高斯公式及斯托克斯公式
§3高斯公式与斯托克斯公式
§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式都是数学中的重要公式，用于计算曲线、曲面和体积的积分。
本文将对高斯公式和斯托克斯公式进行详细介绍。
一、高斯公式高斯公式是数学中的一个定理，描述了矢量场在一个闭合曲面上的积分与矢量场的散度在整个包围该曲面的体积上的积分之间的关系。
设D为一个封闭的三维空间区域，其边界为S，函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在D上的矢量场，其中P，Q和R在D上具有偏导数。
高斯公式的数学表达为：∫∫SF·dS=∭D∇·FdV其中∫∫S表示对曲面S上的面积元素dS进行面积分，∇·F表示矢量场F的散度，∭D表示对区域D进行体积分，dV表示体积元素。
高斯公式提供了计算闭合曲面上矢量场的散度的方法，将曲面S上的面积分转化为闭合区间D内的体积分。
这个公式在电磁学和流体力学等领域中有广泛应用。
例如，在电磁学中，电通量是电场与闭合曲面之间的关系，可以利用高斯公式来计算。
斯托克斯公式是数学中的另一个定理，描述了矢量场环路积分与矢量场旋度在包含该环路的曲面上的面积分之间的关系。
设C为一个平面闭合曲线，其边界为曲线C，函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在包含C的曲面S上的矢量场，其中P，Q和R在S上具有偏导数。
斯托克斯公式的数学表达为：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS其中∮C表示对闭合曲线C进行环路积分，dr表示路径元素，∬S表示对曲面S上的面积元素dS进行面积分，∇×F表示矢量场F的旋度。
斯托克斯公式提供了计算闭合曲线上矢量场的旋度的方法，将闭合曲线上的环路积分转化为包含该曲线的曲面上的面积分。
这个公式在电磁学和流体力学等领域中也有广泛应用。
例如，在电磁学中，安培环路定律描述了磁场与闭合曲线之间的关系，可以利用斯托克斯公式来计算。
第六节高斯公式和斯托克斯公式
第六节高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的两个重要定理，是对向量场的积分定理，用于求解曲面和曲线上向量场的积分。
本文将介绍高斯公式和斯托克斯公式的定义、推导过程和应用。
一、高斯公式（Gauss's theorem）高斯公式又称为高斯散度定理，它是从向量微积分中的散度定理演变而来。
1.定义设Ω是空间中的一块有界闭区域，S是Ω的边界曲面，而n为S上的单位外法向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，高斯公式的数学表达式为：∬S(F·n)dS=∭ΩdivFdV其中，“S”表示对曲面S的积分，“∬”表示对曲面上的每个点都进行积分，“∭”表示对空间Ω中的每个点都进行积分，“div”表示F 的散度。
2.推导过程为了推导高斯公式，我们先考虑最简单的情况，即立方体的情况。
假设Ω是一个立方体，S是它的六个面，而n为各个面的单位外法向量。
我们将立方体按照坐标轴方向切割成一个个小的立方体，每个小立方体的体积为ΔV。
在每个小立方体上应用散度定理，可以得到：∬S(F·n)dS=Σi∆Si(F·ni)其中，Σi表示对立方体的所有小立方体求和，Si表示第i个小立方体的表面积，ni为第i个小立方体的单位外法向量。
我们知道，在Ω中每个小立方体的边长趋于零的极限过程中，散度div F趋于ΔV的比例的极限值就是div F在相应点处的函数值，即div FdV。
因此，当小立方体的数量趋于无穷大时，上式等于∭ΩdivFdV，从而得到了高斯公式的表达式。
3.应用高斯公式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。
例如，根据高斯公式，我们可以计算电荷的总电量和电场的密度分布等。
二、斯托克斯公式（Stokes's theorem）斯托克斯公式是从向量微积分中的环量定理演变而来。
1.定义设Ω是空间中的一块有界曲面，C是Ω的边界曲线，而n为曲面Ω上的单位法向量，t为曲线C上的单位切向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，斯托克斯公式的数学表达式为：∫C(F·t)ds=∬Ω(rotF·n)dS其中，“C”表示对曲线C的积分，“∫”表示对曲线上的每个点都进行积分，“∬”表示对曲面Ω的每个点都进行积分，“rot”表示F的旋度。
高斯公式和斯托克斯公式
高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式：解读电磁场与物质相互作用的数学工具引言：电磁场与物质之间的相互作用是自然界中一种重要的现象。
为了描述和理解这种相互作用，科学家们发展了一系列的数学工具和公式。
本文将介绍两个重要的公式：高斯公式和斯托克斯公式。
这两个公式在电磁场与物质相互作用的研究中起着至关重要的作用。
一、高斯公式高斯公式是描述电场与电荷之间相互作用的数学工具。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪初提出。
高斯公式的核心思想是电场线通过闭合曲面的总通量等于包围在曲面内的电荷量的比例。
具体而言，高斯公式可以用以下形式表示：∮E·dA=Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示曲面内的电荷量，ε₀是真空中的电介质常数。
高斯公式的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过计算闭合曲面上的电场通量来确定曲面内的电荷分布情况。
同时，高斯公式也能够帮助我们理解电场与电荷之间的相互作用规律，揭示自然界中电磁现象的本质。
二、斯托克斯公式斯托克斯公式是描述磁场与电流之间相互作用的数学工具。
它由英国物理学家乔治·斯托克斯于19世纪中期提出。
斯托克斯公式的核心思想是磁场线沿闭合曲线的环绕的总磁通等于通过曲线所围成的面积的比例。
具体而言，斯托克斯公式可以用以下形式表示：∮B·ds=μ₀I其中，∮B·ds表示磁场B沿闭合曲线的环绕磁通，I表示通过曲线所围成的电流，μ₀是真空中的磁导率。
斯托克斯公式在磁场与电流相互作用的研究中起着重要的作用。
例如，在计算磁场分布时，可以通过计算闭合曲线上的磁场环绕磁通来确定曲线内的电流分布情况。
同时，斯托克斯公式也能够帮助我们理解磁场与电流之间的相互作用规律，深化对电磁现象的认识。
结论：高斯公式和斯托克斯公式是描述电磁场与物质相互作用的重要数学工具。
高斯公式用于描述电场与电荷的相互作用，斯托克斯公式用于描述磁场与电流的相互作用。
高斯公式和斯托克斯公式
Pdx
Qdy
Rdz
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
R y
Q z
cos
高等数学
高斯公式和斯托克斯公式
格林公式建立起了平面区域上的二重积分与其区域边界上的曲线积分 之间的关系．由此可推想，空间区域上的三重积分与其区域边界上的曲面 积分之间是否也有类似的关系呢？更进一步，重积分能转化成定积分进行 计算，那么曲面积分与曲线积分是否也可以呢？本节讨论的高斯公式和斯 克托斯公式将给出以上问题的答案．
3
3
3
111
333
ydx zdy xdz
x
y
z
1 1 1
dS
3
3
3
dS
3 dS．
yzx
1.2 斯托克斯公式
例 4
计算曲线积分
ydx zdy
xdz
，其中
x2 y2 : x yz
z2 a2 0，
，若从 z
轴正向看
去， 取逆时针方向．
因为平面 x y z 0 过原点，球 x2 y2 z2 a2 的球心在原点，所以它们的交线 是圆心在原点、半径为 a 的圆周，于是 的面积为 a2 ．根据对面积的曲面积分性质 3，
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
．
其中 cos ，cos ，cos 是 在点 (x ，y ，z) 处法向量的方向余弦．
高等数学第22章第3节高斯公式与斯托克斯公式
由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件. 区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以 外的点而连续收缩于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区 域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中，而是复连通区域。
与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应 的定理。 定理22.5 设为空间单连通区域。若函数P，Q，R在上连续，且有 一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的： （i）对于内任一按段光滑的封闭曲线L有 （ii）对于内任一按段光滑的曲线L，曲线积分 与路线无关； （iii）是内某一函数u的全微分，即 （6） （iv） 在内处处成立。 这个定理的证明与定理21.12相仿，这里不重复了。 例3 验证曲线积分 与路线无关，并求被积表达式的原函数。 解 由于 所以曲线积分与路线无关。
（4） 和
（5） 将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。 如果曲面S不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干 小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成 立。 ▌ 公式（2）称为斯托克斯公式。 为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式： 例2 计算 其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图22 －8）。 解 应用斯托克斯公式推得
， （1） 其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。
证 下面只证 读者可类似地证明 这些结果相加便得到了高斯公式（1）。 先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面
①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。 及以垂直于的边界的柱面组成（图22－6），其中。于是按三重积分的 计算方法有 其中都取上侧。又由于在xy平面上投影区域的面积为零，所以 因此 对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy型 区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说 了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。 例1 计算 其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。 解 应用高斯公式，所求曲面积分等于
第六节 高斯公式和斯托克斯公式
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ∫∫∫ ( x + y + z )dv = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + Rcosγ )dS.
