11.6_高斯公式

合集下载

CH11.6 高斯公式

4 π h π h 1 2 2
4
O
x

z= 0 及 z = 2
z
2
之间部分的下侧. :z 2 , 提示: 作取上侧的辅助面 1
2 2 ( x , y ) D : x y 4 x x y
O
y
2 2 取上侧, 求 2 x y ,1 z 2 例3. 设为曲面 z

2
D xy
利用质心公式, 注意 xy0
z
2 z d x d y d z π h
先二后一
4
1 h

y
2 z π z dz
2

h

( z x ) d y d z z d x d y , 思考: 计算曲面积分
2 2 1 : z ( x y ) 介于平面 2

2

2

z
2 2 2 其中为锥面 x y z 介于z = 0及 z = h
1 h h

y
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 解: 作辅助面
O
x
2 2 2取上侧 : z h , ( x , y ) D : x y h , 1 x y
π 记 , 所围区域为 , 在上 , 0 则 1 1 2
R z2(x, y) R d x d y d z d x d y dz D z xy z1(x, y) z
证明: 设
: z ( x , y ) z ( x , y ) z ( x , y ) , ( x , y ) D
1

2
x y
2

O

高斯公式

1 xy
R( x , y , z )dxdy = ∫∫ R[ x , y , z 2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ D
2 xy
R( x , y , z )dxdy = 0. ∫∫ Σ
3
于是 =
∂R ∴ ∫∫∫ dv = ∫∫ R( x , y , z )dxdy. Ω ∂z Σ
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] − R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, ∫∫ D
∂v ∂v ∂v ∂v 证明： = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∴ u = u cosα + u cos β + u cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u v = v cos α + v cos β + v cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时注意: 1、 P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2、是否满足高斯公式的条件;
2 2 2 ∂2 ∂ v ∂ v ∂ v 3、∆ = 2 + 2 + 2 （拉普拉斯算子） ∆v = + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为解 x = 0 x y − 1 = z2 + x2
∑
x = 0
∑*
o
1
3

高斯公式的表达式

高斯公式的表达式
高斯公式是18世纪德国数学家卡尔·马克思·高斯发明的一个知名的数学理论，用来求解多项式次方，如二次多项式的极值、四边形的面积等复杂问题。

其公式体现在各种数学、物理中，在用法亦十分广泛，即它可以口头表达，也可以用代数和几何等等各种数学形式表达。

高斯公式定义为：((x-a)(x-b))ⁿ=C(x-a)(x-b)¹¹⁰¹⁰...,(1)
其中a和b是多项式的系数，n是次方，C是常数项。

可以看出，高斯公式中包含了三个变量，通过这三个变量的变化，可以求出多种不同的数学结果。

高斯公式的广泛用途反映在多个领域中。

它经常用于分析二次多项式的极大值和极小值的位置。

此外，它还被用于数学归纳法，计算面积、计算积分和密度函数等方面，也可以用来解决有关组合数学和概率统计的问题。

在数学、物理学以及其他学科领域中，高斯公式是不可或缺的重要工具，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。

其优秀的计算性能以及准确的结果被广泛应用于不同学科，从而极大地推动了科学发展。

高等数学11.6高斯(Gauss)公式

公式称为高斯(Gauss,1777-1855,德国)公式.
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy

其中取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z

对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,

1 2
z
2
3
2
1

1 3

2 3
2

z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h

D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h

D xy
o
y
2

x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz

高斯公式_精品文档

高斯公式1. 简介高斯公式，又称为高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的公式。

该公式最早由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，之后法国数学家阿道夫·勒让德对其进行了推广和应用。

高斯公式在数学、物理学等领域都有着广泛的应用。

它不仅适用于计算平面图形的面积，还可以用于计算球体、圆锥体、圆柱体、球面等的体积。

2. 高斯公式的数学表达高斯公式的数学表达可以表示为：∮ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy其中，P(x, y)和Q(x, y)是二元函数，表示平面上的向量场。

