斯托克斯定理
10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
第十章第节斯托克斯公式资料讲解
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
斯托克斯公式
P P 即 dzdx dxdy c P[ x , y , f ( x , y )]dx y z
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , y z 空间有向曲线
同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
斯托克斯公式
斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
根椐格林公式
Dxy
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
斯托克斯定理证明
斯托克斯定理证明
斯托克斯定理是一个非常基础且重要的数学定理，它描述了向量
场的环量与曲面积分之间的关系。
经过几百年的研究，许多大师们总
结出了斯托克斯定理的详细证明过程。
斯托克斯定理的证明涉及到大量的向量和微积分知识，具体步骤
如下：
首先，要证明斯托克斯定理，需要建立一个三维空间内的空间曲
线积分公式。
这个公式表明，如果一个向量场在某一段曲线上的积分
被求出，那么这个向量场在曲线所包围的曲面上的面积也能够被计算
出来。
其次，需要对这个空间曲线积分公式进行求导得到对应的曲面积
分公式。
在这一步骤中，需要使用到向量分析中的散度和旋度的概念。
最后，可以将曲面积分公式简化为斯托克斯定理的形式。
斯托克
斯定理表示，如果一个向量场在曲面的边界上的曲线积分被求出，那
么这个向量场在该曲面上的环量也能够被计算出来。
总之，斯托克斯定理证明非常复杂，需要理解和掌握大量的向量
和微积分知识。
但是，斯托克斯定理对于理解向量场的物理现象和建
立数学模型都具有十分重要的作用。
10.7 斯托克斯(Stokes)公式与旋度
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )
(2 z 2 x y ) x
y
( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式
F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y
R
Q z
)i (
P z
R x
)j(
) k ] n dS
0
( y
R
Q z
) dydz (
P z
R x
) dzdx (
P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式
n
1
i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x
{ 2 , 2 , 1} {
1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS
3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，
0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程斯托克斯定理的数学表述如下：对于一个有限的、连续可微的曲面S，其边界曲线为C，向量场F在S上连续可微，那么有:∮CF·dr = ∬S(curlF)·dS其中，CF·dr表示环绕曲线C上的环流积分，∬S(curlF)·dS表示曲面S上curl F的通量积分。
下面我们来推导斯托克斯公式的数学过程：1.首先，我们将曲面S划分为一系列曲面微元dS，每个微元由两个方向上的微小面元的叉积得到，可以表示为dS=n·dS0，其中n是曲面单位法向量。
2.我们考虑微小线段δl，它位于曲面微元dS的边界上并与之垂直。
令δl的长度为δs，方向与曲面微元dS的法向量n一致。
3.在δl上选择一个局部坐标系(x,y,z)，使得x轴与δl的方向一致。
在该坐标系下，曲线C可以表示为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t是δl上的参数。
4. 现在我们来计算在δl上的环流积分CF·dr。
由于δl位于曲面微元dS的边界上，所以dS的边界C也可以表示为δl的路径。
因此，环流积分可以表示为CF·dr=Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz，其中Fx，Fy，Fz是向量F在局部坐标系(x,y,z)下的分量。
5. 将Fx，Fy，Fz表示为关于t的函数，并将dx，dy，dz表示为关于t的导数dt，可以得到CF·dr的表达式为CF·dr=(Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz)=(Fx·dx/dt+Fy·dy/dt+Fz·dz/dt)·d t。
6. 由于dx，dy，dz与dt成正比，可以通过求导得到dx，dy，dz与dt之间的关系。
即dx=d(x(t))/dt·dt，dy=d(y(t))/dt·dt，dz=d(z(t))/dt·dt。
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式是矢量微积分中的重要定理，用于计算曲线和曲面之间的场量的积分关系。
该公式是由英国数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的。
斯托克斯公式描述了曲面上的环量与该曲面边界上的场量的积分之间的关系。
换句话说，该公式将曲面上的积分转化为曲线上的积分。
这个定理对于解决许多与电磁学、流体力学和量子力学等领域有关的问题非常有用。
斯托克斯公式的数学表达式如下：
∮_C F⋅dr = ∬_S (curl F)⋅dS
在这个公式中，C代表曲线的边界，F代表一个矢量场，r代表曲线上的位置向量。
S代表曲线所包围的曲面，curl F代表F的旋度，dS代表曲面上的面积元素。
斯托克斯公式的证明基于格林定理和高斯定理，利用了矢量微积分中的基本概念和运算规则。
它建立了曲线和曲面之间的密切联系，为研究各种物理现象提供了强大的工具。
该公式的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，斯托克斯公式可以用来计算电场和磁场的环量，从而推导出安培定律和法拉第电磁感应定律。
在流体力学中，斯托克斯公式可以用来分析流体的旋转和涡量分布。
而在量子力学中，斯托克斯公式被用于描述波函数的环绕性质和自旋。
总之，斯托克斯公式是一条非常重要的定理，它揭示了曲线和曲面之间的积分关系。
通过运用斯托克斯公式，我们可以更好地理解和分析各种物理现象，并在科学研究和工程应用中提供准确的计算方法。
斯托克斯定理
4. 无散场和无旋场
