数学分析课件 高斯公式与斯托克斯公式
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高斯公式及斯托克斯公式
第六节 高斯公式 通量与散度
Green 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
2 1 3
Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
P d y d z Q d z d x Rdx d y
Green 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
2 1 3
Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
P d y d z Q d z d x Rdx d y
Gauss公式与Stokes公式
1
z h
0
1
I I1 I 2
2
h h
4 4
2
h4
2.
Gauss公式举例
注：当 Pdydz Qdzdx Rdxdy 中的非封闭时，
可以补充辅助曲面1，使 1构成闭曲面；然 后对 用Gauss公式；最后从中减去 即可得
1 1
t
0
f ( ) d
2
t
4
若 ( x)3. 与微分方程的联系 )使得二型曲线积分 连续且 ( ) 1, 求 ( x
例9
y I [sin x ( x)] dx ( x )dy, ( x 0)与L无关。 x L
解：因为积分与路径无关
Py Qx
解： f ( x 2 y 2 z 2 )dV
d sin d f ( ) d 4 f ( ) 2 d
2 0 0 0 0
球坐
2
t
t
原极限 Lim
0/0
t 0 2
4
f (t ) f (0) f (t )t f (t ) lim f (0) 2 4 lim lim t 0 t 0 t 0 t 4t 3 t
y P sin x ( x) Q P [sin x ( x)] , Q ( x) , ( x) x y x x
sin x ( x) 1 sin x 由Py Qx ( x) ( x) ( x) — x x x 1 解之得： ( x) (C cos x) 由 ( ) 1 C 1 x 1 ( x) ( 1 cos x) x
z h
0
1
I I1 I 2
2
h h
4 4
2
h4
2.
Gauss公式举例
注：当 Pdydz Qdzdx Rdxdy 中的非封闭时，
可以补充辅助曲面1，使 1构成闭曲面；然 后对 用Gauss公式；最后从中减去 即可得
1 1
t
0
f ( ) d
2
t
4
若 ( x)3. 与微分方程的联系 )使得二型曲线积分 连续且 ( ) 1, 求 ( x
例9
y I [sin x ( x)] dx ( x )dy, ( x 0)与L无关。 x L
解：因为积分与路径无关
Py Qx
解： f ( x 2 y 2 z 2 )dV
d sin d f ( ) d 4 f ( ) 2 d
2 0 0 0 0
球坐
2
t
t
原极限 Lim
0/0
t 0 2
4
f (t ) f (0) f (t )t f (t ) lim f (0) 2 4 lim lim t 0 t 0 t 0 t 4t 3 t
y P sin x ( x) Q P [sin x ( x)] , Q ( x) , ( x) x y x x
sin x ( x) 1 sin x 由Py Qx ( x) ( x) ( x) — x x x 1 解之得： ( x) (C cos x) 由 ( ) 1 C 1 x 1 ( x) ( 1 cos x) x
高斯公式和斯托克斯公式_681302766
,
a2 − x2 − y2
x
zy =
−y a2 − x2 − y2
∫∫ I = [ a2 − x2 − y2 ⋅
−x
Dxy
a2 − x2 − y2
+ 2 a2 − x2 − y2 ⋅
−y
− y]dxdy
2009-4-3
a2 − x2 − y2
25
z
I = − ∫∫ ( x + 3 y)dxdy
D xy
dz
−
∂Z ∂x
dz^
dx
假设：S : z = z( x, y)二阶偏导连续 , 上侧
S的单位法向量 nv =
1+
1
z
2 x
+
z
2 y
(
−
z
' x
,
−
z
' y
,1)T
= (cos α , cos β , cos γ )T
∂S在 xoy 平面上的投影为 L∗ , L∗所围区域是 D xy
2009-4-3
2009-4-3
3
[证] 先证明第三项
∫∫
S外
Zdx^
dy
=
∫∫∫ Ω
∂Z ∂z
dV
z nv S2 : z = z2(x, y)
•
假设Ω如图所示
nv
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∂Z dV= dxdy ∂Z z2 ( x, y) dz
Ω ∂z
D xy
∂z z1 ( x , y ) o
S3
nvS1 : z• = z1(x, y) y
验证斯托克斯公式的正 确性
∫L zdx + xdy + ydz
2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)20高斯公式与斯托克斯公式课件(共27张PPT)
)'x
(Z
z'x )'y )d
Dxy
(
Z
' x
z'y
Z
' y
z'x
)dxdy
(2)
Dxy
比较(1), (2)可得
Zdz S
S
Z y
dy ^ dz
Z x
dz ^ dx
当 曲 面S为xoy平 面 上 的 平 面 域 时,
Stokes公 式 即 为Green公 式
2020/5/1
20
[例1] 应用三种方法计算下列曲线积分,从而
x
Dxy
a2 x2 y2
2 a2 x2 y2
y
y]dxdy
2020/5/1
a2 x2 y2
27
z
I ( x 3 y)dxdy
Dxy
L
n
o
y
a sin
d (r cos 3r sin )rdr
0
0
x
Dxy
(cos
3 sin ) r 3
a sin
d
0
3
0
a3( 1 cos sin3 d sin4 d )
03
0
a3(0 2
2
sin4 d )
3 a3
2020/5/1
0
8
28
2( x y z)dV
2(u v w a b c) 1dudvdw
2(a b c) 4 R3
3
利用对称性得到 (u v w)dudvdw 0
2020/5/1
13
特别
对于 X x, Y y, Z z
利 用 高 斯 公 式, 可 以 得 到S所 包 围 的
116高斯公式与斯托克斯公式-PPT精品文档
3
(利用柱面坐标得)
( r sin z ) rdrd dz
x r sin z ) dz d rdr (
2 1 3 0 0 0
1
o
1
y
9 . 2
使用Guass公式时应注意验证:
P , Q , R 1 . 是 对 什 么 变 量 求 偏 导 数 ;
1
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS
2 2 2 2 ( x cos y cos z cos ) dS z dS 1 1
4 h dxdy h .
