微积分9_7斯托克斯公式

4dydz 6dzdx 6 ydxdy 0 6 dzdx 6 ydxdy
1 2 2 y 6 2 6 0 dy 0 ydx 6 60 y(2 y )dy 14. 2
2
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Dzx
Dxy
练 计算曲线积分 习2 I ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz , L
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
证: 情形1. 与平行 z 轴的直线只交于
一点, 设其方程为

n
z

y C
结束
: z f ( x, y ) , ( x, y ) D x y
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
简介 目录
O x
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Dx y
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 故有
du Pd x Qd y Rd z
(3) (4) 若(3)成立, 则必有 u u u P, Q, R x y z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P u Q y x y x
3 4 ( x y z )dS ( 在上x y z ) 2 3 ( Σ: z3 2 x y, 4 3 2 dS dS 1 z x z2 3dxdy ) y dxdy 3 2 z n 1 L 2 3 3dxdy (如图)
斯托克斯公式
Pd x Qd y Rd z

n (cos , cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
设曲面 的法向量为 则斯托克斯公式可写为
( P cos Q cos R cos ) d s
同理
2
Q R uR uP P d x Q d证毕 y Rd z (3) 在G内存在某一函数 , 使d
P z y (4) 在G内处处有 y

,
Q ,x Q x z

R , z y
R x
P z
定理2
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例3. 验证曲线积分 ( y z ) d x ( z x) d y ( x y ) d z 与路径无关, 并求函数
Q Q 同理可证 Q d y x d x d y z d y d z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
1
看去, 取逆时针方向.
z
1
L
n

o
1y
x
1 cos cos cos 3
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I L ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
( 2 y 2z )dydz ( 2z 2 x )dzdx ( 2 x 2 y )dxdy
z
Γ
利用斯托克斯公式得

O x
dS
cos cos cos
I

2y
0
x
y2
y
z
xy
xz
公式其他形式 目录 上页 下页 返回 结束
练1
计算 3 y 2 dx 4 zdy 6 xdz, 其中
L
z
1
L是由点A( 2,0,0)到B(0,2,1)再到O (0,0,0) 最后回到A的三角形.
第十一章 第七节 斯托克斯公式 *环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件
*三、环流量与旋度
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一、 斯托克斯公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :
x y z P Q R
i
j
k
rot A n d S A d s
Pd x Qd y Rd z

定理1 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:


d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R cos cos cos d S Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
cos
1 , 2 2 1 f x f y
cos
fy 1
O x
,

Dx y
y C
f x2 f y2
cos fy cos
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此

P P cos P d x cos d S y z cos P P cos cos d S z y P P d zd x d xd y z y
或用第一类曲面积分表示:


定理1
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 z 个边界, 方向如图所示. 1 解: 记三角形域为 , 取上侧,则
O
d yd z d zd x d xd y

x y z
1
1 y
x
Dx y
z
x
y
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
利用对称性
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例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
u ( x, y , z )
u u ( x x, y , z ) u ( x, y , z ) 则 lim x x 0 x 1 ( x x, y , z ) lim Pd x Qd y Rd z x 0 x ( x, y , z ) 1 x x d x lim Qd p y( xR d z x, y , z ) (2) 对G内任一分段光滑曲线 P ,d lim xP x 0 x x x 0 与路径无关 P( x, y, z ) u, 使 d u P d x Q d y R d z (3) 在G内存在某一函数
u ( x, y , z )
( x, y , z ) (0,0,0)
( y z )d x ( z x) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z , Q z x , R x y R P P Q Q R 1 1 , 1 , x z y x z y 积分与路径无关, 因此 z y z ( x, y , z ) x d y ( x y) d z
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Stokes公式的向量形式:
F T ds
L
rotF n dS (T , n 成右手系).

Stokes公式的物理意义: 向量场F沿有向闭曲线L的环量等于F的
旋度场通过L所张的曲面的通量.
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*三、 环流量与旋度
xy ( x y) z xy yz zx
0
0
O
( x,0,0)
y
x
定理2 目录 上页
( x, y,0)
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二、环量及旋度
1,环量的定义 若 F 是有向闭曲线 L上的一个向量场, 则 称曲线积分 F Tds 为 F 按给定方向沿曲线 L 的 L 环量, 其中 T 是与L方向一致的 L的单位切向量. 说明 若向量场 F ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k ,
D xy

6 xy
( xy 表示Dxy的面积)

x y
Dxy
x y
3 2
1 9. 6(1 2 ) 2 8
1
1 o 2
1y
x
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P, Q, R 在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
3 L是用平面 x y z 截立方体： 0 x 1, 0 y 1, 2
0 z 1 的表面所得的截痕, L的方向是从 Oz 轴的正向
3 解 取 为平面 x y z 被L所截的 2 部分, 方向为上侧,
1 则 的单位法向量为：n {1, 1, 1} 3
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则
P d x C P( x, y, z( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z d xd y z Dx y y z y P P f y cos d S y z
P y

Q Q , x z
R , R P y x z
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证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1) (2) (自证) (2) (3)
设函数
( x, y , z ) Pd x Qd y Rd z ( x0 , y0 , z0 )
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
环量： LF Tds LPdx Qdy Rdz .
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2,旋度的定义
若向量 F ( x, y, z ) P ( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k 的分量在区域 内有连续的偏导数, 我们称向量场： R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y 为向量场 F ( x , y , z ) 在 ( x , y , z ) 点的旋度(rotation).
n L
B(0,2,1)
O
解 令是由L所围成的三角形区域, 2 y x A(2,0,0) 取上侧 , 的方程为 z .
2 3 y dx 4zdy 6 xdz L

2 y
2
0 4dydz 0 6dzdx 0 6 y dxdy
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 (2)
与路径无关
P d x Q d y R d z 0 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z (4) 在G内处处有