斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
10.Stokes 公式
u( x , y , z ) = ∫
x
( x , y ,z )
( x 0 , y0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y
z M
M0
u( x , y , z ) = ∫ P ( x , y0 , z0 )dx + ∫ Q( x , y , z0 )dy
x0
+ ∫ R( x , y , z )dz
其中n = {cosα , cos β , cos γ }
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当∑是 xoy 面的平面闭区域时) 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二,简单的应用
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R 另一种形式
cos α cos β cos γ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R
应用上述定理, 应用上述定理,并仿照以前的证明方法可得到
定理
是空间一维单连域, 设 G 是空间一维单连域, P , Q , R 在 G 内具有 连续的一阶偏导数, 连续的一阶偏导数,则 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内是某一函数 u( x , y , z )的全微分的充要条件 P Q Q R R P , , = = = 在 G 内恒成立 y x z y x z
圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围是
圆球的斯托克斯阻力公式是描述圆球在流体中受到的阻力的公式，它可用于计算小尺寸球体在低雷诺数流体中的阻力。
本文将从多个角度探讨圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围，以便更好地理解和应用这一公式。
一、斯托克斯阻力公式的基本原理斯托克斯阻力是指当圆球在流体中做匀速直线运动时所受到的阻力。
根据斯托克斯定律，圆球所受阻力与其半径、流体粘度和速度有关。
斯托克斯阻力公式可以用数学形式表示为：\[F = 6\pi \eta rv\]其中，F为圆球所受阻力，η为流体的粘度，r为球的半径，v为球的速度。
根据该公式可以看出，当球的半径较小，速度较慢，流体粘度较大时，斯托克斯阻力对球的影响较大。
二、适用范围斯托克斯阻力公式适用于小尺寸的圆球在低雷诺数流体中的阻力计算。
具体而言，斯托克斯阻力公式适用于以下情况：1. 小尺寸圆球：当圆球的半径很小，通常小于0.1mm时，斯托克斯阻力公式适用。
因为在这种情况下，球的速度较慢，流体粘度对阻力的影响较大，可以忽略惯性力。
2. 低雷诺数流体：斯托克斯阻力公式适用于雷诺数很小的流体中，通常小于1。
在低雷诺数下，惯性力相对较小，流体作用于球体的粘滞力起主导作用，因此斯托克斯阻力公式适用。
三、适用范围的限制然而，斯托克斯阻力公式也存在一定的适用范围限制。
在以下情况下，斯托克斯阻力公式可能不适用：1. 大尺寸圆球：当圆球的半径较大时，斯托克斯阻力公式不再适用。
因为此时球的速度可能较快，惯性力不可忽略，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力的影响。
2. 高雷诺数流体：斯托克斯阻力公式不适用于雷诺数较大的流体中。
在高雷诺数下，惯性力将影响流体的运动状态，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力对阻力的影响。
3. 非牛顿流体：斯托克斯阻力公式不适用于非牛顿流体。
在非牛顿流体中，流体粘度随剪切速率的变化，斯托克斯阻力公式中假设流体粘度为常数的条件不成立。
四、如何判断是否适用斯托克斯阻力公式在实际应用中，若需要判断斯托克斯阻力公式是否适用，可以按照以下步骤进行：1. 计算雷诺数：首先计算流体中的圆球的雷诺数，若雷诺数小于1，则可初步判断斯托克斯阻力公式可能适用。
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
第十章 Stokes 公式
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式高考数学知识点解析：斯托克斯公式与格林公式在高考数学的众多知识点中，斯托克斯公式与格林公式是较为复杂但又十分重要的内容。
理解和掌握这两个公式，对于解决一些涉及曲线积分和曲面积分的问题具有关键作用。
首先，我们来认识一下格林公式。
格林公式建立了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的曲线积分之间的关系。
如果我们有一个闭区域 D 及其边界曲线 L，函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，那么格林公式可以表示为：∮L Pdx ＋ Qdy ＝∬D （∂Q/∂x∂P/∂y)dxdy 。
为了更好地理解格林公式，我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面区域是由一个半径为 r 的圆所围成的，我们要计算沿这个圆边界的曲线积分。
如果我们设P(x,y) ＝y ，Q(x,y) ＝x ，那么根据格林公式，曲线积分就可以转化为对这个圆区域的二重积分。
通过计算这个二重积分，就能得到曲线积分的结果。
那么，格林公式有什么用呢？它可以帮助我们简化曲线积分的计算。
有时候，直接计算曲线积分可能会比较困难，但通过格林公式将其转化为二重积分，可能会让计算变得更加简便。
接下来，我们再来看斯托克斯公式。
斯托克斯公式是格林公式在三维空间中的推广。
它建立了空间曲面上的曲面积分与沿着曲面边界的曲线积分之间的关系。