散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的 矢量场称为无旋场。
两个重要公式：
( A) 0
( ) 0
左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说， 任何旋度场一定是无散场。
右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因
3. 矢量场的环量与旋度 环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲
线的环量，以 表示，即
l A dl
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方
向保持一致，则环量 > 0；若处处相反，则 < 0 。可见，环量
可以用来描述矢量场的旋涡特性。
面 S 的通量，以标量 表示，即
S A dS
通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合 面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。
斯托克斯定理
S (rotA) dS l Adl
或者写为
S ( A) dS l A dl
同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积 分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果 已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反 之亦然。
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是矢量分析中经典的定理之一，它将曲面积分与闭合曲线积分联系起来，是高等数学中微分形式和外微分运算的重要应用之一。
斯托克斯定理在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。
斯托克斯定理由苏格兰数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）于1854年提出，它建立了一个曲面与其边界线的关系。
斯托克斯定理的数学表述如下：设曲面S是一个光滑的有界曲面，其边界线为闭合曲线C，若F为一个光滑的向量场，则有以下等式成立：∬SrotF·dS = ∮C F·dr其中，rotF表示F的旋度，dS表示曲面S上小面元的面积，dr 表示C上小线段的长度元。
此式表明了曲面S上向量场F的旋度与该向量场沿曲线C的环路积分之间的关系。
斯托克斯定理的几何意义可以理解为：向量场在某个有边界的曲面上的旋度，与该向量场沿边界曲线的环路积分之间有一种平衡关系。
这种平衡关系可以用数学符号来表示，而斯托克斯定理就是这种关系的数学表达。
斯托克斯定理的应用非常广泛，可以用来求解许多具体问题。
例如，在电磁学中，斯托克斯定理可以将电流通过闭合曲面的总数转换为磁场穿过该曲面的通量，从而简化了计算的过程。
在流体力学中，斯托克斯定理可以用来研究旋转流体的流动速度和压强分布等问题。
在天体物理学中，斯托克斯定理可以用来分析星系的演化过程和宇宙的结构等。
斯托克斯定理的证明可以通过对曲面S进行分割，将其分割成无数个小面元，然后分别对每个小面元进行积分，最后将这些小面元的贡献相加即可。
证明过程相对复杂，需要运用到高等数学中的很多概念和技巧。
证明过程中，可以使用换元法、极限法、矢量代数等多种方法来推导。
斯托克斯定理在矢量分析和微分形式的研究中起着关键的作用，它不仅能够将曲面积分和闭合曲线积分联系起来，还可以将二维问题推广到三维空间中。
通过斯托克斯定理，我们可以更加深入地理解矢量场的性质和特点，并且可以将矢量场的问题转化为边界上积分问题，使得计算更加简洁、方便。
高斯散度定理和斯托克斯定理的推导
高斯散度定理和斯托克斯定理的推导高斯散度定理和斯托克斯定理是数学中重要的定理，它们在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛应用。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式，对这两个定理进行全面评估，并着重讨论它们的推导过程和理解。
一、高斯散度定理高斯散度定理，也称为高斯-奥斯特罗格拉德斯基定理，是微积分中的基本定理之一。
它建立了一个连续可微向量场的通量和流域边界上的散度之间的关系。
1. 基础概念在开始推导高斯散度定理之前，我们需要了解一些基础概念。
向量场是指在给定空间范围内的每个点上都有一个向量与之相关。
散度是向量场的一个重要属性，表示向量场在给定点上的流出量和流入量之差。
2. 推导过程现在，让我们来推导高斯散度定理。
假设我们有一个连续可微的向量场F，它在一个封闭的流域V内。
我们希望计算F在整个流域上的通量。
我们首先将流域V划分成无数微小的体积单元，然后计算每个体积单元V_i上的通量。
根据欧拉定理，我们可以将向量场的通量表示为该体积单元的散度乘以体积：φ_i = ∮_S F · dS ≈ div(F) · ΔV_i其中，∮_S表示对流域V_i表面S_i上的面积分，F 是向量场，dS 是流域表面上的微小面积元素，ΔV_i是该体积单元的体积。
我们将所有体积单元的通量累加起来，得到整个流域上的通量：φ ≈ ∑ φ_i = ∑ (div(F) · ΔV_i)当体积单元的数量趋向于无穷大时，上式变为积分形式：φ = ∫ ∫ ∫ (div(F)) dV这就是高斯散度定理的数学表达式。
3. 物理解释我们可以从物理角度解释高斯散度定理。
它告诉我们，一个封闭表面的通量与该表面内部的散度之间存在一种对应关系。
表面上的流出量等于内部流入量与散度之差。
这个定理对于理解质量、能量、电荷等在物理世界中的流动提供了基础。
二、斯托克斯定理斯托克斯定理是微积分中与高斯散度定理相对应的另一个重要定理。
它建立了曲线上的环绕和曲面内的旋度之间的关系。
斯托克斯公式
为了方便记忆，斯托克斯公式可写为：
Γ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂y
dydz dzdx dxdy
= ∫∫ ∂ Σ ∂x
∂ ∂y Q
∂ ∂z R
∵ Σ 取上侧 ∴ cos γ > 0
∴ n
0=
1 − − − （ − 1， 1， 1） 3
1 1 1 = ( , ) , 3 3 3
= (cos α , cos β , cos γ )
1 1 1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = 3 3 3
∴ 由斯托克斯公式，得
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
Γ Γ
(1) (2) (3)