2 Dxy
故所求积分为
2 2 2 ( x cos y cos z cos ) dS
( P cos Q cos R cos ) dS
Gauss 公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的曲面积分之间的关系.
三 高斯公式的简单应用
例1 计算曲面积分 其中Σ 为柱面x y 1及平 面z 0, z 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧.
第六节
高斯公式与斯托克斯公式
一 问题的提出 二 Gauss 公式 三 简单应用 四 斯托克斯公式 五 小结
高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边 界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边 界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面 积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关 系.
2 . 是 否 满 足 高 斯 公 式 的 条 件 ;
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
19
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
高斯公式与斯托克斯公式 ppt课件
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S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
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R Q
P R
Q P
(
S
y
z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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证
下面只证
V
Rdxdydz z
S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:
V
Pdxdydz x
S
Pdydz
,
V
Qdxdydz y
S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q
S
dxdy x
z
dydz
L Qdy
(4)
R
R
S
dydz y
x
dzdx
L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y
P z
cos cos
dxdy
S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
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R Q
P R
Q P
(
S
y
z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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证
下面只证
V
Rdxdydz z
S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:
V
Pdxdydz x
S
Pdydz
,
V
Qdxdydz y
S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q
S
dxdy x
z
dydz
L Qdy
(4)
R
R
S
dydz y
x
dzdx
L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y
P z
cos cos
dxdy
8-6 高斯公式与斯托克斯公式
+
r 记 F = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x, y , z ) ) r P Q R + + 散度, 为向量函数( 定义 为向量函数(场)F 的散度, x y z r 记做 divF ,则高斯公式可写成
证明 先证 先证: 设 为XY型区域 ,
R ∫∫∫ z d xd y d z = ∫∫ S Rd xd y
S = S1 U S2 U S3 , S1 : z = z1( x, y),
z
S2 S3 S1
S2 : z = z2 ( x, y), 则
x
Dxy y
R z2 ( x, y) R ∫∫∫ z d xd y d z= ∫∫Dxd xd y ∫z1(x, y) z d z y
Qd y = ∫∫ Qd x d y Qd y d z 同理可证 ∫ Γ ∑ x z R R ∫Γ Rd x = ∫∫∑ y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
情形2 曲面∑ 轴的直线交点多于一个, 情形 曲面∑ 与平行 z 轴的直线交点多于一个 则可 分成与z 轴只交于一点的几部分, 通过作辅助线面把 ∑ 分成与 轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 在每一部分上应用斯托克斯公式 然后相加 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 类曲面斯托克斯公式仍成立
∫∫
S+
P Q R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( )dV , + + x y z
r 记 F = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x, y , z ) ) r P Q R + + 散度, 为向量函数( 定义 为向量函数(场)F 的散度, x y z r 记做 divF ,则高斯公式可写成
证明 先证 先证: 设 为XY型区域 ,
R ∫∫∫ z d xd y d z = ∫∫ S Rd xd y
S = S1 U S2 U S3 , S1 : z = z1( x, y),
z
S2 S3 S1
S2 : z = z2 ( x, y), 则
x
Dxy y
R z2 ( x, y) R ∫∫∫ z d xd y d z= ∫∫Dxd xd y ∫z1(x, y) z d z y
Qd y = ∫∫ Qd x d y Qd y d z 同理可证 ∫ Γ ∑ x z R R ∫Γ Rd x = ∫∫∑ y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
情形2 曲面∑ 轴的直线交点多于一个, 情形 曲面∑ 与平行 z 轴的直线交点多于一个 则可 分成与z 轴只交于一点的几部分, 通过作辅助线面把 ∑ 分成与 轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 在每一部分上应用斯托克斯公式 然后相加 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 类曲面斯托克斯公式仍成立
∫∫
S+
P Q R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( )dV , + + x y z
高斯公式和斯托克斯公式
斯托克斯公式的应用
斯托克斯公式在流体力学中有广泛的应用，如流体动力学、 气象学、海洋学等领域。通过进一步研究斯托克斯公式的应 用，我们可以更好地理解流体的运动规律，为实际问题的解 决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
斯托克斯公式
斯托克斯公式是流体力学中的一个基本定理，它描述了在一个封闭曲面内的流体质量流量与该曲面上 的速度场分布之间的关系。具体来说，如果一个封闭曲面内的速度场分布已知，那么可以通过斯托克 斯公式计算出该封闭曲面内的流体质量流量和角动量。
对高斯公式和斯托克斯公式的理解和感悟
理解
高斯公式和斯托克斯公式都是描述场分 布与封闭曲面之间的关系，它们都是微 积分和流体力学中的基本定理。通过这 两个公式，我们可以更好地理解场的概 念和性质，以及它们在解决实际问题中 的应用。
磁场问题
斯托克斯公式主要用于解决磁场问题 ，如磁感应线、磁通量等概念的计算 和解释。
04
高斯公式和斯托克斯公式的扩展
高斯公式的扩展形式
球面高斯公式
平面高斯公式
在三维空间中，对于任意封闭曲面S 包围的体积V，其内部点P的场强E与 电荷量Q的关系为E·dS=4πQ。
在三维空间中，对于任意闭合曲线L围 成的区域D，其内部点P的场强E与电 荷量q的关系为E·dS=2πq。
高斯公式的几何意义
总结词
高斯公式的几何意义在于，它揭示了三维空间中封闭曲面内的体积与该封闭曲面及其内部点与原点之间的距离之 间的关系。
详细描述
通过高斯公式，我们可以理解一个封闭曲面内的体积如何受到该封闭曲面形状和大小以及内部点与原点距离的影 响。具体来说，当封闭曲面面积一定时，内部点与原点的距离越远，则封闭曲面内的体积越大；反之，当内部点 与原点的距离一定时，封闭曲面的面积越大，则封闭曲面内的体积也越大。
斯托克斯公式在流体力学中有广泛的应用，如流体动力学、 气象学、海洋学等领域。通过进一步研究斯托克斯公式的应 用，我们可以更好地理解流体的运动规律，为实际问题的解 决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
斯托克斯公式
斯托克斯公式是流体力学中的一个基本定理，它描述了在一个封闭曲面内的流体质量流量与该曲面上 的速度场分布之间的关系。具体来说，如果一个封闭曲面内的速度场分布已知，那么可以通过斯托克 斯公式计算出该封闭曲面内的流体质量流量和角动量。
对高斯公式和斯托克斯公式的理解和感悟
理解
高斯公式和斯托克斯公式都是描述场分 布与封闭曲面之间的关系，它们都是微 积分和流体力学中的基本定理。通过这 两个公式，我们可以更好地理解场的概 念和性质，以及它们在解决实际问题中 的应用。
磁场问题
斯托克斯公式主要用于解决磁场问题 ，如磁感应线、磁通量等概念的计算 和解释。
04
高斯公式和斯托克斯公式的扩展
高斯公式的扩展形式
球面高斯公式
平面高斯公式
在三维空间中，对于任意封闭曲面S 包围的体积V，其内部点P的场强E与 电荷量Q的关系为E·dS=4πQ。
在三维空间中，对于任意闭合曲线L围 成的区域D，其内部点P的场强E与电 荷量q的关系为E·dS=2πq。
高斯公式的几何意义
总结词
高斯公式的几何意义在于，它揭示了三维空间中封闭曲面内的体积与该封闭曲面及其内部点与原点之间的距离之 间的关系。
详细描述
通过高斯公式，我们可以理解一个封闭曲面内的体积如何受到该封闭曲面形状和大小以及内部点与原点距离的影 响。具体来说，当封闭曲面面积一定时，内部点与原点的距离越远，则封闭曲面内的体积越大；反之，当内部点 与原点的距离一定时，封闭曲面的面积越大，则封闭曲面内的体积也越大。
数学分析课件高斯公式与斯托克斯公式
THANKS FOR
感谢您的观看
WATCHING
总结词
高斯公式的应用举例包括计算球体体积、表面积，以及解决物理问题中的积分问题。
详细描述
高斯公式可以用于计算球体的体积和表面积。例如，对于球体，其表面积可以通过高斯公式计算得出。此外，高斯公式在解决物理问题中的积分问题时也很有用，例如计算电场强度、磁场强度等物理量的积分值。
高斯公式的应用举例
02
斯托克斯公式
斯托克斯公式是描述在三维空间中，一个向量场沿着某曲面边界的线积分与该曲面内体积分的关系的公式。
斯托克斯公式定义
设向量场 F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k，其中 P、Q、R 是具有连续偏导数的函数，Σ 是有界闭曲面，L 是 Σ 的边界曲线，则有 Stokes' formula: ∫Σ (▽×F) · dS = ∮L F · dS，其中 ▽×F 是向量场 F 的旋度，dS 是 Σ 上任意一点处的单位法向量。
数学分析课件高斯公式与斯托克斯公式
目录
contents
高斯公式 斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式的比较 公式证明 公式在实际问题中的应用
01
高斯公式
高斯公式是数学分析中的一个重要定理，用于计算一个封闭曲面内的体积。
高斯公式表述为，对于一个封闭曲面内的体积，可以通过计算该曲面内所有点处的三重积分值，再乘以封闭曲面的面积，得到该体积的数值。
03
高斯公式与斯托克斯公式的比较
总结词：高斯公式和斯托克斯公式在形式上存在显著差异。
详细描述：高斯公式是一个体积分公式，用于计算三维空间中封闭曲面内的体积，而斯托克斯公式是一个面积分公式，用于计算二维封闭曲线在三维空间中的投影面积。
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总结词
高斯公式的应用举例包括计算球体体积、表面积，以及解决物理问题中的积分问题。
详细描述
高斯公式可以用于计算球体的体积和表面积。例如，对于球体，其表面积可以通过高斯公式计算得出。此外，高斯公式在解决物理问题中的积分问题时也很有用，例如计算电场强度、磁场强度等物理量的积分值。
高斯公式的应用举例
02
斯托克斯公式
斯托克斯公式是描述在三维空间中，一个向量场沿着某曲面边界的线积分与该曲面内体积分的关系的公式。
斯托克斯公式定义