左侧的积分表示沿着曲线的环绕积分，右侧的积分表示沿着曲线围成的区域的面积。

3. 高斯公式的应用举例3.1 计算平面图形的面积高斯公式可以用于计算平面图形的面积。

假设有一个简单闭合曲线C，可以将其分解为若干小曲线段，然后利用高斯公式求得每个小曲线段上的向量场P和Q，并对整个曲线C进行积分。

根据高斯公式的等式关系，左侧的积分将等于右侧的面积积分，从而得到该平面图形的面积。

3.2 计算球体的体积高斯公式还可以用于计算球体的体积。

以球心为原点建立球坐标系，设球面的方程为r = f(θ, φ)，其中r为球面上一点到球心的距离，θ和φ为球坐标系下的两个参数。

然后利用高斯公式对球面的方程进行积分，即可得到球体的体积。

3.3 计算圆锥体的体积高斯公式也可以用于计算圆锥体的体积。

以圆锥体的顶点为原点建立柱坐标系，设圆锥面的方程为z = f(θ, r)，其中z为圆锥面上一点到圆锥顶点的距离，θ和r为柱坐标系下的两个参数。

然后利用高斯公式对圆锥面的方程进行积分，即可得到圆锥体的体积。

4. 总结高斯公式是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的重要公式。

它有着广泛的应用领域，可以用于计算平面图形的面积、球体的体积、圆锥体的体积等。

11.6高斯公式

3 ：母线平行于z 轴的柱面
R dv { z2( x,y) R dz}dxdy
z
z z1 ( x , y )
Dxy
x
2
3
o 1
y
D 1 xy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy

Q y

R z
=3
（2） Pdydz Qdzdx Rdxdy

divAdv 3dv 108

练习题
1. 设∑是球面x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，则向量场
A

{3 xy 2 ,2

y3,
z}
通过∑的通量为
__43___a_3___
dydz cosdS,

曲面Σ：f(x,y,z)=z2+y2-1=0,
dzdx cosdS,
fx=0, fy=2y, fz=2z, 法向量：n (0, y, z),
dxdy cos dS
cos

|
ny
, |
z cos | n |
( y2z z3 )dS zdS
求单位时间内流过曲面Σ 的流量。
在Σ 上任取一小曲面dS,
在dS上任一点处的单位法向
量为：n0 {cos,cos,cos }
dS
则单位时间内流过dS的流量： d

(
A

n0
)dS
[P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS

高斯公式和斯托克斯公式

11.6 高斯公式和斯托克斯公式
例1
计算
(xy2 y)dydz (x2 y z)dzdx (z xy)dxdy，
其中为柱面x2 y2 1及平面z 0, z 2所围空间闭区域
的整个边界曲面的外侧。
解因 P xy2 y,Q x2 y z, R z xy
.
P Q R x2 y2 +1
1 h
Dxy
o
y
x
11.6 高斯公式和斯托克斯公式
。 ( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1
h
2 (x
y
z)dv
2 dxdy
(x
x2 y2
y
z)dz,
Dxy
其中Dxy {(x, y) | x2 y2 h2}.
h
dxdy
( x y)dz 0,
x2 y2
Dxy
(
x
y
z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
(
P x
Q y
R z
)dv
(P cos Q cos R cos )dS
高斯公式
11.6 高斯公式和斯托克斯公式
这。里是的整个边界曲面的外侧，cos, cos , cos
是上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦.
z
证明设闭区域在面xoy
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1
(h2 x2 y2 )dxdy 1 h4 .
Dxy
2
11.6 高斯公式和斯托克斯公式
。
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS
1

D11_6高斯公式

2π 0
d 0
1
Dxy
rdr
π 4

2π 0
cos 2 d
目录
上页
下页
返回
结束
在闭区域上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v d x d y d z v u x2 y 2 z 2 Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中是整个边界面的外侧. P Q R d x d ydz 注意: 高斯公式 x y z 例4. 设函数
O 1 x
y
思考: 若改为内侧, 结果有何变化? 若为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
目录上页下页返回结束
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
1 h
其中为锥面 x 2 y 2 z 2 介于z = 0及 z = h
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 解: 作辅助面
M
lim

V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
目录上页下页返回结束
定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
f n f

y j zk
y2 z2 1

11-6高斯公式

用极坐标
2
1
1 y
o
Dxy
= ∫∫∫ d x d ydz − ( −1) ∫∫ (− x ) d x d y
Ω
x
1 3 r dr 0
=∫
2π 0
dθ ∫ 0 r d r ∫
1
2− r 2 1
dz−∫
2π 0
cos θ d θ ∫
2
13π = 12
12
课堂练习：
lijuan
1、计算∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy ,
Σ
(Gauss 公式)
下面先证: ∂R ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Σ R d x d y
2
证明: 设 Ω : z1 ( x, y ) ≤ z ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Dx y
lijuan 为XY型区域 , ∑ = ∑1 ∪ ∑ 2 ∪ ∑ 3 , ∑1 : z = z1 ( x, y ) , ∑ 2 : z = z 2 ( x, y ), 则 z ∑2 ∂R z2 ( x, y ) ∂ R xd y ∫ dz ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Dxd ∑3 z1 ( x , y ) ∂ z y Ω
Ω
Dxy
∫
2 − x2 − y 2
0
dz
Dxy : x 2 + y 2 ≤ 2
lijuan
∫ dθ ∫ rdr ∫ 又 ∵ ∫∫ ( y − x )dydz + ( z
0 0 0
2 ∑1
= −3
2π
2
2− r2
dz = −6π
2

