第七节斯托克斯公式散度与旋度

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斯托克斯公式——换流量与旋度

斯托克斯公式——换流量与旋度
在Ω内处处有
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
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3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫

P
Q
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2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z

87斯托克斯公式与旋度汇总

87斯托克斯公式与旋度汇总

Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是

第七节 Stokes 公式 环流量与旋度

第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
= ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为: 平面方程为:
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n

右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲

线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .

斯托克斯公式与旋度

斯托克斯公式与旋度

第七节 斯托克斯公式与旋度格林公式揭示了平面上的二重积分与第二类曲线积分之间的关系,下面我们再介绍一个公式,它揭示了空间中第二类曲面积分与第二类曲线积分的关系,是格林公式的推广.一、 斯托克斯(S.G.G.Stokes )公式设∑是具有边界曲线的定向曲面,我们规定其边界曲线∑∂的正向与定向曲面的∑法向量符合右手法则.记作+∂∑.比如,若∑是上半球面221y x z --=的上侧,则+∂∑是xOy 面上逆时针走向的单位圆周.定理1(斯托克斯公式) 设∑是一张光滑或分片光滑的定向曲面,∑的正向边界+∂∑为光滑或分段光滑的闭曲线.如果函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在曲面∑上具有一阶连续偏导数,则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q yR ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰+∂++=∑Rdz Qdy Pdx为便于记忆斯托克斯公式可以用如下形式表示⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂=++∑RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 显然格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.和平面上的曲线积分与路径无关的条件一样,有如下定理定理2 设G 是空间的一个一维单连通区域,z y x R z y x Q z y x P z y x ),,(),,(),,(),,(++=则),,(z y x F沿G 内定向曲线的积分与路径无关的充分且必要条件是yPx Q x R z P z Q y R ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,, 则曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路径无关,只与起、终点有关.例1 计算⎰++++Lz y x ydzxdy zdx ,其中L 为平面1=++z y x 被坐标面所截下的三角形的整个边界,正向与三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 由曲面积分定义可知⎰⎰++=++++LL ydz xdy zdx z y x ydzxdy zdx利用斯托克斯公式2333===++=∂∂∂∂∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD L dxdy dxdy dxdy dzdx dydz y x z z y x dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx ∑∑∑例2 计算dz y x dy x z dx z y I )()()(222222-+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体]1,0[]1,0[]1,0[⨯⨯的表面所得的截痕,若从z 轴的正向看去,Γ取逆时针方向.解 取∑为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分,∑的单位向量)31,31,31(=n e ,由斯托克斯公式及第二类曲面积分的定义得dS y x x z z y z y x y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰⎰⎰---∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂=∑∑222222222222313131 29)(63322334)(34-=-=-=-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑的面积xy D D d dS dS z y x xyσ例3 求⎰-+-+-Ldz xy z dy zx y dx yz x )()()(222,L 为螺旋线)20( ,sin ,cos πθθθθ≤≤===b z a y a x ,θ增大的方向为正向.解 由于在3R 中,有x z Q y R -=∂∂=∂∂,y xRz P -=∂∂=∂∂,z y P x Q -=∂∂=∂∂ 该积分与路径无关,可取积分路径为直线AB ,其中)0,0,(a A ,)2,0,(b a B π,所以AB :⎪⎩⎪⎨⎧===⇒==-tz y ax t z y a x 000 38)()()(33202222b dt t dz xy z dy zx y dx yz xb Lππ==-+-+-⎰⎰ 二、 旋度 对于)1(C向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=称下述向量y P x Q x R z P z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Q y ∂∂= 为向量场F 的旋度(rotation )记为rot ,即Q y rot ∂∂=有了旋度的概念,斯托克斯公式可以写为⎰⎰⎰⋅=⋅Ld d rot ∑当=rot 时,⎰⋅Ld 与路径无关.下面解释一下旋度的物理意义.第二类曲线积分⎰⋅=Ld Γ称为向量场)(M F 沿L 正向的环流量.为了说明环流量的意义,我们以河流中的旋涡这样一个特殊的流速场)(M F 为例,⎰⋅Ld M ∆)(表示沿曲线L ∆正向的速度的环流量.为形象起见,不妨设L ∆是一个圆,我们设想作一个与该圆同样大小的小圆叶轮,叶轮的轴的方向与小圆正向符合右手规则,若将此叶轮放至旋涡中某点M 处,叶轮开始转动,根据经验,转动的快慢与轴的方向和叶轮大小有关,即与转动的快慢取决于曲线积分⎰⎰⋅=⋅=LLds r d ∆τ∆∆Γ的大小,当轴垂直于旋涡表面(此时e 的方向与V 一致)时,转动较快,当轴与旋涡表面有倾角时,叶轮转动较慢,可见环流量⎰⋅=Ld ∆∆Γ表示叶轮沿周界L ∆正向转动趋势的大小.这个量表示了速度场)(M F 相对于有向闭曲线L ∆的一种总体形态,但是不能反映出场内某点处的转动趋势的大小.为此,作∆Γ与小圆叶轮面积S ∆(也表示叶轮面)之比,称为环流量平均面密度⎰⋅=Ld S S ∆∆∆∆Γ1当S ∆缩向点M 时,若极限⎰⋅=→→LM S M S d S S ∆∆∆∆∆∆Γ1lim lim存在,该极限值表示位于点M 处的小水滴沿叶轮轴的方向转动趋势的大小,这就是环流量面密度的概念根据积分中值定理,存在S M ∆∈*,使得nM n MS M S M S rot rot dS e rot S d rot S dS d =⋅=⋅=⋅=→→→⎰⎰⎰⎰*][lim 1lim 1lim ∆∆∑∆∆∑∆∆∆Γ. 一个旋度处处为零的向量场称为无旋场,无旋无源场称为调和场,调和场是物理学中一类重要的场,这种场和调和函数间有着密切的联系.本章的几个主要公式都是微积分学基本公式在二维和三维空间中的推广.微积分基本公式⎰-=ba a Fb F dx x F )()()('曲线积分基本公式))(())((a r f b r f d f -=⋅∇⎰Γ格林公式⎰⎰⎰+∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D DQdy Pdx dxdy y P x Q 斯托克斯公式⎰⎰⎰+∂⋅=⋅∑∑r d F S d F rot高斯公式S d F dV F div ⎰⎰⎰⎰⎰+∂⋅=ΩΩ三、 向量微分算子为方便记,在场论中经常运用一个运算符号,它称为∇(Nabla )算子,其定义为k zj x i y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 这个算子可以作用到数量值函数上,也可以像通常的向量一样,与向量值函数作数量积和向量积,从而得出新的函数,其规定如下:1)设),,(z y x u u =,则u zux u y u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2)设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=,则。