设向量场 F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k，其中 P、Q、R 是具有连续偏导数的函数，Σ 是有界闭曲面，L 是 Σ 的边界曲线，则有 Stokes' formula: ∫Σ (▽×F) · dS = ∮L F · dS，其中 ▽×F 是向量场 F 的旋度，dS 是 Σ 上任意一点处的单位法向量。
数学分析课件高斯公式与斯托克斯公式
目录
contents
高斯公式 斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式的比较 公式证明 公式在实际问题中的应用
01
高斯公式
高斯公式是数学分析中的一个重要定理，用于计算一个封闭曲面内的体积。
高斯公式表述为，对于一个封闭曲面内的体积，可以通过计算该曲面内所有点处的三重积分值，再乘以封闭曲面的面积，得到该体积的数值。
03
高斯公式与斯托克斯公式的比较
总结词：高斯公式和斯托克斯公式在形式上存在显著差异。
详细描述：高斯公式是一个体积分公式，用于计算三维空间中封闭曲面内的体积，而斯托克斯公式是一个面积分公式，用于计算二维封闭曲线在三维空间中的投影面积。
二十二章 第三节 高斯公式与斯托克斯公式
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为 沿场中某一有向曲面Σ
Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ A n 0 dS
Σ Σ
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
向正侧穿过曲面Σ 通量. 称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
散度的定义: (2). 散度的定义:
2π
1
3
9π . 2
使用Guass公式时应注意: 使用Guass公式时应注意: Guass公式时应注意
是对什么变量求偏导数; 1. P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件
3.Σ是取闭曲面的外侧. 3.Σ是取闭曲面的外侧.
Σ1 Σ1
=
h2dxdy = πh4 . ∫∫
D xy
故所求积分为
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ
1 4 = πh πh4 = 1 πh4 . 2 2
物理意义: 3. 物理意义: (1). 通量的定义: (1). 通量的定义:
设有向量场
A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
三部分组成, Σ 由 Σ 1 , Σ 2 和 Σ 3 三部分组成,
z
Σ2 Σ3
Σ1
Σ1 : z = z1( x, y) Σ2 : z = z2 ( x, y) Σ3 x
o
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R ∫∫∫ z dv =
Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ A n 0 dS
Σ Σ
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
向正侧穿过曲面Σ 通量. 称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
散度的定义: (2). 散度的定义:
2π
1
3
9π . 2
使用Guass公式时应注意: 使用Guass公式时应注意: Guass公式时应注意
是对什么变量求偏导数; 1. P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件
3.Σ是取闭曲面的外侧. 3.Σ是取闭曲面的外侧.
Σ1 Σ1
=
h2dxdy = πh4 . ∫∫
D xy
故所求积分为
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ
1 4 = πh πh4 = 1 πh4 . 2 2
物理意义: 3. 物理意义: (1). 通量的定义: (1). 通量的定义:
设有向量场
A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
三部分组成, Σ 由 Σ 1 , Σ 2 和 Σ 3 三部分组成,
z
Σ2 Σ3
Σ1
Σ1 : z = z1( x, y) Σ2 : z = z2 ( x, y) Σ3 x
o
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R ∫∫∫ z dv =
12-3 高斯公式与斯托克斯公式
（续证） 设 与平行于 z 轴的直线的交点不多于一个， 其方程为 z z( x, y) ． 且
在 xOy 坐标面上的投影区域为 Dxy ，Dxy 的边界曲线为 C ， C 即为 取上侧．
的边界曲线 在 xOy 坐标面上的投影曲线，由于 的方向和 的侧符合右手 法则，所以 C 取正向（见图 12-3-5） ．
根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可以写成
( P cos Q cos R cos )dS (
P Q R )dV ， x y z
(1 2 . 3 . 2 )
其中 {cos ,cos ,cos }为 外侧上任一点处的单位法向量．
2 2 2 2 2 2 xz d y dz x y d z d x y z d x d y ( x y z )dV
d d 4 sin d
0 0
2π
π 4 0
1
2 2 π． 5
19-8
例 12.3.3 计算曲面积分 2 x3dydz 2 y 3dzdx 3( z 2 1)dxdy ，其中 是曲面
1
由高斯公式
1
x dydz y dzdx z dxdy P Q R ( )dv 0dv 0 ， 2 2 2 3/2 (x y z ) x y z
而
x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2 3/2 (x y z ) 1 1
C
P( x, y, z ( x, y))dx [0 (
Dxy
另外，由于 dzdx z y dxdy ，故由三合一投影法，及定理 12.2.2 得
22-3高斯公式与斯托克斯公式
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
o
y
D xy
C
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
极限 lim
A dS
V M
V
存在,
则称此极限值为 A 在点M 处的散度, 记为divA .
散度在直角坐标系下的形式
P Q R ( x y z )dv vndS
1 P Q R 1 ( )dv vndS V x y z V P Q R 1 ( ) ( , , ) vndS 积分中值定理, x y z V
u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz , x x y y z z
四 通量与散度
1) 通量的定义: 设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
上 的 投 影 区 域 为
D
xy
.
由1 , 2 和 3 三部分组成,
x
:z
f ( x, y )
o
y
D xy
C
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
极限 lim
A dS
V M
V
存在,
则称此极限值为 A 在点M 处的散度, 记为divA .
散度在直角坐标系下的形式
P Q R ( x y z )dv vndS
1 P Q R 1 ( )dv vndS V x y z V P Q R 1 ( ) ( , , ) vndS 积分中值定理, x y z V
u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz , x x y y z z
四 通量与散度
1) 通量的定义: 设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
上 的 投 影 区 域 为
D
xy
.
由1 , 2 和 3 三部分组成,
高斯(Gauss)公式与 斯托克斯(stokes)公式
侧总在人的左方, 则人前进的方向为边界线 L 的
正向 ; 若 L 沿行走 , 指定的侧总在人的右方 , 则 人前进的方向为边界线 L 的负向.
L1 L1
D D
L2 L2
1. 定理22.4
定理 设光滑曲面 S 的边界 L 是分段光滑的空间有向闭曲 线, 若函数 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在曲面 S (连 同 L ) 上连续,且有一阶连续偏导数, 则
z R
L
Pdx Qdy Rdz
或
cos cos cos
S
x P
y Q
ds z R
L
Pdx Qdy Rdz
其中 n {cos ,cos ,cos }.
Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系.
§3 高斯(Gauss)公式与 斯托克 斯(stokes)公式
一、高 斯 公 式(Gauss) 二、斯托克斯(stokes)公式
一、高 斯 公 式
沿空间曲面的曲面的曲面积分和三重积分 之间有类似格林公式建立的关系。 1 定理22.3
设空间闭区域V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在V 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
2
0
9 d dr r (sin z )rdz . 0 0 2
1 3
□
使用Guass公式时应注意:
1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
正向 ; 若 L 沿行走 , 指定的侧总在人的右方 , 则 人前进的方向为边界线 L 的负向.
L1 L1
D D
L2 L2
1. 定理22.4
定理 设光滑曲面 S 的边界 L 是分段光滑的空间有向闭曲 线, 若函数 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在曲面 S (连 同 L ) 上连续,且有一阶连续偏导数, 则
z R
L
Pdx Qdy Rdz
或
cos cos cos
S
x P
y Q
ds z R
L
Pdx Qdy Rdz
其中 n {cos ,cos ,cos }.
Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系.
§3 高斯(Gauss)公式与 斯托克 斯(stokes)公式
一、高 斯 公 式(Gauss) 二、斯托克斯(stokes)公式
一、高 斯 公 式
沿空间曲面的曲面的曲面积分和三重积分 之间有类似格林公式建立的关系。 1 定理22.3
设空间闭区域V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在V 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
2
0
9 d dr r (sin z )rdz . 0 0 2
1 3
□
使用Guass公式时应注意:
1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
高斯公式与斯托克斯公式88681
S1
( y2 x)dxdy 4π.
D
因此
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy 4π.
S
例3 证明电学中的高斯定理: 在由点电荷
q 所产生的
静电场中, 电场强度
ur E 向外穿过任何包含
q 在其内
部的光滑封闭曲面
S 的电通量都等于
证 以 q 为球心作一半径充分小的球面
S2 : z z2( x, y), ( x, y) D( xy) ,
及垂直于
D 的柱面 ( xy )
S3
组成(图22-7), 其中
z1( x, y) z2( x, y) .
于是按三重积分的计算方
法,有
z S2
S3
S1
O
y
x
D( xy)
图 22 7
R dxdydz dxdy z2(x,y) R dz
y2
xz)
dxdydz
a
a
a
( y x)dxdydz=0 dz0 dy0 (y+x)dx
V
a
a 0
ay
1 2
a
2dya源自4.注 若在高斯公式中
P x,Q y, R z, 则有
Ò xdydz ydzdx zdxdy (1 1 1)dxdydz.
S
V
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体
落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在
4πq. S1 ,使 S1 全部
q 处.
由电学知识,在点
M ( x, y, z) 处的电场强度为
ur q E r 3 ( x i y j z k),
qx
qy
qz
( y2 x)dxdy 4π.
D
因此
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy 4π.
S
例3 证明电学中的高斯定理: 在由点电荷
q 所产生的
静电场中, 电场强度
ur E 向外穿过任何包含
q 在其内
部的光滑封闭曲面
S 的电通量都等于
证 以 q 为球心作一半径充分小的球面
S2 : z z2( x, y), ( x, y) D( xy) ,
及垂直于
D 的柱面 ( xy )
S3
组成(图22-7), 其中
z1( x, y) z2( x, y) .
于是按三重积分的计算方
法,有
z S2
S3
S1
O
y
x
D( xy)
图 22 7
R dxdydz dxdy z2(x,y) R dz
y2
xz)
dxdydz
a
a
a
( y x)dxdydz=0 dz0 dy0 (y+x)dx
V
a
a 0
ay
1 2
a
2dya源自4.注 若在高斯公式中
P x,Q y, R z, 则有
Ò xdydz ydzdx zdxdy (1 1 1)dxdydz.
S
V
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体
落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在
4πq. S1 ,使 S1 全部
q 处.
由电学知识,在点
M ( x, y, z) 处的电场强度为
ur q E r 3 ( x i y j z k),
qx
qy
qz
高斯公式与斯托克斯公式
(R( x, y,(z2( x, y)) R( x, y, z1( x, y)))dxdy
D( xy )
R( x, y,(z2( x, y))dxdy
D( xy )
R( x, y,(z1( x, y))dxdy
D( xy )
R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy
一、高斯公式 二、斯托克斯公式
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§3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式
高斯公式
斯托克斯公式
定理22.3
设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成.
若函数 P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连续偏导数,
则
V
P x
Q y
R z
dxdydz
Ò Pdydz+Qdzdx+Rdxdy , (1) S
z (0, 0,1)
面的交线, 取图 22-8所示的 方向. 解 应用斯托克斯公式推得:
O
(0,1, 0)
y
(1, 0, 0)
x
图 22 10
ÑL(2 y z)dx ( x z)dy ( y x)dz
(1 1)dydz (1 1)dzdx (1 2)dxdy
S
13
S
2dydz
ur E
向外穿过任何包含
q
在其内
部的光滑封闭曲面 S 的电通量都等于 4πq.
证 以 q 为球心作一半径充分小的球面 S1 ,使 S1 全部 落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在 q 处.
由电学知识,在点 M( x, y, z) 处的电场强度为
ur E
q r3
(xi
y
高斯公式与斯托克斯公式
为锥面 z
x 2 y 2 介于 z 0, z 1 之间部分的下侧 .
z P y z , Q z x, R x 2 y 2 , 解 P Q R 0, 用高斯公式， 1 上 x y z 1 1 上 上 补1 : z 1使(下) 1 组成闭曲面 , (下) 所围闭立体为 .
P Q R ( x y z )dV 外Pdydz Qdzdx Rdxdy (1)
P Q R ( x y z )dV 外( P cos Q cos R cos )dS (2)
其中，，为曲面 的外法线方向的方向角 .
o
x
1
D xy
y
{ R[ x , y, z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy
D xy
外
Rdxdy ( ) Rdxdy
下 1
3 : 母线平行轴的柱面 z .
上: z z2 ( x, y ), R 2 dV R( x, y, z )dxdy. z 下: z z1 ( x, y ), 外 1
(下)
上 1
( 下 )
上 1
x
o
y
P Q R ( )dxdydz 0 x y z
I ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x 2 y 2 )dxdy 上 1 (母线平行 、 轴) z x y 0 0 ( x 2 y 2 )dxdy 上 上 1 1 1
2 2
x
3 3dxdydz . 4
高斯公式和斯托克斯公式ppt课件
称为向量场 A 在点 M 的散度.
记作
表明该点处有正源,
表明该点处有负源,
表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有
, 则称 A 为无源场.
例如, 匀速场
故它是无源场.
说明:
由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
*例5.
置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4. 设函数
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
证:令
由高斯公式得
移项即得所证公式.(见 P171)
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型
设有空间区域 G ,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,
则有
此式反应了流速场在点M 的特点:
其值为正,负或 0,
分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
定义:
设有向量场
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,
是场内的一片有向
则称
曲面,
其单位法向量 n,
为向量场 A 通过
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
思考与练习
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
(2)
为
作业
P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4
备用题 设 是一光滑闭曲面,
所围立体 的体
是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
解:
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
记作
表明该点处有正源,
表明该点处有负源,
表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有
, 则称 A 为无源场.
例如, 匀速场
故它是无源场.
说明:
由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
*例5.
置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4. 设函数
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
证:令
由高斯公式得
移项即得所证公式.(见 P171)
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型
设有空间区域 G ,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,
则有
此式反应了流速场在点M 的特点:
其值为正,负或 0,
分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
定义:
设有向量场
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,
是场内的一片有向
则称
曲面,
其单位法向量 n,
为向量场 A 通过
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
思考与练习
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
(2)
为
作业
P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4
备用题 设 是一光滑闭曲面,
所围立体 的体
是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
解:
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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S
(1)
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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R Rdxdy . 读者可类似 证 下面只证 dxdydz z V S
证明其余两式:
P dxdydz Pdydz , x V S Q dxdydz Qdzdx . y V S
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例1 计算
2 2 I y ( x z )d y d z x d z d x ( y zx )dxdy , S
其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧. 解 应用高斯公式,
2 2 I y( x z ) ( x ) ( y xz ) dxdydz x y z V
( y x )dxdydz = dz d y (y +x )dx
V 0 0 0 a a a
1 2 a ay a dy a 4 . 0 2
a
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注 若在高斯公式中 P x , Q y , R z , 则有
xdydz ydzdx zdxdy (1 1 1)dxdydz.
( x y )dxdydz
V
d d r
0 0
2
2
5r 2
1
( r cos r sin )rdz 0.
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而
2 2 y ( x z )d y d z x d x d z ( y xz )dxdy S1
( y 2 x )dxdy 4π.
R( x , y, z )dxdy 0 .
S3
从而得到 R dxdydz Rdxdy Rdxdy Rdxdy z V S2 S3 S
1
Rdxdy.
S
对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论.
R( x , y , z )dxdy R( x , y , z )dxdy
R( x , y , z )dxdy R( x , y , z )dxdy ,
S2 S1
其中 S1 , S2 都取上侧. 又由于 S3 在 xy 平面上投影面
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积为零, 所以
S V
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体 1 xdydz ydzdx zdxdy . 积的公式: V 3 S1 例2 计算
S
y( x z )dyd)dxdy ,
2 2 其中 S 为曲面 z 5 x y 上 z 1 的部分, 并取
证 以 q 为球心作一半径充分小的球面 S1 ,使 S1 全部
落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在 q 处. 由电学知识,在点 M ( x , y , z ) 处的电场强度为 q E 3 ( x i y j z k), r qx qy qz 设 P ( x , y , z ) 3 , Q( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r
P P z dxdy. y z y S
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z cos , 从而 由于 y cos
P P z P P cos dxdy y z y y z cos S S P dxdy P cos cos y z cos S P P cos cos dS y z S
Pdx Qdy Rdz ,
L
(2)
其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定. 证 先证
P P d zd x dxdy P dx , L z y S
(3)
其中曲面 S 由方程 z z ( x , y ) 确定,它的正侧法线方
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向数为 ( z x , z y , 1) , 方向余弦为 (cos , cos , cos ) , 所以
上侧.
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解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面
S1 : x 2 y 2 4, z 1, 并取下侧, 则 S S1 构成一封
闭曲面.于是
S S1
y( x z )dydz x 2dzdx ( y 2 xz )dxdy
S S1
P Q R dxdydz 0, x y z
所以穿过 S 的电通量为
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy 4 πq .
S1
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二、斯托克斯公式
先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下 规定:设有人站在 S 上指定的一侧,若沿 L 行走,指 定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线 L 的正向;若沿 L 行走,指定的侧总在人的右方,则人 前进的方向为边界线 L 的负向.这个规定也称为右 手法则,如图 22-9 所示.
§3 高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系.
S
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz . L x y z P Q
L
R
其中
例4 计算
(2 y z )dx ( x z )dy ( y z )dz ,
L 为平面 x y z 1 与各坐标面的交线,取图 22-8
所示的方向.
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) . 如果 S 不能以 z z ( x , y ) 的形式给出, 则可用一些 光滑曲线把 S 分割为若干小块,使每一小块能用这
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种形式来表示. 因而这时 (2) 式也能成立. 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:
z cos z cos , . x cos y cos
若 S 在 xy 平面上的投影为区域 D( xy ) , L 在 xy 平面上 的投影为曲线 . 现由第二型曲线积分定义及格林 公式有
P ( x, y, z )dx P ( x , y, z( x , y ))dx
L
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P ( x , y , z ( x , y ))dxdy . y D( xy )
因为
P P z P ( x , y , z( x , y )) , y y z y
所以
P ( x , y , z ( x , y ))dxdy y D( xy )
S
q
x
O
S1
y
图 22 8
其中 S1 取外侧, V 是 S1 包围的半径为 a 的球体. 在 S 与 S1 所围的空间区域 上应用高斯公式, 其边 界的外测是 S 的外侧和 S1 的内侧. 因为
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Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
这些结果相加便得到高斯公式 (1). 先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
S1 : z z1 ( x , y ), ( x , y ) D( xy ) ,
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S2 : z z2 ( x , y ), ( x, y ) D( xy ) ,
及垂直于 D( xy ) 的柱面 S 3 组成(图22-7), 其中
z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) .
z
S2
S3
S1
O
于是按三重积分的计算方 法,有
x
D( xy )
y
图 22 7
z2 ( x , y ) R R dxdydz dxdy dz z1 ( x , y ) z z V D( xy )
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一、高斯公式
二、斯托克斯公式
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一、高斯公式
定理22.3 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲
面 S 围成. 若函数 P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连
续偏导数, 则
P Q R x y z dxdydz V Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ,
P P dzdx dxdy . z y S
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dxdy
综合上述结果,便得到所要证明的(3)式. 当曲面 S 表示为 x x( y , z ), y y( z , x ) 时, 同样可证
Q Q dxdy dydz Qdy L x z S R R dydz dzdx Rdz L y x S (4) (5)
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S
区域 V 称为单连通的,如果 V 内任一封闭曲线皆可 不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点.例
如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如
车胎状的环形区域则是非单连通的.
注 上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意
2 2 2 r x y z . 易验证(参见图22-8 ) 其中
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P Q R 0. x y z
z
所以穿过 S1 的电通量为 q xdydz ydzdx zdxdy 3 a S1 q 3 3 dxdydz 4 πq , a V
(1)
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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R Rdxdy . 读者可类似 证 下面只证 dxdydz z V S
证明其余两式:
P dxdydz Pdydz , x V S Q dxdydz Qdzdx . y V S
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例1 计算
2 2 I y ( x z )d y d z x d z d x ( y zx )dxdy , S
其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧. 解 应用高斯公式,
2 2 I y( x z ) ( x ) ( y xz ) dxdydz x y z V
( y x )dxdydz = dz d y (y +x )dx
V 0 0 0 a a a
1 2 a ay a dy a 4 . 0 2
a
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注 若在高斯公式中 P x , Q y , R z , 则有
xdydz ydzdx zdxdy (1 1 1)dxdydz.