高斯数学1十到100的公式

高斯数学1十到100的公式高斯数学，又名求和级数，是古典数学中一种重要的概念，它是概括运算最重要的理论，也是许多学科的重要基础。

通过高斯数学，我们可以解决复杂的问题，进行更为深入的数学分析。

在此，本文讨论的是高斯数学中从10到100的公式。

首先，让我们来看一下从10到100的高斯数学公式。

根据高斯数学定理，从10到100的公式为：$$S=frac{n(a+b)}{2}$$其中，S 代表从10到100的数的总和，n代表从10到100的数的个数，a代表起始数值(10)，b代表终止数值(100)。

接下来，我们要求解这个公式。

由上述公式可知，n取值为90，即从10到100一共有90个数。

因此，将这些数放入公式中，有：$$S=frac{90(10+100)}{2}=4500$$上述便是从10到100的高斯数学公式，即当n为90时，S=4500。

现在，我们来看一下使用上述公式解决的具体数学问题。

设有一个数列，其第n项的等差数列公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，a_1表示数列的首项，n表示第n项，d表示公差。

假设此数列的首项为10，终项为100，求前n项之和。

解：将此数列代入到高斯数学公式中，可得：$$S=frac{n(10+100)}{2}=4500$$由此可得，当n=90时，前90项之和为4500。

以上便是从10到100的高斯数学公式的推导及具体应用过程。

可以看出，此公式的应用非常广泛，可以解决许多复杂的数学问题。

此外，高斯数学公式也可以用来验证数列的求和和其他数学公式的正确性。

例如，当n为100时，可得$$S=frac{100(10+100)}{2}=5100$$此时，可以比较高斯数学公式求出的结果5100，与其他数学公式求出的结果，来验证数据的准确性。

总之，高斯数学在数学分析中有重要的应用，其从10到100的公式也有其独特的优势。

它可以用来解决复杂的数学问题，也可以用来验证数据的准确性。

11-6 高斯公式

2 2 2
分析非闭曲面,
补 1 : z 0, 取上侧
n
z
1 o
x
y
2 z 2 xy dydz e sin xdzdx x zdxdy 例6 计算 2 2 x y
: x y 4,0 z 2 部分的外侧.
2 2
分析原式
在上 x y 4,
Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时应注意: 1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ 是取闭曲面的外侧.
2 2 例1 求流速场 v y x z i x j y xz k
A ndS 称为向量场 A通过曲面指定侧的通量 ,

P Q R 而叫做 A 的散度,记作 divv x y z P Q R 即 divA x y z
例1 求向量场 A yzi xzj xyk
(1)通过曲面 x y a (0 z h) 外侧的流量;
2 2 2
(2) A 的散度.
P Q R )dv 或 ( y z x

( P cos Q cos R cos )dS
cos , cos , cos 这里是的整个边界曲面的外侧，是上点( x , y , z )处的法向量的方向余弦.
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS

D11_6高斯公式

目录
dv
上页下页返回结束
例1. 用Gauss 公式计算
其中为柱面及平面 z = 0 , z = 3 所围空间闭域的整个边界曲面的外侧. z 3 解1: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y
P Q R y z, 0 0 x y z
利用高斯公式化为三重积分得

2π 0
d 0
1
Dxy
rdr
π 4

2π 0
cos 2 d
目录
上页
下页
返回
结束
思考与练习
所围立体, (1)
为
判断下列演算是否正确?
r 3 d y d z r 3 d z d x r 3 d x d y

x3
y3Biblioteka z3 2 2 2 2 1 3 d v 3 ( x y z ) d v R 4 πR R
1 R3
3
x 3 d y d z y 3 d z d x z 3dx d y
R2
(2)
r 3 dy d z r 3 d z d x r 3 d x d y
x3
y3
z3
原点是奇点
x3 y3 z3 3 3 3 x r y r z r
y

yd x d y d z d xd ydz

3 y 0 , z 利用质心公式, 注意 2
z 3
思考: 若改为内侧, 结果有何变化? 若为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
目录上页下页
O 1 x
y
返回
结束

高等数学高斯公式

高等数学高斯公式
高斯公式是数学中的一项重要公式，它是数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）在18世纪初提出的。

这个公式在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用，尤其是在概率论和统计学中起到了重要的作用。