Σ
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. 曲面上的曲面积分之间的关系
P Q R 或 ∫∫∫ ( + + )dv x y z = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
∑
里 侧， 整 边 曲 的 侧 这 ∑是 的 个 界 面 外 ， cosα,cos β ,cosγ 是 上 ( x, y, z) 处的 向 ∑ 点 法 量 方 余 . 的 向 弦
1 xy
∫∫ R( x , y , z )dxdy = D R[ x , y , z2 ( x , y )]dxdy, ∫∫ Σ
Σ2
xy
∫∫ R( x , y, z )dxdy = 0. Σ
3
于是
∫∫ R( x , y , z )dxdy Σ
=
∫∫ { R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy , D
证明 设闭区域 在面 xoy 上的投影区域为 D xy .
三部分组成, Σ 由 Σ 1 ,Σ 2 和Σ 3 三部分组成,
z
Σ2 Σ3
Σ1
Σ1 : z = z1( x, y) Σ2 : z = z2 ( x, y) Σ3 x
o
Dxy
y
根据三重积分的计算法
z 2 ( x , y ) R R ∫∫∫ z dy = D { ∫z1 ( x , y ) z dz }dxdy ∫∫ xy
高斯公式与斯托克斯公式
另一种形式
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
§3 高斯公式与斯托克斯公式
一、高 斯 公 式
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
例3 验证曲线积分
L
( y z )dx ( z x)dy ( x y)dz
与路径无关，并求被积 函数的原函数 u.
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则.
1
n
y
0
D xy
1
x
1
例 2 计算曲线积分
( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
h
cos , cos , cos 是Σ 在( x , y , z ) 处
的法向量的方向余弦.
o
y
x
二、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线 , 是以
高斯公式和斯托克斯公式
S
V
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
首页 ×
2. 斯托克斯公式
L P d x Q d y Rd z
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
SP
Q
R
cos
x
SP
cos
y
Q
cos
z
dS
R
首页 ×
例 计算 x d S 其中 S 为球面在第一卦限部分
首页 ×
例3 验证曲线积分 ( y z) d x (z x) d y (x y)dz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)
(x,y,z) (0,0,0)
(y
z)d
x
(z
x) d
y
(x
y) d
z
解令 P yz, Qzx, Rxy
P 1 Q , y x
1
dxd y
z
z
首页 ×
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
S x2 y3
1
z
(0 0)d y d z (0 0)d z d x (0 3x2 y2 )d x d y
S
3x2 y2 d x d y 0
S
首页 ×
例 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
高斯公式与斯托克斯公式
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
©
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且
高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式与斯托克斯公式高斯公式，也称为高斯散度定理，描述了一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量等于该矢量场的散度在整个空间的体积分。
具体来说，设有一个封闭曲面S，边界为曲线C。
矢量场F在S上有定义，散度记为div F。
那么高斯公式可以表示为：∬S F·dS = ∭V (div F) dV其中，dS表示曲面S的微元面积，dV表示微元体积。