∂R ∂R ∫ Rdz = ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx Σ
先证: (1)式成立。
1、简单情形 设 Σ 与平行于 z 轴的直线至多交于一点。
z
n Σ
Γ
Σ : z = z( x , y )
( i ) Σ 取上侧
±（ z x ，z y ， 1） −
y
1 + zx + z y
Γ
1
y
x
D xy
例2 利用斯托克斯公式计算
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
3 其中 Γ 为平面 x + y + z = 2 截立方体：
斯托克斯(stokes)公式
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
R y
Q z
dydz
P z
(的法向量
n
(1,1,1). cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余 弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
3
dxdy
3
1 2
3 2
.
Dxy
y
1
x y1
Dxy
O
1x
法二 按斯托克斯公式,有
1 3
(1
y
1
1)
dS
1
x y1
Dxy
O
1x
第七节 斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为 边界的分片光滑的有向闭曲面, 的正向与
的侧符合右手规则，函数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内 具有一阶连续偏导数, 则有公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理是电磁学中重要的定理之一，它将曲面积分与曲线积分联系起来，为我们研究电场和磁场的分布提供了有力的工具。
本文将对斯托克斯定理进行详细的介绍和解析。
斯托克斯定理是由英国数学家乔治·斯托克斯在19世纪中叶提出的。
它揭示了闭曲面上的曲面积分与曲线积分之间的关系。
斯托克斯定理的数学表达式如下：对于任意可微曲面S，其边界为闭曲线C，如果一个矢量场F在曲面S上连续可微，并且在曲面S内部有一个有界的连通区域D，那么斯托克斯定理可以表述为：∮C F·ds = ∬S ∇×F·dS其中，C表示曲线的方向，ds表示曲线的微元长度矢量，S表示曲面的方向，dS表示曲面的微元面积矢量，∇×F表示矢量场F的旋度。
这个定理告诉我们，在满足一定条件下，闭曲面上的曲线积分可以通过曲面上的曲面积分来求得。
斯托克斯定理的证明过程相对复杂，涉及到高等数学和向量分析的知识。
下面简单介绍一下斯托克斯定理的应用。
1. 计算闭合回路上的电荷量斯托克斯定理可以用于计算闭合回路上的电荷量。
我们可以将闭合回路看作一个闭曲线C，而电场强度矢量可以看作是矢量场F。
根据斯托克斯定理，我们可以通过计算曲面积分来求得闭曲线上的电荷量。
2. 分析闭合回路中的磁场分布斯托克斯定理还可以用于分析闭合回路中的磁场分布。
我们可以将闭合回路看作一个闭曲线C，而磁场强度矢量可以看作是矢量场F。
通过计算曲面积分，我们可以了解闭曲线上的磁场分布情况。
3. 研究电场或磁场的感应现象斯托克斯定理对于研究电场或磁场的感应现象也具有一定的意义。
当电场或磁场发生变化时，可以根据斯托克斯定理计算感应电场或感应磁场的强度和分布情况。
斯托克斯定理是电磁学中的重要定理，它为我们研究电场和磁场的分布提供了有力的工具。
通过斯托克斯定理，我们可以计算闭曲线上的电荷量，分析闭合回路中的磁场分布，研究电场或磁场的感应现象等。
通过深入理解斯托克斯定理，并正确应用于相关问题的分析和解决中，我们可以更好地理解电磁学的基本原理和现象。
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式的使用条件斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
斯托克斯公式，指的是根据斯托克斯理论建立的计算大地水准面上及其外部空间扰动位的公式。
公式简介斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
公式内容设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面Σ（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。
在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。
流形上的斯托克斯公式令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C1 类紧支撑微分形式。
如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则这里 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的结构定义。
这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。
该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。
定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。
斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。
这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。
初中数学高斯定理
初中数学高斯定理高斯定理，也称为高斯-斯托克斯定理，是微积分学中的一个定理。
它是利用曲面积分和向量分析的基本概念提出的，经常用于解决电场、磁场、流体力学等领域的问题。
高斯定理可以将曲面积分转化为体积积分，从而简化计算。
高斯定理的表述高斯定理可以表示为以下几种形式：1.对于封闭曲面S和任意向量场F，高斯定理为：∯s (F·n)dS = ∬∬∬V (divF)dV其中，n是曲面S上的单位法向量，dS是微元面积，divF是向量场F的发散。
2.对于无限大的截面为S的长直导体内部的电场E和电荷密度ρ，高斯定理为：∮E·ds = Q/ε0其中，Q是截面S内的总电荷量，ε0是真空介电常数，s是导体截面上的微元弧长。
∫∫∫V (divE)dV = ∫∫∫V (ρ/ε0)dV其中，ε0表示真空电容率。
高斯定理在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个例子来说明。
1.求解电场强度高斯定理在电场强度的求解中有着重要应用。
当电荷分布对称时，高斯定理可以将曲面上的积分转换为体积内的积分，从而大大简化了计算。
