()1,1B −满足90MBN ∠=°，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =，焦点为()1,0F（2）220x y −−=【解析】【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出p ，即可求出抛物线方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由0BM BN ⋅=得到方程，解得即可. 【小问1详解】抛物线C ：22y px =()0p >准线方程为2px =−，因为点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =，所以232pAF =+=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F . 【小问2详解】由（1）可知抛物线的焦点()1,0F ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y 、()22,N x y ，的由214x my y x =+ =，消去x 整理得2440y my −−=，所以216160m ∆=+>，则124y y m +=，124y y =−，所以()21212242x x m y y m +=++=+，()()()2121212121111x x my my m y y m y y =++=+++=，又()1,1B −，所以()111,1BM x y =+− 、()221,1BN x y =+− ，因为90MBN ∠=°，所以()()()()211211110BM BN x x y y ⋅=+++−−=，即()()12121212110x x x x y y y y ++++−++=，即214214410m m +++−−+=，解得12m =，所以直线l 的方程为112x y =+，即220x y −−=.21. 已知椭圆C ：22154x y +=和圆O ：229x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作椭圆的切线1l ，2l 交圆O 于A ，B .（1）若点P 的坐标为()0,3，证明：直线12l l ⊥；（2）求线段AB 的长. 【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】【分析】（1）设切线方程为3ytx =+，联立方程，再根据Δ0=结合韦达定理证明121t t =−即可；（2）分过点P 的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据Δ0=结合韦达定理证明12l l ⊥即可得出答案. 【小问1详解】由题意切线的斜率存在，设切线方程为3ytx =+，联立223154ytx x y =+ +=，消y 得(225430250t x tx +++=，则()222900100544004000t t t ∆=−+=−=，所以121t t =−，即121l l k k ⋅=−，所以12l l ⊥；【小问2详解】设(),P m n ，则229m n +=，椭圆C ：22154x y +=2，当过点P的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为x =此时m =229n +=，解得2n =±，而直线2y =±与椭圆C 相切，所以当过点P 的一条切线斜率不存在时，12l l ⊥，当过点P的切线斜率存在时，则m ≠，设切线方程为()y nk x m −=−，联立()22154y n k x m x y −=− += ，消y 得()()()22254105200k x k n km x n km ++−+−−=，则()()()2222100205440k n km k n km ∆=−−+−−= ，化简得()2225240m k mnk n −++−=，所以()2221222249451555m n m k k m m m−−−−====−−−−，所以12l l ⊥，综上所述，12l l ⊥，所以线段AB 为圆O 的直径，所以6AB =.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知点()2,1A ，()2,1B −在双曲线C ：2212x y −=上，过点()0,3D −作直线l 交双曲线于点E ，F （不与点A ，B 重合）.证明：（1）记点(0,2P +，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线；（2）直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析；()2225x y +−=.【解析】【分析】（1）根据题意求出点E 坐标，求出直线AE 、AP 的斜率相等，得证.（2）根据题意可求出BGA ∠为定值，AB 也为定值，所以G 在过,A B 的圆上，根据条件确定圆心和半径即可.【小问1详解】由题意，当直线l 平行于x 轴时，l 方程为=3y −，且与双曲线的右支交点为E ，则()22313)2x E −−=⇒−， AE的斜率AE k == AP的斜率AP AE k k =，所以P ，A ，E 三点共线.【小问2详解】由题知直线EF 斜率存在，且过()0,3D −，设:3EF y kx =−，()()1122,,,E x y F x y 与双曲线2212x y −=联立得： ()221212200k x kx −+−=，2120−≠k 且280160k ∆=−> 则1212222012,2121k x x x x k k =+=−−，设直线AE 与直线BF 的交点为G ，斜率分别为12,k k ，则()()()()()211212121221121212121114281622tan 111124412122y y k x x x k k x x BGA y y k k k x x k x x x x x −−−−+−+−+−∠===−−++−+++++⋅+−2122128481681224248412k k x k k k x k −−+−−==−+−+−，tan 2sin BGA BGA ∠=−⇒∠ 在BGA △中，sin BGA ∠，AB 4=，由正弦定理得BGA △外接圆半径2sin AB R BGA ==∠，所以G 在过,A BH ，因为()2,1A ，()2,1B −，H 在线段AB 的中垂线上，所以H 在y 轴上，设(0,),1H t t >，则由()()2222151132AB R t t t =+−⇒=+−⇒=或0=t 舍，所以定圆方程为()2225x y +−=.。

2019-2020学年江苏省南京师大附中高二(下)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则（）A.A∩B={x|0＜x＜1}B.A∩B={x|0＜x＜3}C.A∪B={x|1＜x＜2}D.A∪B={x|0＜x＜3}2.（单选题，5分）若复数z满足（3-i）z=2+6i（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B.2C.3D.43.（单选题，5分）函数f（x）= √2x−1+1x−4的定义域为（）A.[0，4）B.（4，+∞）C.[0，4）∪（4，+∞）D.（-∞，4）∪（4，+∞）4.（单选题，5分）已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≥0）=0.84，则P（X＞4）=（）A.0.16B.0.32C.0.66D.0.685.（单选题，5分）已知离散型随机变量X的分布列如下：A.E（X）=1.4，D（X）=0.2B.E（X）=0.44，D（X）=1.4C.E（X）=1.4，D（X）=0.44D.E（X）=0.44，D（X）=0.26.（单选题，5分）已知函数f（x）=e|x|+|x|，则满足f（2x-1）＜f（13）的x取值范围是（）A. (13，23)B. [13，23)C. (12，23) D. [12，23)7.（单选题，5分）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于 67的是（） A.至少有1个深度贫困村 B.有1个或2个深度贫困村 C.有2个或3个深度贫困村 D.恰有2个深度贫困村8.（单选题，5分）对于∀x 1∈（1，2），∃x 2∈（1，2），使得 4x 12−8x 1+5x 1−1 = mx 2−m+2x 2−1，则实数m 的取值范围（） A.[0，2] B.（-∞，2] C.（0，2） D.（-∞，2）9.（多选题，5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（） A.目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4 B.目标恰好被命中两次的概率为0.5×0.4 C.目标被命中的概率为0.5×0.6+0.5×0.4 D.目标被命中的概率为1-0.5×0.610.（多选题，5分）已知函数f （x ）= 2x −12x +1 ，下面说法正确的有（） A.f （x ）图象关于原点对称 B.f （x ）的图象关于y 轴对称 C.f （x ）的值域为（-1，1） D.∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＜0恒成立11.（多选题，5分）若a ＞0，b ＞0，则下面几个结论正确的有（） A.若a≠1，b≠1，则log a b+log b a≥2 B.√a 2+b 2a+b ≥√22C.若 1a + 4b =2，则a+b≥ 92 D.若ab+b 2=2，则a+3b≥412.（多选题，5分）已知函数f （x ）满足：当-3≤x ＜0时，f （x ）=e x （x+1），下列命题正确的是（）A.若f （x ）是偶函数，则当0＜x≤3时，f （x ）=e x （x+1）B.若f （-3-x ）=f （x-3），则g （x ）=f （x ）+ 2e 3 在x∈（-6，0）上有3个零点 C.若f （x ）是奇函数，则∀x 1，x 2∈[-3，3]，|f （x 1）-f （x 2）|＜2D.若f （x+3）=f （x ），方程[f （x ）]2-kf （x ）=0在x∈[-3，3]上有6个不同的根，则k 的范围为- 1e 2＜k ＜−2e 313.（填空题，5分）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|=5，z+ z =6，则z 的实部为___ ，虚部为___ ． 14.（填空题，5分）设函数f （x ）= {lnx ，x ≥1，1−x ，x ＜1，则f （f （0））=___ ，若f （m ）＞1，则实数m 的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）某校在高二年级开设校本课程选修课，有5名同学要求改选中国文化史，现中国文化史开有三个班（A 班、B 班、C 班），若A 班至少接收2名同学，其余两班每班至少接收1名同学，则不同的接收方案共有___ 种．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {e x ，x ≤1，−x 2+4x −3，1＜x ＜3，，若函数g （x ）=f （x ）-k|x+1|有三个零点，则实数k 的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）已知p ：对于∀x∈R ，x 2+kx+k ＞0成立，q ：关于k 的不等式（k-m ）（k-2）≤0（m ＜2）成立．（1）若p 为真命题，求k 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．18.（问答题，12分）已知（1+λx ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，其中λ∈R ．（1）若n=8，a 7=1024．求λ的值；（2）若λ=-2，n=2020，求a 0+a 2+a 4+…+a 2020的值．19.（问答题，12分）近年来，国家对西部发展出台了很多优惠政策，为了更有效促进发展，需要对一种旧能源材料进行技术革新，为了了解此种材料年产量x （吨）对价格y （万元/吨）和年利润：（万元）的影响，有关部门对近五年此种材料的年产量和价格统计如表，若 y =5.5．（2）求y 关于x 的线性回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ ；（3）若每吨该产品的成本为2万元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？参考公式： b ̂ = ∑x i ni=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2 ， a ̂ = y - b ̂ x ．20.（问答题，12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取100名观众进行调查，将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“，数据统计如表：（2）该体育类节目为了提升收视率，规定“体育迷”每天奖励积分2分，“非体育迷”每天奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的物品．用表中的样本频率作为概率的估计值．某日3名观众来领取积分，记此3人当日的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：K 2= n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) ，其中n=a+b+c+d ．21.（问答题，12分）已知函数f （x ）= 2m 3x 3−m+22x 2+x ，其中m 为正实数．（1）试讨论函数f （x ）的单调性；，1]，使得不等式g（x）＜-2成立，求m （2）设g（x）=f′（x）+lnx-mx2-1，若存在x∈[ 12的取值范围．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在k∈Z，对任意x＞0，使得2f（x+1）-kx＞0成立，若存在，求k的最大值；若不存在，说明理由．（参考数据：e2=7.39，e3=20.1）。

