泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要

文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。

关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式

1.1 一元泰勒公式

若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和：

1

0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1()

(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，

该余项)(x R n 为拉格朗日余项。

1.1.1 泰勒公式的推导过程

我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：

n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=

来近似表达函数)(x f ；

设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='=

因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以

)(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''=

n n a n x p !)(0)

(=，所以有!

)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+

-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明

我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n

所以有0)()()()(0)

(000===''='=x R x R x R x R n n n n n

根据柯西中值定理可得：

n

n

n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：

)

1(022*******))(1()()0))(1(()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n n

n n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ 2ξ是在1ξ和0x 之间的一个数；

连续使用柯西中值定理1+n 次后得到：

)!1()

()

()()

1()

1(0+=-++n R x x x R n n n n ξ 这里ξ是介于x 和0x 之间的一个数。 由于n n a n x p !)()(=，n a n !是一个常数，故0)()1(=+x p n ，于是得到：

)()()1()

1(x f x R n n n ++=，综上可得，余项：

10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ ξ介于x 和0x 之间

此余项又称为拉格朗日余项。

到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为：

)()(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=

其中)(x R n 为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式： (1)佩亚诺（Peano ）余项 ))(()(0n n x x x R -=ο

(2)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项

q q n n n x x x n q f x R )()(!)

()(01)1(--⋅=-++ξξ )10(+≤

(3)拉格朗日(Lagrange)余项

10)1()()!1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ ξ介于x 和0x 之间

(4)柯西(Cauchy)余项

)()(!

)

()(0)1(x x x n f x R n n n --=

+ξξ ξ介于x 和0x 之间 (5)积分余项 !

))(()(0

)1(n dt

t x t f x R x

x n n n

⎰-=

+

泰勒公式的特殊形式，当取00=x 的时候，此时泰勒公式为：

)(!

)0(!2)0()0()0()()

(2x R n x f x f x f f x f n n n +++''+'+=

)(x R n 为相应的余项，该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开，也叫做麦克劳林公式； 麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等。如：对

x y sin =或x y cos =的麦克劳林展开进行求值计算；欧拉公式x i x e ix sin cos += 的证明

与应用等等。

运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式：

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θ .

)()!

12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!

n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1

)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111

2n n x o x x x x

+++++=- 1.2 多元泰勒公式

除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上面，有着很大的作用。 1.2.1 二元泰勒展开

引人记号：0x x h -=，0y y t -=，则二元函数),(y x f 在),(00y x 处的泰勒展开为：

m m R y x f y

t x h

y x f y

t x h y x f y t x h y x f y x f +∂∂

+∂∂++∂∂

+∂∂+∂∂+∂∂+=),()(),()(),()(),(),(000020000