泰勒公式及其在解题中的应用
泰勒公式及其在在计算方法中的应用
泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。
通过本文的论述，可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便。
关键词：泰勒公式;误差分析；近似计算；数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数，进行函数值的计算；而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用。
§2泰勒（Taylor)公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1）其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ (2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式，()n R x 的表达式(2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3）公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式，形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式（1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =，则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5）§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。
泰勒公式在计算及证明中的应用
2. 求极限 例 2 lim 2cosx- e x→0 x [x+ln(1- x)] 解: 把 cosx,e
2 - x 2 2 - x 2
,ln(1- x)在 x=0 处的泰勒公式
2 - x
2 4 2 4 2 cosx=1- x + x +o(x4), e =1- x + x +o(x4), 2! 4! 2 8 2 ln(1- x)=(- x)- (- x) +o(x2)代入,得 2 - x ( 1 - 1 )x4+o(x4) 2 lim 2cosx- e =lim 24 8 =1 x→0 x [x+ln(1- x)] x→0 6 - 1 x4+o(x4) 2 注: (1)此题不宜使用洛必达法则。 (2)使用泰勒公式展开时,需通过观察展开到合适的阶数。 二、 泰勒公式在证明中的应用 1. 证明不等式 例 3 求证:若坌x∈(a,b) 有 f''(x)≥0,则对任意 n 个数 x1,x2,…,xn∈(a,b)
其中常数 λ1,λ2,…,λn∈(0,1)且Σλi=1。
i=1
2. 关于界的估计 例 4 设 f(x)在[0,1]上二阶可导， 且 f(x) ≤1, f''(x) ≤2 求证： 当 0<x<1 时 f'(x) ≤3
— 77 —
1 3 1 3
苏久亮
极值
ξ ξ ξ ξ的简单的近似公式。
1- x 1+x
1 3 1 3
1 3
1 3
解:
1+x 1- x 2x 2x = 1+ - 1ξ 1- x ξ ξ 1+x ξ ξ 1- x ξ ξ 1+x ξ ≈[1+ 2x ]- [1- 2x ]= 4x 2 3(1- x) 3(1- x) 3(1- x ) ≈ 4泰勒公式， 有 f(0)=f(x)+f'(x)(0- x)+ f''(ξ1) (0- x)2 其中 0<ξ1<x 2 f''( f(1)=f(x)+f'(x)(1- x)+ ξ2) (1- x)2 其中 x<ξ2<1 2 两式相减得 f(1)- f(0)=f'(x)+ 1 [(1- x)2f''(ξ2)- x2f''(ξ1)] 2 从而 f'(x) ≤ f(0) + f(1) + 1 [(1- x)2 f''(ξ2) - x2 f''(ξ1) ] 2 ≤2+[(1- x)2+x2]≤3 得证。 一般地,可证得: 若 f(x)在[0,1]上二阶可导， 且 f(x) ≤a, f''(x) ≤b 则当 0<x<1 时, f'(x) ≤2a+ b 2 3. 证明中值公式 例 5 设 f(x)在[a,b]上三阶可导 求证： 埚ξ∈(a,b)使得 f(b)=f(a)+f'( a+b )(b- a)+ 1 f'''(ξ)(b- a)3 2 24 证: 设 k 为使下式成立的实数: f(b)- f(a)- f'( a+b )(b- a)- 1 k(b- a)3=0 24 2 下面只需证:埚ξ∈(a,b)使得 k=f'''(ξ)。 令 g(x)=f(x)- f(a)- f'( a+x )(x- a)- 1 k(x- a)3 则 g(a)=0=g(b) 24 2 根据罗尔定理,埚c∈(a,b)使得 g'(c)=0 即 f'(c)=f'( a+c )+ (c- a) f''( a+c )+ k (c- a)2 2 2 2 8 注意到 f'(c)在 a+c 处的泰勒公式: 2 2 f'(c)=f'( a+c )+ (c- a) f''( a+c )+ f'''(ξ) (c- a) 其中 a+c <ξ<c 2 2 2 2 4 2 由上面两式得证。 4. 判断函数的极值点 例 6 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导,且 f(i)(x0)=0 (i=1,2,…,n- 1), f(n)(x0)≠0 求证： (1)当 n 为偶数时, x0 是极值点。且当 f(n)(x0)>0 时, x0 是极小值 点； 当 f(n)(x0)<0 时,x0 是极大值点。 (2)当 n 为奇数时, x0 不是极值点。 证: 在 x0 的邻域内， 由泰勒公式与已知条件， 有 (n) (x f n n 0) (x- x0) +o[(x- x0) ] f(x)=f(x0)+ n! (n) f f(x)f(x ) )n] 0 即 = (x0) + o[(x- x0n (x- x0)n n! (x- x0) f(x)- f(x0) 与 f(n)(x )同号， 则当 x- x0 充分小时， 从而得证。 0 (x- x0)n 注： 此例实际上是下面判定极值的第二充分条件的推广。 定理 （判定极值的第二充分条件 ） 设 f(x)在 x0 处二阶可导且 f'(x0)=0,f''(x0)≠0 则 (1)当 f''(x0)>0 时, f(x)在 x0 处取得极小值； (2)当 f''(x0)<0 时,f(x)在 x0 处取得极大值。 三、 结束语 本文介绍了泰勒公式在计算及证明中的一些应用。在解决实际问 题的过程中,还要做到举一反三,灵活应用,这对于解题能力的提高大有 裨益。 参考文献 ［1］ 同济大学数学系.高等数学(第六版［ ) M］ .北京:高等教育出版社, 2007. ［2］ 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第五版［ ) M］ .北京:高等教育出 版社,2008. ［3］ 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 ［M］ .北京:高等教育出版 社,2006. ［4］ 施光燕.高等数学讲稿 ［M］ .大连:大连理工大学出版社,2008.
