2019年高考数学一轮复习课时分层训练30数列求和文北师大版_98

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2019年高考数学一轮复习课时分层训练30数列求和文北师大版

课时分层训练(三十) 数列求和A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．(2018·池州模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：00090179】A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B ．] 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C ．] 5．已知函数f (x )＝x a的图像过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋＋f n，n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( ) A ． 2 016－1 B ． 2 017－1 C ． 2 018－1D ． 2 018＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1fn ＋＋f n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＝ 2 018－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________.0 [a n ＝sinn π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.S 2 016＝S 4×504＝0.]7．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝________. 【导学号：00090180】 120 [由1n ＋1＋n＝n ＋1－n 得S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1所以S m ＝m ＋1－1＝10，解得m ＝120.]8．(2017·广州综合测试(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1n ＋n －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋1212n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 三、解答题9．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 2分即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.4分又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. 6分(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.8分设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝nn ＋. 12分10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25. 3分所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.5分(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；8分当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )【导学号：00090181】A ．22 016－1B ．3·21 008－3 C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2B [a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋－21 0081－2＝3·21 008－3.故选B ．]2．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，则S ＝________.1 007 [∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，① S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，②①＋②得，2S ＝f 12 015＋f 2 0142 015＋f 22 015＋f 2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.]3．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n . 【导学号：00090182】 [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n. (2)由题意知S 2n ＋1＝n ＋b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .。

2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练33数列求和理北师大版3180

项和为 (
)
A． 100
B． 110
C． 120
D． 130
C [{ an＋ an＋1} 的前 10 项和为 a1＋ a2＋ a2＋ a3＋…＋ a10＋ a11＝ 2( a1＋ a2＋…＋ a10) ＋ a11－ a1
＝ 2S10＋10×2＝ 120. 故选 C.]
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为
所以 S＝ 3＋ 2＋ 22＋…＋ 2n－ 1 － 2n
n－1
1
1
2 1－ 2
n＋ 2
＝ 3＋
1
－ 2n
1－ 2
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会当凌绝顶，一览众山小
n＋ 4 ＝ 4－ 2n .]
n1 8．(2017 ·全国卷Ⅱ ) 等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， a3＝ 3， S4＝ 10，则∑k＝1Sk＝ ________.
会当凌绝顶，一览众山小
课时分层训练 ( 三十三 ) 数列求和
A 组基础达标
一、选择题
111 1
1
1．数列
12， 34， 58， 716，…，
(2
n－
1)
＋
n
2
，…的前
n 项和 Sn 的值等于 (
)
A．
n2＋
1
－
1 2n
B．
2n2－
n＋
1
－
1 2n
C．
n2＋
1
－
2
1
n－
1
D．
n2 － n＋
1－
1
n
2
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思

2019高三数学北师大版理科一轮：课时规范练31 数列求

课时规范练31数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1--D.n2-n+1-2.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=()A.-495B.765C.1 080D.3 1053.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m,其中m,n为正整数,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.554.已知函数f(x)=x a的图像过点(4,2),令a n=,n∈N+.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018等于()A.-1B.+1C.-1D.+15.已知数列{a n}中,a n=2n+1,则--+…+-=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n〚导学号21500545〛6.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,若S n+1=S n,则数列的前2 018项和为.7.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和S n.综合提升组8.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和S n>1 020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.109.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A. B.D.-〚导学号21500546〛C.-10.(2017福建龙岩一模)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N+都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则+…+=.11.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=a n-1(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3+1,求+…+.-创新应用组12.(2017全国Ⅰ,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是() A.440 B.330 C.220 D.110 〚导学号21500547〛参考答案课时规范练31数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+…=n2+1-.2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1.5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以--+…+-+…+--=1-=1-.6.∵S n+1=S n,∴.又a1=2,∴当n≥2时,S n=----- (1)----·…·×2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.∴-.则数列的前2 018项和=--…--.7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+--=n2+2n+2n+1-2.8.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.9.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n=---,∴S n=--…--,故选B.10.对n∈N+都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为.∴a n=.∴b n=log2a n=-n.∴---.则+…+--+…+-=1-.11.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2 ②∴①-②得a n=---,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,∴+…+-+…+--=--+…+-----.12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为--=2n-1,前n组总共的和为---n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N+,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N+,n≥14 所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.。