从物理角度来看，高斯公式可以理解为描述了一个物质在封闭曲面上的总出现量与物质在整个空间的总发生量之间的关系。
因此，高斯公式在流体力学、电磁学等领域有广泛应用。
斯托克斯公式，也称为斯托克斯定理，描述了一个矢量场沿着一个封闭曲线的环流等于该矢量场的旋度通过一个以该曲线为边界的曲面的通量。
具体来说，设有一个封闭曲线C，边界为曲线C。
矢量场F在该曲面上有定义，旋度记为curl F。
那么斯托克斯公式可以表示为：∮C F·dr = ∬S (curl F) · dS其中，dr表示曲线C上的微元长度，dS表示曲面S上的微元面积。
从物理角度来看，斯托克斯公式可以理解为描述了一个矢量场在封闭曲线上的总环流与该矢量场的旋度通过该曲面的总通量之间的关系。
因此，斯托克斯公式在电磁学、流体力学等领域有广泛应用。
除了上述基本形式外，高斯公式和斯托克斯公式还可以推广到更一般的情况。
例如，当考虑到曲面或曲线上存在电荷或电流时，需要对公式进行修正。
修正后的公式被称为高斯-奥伊拉定理和斯托克斯-安培定理，分别描述了电场和磁场的行为。
总之，高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的两个重要定理，描述了三维空间中曲面与曲线积分之间的关系。
它们在物理学、工程学等领域有广泛的应用，对于理解和分析矢量场的行为具有重要意义。
8-6 高斯公式与斯托克斯公式
r 记 F = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x, y , z ) ) r P Q R + + 散度, 为向量函数( 定义 为向量函数(场)F 的散度, x y z r 记做 divF ,则高斯公式可写成
证明 先证 先证: 设 为XY型区域 ,
R ∫∫∫ z d xd y d z = ∫∫ S Rd xd y
S = S1 U S2 U S3 , S1 : z = z1( x, y),
z
S2 S3 S1
S2 : z = z2 ( x, y), 则
x
Dxy y
R z2 ( x, y) R ∫∫∫ z d xd y d z= ∫∫Dxd xd y ∫z1(x, y) z d z y
Qd y = ∫∫ Qd x d y Qd y d z 同理可证 ∫ Γ ∑ x z R R ∫Γ Rd x = ∫∫∑ y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
情形2 曲面∑ 轴的直线交点多于一个, 情形 曲面∑ 与平行 z 轴的直线交点多于一个 则可 分成与z 轴只交于一点的几部分, 通过作辅助线面把 ∑ 分成与 轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 在每一部分上应用斯托克斯公式 然后相加 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 类曲面斯托克斯公式仍成立
∫∫
S+
P Q R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( )dV , + + x y z
高斯公式和斯托克斯公式
斯托克斯公式在流体力学中有广泛的应用，如流体动力学、 气象学、海洋学等领域。通过进一步研究斯托克斯公式的应 用，我们可以更好地理解流体的运动规律，为实际问题的解 决提供理论支持。
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斯托克斯公式
斯托克斯公式是流体力学中的一个基本定理，它描述了在一个封闭曲面内的流体质量流量与该曲面上 的速度场分布之间的关系。具体来说，如果一个封闭曲面内的速度场分布已知，那么可以通过斯托克 斯公式计算出该封闭曲面内的流体质量流量和角动量。
对高斯公式和斯托克斯公式的理解和感悟
理解
高斯公式和斯托克斯公式都是描述场分 布与封闭曲面之间的关系，它们都是微 积分和流体力学中的基本定理。通过这 两个公式，我们可以更好地理解场的概 念和性质，以及它们在解决实际问题中 的应用。
磁场问题
斯托克斯公式主要用于解决磁场问题 ，如磁感应线、磁通量等概念的计算 和解释。
04
高斯公式和斯托克斯公式的扩展
高斯公式的扩展形式
球面高斯公式
平面高斯公式
在三维空间中，对于任意封闭曲面S 包围的体积V，其内部点P的场强E与 电荷量Q的关系为E·dS=4πQ。
在三维空间中，对于任意闭合曲线L围 成的区域D，其内部点P的场强E与电 荷量q的关系为E·dS=2πq。
高斯公式的几何意义
总结词
高斯公式的几何意义在于，它揭示了三维空间中封闭曲面内的体积与该封闭曲面及其内部点与原点之间的距离之 间的关系。
详细描述
通过高斯公式，我们可以理解一个封闭曲面内的体积如何受到该封闭曲面形状和大小以及内部点与原点距离的影 响。具体来说，当封闭曲面面积一定时，内部点与原点的距离越远，则封闭曲面内的体积越大；反之，当内部点 与原点的距离一定时，封闭曲面的面积越大，则封闭曲面内的体积也越大。