浅谈泰勒公式在高考数学压轴题中的应用
浅谈泰勒公式在高考数学压轴题中的应用泰勒公式是一种十分有效的常用数学技术，在高考数学试题中也得到了广泛的应用，对于学生来说十分重要。
这篇文章将讨论泰勒公式在高考数学压轴题中的应用，并讨论如何用泰勒公式解决高考数学压轴题的方法。
泰勒公式是一种用来计算函数作偏导数的有效技巧，它是由英国数学家泰勒所发明。
泰勒公式最主要的特点是它可以将一阶微分和二阶微分表示为简单的函数，这样就可以得到更加便捷、更加准确的结果。
因此，泰勒公式在非常多的学科领域中都被广泛用于解决复杂的问题。
近几年来，泰勒公式已经被广泛应用于解决高考数学试题，尤其是压轴题的求解中，效果明显。
在解决高考数学压轴题时，用泰勒公式可以得到更加准确的结果，这使得学生在做题过程中更加轻松、顺利。
例如，要求求解函数f(x)在x=a处的反导数，可以用泰勒公式进行解答。
首先，计算函数f(x)在x=a处的导数，即：f′(a)=f(a+h)-f(a)/h其中，h是足够接近a的任何正数。
然后，用泰勒公式求函数f(x)在x=a处的反导数，即：f′′(a)=-f(a+h)-2f(a)+f(a-h)/h2可以看出，使用泰勒公式可以大大减少计算量，而且结果更加准确，因此是一种值得推荐的解题方法。
此外，在高考数学压轴题中还可以利用泰勒公式求函数表达式的一阶和二阶导数，从而计算出函数极值点、拐点和极值值。
例如，要求求解函数f(x)在a处的极值点，可以按以下步骤进行：1.先，求出函数f(x)在a处的一阶导数，即：f′(a)=f(a+h)-f(a)/h；2.后，根据f′(a)=0的条件，求出函数f(x)在a处的二阶导数，即：f′′(a)=-f(a+h)-2f(a)+f(a-h)/h2；3.后，若f′′(a)>0，则说明函数在a处取得最大值，而若f′′(a)<0，则说明函数在a处取得最小值，从而可以确定函数f(x)的极值点。
由此可见，泰勒公式不仅可以用于求解高考数学压轴题，而且可以用来求函数表达式的一阶和二阶导数，从而计算出函数极值点、拐点和极值值。
泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文）（2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数8000论文完成时间2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHuaAbstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications.Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.目录1引言 (1)2泰勒公式 (1)3泰勒公式在解题中的应用 (2)3.1利用泰勒公式求近似值 (2)3.2利用泰勒公式求极限 (4)3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 (7)3.3.1判断级数的敛散性 (7)3.3.2判断广义积分的敛散性 (9)3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 (10)4结论及展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异．定性的余项为佩亚诺余项))((0n x x o -，仅表示余项是nx x )(0-，即当)(0x x →时高阶的无穷小．定量的余项是拉格朗日型余项10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ（ξ也可以写成)(00x x x -+θ10<<θ），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．定理1(泰勒定理)：设)(x f 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个领域，对于领域中的任一点x ，成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= （1）其中余项)(x r n 满足)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ，ξ在x 与0x 之间． 上述公式（1）称为)(x f 在0x x =处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日余项．若不需要余项的精确表达式时，余项)(x r n 也可也成))(()(0n n x x o x r -=．此时，上述公式（1）则称为)(x f 在0x x =处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．它的前1+n 项组成的多项式：''()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-称为)(x f 的在0x x =处的n 次泰勒多项式．当00=x 时，上式记为nn x n f x f x f x f f x f !)0(!3)0(!2)0()0()0()()(3'''2'''+++++= 该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数)(x f 的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对)(0x U x ∈∀均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同），因此这反映出函数)(x f 在邻域)(0x U 内的全局性．带佩亚诺余项的泰勒公式对函数()x f 的展开要求较低，它只要求()x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当0x x →时用右端的泰勒多项式)(x p n 代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0-的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态．3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．3.1利用泰勒公式求近似值由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差．利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''++++≈例1 求e 的近似值分析 因为e 介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e 的值．解 首先令()xe xf =，则x n e x f x f x f ====)()()('''把0=x 带入，得1)0()0()0()('====n f f f于是得到x e 的近似式!!212n x x x e nx++++≈上式中令1=x ，有!1!31!2111n e +++++≈ 由此可以求出e 的近似值．例2 求dx e x ⎰-12的近似值，精确到510-分析 因为dx e x ⎰-12中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求dx e x ⎰-12的近似值．解 在x e 的展开式中用2x -代替x 得+-+++-=-!)1(!212422n x x x en n x 逐项积分，得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-dx n x dx x dx x dx dx enn x 1021412101!1!212++⋅-+-⋅+-=121!1)1(51!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132912161421101311 上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项n R 的估计式知000015.07560017<≤R所以746836.093601132012161421101311102≈+-+-+-≈⎰-dx ex我们不妨再看一例，例3 计算积分dx x x⎰10sin 的近似值 分析 因为xxsin 不是初等函数，所以不能直接用牛顿——莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰勒公式求其近似值．解 由泰勒公式可得753!7)27sin(!5!3sin x x x x x x πθ⋅+++-= 所以642!7)27sin(!5!31sin x x x x x x πθ⋅-++-= 因此dx x x x x dx x x ⎰⎰⋅+++-=1064210)!7)27sin(!5!31(sin πθ107537!7)27sin(5!53!3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅++⋅+⋅-=x x x x x πθ 7!7)27sin(5!513!311⋅⋅++⋅+⋅-=πθx 由此得到9461.05!513!311sin 10≈⋅+⋅-≈⎰dx x x 3.2利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:（1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁．（2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式．（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的阶数．如果分母( 或分子) 是n 阶, 就将分子( 或分母) 展开为n 阶麦克劳林公式．若分子, 分母都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数．例4 求4202cos limx e x x x -→-分析 这是一个待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰勒公式计算就简单得多了．解 4202cos limx e x x x -→-44224420)()2(!21)2(1)(!4!21lim x x o x x x o x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→ 444)(121limxx o x x +-=→ 121-= 例5 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2xx x x x 的极限分析 当∞→x 时，此函数是∞-∞型未定式，虽然可以通过变换把它转换成型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将)11ln(x+展开，再求其极限．解 ))1(()1(211)11ln(22xo x x x +-=+ 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∞→))1(211(lim 222x o x xx x x 21=在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错． 究其原因主要有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而不知其所以然． 如做练习时有这样的题目:例6 xxx x 3sin lim0-→分析 由于0→x ，根据无穷小量替换得到，x x →sin ，则03lim 3sin lim 00=-=-→→xx x x x x x x从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性．下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量过程变化都趋向于零）．性质一：)(~ααββαo +=⇔首先来理解)(~ααββαo +=⇔，在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一，在学习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为α，β都是单独不相关的一项；其二，对于右边的式子中()αo 我们会觉得比较抽象难以理解．根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒公式来形象直观地理解．以正弦函数的泰勒公式为例:+-+-=753!71!51!31sin x x x x x 如果β取x sin -，那么α可以取x ，也可以取3!31x x -，甚至53!51!31x x x +-也行，相应的)(αo 分别为：,!71!51!31753 +-+-x x x ,!71!5175 +-x x +-7!71x ， 这样我们可以知道)(αo 并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂，比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看出它们分别是)(),(),(642x o x o x o ，那是)!51!31(),!31(),(5332x x x o x x o x o +--接着讨论)(~ααββαo +=⇐，本质上它是等价无穷小的又一个性质——和差取大原则：αβααβ-±⇒=)(o ，取,!71!51!31,753 +-+-==x x x x βα则),(αβo =x x x x x sin !71!51!31753=+-+-=+ βα，可理解成：正弦函数由α与β两部分组成，其中α是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用，β是函数的次要项或者剩余项，由()αβo =可知，β实质上是相对于主部项α的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的作用．具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项．性质二（和差代替规则）：若''~,~ββαα，并且βα,不等价，则''~βαβα--，并且'''limlim γβαγβα-=- 故对于例4，由于 +-=3!31sin x x x ，从而,61sin 3 +=-x x x 此时,61~sin 3+-x x x 所以0361lim 3sin lim 300==-→→x xxx x x x 对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰勒公式统一解决． 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、更一般，在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握．3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 3.3.1判断级数的敛散性在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数∑∞=1n na是否收敛，我们通常找一个较简单的级数∑∑∞=∞==111n pn n nb )0(>p ，再用比较判定法来判定．在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的∑∞=11n p n )0(>p 中的p 值，例如 （1）当2=p ，此时∑∞=121n n 收敛，但+∞=∞→21lim n a n n ． （2）当1=p ，此时∑∞=11n n发散，但01lim =∞→na n n ． 这里我们无法判定∑∞=1n n a 的敛散性，为了有效地选取∑∞=11n pn中的p 值，可以应用泰勒公式研究通项0→n a )(+∞→n 的阶，据此选择恰当的p 值使l n a pnn =+∞→1lim，并且保证+∞<<l 0，再由比较判定法（极限形式）就可以判定∑∞=1n na的敛散性．下面我们来举例说明：例7 判定级数∑+∞=--+111)2(n nnaa()0>a 的敛散性．解 因)1(ln 121ln 1222ln no a n a x e a xx x+++==， 故)1(ln 1!21ln 112221no a n a n a n+++=)1(ln 1!21ln 112221n o a n a n an++-=-因此)1(ln 1)2(22211no a n a a a nnn +=-+=- 从而有a n a n n 22ln 11lim=∞→，0→n a 是关于)1(n 的2阶．，即 ∑+∞=--+111)2(n nnaa 与∑+∞=121n n 同收敛 评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则．例8 讨论级数∑∞=+-1)1ln 1(n n n n的敛散性分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的，因而也就无法恰当地选择判敛方法．在上式中我们注意到，)11ln(1lnn n n +=+这个式子中，若将其泰勒展开为n1的幂的形式，开二次方后恰与n1相呼应，会使判敛更容易进行． 解 )11ln(1ln nn n +=+ +-+-=4324131211n n n nn1<∴n n n 11ln<+ ∴01ln 1>+-=n n nu n故该级数是正项级数． 又 )1(312111ln332no n n n n n ++-=+2322332211)211(4111nn n n n n n -=-=+->∴232321)211(11ln 1n nn n n n n u n =--<+-=∑∞=12321n n收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛． 例9判断级数∑∞=-1)1(n n n 的敛散性分析 对于级数∑∞=-1)1(n nn ，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛散性．因此我们可以考虑先把n n 进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别．解 由泰勒公式有)ln 1(ln 1122ln 1n no n n en n nn++==所以)ln 1(ln 1122n n o n n n n +=-，而∑∑∞=∞=≥111ln 1n n n n n 发散，又)(0ln 12322∞→→n n n n 所以n nn 212ln 1∑∞=收敛，故∑∞=-1)1(n n n 发散．3.3.2判断广义积分的敛散性在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的．但在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为（i ）无限区间上的积分； （ii ）无界函数的积分； 在判定广义积分dx x f a⎰+∞)(的敛散性时，通常选取广义积分)0(1>⎰+∞p dx xap 进行比较，在此通常研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选择dx x f a⎰+∞)(中的p 值，从而判定敛散性．（注意到：如果dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a⎰+∞)(收敛．）例10 判断广义积分dx x x xx ⎰-10sin sin 的敛散性 分析 我们可以知道dx xx xx ⎰-10sin sin 是属于无界函数广义积分，在)1,0(上运用定积分的知识很判断出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将x sin 展开，然后再进行计算．解 ()0sin sin <-=xx xx x f ，(]1,0∈x ，即被积函数在积分区间上不变号． )(61)(611)(!31)(!31sin sin 433224343x o x x o x x x o x x x x o x x x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-[])(16)(611)(61)(61132232x o x x o x x o x x o x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++-=)(6x o x+= 故有1)6sin sin (lim 0=-→xx x x x x ，又由于广义积分dx x ⎰106发散，因此用比式判别法知原广义积分收敛． 例11 研究广义积分dx x x x ⎰+∞--++4)233(的敛散性分析 我们可以初步判断dx x x x ⎰+∞--++4)233(属于无限区间上的积分，在区间),4(+∞不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛．那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进行讨论．解 我们已经学过()αx +1的泰勒展开式为),(!2)1(1)1(22x o x x x n+-++=+ααα则x x x x f 233)(--++=2)31()31(2121--++=xx x)2)1(1891231()1()1891231(2222-+⋅-⋅-++⋅-⋅+=x o x x x o x x x)1(1492323xo x +⋅-= 因此491)(lim23=+∞→xx f x ，即0)(→x f 是)(1+∞→x x的23阶，而⎰+∞4231dx x 收敛，故dx x f ⎰+∞4)(收敛，从而dx x x x ⎰+∞--++4)233(收敛．3.4利用泰勒公式证明等式与不等式关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法．如果函数)(x f 存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x 与0x ；4结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具．本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果．值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索．本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题．参考文献[1]胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，2009(24):73．[2]刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息[J],2011(09):521-522.[3]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，2003,31(09):24-25.[4]费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，2001,17(04):84-86.[5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,2010,10(02):16-21.[6]董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,2010,(31):243.[7]冯平、石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,2003,11(04):64-66.[8]陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),2007,19(02):155-156.[9]刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,2009(11):235.[10]/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf[11]/~robbin/221dir/taylor.pdf[12]/wiki/Taylor_series[13]/wiki/Taylor's_theore致谢四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始．时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入尾声．在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意．本文的顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅．我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多．我还要感谢我的母校杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快．最后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市的懵懂少年变成了一个成熟的青年．十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易．首先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活．书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺．生命不息，学习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！。