2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题

2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12802．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e3．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -5．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（）A ．3B ．32C ．53D ．26．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<7．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．128．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．129．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（） A ．52B ．2C ．5D ．15210．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1311．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．23D ．12-12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年江苏省南京师大附中中考数学模拟试卷(一)及答案解析

2024年江苏省南京师大附中中考数学模拟试卷（一）一、单选题1．|﹣2|的值等于（）A．2B．﹣C．D．﹣22．据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（）亿．A．2.37×103B．2.37×104C．2.37×105D．0.237×106 3．计算x4÷x+x3的结果是（）A．x4B．x3C．2x3D．2x44．一次函数y＝2x+1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）A．x+1B．x2﹣1C．D．（x+1）27．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1 8．如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+二、填空题9．要使分式有意义，则x的取值范围为．10．分解因式：4x2y﹣12xy＝．11．已知点P（m﹣1，2m﹣3）在第三象限，则m的取值范围是．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．13．用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．14．为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF 的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为米．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点A、B两点，连接AB、OB，若△OAB的面积为3，则k的值为．16．已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为．三、解答题17．（1）计算：﹣÷；（2）解不等式组：．18．如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．19．【阅读材料】老师的问题：已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线．求作：菱形AECD ．小明的作法：（1）取CD 的中点F ；（2）连接BF 并延长到E ，使FE ＝FB ；（3）连接AE ，CE ．四边形AECD 就是所求作的菱形．【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形AECD 是菱形．20．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为40人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分100分）．a．甲班成绩统计表：平均数众数中位数优秀率79847640%b．乙班良好这一组学生的成绩：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．c．乙班成绩统计图：说明：①成绩等级分为：80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60以下为不合格；②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值．（1）已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在班的名次更好些；（2）从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若∠BAD＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．22．某商场销售一种成本为20元/kg的商品，市场调研反映：在某个月的第x天（1≤x≤30）的销售价格为（40+x）元/kg，日销售量y（kg）与x的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数解析式；（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？（3）结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于2250元？23．如图，等边三角形ABC中，P是边AC上的一个动点（不与A，C点重合），连接BP，将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，过点C作CQ∥BP，交PD的延长线于点Q．（1）探究△PCD的形状；（2）求证：△APD≌△QDC；（3）若延长AD交CQ于点E，CE＝2EQ，求∠CAQ的正切值．24．定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点．例如，函数y＝2x与函数y＝x﹣3为关联函数，点（1，2）和点（1，﹣2）是这两个函数的一对关联点．（1）判断函数y＝x+2与函数y＝﹣是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；（2）若对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2m2+n2﹣6m的取值范围．2024年江苏省南京师大附中中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题1．