116 高斯公式

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116高斯公式

3 2 R3 0 2 R3
3
P247 题4(2) 同样可利用高斯公式计算.
2020/9/26
15
例3 设Σ是空间一有界闭区域Ω的整个边界曲面,
u( x, y, z),v( x, y, z) C (2)(Ω), u , v 分别表示u( x, y, z), n n
v( x, y, z)沿的外法线方向的方向导数,证明:
2
1hh
o
y
x
2020/9/26
13
练习计算 ( x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy,
其中是以原点为中心,边长为a的轴向正方体的整
个表面的外侧.
解 P x y, Q y z, R z x, 根据高斯公式
原式
P x
Q y
R z
dv
(1 1 1)dv
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
2020/9/26
7
Ω
P x
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
由两类曲面积分之间的关系知
Ω
P x
Q y
R z
dv
高斯公式
(P cos Q cos Rcos )dS.
Σ
高斯公式是微积分基本公式在三重积分情形下
的推广,它将空间区域上的三重积分与定向边界曲面
在式两边同除以的体积 V, 并令以
任意方式缩小至点 M
则有
lim
M V
P x
Q y
R z
M
分此别式反反映应在了该流点速有场流在体点涌M出的, 吸特入点, :或其没值有为任正何,负变或化0. ,

高斯公式

高斯公式仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：

( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS

此时，是Ω的整个边界曲面的外侧，、、 cos cos cos 是上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上二式称为高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲面的交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界曲面的交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面上的一部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy

CH11.6 高斯公式

4 π h π h 1 2 2
4
O
x

z= 0 及 z = 2
z
2
之间部分的下侧. :z 2 , 提示: 作取上侧的辅助面 1
2 2 ( x , y ) D : x y 4 x x y
O
y
2 2 取上侧, 求 2 x y ,1 z 2 例3. 设为曲面 z

2
D xy
利用质心公式, 注意 xy0
z
2 z d x d y d z π h
先二后一
4
1 h

y
2 z π z dz
2

h

( z x ) d y d z z d x d y , 思考: 计算曲面积分
2 2 1 : z ( x y ) 介于平面 2

2

2

z
2 2 2 其中为锥面 x y z 介于z = 0及 z = h
1 h h

y
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 解: 作辅助面
O
x
2 2 2取上侧 : z h , ( x , y ) D : x y h , 1 x y
π 记 , 所围区域为 , 在上 , 0 则 1 1 2
R z2(x, y) R d x d y d z d x d y dz D z xy z1(x, y) z
证明: 设
: z ( x , y ) z ( x , y ) z ( x , y ) , ( x , y ) D
1

2
x y
2

O

116高斯公式与斯托克斯公式-PPT精品文档

3
(利用柱面坐标得)
( r sin z ) rdrd dz
x r sin z ) dz d rdr (
2 1 3 0 0 0
1
o
1
y

9 . 2
使用Guass公式时应注意验证:
P , Q , R 1 . 是对什么变量求偏导数 ;
1
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS
2 2 2 2 ( x cos y cos z cos ) dS z dS 1 1
4 h dxdy h .
2 Dxy
故所求积分为
2 2 2 ( x cos y cos z cos ) dS
( P cos Q cos R cos ) dS

Gauss 公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的曲面积分之间的关系.
三高斯公式的简单应用
例1 计算曲面积分其中Σ 为柱面x y 1及平面z 0, z 3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.
第六节
高斯公式与斯托克斯公式
一问题的提出二 Gauss 公式三简单应用四斯托克斯公式五小结
高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.
2 . 是否满足高斯公式的条件 ;

高斯公式

1 xy
R( x , y , z )dxdy = ∫∫ R[ x , y , z 2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ D
2 xy
R( x , y , z )dxdy = 0. ∫∫ Σ
3
于是 =
∂R ∴ ∫∫∫ dv = ∫∫ R( x , y , z )dxdy. Ω ∂z Σ
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] − R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, ∫∫ D
∂v ∂v ∂v ∂v 证明： = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∴ u = u cosα + u cos β + u cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u v = v cos α + v cos β + v cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时注意: 1、 P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2、是否满足高斯公式的条件;
2 2 2 ∂2 ∂ v ∂ v ∂ v 3、∆ = 2 + 2 + 2 （拉普拉斯算子） ∆v = + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为解 x = 0 x y − 1 = z2 + x2
∑
x = 0
∑*
o
1
3

高斯求和计算公式

高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。

1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。

用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。

1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。

解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。

则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。

高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。

在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。

D116高斯公式37660资料

第六节高斯公式 *通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数 , 则有
h2
d
x
d
y z
利用质心公式, 注意 x y 0
2 z d x d ydz π h4
1 h
先二后一
2
h
z

π
z
2
dz
0
πh4

1 2
π
h4
O
y
x
思考: 计算曲面积分 (z2 x) d y d z z d x d y, z
介于平面 z= 0 及 z = 2
类似可证

P x
d
x
d
y
d
z

Pd
y
d
z

Q y
d
x
d
y
d
z

Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：

P
x

Q y

R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
例1. 用Gauss 公式计算
证:令 P

u
v x
,
Q

u
v y
,
R

u

高斯投影正反算公式

高斯投影坐标正反算一、基本思想：高斯投影正算公式就是由大地坐标（L ，B ）求解高斯平面坐标（x ，y ），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x ，y ）求解大地坐标（L ，B ）。

二、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第一偏心率：e a= 椭球第二偏心率：e b'=高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ其中：角度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央子午线经度； N 为子午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为子午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ⎡⎤=--++-+⎢⎥⎣⎦02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ⎧=++++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎪⎩02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；高斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央子午线经度。

高斯公式

5
二、简单的应用
例1 计算曲面积分其中Σ 为柱面 x y 1 及平面 z 0, z 3 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.
2 2
z
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
3
1
o
1
y
解 P ( y z ) x,
Q 0,
x
R x y,
xy 2 例6 A e i cos(xy) j sin(xz )k 求divA
解:
P Q R divA x y z
ye x sin(xy) 2 xz cos(xz )
xy 2
20
习题 10 6 P 135
A : 1,2,5,7,13
6
P y z, x

Q 0, y
R 0, z
3
高斯 ( Gauss ) 公式7
z
原式 ( y z )dxdydz
(利用柱面坐标得)
( sin z ) dddz
2
1
o
1
y
d d ( sin z )dz

其中V { P, Q, R}
16
1、通量的定义
设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
沿场中某一有向曲面Σ 的第二类曲面积分为
称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ 的通量. 如E为电场强度 , 单位时间通过的电通量 I EdS B为磁感应强度 , 单位时间通过的磁通量 I BdS

11-6高斯公式

用极坐标
2
1
1 y
o
Dxy
= ∫∫∫ d x d ydz − ( −1) ∫∫ (− x ) d x d y
Ω
x
1 3 r dr 0
=∫
2π 0
dθ ∫ 0 r d r ∫
1
2− r 2 1
dz−∫
2π 0
cos θ d θ ∫
2
13π = 12
12
课堂练习：
lijuan
1、计算∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy ,
Σ
(Gauss 公式)
下面先证: ∂R ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Σ R d x d y
2
证明: 设 Ω : z1 ( x, y ) ≤ z ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Dx y
lijuan 为XY型区域 , ∑ = ∑1 ∪ ∑ 2 ∪ ∑ 3 , ∑1 : z = z1 ( x, y ) , ∑ 2 : z = z 2 ( x, y ), 则 z ∑2 ∂R z2 ( x, y ) ∂ R xd y ∫ dz ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Dxd ∑3 z1 ( x , y ) ∂ z y Ω
Ω
Dxy
∫
2 − x2 − y 2
0
dz
Dxy : x 2 + y 2 ≤ 2
lijuan
∫ dθ ∫ rdr ∫ 又 ∵ ∫∫ ( y − x )dydz + ( z
0 0 0
2 ∑1
= −3
2π
2
2− r2
dz = −6π
2

高斯数学1十到100的公式

高斯数学1十到100的公式高斯数学，又名求和级数，是古典数学中一种重要的概念，它是概括运算最重要的理论，也是许多学科的重要基础。

通过高斯数学，我们可以解决复杂的问题，进行更为深入的数学分析。

在此，本文讨论的是高斯数学中从10到100的公式。

首先，让我们来看一下从10到100的高斯数学公式。

根据高斯数学定理，从10到100的公式为：$$S=frac{n(a+b)}{2}$$其中，S 代表从10到100的数的总和，n代表从10到100的数的个数，a代表起始数值(10)，b代表终止数值(100)。

接下来，我们要求解这个公式。

由上述公式可知，n取值为90，即从10到100一共有90个数。

因此，将这些数放入公式中，有：$$S=frac{90(10+100)}{2}=4500$$上述便是从10到100的高斯数学公式，即当n为90时，S=4500。

现在，我们来看一下使用上述公式解决的具体数学问题。

设有一个数列，其第n项的等差数列公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，a_1表示数列的首项，n表示第n项，d表示公差。

假设此数列的首项为10，终项为100，求前n项之和。

解：将此数列代入到高斯数学公式中，可得：$$S=frac{n(10+100)}{2}=4500$$由此可得，当n=90时，前90项之和为4500。

以上便是从10到100的高斯数学公式的推导及具体应用过程。

可以看出，此公式的应用非常广泛，可以解决许多复杂的数学问题。

此外，高斯数学公式也可以用来验证数列的求和和其他数学公式的正确性。

例如，当n为100时，可得$$S=frac{100(10+100)}{2}=5100$$此时，可以比较高斯数学公式求出的结果5100，与其他数学公式求出的结果，来验证数据的准确性。

总之，高斯数学在数学分析中有重要的应用，其从10到100的公式也有其独特的优势。

它可以用来解决复杂的数学问题，也可以用来验证数据的准确性。

11-6 高斯公式

2 2 2
分析非闭曲面,
补 1 : z 0, 取上侧
n
z
1 o
x
y
2 z 2 xy dydz e sin xdzdx x zdxdy 例6 计算 2 2 x y
: x y 4,0 z 2 部分的外侧.
2 2
分析原式
在上 x y 4,
Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时应注意: 1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ 是取闭曲面的外侧.
2 2 例1 求流速场 v y x z i x j y xz k
A ndS 称为向量场 A通过曲面指定侧的通量 ,

P Q R 而叫做 A 的散度,记作 divv x y z P Q R 即 divA x y z
例1 求向量场 A yzi xzj xyk
(1)通过曲面 x y a (0 z h) 外侧的流量;
2 2 2
(2) A 的散度.
P Q R )dv 或 ( y z x

( P cos Q cos R cos )dS
cos , cos , cos 这里是的整个边界曲面的外侧，是上点( x , y , z )处的法向量的方向余弦.
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS

高斯公式和斯托克斯公式

S
x2 y2 z2 1, x 0, y 0, z 0,
例设 S 与上例相同，取球面外侧，分别计算下列积分
xd yd z , xd zd x , xd xd y
S
S
S
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高斯 (1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、代数、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
S

V
P x

Q y

R z
d
xd
ydz
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2. 斯托克斯公式
L P d x Q d y Rd z
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
SP
Q
R
cos

x
SP
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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例计算 x d S 其中 S 为球面在第一卦限部分
与平面 y = z 的交线,从 z
解设为平面 z = y 上被所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I

x y
y2 xy
z
dS
xz

第十章第节高斯公式-PPT精选文档

[ R ( x , y , R ( x , y , ] dxdy z2 (x, y) ) z1(x, y))
D x y
D
R ( x ,y ,z1(x, y) ) dxd
x y
R 所以 dxdydz Rdxdy z
(x ,y ) 1: z z 1 ) 3, y 2 : z z 2(x
1

1
1 4 3 ( y y 1 ) dxdydz R 2 3
2 2
9
13 2 2 ( xy z ) dydz ( y x ) dzdx ( z x y ) dxd 3 1
2
x2 y2 dxdy
证明: 设 : z ( x , y ) z ( x , y ) z ( x , y ) , ( x , y ) D 1 2 x y z XY型区域 1 2 3 2
( x ,y ,z2 (x, y)) dxdy R
D x y
x Rdxdy 又 Rdxdy 2 1 3
( P cos Q cos R cos ) dS .

Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
5
二、简单的应用
例1 计算曲面积分其中Σ 为柱面x y 1及平面z 0, z 3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.
Dxy

1

2
0
2 3 d rr dr R 0 3
R

1

1
高斯 ( Gauss ) 公式10

11.6高斯公式

1 1
证明: 设
1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y ), 3 为侧面. 则 z 2 R z2 ( x, y ) R z d x d y d z Dxd x d y z1 ( x, y ) z d z 3 y 1 R( x, y, z 2 ( x, y ) ) Dx y Dx y y R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y x
对坐标的(3条):线性运算性质; 可加性; 有向性.
4.联系:
P d y d z Q d z d x R d xdy P cos Q cos R cos
dS
其中 cos ,cos ,cos 有向曲面指定侧的法向量的方向余弦.
思考与练习

xy
2 2 2 1 ( x y )d x d y 用极坐标 2 3 Dxy 1 2 2 1 2 5 3 d r dr 3 0 2 0 3 4 12

例4.计算 I ( z 2 x)d y d z z d x d y, 其中旋转抛物面
Dy z
P( x( y, z ) ,y,z ) d y d z
(前正后负)
则有

Q( x, y, z )d z d x
Dz x
Q (x, y ( z, x),z ) d z d x
(右正左负)
一看尾无谁换谁; 顺谁投影得区域;
最后看侧定符号;
正(前右上)、负(后左下).
3.性质: 对面积的(8条)
f ( x, y, z )dS

Dx y

D116高斯公式34478

目录上页下页返回结束
11.3.31、计算其中∑是由x=0, y=0, z=0及在第一卦限中所围成的立体Ω的表面的外侧。解：
目录上页下页返回结束
11.3.34、计算其中∑是圆锥面z2=x2+y2在0≤z≤h范围内的一部分曲面的下侧， h为正数。
解：补上平面块∑1：z=h， x2 y2 h2 取上侧。
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x Q y R zdxdydz P d y d z Q d zd x R d x d y
定理1 目录上页下页返回结束
例1. 用Gauss 公式计算 ( x y )d x d y (y z)x d y d z
下面先证:
RzdxdydzRdxdy
高斯目录上页下页返回结束
证明: 设 : z 1 ( x , y ) z ( x , y ) z 2 ( x , y ) ,( x , y ) D x y
称为XY -型区域 , 1 23 , 1:z z1 (x ,y ),
2
2
若为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
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例2. 设为曲面z 2 x2y2 ,1z 2取上侧, 求
I ( x 3 z x ) d y d z x 2 y d z d z x x 2 z 2 d x d y .
解: 作取下侧的辅助面
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作业
P234 1 *(2), (4), (5); *2(2) ;
*3 ;
4
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备用题设是一光滑闭曲面, 所围立体的体
积为V, 是外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 r