如果有一个有向曲面 S ，其边界曲线为Γ ，函数 P(x,y,z) 、Q(x,y,z) 和 R(x,y,z) 具有一阶连续偏导数，那么斯托克斯公式可以表示为：∮Γ Pdx ＋ Qdy ＋ Rdz ＝∬S （curlF)·ndS ，其中curlF 表示向量场 F ＝（P, Q, R) 的旋度，n 是曲面 S 的法向量。
同样，通过一个例子来帮助理解斯托克斯公式。
假设我们有一个半球面，要计算沿其边界圆的曲线积分。
运用斯托克斯公式，将曲线积分转化为对半球面的曲面积分，然后通过计算曲面积分来得到曲线积分的结果。
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式的使用条件:
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
斯托克斯公式:
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
设是具有边界曲线的有向曲面，的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线称为有向曲面的正向边界曲线．
设为空间的一条分段光滑的有向曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则．函数在曲面(连同边界)上具有连续的一阶偏导数，则
称为斯托克斯公式。
第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a
C
[(1
b) a
y
b]dx
[b
(1
b) a
x]dy
D
2(1
b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2
x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2
y2 a2
1
dydz dydz ab （椭圆面积）
D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2
Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式
o
y
x
例2
计算曲线积分
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 并 Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域 D xy .
x
z
n
:z
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
一、斯托克斯公式
Q P P R R Q )dxdy )dydz ( ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz
思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)
又 cos f y cos ,
y
1
1
Dxy 如图
D xy
zdx xdy ydz
3 2
Dxy
o
1
x
例2
计算曲线积分
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
12-7 斯托克斯(stokes)公式
y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
11.7斯托克斯公式
o x
2
沿有向闭曲线 所作的 例4. 求力 功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 设三角形区域为 , 方向向上, 则 解：
z
C y
cos cos cos
何来?
3 3
B
o
A x
BNAl
0 0
l
0
Ａ. Ｍ
Ｎ
( y)dx 2 xydy
2x y
4
． B
BMAl
两式相减得,
BNA AMB
BNAMB
所以在右半平面内线积分与路径无关.即… (2) …
1 3 x
1 3 y
1 3 z
dS
y
1 3
z
x
3 (3) d S 3 d S 3S 3( ( 2) 2 ) 4
二、 环流量与旋度
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
定义:
x
Q cos
y z
R cos dS R
P
Q
场论中的三个重要概念
设 u u ( x, y, z ) , A ( P , Q , R) ,
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度:
(常向量)
则 L cos( T , a )d S T a 0 d S L
高斯公式和斯托克斯（stokes）公式
设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有 一阶连续偏导数, 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(高 斯 公 式dSR Q P dvz Ry Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ωγ+β+α=∂∂+∂∂+∂∂或这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.xyzo例 计算曲面积分ds z y x )cos cos cos (222γβα++⎰⎰∑,其中Σ为锥面 222z y x=+介于平面0=z 及)0(>=h h z之间的部分的下侧,γβαcos ,cos ,cos 是Σ在),,(z y x 处的法向量的方向余弦.h⋅xyD xyzoh⋅1∑解 空间曲面在 面上的投影域为 xoy xy D )(:2221h y x h z ≤+=∑补充曲面∑不是封闭曲面, 为利用高斯公式取上侧，1∑∑构成封闭曲面，1∑+∑.1Ω∑+∑围成空间区域,上使用高斯公式在Ω⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++dv z y x dSz y x)(2)cos cos cos (1222γβα⎰⎰⎰+++=xyD h y x dz z y x dxdy 22,)(2}.|),{(222h y x y x D xy ≤+=其中⎰⎰⎰+=+xyDhy x dz y x dxdy 22,0)(⎰⎰⎰⎰--=++∴∑+∑xyD dxdy y x h dSz y x)()cos cos cos (2222221γβα.214h π=⎰⎰⎰⎰∑∑=γ+β+α112222)cos cos cos (dSz dS z y x⎰⎰=xyDdxdy h 2.4h π=故所求积分为⎰⎰∑γ+β+αdSz y x)cos cos cos (222421h π=4h π-.214h π-=定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑的侧符合右手规则, 函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式一、斯托克斯(stokes)公式dxdyy Px Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑⎰Γ++=RdzQdy Pdx 斯托克斯公式nΓ∑是有向曲面 的正向边界曲线Γ∑右手法则⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdydzdx dydz ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx ds RQ P z y x γβαcos cos cos 另一种形式}cos ,cos ,{cos γβα=n其中便于记忆形式Stokes 公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy 面的平面闭区域时)例1. Γ 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z轴正向看为顺时针, 计算o z2Γyx解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得SI d ⎰⎰∑=0=则其法线方向余弦γβαcos cos cos zy x ∂∂∂∂∂∂zx y x y2∑例2 计算曲线积分dzy x dy x z dx z y)()()(222222-+-+-⎰Γ其中Γ是平面23=++z y x 截立方体:10≤≤x ,10≤≤y ,10≤≤z 的表面所得的截痕,若从 ox轴的正向看去,取逆时针方向.解 取Σ为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围成的部分.则 }1,1,1{31=n zxyo∑nΓ即 ,31cos cos cos ===γβαdsy x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=∴222222313131⎰⎰∑++-=ds z y x )(34⎰⎰∑⋅-=ds 2334⎰⎰-=xyD dxdy 332.29-=)23(=++∑z y x 上在 xyD 23=+y x 21=+y xz R y Q x P u d d d d ++=空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数G R Q P ,,具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G 内任一分段光滑闭曲线 Γ, 有d d d =++⎰Γz R y Q x P (2) 对G 内任一分段光滑曲线 Γ, ⎰Γ++zR y Q x P d d d 与路径无关(3) 在G 内存在某一函数 u , 使 (4) 在G 内处处有zP x R y R zQ x Q yP∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===,,z y x y x z x z y d )(d )(d )(+++++⎰Γ与路径无关, 并求函数z y x y x z x z y z y x u z y x d )(d )(d )(),,(),,()0,0,0(+++++=⎰解: 令 yx R x z Q z y P +=+=+=,,,1xQ y P ∂∂==∂∂,1yR z Q ∂∂==∂∂yPx R ∂∂==∂∂1∴ 积分与路径无关, zy x xy )(++=y x y d 0⎰+zy x z d )(0⎰++zxyz xy ++=xzyo),,(z y x )0,,(y x )0,0,(x 因此例3. 验证曲线积分 z y x y x z x z y d )(d )(d )(+++++⎰Γ与路径无关, 并求函数z y x y x z x z y z y x u z y x d )(d )(d )(),,(),,()0,0,0(+++++=⎰解: 令 yx R x z Q z y P +=+=+=,,,1xQy P ∂∂==∂∂ ,1yR z Q ∂∂==∂∂yPx R ∂∂==∂∂1∴ 积分与路径无关, z y x xy )(++=y x y d 0⎰+zy x z d )(0⎰++zxyz xy ++=xzyo ),,(z y x )0,,(y x )0,0,(x 因此例3. 验证曲线积分 三、 环流量与旋度斯托克斯公式⎰Γ++=zR y Q x P d d d 设曲面 ∑ 的法向量为 曲线 Γ的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为⎰Γ++=sR Q P d )cos cos cos (νμλ)cos ,cos ,(cos γβα=n )cos ,cos ,(cos νμλτ=令 , 引进一个向量),,(R Q P A =Arot 记作向量 rot A 称为向量场 A 的 RQ P kj i zy x ∂∂∂∂∂∂=称为向量场A 定义: s A z R y Q x P d d d d ⎰⎰ΓΓ=++τ沿有向闭曲线 Γ的环流量. s A S n A d d rot ⎰⎰⎰Γ∑⋅=⋅τ或sA S A n d d )(rot ⎰⎰⎰Γ∑=τ①于是得斯托克斯公式的向量形式 :旋度 .z yxkjiA ∂∂∂∂∂∂=rot 的外法向量, 计算 解: )1,0,0(=SI d cos ⎰⎰∑=∴γπ8=232zx y 例4. 设.d rot S n A I ⋅=⎰⎰∑∑为n。