泰勒公式的应用超强总结
泰勒公式的应用超强总结泰勒公式（Taylor series）是一种用来近似表示函数的方法，它将一个光滑的函数表示为多项式的形式。
在实际应用中，泰勒公式有着广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
以下是泰勒公式的一些超强应用总结。
1.函数逼近：泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近成一个多项式，用来简化计算。
这在数值计算和科学建模中广泛应用。
比如，在物理学中，我们可以使用泰勒公式将一个非线性运动的函数逼近成一个线性函数，从而简化计算。
2.误差估计：通过泰勒公式，我们可以对近似函数的误差进行估计。
在实际计算中，我们通常使用有限项的泰勒公式近似计算，而丢弃高阶项将会引入误差。
通过估计误差，我们可以更好地控制近似结果的精度，从而提高计算效率。
3.求解无解析解的问题：有些函数在数学上没有解析解，即无法用一个简单的表达式表示。
泰勒公式可以帮助我们近似求解这些问题。
比如，在微积分中，我们可以使用泰勒公式近似求解一些复杂的微分方程，从而得到数值解。
4.数值积分：泰勒公式可用于数值积分的近似计算。
在实际计算中，我们通常使用数值积分方法来计算曲线下面积或求解积分方程。
泰勒公式可以将被积函数展开成无穷级数，再通过对级数进行近似计算来求解积分。
5.精确度改善：通过对泰勒公式进行适当的变换和近似，可以提高计算结果的精度。
在数值计算中，我们经常会遇到舍入误差和近似误差等问题，通过泰勒公式的应用可以对这些误差进行修正和改善，从而得到更精确的计算结果。
6.其他应用领域：泰勒公式还可以应用于信号处理、图像处理、优化问题等领域。
例如，在信号处理中，泰勒公式可以用来进行信号的近似重构和滤波。
在优化问题中，泰勒公式可以用来近似目标函数，并帮助我们求解最优化问题。
总之，泰勒公式在科学和工程中具有广泛的应用。
通过对函数的逼近和近似，我们可以简化计算、提高精度、解决无解析解的问题，以及在数值计算、积分、优化等领域中得到更好的结果。
因此，掌握泰勒公式的应用是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
泰勒公式(Taylor'stheorem)在高考中的应用之终极版
泰勒公式（Taylor'stheorem）在高考中的应用之终极版摘要（Abstract）：对历年以来高考数学导数题（主要是全国卷，因为笔者今年高考考全国卷）进行了研究，进行了导数题题设题背景的调查，发现大多导数题题设背景是由泰勒（Taylor）展开式（实则为麦克劳林（Maclaurin）展开式，由于笔者很喜欢霉霉，故称之为泰勒）进行变形、赋值、换元、放缩、累加、累乘等变换的方法衍生出来的。
关键词（Key words）:泰勒展开式放缩引言（Introduction）：高等数学中，e^{某} 的幂级数展开式是像霉霉一样特别优美。
具体表现为通过泰勒展开式能将一些较为复杂的函数e^{某} ,\ln(1+某)用较为简单的函数1+某,某-\frac{某^{2}}{2} （二阶展开式）表示之。
这颇有一番以直代曲的韵味。
上图为f(某)=e^{某} (yellow )和它在某=0处的线性逼近P_{1}=1+某（blue ），通俗来说就是f(某)=e^{某} 在某=0处的切线方程为P_{1}=1+某。
由上图可直观感知到一个重要的不等关系：e^{某}\geq 1+某 (某\in R)，可以毫不夸张的说，高考导数涉及到的以泰勒展开式为题设背景的题都是以这个重要不等式变换而来的。
例如：15年福建卷理20题14年全国卷新课标I理21题14年全国卷新课标III理22题13年全国卷新课标II理21题13年辽宁卷理21题12年辽宁卷理21题11年全国卷新课标II文导数题10年全国大纲卷22题07年辽宁卷理22题06年全国卷II22题可见，以泰勒展开式为背景命制的导数题的地位在高考压轴题中还是较高的。
当然，有关试题并一一例举完，读者可以把自己做过的有关试题的出题处在评论区向大家分享。
在未了解泰勒展开式之前，解决相关导数题时往往采用不等式和导数为工具，进行逻辑推理来解决问题。
正所谓：“会当凌绝顶，一览众山小”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么很难轻松地看透问题的本质。
浅谈泰勒公式的应用
浅谈泰勒公式的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，它可以将一个光滑函数在一些点的附近用无穷阶的多项式来近似表示。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、金融等多个领域。
以下将从几个方面来浅谈泰勒公式的应用。
一、函数近似表示泰勒公式可以将一个函数在一些点附近用多项式来近似表示。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
比如，在数值计算中，我们常常需要对函数进行逼近计算，而泰勒公式可以提供一个简单而准确的方法。
此外，在物理学中，泰勒公式也常用于描述物理量的变化规律，比如速度、加速度等。
二、数值计算在数值计算中，泰勒公式可以用于求解函数的近似值。
通过选择适当的展开点和多项式次数，可以得到满足精度要求的近似解。
泰勒公式的应用在数值积分、数值微分和数值方程求解等方面都有重要作用。
比如，在求根算法中，泰勒公式可以用于构造迭代格式，从而提高求解效率。
三、物理建模泰勒公式在物理建模中也有广泛的应用。
物理现象往往可以用函数来描述，而泰勒公式可以将函数在其中一点附近展开成多项式，从而方便对物理现象进行研究。
比如，在力学中，我们可以利用泰勒公式来研究物体的运动规律，推导出牛顿第二定律等重要定理。
此外，在电磁学中，泰勒公式也可以用于描述电场和磁场的变化规律。
四、金融工程泰勒公式在金融工程中也有一定的应用。
金融市场中的价格变动往往是连续的，而泰勒公式可以将价格变动用多项式来逼近。
这对于金融衍生品的定价和风险管理非常重要。
比如，在期权定价中，可以利用泰勒公式将期权价格展开成多项式，从而方便计算和分析。
此外，在风险管理中，泰勒公式也可以用于计算金融产品的敏感性，帮助投资者进行风险控制。
总之，泰勒公式是数学中的一个重要工具，它的应用涵盖了各个领域。
无论是数值计算、物理建模还是金融工程，泰勒公式都发挥着重要的作用。
通过泰勒公式，我们可以对函数进行近似表示，进行数值计算，描述物理现象和分析金融风险。
因此，熟练掌握泰勒公式的应用是非常重要的。
泰勒公式及其在在计算方法中的应用
泰勒公式及其在在计算方法中的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，通过使用多项式函数逼近给定函数，从而在计算方法中得到广泛应用。
泰勒公式由苏格兰数学家詹姆斯·泰勒提出，用于将一个函数在其中一点的局部信息表示为一个多项式级数。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn在这个公式中，f(x)是要逼近的函数，x是近似计算的点，a是计算的基准点，n表示多项式的阶数。
f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，f^n(a)表示n阶导数。
Rn是一个余项，表示多项式逼近的误差。
当n趋向于无穷大时，余项应趋近于零，此时泰勒公式收敛于原函数。
泰勒公式在计算方法中的应用非常广泛。