第七节 斯托克斯公式与旋度

第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线: 设定向曲面∑ 的边界曲线为,规定 的正向 如下:当人站立于定向曲面的一侧上,并沿 行走时,邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线,记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量

F dr Pdx Qdy Rdz



F dr

i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.

10-7斯托克斯公式与旋度

10-7斯托克斯公式与旋度

Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2:
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相 加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
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n

右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明: 情形1:如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
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一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1: 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面, L 的正向与 的侧符 合右手规则,函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式:
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明: 同平面曲线一样,当曲线积分

10.7 斯托克斯(Stokes)公式与旋度

10.7  斯托克斯(Stokes)公式与旋度
4 2
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
(2) div ( rot F )

(2 z 2 x y ) x

y

( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式

F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y

R

Q z
)i (
P z

R x
)j(

) k ] n dS
0

( y

R

Q z
) dydz (
P z

R x
) dzdx (

P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式

n
1


i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x

{ 2 , 2 , 1} {

1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS

3 2
二 旋度(rotation)
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场,

0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos

10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点

10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点

一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。

§7.5旋度与斯托克斯公式

§7.5旋度与斯托克斯公式

其中C

曲线
x
2
y
2
1
,从
z
轴正向往
z
轴负向看
x y z 2
z
C 的方向是顺时针的。
C
Dxy o
x1
1y
例 2.计算 I ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz , C
其中C 为平面 x y z 3 截立方体 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 2
C PdxQdy Rdz 0 ;
(3)
PdxQdy Rdz 在内与路径无关 ;
C( AB)
(4) Pdx Qdy Rdz 是某个函数 u(x, y, z)的全微分 ,即
du Pdx Qdy Rdz 。
且u(x, y,z) (x,y,z) PdxQdy Rdz ( x, y, z)
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
二、环量面密度
r 设 M 为向量场 A 中的一点,在点 M 处取定一个
方向
r n,
作一小曲面 , 使其在点 M 的法向量为 nr,
小曲面的面积记为S, 其边界为分段光滑闭曲线 l,
l 与 nr的关系按右手法则确定,
r 向量场A 沿 l 正向的环量 与曲面面积S之比
x y z x y z
5.向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 的散度
divA P Q R x y z
(
i
j
k )(Pi Qj Rk ) A ;
x y z
6.向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 的旋度
(2) rot(A) rotA grad A ( 为数量场 ) ;

9-7斯托克斯公式旋度

9-7斯托克斯公式旋度
2
x


3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2

4
( x 3

y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3

3
dS 2 3 3dxdy . 2

D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S

At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)

