高斯公式及斯托克斯公式
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第六节 高斯公式 通量与散度
Green 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
2 1 3
Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y
Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
0
2
o
x
1y
d 0
1
Dxy
rdr
2 0
cos d
2
4
三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2 1 3
(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
根据高斯公式, 流量也可表为
③
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
Dx y
h d xd y
z
2
1 4 h 2
1 h h
o x
y
2 2 例3. 设 为曲面 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标
Green 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
2 1 3
Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y
Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
0
2
o
x
1y
d 0
1
Dxy
rdr
2 0
cos d
2
4
三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2 1 3
(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
根据高斯公式, 流量也可表为
③
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
Dx y
h d xd y
z
2
1 4 h 2
1 h h
o x
y
2 2 例3. 设 为曲面 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标