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练30 数列的概

课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法(对应学生用书第257页)A 组基础达标一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]2．(2017·安徽黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N＋)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47D [∵a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，即S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N ＋)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N ＋)，∴数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S 5＋1＝3×24，解得S 5＝47.故选D.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5-1-1)．图5-1-1则第6个三角形数是( )【导学号：79140168】A ．27B ．28C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．nD [∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n ，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21·1＝n .]5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则该数列的前2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝( ) A.13 B ．－13 C ．3D ．－3C [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504·a 1a 2a 3＝3.] 二、填空题6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第______项．10 [令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．所以a 10＝0.08.]7．(2017·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________.12 [∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________.【导学号：79140169】2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n . 因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N ＋)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1， ② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .B 组能力提升11．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n－1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A.215 B ．225 C.235D ．245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]12．(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9B [∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N ＋，∴⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223，∵k ∈N ＋，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.]13．在一个数列中，如果任意n ∈N ＋，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.28 [依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.] 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围.【导学号：79140170】[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.因为n ∈N ＋，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N＋，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练数列的概念与简单表示法文北师大版_

课时分层训练(二十七) 数列的概念与简单表示法A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－na n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．32 B ．53 C ．85 D ．23D [a2＝1＋－2a 1＝2，a 3＝1＋－3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－a 4＝23.] 2．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6，故选B ．]3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )【导学号：00090158】A ．3(3n－2n) B ．3n＋2 C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3n，故选C ．]4．(2018·黄山模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47D [法一：a 2＝S 1＋1＝3，a 3＝S 2＋1＝6，a 4＝S 3＋1＝12，a 5＝S 4＋1＝24，所以S 5＝S 4＋a 5＝47.法二：∵a n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *) ∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，∴数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S 5＋1＝3×24，解得S 5＝47.故选D ．] 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )A ．12B ．－12C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1n－3，若a 4＝32，则a 1＝________. 12[a 4＝S 4－S 3＝a 14－3－a 13－3＝32解得a 1＝12.]7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.12n (n ＋1) [由a n －a n －1＝n 得a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，上面(n －1)个式子相加得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，又n ＝1时也满足此式，所以a n ＝12n (n ＋1)．]8．(2018·岳阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n ＋a n2，则a 2 017＝________.2 017 [由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n .则a 2 017＝2 017.] 三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？【导学号：00090159】[解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．已知S n 为正项数列{a n } 的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； 3分S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. 5分 (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.8分由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n 22B [∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n n ＋2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n n －2(n ≥2)，两式相减得a n ＝n n ＋2－n n －2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，※又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合※式，∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B ．]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝__________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 [由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2qn －2＝3×4n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．【导学号：00090160】[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 2分因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 7分又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k2<32，即得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞). 12分。

