泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。

关键词：泰勒公式，最优化理论，应用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。

1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='=因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以)(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n根据柯西中值定理可得：nnn n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：)1(022*******))(1()()0))(1(()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n nn n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ 2ξ是在1ξ和0x 之间的一个数；连续使用柯西中值定理1+n 次后得到：)!1()()()()1()1(0+=-++n R x x x R n n n n ξ 这里ξ是介于x 和0x 之间的一个数。

由于n n a n x p !)()(=，n a n !是一个常数，故0)()1(=+x p n ，于是得到：)()()1()1(x f x R n n n ++=，综上可得，余项：10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ ξ介于x 和0x 之间此余项又称为拉格朗日余项。

到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为：)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=其中)(x R n 为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式： (1)佩亚诺（Peano ）余项 ))(()(0n n x x x R -=ο(2)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项q q n n n x x x n q f x R )()(!)()(01)1(--⋅=-++ξξ )10(+≤<n q ,ξ介于x 和0x 之间(3)拉格朗日(Lagrange)余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ ξ介于x 和0x 之间(4)柯西(Cauchy)余项)()(!)()(0)1(x x x n f x R n n n --=+ξξ ξ介于x 和0x 之间 (5)积分余项 !))(()(0)1(n dtt x t f x R xx n n n⎰-=+泰勒公式的特殊形式，当取00=x 的时候，此时泰勒公式为：)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R n x f x f x f f x f n n n +++''+'+=)(x R n 为相应的余项，该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开，也叫做麦克劳林公式； 麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等。

如：对x y sin =或x y cos =的麦克劳林展开进行求值计算；欧拉公式x i x e ix sin cos += 的证明与应用等等。

运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- 1.2 多元泰勒公式除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上面，有着很大的作用。

1.2.1 二元泰勒展开引人记号：0x x h -=，0y y t -=，则二元函数),(y x f 在),(00y x 处的泰勒展开为：m m R y x f yt x hy x f yt x h y x f y t x h y x f y x f +∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=),()(),()(),()(),(),(000020000⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅∂∂∂=∂∂+∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂+∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂+∂∂∑=--m k km k y x k m k m km m y x y x y x y x y x t h y x f C y x f y t x h t y f ht y x f h x f y x f y t x h t y f h x f y x f y t x h 0),(002),(22),(22),(22002),(),(00000000000000),()(),()(),()(m R 是二元泰勒公式的余项。

由于二元泰勒展开比较复杂，所以在一般的应用之中，只作二阶泰勒展开。

1.2.2 二元泰勒展开的余项与一元泰勒公式类似，二元泰勒公式的余项分别有： (1)佩亚诺（Peano ）余项 m m m y y x x R )()[(00-+-=ο (2)拉格朗日(Lagrange)余项 ),()()!1(11ηξf yk x h m R m m +∂∂+∂∂+=(ηξ,)是),(y x 和),(00y x 线段上的一点1.2.3 多元函数泰勒展开(1)多元函数一阶泰勒展开多元函数n R X X R X f ∈'∈*,,)(，则)(X f 在*X 的一阶泰勒展开为：)))((()(21)()()()(***2****X X X X X f X X X X X f X f X f --+∇-+-∇+=T T θ )10(<<θ或对于任意的0>λ及任意的n R p ∈，有： )()()()(***p p x f x f p x f λολλ+∇+=+T (2))(X f 在*X 的二阶泰勒展开式)())(()(21)()()()(2***2****X X X X X f X X X X X f X f X f -+-∇-+-∇+=T Tο或对于任意的0>λ及任意的n R p ∈，有)())(()(21)()()(2*2***p p x f p p x f x f p x f λολλλλ+∇+∇+=+T T多元泰勒公式主要应用在微分方程数值解和最优化上面。

二、泰勒公式在最优理论中的应用目标函数泰勒表达式的展开，往往将原目标函数在所讨论的点附近展开成泰勒多项式，用来解答原函数。

目标函数的方向导数和梯度，考察函数与自变量的关系，即函数相对于自变量的变化率，包括沿某一指定方向的变化率和最大变化率，所以就要用到方向导数和梯度。

无约束目标函数的极值条件，无约束优化问题一般归结为求目标函数的极大值极小值问题，一般先求出若干极值点，再通过比较来确定全局最优点。

目标函数凸集与凸函数、凹函数，由函数极值条件所确定极小点*x ，是指函数f(x)在点*x 附近的一切x 均满足不等式f(x) > f(*x )，由函数极值条件所确定的极小值只是反映函数在*x 附近的局部性质。

优化设计问题中目标函数的局部极小点并不一定就是全局极小点，只有在函数具备某种性质时，二者才能等同。

目标函数的约束极值优化问题，约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关。

在存在约束的条件下，为了要满足约束条件的限制，其最优点不一定是目标函数的自然极值点。

最优化设计的数值计算方法——迭代法及其收敛性，在机械优化设计的实际问题中，采用解析法求解很困难，在实际应用中，则广泛采用数值方法来直接求解。

数值方法中常用的是迭代法，这种方法具有简单的迭代格式，适用于计算机反复运算，通常得到的最优解是一个可满足精度要求的近似解。

2.1 泰勒公式在数值最优化理论证明中的应用定理2.1(无约束问题解的一阶必要条件) 设R R f n →:连续可微，*x 是无约束问题)(),(min n R x x f ∈的一个局部最优解，则*x 满足 0)(*=∇x f证明：任给n R p ∈，由局部最优解的定义和多元泰勒展开，对任意充分小的数0>t ，有)()()()()(****t p x f t x f tp x f x f ο+∇+=+≤T不等式的两端同时减去)(*x f 后除以t ，并令+→0t 可得n R p p x f ∈∀≥∇T ,0)(*.特别令)(*x f p -∇=得0)()()(**2*≥∇-∇=∇-T x f x f x f从而，0)(*=∇x f定理2.2(无约束问题解的二阶必要条件) 设R R f n →：二次连续可微，*x 是无约束问题)(),(min n R x x f ∈的一个局部最优解，则*x 满足0)(*=∇x f 且)(*2x f ∇半正定. 证明：由定理4.1，只需证明)(*2x f ∇半正定.任给n R p ∈，由最优解的定义和二阶泰勒展开，对任意充分小的数t ，有)()(21)()()(2*22***t p x f p t x f tp x f x f ο+∇+=+≤T由t 和p 的任意性得0)(*2≥∇T p x f p 即)(*2x f ∇半正定.定理 2.3(无约束问题解的二阶充分条件) R R f n →：二次连续可微.若*x 满足0)(*=∇x f 且)(*2x f ∇正定，则*x 是无约束问题)(),(min n R x x f ∈的一个严格局部最优解.证明：由于)(*2x f ∇正定，故存在常数0>δ，使得对所有的}|{)(**δδ<-∈=∈∆x y R y x U y n ，)(2y f ∇正定.由此，对任意)(*x U y δ∈，*x y ≠.由泰勒展开知，存在)1,0(∈θ使得)())](([)(21)()(****2**x f x y x y x f x y x f y f >--+∇-+=T θ即*x 是问题)(),(min n R x x f ∈的一个严格局部最优解.2.2 泰勒公式在数值最优化算法设计中的应用我们知道最优化算法中我们需要知道两个重要的条件，一个的算法迭代步长α，而另外一个就是算法的下降方向d ，利用泰勒公式展开，能帮助我们确定下降算法的方向。