下面介绍几个常见的应用：1.函数逼近：泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，使得计算变得更加简单。
逼近后的多项式函数在计算机程序和数值计算中更容易处理。
例如，当我们需要计算一个数的正弦值时，可以使用泰勒公式将正弦函数逼近为一个多项式级数，从而可以通过计算一系列多项式项的和来得到较为精确的近似值。
2.数值积分：泰勒公式在数值积分中有重要的应用。
通过将被积函数在其中一点进行泰勒展开，并将展开式中的高阶导数消去，可以得到一些简化的数值积分公式。
这些公式允许我们通过计算少数几个函数值来近似计算复杂函数的积分值。
数值积分在物理学、工程学和统计学等领域中都有广泛应用。
3.常微分方程的数值解：泰勒公式可以用于数值解常微分方程。
通过将微分方程在一些点进行泰勒展开，并忽略高阶导数项，可以得到一阶或二阶的数值微分方程。
从而我们可以通过迭代的方式递进计算微分方程的解。
这种数值解法在科学计算和工程模拟中非常重要。
4.误差分析：泰勒公式的余项Rn可以用来分析逼近的误差。
通过估计余项的大小，可以知道逼近多项式与原函数之间的误差有多大。
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本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHuaAbstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications.Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.目录1引言 (1)2泰勒公式 (1)3泰勒公式在解题中的应用 (2)3.1利用泰勒公式求近似值 (2)3.2利用泰勒公式求极限 (4)3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 (7)3.3.1判断级数的敛散性 (7)3.3.2判断广义积分的敛散性 (9)3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 (10)4结论及展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异．定性的余项为佩亚诺余项))((0n x x o -，仅表示余项是nx x )(0-，即当)(0x x →时高阶的无穷小．定量的余项是拉格朗日型余项10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ（ξ也可以写成)(00x x x -+θ10<<θ），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．定理1(泰勒定理)：设)(x f 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个领域，对于领域中的任一点x ，成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= （1）其中余项)(x r n 满足)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ，ξ在x 与0x 之间． 上述公式（1）称为)(x f 在0x x =处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ（ξ在x 与0x 之间） 称为拉格朗日余项．若不需要余项的精确表达式时，余项)(x r n 也可也成))(()(0n n x x o x r -=．此时，上述公式（1）则称为)(x f 在0x x =处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．它的前1+n 项组成的多项式：''()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-称为)(x f 的在0x x =处的n 次泰勒多项式．当00=x 时，上式记为nn x n f x f x f x f f x f !)0(!3)0(!2)0()0()0()()(3'''2'''+++++= 该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数)(x f 的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对)(0x U x ∈∀均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同），因此这反映出函数)(x f 在邻域)(0x U 内的全局性．带佩亚诺余项的泰勒公式对函数()x f 的展开要求较低，它只要求()x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当0x x →时用右端的泰勒多项式)(x p n 代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0-的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态．3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．3.1利用泰勒公式求近似值由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差．利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''++++≈例1 求e 的近似值分析 因为e 介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e 的值．解 首先令()xe xf =，则x n e x f x f x f ====)()()('''把0=x 带入，得1)0()0()0()('====n f f f于是得到x e 的近似式!!212n x x x e nx++++≈上式中令1=x ，有!1!31!2111n e +++++≈ 由此可以求出e 的近似值．例2 求dx e x ⎰-12的近似值，精确到510-分析 因为dx ex ⎰-12中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求dx e x ⎰-12的近似值．解 在x e 的展开式中用2x -代替x 得+-+++-=-!)1(!212422n x x x en n x 逐项积分，得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-dx n x dx x dx x dx dx enn x 1021412101!1!212++⋅-+-⋅+-=121!1)1(51!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132912161421101311上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项n R 的估计式知000015.07560017<≤R所以746836.09360113201216142110131112≈+-+-+-≈⎰-dx e x 我们不妨再看一例，例3 计算积分dx x x⎰10sin 的近似值分析 因为xxsin 不是初等函数，所以不能直接用牛顿——莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰勒公式求其近似值．解 由泰勒公式可得753!7)27sin(!5!3sin x x x x x x πθ⋅+++-= 所以642!7)27sin(!5!31sin x x x x x x πθ⋅-++-= 因此dx x x x x dx x x ⎰⎰⋅+++-=1064210)!7)27sin(!5!31(sin πθ 107537!7)27sin(5!53!3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅++⋅+⋅-=x x x x x πθ 7!7)27sin(5!513!311⋅⋅++⋅+⋅-=πθx 由此得到9461.05!513!311sin 10≈⋅+⋅-≈⎰dx x x 3.2利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:（1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁．（2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式．（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的阶数．如果分母( 或分子) 是n 阶, 就将分子( 或分母) 展开为n 阶麦克劳林公式．若分子, 分母都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数．例4 求4202cos limxex x x -→- 分析 这是一个0待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰勒公式计算就简单得多了．解 4202cos limx e x x x -→-44224420)()2(!21)2(1)(!4!21lim x x o x x x o x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→ 444)(121limx x o x x +-=→121-= 例5 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2xx x x x 的极限分析 当∞→x 时，此函数是∞-∞型未定式，虽然可以通过变换把它转换成型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将)11ln(x+展开，再求其极限．解 ))1(()1(211)11ln(22xo x x x +-=+ 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∞→))1(211(lim 222x o x xx x x 21=在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错． 究其原因主要有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而不知其所以然． 如做练习时有这样的题目:例6 xxx x 3sin lim0-→分析 由于0→x ，根据无穷小量替换得到，x x →sin ，则03lim 3sin lim 00=-=-→→x x x xx x x x 从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性．下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量过程变化都趋向于零）．性质一：)(~ααββαo +=⇔首先来理解)(~ααββαo +=⇔，在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一，在学习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为α，β都是单独不相关的一项；其二，对于右边的式子中()αo 我们会觉得比较抽象难以理解．根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒公式来形象直观地理解．以正弦函数的泰勒公式为例:+-+-=753!71!51!31sin x x x x x 如果β取x sin -，那么α可以取x ，也可以取3!31x x -，甚至53!51!31x x x +-也行，相应的)(αo 分别为：,!71!51!31753 +-+-x x x ,!71!5175 +-x x +-7!71x ， 这样我们可以知道)(αo 并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂，比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看出它们分别是)(),(),(642x o x o x o ，那是)!51!31(),!31(),(5332x x x o x x o x o +--接着讨论)(~ααββαo +=⇐，本质上它是等价无穷小的又一个性质——和差取大原则：αβααβ-±⇒=)(o ，取,!71!51!31,753 +-+-==x x x x βα则),(αβo =x x x x x sin !71!51!31753=+-+-=+ βα，可理解成：正弦函数由α与β两部分组成，其中α是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用，β是函数的次要项或者剩余项，由()αβo =可知，β实质上是相对于主部项α的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的作用．具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项．性质二（和差代替规则）：若''~,~ββαα，并且βα,不等价，则''~βαβα--，并且'''limlim γβαγβα-=- 故对于例4，由于 +-=3!31sin x x x ，从而,61sin 3 +=-x x x 此时,61~sin 3+-x x x 所以0361lim 3sin lim 300==-→→x xxx x x x 对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰勒公式统一解决． 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、更一般，在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握．3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 3.3.1判断级数的敛散性在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数∑∞=1n na是否收敛，我们通常找一个较简单的级数∑∑∞=∞==111n p n n n b )0(>p ，再用比较判定法来判定．在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的∑∞=11n p n )0(>p 中的p 值，例如 （1）当2=p ，此时∑∞=121n n 收敛，但+∞=∞→21lim n a n n ． （2）当1=p ，此时∑∞=11n n发散，但01lim =∞→na n n ． 这里我们无法判定∑∞=1n n a 的敛散性，为了有效地选取∑∞=11n pn中的p 值，可以应用泰勒公式研究通项0→n a )(+∞→n 的阶，据此选择恰当的p 值使l n a pnn =+∞→1lim，并且保证+∞<<l 0，再由比较判定法（极限形式）就可以判定∑∞=1n na的敛散性．下面我们来举例说明：例7 判定级数∑+∞=--+111)2(n nnaa()0>a 的敛散性．解 因)1(ln 121ln 1222ln no a n a x e a xx x+++==， 故)1(ln 1!21ln 112221no a n a n a n+++= )1(ln 1!21ln 112221n o a n a n an++-=-因此)1(ln 1)2(22211n o a n a a a nnn +=-+=-从而有a n a n n 22ln 11lim=∞→，0→n a 是关于)1(n 的2阶．，即 ∑+∞=--+111)2(n nnaa与∑+∞=121n n同收敛 评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则．例8 讨论级数∑∞=+-1)1ln 1(n n n n的敛散性分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的，因而也就无法恰当地选择判敛方法．在上式中我们注意到，)11ln(1ln n n n +=+这个式子中，若将其泰勒展开为n1的幂的形式，开二次方后恰与n1相呼应，会使判敛更容易进行． 解 )11ln(1ln nn n +=+ +-+-=4324131211n n n nn1<∴n n n 11ln<+ ∴01ln 1>+-=n n nu n故该级数是正项级数． 