【分析】直接根据绝对值的意义求解．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：由题可得：2.37万亿＝23700亿＝2.37×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】首先根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，求出x4÷x的值是多少；然后用它加上x3，求出x4÷x+x3的结果是多少即可．【解答】解：x4÷x+x3＝x3+x3＝2x3，故x4÷x+x3的结果是2x3．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．4．【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．【解答】解：∵k＝2＞0，b＝1＞0，∴一次函数y＝2x+1的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限．故选：A．【点评】此题考查了一次函数的性质，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．5．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣2；由②得，x＜1，故此不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．在数轴上表示为：故选：C．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，掌握解不等式组的方法是解答此题的关键．6．【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．【解答】解：A、当x＝﹣1时，x+1＝0，故不合题意；B、当x＝±1时，x2﹣1＝0，故不合题意；C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x＝﹣1时，（x+1）2＝0，故不合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．7．【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量，根据此列方程即可．【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的．根据等量关系列方程得：＝1，故选：A．【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．8．【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB 的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【解答】解：∵一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，由旋转的性质可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，故选：A．【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．二、填空题9．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．10．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．11．【分析】根据点P的位置可得，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：∵点P（m﹣1，2m﹣3）在第三象限，∴，解不等式①得：m＜1，解不等式②得：m＜1.5，∴原不等式组的解集为：m＜1，故答案为：m＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．12．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x＝＝﹣，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．13．【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．【解答】解：扇形的弧长＝＝10π，设圆锥的底面半径为R，则2πR＝10π，所以R＝5．故答案为：5；【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．【分析】根据题意证出△ACD∽△FED，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴＝，∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案为：10.6．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．15．【分析】由两条直线的解析式即可得到两直线平行，根据同底等高的三角形面积相等，＝S△AOB，由△OAB的面积为3，得到，解得A 即可得到S△AOC的横坐标，代入求得纵坐标，把A的坐标代入即可求得k的值．【解答】解：设直线交y轴于点C，则C（0，2），连接AC，由题意可知OA∥BC，＝S△AOB，∴S△AOC∵△OAB的面积为3，∴，即，∴|x|＝3，∵在第二象限，∴A的横坐标为﹣3，把x＝﹣3代入得，y＝2，∴A（﹣3，2），∵函数的图象过点A，∴k＝﹣3×2＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了两条直线的平行问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标是解题的关键．16．【分析】先求出点D的坐标（2，2），进而得出S四边形ACBD＝AB（2+1）＝AB，只要AB最小时，四边形ACBD的面积最小，而DA＝DB时，AB最小，即可得出结论．【解答】解：如图，取AB的中点F，连接DF，∵∠ADB＝90°，∴AB＝2DF∵点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，∴a＝﹣×2+3＝2，∴D（2，2），过点D作DE⊥AB于E，∴DE＝2，E（2，0），＝S△ABC+S△ABD＝AB•OC+AB•DE＝AB（OC+DE）＝AB＝3DF，∴S四边形ACBD要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，∵点D（2，2），点F在x轴上，∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，＝3×2＝6，∴S四边形ACBD最小故答案为6．【点评】此题主要考查了点的坐标特点，三角形的面积公式，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出DF最小时，四边形ACBD的面积最小．三、解答题17．