高斯公式与斯托克斯公式
9 . 注：对称性+截面法更简单，自己练习！ 2
例 2 计算曲面积分
课 本 其中Σ 为上半球面 z a x y , 取上侧. 例 添加曲面（取下侧）使之封闭，在闭区域上 3 ， 使用高斯公式。对新添加之曲面（实为平面）， 07 用“一投、二代、三定号”的基本方法计算其 期 曲面积分. 末 题 2
------------------高斯公式
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ( )d v x y z (PcosQcos Rcos )d S.
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时应注意:
第六节 高斯公式和斯托克斯公式
一、高斯（Gauss）公式 二、高斯公式的物理意义 通量与散度 三、斯托克斯（Stokes）公式 四、斯托克斯公式的物理意义 环流与旋度 五、作业
一、高 斯 公 式
定理 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 P ( x , y , z ) 、Q( x , y , z )、 R( x , y , z ) 在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
2
例1 计算曲面积分 ( x y )dxdy ( y z ) xdydz
P Q R y z , 0 , 0 , x y z
原式 (y z ) dxdydz ( r sin z ) rdrd dz
(利用柱面坐标得)
{[, R x y , zx (, y ) ] R [, x y , zx (, y ) ] } d x d y . 2 1 D x y ( 取 下 侧 , 取 上 侧 , 取 外 侧 ) 1 2 3 根据曲面积分的计算法 R (, x y ,) zx d d y R [, x y , zx (, y ) ] d x d y ,
高斯公式与斯托克斯公式
正向边界曲线
斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度
便于记忆形式
dydz dzdx
x
y
PQ
另一种形式
dxdy
z Pdx Qdy Rdz
R
cos cos cos
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
PQR
其中n (cos,cos ,cos )
斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成, 函数P( x, y, z)、Q( x, y, z)、R( x, y, z)在上
具有 一阶连续偏导数, 则有公式 高斯公式
Ω
(P x
Q y
R)dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或 (P cos Q cos Rcos )dS 这里是的整个边界曲面的外侧,cos ,cos ,
cos是上点( x, y, z)处的法向量的方向余弦 .
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计算I x3dydz y3dzdx z3dxdy,
解PdPy为dz球x3Q面, dQxzd因2xΣyy是3R,2 d闭Rxz曲d2yz面3 R,可2的(外Px 侧 .Qy
R z
)dv
P 利3x用2 ,高Q斯公3式y2计, 算R. 3z2
1. 通量
设有一向量场
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:
A dS dS dydz i dzdx j dxdy k
为向量场
A(
x,
y, z)穿过曲面Σ这一侧的
通量.
通量的计算公式
高斯公式斯托克斯公式
二、 斯托克斯公式
定理8
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有
向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成 (见图10-14)，其中Σ1取下侧，Σ2取上 侧，Σ3取外侧，z1x,y≤z2x,y.于是按三
图 10-14
一、 高斯公式
一、 高斯公式
一、 高斯公式
注
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成 立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足 条件的小闭区域来讨论.
或用定积分表示为(按图10-15取积分路径) M0x0,y0,z0为G内某一定点，点Mx,y,z∈G.
三、 空间曲线积分与路径无关的条件
图 10-15
谢谢聆听
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
(10-16)
二、 斯托克斯公式
(10-17)
二、 斯托克斯公式
如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式
(10-15)两端同时改变符号，因此式(10-15)仍成立.Fra bibliotek同样可证
(10-18)
(10-19)
将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(1014).
面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有
(10-14)
式(10-14)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cosγk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法 向量.
二十二章 第三节 高斯公式与斯托克斯公式
Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ A n 0 dS
Σ Σ
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
向正侧穿过曲面Σ 通量. 称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
散度的定义: (2). 散度的定义:
2π
1
3
9π . 2
使用Guass公式时应注意: 使用Guass公式时应注意: Guass公式时应注意
是对什么变量求偏导数; 1. P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件
3.Σ是取闭曲面的外侧. 3.Σ是取闭曲面的外侧.
Σ1 Σ1
=
h2dxdy = πh4 . ∫∫
D xy
故所求积分为
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ
1 4 = πh πh4 = 1 πh4 . 2 2
物理意义: 3. 物理意义: (1). 通量的定义: (1). 通量的定义:
设有向量场
A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
三部分组成, Σ 由 Σ 1 , Σ 2 和 Σ 3 三部分组成,
z
Σ2 Σ3
Σ1
Σ1 : z = z1( x, y) Σ2 : z = z2 ( x, y) Σ3 x
o
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R ∫∫∫ z dv =
高斯公式与斯托克斯公式
其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧.
解 应用高斯公式,
I
V
x
y(
x
z)
y
(
x2
)
z
(
y2
xz)
dxdydz
a
a
a
( y x)dxdydz=0 dz0 dy0 (y+x)dx
V
a
a 0
ay
1 2
其中 r x2 y2 z2 . 易验证(参见图22-8)
P Q R 0. x y z
所以穿过 S1 的电通量为 q
xdydz ydzdx zdxdy
a3 S1
z
S
q O S 1
y
x
3
q a3
dxdydz
V
4πq,
图 22 8
其中 S1 取外侧, V 是 S1包围的半径为 a 的球体.
a
2
dy
a4
.
注 若在高斯公式中 P x,Q y, R z, 则有
xdydz ydzdx zdxdy (1 1 1)dxdydz.
S
V
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体
积的公式:
V
1 3
S1
xdydz
ydzdx zdxdy .
§3 高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系.
高斯公式与斯托克斯公式88681
( y2 x)dxdy 4π.
D
因此
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy 4π.
S
例3 证明电学中的高斯定理: 在由点电荷
q 所产生的
静电场中, 电场强度
ur E 向外穿过任何包含
q 在其内
部的光滑封闭曲面
S 的电通量都等于
证 以 q 为球心作一半径充分小的球面
S2 : z z2( x, y), ( x, y) D( xy) ,
及垂直于
D 的柱面 ( xy )
S3
组成(图22-7), 其中
z1( x, y) z2( x, y) .
于是按三重积分的计算方
法,有
z S2
S3
S1
O
y
x
D( xy)
图 22 7
R dxdydz dxdy z2(x,y) R dz
y2
xz)
dxdydz
a
a
a
( y x)dxdydz=0 dz0 dy0 (y+x)dx
V
a
a 0
ay
1 2
a
2dya源自4.注 若在高斯公式中
P x,Q y, R z, 则有
Ò xdydz ydzdx zdxdy (1 1 1)dxdydz.
S
V
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体
落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在
4πq. S1 ,使 S1 全部
q 处.
由电学知识,在点
M ( x, y, z) 处的电场强度为
ur q E r 3 ( x i y j z k),
qx
qy
qz
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Green 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
2 1 3
Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y
Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
0
2
o
x
1y
d 0
1
Dxy
rdr
2 0
cos d
2
4
三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2 1 3
(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
根据高斯公式, 流量也可表为
③
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
Dx y
h d xd y
z
2
1 4 h 2
1 h h
o x
y
2 2 例3. 设 为曲面 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标