精选2019届高考数学北师大版一轮复习讲义：第4讲数列求和

§6.4 数列求和1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d. 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n(n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.知识拓展数列求和的常用方法 (1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和． (2)分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ³ )(4)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n －1的前n 项和为n 2＋12n .( ³ )(5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )(6)如果数列{a n }是周期为k 的周期数列，那么S km ＝mS k (m ，k 为大于1的正整数)．( √ ) 题组二教材改编2．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9) D ．100(1－2－9)答案 A解析第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100³2－9)＝100＋2³100³(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200³2－1(1－2－9)1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 3．1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________.(x ≠0且x ≠1)答案 1－x n(1－x )2－nxn1－x解析设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1，①则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n，②①－②得(1－x)S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n＝1－x n1－x －nx n ， ∴S n ＝1－x n(1－x )2－nxn1－x . 题组三易错自纠4．(2017²潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n 4B.n 2＋5n 3C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n答案 A解析设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d.又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1²a 6. 即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n.5．(2018²日照质检)数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1²(4n－3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4³1－3)－(4³2－3)＋(4³3－3)－…－(4³100－3)＝4³[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4³(－50)＝－200.6．数列{a n }的通项公式为a n ＝ncos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析因为数列a n ＝ncos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4.∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017＝2 0164³2＋2 017²cos 2 0172π＝1 008.题型一分组转化法求和典例 (2018²合肥质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n.a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n. (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n＋(－1)nn.记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n)1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n]＝n. 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.引申探究本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解由(1)知b n ＝2n＋(－1)nn. 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋ (2))＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n] ＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．跟踪训练等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n(n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n ＋2)，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋ (2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2(1－4n)1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．题型二错位相减法求和典例(2017²天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N ＋)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q. 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.又因为q>0，解得q ＝2，所以b n ＝2n. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2³4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)³4n，故T n ＝2³4＋5³42＋8³43＋…＋(3n －1)³4n，③4T n ＝2³42＋5³43＋8³44＋…＋(3n －4)³4n ＋(3n －1)³4n ＋1，④③－④，得－3T n ＝2³4＋3³42＋3³43＋…＋3³4n－(3n －1)³4n ＋1＝12³(1－4n)1－4－4－(3n －1)³4n ＋1＝－(3n －2)³4n ＋1－8，得T n ＝3n －23³4n ＋1＋83. 所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23³4n ＋1＋83. 思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．跟踪训练 (2018²阜阳调研)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d>1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19(2n ＋79)，b n＝9²⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.题型三裂项相消法求和命题点1 形如a n ＝1n (n ＋k )型典例 (2017²郑州市第二次质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋2的前n 项和为T n ，求证：T n <34. (1)解由S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N ＋)，得S n －1＝12a n ＋n(n ≥2，n ∈N ＋)，两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2，即a n ＋1－1＝3(a n －1)，又a 1－1＝－2－1＝－3≠0，所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，所以a n －1＝(－3)²3n －1＝－3n.故a n ＝－3n＋1.(2)证明由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n＝n ，得1b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1⎭⎪⎫－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)<34. 命题点2 a n ＝1n ＋n ＋k型典例已知函数f(x)＝x α的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析由f(4)＝2，可得4α＝2，解得α＝12，则f(x)＝12x .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n)，1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．跟踪训练 (2018届贵州遵义航天高级中学模拟)已知等差数列{a n }满足(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a n ＋1)＝2n(n ＋1)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ²a n ＋1，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，当n ＝1时，a 1＋a 2＝4，当n ＝2时，a 1＋a 2＋a 2＋a 3＝12，即4a 2＝12，a 2＝3， ∴a 1＝1，d ＝a 2－a 1＝2，∴等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴a n ＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.四审结构定方案典例 (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2的前n 项和为T n ，求证：T n <4.(1)S n ＝－12n 2＋kn ――――→S n 是关于n 的二次函数n ＝k 时，S n 最大――――――――→根据S n 的结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n ――→根据S n 求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n＝n 2n －1――――――――→根据数列结构特征确定求和方法T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――――→错位相减法求和计算可得T n ―→证明：T n <4规范解答(1)解当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n.当n ＝1时，上式也成立．综上，a n ＝92－n.[6分](2)证明 ∵9－2a n 2n ＝n2n －1，∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[7分]②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.[11分]∴T n ＝4－n ＋22n －1.∴T n <4.[12分]1．(2018²广州调研)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n答案 A解析该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n.2．(2018²长春调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1²n，则S 17等于( )A ．9B ．8C ．17D ．16答案 A解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.3．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82 答案 B解析由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1²a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.4．(2018²深圳调研)已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200 答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50³101＋50³103＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前12项和为( ) A ．211 B ．212 C ．126 D ．147 答案 D解析由题意意可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋1＝2，a 4＝2a 2＋0＝4，a 5＝a 3＋1＝3，a 6＝2a 4＝8.即其奇数项构成首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前2n 项的和S 2n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n (n －1)2³1＋2(1－2n )1－2＝n 2＋n 2＋2n ＋1－2，令n ＝6，可得S 12＝147.6．(2018届南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008，2 009，1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018＝________. 答案 4 017解析由题意可知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝2 008， a 2＝2 009，∴a 3＝1，a 4＝－2 008，a 5＝－2 009，a 6＝－1，a 7＝2 008，…，所以a n ＋6＝a n ，即数列{a n }是以6为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝4 017.7．(2017²全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则k ＝1n 1S k ＝________. 答案2n n ＋1 解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4³32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.∴S n ＝n ³1＋n (n －1)2³1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴k ＝1n1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 8．(2018²商丘质检)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为__________．答案 2n ＋1－2－n解析由题意知所求数列的通项为1－2n 1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n.9．(2018届湖南永州模拟)若S n ＝12＋12＋4＋12＋4＋6＋...＋12＋4＋6＋ (2)(n ∈N ＋)，则S 2 017＝________. 答案 2 0172 018解析令a n ＝12＋4＋6＋…＋2n ＝2(2＋2n )n ＝1n －1n ＋1，故S 2 017＝1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2 0172 018. 10．(2017²安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.答案 4n －1解析由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)³(－4)n －1，∴|b n |＝3³4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n －1. 11．(2018届广东佛山三水区实验中学模拟)已知等差数列{a n }的公差d 为2，S n 是它的前n 项和，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求a n 和S n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)因为a 4＝a 1＋3d ＝a 1＋6，a 13＝a 1＋12d ＝a 1＋24，而a 1，a 4，a 13成等比数列，所以a 24＝a 1a 13，即(a 1＋6)2＝a 1(a 1＋24)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋(n －1)²2＝2n ＋1，S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n. (2)由(1)知1S n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 所以T n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n 2＋6n ＋4. 12．(2017²天津河西区二模)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n ＋1)(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a n b n 4(n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，可知a 1＝2满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N ＋)．(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1(n ≥1)，① a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，② ②－①得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，而b 1＝8，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N ＋)．(3)∵c n ＝a n b n 4＝n(3n ＋1)＝n²3n ＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(1³3＋2³32＋3³33＋…＋n ³3n )＋(1＋2＋…＋n)．令H n ＝1³3＋2³32＋3³33＋…＋n ³3n ，③则3H n ＝1³32＋2³33＋3³34＋…＋n ³3n ＋1，④③－④得－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ³3n ＋1 ＝3(1－3n )1－3－n ³3n ＋1， H n ＝(2n －1)²3n ＋1＋34，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝(2n －1)²3n ＋1＋34＋n (n ＋1)2.13．(2018届广东珠海一中等六校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N ＋都有a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017等于( )A.2 0162 017B.4 0322 017 C.2 0172 018D.4 0342 018 答案 D解析由题意可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a 1＝1，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上各式相加可得a n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝2³⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017－12 018 ＝4 0342 018. 14．设f(x)＝4x 4＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，则S ＝________. 答案 1 008解析 ∵f(x)＝4x 4x ＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ， ∴f(x)＋f(1－x)＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017，② ①＋②，得2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017 ＝2 016，∴S ＝2 0162＝1 008.15．(2017²贵州一中、凯里一中联考)已知函数f(x)＝e xe x＋1，{a n}为等比数列，a n>0且a1 009＝1，则f(ln a1)＋f(ln a2)＋…＋f(ln a2 017)等于( )A．2 007 B.11 009C．1 D.2 017 2答案 D解析∵f(x)＝e xe x＋1，∴f(－x)＋f(x)＝e－xe－x＋1＋e xe x＋1＝1，∵数列{a n}是等比数列，∴a1a2 017＝a2a2 016＝…＝a1 008a1 010＝a21 009＝1，设S2 017＝f(ln a1)＋f(ln a2)＋…＋f(ln a2 017)，①则S2 017＝f(ln a2 017)＋f(ln a2 016)＋…＋f(ln a1)，②①＋②得2S2 017＝2 017，∴S2 017＝2 0172，故选D.16．(2018²南昌调研)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，任意n∈N＋，2S n＝a2n＋a n.令b n＝1a n a n＋1＋a n＋1a n，设{b n}的前n项和为T n，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．答案9解析∵2S n＝a2n＋a n，①∴2S n＋1＝a2n＋1＋a n＋1，②②－①，得2a n＋1＝a2n＋1＋a n＋1－a2n－a n，a2n＋1－a2n－a n＋1－a n＝0，(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－1)＝0.又∵{a n}为正项数列，∴a n＋1－a n－1＝0，即a n＋1－a n＝1.在2S n＝a2n＋a n中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴a n＝n，∴b n＝1n n＋1＋(n＋1)n＝(n＋1)n－n n＋1[n n＋1＋(n＋1)n][(n＋1)n－n n＋1]＝(n＋1)n－n n＋1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴T n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，要使T n为有理数，只需1n＋1为有理数，令n＋1＝t2，∵1≤n≤100，∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数．∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.。

高三数学一轮复习课时作业(30)数列求和理北师大版

课时作业(三十) [第 30 讲数列求和][时间：45 分钟分值：100 分]基础热身1．[2011·海口调研] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9＝72，则 a2＋a4＋a9 的值是( )A．24 B．19C．36 D．40 2．[2011·广州二模] ＋a10＝( ) A．－55 B．－5已知数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…C．5 D．553．已知函数 f(x)＝x2＋bx 的图像在点 A(1，f(1))处的切线的斜率为 3，数列f1 n  的前 n 项和为 Sn，则 S2 012 的值为( )A.22007 008B.22010 011C.22009 010D.22012 0134．已知函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x)＝1－f(1－x)，则 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.能力提升5．[2011·阳泉一调] 已知数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，令 bn＝1n(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前 10 项和 T10＝( )A．70 B．75C．80 D．856．[2011·海南省四校二模] 已知数列{an}的通项公式 an＝log3n＋n 1(n∈N*)，设其前 n项和为 Sn，则使 Sn<－4 成立的最小自然数 n 等于( ) A．83 B．82C．81 D．807．[2011·连云港模拟] 设 a1，a2，…，a50 是从－1,0,1 这三个整数中取值的数列，若 a1＋a2＋…＋a50＝9 且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则 a1，a2，…，a50 当中取零的项共有( )A．11 个 B．12 个C．15 个 D．25 个 8．[2011·安徽卷] 若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝( )A．15 B．12C．－12 D．－159．设 m∈N*，log2m 的整数部分用 F(m)表示，则 F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)的值是( ) A．8204 B．8192 C．9218 D．以上都不对 10．[2011·淮北联考] 对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若 a1＝2，{an}的“差数列”的通项为 2n，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________.11．数列{an}的通项公式为 an＝1，其前 n 项之和为 10，则在平面直角坐标n＋ n＋1系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0 在 y 轴上的截距为________．12．已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－2n，其前 n 项和为 Sn，则数列2Snn的前 n 项和 Tn＝________.13．已知函数 f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图像上，bn＝ana3n＋1，Tn 是数列{bn}的前n项和，则使得m Tn＜20对所有n∈N*都成立的最小正整数 m 等于________．14．(10 分)[2011·厦门质检] 在等差数列{an}中，a2＝4，其前 n 项和 Sn 满足 Sn＝n2＋λn(λ∈R)．(1)求实数 λ 的值，并求数列{an}的通项公式；(2)若数列S1n＋bn是首项为 λ、公比为 2λ 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.15．(13 分)[2011·新余二模] 已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝12，且[3＋(－1)n]an＋2－ 2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*.(1)求 a3，a4，a5，a6 的值及数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝a2n－1·a2n(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.难点突破 16．(12 分)[2011·深圳一模] 设数列{an}是公差为 d 的等差数列，其前 n 项和为 Sn. (1)已知 a1＝1，d＝2， ①求当 n∈N*时，Sn＋n 64的最小值； ②当 n∈N*时，求证：S21S3＋S23S4＋…＋Snn＋Sn＋12<156； (2)是否存在实数 a1，使得对任意正整数 n，关于 m 的不等式 am≥n 的最小正整数解为 3n－2？若存在，求 a1 的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(三十)【基础热身】1．A9 [解析] S9＝a1＋a9 2＝72，a1＋a9＝16，得 a5＝8，所以 a2＋a4＋a9＝a5－3d＋a5－d＋a5＋4d＝3a5＝24. 2．C [解析] 由 an＝(－1)n(n＋1)，得 a1＋a2＋a3＋…＋a10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5. 3．D [解析] 由题知 f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(n)＝n2＋n，∴f1 n＝n1 n＋111 ＝n－n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝n＋n 1，2012 ∴S2012＝2013.4．3 [解析] 由条件可知 f(x)＋f(1－x)＝1，其中 x＋(1－x)＝1，∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，f(0)＋f(1)＝1，设 M＝f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)，则 M＝f(3)＋f(2)＋f(1)＋f(0)＋f(－1)＋f(－2)，两式相加，得 2M＝6，即 M＝3.【能力提升】5．Bn [解析] 由已知 an＝2n＋1，得 a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝3＋2n＋1 2＝n(n＋2)，10 3＋12则 bn＝n＋2，T10＝2＝75.6．C [解析] Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋ 1)<－4，解得 n>34－1＝80.7．A [解析] (a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2 ＝a21＋a22＋…＋a250＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107， ∴a21＋a22＋…＋a250＝39，∴a1，a2，…，a50 中取零的项应为 50－39＝11 个． 8．A [解析] a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4) ＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.9．A [解析] ∵F(m)为 log2m 的整数部分， ∴当 2n≤m≤2n＋1－1 时，f(m)＝n，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝F(1)＋[F(2)＋F(3)]＋[F(4)＋F(5)＋F(6)＋F(7)]＋…＋F(1024)＝0＋2×1＋4×2＋…＋2k×k＋…＋29×9＋10. 设 S＝1×2＋2×22＋…＋k×2k＋…＋9×29，① 则 2S＝1×22＋…＋8×29＋9×210，②①－②得－S＝2＋22＋…＋29－9×210＝21－29 1－2－9×210＝210－2－9×210＝－213－2，∴S＝213＋2，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝213＋12＝8204. 10．2n＋1－2 [解析] ∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝21－－22n＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝2－1－2n2＋1＝2n＋1－2.11．－120[解析] 由已知，得 an＝1＝n＋ n＋1，故选An＋1－n，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1，∴ n＋1－1＝10，解得 n＝120，即直线方程化为 121x＋y＋120＝0，故直线在 y 轴上的截距为－120.2n－1 12．3·2n＋1－14 [解析] 根据公式法 Sn＝1－4n 1－4－21－2n 1－2＝13(4n＋1－3·2n＋1＋2)＝13(2n＋1－1)(2n＋1－2)＝23(2n＋1－1)(2n－1)，2n 32n故Sn＝2· 2n＋1－12n－1 .由于(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，2n 32n＋1－1 － 2n－1所以Sn＝2· 2n＋1－12n－1＝322n－1 1－2n＋11－1，311111131所以 Tn ＝ 2 21－1 － 22－1 ＋ 22－1 － 23－1 ＋ … ＋ 2n－1 － 2n＋1－1 ＝ 2 1 － 2n＋1－1 ＝2n－1 3·2n＋1－1.13．10 [解析] 由 Sn＝3n2－2n，得 an＝6n－5，又∵bn＝ana3n＋1＝126n1－5－6n1＋1，1 11 1111 11∴Tn＝21－7＋7－13＋…＋6n－5－6n＋1＝21－6n＋1＜2，要使121－6n1＋1＜2m0对所有 n∈N*成立，只需2m0≥12，∴m≥10，故符合条件的最小正整数 m＝10.14．[解答] (1)∵a2＝S2－S1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ， ∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a1＝S1＝2，d＝a2－a1＝2， ∴an＝2n.(2)由已知，∵λ＝1，∴S1n＋bn＝1×2n－1＝2n－1，∴bn＝2n－1－n1 n＋1＝2n－1－1n－n＋1 1，∴Tn＝(1＋21＋22＋…＋2n－1)－1－12＋21－31＋…＋1n－n＋1 1 ＝11－－22n－1－n＋1 1＝(2n－1)－1＋n＋1 1＝2n－2nn＋＋11.15．[解答] (1)由已知得 a3＝3，a4＝14，a5＝5，a6＝18.当 n 为奇数时，an＋2＝an＋2，则 an＝n；当 n 为偶数时，an＋2＝12an，则 an＝a2·12n2－1＝12n2.n，n＝2k－1，因此，数列{an}的通项公式为 an＝12n2，n＝2k.(2)因为 bn＝a2n－1·a2n，则 Sn＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n－3)·12n－1＋(2n－1)·12n， 12Sn＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n－3)·12n＋(2n－1)·12n＋1，两式相减得 12Sn＝1·12＋2122＋…＋12n－(2n－1)·12n＋1 ＝12＋214－1－1221n＋1－(2n－1)·12n＋1＝32－(2n＋3)12n＋1，∴Sn＝3－(2n＋3)·12n.【难点突破】16．[解答] (1)①∵a1＝1，d＝2，∴Sn＝na1＋nn－1 2d＝n2，Sn＋n 64＝n＋6n4≥2 n×6n4＝16，当且仅当 n＝6n4，即 n＝8 时，上式取等号，故Sn＋n 64的最小值是 16.②证明：由①知 Sn＝n2，当 n∈N*时，Snn＋Sn＋12＝n2n＋1 n＋22＝14n12－1 n＋22，23n＋1S1S3＋S2S4＋…＋SnSn＋2＝14112－312＋14212－412＋…＋14n12－1 n＋22 11 11 11 111＝412＋22＋…＋n2－432＋42＋…＋ n＋1 2＋ n＋2 2＝14112＋212－1 n＋12－1 n＋22，11∵ n＋1 2＋ n＋2 2>0，∴S21S3＋S23S4＋…＋Snn＋Sn＋12<14112＋212<156.(2)对任意 n∈N*，关于 m 的不等式 am＝a1＋(m－1)d≥n 的最小正整数解为 cn＝3n－2，当 n＝1 时，a1＋(c1－1)d＝a1≥1；当 n≥2 时，恒有a1＋ cn－1 d≥n， a1＋ cn－2 d<n，即 3d－1 n＋ a1－3d ≥0，  3d－1 n＋ a1－4d <0.3d－1≥0， 3d－1 ×2＋ 从而 3d－1≤0，  3d－1 ×2＋a1－3d a1－4d≥0， <0，⇔d＝13，1≤a1<43.当 d＝13，1≤a1<43时，对任意 n∈N*，且 n≥2 时，当正整数 m<cn 时，有 a1＋m－3 1<a1＋cn－3 1，所以 a1＋m－3 1<n，所以存在这样的实数 a1，且 a1 的取值范围是1，43.。

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练33 数列求和 Word版含解析

课时分层训练(三十三) 数列求和(对应学生用书第页)组基础达标一、选择题．数列，，，，…，(－)＋，…的前项和的值等于( )．＋－．－＋－．＋－．－＋－[该数列的通项公式为＝(－)＋，则＝[＋＋＋…＋(－)]＋＝＋－.]．在数列{}中，＋－＝，为{}的前项和．若＝，则数列{＋＋}的前项和为( ) ．．．．[{＋＋}的前项和为＋＋＋＋…＋＋＝(＋＋…＋)＋－＝＋×＝.故选.]．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：】．里．里．里．里[由题意，知每天所走路程形成以为首项，公比为的等比数列，则＝，解得＝，则＝，即第二天走了里．故选.]．已知数列，－，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于( )．．．．[根据题意这个数列的前项分别为，－，－，－，发现从第项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为，前项和为＋＋＋(－)＋(－)＋(－)＝.又因为＝×＋，所以这个数列的前项之和＝×＋＝.故选.]．已知函数()＝的图像过点()，令＝，∈＋，记数列{}的前项和为，则＝( ) )－．)－)－．)＋[由()＝得＝，解得＝，则()＝).所以＝＝＝－，＝＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋()－))＝)－.]二、填空题．设数列{ }的前项和为，且＝，∈＋，则＝.[＝，∈＋，显然每连续四项的和为.＋＋＝＋＋＝.]＝×．计算：·－＋·－＋·－＋…＋(＋)·－＝.－[设＝×＋×＋×＋…＋(＋)×，则＝×＋×＋×＋…＋(＋)×.两式相减得＝×＋－.所以＝＋－＝＋))－())－＝－.]．(·全国卷Ⅱ)等差数列{}的前项和为，＝，＝，则＝.[设等差数列{}的公差为，则由(\\(＝＋＝，＝＋(×)＝，))得(\\(＝，＝.))∴＝×＋×＝，＝＝.∴＝＋＋＋…＋＝＝＝.]三、解答题．(·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{}的前项和满足：＝＋，∈＋.。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练集合理北师大版

课时分层训练(一) 集合A组基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2A[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.] 4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112A ．{－1，－2}B ．{1,2}C ．{－2,1}D ．{－1,2}A [因为Q ＝{1,2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为A ＝(0，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0,1)，故选C.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1 [∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，∴1∈B 且2∉B . 若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意．又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.]9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2.]B 组能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A. (－2，＋∞) B ．( 4，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]C[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C[由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练30数列的概念与简单表示法理北师大版_

课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法组基础达标一、选择题．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )．，，，，…．－，－，－，－，…．－，－，－，－，…．，，，…，[根据定义，属于无穷数列的是选项，，，属于递增数列的是选项，，故同时满足要求的是选项.]．(·安徽黄山二模)已知数列{}的前项和为，且＝，＋＝＋(∈＋)，则＝( ) ．．．．[∵＋＝＋(∈＋)，即＋－＝＋(∈＋)，∴＋＋＝(＋)(∈＋)，∴数列{＋}为等比数列，其首项为，公比为.则＋＝×，解得＝.故选.]．把，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．图则第个三角形数是( )【导学号：】．．．．[由题图可知，第个三角形数是＋＋＋＋＋＋＝.]．已知＝，＝(＋－)(∈＋)，则数列{}的通项公式是( )．－．．．[∵＝(＋－)，∴＝，∴＝···…···＝···…···＝.]．已知数列{}满足＝，＋＝(∈＋)，则该数列的前项的乘积···…·＝()．－．．－[由题意可得，＝＝－，＝＝－，＝＝，＝＝＝，∴数列{}是以为周期的数列，而＝×＋，＝，∴前项的乘积为·＝.]二、填空题．在数列－，，，…，，…中，是它的第项．[令＝，得－＋＝，则(－)(－)＝，解得＝或＝(舍去)．所以＝.]．(·河北唐山一模)设数列{}的前项和为，且＝，若＝，则＝.[∵＝，＝，∴－＝，∴＝.]．已知数列{}满足＝，－＋＝＋(∈＋)，则＝.【导学号：】[由已知得，－＝，所以－＝－，－＝－，…，－＝，所以－＝，＝，所以＝，所以＝.]三、解答题．已知数列{}的前项和＝＋－.()求数列{}的通项公式；()设＝＋＋，求数列{}的通项公式．[解] ()当＝时，＝＝－＝；当≥时，＝－－＝＋－－(－)＝＋－＝.因为也适合此等式，所以＝(∈＋)．()因为＝＋＋，且＝，＋＝＋，所以＝＋＋＝·.．已知为正项数列{}的前项和，且满足＝＋(∈＋)．()求，，，的值；()求数列{}的通项公式．[解] ()由＝＋(∈＋)，可得＝＋，解得＝；＝＋＝＋，解得＝；同理，＝，＝.()＝＋，①。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练33数列求和理北师大版

课时分层训练(三十三) 数列求和A 组基础达标一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n，…的前n 项和S n 的值等于( ) A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n.] 2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：79140183】A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.]5．已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f(n ＋1)＋f(n)，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( ) A. 2 018－1B ． 2 019－1 C. 2 020－1 D ． 2 020＋1C [由f (4)＝2得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12. 所以a n ＝1f(n ＋1)＋f(n)＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 020－ 2 019)＝2 020－1.]二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N ＋，则S 2 018＝__________. 1 [a n ＝sin n π2，n ∈N ＋，显然每连续四项的和为0. S 2 018＝S 4×504＋a 2 017＋a 2 018＝0＋1＋0＝1.]7．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝__________.4－n ＋42n [设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1. 所以S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n.] 8．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑n k ＝11Sk＝________. 2n n ＋1[设等差数列{a n }的公差为d ，则。

高考数学一轮复习第六章数列课时规范练30 数列求和文北师大版-北师大版高三全册数学试题

课时规X练30 数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.(2018某某某某中学金卷十模,3)已知数列{a n}是各项为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,则数列{a n}的前n项和为()A.2n-2B.2n+1-2C.2n-1D.2n+1-13.(2018某某潍坊二模,4)设数列{a n}的前n项和为S n,若S n=-n2-n,则数列的前40项的和为()A. B.- C. D.-4.已知函数f(x)=x a的图像过点(4,2),令a n=,n∈N+.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018=.5.(2018某某余姚中学4月模拟,17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=30,S10=110.(1)求S n;(2)记T n=+…+,求T n.6.(2018某某某某月考)已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+(-1)n(3n+1).(1)求证:数列{a n+(-1)n n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前10项和S10.7.(2018某某某某一模,17)已知数列{a n}是以1为首项的等差数列,数列{b n}是以q(q≠1)为公比的等比数列.且a2=b1,a3-a1=b2-b1,a2b2=b3.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)若S n=a1b n+a2b n-1+…+a n-1b2+a n b1,求S n.综合提升组8.(2018某某某某期末)等比数列{a n}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则+…+等于()A.2n-1B.(3n-1)C.(4n-1)D.以上都不对9.(2018某某重点中学五模)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=4,S5=15,若数列的前m 项和为,则m=()A.8B.9C.10D.1110.(2018某某潍坊三模,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,且1,a n,S n成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n·b n=1+2na n,求数列{b n}的前n项和T n.11.(2018某某某某三模,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且6S n=3n+1+a(n∈N+).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(3n+1)a n,求数列{a n}的前n项和T n.创新应用组12.(2017全国1,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11013.(2018某某某某月考)数列{a n}满足:a1=,a2=,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=对任何的正整数n都成立,则+…+的值为()A.5 032B.5 044C.5 048D.5 050课时规X练30数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.2.C由题意log2a2=2-1=1,可得a2=2,log2a5=5-1=4,可得a5=16,=q3=8⇒⇒S n==2n-1,故选C.3.D∵S n=-n2-n,∴a1=S1=-2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-n2-n+(n-1)2+(n-1)=-2n,则数列{a n}的通项公式为a n=-2n,=-,数列的前40项的和为S40=-1-+…+=-.4.-1由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1.5.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以S n=n2+n.(2),所以T n=1-++…+=1-.6.(1)证明∵a n+1=2a n+(-1)n(3n+1),∴===2.又a1-1=3-1=2,∴数列{a n+(-1)n n}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解由(1)得a n+(-1)n n=2×2n-1=2n,∴a n=2n-(-1)n n,∴S10=(2+22+…+210)+(1-2)+(3-4)+…+(9-10)=-5=211-7=2 041.7.解 (1)设{a n}的公差为d,{b n}的首项为b1,则a n=1+(n-1)d,b n=b1q n-1.依题意可得解得所以a n=n,b n=2n.(2)S n=1×2n+2×2n-1+…+n×21, ①所以2S n=1×2n+1+2×2n+…+n×22, ②②-①可得,S n=2n+1+(2n+2n-1+…+22)-n×21=2n+1-2n+=2n+2-2n-4.8.C当n=1时,a1=21-1=1,当n≥2时,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1,两式做差可得a n=2n-2n-1=2n-1,且n=1时,21-1=20=1=a1,∴a n=2n-1,故=4n-1,∴+…+(4n-1).9.C S n为等差数列{a n}的前n项和,设公差为d,则解得d=1,则a n=4+(n-4)×1=n.由于,则S m=1-+…+=1-,解得m=10.10.解 (1)由已知1,a n,S n成等差数列,得2a n=1+S n, ①当n=1时,2a1=1+S1=1+a1,∴a1=1.当n≥2时,2a n-1=1+S n-1, ②由①-②,得2a n-2a n-1=a n,∴=2,∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴a n=a1q n-1=1×2n-1=2n-1.(2)由a n·b n=1+2na n得b n=+2n,∴T n=b1+b2+…+b n=+2++4+…++2n=+(2+4+…+2n)==n2+n+2-.11.解 (1)∵6S n=3n+1+a(n∈N+),∴当n=1时,6S1=6a1=9+a;当n≥2时,6a n=6(S n-S n-1)=2×3n,即a n=3n-1,∵{a n}为等比数列,∴a1=1,则9+a=6,a=-3,∴{a n}的通项公式为a n=3n-1.(2)由(1)得b n=(3n+1)3n-1,∴T n=b1+b2+…+b n=4×30+7×31+…+(3n+1)3n-1,3T n=4×31+7×32+…+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,∴-2T n=4+32+33+…+3n-(3n+1)3n,∴T n=.12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N+,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N+,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.13.B∵a1a2+a2a3+…+a n a n+1=n, ①a1a2+a2a3+…+=(n+1), ②①-②,得-=n-(n+1),∴=4,同理得=4,∴,整理得,∴是等差数列.∵a1=,a2=,∴等差数列的首项为4,公差为1,=4+(n-1)×1=n+3,∴+…+=5 044.。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练30数列求和文北师大版_98