( x y )dxdydz
V
d d r
0 0
2
2
5r 2
1
( r cos r sin )rdz 0.
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而
2 2 y ( x z )d y d z x d x d z ( y xz )dxdy S1
( y 2 x )dxdy 4π.
R( x , y, z )dxdy 0 .
S3
从而得到 R dxdydz Rdxdy Rdxdy Rdxdy z V S2 S3 S
1
Rdxdy.
S
对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论.
R( x , y , z )dxdy R( x , y , z )dxdy
R( x , y , z )dxdy R( x , y , z )dxdy ,
S2 S1
其中 S1 , S2 都取上侧. 又由于 S3 在 xy 平面上投影面
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积为零, 所以
S V
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体 1 xdydz ydzdx zdxdy . 积的公式: V 3 S1 例2 计算
S
y( x z )dyd)dxdy ,
2 2 其中 S 为曲面 z 5 x y 上 z 1 的部分, 并取
证 以 q 为球心作一半径充分小的球面 S1 ,使 S1 全部
落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在 q 处. 由电学知识,在点 M ( x , y , z ) 处的电场强度为 q E 3 ( x i y j z k), r qx qy qz 设 P ( x , y , z ) 3 , Q( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r
P P z dxdy. y z y S
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z cos , 从而 由于 y cos
P P z P P cos dxdy y z y y z cos S S P dxdy P cos cos y z cos S P P cos cos dS y z S
Pdx Qdy Rdz ,
L
(2)
其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定. 证 先证
P P d zd x dxdy P dx , L z y S
(3)
其中曲面 S 由方程 z z ( x , y ) 确定,它的正侧法线方
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向数为 ( z x , z y , 1) , 方向余弦为 (cos , cos , cos ) , 所以
上侧.
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解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面
S1 : x 2 y 2 4, z 1, 并取下侧, 则 S S1 构成一封
闭曲面.于是
S S1
y( x z )dydz x 2dzdx ( y 2 xz )dxdy
S S1
P Q R dxdydz 0, x y z
所以穿过 S 的电通量为
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy 4 πq .
S1
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二、斯托克斯公式
先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下 规定:设有人站在 S 上指定的一侧,若沿 L 行走,指 定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线 L 的正向;若沿 L 行走,指定的侧总在人的右方,则人 前进的方向为边界线 L 的负向.这个规定也称为右 手法则,如图 22-9 所示.
§3 高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系.
S
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz . L x y z P Q
L
R
其中
例4 计算
(2 y z )dx ( x z )dy ( y z )dz ,
L 为平面 x y z 1 与各坐标面的交线,取图 22-8
所示的方向.
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) . 如果 S 不能以 z z ( x , y ) 的形式给出, 则可用一些 光滑曲线把 S 分割为若干小块,使每一小块能用这
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种形式来表示. 因而这时 (2) 式也能成立. 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:
z cos z cos , . x cos y cos
若 S 在 xy 平面上的投影为区域 D( xy ) , L 在 xy 平面上 的投影为曲线 . 现由第二型曲线积分定义及格林 公式有
P ( x, y, z )dx P ( x , y, z( x , y ))dx
L
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P ( x , y , z ( x , y ))dxdy . y D( xy )
因为
P P z P ( x , y , z( x , y )) , y y z y
所以
P ( x , y , z ( x , y ))dxdy y D( xy )
S
q
x
O
S1
y
图 22 8
其中 S1 取外侧, V 是 S1 包围的半径为 a 的球体. 在 S 与 S1 所围的空间区域 上应用高斯公式, 其边 界的外测是 S 的外侧和 S1 的内侧. 因为
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Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
这些结果相加便得到高斯公式 (1). 先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
S1 : z z1 ( x , y ), ( x , y ) D( xy ) ,
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S2 : z z2 ( x , y ), ( x, y ) D( xy ) ,
及垂直于 D( xy ) 的柱面 S 3 组成(图22-7), 其中
z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) .
z
S2
S3
S1
O
于是按三重积分的计算方 法,有
x
D( xy )
y
图 22 7
z2 ( x , y ) R R dxdydz dxdy dz z1 ( x , y ) z z V D( xy )
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一、高斯公式
二、斯托克斯公式
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一、高斯公式
定理22.3 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲
面 S 围成. 若函数 P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连
续偏导数, 则
P Q R x y z dxdydz V Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ,
P P dzdx dxdy . z y S
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dxdy
综合上述结果,便得到所要证明的(3)式. 当曲面 S 表示为 x x( y , z ), y y( z , x ) 时, 同样可证
Q Q dxdy dydz Qdy L x z S R R dydz dzdx Rdz L y x S (4) (5)
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S
区域 V 称为单连通的,如果 V 内任一封闭曲线皆可 不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点.例
如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如
车胎状的环形区域则是非单连通的.
注 上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意
2 2 2 r x y z . 易验证(参见图22-8 ) 其中
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P Q R 0. x y z
z
所以穿过 S1 的电通量为 q xdydz ydzdx zdxdy 3 a S1 q 3 3 dxdydz 4 πq , a V