例：求电荷均匀分布球壳内外的电势、场强。
先选择一个脱离球心面的球形高斯面，并经过导体上下表面的设想，表明导体表面电势相等，且在面外区域电场强度场为0，在内壳面区域电场强度场相等，则有：其中Q_e是高斯面内电荷量。
因为在球心处电场强度为0，则高斯面以外的积分为0，则：解得E={K_eQ_e}/r^2其中K_e=1/4πε0为电强度常数。
2.求解电通量利用高斯定理，我们可以计算负荷对于导体表面（不包括孔和缝）和导体中的电通量。
例：计算均匀电荷分布球体的电通量。
设有一个半径为r1的均匀带电球体，在离球心r处(小于r1)取一小球，其面积为S，则由于电场分布对称，则小球上各相等的面元二相互平行，则关于小球表面总的电力矢量可看成是在小球中心通的电通量矢量。
由Gauss定理，通量与小球的尺寸无关，有：Φ_e = E.S = Q/(4πε0r^2)×4πr^2 = Q/ε0其中Φ_e是电通量，E是电场强度，Q是球体内的总电荷量。
散度定理和斯托克斯定理
散度定理和斯托克斯定理
散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理，它们分别描述了矢量场的散度和旋度在封闭曲面和曲线上的积分与场在这些曲面和曲线的边界上的积分之间的关系。
散度定理也被称为高斯定理，它表明一个封闭曲面内的矢量场的散度积分等于这个曲面的边界上的通量积分。
斯托克斯定理则是描述了一个曲线上的矢量场的旋度积分等于这个曲线所围成的曲面的通量积分。
这两个定理在物理学中有广泛的应用，例如在电磁场中的计算中就用到了斯托克斯定理。
- 1 -。
斯托克斯偏振定理
斯托克斯偏振定理斯托克斯偏振定理是电磁学领域中的重要公式，它描述了行进方向为任意方向的线偏振光，被一个线性色散、不吸收光的介质作用后，所形成的偏振光的偏振状态。
斯托克斯偏振定理被广泛应用在光谱学、物理测量、医学诊断和光学通信等领域。
斯托克斯偏振定理是1800年代发现的，当时科学家们研究了光的物理性质，发现当一束光在介质中传播时，其电场矢量可能沿着介质的某个方向振动，这称为线偏振光。
下面我们将详细介绍斯托克斯偏振定理。
斯托克斯偏振定理研究的是光波的极化，光波的极化状态是与电场振动方向和传播方向的关系密切相关的。
斯托克斯偏振定理描述的是一个具有一定的偏振的光束可以在穿过材料后被转换成具有不同偏振的光束。
用斯托克斯偏振定理可以计算出这种转换的过程中，偏振向量和波矢向量之间的关系。
斯托克斯偏振定理可以描述在介质中，经过线性色散的光线发生的偏振效应。
生活中，家庭中的电视机在接收到电视信号后，通过液晶面板将线性偏振光分解成两个正交的偏振分量，然后改变两个偏振分量的相位差，以实现屏幕上色彩和亮度的改变。
斯托克斯偏振定理由斯托克斯于1851年提出，它在光学领域里具有重要的作用。
斯托克斯偏振定理被简单地表述为：当一束光通过偏振片时，如果在偏振片的两个方向上有两个光强度，则用一个三维向量表示光的振动方向，那么该向量的三个分量可以用在该光线通过的偏振片上的两个光信号及其在偏振方向上的相位差来确定。
此外，当光线的传播方向改变时，偏振光向量的分量也会随之改变。
这个关系是由斯托克斯矢量来表示的。
斯托克斯偏振定理是光学领域的一个重要定理，不仅可以揭示偏振波的特性，也可以解决一些光学的现实问题。
在医学领域，斯托克斯偏振定理也有着重要的应用，例如用来分析和诊断皮肤病变和药物分子结构。
总之，斯托克斯偏振定理是一个非常重要的物理定理，它可以帮助我们理解光的偏振特性，以及在光学领域中的具体应用。
随着科学技术的不断发展，斯托克斯偏振定理的应用范围将会越来越广，我们也期待斯托克斯偏振定理在更多领域发光发热，推动着科学的进步。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
式中
(r) 1 F (r) dV
4π V r r
A(r) 1 F (r)dV
4π V r r
可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与 一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的 首要问题。
8. 正交曲面坐标系
z
直角(x, y , z)
式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体 积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
divA Ax Ay Az x y z
因此散度可用算符 表示为
divA A
高斯定理
3. 矢量场的环量与旋度 环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲
线的环量，以 表示，即
l A dl
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方
向保持一致，则环量 > 0；若处处相反，则 < 0 。可见，环量
可以用来描述矢量场的旋涡特性。
此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者 说，任何梯度场一定是无旋场。
5. 格林定理
设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
那么，可以证明该两个标量场
S ,
V
及 满足下列等式
en
V (
2 )dV
S
n
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量
n
场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V ( 2 )dV S ( ) dS
上两式称为标量第一格林定理。
基于上式还可获得下列两式：
(2 2 )dV V
S
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称 为矢量第一格林定理。
基于上式还可获得下式：
V [Q ( P)
P
( Q]dV
[P Q
S
Q
P ] dS
此式称为矢量第二格林定理。
无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题。
Δl P
P
例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
l P
(P) (P)
lim
l P Δl0
Δl
梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
V divA dV S A dS
或者写为
V Ad V S A dS
从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，
根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