【分析】（1）先计算分式的除法，再算分式的减法，即可解答；（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）﹣÷＝﹣•＝﹣＝＝﹣；（2），解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜﹣7，∴原不等式组的解集为：x＜﹣7．【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平．【解答】解：不公平，理由如下：画树状图如下：由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．则甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，因为≠，所以这个游戏不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．【分析】由作法得CF＝DF，EF＝BF，则可判断△CEF≌△DBF，所以CE＝DB，∠CEF ＝∠DBF，则CE∥BD，在根据斜边上的中线性质得到CD＝AD＝BD，则AD＝CD＝CE，然后根据菱形的判定方法可得到四边形AECD是菱形．【解答】证明：由作法得CF＝DF，EF＝BF，在△CEF和△DBF中，，∴△CEF≌△DBF（SAS），∴CE＝DB，∠CEF＝∠DBF，∴CE∥BD，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD，∴AD＝CE，∵AD＝CE，AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形AECD是菱形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和菱形的判定与性质．20．【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（3）根据中位数与优秀率的意义进行解答即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些．理由如下：甲班成绩的中位数是76分，而且没有3人的成绩相同，所以成绩是76分的学生在甲班位于第20或第21名；乙班优秀学生有3+9＝12（人），根据乙班良好学生的成绩可知成绩是76分的学生在乙班位于第16名，所以成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些．故答案为：乙；（2）甲班的整体成绩更好．理由如下：甲班成绩的中位数是76分，乙班成绩的中位数是＝72（分），甲班成绩的优秀率是40%，乙班成绩的优秀率是×100%＝30%，甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好．【点评】本题考查了统计的应用，中位数、众数、优秀率的意义，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．21．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知：∠OCD＝90°，从而可知OC∥AD，由于OC＝OA，从而可证明AC平分∠DAB；（2）由于∠B＝60°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝30°，从而可求出AD的长度．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵∠ADC＝90°，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC平分∠BAD；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠CAO＝30°，AC＝，作OF⊥AC交AC于点C，∴OF＝BC＝1，+S扇形BOC图中阴影部分的面积＝S△AOC＝＝＝．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，角平分线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识，综合程度较高，属于中等题型．22．【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），根据图象取两个点坐标代入，求出k，b的值即可．（2）设日销售利润为w元，列出w关于x的函数关系式，求最大值即可．（3）令w＝2250，求出一元二次方程的两个解，结合二次函数的草图求出x的范围，从而得到结果．【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），把（5，90），（10，80）代入上式得，，解得，，∴y与x的函数解析式为：y＝﹣2x+100．（2）设日销售利润为w元，由题意得：w＝（40+x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+60x+2000＝﹣2（x﹣15）2+2450，∵﹣2＜0，1≤x≤30，∴当x＝15时，w最大，答：销售该商品第15天时，日销售利润最大．（3）令w＝2250，则﹣2（x﹣15）2+2450＝2250，解得，x1＝5，x2＝25，结合二次函数图象可知，当5＜x＜25时，w＞2250，∴有19天的日销售利润大于2250元．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键．23．【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCP＝∠ACD＝60°，CP＝CD，则可得出△PCD是等边三角形；（2）证明∠CAD＝∠DQC，根据AAS可证明△APD≌△QDC；（3）过点P作PM⊥AB于M，设QE＝x，证明△DQE∽△CQD，得出，求出DQ＝x，证出∠ACQ＝90°，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】（1）解：△PCD是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，∴∠BCP＝∠ACD＝60°，CP＝CD，∴△PCD是等边三角形；（2）证明：∵△PCD是等边三角形，∴PD＝CD，∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠PAD＝∠CDQ＝120°，又∵CQ∥BP，∴∠CBP+∠QCB＝180°，∵∠PCD＝60°，∴∠CBP+∠DCQ＝60°，∵将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，∴∠CBP＝∠CAD，∴∠CAD+∠DCQ＝60°，又∵∠DCQ+∠DQC＝60°，∴∠CAD＝∠DQC，在△APD和△DQC中，，∴△APD≌△QDC（AAS）；（3）解：过点P作PM⊥AB于M，设QE＝x，∵CE＝2EQ，∴CE＝2x，CQ＝BP＝3x，∵△APD≌△QDC，∴∠ADP＝∠QCD，∵∠DQE＝∠CQD，∴△DQE∽△CQD，∴，∴DQ2＝CQ•EQ，∴DQ＝x，∴AP＝DQ＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AP•sin60°＝x，∴cos∠BPM＝＝，∴∠BPM＝60°，∴∠APB＝∠APM+∠BPM＝90°，∴∠ACQ＝90°，∴AC＝AB＝2AP＝2x，∴tan∠CAQ＝＝，∴∠CAQ的正切值为．