A t ds 或 ( rotA)n dS At ds


其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos

微积分 斯托克斯公式与散度

微积分  斯托克斯公式与散度
特殊情形
格林公式
)
( 是 xoy 面上的平面区域时
例1、计算曲线积分
zdx

xdy ydz , 其中 是平面 三角形的 .
x y z 1 被三个坐标面所截成的
整个边界 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针方向
z
1
y
n
1
0
1
x
D xy
y
1
o
D xy
x
1
例2、计算曲线积分

o
D xy
y
x y
1 2
x
例3、计算曲线积分


x zdx xy dy z dz , 其中
2 2 2 2
是抛物面 z 1 x
y 位于第一卦限部分
2
的边界曲线 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针向 .
z
y
x
2
y
2
1
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
o
x
x
二、旋度 定义:C
(1 )
向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j Q ( x , y , z ) k


F dr

环流量: 沿定向闭曲线 F
的积分


F dr


( F e ) ds .
斯托克斯公式的物理解释:
向量场 F 沿有向闭曲线 向量场 F 的旋度场通过
的环流量等于 所张的曲面的
)
通量 .( 的正向与 的侧符合右手法则

第四章 曲线积分与曲面积分 第七节 斯托克斯公式与旋度

第四章 曲线积分与曲面积分 第七节    斯托克斯公式与旋度

- 15 -
第七节
斯托克斯公式与旋度
例6

设一刚体绕过原点O的某个轴转动,其角速度
第 速场,则向量 r O M x , y , z 在点 M 处的线速度为 十
章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
{ 1 , 2 , 3 }, 刚体上每一点处的线速度构成一个线
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z



dydz x P
dzdx y Q
dxdy z R
-2-
(斯托克斯公式)
第七节
斯托克斯公式与旋度
z

证: 情形1 与平行 z 轴的直线只
交于一点,
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
- 11 -
3
第七节
斯托克斯公式与旋度
二 环量与旋度
第 十 章
1 环流量的定义: 设有向量场
A P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z )k
曲 线 L 是场内一条有向分段光滑闭曲线,称曲线积分 积 分 Pdx Qdy Rdz L 与 曲 面 为向量场 A 沿有向闭曲线L的环量。 积 分
Q P R Q P ( )i ( )j ( )k y z z x x y i j k rot A =▽ A x y z P Q R
为向量场 A 在点 M ( x , y , z ) 处的旋度。记为 rot A
- 17 -
第七节
斯托克斯公式与旋度
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分

斯托克斯公式

斯托克斯公式

Pdx Qdy Rdz

斯托克 斯公式
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y

将斯托克斯公式分为三式
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
en
1 (rot F e n ) dS A
取下侧, 则其法线方向余弦
z


I


cos α cos β cos γ x y z d S y2 x y xz
o x
2
0.
y
(方法2) 将:
z

y
o x
参数化:
2
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度

三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线: 的正向与的侧符合右手法则,如图.
n

右手法则

是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则

0
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t

0
( 3 sin 3 t 4 sin 2 t sin t 2) d t
in 3 ( π u) 4 sin 2 ( π u) sin( π u) 2]( d u)

8-7斯托克斯公式与旋度

8-7斯托克斯公式与旋度

则沿场F中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
称 为C向F量 dr场 F沿C P曲dx线CQ按dy所取R方 dz 向的环流量 .
2. 旋度的定义:
称向量( R y
Q
r )i
z
(
P z
R
r )j
x
(
Q x
P )kr y
r
r
为向量场F的旋度,记为rotF .
ijk
r rotF
x
y
. z
PQR
rr 无旋场:rotA 0
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz, 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正,
dydz dzdx dxdy 3 d
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n是 的单位法向量.
五、求向量场 A ( x z)i ( x 3 yz) j 3 xy2 k 沿闭曲 线 为圆 周z 2 x 2 y 2 , z 0 (从z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .

散度与旋度

散度与旋度

散度与旋度散度和旋度是物理学和数学中两个关键的概念,它们用于描述向量场的特性。

在本篇文档中,我们将探讨散度与旋度的定义、特性以及它们在现实生活中的应用。

散度散度是一个向量场的发散性度量,它描述了向量场的源头和汇聚点。

向量场是在空间中每个点上定义的矢量函数,而散度则告诉我们一个点的流出量与流入量之差。

如果流出的量大于流入的量,则散度为正;反之,如果流入的量大于流出的量,则散度为负。

数学上,一个向量场的散度可以通过取其数学上的散度运算得到。

在三维空间中,向量场的散度定义为其每个分量的偏导数之和:div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中,Fx、Fy和Fz分别代表向量场F在x、y和z三个方向的分量。