斯托克斯公式
1
x
例2
计算
Γ
∫ ( y − z)dx + (z − x)dy + ( x − y)dz Γ
2 2 2
x z 其中Γ 为椭圆 x + y = a , + = 1 a b
轴正向看去， 从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向 解一 用 Stokes 公式
z
∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
o y x
例 1 计算曲线积分∫ zdx + xdy + ydz, 其中Γ是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则. 的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式, y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
x2 + y2 = a2 消去 x 得 x z a +b =1
∫∫ dzdx = 0 Σ
( z − b )2 y 2 + 2 =1 2 b a
∫∫ dydz = D dydz = πab ∫∫ Σ
yz
（椭圆面积） 椭圆面积）
Σ 在 xoy 面的投影 ：x 2 + y 2 = a 2
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
Σ
D xy
1
1
由于Σ 弦都为正， 由于Σ的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知： 再由对称性知：
∫∫ dydz + dzdx + dxdy Σ
Dxy 如图
= 3 ∫∫ dσ
D xy
11-7 斯托克斯(stokes)公式
D xy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , y
n
:z
f ( x, y )
xy
根据Green 公式
P[ x, y, f ( x, y)]dx
c
o
y
D xy
x
C
P ( x , y, z )dx
平面有向曲线
空间有向曲线 只证
Pdx
返回
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
其中 ( rotA)n rotA n R Q P R Q P ( ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
At A n P cos Q cos R cos
x
o
y
D xy
C
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)斯托Βιβλιοθήκη 斯公式特殊情形格林公式
返回
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
Pdx Qdy Rdz
.
---- 斯托克斯公式
解
按斯托克斯公式, 有
1
n
y
返回
zdx xdy ydz 3 3 dS 2
0
8.7斯托克斯公式与旋度
R Q Q P P R dydz dxdy d zd x z x y z x y
Pdx Qdy Rdz
(1)
公式(1)叫做斯托克斯公式.
1
1 1 F dr rotF dS (rotF e )dS
[rot F e ]M *
其中M * ,
由上式得：lim
1
M
上述极限就称作场F 在点 M 处沿方向e 的环量密度.
F dr lim [rotF e ]M * [rotF e ]M
练 习 题
一、 计 算 x 2 y 2 z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 . 二、 计 算
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中
2
3 ydx xzdy yz 2 dz , 其 中
是圆 周
是 球 面
x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 ( a 0 , z 0) ,从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方 向 . 三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯定理:斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。
斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。
斯托克斯粘滞公式:斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1中文名称：斯托克斯粘滞公式英文名称：Stokes viscocity formula定义及摘要：斯托克斯粘滞公式斯托克斯公式（数学公式）:斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
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斯托克斯公式的使用条件
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分内与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间容的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
扩展资料
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。