【点评】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．24．【分析】（1）设函数y＝x+2图象上一点为（a，a+2），把（a，﹣a﹣2）代入y＝﹣得﹣a﹣2＝﹣，即可解得a＝1或a＝﹣3，故函数y＝x+2与函数y＝﹣的关联点为（1，3）与（1，﹣3）或（﹣3，﹣1）与（﹣3，1）；（2）设函数y＝2x+b图象上一点为（p，2p+b），把（p，﹣2p﹣b）代入y＝kx+k+5得﹣2p﹣b＝kp+k+5，根据对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，可得，即可解得b的值为﹣3；（3）设函数y＝x2﹣mx+1图象上一点为（t，t2﹣mt+1），把（t，﹣t2+mt﹣1）代入y＝2x ﹣得﹣t2+mt﹣1＝2t﹣，根据函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，知Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣）＝0，有n2＝﹣m2+4m，由n2≥0求出m的范围，结合2m2+n2﹣6m＝2m2+（﹣m2+4m）﹣6m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，即可得到答案．【解答】解：（1）函数y＝x+2与函数y＝﹣为关联函数，理由如下：设函数y＝x+2图象上一点为（a，a+2），这点关于x轴的对称点坐标为（a，﹣a﹣2），把（a，﹣a﹣2）代入y＝﹣得：﹣a﹣2＝﹣，解得a＝1或a＝﹣3，∴函数y＝x+2与函数y＝﹣的关联点为（1，3）与（1，﹣3）或（﹣3，﹣1）与（﹣3，1）；（2）设函数y＝2x+b图象上一点为（p，2p+b），这点关于x轴的对称点坐标为（p，﹣2p﹣b），把（p，﹣2p﹣b）代入y＝kx+k+5得：﹣2p﹣b＝kp+k+5，整理得：（p+1）k+2p+b+5＝0，∵对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，∴对于任意实数k，（p+1）k+2p+b+5＝0恒成立，∴，解得，∴b的值为﹣3；（3）设函数y＝x2﹣mx+1图象上一点为（t，t2﹣mt+1），这点关于x轴的对称点为（t，﹣t2+mt﹣1），把（t，﹣t2+mt﹣1）代入y＝2x﹣得：﹣t2+mt﹣1＝2t﹣，整理得：t2+（2﹣m）t+1﹣＝0，∵函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，∴关于t的方程t2+（2﹣m）t+1﹣＝0有两个相等的实数解，∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣）＝0，∴n2＝﹣m2+4m，∵n2≥0，∴﹣m2+4m≥0，即m2﹣4m≤0，∴0≤m≤4，∵2m2+n2﹣6m＝2m2+（﹣m2+4m）﹣6m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，∴当m＝4时，2m2+n2﹣6m最大为8，当m＝1时，2m2+n2﹣6m最大为﹣1，∴2m2+n2﹣6m的取值范围是﹣1≤2m2+n2﹣6m≤8．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，一次函数与反比例函数等知识，解题的关键是读懂题意，理解关联点、关联函数的概念，用含字母的式子表示相关点坐标。

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年高一下学期2月期初考试数学试卷

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年高一下学期2月期初考试数学试卷一、单选题1．已知集合{A xy ==∣，集合(){}2lg 1B y y x ==+，则A B =I （） A ．()0,3 B ．(]1,3-C ．[]0,3D ．[)0,∞+2．比较202412023a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120232024b =，12023log2024c =的大小（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>3．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（） A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．()cos f x x =D ．()()tan f x x =-4．已知π1sin 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ． C ．12D ．12-5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．()()44xxf x x -=-B ．()44x xf x x--=C ．()()244log x xf x x -=-D ．()()244log x xf x x -=+6．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过min x 后茶水的温度为y ℃，且()0.9085250,R x y k x k =⋅+≥∈，当茶水温度降至70℃时，此时茶水泡制时间大约为（）（结果保留整数，参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln0.90850.0960≈-）． A ．2minB ．3minC ．4minD ．5min7．下列选项中是“[]1,2x ∃∈，2260x mx -+>”成立的一个必要不充分条件的是（）A ．8m ≤B ．8m >C ．m ≤D ．8m <8．已知()f x 是定义在R 上的函数在()0,∞+上单调递减，且()20f =，函数()2y f x =+的图象关于点()2,0-对称，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（） A ．(][),13,-∞-+∞U B ．[]1,3-C ．[][)1,13,-+∞UD ．(][),13,-∞⋃+∞二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知集合ππππ,Z ,,Z 4224k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M N ⊆B ．终边落在y 轴上的角的集合可表示为{}90π,Z k k αα=+∈o ∣ C ．若sin cos 0x x ->，则π5π2π2π,Z 44x x k x k k ⎧⎫∈+<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．在ABC V 中，若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰三角形 10．已知正实数x ，y 满足21x y +=，则（）A ．18xy ≤B C ．29y x xy +≥ D ．221x y +<11．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 图像对称中心为ππ,0,Z 62k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 的单调递增区间为5ππππ,,Z 122122k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．若()1f x ≥，则5ππππ,,Z 12242k k x k ⎛⎫∈-+-+∈ ⎪⎝⎭12．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为函数()f x 的“k 倍伴随区间”，另函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“伴随区间”，下列结论正确的是（）A ．若[]2,b 为函数()246f x x x =-+的“伴随区间”，则3b =B ．函数()21f x x=+存在“伴随区间”C ．若函数()f x m =“伴随区间”，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍伴随区间”三、填空题13．已知||1a →=，||2b →=，a →与b →的夹角为60︒，c a b λ→→→=+与2d a b →→→=+的夹角为锐角，则λ的取值范围．14．已知扇形的圆心角为2，其所对弦长也为2，该扇形的面积为.15．已知函数()e ,02,0x a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩()R a ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是.16．已知函数()24,510,5x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,,,a b c d e 满足a b c d e <<<<，且()()()()()e ====f a f b f c f d f ，则()()()()()af a bf b cf c df d ef e ++++的取值范围为.四、解答题 17．计算：5412log 323110.255log 11log 27-⨯+-⋅； (2)已知11222a a--=，求()331222a a a a --⎛⎫++- ⎪⎝⎭.18．已知函数()()()()3sin πcos πsin π25πsin πcos πsin 22f θθθθθθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求11π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()2f θ=，求23sin 2sin cos 1θθθ-+的值．19．筒车（chinese noria ）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m ，筒车直径为8m ，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s ，如图，盛水筒A （视为质点）的初始位置0P 距水面的距离为4m ．(1)盛水筒A 经过s t 后距离水面的高度为h （单位：m ），求筒车转动一周的过程中，h 关于t 的函数()h f t =的解析式；(2)盛水筒B （视为质点）与盛水筒A 相邻，设盛水筒B 在盛水筒A 的顺时针方向相邻处，求盛水筒B 与盛水筒A 的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t ．（参考公式：sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sinsin22θϕϕθθϕ+--=）20．如图，在ABC V 中，点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，过点P 的直线与,AB AC 所在的直线分别交于点,M N ，若,,(0,0)AM AB AN AC λμλμ==>>u u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)λ与μ的关系； (2)求λμ+的最小值21．已知函数()1333x x af x +-=+的图象经过点11,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求a 的值，判断()f x 的单调性并说明理由；(2)若存在[]2,1x ∈--，不等式()()2240f x mx f x +++>成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()()9log 91,R xf x kx k =++∈是偶函数.(1)求k 的值；(2)若()102b x x f ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭对于任意x ∈R 恒成立，求b 的取值范围.。

2012江苏高考数学试卷(含答案)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则AB = ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是 ▲ ．★此卷上交考点保存★ 姓名准考证号（第4题）7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率m 的值为 ▲ ．9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ． 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲ ．13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．DABC1 1D 1A1B（第7题）（第9题）（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos 5C =求A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；1A1C（第16题）FDCABE1B（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．（第19题）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ．求证：E C ∠=∠．★此卷上交考点保存★ 姓名准考证号（第21-A 题）B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若nP x A ∈，则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．。