x
0
y 式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理 表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。
7. 亥姆霍兹定理
若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连 续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度 给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
F(r) (r) A(r)
x=x0
ex
O
z=z0
ez ey
P0
y=y0
y
x
=0 r=r0
x
z
0
er
P0
e
O e
0
=0
y
z
圆柱(r, , z)
球(r, , )
z = z 0 已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标
ez
e P0
系中可分别表示为
r = r0
er
O
=0
A aer be cez A aer be ce
此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性。
格林定理广泛地用于电磁理论。
6. 矢量场的唯一性定理
位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场 量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟 一地确定。
4. 无散场和无旋场
散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的 矢量场称为无旋场。
两个重要公式：
( A) 0
( ) 0
左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此， 任何旋度场一定是无散场。
右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因
面 S 的通量，以标量 表示，即
S A dS
通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合 面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。
(2 2 )dV dS
V
S n
n
上两式称为标量第二格林定理。
设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数， 那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式
V [( P) (Q) P Q]dV S P QdS
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。
若引入算符，它在直角坐标系中可表示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可表示为
grad
2. 矢量场的通量与散度
通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲
通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源
的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
1. 标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 l
旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即
Adl
rotA
en
lim
ΔS 0
l
max
ΔS
式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上 的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋 度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。
由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的
环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘
积。即
l B dl 0 I
式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量 可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲 线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究 矢量场的旋度。
直角坐标系中旋度可用矩阵表示为
ex ey ez rotA
x y z Ax Ay Az
或用算符 表示为 rotA A
应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某 点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯 度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是 可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯 度、散度或旋度。
斯托克斯定理
S (rotA) dS l Adl
或者写为
S ( A) dS l A dl
同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积 分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果 已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反 之亦然。
由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等
于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即，
E dS q
S
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电
荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通
量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的