微积分9_7斯托克斯公式
10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
人大微积分课件10-7讲义斯托克斯stokes公式环流量与旋度
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdxxdyydz
0 D xy
dyddzzdx dxdy 1
x
y 1
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
xห้องสมุดไป่ตู้ y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
( 在 上 xyz3) 2
4 3
23ds2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
i j k
即 P zdz d P ydx x d ( P y y P zfy)dxd
yP [x ,y,f(x ,y) ] P y P zfy
P
z
dzdx
P y
dxdy
P[x,
Dxy y
y,
f
(x,
y)]dxdy,
1
根椐格林公式
P [x ,y ,f(x ,y )d ]x P d [x ,y y ,f(x ,y )d ]
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzd(xxy)dxd
斯托克斯公式公式
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
斯托克斯公式stokes定律
斯托克斯公式stokes定律斯托克斯公式（Stokes定律）是描述流体运动的基本定律之一，它被广泛应用于流体力学和电磁学等领域。
斯托克斯公式是以英国物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）的名字命名的，他在19世纪中叶首次提出了这个公式。
斯托克斯公式是由麦克斯韦方程组推导而来的，它描述了流体中的速度场与涡旋场之间的关系。
根据斯托克斯公式，涡旋场的环流与速度场通过曲面的面积分之间存在线性关系。
换句话说，斯托克斯公式给出了速度场在曲面上的环量与曲面边界上的环量之间的关系。
斯托克斯公式的数学表达形式如下：∮C F·ds = ∬S (∇ × F)·dS其中，C是曲面S的边界曲线，F是速度场，ds是边界曲线上的微元弧长，S是曲面S的面积，∇ × F是速度场F的旋度，dS是曲面S上的面积元。
斯托克斯公式的应用非常广泛。
在流体力学中，斯托克斯公式被用来计算旋转流体中涡旋的强度和分布情况。
在电磁学中，斯托克斯公式被用来计算磁场沿闭合回路的环量，从而计算磁场的旋度。
此外，斯托克斯公式还被应用于固体力学、量子力学等领域。
对于流体力学中的应用，斯托克斯公式可以帮助我们理解涡旋的生成和演化过程。
涡旋是流体中的一种特殊流动形式，它具有旋转的性质。
通过斯托克斯公式，我们可以计算涡旋的强度，并进一步研究其对流体运动的影响。
斯托克斯公式的应用还可以帮助我们解决一些工程和科学问题。
例如，在空气动力学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算飞机机翼周围的气流情况，从而优化机翼的设计。
在电磁学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算闭合电路中的电磁感应强度，从而分析电磁场的分布情况。
斯托克斯公式是流体力学和电磁学等领域中非常重要的定律之一。
它描述了速度场与涡旋场之间的关系，可以帮助我们理解和分析涡旋的形成和演化过程。
斯托克斯公式的应用广泛，可以帮助我们解决一些工程和科学问题。
通过学习和应用斯托克斯公式，我们可以深入理解流体力学和电磁学等领域的原理和现象。
考研高等数学复习——斯克公式
练习题答案
一、 20.
三、rotA i j .
五、12 .
二、 a3 . 4
四、0.
六、0.
第七节
斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、斯托克斯(stokes)公式
右手规则
n
是有向曲面 的
正向边界曲线
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为 边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合 右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I
x
y
z dSBiblioteka y2 x yxzo
2y
x
0
公式 目录 上页 下页 返回 结束
三、 环流量与旋度
P d x Q d y R d z
设曲面的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线的单位切向量为 (cos , cos , cos )
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四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
P
Q
R
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
rotA ndS A ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
9_8斯托克斯公式
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
斯科托斯公式
斯科托斯公式斯科托斯公式，又称斯托克斯定理，是向量分析中的重要定理之一。
该定理描述了一个闭合曲面上的向量场通过该曲面的流量与该向量场在曲面边界上的环路积分之间的关系。
斯科托斯公式的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、数学等多个领域。
斯科托斯公式的形式可以表示为：∮_S F·ds = ∬_S (∇×F)·dS其中，S为闭合曲面，F为定义在S上的向量场，ds为S上的面积元素，∇×F为F的旋度，dS为S的面积元素的法向量与面积的乘积。
公式左边表示F通过曲面S的流量，右边表示F的旋度在曲面S上的面积积分。
斯科托斯公式的推导可以通过对曲面进行离散化处理，将曲面划分为许多小面元，然后利用面积元素的定义，将积分转化为求和，再通过求极限得到积分的结果。
这个过程需要一些数学工具和推导，这里不再详述。
斯科托斯公式的应用非常广泛。
在物理学中，斯科托斯公式常常用于求解电场、磁场等问题。
例如，可以利用斯科托斯公式计算闭合回路上的电场强度，从而求解电流的大小。
在工程学中，斯科托斯公式可以用于计算流体力学中的流量、压力等问题。
在数学中，斯科托斯公式是向量分析中的基本定理之一，也是理解和推导其他定理的基础。
斯科托斯公式的应用需要注意一些条件。
首先，曲面必须是闭合的，即没有漏洞或孔。
其次，向量场F必须是光滑的，即在曲面和曲面边界上都有定义。
此外，曲面和向量场的方向需要符合右手定则。
斯科托斯公式的应用可以简化计算过程，提高求解效率。
通过将曲面上的积分转化为曲面边界上的环路积分，可以将原本复杂的积分计算简化为对曲面边界上的积分计算。
这使得斯科托斯公式成为解决一些复杂问题的有力工具。
斯科托斯公式是向量分析中的重要定理，描述了一个闭合曲面上的向量场通过该曲面的流量与该向量场在曲面边界上的环路积分之间的关系。
它的应用广泛，涉及到物理学、工程学、数学等多个领域。
斯科托斯公式的推导需要一些数学工具和推导，但它的应用可以简化计算过程，提高求解效率。