散度有许多实际应用,尤其是在流体力学和电学中。

在流体动力学中,散度可以用于计算一个流体的源汇量;在电学中,散度可以用于描述电场在空间中的分布特性。

旋度旋度是一个向量场的旋转性度量,它描述了向量场在一个点上是否具有旋转特性。

像散度一样,向量场也是在空间中每个点上定义的矢量函数,而旋度则告诉我们一个点处的流线是否发生了旋转。

数学上,一个向量场的旋度可以通过取其数学上的旋度运算得到。

在三维空间中,向量场的旋度定义为其每个分量的偏导数之差:rot(F) = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k其中,i、j和k分别代表向量场在x、y和z三个方向的单位矢量。

旋度也有许多实际应用。

在固体力学中,旋度可以用于描述与旋转有关的物理量,如刚体的旋转角速度;在电学中,旋度可以用于计算涡旋电场所产生的感应电动势。

散度与旋度的关系散度和旋度是向量场两个重要的特性,它们在很多情况下都是相互关联的。

根据斯托克斯定理,一个向量场在某一个曲面上的散度与该向量场在其边界上的旋度有着直接的关系。

具体来说,斯托克斯定理表明,当我们考虑一个空间曲面上的向量场时,曲面内部的散度与曲面边界上的旋度是相等的。

9-7斯托克斯公式与旋度

9-7斯托克斯公式与旋度


取 S为上半球面被 柱面截下的部分
L
o
v n
y
S: z = a − x − y
2 2
2
x
10
由斯托克斯公式得到
z
I = ∫ z dx + xydy + yzdz
2 L
L
o
= ∫∫ zdydz + 2zdzdx + ydxdy
S
v n
y
y x = ∫∫ z + 2z + y dxdy z z S

按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n
∫ zdx + xdy + ydz
L
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
S
0
x
D xy
1
y
1
3 = 2
8
例2. 计算I =
∫ ydx + zdy + xdz ,其中L:
L
x 2 + y 2 + z 2 = 2az , 从z轴的正向往负向看,逆时针。 x + z = a
u(x, y, z) = ∫
(x, y,z) (0,0,0)
( y + z)d x + (z + x) d y + (x + y) d z
解: 令 P = y + z , Q = z + x , R = x + y ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P Q =1 = , =1 = , =1 = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∴ 积分与路径无关, 因此
向量点积法
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1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线

(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点:斯托克斯公式的应用 难点:三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
0 Dxy 1 x
y 1
高等数学
由于的法向量的三个方向余 弦都为正, 再由对称性知:
dydz dzdx dxdy 3 dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
高等数学
例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的
旋度.
旋度的力学意义
高等数学
:设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为, M 为刚体上任一
点, 建立坐标系如图, 则
(0, 0, ), r (x, y, z)
z lM
y,
f
( x,
y)]dxdy
c
P[ x,
y,
f
( x,
y)]dx
高等数学

P z
dzdx
P y
dxdy
c
P[
x, y, f ( x, y)]dx
平面有向曲线
2
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y, z)dx, 空间有向曲线
同理可证
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
y,
z)dy,
R y
dydz
R x
dzdx
R(
x,
y,
z)dz,
高等数学
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz ( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故结论成立.
dydz dzdx dxdy
便于记忆
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
cos cos cos
另一形式
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
Dxy
2
高等数学
例4 求力F yi z j xk沿有向闭曲线所作的功, 其中为平面x y z 1被三个坐标面所截成的 整个边界, 从z轴正向看去, 沿顺时针方向.
解 由题意及Stokes公式,
dydz
W ydx zdy xdz
x
y
dzdx y z
dxdy z x
dydz dzdx dxdy 3 dxdy
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :
高等数学
i jk
x
y
z
PQR
rot A nd S A d s

(rot A)n d S A d s

定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场 A
R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
(P z
R )dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz 斯托克斯(英, 1819--1903)公式
n
右手法则
高等数学
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
x y z 2,
方向是顺时针的。(97研)
解 设是平面x y z 2上以C为边界的有限 部分, 其法向量与z轴正向的夹角为钝角。 由Stokes公式,
C (z y)dx ( x z)dy ( x y)dz
dydz dzdx dxdy
x
P
y Q
z R
2dxdy 2dxdy
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
高等数学
思路 曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P z
cos
P y
cos
)dS
又 cos f y cos , 代入上式得
3( dxdy)
Dxy
3 2
三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
高等数学
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )cos
dS
高等数学

P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f
y )dxdy

y
P[
x,
y,
f
( x, y)]
P y
P z
fy

P z
dzdx
P y
dxdy
Dxy
y
P[
x,
y,
f
( x,
y)]dxdy ,
1
根椐格林公式
Dxy
y
P[ x,
其中是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.

n
1 {1,1,1}
o
y
x
3
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
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