高斯公式的全称是高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），它用于计算定积分的近似值。

定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积或者曲线与坐标轴之间的有界区域的面积。

而高斯公式则可以通过一系列的近似计算来得到定积分的近似值，从而解决实际问题。

高斯公式的表达形式如下：
∫(a,b) f(x)dx ≈ Σ[w(i) * f(x(i))]
其中，∫(a,b) f(x)dx表示在区间[a,b]上的函数f(x)的定积分，Σ表示求和，w(i)和x(i)分别表示权重和节点。

通过选择合适的权重和节点，可以使得高斯公式的近似值更加精确。

高斯公式的核心思想是将定积分转化为一系列的加权求和。

通过选择合适的权重和节点，可以使得近似值的误差最小化。

在实际应用中，通常使用数值计算方法来计算高斯公式的近似值。

高斯公式的优点在于它的收敛速度较快，可以在相对较少的节点上得到较高的精度。

这使得高斯公式成为计算定积分的一种重要工具。

在数值积分领域中，高斯公式有很多变种，如高斯-勒让德公式、高斯-拉盖尔公式、高斯-赫尔米特公式等。

11.6高斯公式

1 1
证明: 设
1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y ), 3 为侧面. 则 z 2 R z2 ( x, y ) R z d x d y d z Dxd x d y z1 ( x, y ) z d z 3 y 1 R( x, y, z 2 ( x, y ) ) Dx y Dx y y R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y x
对坐标的(3条):线性运算性质; 可加性; 有向性.
4.联系:
P d y d z Q d z d x R d xdy P cos Q cos R cos
dS
其中 cos ,cos ,cos 有向曲面指定侧的法向量的方向余弦.
思考与练习

xy
2 2 2 1 ( x y )d x d y 用极坐标 2 3 Dxy 1 2 2 1 2 5 3 d r dr 3 0 2 0 3 4 12

例4.计算 I ( z 2 x)d y d z z d x d y, 其中旋转抛物面
Dy z
P( x( y, z ) ,y,z ) d y d z
(前正后负)
则有

Q( x, y, z )d z d x
Dz x
Q (x, y ( z, x),z ) d z d x
(右正左负)
一看尾无谁换谁; 顺谁投影得区域;
最后看侧定符号;
正(前右上)、负(后左下).
3.性质: 对面积的(8条)
f ( x, y, z )dS

Dx y

高斯积分公式表

高斯积分公式表
高斯积分公式是数学中一种重要的积分方法，由德国数学家高斯
在18世纪提出。

高斯积分公式表展示了对于一些特定函数的积分结果。

下面我们将通过中文来了解高斯积分公式表。

高斯积分公式表包含的是对于一些特殊函数的积分公式。

其中最
常见的是高斯函数。

高斯函数的表达式为：
$$
f(x)=e^{-x^2}
$$
利用高斯积分公式，我们可以得到高斯函数的积分结果。

高斯积
分公式的表达式为：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}
$$
这个公式得到证明的过程相当复杂，需要运用很多高等数学知识。

不过这个公式的应用非常广泛，尤其是在概率统计学和物理学领域。

高斯积分公式表还包括对于其他函数的积分公式。

比如说，我们
可以得到以下的积分公式：
$$
\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} \, dt = \Gamma(\alpha) $$
其中$\alpha$为正实数，$\Gamma(\alpha)$为伽马函数。

通过高斯积分公式表，我们可以计算出一些复杂函数的积分结果。

这不仅有助于我们理解这些函数的性质，也有助于我们在实际应用中
进行计算，提高工作效率。

总之，高斯积分公式表是一种非常有用的工具，在数学理论和实
际应用中都具有重要意义。

虽然需要一些高等数学知识才能理解和应
用，但是它有助于我们更好地理解和掌握数学知识，提高数学应用水平。

高斯公式

高斯公式
高斯公式，也称为高斯定理，是数学物理中一个重要的定理，它描述了在三维空间中一个封闭曲面的电场通量与该曲面所包围的电荷量的关系。

这个公式的形式非常简洁，但背后蕴含的物理概念和数学原理却非常深刻。

我们来看一下高斯公式的表达方式。

高斯公式可以写成如下形式：
∫∫∫V (∇·E)dV = ∮S (E·n)dS
其中，∇·E表示电场E的散度，V表示一个封闭曲面S所包围的空间，∮S表示曲面S的闭合曲线，E·n表示电场E与曲面法向量n 的点积。

这个公式的意义是：一个封闭曲面内部的电场通量等于该曲面所包围的电荷量的比例。

高斯公式的应用非常广泛。

在电磁学中，它可以用来计算电场的分布，从而推导出库仑定律和电场强度的计算公式。

在静电场问题中，高斯公式可以大大简化计算过程，使得问题求解更加方便快捷。

在电场分布对称的情况下，高斯公式更是发挥了巨大的作用。

除了在电磁学中的应用，高斯公式还被广泛应用于流体力学、热力学等领域。

在流体力学中，高斯公式可以用来计算流体的体积流量和质量流量，从而分析流体的运动规律。

在热力学中，高斯公式可以用来计算热流的传递和热传导的问题，从而分析热力学的过程和现象。

总的来说，高斯公式是数学物理中的一个基本定理，它描述了封闭曲面内部的电场通量与该曲面所包围的电荷量的关系。

它的应用非常广泛，不仅在电磁学中发挥着重要作用，还在流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。

通过对高斯公式的理解和应用，我们可以更好地理解和解决各种物理问题，推动科学的进步和发展。

高斯定理的三个公式

高斯定理的三个公式高斯定理在物理学中可是个相当重要的概念，它有三个关键公式，咱们一起来瞅瞅。

咱先来说说高斯定理的第一个公式。

这就好比你有一个充满电荷的球体，你想知道这个球体产生的电场强度在球体外的分布情况。

这个时候，高斯定理就派上用场啦！它能帮咱们快速算出电场的分布。

想象一下，你站在一个大大的操场上，操场上有一个透明的大球，里面装满了电荷。

你从远处观察这个球，虽然看不到里面的电荷具体是怎么分布的，但通过高斯定理，就能算出这个球在周围空间产生的电场强度。

接下来是第二个公式。

这就像是在一个封闭的房间里，电荷在房间里到处跑，但不管它们怎么跑，通过高斯定理咱们都能清楚地知道整体的情况。

比如说，你在一个房间里，灯光有点昏暗，电荷就像那些忽明忽暗的光影，而高斯定理就是能让你看清整体状况的神奇工具。

最后是第三个公式。

这个公式就更有趣啦！它就像一个超级侦探，能帮我们解决很多复杂的电场问题。

比如说，有一个形状不规则的带电体，用常规方法很难计算它产生的电场，但是用高斯定理的第三个公式，就能巧妙地找到答案。

记得我之前给学生们讲高斯定理的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这高斯定理到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这就好比你要在一堆乱麻中找到线头，高斯定理就是那根能让你快速理清头绪的神奇线头！”然后我给他举了个例子，假如我们要计算一个无限大带电平面产生的电场，按照常规思路，那得费好大的劲。

但是用高斯定理，咱们只需要做一个合适的高斯面，就能轻松得出结果。

那个小家伙听完，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了其中的奥妙。

其实啊，高斯定理的这三个公式就像是三把神奇的钥匙，能打开很多电学难题的大门。

只要我们认真理解、多多练习，就能熟练运用它们解决各种各样的问题。

不管是在学习中还是在实际的科学研究中，高斯定理都是我们的得力助手。

所以，同学们，可别小看了这三个公式，好好掌握它们，能让我们在电学的世界里畅游无阻！。

高斯公式及其应用

例1 求曲面积分
2 2
( y z) xdydz ( x y)dxdy 其中 S 是圆柱面
S
x y 1 与平面z=0，z=3所围成的闭区域 W 整个边界曲面
的外侧。 z
解这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P Q R yz， 0， 0． x x x
3
由高斯公式，有
( y z) xdydz ( x y)dxdy
S
( y z )dxdydz ydv zdv x
W
W W
1
3
O
1
y
9 ． 2
(r sin z )rdrd dz d rdr (r sin z )dz
2 2 S: z x y
O
x x2y2 h 2
y
由高斯公式得
S S1

(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 ( x y z )dv
W
2
x2 y 2 h2

dxdy
2
h x2 y2
( x y z )dz 2
x 2 y 2 h2
(3)
S为上半球面 z
I

R2 x2 y 2 的上侧．
解 (1)
1 R3
3 R3
xdydz ydzdx zdxdy
S
W
2 2 2 2 dv 4 , W : x y z R .
2 2 2 1 x y z 解法二 I dS 4 ; 三合一！ 3 R S R
S
1 1 3 3 R SS1 R S1
S1
3 3 R

11.6_高斯公式

CH11.6 高斯公式

高斯公式

高斯公式的表达式

高等数学11.6高斯(Gauss)公式

高斯公式_精品文档

11.6高斯公式

高斯公式和斯托克斯公式

D11_6高斯公式

11-6高斯公式

高斯数学1十到100的公式

11-6 高斯公式

D11_6高斯公式

高等数学高斯公式

11.6高斯公式

高斯积分公式表

高斯 公式

高斯定理的三个公式

高斯公式及其应用

高斯公式