又 )1(312111ln332no n n n n n ++-=+ 2322332211)211(4111nn n n n n n -=-=+->∴232321)211(11ln 1n nn n n n n u n =--<+-=∑∞=12321n n收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛．例9判断级数∑∞=-1)1(n n n 的敛散性分析 对于级数∑∞=-1)1(n nn ，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛散性．因此我们可以考虑先把n n 进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别．解 由泰勒公式有)ln 1(ln 1122ln 1n no n n en n nn++==所以)ln 1(ln 1122n n o n n n n +=-，而∑∑∞=∞=≥111ln 1n n n n n 发散，又)(0ln 12322∞→→n n n n所以n nn 212ln 1∑∞=收敛，故∑∞=-1)1(n n n 发散．3.3.2判断广义积分的敛散性在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的．但在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为（i ）无限区间上的积分； （ii ）无界函数的积分； 在判定广义积分dx x f a⎰+∞)(的敛散性时，通常选取广义积分)0(1>⎰+∞p dx x ap进行比较，在此通常研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选择dx x f a⎰+∞)(中的p 值，从而判定敛散性．（注意到：如果dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a⎰+∞)(收敛．）例10 判断广义积分dx x x xx ⎰-10sin sin 的敛散性 分析 我们可以知道dx xx xx ⎰-10sin sin 是属于无界函数广义积分，在)1,0(上运用定积分的知识很判断出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将x sin 展开，然后再进行计算．解 ()0sin sin <-=xx xx x f ，(]1,0∈x ，即被积函数在积分区间上不变号． )(61)(611)(!31)(!31sin sin 433224343x o x x o x x x o x x x x o x x x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-[])(16)(611)(61)(61132232x o x x o x x o x x o x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++-=)(6x o x+=故有1)6sin sin (lim 0=-→xx x x x x ，又由于广义积分dx x ⎰106发散，因此用比式判别法知原广义积分收敛． 例11 研究广义积分dx x x x ⎰+∞--++4)233(的敛散性分析 我们可以初步判断dx x x x ⎰+∞--++4)233(属于无限区间上的积分，在区间),4(+∞不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛．那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进行讨论．解 我们已经学过()αx +1的泰勒展开式为),(!2)1(1)1(22x o x x x n+-++=+ααα则x x x x f 233)(--++=2)31()31(2121--++=xx x)2)1(1891231()1()1891231(2222-+⋅-⋅-++⋅-⋅+=x o x x x o x x x)1(1492323xo x +⋅-= 因此491)(lim23=+∞→x x f x ，即0)(→x f 是)(1+∞→x x 的23阶，而⎰+∞4231dx x 收敛，故dx x f ⎰+∞4)(收敛，从而dx x x x ⎰+∞--++4)233(收敛．3.4利用泰勒公式证明等式与不等式关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法．如果函数)(x f 存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x 与0x ；4结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具．本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果．值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索．本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题．参考文献[1]胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，2009(24):73．[2]刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息[J],2011(09):521-522.[3]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，2003,31(09):24-25.[4]费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，2001,17(04):84-86.[5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,2010,10(02):16-21.[6]董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,2010,(31):243.[7]冯平、石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,2003,11(04):64-66.[8]陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),2007,19(02):155-156.[9]刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,2009(11):235.[10]/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf[11]/~robbin/221dir/taylor.pdf[12]/wiki/Taylor_series[13]/wiki/Taylor's_theore致谢四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始．时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入尾声．在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意．本文的顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅．我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多．我还要感谢我的母校杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快．最后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市的懵懂少年变成了一个成熟的青年．十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易．首先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活．书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺．生命不息，学习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！。