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式
Pdx Qdy Rdz
P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }
一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )
R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)
斯托克斯公式
cos cos cos
I
x y
y2 xy
z
dS
xz
o x
2y
0
公式 目录 上页 下页 返回 结束
利用斯托克斯公式得
d ydz
I
x
y2
dzd x y xy
dxd y z xz
例3. 求 其中 是用平面 方向。
截立方体 所得截痕的表面，取逆时针
例4. 求
其中 是球面
在第一卦限部分与三
证略 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
简介 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一型曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
斯托克斯公式
Pdx Qdy Rdz
斯托克 斯公式
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y
或
将斯托克斯公式分为三式
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
en
1 (rot F e n ) dS A
取下侧, 则其法线方向余弦
z
I
cos α cos β cos γ x y z d S y2 x y xz
o x
2
0.
y
(方法2) 将：
z
y
o x
参数化：
2
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
★
三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则
2π
0
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
2π
0
( 3 sin 3 t 4 sin 2 t sin t 2) d t
in 3 ( π u) 4 sin 2 ( π u) sin( π u) 2]( d u)
斯托克斯公式
∂Q ∂ R ∂ R ∂ P = , = ∂z ∂ y ∂x ∂z
证毕
例3. 验证曲线积分∫Γ ( y + z ) d x + ( z + x) d y + ( x + y )dz
与路径无关, 并求函数
u ( x, y , z ) = ∫
( x, y , z ) (0,0,0)
( y + z )d x + ( z + x) d y + ( x + y ) d z
rot v =
−ω y ω x 0
∂ ∂x
i
∂ ∂y
j
∂ ∂z
k
= (0, 0, 2ω ) = 2 ω
(此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义 斯托克斯公式①的物理意义:
∫∫Σ (rot A) n d S = ∫Γ Aτ d s
向量场 A 产生的旋度场 穿过 Σ 的通量 注意 Σ 与 Γ 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E = 3 r 的旋度 . r i j k 解:
例2. Γ 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, z 则其法线方向余弦 Γ
利用斯托克斯公式得
Σ
cos α cos β cos γ
I = ∫∫
∑ ∂ ∂x 2 ∂ ∂y ∂ ∂z
o x
dS
2
=0
y
y
xy
xz
∂ rot (grad r ) = ∂ x x r ∂ ∂y y r ∂ ∂z z r
思考与练习
= ( 0 , 0 , 0)
微积分9_7斯托克斯公式
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结束
Stokes公式的向量形式:
F T ds
L
rotF n dS (T , n 成右手系).
Stokes公式的物理意义: 向量场F沿有向闭曲线L的环量等于F的源自旋度场通过L所张的曲面的通量.
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*三、 环流量与旋度
4dydz 6dzdx 6 ydxdy 0 6 dzdx 6 ydxdy
1 2 2 y 6 2 6 0 dy 0 ydx 6 60 y(2 y )dy 14. 2
2
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Dzx
Dxy
练 计算曲线积分 习2 I ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz , L
u ( x, y , z )
( x, y , z ) (0,0,0)
( y z )d x ( z x) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z , Q z x , R x y R P P Q Q R 1 1 , 1 , x z y x z y 积分与路径无关, 因此 z y z ( x, y , z ) x d y ( x y) d z
第十一章 第七节 斯托克斯公式 *环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件
*三、环流量与旋度
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一、 斯托克斯公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
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P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
证: 情形1. 与平行 z 轴的直线只交于
一点, 设其方程为
n
z
y C
结束
: z f ( x, y ) , ( x, y ) D x y
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
简介 目录
O x
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Dx y
u ( x, y , z )
( x, y , z ) (0,0,0)
( y z )d x ( z x) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z , Q z x , R x y R P P Q Q R 1 1 , 1 , x z y x z y 积分与路径无关, 因此 z y z ( x, y , z ) x d y ( x y) d z
第十一章 第七节 斯托克斯公式 *环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件
*三、环流量与旋度
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一、 斯托克斯公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
环量： LF Tds LPdx Qdy Rdz .
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2,旋度的定义
若向量 F ( x, y, z ) P ( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k 的分量在区域 内有连续的偏导数, 我们称向量场： R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y 为向量场 F ( x , y , z ) 在 ( x , y , z ) 点的旋度(rotation).
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Stokes公式的向量形式:
F T ds
L
rotF n dS (T , n 成右手系).
Stokes公式的物理意义: 向量场F沿有向闭曲线L的环量等于F的
旋度场通过L所张的曲面的通量.
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*三、 环流量与旋度
u ( x, y , z )
u u ( x x, y , z ) u ( x, y , z ) 则 lim x x 0 x 1 ( x x, y , z ) lim Pd x Qd y Rd z x 0 x ( x, y , z ) 1 x x d x lim Qd p y( xR d z x, y , z ) (2) 对G内任一分段光滑曲线 P ,d lim xP x 0 x x x 0 与路径无关 P( x, y, z ) u, 使 d u P d x Q d y R d z (3) 在G内存在某一函数
或用第一类曲面积分表示:
定理1
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 z 个边界, 方向如图所示. 1 解: 记三角形域为 , 取上侧,则
O
d yd z d zd x d xd y
x y z
z
Γ
利用斯托克斯公式得
O x
dS
cos cos cos
I
2y
0
x
y2
y
z
xy
xz
公式其他形式 目录 上页 下页 返回 结束
练1
计算 3 y 2 dx 4 zdy 6 xdz, 其中
L
z
1
L是由点A( 2,0,0)到B(0,2,1)再到O (0,0,0) 最后回到A的三角形.
Pd x Qd y Rd z
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R cos cos cos d S Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
xy ( x y) z xy yz zx
0
0
O
( x,0,0)
y
x
定理2 目录 上页
( x, y,0)
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二、环量及旋度
1,环量的定义 若 F 是有向闭曲线 L上的一个向量场, 则 称曲线积分 F Tds 为 F 按给定方向沿曲线 L 的 L 环量, 其中 T 是与L方向一致的 L的单位切向量. 说明 若向量场 F ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k ,
返回
则
P d x C P( x, y, z( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z d xd y z Dx y y z y P P f y cos d S y z
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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :
x y z P Q R
i
j
k
rot A n d S A d s
n L
B(0,2,1)
O
解 令是由L所围成的三角形区域, 2 y x A(2,0,0) 取上侧 , 的方程为 z .
2 3 y dx 4zdy 6 xdz L
2 y
2
0 4dydz 0 6dzdx 0 6 y dxdy
斯托克斯公式
Pd x Qd y Rd z
n (cos , cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
设曲面 的法向量为 则斯托克斯公式可写为
( P cos Q cos R cos ) d s
4dydz 6dzdx 6 ydxdy 0 6 dzdx 6 ydxdy
1 2 2 y 6 2 6 0 dy 0 ydx 6 60 y(2 y )dy 14. 2
2
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Dzx
Dxy
练 计算曲线积分 习2 I ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz , L
Q Q 同理可证 Q d y x d x d y z d y d z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P y
Q Q , x z
R , R P y x z
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证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1) (2) (自证) (2) (3)
设函数
( x, y , z ) Pd x Qd y Rd z ( x0 , y0 , z0 )
D xy
6 xy
( xy 表示Dxy的面积)
x y
Dxy
x y
3 2
1 9. 6(1 2 ) 2 8
1
1 o 2
1y
x
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P, Q, R 在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:11 yx
Dx y
z
x
y
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
利用对称性
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例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
3 L是用平面 x y z 截立方体： 0 x 1, 0 y 1, 2
0 z 1 的表面所得的截痕, L的方向是从 Oz 轴的正向
3 解 取 为平面 x y z 被L所截的 2 部分, 方向为上侧,
1 则 的单位法向量为：n {1, 1, 1} 3
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同理可证 故有
du Pd x Qd y Rd z
(3) (4) 若(3)成立, 则必有 u u u P, Q, R x y z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P u Q y x y x