斯托克斯公式

从而
∫
Γ
( y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 9 = −6 A = − 6 a ⋅ a 2 = − a 3 4 2
例 8.4 计算
∫
xdy − ydx ,其中 Γ 为： Γ x2 + y2
(1) 任意不围绕也不通过 z 轴的闭曲线 Γ ,从 z 轴正方向看其方向为逆时针方向,如图 8.5(a) . (2) 任意围绕 z 轴一圈的闭曲线,从 z 轴正方向看其方向为逆时针方向, 如图 8.5(b) .
。
证 首先假设平行于三个坐标轴的直线与曲面 Σ 的交点至多只有一个。下面证明
∫
Γ
X ( x, y, z )dx = ∫∫
Σ
∂X ∂X dz ∧ dx − dx ∧ dy ∂z ∂y
设曲面 Σ 在平面 xOy 上的投影区域为 Dxy ，区域 Dxy 的 边界曲线为 Γ′ ， Γ′ 的方向与 Γ 一致。 曲面 Σ 的方程为
12.8 斯托克斯公式
12.7 节中的奥-高公式揭示了沿着闭曲面 Σ 第二型曲面积分与该曲面所围成的闭区 域上的三重积分之间的内在联系,认为是格林公式在三维空间 的推广.而格林公式还可以从 另一方面进行推广,就是将曲面积分与沿该曲面的边界闭曲线的积分联系起来. 设 Σ 为一光滑的有界开曲面,其边缘是空间闭曲线 Γ .这里曲面 Σ 的正向与闭曲线 Γ 的正 向要符合右手系..即右手的四指按 Γ 的正向弯曲, 则大拇指指向为曲面 Σ 的正向,反之亦然. 定理 8.1 设光滑的开曲面 Σ 的边界是光滑或逐段光滑闭曲线 Γ ,函数 X ( x, y, z ) 、
∂X
−
∂Z ∂Y ∂X )dz ∧ dx + ( − )dx ∧ dy ∂x ∂x ∂y
∫∫ [(− x) − (− x)]dy ∧ dz + [(− y) − (− y))dz ∧ dx + [(− z ) − (− z )]dx ∧ dy = 0
于是
∫
C ( A, B )
=
=
∫ −∫
Γ
AB
BA
=
旋线： x = a cos t , y = a sin t.z = 解
h t , 0 ≤ t ≤ 2π , A(a, 0, 0), B(a, 0, h) 如图 8.3 所示 . 2π
曲线 C ( A, B ) 加上线段 BA 构成逐段光滑闭曲线 Γ ,其中
X = x 2 − yz ， Y = y 2 − zx ， Z = z 2 − xy ∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Z ∂Z = − z, = − y, = − x, = − z, = − y, = −x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
∫
=
Γ
Xdx + Ydy + Zdz
∫∫ [( ∂y − ∂z ) cos α + ( ∂z
Σ
o
∂Z
∂Y
∂X
−
∂Z ∂Y ∂X ) cos β + ( − ) cos γ ]ds ∂x ∂x ∂y
（8.2）
其中 n = (cos α , cos β , cos γ ) 是 Σ 的单位法向量. 为了便于记忆,可将(8.2)中的曲面积分记做
∫
Γ
′ ydx + zdy + xdz = − ∫∫ (− z ′ (1 + 1 + 1)dσ xy x − z y + 1) dσ xy = − ∫∫
Dxy Dxy
= −3 ⋅
a2 3a 2 =− 2 2
例 8.2
计算
∫
C ( A, B )
( x 2 − yz )dx + ( y 2 − zx)dy + ( z 2 − xy )dz , 其中曲线 C ( A, B) 是螺
dz ∧ dx = cos β ds = −ϕ ′ y ′ + ϕ′ 1 + ϕx y
2 2
⎤ ⎥ = ( cos α , cos β , cos γ ) ⎥ ⎦
2 ′2 + ϕ ′ ′ 1 + ϕx y d σ xy = −ϕ y dσ xy
−dx ∧ dy = − cos γ ds = −
1
′ + ϕ′ 1 + ϕx y
C (0, 0, a)
解
组成的三角形的边界 ABCA,正向取做 A → B → C → A ,如图 8.2 所示。 当然此题可以直接去计算曲线积分.这里用斯托克斯公式来计算. 把闭曲线 Γ
视由点 A、B、C 所确定的三角形平面的边界.记该三角形平面为 Σ , 则 Γ 的方向确定了
Σ 上的侧 ,符合右手系.于是,记
∂X ∂Y ∂Z ∂Z = = = =0 ∂z ∂z ∂x ∂y
故由斯托克斯公式,此时有
∫
= =
xdy − ydx Γ x2 + y2 ∂Z ∂Y ∂X − ∂Z ∂Y ∂X )dz ∧ dx + ( − )dx ∧ dy ∂x ∂x ∂y
∫∫ ( ∂y − ∂z )dy ∧ dz + ( ∂z
Σ
0 ≤ x ≤ a 、 0 ≤ y ≤ a 、 0 ≤ z ≤ a 的表面与平面 x + y + z =
定的法方向 n = (1,1,1) 构成右手系,如图 8.4 所示 . 解
3 a 的交线,其方向与平面指 2
Leabharlann Baidu
X = y 2 − z 2 ， Y = z 2 − x2 ， Z = x2 − y 2 ∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Z ∂Z = 2 y, = −2 z , = 2 z, = −2 x , = 2 x, = −2 y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
2
2
2 ′2 + ϕ ′ 1 + ϕx y dσ xy = − dσ xy
于是
∫∫
Σ
∂X ∂X ∂X ∂X )dσ xy dz ∧ dx − dx ∧ dy = − ∫∫ ( ϕ ′ y + D xy ∂z ∂y ∂z ∂y
= − 可见
∫∫
Dxy
∂X [ x, y, ϕ ( x, y )]dσ xy ∂y
Σ
∂Y ∂Y dx ∧ dy − dy ∧ dz ∂x ∂z
∫
Γ
Z ( x, y, z )dx = ∫∫
∂Z ∂Z dy ∧ dz − dz ∧ dx Σ ∂y ∂x
将上面三式的等号左、右两端分别相加，得斯托克斯公式(8.1)
.
若曲面 Σ 与平行于三个坐标轴的直线交点多于一点,可利用一些辅助曲线把它分成若 干块,使每块与平行与三个坐标轴的直线至多交于一点,那么在每一块上应用 (8.1),相加并注 意到在辅助曲线上线积分恰好来回各积分一次而相互抵消,从而式(8.1) 仍成立. 斯托克斯公式也用第一型曲面积分表示,即
Σ
=−
∫∫ dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy
Σ
由于 Σ : x + y + z = a 或 z = a − x − y ， ( x, y ) ∈ Dxy = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a − x} 且 Σ 取上侧 , 于是由第二型曲面积分计算公式 ,有
cos β ∂ ∂y Y
cos γ ∂ ds ∂z Z
（8.3）
特别,当 Γ 是 xOy 平面上的简单闭曲线，曲面 Σ 是 Γ 在 xOy 平面上所围成的平面 区域, 斯托克斯公式就退化为格林公式. 例 8.1 计算
∫
Γ
ydx + zdy + xdz ，其中点 Γ 是由点 A(a, 0, 0) 、 B (0, a, 0) 、
记以 Γ 为边界的图 8.3 所示的阴影部分的曲面为 Σ ,且 Σ 正方向与 Γ 的方向与符合右手系. 于是由斯托克斯公式,有
∫
= =
Γ
( x 2 − yz ) dx + ( y 2 − zx)dy + ( z 2 − xy )dz
∫∫ ( ∂y − ∂z )dy ∧ dz + ( ∂z
Σ
Σ
∂Z
∂Y
解 (1) D 任取一个以 Γ 为边界且不通过 z 轴的曲面 Σ ,由假设
X=
−y x ， Y= 2 ，Z = 0 2 x +y x + y2
2
且
∂X −( x 2 + y 2 ) + y (2 y ) y 2 − x2 = = 2 ( x 2 + y 2 )2 ( x + y 2 )2 ∂y
∂Y x 2 + y 2 − x(2 x) y 2 − x2 = = ∂y ( x 2 + y 2 )2 ( x 2 + y 2 )2
由斯托克斯公式,有
∫
=
Γ
( y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
∫∫ (−2 y − 2 z )dy ∧ dz + (−2 z − 2 x)dz ∧ dx + (−2 x − 2 y)dx ∧ dy
Σ
= −2 = −2
∫∫ ( y + z )dy ∧ dz + ( z + x)dz ∧ dx + ( x + y)dx ∧ dy
X = y, Y =z,
则
Z=x
∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Z ∂Z = 1, = 0, = 0, = 1, = 1, =0 ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
可见 X 、 Y 、 Z 及其偏导数在 Σ 上连续, 根据斯托克斯公式,有
∫
Γ
ydx + zdy + xdz =
∫∫ (0 − 1)dy ∧ dz + (0 − 1)dz ∧ dx + (0 − 1)dx ∧ dy
Σ
∫∫ 0 ⋅ dy ∧ dz + 0 ⋅ dz ∧ dx + 0 ⋅ dx ∧ dy = 0
(2) 此时以 Γ 为边界的任意曲面与 z 轴相交,因而不满足斯托克斯公式的条件.为了用斯托 克斯公式计算原线积分,我们以 Γ 为准线,以平行于 z 轴的直线为母线作一柱面,该柱面 在 xOy 平面上的交线为 Γ1 ,其方向从 z 轴正方向看为 顺时针方向。取该柱面在 Γ 与
Y ( x, y, z ) 、 Z ( x, y, z ) 及其偏导数在曲面 Σ 上连续,则
∫
=
Γ
Xdx + Ydy + Zdz
∫∫ ( ∂y − ∂z )dy ∧ dz + ( ∂z
Σ
∂Z
∂Y
∂X
−
∂Y ∂X ∂Z )dz ∧ dx + ( − )dx ∧ dy ∂x ∂x ∂y
（8.1）
这里曲面 Σ 的正侧与曲线 Γ 的正向成右手系.公式（8.1）称为斯托克斯 (Stokes,1819~1903，英国数学家)公式
Σ : Z = ϕ ( x, y )
如图 8.1 所示。
( x, y ) ∈ Dxy
平行于 z 轴的直线与曲面 Σ 至多有一个交点，由曲线积分计算公式，有
∫
另一方面
Γ
X ( x, y, z )dx = ∫ X [ x, y, ϕ ( x, y )]dx
Γ′
⎡ −ϕ ′ ′ −ϕ x 1 y , , no = ⎢ 2 2 ⎢ ′2 ′ 2 1 + ϕx ′2 + ϕ′ ′2 + ϕ ′ 1 + ϕx y y ⎣ 1 + ϕx + ϕ y
= −2 3 a
∫∫
Dxy
2 ′ 2 1 + ( z′ x ) + ( z y ) dσ xy
= −2 3 a
∫∫
Dxy
1 + (−1) 2 + (−1) 2 dσ xy = −2 3 a 3 ∫∫ dσ xy
Dxy
a 1 a 1 3 Dxy 是曲面 Σ 在 xOy 平面上的投影,它的面积是 A = a 2 − ( ) 2 ⋅ − ( ) 2 ⋅ = a 2 ， 2 2 2 2 4
∫
AB
( x 2 − yz )dx + ( y 2 − zx)dy + ( z 2 − xy )dz
h
∫
( z 2 − xy )dz = ∫ ( z 2 − a ⋅ 0)dz =
0
h3 3
例 8.3
计算
∫
Γ
( y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ,其中 曲线 Γ 是立方体
∫∫ [( ∂y − ∂z ) cos α + ( ∂z
Σ
∂Z
∂Y
∂X
−
∂Z ∂Y ∂X ) cos β + ( − ) cos γ ]ds ∂x ∂x ∂y
cos α ∂ = ∫∫ Σ ∂x X
cos β ∂ ∂y Y
cos γ ∂ ds ∂z Z
于是斯托克斯公式也可写做
cos α ∂ ∫Γ Xdx + Ydy + Zdz = ∫∫Σ ∂x X
=
∫
Γ′
X [ x, y, ϕ ( x, y )]dx
（利用格林公式）
∫
Γ
X ( x, y, z )dx =
o
∫∫
Σ
∂X ∂X dz ∧ dx − dx ∧ dy ∂z ∂y
如果曲面的法向量 n 与 x 轴的正向夹角 同理可得
γ>
π
2
，同样的方法可证上式成立。
∫
Γ
Y ( x, y, z )dx = ∫∫
Σ Σ
∫∫ [( y + z) cos α + ( z + x) cos β + ( x + y) cos γ ]ds
o
由于 Σ 的单位法向量 n =
1 (1,1,1) ,于是 3
∫
=−
Γ
( y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
4 4 3 ⋅ a ds ( x + y + z )ds = − ∫∫ Σ 3 3 2 ∫∫Σ