7.斯托克斯公式

与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)
( x, y, z)
(0,0,0)
(
y
z)d
x
(z
x)
d
y
(x
y) d
z
解: 令 P y z , Q z x , R x y
P 1 Q ,
y
x
Q 1 R ,
z
y
R 1 P
x
z
积分与路径无关, 因此
y
z
z
(x, y, z)
x d y (x y) d z o
Pdx Qdy Rdz 0
(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,
Pdx Qdy Rdz 与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u Pdx Qdy Rdz
(4) 在G内处处有
, , P Q Q R R P
y x z y x z
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例4. 验证曲线积分 ( y z)dx (z x)dy ( x y)dz
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
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例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式, 有
zdx xdy ydz
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的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z),
R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
(
P z
R x
)dzdx
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
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n
右手法则
dydz dzdx dxdy
z
1
n
0 Dxy
y 1
1 x
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由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
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例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
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根椐格林公式
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
C
即
P z
dzdx
P y
dxdy
C
P[ x,
y,
f
(x,
y)]dx
2
平面有向曲线
P z
dzdx
P y
dxdy
P
(
其中 是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
则
n
1 {1,1,1}
o
y
x
3
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即 cos cos cos 1 ,
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
(Stokes formula) (Circulate and Rotation)
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度 *三、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 五、小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
A tds
其中
的单位法向量为
n
cos
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
0
0
xy (x y)z
(x,0,0)
x
y
(x, y,0)
xy yz zx
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小结
斯托克斯公式
cos cos cos
x
y
ds z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
A tds
PQ R
斯斯托托克克斯斯公公式式的成物立理的意条义件
(
P z
cos
P y
cos
)ds
又 cos f y cos , 代入上式得
P
z
dzdx
P dxdy y
(
P y
P z
f y )cosds
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即
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy
P z
dzdx
P y
dxdy
x
,
y
,
z
)dx,
空间有向曲线
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同理可证
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x
,
y,
z
)dy,
R y
dydz
R x
dzdx
R(
x,
y,
z
)dz,
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz
( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.
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便于记忆形式
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2
4 3
(
x
y z)ds
(在上x y z 3) 2
4 3
3 2
ds
2Βιβλιοθήκη Baidu
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
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例3. 为柱面
与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
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Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I
x y
y2 xy
z
dS
xz
o x
2y
0
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斯托克斯公式的又一种形式
[(
R y
Q ) cos
z
(P z
R)cos x
(Q x
P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 o 影.且所围区域Dxy . x
y Dxy
C
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思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy