第七节斯托克斯公式散度与旋度

1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线

(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
0 Dxy 1 x
y 1
高等数学
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
高等数学
例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的
旋度.
旋度的力学意义
高等数学
:设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为, M 为刚体上任一
点, 建立坐标系如图, 则
(0, 0, ), r (x, y, z)
z lM
y,
f
( x,
y)]dxdy
c
P[ x,
y,
f
( x,
y)]dx
高等数学
即
P z
dzdx
P y
dxdy
c
P[
x, y, f ( x, y)]dx
平面有向曲线
2
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y, z)dx, 空间有向曲线
同理可证
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
y,
z)dy,
R y
dydz
R x
dzdx
R(
x,
y,
z)dz,
高等数学
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz ( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故结论成立.
dydz dzdx dxdy
便于记忆
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
cos cos cos
另一形式
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
Dxy
2
高等数学
例4 求力F yi z j xk沿有向闭曲线所作的功, 其中为平面x y z 1被三个坐标面所截成的 整个边界, 从z轴正向看去, 沿顺时针方向.
解 由题意及Stokes公式，
dydz
W ydx zdy xdz
x
y
dzdx y z
dxdy z x
dydz dzdx dxdy 3 dxdy
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :
高等数学
i jk
x
y
z
PQR
rot A nd S A d s
或
(rot A)n d S A d s
①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场 A
R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
(P z
R )dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz 斯托克斯(英, 1819--1903)公式
n
右手法则
高等数学
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
x y z 2,
方向是顺时针的。(97研)
解 设是平面x y z 2上以C为边界的有限 部分, 其法向量与z轴正向的夹角为钝角。 由Stokes公式，
C (z y)dx ( x z)dy ( x y)dz
dydz dzdx dxdy
x
P
y Q
z R
2dxdy 2dxdy
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
高等数学
思路 曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P z
cos
P y
cos
)dS
又 cos f y cos , 代入上式得
3( dxdy)
Dxy
3 2
三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
高等数学
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )cos
dS
高等数学
即
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f
y )dxdy
而
y
P[
x,
y,
f
( x, y)]
P y
P z
fy
故
P z
dzdx
P y
dxdy
Dxy
y
P[
x,
y,
f
( x,
y)]dxdy ,
1
根椐格林公式
Dxy
y
P[ x,
其中是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
则
n
1 {1,1,1}
o
y
x
3
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1