第七节 斯托克斯公式11-7

x

P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos

x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
2. 场论中的三个重要概念

设 u u (x, y, z),
A

(P,
Q,
R),



x
,
y
,
z
,
则
梯度:
gradu
u x
,

u y
,
u z
cos cos cos


x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分 之间的关系.
(当Σ是 xOy 面上的闭区域时)


(R y

Q )dydz z

(P z
二、 环流量与旋度
斯托克斯公式
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
dxd y 3

利用对称性Dx y
2
例2. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I


x y
y2 xy
z
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度
E

q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
dS
xz

o x
2y
0
例题3 计算曲线积分
Ñ z y dx x z dy x y dz,
L
其中L是曲线

x2

y2
1
, 从z百度文库正向
x y z 2
往z轴负向看L的方向是顺时针的。
例题4 计算曲线积分Ñ xydx z2dy zxdz, L
z l M
o
r y
x
xy z
i jk
rot v
x
y
z
(0, 0, 2) 2
y x 0 (此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为 , M为刚体上任一
点, 建立坐标系如图,则
(0, 0, ), r (x, y, z)
点 M 的线速度为 i jk
v r 0 0 ( y, x, 0)
第七节 斯托克斯公式
教学内容
1 斯托克斯公式； 2 环流量与旋度；
本节考研要求
1 会用斯托克斯公式计算曲线积分；
2 了解旋度的概念，并会计算。
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

u
散度:
div
A

P x

Q y

R z


A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
其中L是锥面z x2 y2与柱面x2 y2 2ax
a 0的交线以z轴看逆时针方向。
例题5
计算曲线积分Ñ
L
x

1
dx y 1
x2 y2 z
dy
2

zdz
,
其中L是平面x y z 0与球面x2 y2 z2 1
的交线, 从oz轴正向往下看为逆时针方向。
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk

x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A

R )dzdx x

(Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
利用斯托克斯公式可以把对坐标的空间曲线积分化为 以此曲线为边界的空间曲面的曲面积分，然后利用高斯 公式可化为三重积分或直接化二重积分计算，关键是根据 给出的空间曲线适当的选取以此曲线为边界的曲面，大部 分情况下可选空间的平面的一部分，要注意的是使曲面的 侧和曲线的方向符合右手规则。
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y

x
y

z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示: