全等三角形单元复习与巩固1

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2021年九年级中考真题《全等三角形》专题复习巩固

《全等三角形》单元复习巩固一．选择题1．（2019秋•宿松县校级期末）在如图所示的66⨯网格中，ABC ∆是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与ABC ∆有一条公共边且全等（不含)ABC ∆的所有格点三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个2．（2020春•宽城区期末）如图，ABC DEF ∆≅∆，7BC =，4EC =，则CF 的长为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．（2020春•平川区校级期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④)，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带( )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块4．（2020春•槐荫区期末）在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB AC =，BO CO =，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下B ∠和C ∠是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是( )A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS5．（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =，连接BD ，若8AC cm =，则AD DE +等于( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm6．（2020春•太仓市期末）如图，DEF ∆的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与DEF ∆全等（重合的除外）的三角形个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2020春•武侯区校级期中）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠=︒，4AC =，H 是ABC ∆的垂心，则线段BH 的长度为( )A ．3B ．4C ．5D ．68．（2019秋•青龙县期末）如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若26AOB ∠=︒，则BOD ∠的度数为( )A ．38︒B ．52︒C ．28︒D ．54︒二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，已知ABC ADE ∆≅∆，60DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠的度数是度．10．（2020秋•海淀区校级月考）如图，ABC ADE ∆≅∆，且120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，CFD ∠= ︒．11．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则12∠+∠= ．12．（2020春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有．（填番号）13．（2020春•沙坪坝区校级月考）一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边上面的中线a 的范围是．14．（2020春•汉寿县期中）如图，在Rt ABC ∆与Rt DCB ∆中，已知90A D ∠=∠=︒，若利用“HL ”证明Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）15．（2019秋•白云区期末）如图，已知AB CD =，BF EC =，只需再补充一个条件就能使ABE DCF ∆≅∆，则下列条件中，符合题意的分别有（只填序号）． ①AE DF =；②//AE DF ；③//AB CD ；④A D ∠=∠．16．（2020春•蓬莱市期末）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，ABP∆和DCE ∆全等．三．解答题17．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，ABC ∆中，D 是BC 延长线上一点，满足CD AB =，过点C 作//CE AB 且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ．（1）求证：ABC DCE ∆≅∆；（2）若50B ∠=︒，22D ∠=︒，求AFG ∠的度数．18．（2019秋•宾县期末）如图，AE AD =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于O ．（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，连接BC 、AO ，请直接写出图2中所有的全等三角形（除ABE ACD ∆≅∆外）．19．（2020春•岳麓区校级期末）如图，已知点A ，C ，D 在同一直线上，BC 与AF 交于点E ，AF AC =，AB DF =，AD BC =．（1）求证：ACE EAC ∠=∠；（2）若50B ∠=︒，110F ∠=︒，求BCD ∠的度数．20．（2019秋•黄石期末）如图：AE DE =，BE CE =，AC 和BD 相交于点E ，求证：AB DC =．21．（2019秋•荔湾区期末）如图，在ABC ∆中，18AB AC cm ==，10BC cm =，2AD BD =．（1）如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？22．（2020•碑林区校级三模）如图，A 、C 、D 三点共线，ABC ∆和CDE ∆落在AD 的同侧，AC CE =，B BCE CDE ∠=∠=∠．求证：AB CD =．23．（2020•温州模拟）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BD =，A B ∠=∠，E F ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ∆≅∆；（2）若65BCF ∠=︒，求DM F ∠的度数．24．（2019秋•沈北新区期末）如图，AB CD ⊥于B ，CF 交AB 于E ，CE AD =，BE BD =．（1）求证：ABD CBE ∆≅∆；（2）求证：CF AD ⊥；（3）当30C ∠=︒，8CE =时，直接写出线段AE 、CF 的长度．25．（2019秋•恩阳区期末）如图，//AB CD ，AE DC =，AB DE =，EF BC ⊥于点F ．求证：（1）AEB DCE ∆≅∆；（2）EF 平分BEC ∠．一．选择题1．（2019秋•宿松县校级期末）在如图所示的66⨯网格中，ABC ∆是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与ABC ∆有一条公共边且全等（不含)ABC ∆的所有格点三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个【解答】解：如图所示：一共有7个符合题意的点．故选：D ．2．（2020春•宽城区期末）如图，ABC DEF ∆≅∆，7BC =，4EC =，则CF 的长为( )A ．2B ．3C ．5D ．7【解答】解：ABC DEF ∆≅∆，7EF BC ∴==，4EC =，3CF ∴=，故选：B ．3．（2020春•平川区校级期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④)，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带( )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故选：B ．4．（2020春•槐荫区期末）在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB AC =，BO CO =，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下B ∠和C ∠是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是( )A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS【解答】解：在ABO ∆和ACO ∆中，AB AC BO CO AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABO ACO SSS ∴∆≅∆，B C ∴∠=∠，故选：D ．5．（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =，连接BD ，若8AC cm =，则AD DE +等于( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 【解答】解：DE AB ⊥，90DEB ∴∠=︒，在Rt BCD ∆和Rt BED ∆中，BD BD BE BC =⎧⎨=⎩， Rt BCD Rt BED(HL)∴∆≅∆，CD DE ∴=，AD DE AD CD AC ∴+=+=，8AC cm =，8AD DE AC cm ∴+==．故选：C ．6．（2020春•太仓市期末）如图，DEF ∆的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与DEF ∆全等（重合的除外）的三角形个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：如图所示可作3个全等的三角形．故选：C ．7．（2020春•武侯区校级期中）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠=︒，4AC =，H 是ABC ∆的垂心，则线段BH 的长度为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：AD BC ⊥，90BDH ADC ∴∠=∠=︒，45ABC ∠=︒，45BAD ABC ∴∠=∠=︒，AD BD ∴=，BE AC ⊥，90BEC ∴∠=︒，90CAD C ∴∠+∠=︒，90DBH C ∠+∠=︒，DBH CAD ∴∠=∠，在BDH ∆和ADC ∆中，BDH ADC ∠=∠，BD AD =，DBH CAD ∠=∠，()BDH ADC ASA ∴∆≅∆，AC BH ∴=，4AC =，4BH ∴=．故选：B ．8．（2019秋•青龙县期末）如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若26AOB ∠=︒，则BOD ∠的度数为( )A ．38︒B ．52︒C ．28︒D ．54︒【解答】解：由作图可知，OD OE OF ==，EF DE =，()ODE OFE SSS ∴∆≅∆，26EOD EOF ∴∠=∠=︒，252BOD AOB ∴∠=∠=︒，故选：B ．二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，已知ABC ADE ∆≅∆，60DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠的度数是 20 度．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，B D ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，1(10060)202BAD CAE ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒， B D ∠=∠，BGA DGF ∠=∠，20DFB BAD ∴∠=∠=︒，故答案为：20．10．（2020秋•海淀区校级月考）如图，ABC ADE ∆≅∆，且120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，CFD ∠= 95 ︒．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，EAD CAB ∴∠=∠，120EAB ∠=︒，10CAD ∠=︒，55EAD CAB ∴∠=∠=︒，10553095CFD FAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒+︒=︒，故答案为：95．11．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则12∠+∠= 45︒ ．【解答】解：如图所示：由题意可得：13∠=∠，则122345∠+∠=∠+∠=︒．故答案为：45︒．12．（2020春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ②③ ．（填番号）【解答】解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，故答案为：②③．13．（2020春•沙坪坝区校级月考）一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边上面的中线a 的范围是 13a << ．【解答】解：如图，延长中线AD 到E ，使DE AD =，AD 是三角形的中线，在ACD ∆和EBD ∆中，BD CD ADC BDE DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD EBD SAS ∴∆≅∆，AC BE ∴=，三角形两边长为2，4，第三边上的中线为a ，42242a ∴-<<+，即226a <<，13a ∴<<．故答案为：13a <<．14．（2020春•汉寿县期中）如图，在Rt ABC ∆与Rt DCB ∆中，已知90A D ∠=∠=︒，若利用“HL ”证明Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，你添加的条件是AB DC =（答案不唯一）．（不添加字母和辅助线）【解答】解：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt ABC ∆与Rt DCB ∆中，已知90A D ∠=∠=︒，使Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，添加的条件是：AB DC =．故答案为：AB DC =（答案不唯一）15．（2019秋•白云区期末）如图，已知AB CD =，BF EC =，只需再补充一个条件就能使ABE DCF ∆≅∆，则下列条件中，符合题意的分别有 ①③ （只填序号）． ①AE DF =；②//AE DF ；③//AB CD ；④A D ∠=∠．【解答】解：BF CE =，BF EF CE EF ∴+=+，①在ABE ∆和DCF ∆中BE CF AB DC AE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABE DCF SSS ∴∆≅∆，故①正确；②//AE DF ，AEB DFC ∴∠=∠，根据AB CD =，BE CF =和AEB DFC ∠=∠不能推出ABE DCF ∆≅∆，故②错误； ③//AB CD ，B C ∴∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中AB DC B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，故③正确；④根据AB CD =，BE CF =和A D ∠=∠不能推出ABE DCF ∆≅∆，故④错误；故答案为：①③．16．（2020春•蓬莱市期末）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为1 或 7 秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．【解答】解：因为AB CD =，若90ABP DCE ∠=∠=︒，2BP CE ==，根据SAS 证得ABP DCE ∆≅∆，由题意得：22BP t ==，所以1t =，因为AB CD =，若90BAP DCE ∠=∠=︒，2AP CE ==，根据SAS 证得BAP DCE ∆≅∆，由题意得：1622AP t =-=，解得7t =．所以，当t 的值为 1 或 7 秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．故答案为： 1 或 7 ．三．解答题17．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，ABC ∆中，D 是BC 延长线上一点，满足CD AB =，过点C 作//CE AB 且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ．（1）求证：ABC DCE ∆≅∆；（2）若50B ∠=︒，22D ∠=︒，求AFG ∠的度数．【解答】（1）证明：//CE AB ，B DCE ∴∠=∠，在ABC ∆与DCE ∆中，BC CE ABC DCE BA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DCE SAS ∴∆≅∆；（2）解：ABC DCE ∆≅∆，50B ∠=︒，22D ∠=︒，50ECD B ∴∠=∠=︒，22A D ∠=∠=︒，//CE AB ，22ACE A ∴∠=∠=︒，1801802250108CED D ECD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1082286AFG DFC CED ACE ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒．18．（2019秋•宾县期末）如图，AE AD =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于O ．（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，连接BC 、AO ，请直接写出图2中所有的全等三角形（除ABE ACD ∆≅∆外）．【解答】（1）证明：在ABE ∆和ACD ∆中ABE ACDA A AE AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ACD ∴∆≅∆()AAS ，AB AC ∴=；（2）解：AD AE =，BD CE ∴=，而ABE ACD ∆≅∆，CD BE ∴=，BD CE =，CD BE =，BC CB =，()BDC CEB SSS ∴∆≅∆；BCD EBC ∴∠=∠，OB OC ∴=，OD OE ∴=，而BOD COE ∠=∠，()DOB EOC SAS ∴∆≅∆；AB AC =，ABO ACO ∠=∠，BO CO =，()AOB AOC SAS ∴∆≅∆；AD AE =，OD OE =，AO AO =，()ADO AEO SSS ∴∆≅∆．19．（2020春•岳麓区校级期末）如图，已知点A ，C ，D 在同一直线上，BC 与AF 交于点E ，AF AC =，AB DF =，AD BC =．（1）求证：ACE EAC ∠=∠；（2）若50B ∠=︒，110F ∠=︒，求BCD ∠的度数．【解答】（1）证明：在ABC ∆和FDA ∆中，AB FD =，AC FA =，BC DA =，()ABC FDA SSS ∴∆≅∆，ACE EAC ∴∠=∠．（2）解ABC FDA ∆≅∆，110F ∠=︒，110BAC F ∴∠=∠=︒，又BCD ∠是ABC ∆的外角，50B ∠=︒，160BCD B BAC ∴∠=∠+∠=︒．20．（2019秋•黄石期末）如图：AE DE =，BE CE =，AC 和BD 相交于点E ，求证：AB DC =．【解答】证明：在ABE ∆与DCE ∆中，AE DE AEB CED BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCE SAS ∴∆≅∆，AB CD ∴=．21．（2019秋•荔湾区期末）如图，在ABC ∆中，18AB AC cm ==，10BC cm =，2AD BD =．（1）如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？【解答】解：（1）①BPD ∆与CQP ∆全等，理由如下：18AB AC cm ==，2AD BD =，12AD cm ∴=，6BD cm =，B C ∠=∠，经过2s 后，4BP cm =，4CQ cm =，BP CQ ∴=，6CP cm BD ==，在BPD ∆和CQP ∆中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴∆≅∆， ②点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，BP CQ ∴≠，BPD ∆与CQP ∆全等，B C ∠=∠， 152BP PC BC cm ∴===，6BD CQ cm ==， 52t ∴=， ∴点Q 的运动速度612/552cm s ==， ∴当点Q 的运动速度为12/5cm s 时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等；（2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，由题意可得：122365x x -=，解得：90x =，18181090()321()2s ++∴-⨯=， ∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．22．（2020•碑林区校级三模）如图，A 、C 、D 三点共线，ABC ∆和CDE ∆落在AD 的同侧，AC CE =，B BCE CDE ∠=∠=∠．求证：AB CD =．【解答】证明：BCD A B BCE DCE ∠=∠+∠=∠+∠，B BCE ∠=∠， A ECD ∴∠=∠，在ABC ∆和CDE ∆中，A ECDB CDE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDE AAS ∴∆≅∆，AB CD ∴=．23．（2020•温州模拟）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BD =，A B ∠=∠，E F ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ∆≅∆；（2）若65BCF ∠=︒，求DM F ∠的度数．【解答】证明：如图所示：（1）AD AC CD =+，BC BD CD =+，AC BD =， AD BC ∴=，在AED ∆和BFC ∆中，A B AD BC E F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AED BFC AAS ∴∆≅∆，（2）AED BFC ∆≅∆，ADE BCF ∴∠=∠，又65BCF ∠=︒，65ADE ∴∠=︒，又ADE BCF DMF ∠+∠=∠652130DMF ∴∠=︒⨯=︒．24．（2019秋•沈北新区期末）如图，AB CD ⊥于B ，CF 交AB 于E ，CE AD =，BE BD =．（1）求证：ABD CBE ∆≅∆；（2）求证：CF AD ⊥；（3）当30C ∠=︒，8CE =时，直接写出线段AE 、CF 的长度．【解答】证明：（1）AB CD ⊥于B ， 90CBE ABD ∴∠=∠=︒，在Rt CBE ∆和Rt ABD ∆中CE AD BE BD =⎧⎨=⎩， Rt CBE Rt ABD ∴∆≅∆()HL ，（2）ABD CBE ∆≅∆，C A ∴∠=∠，AEF CEB ∠=∠，90CBE AFE ∴∠=∠=︒，CF AD ∴⊥；（3）30C ∠=︒，8CE =， 142BE CE ∴==，343BC CE ==， ABD CBE ∆≅∆，434AB BC BD BE ∴====， 434AE ∴=-，434CD =+， 3623CF CD ∴==+． 25．（2019秋•恩阳区期末）如图，//AB CD ，AE DC =，AB DE =，EF BC ⊥于点F ．求证：（1）AEB DCE ∆≅∆；（2）EF 平分BEC ∠．【解答】证明：（1）//AB CD，A D∴∠=∠，在AEB∆和DCE∆中，AB DEA D AE DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEB DCE SAS∴∆≅∆；（2）AEB DCE∆≅∆，BE CE∴=，EF BC⊥，EF∴平分BEC∠．。

第12章《全等三角形》章节复习资料【1】

第12章《全等三角形》章节复习资料【1】一．选择题（共10小题）1．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC2．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°3．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可【1】【2】【3】4．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC5．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（）A．50 B．62 C．65 D．686．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.5【4】【5】【6】7．如图，已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF=（）A．120°B．135°C．115°D．125°8．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．全对9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【7】【8】【9】10．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有对全等三角形．【10】【11】【12】13．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB=．14．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=．15．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=．16．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．【13】【14】【16】17．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD=2.4cm，DE=1.7cm，则BE的长度为．18．如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为s．19．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．20．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=度．【17】【18】【19】【20】三．解答题（共8小题）21．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．22．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．23．如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB=AC，∠BAC=90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．24．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．25．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．26．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．27．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．第12章《全等三角形》章节复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；故选：C．2．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠BCB′=∠ACA′，又∠ACA′=30°，∴∠BCB′=30°，3．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可【解答】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，带②④可以延长还原出原三角形，故选D．4．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC【解答】解：如图过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故选：A．5．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（）A．50 B．62 C．65 D．68【解答】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．6．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.5【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．故选B．7．如图，已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF=（）A．120°B．135°C．115°D．125°【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠EAB=120°，∴∠EAD=∠CAB=（∠EAB﹣∠CAD）=55°，∵∠FAB=∠CAD+∠CAB，∴∠FAB=65°，∵∠AFB+∠FAB+∠B=180°，∴∠AFB=180°﹣65°﹣25°=90°，∵∠GFD=∠AFB，∴∠GFD=90°，∵∠EGF=∠D+∠GFD，∴∠EGF=90°+25°=115°．故选C．8．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．全对【解答】解：连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，∴△APR≌△APS，∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．故选A．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．10．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：延长DA、BC使它们相交于点F．∵∠DAB=∠BCD，∠AED=∠BEC，∴∠B=∠D，又∵∠F=∠F，AB=CD，∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，FD=FB，∴AD=BC∴△ADE≌△CBE①对同理可得②对∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE（SAS）③对同理可得④对连接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD，∴△ADB≌△CBD，∴∠A=∠C，∴△ADE≌△CBE，故⑤正确，故选D．二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB 等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有3对全等三角形．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．13．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB=132°．【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BDC和△AEC中，，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴∠DBC=∠EAC，∵∠EBD=∠DBC+∠EBC=42°，∴∠EAC+∠EBC=42°，∴∠ABE+∠EAB=90°﹣42°=48°，∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠EAB）=180°﹣48°=132°．14．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=50°．【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故答案为：50°．15．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=11．【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y=5∴x+y=11．故填11．16．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．17．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD=2.4cm，DE=1.7cm，则BE的长度为0.7cm．【解答】解：∵AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，∴∠E=∠ADC=90°∵AC=CB，∠ACB=90，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△CAD，∴AD=CE=2.4，BE=CD，∴CD=CE﹣DE=2.4﹣1.7=0.7，∴BE=CD=0.7cm．故答案为0.7cm．18．如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为1或4s．【解答】解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，∴BE=14cm，BP=2tcm，PC=（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE=PC，即14=16﹣2t，解得t=1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP=PC，即2t=16﹣2t，解得t=4，故答案为：1或4．19．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．20．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=20度．【解答】解：∵∠AME=∠CMD=70°∴在△AEM中∠1=180﹣90﹣70=20°∵△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，即∠1+∠CAB=∠2+∠CAB，∴∠2=∠1=20°．故填20．三．解答题（共8小题）21．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠BAE=∠BCE=90°，∴∠B+∠AEC=180°，而∠DEC+∠AEC=180°，∴∠B=∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．22．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．【解答】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C=∠BDE．在△EDC中，∵EC=ED，∠1=42°，∴∠C=∠EDC=69°，∴∠BDE=∠C=69°．23．如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB=AC，∠BAC=90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．【解答】结论：DE=BD+CE．证明：如右图，∵∠BAC=90°，∴∠EAC+∠DAB=90°，∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠DAB+∠DBA=90°，∠D=∠E=90°，∴∠EAC=∠DBA，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD．24．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．25．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【解答】猜想：DE+BF=EF．证明：延长CF，作∠4=∠1，如图：∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF=∠FAE，在△AGB和△AED中，，∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG=AE，BG=DE，在△AGF和△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF=EF，∴DE+BF=EF．证毕．26．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．【解答】证明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．解：（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．27．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是CD=BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．【解答】解：（1）①结论：CD=BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．（2）②中的结论不成立．结论：DE=AD+BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CD+CE=BE+AD，∴DE=AD+BE．28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP=CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6﹣t，CQ=8﹣3t，∴6﹣t=8﹣3t，∴t=1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6﹣t=3t﹣8，∴t=3.5；③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t﹣6，∴t﹣6=6∴t=12∵t＜14∴t=12符合题意答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．。

全等三角形知识点复习与巩固练习

全等三角形知识点梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。

（4）全等三角形对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的周长和面积相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

全等三角形常见题型分类练习全等三角形性质的应用类型一.全等三角形的基本性质应用 1．下列命题正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相同的两个三角形C ．两个周长相等的三角形是全等三角形D ．全等三角形的对应边相等、对应角相等 2. 如图1，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )A.ΔABD 和ΔCDB 的面积相等B.ΔABD 和ΔCDB 的周长相等C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBDD.AD//BC ，且AD = BC 3.如图所示，已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°第2题第3题4.如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°5．如图，△ABC ≌△AEF ，AB 和AE ，AC 和AF 是对应边，那么∠BAE 等于 ( )A ．∠ACBB ．∠BAFC ．∠FD ．∠CAF ．6．已知△ABC ≌△EFG ，有∠B=70°，∠E=60°，则∠C=（）A ．60°B ．70°C ． 50°D ． 65°7．如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠=． 8．△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠E＝______．第4题第5题第7题A BC CABCBB 'A 'CA9．如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝34，∠C ＝90）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（） A.56 B.68 C.124 D.180第9题第12题10．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________． 11．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =________，BC =______，AC =_______． 12．如图，在正方形网格上有一个△ABC ．⑴在网格中作一个与它全等的三角形；⑵如每一个小正方形的边长为1，则△ABC 的面积是．全等三角形的证明【基础应用】1．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF ，AC=DFC.∠A=∠D ，∠B=∠ED.∠A=∠D ，BC=EF 3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对第1、2题第3题00ADO4.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。

《全等三角形》全章复习与巩固(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）．A．150° B．210° C．105° D．75°2.（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF3. 下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行D.一个角的补角大于这个角4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定5. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）．A.7B.14C.17D.206. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.57.如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形 B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）．A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，则∠A的度数为________．13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是 .15.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．16. （2016•抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．19．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等 B．不全等 C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°，求证：△ABC≌△DEF．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A ＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B 正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.3. 【答案】C；【解析】答案A是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C是真命题；答案B是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D 作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可.5. 【答案】C；【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．6. 【答案】A；【解析】延长BD交AC于E，由题意，BC＝CE＝3，AE＝BE＝5－3＝2，且BD＝DE＝1BE＝1.27. 【答案】D；【解析】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．8. 【答案】A；解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，故S＝12（6＋4）×16－3×4－6×3＝50．二.填空题9. 【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm.10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】135°；【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－12（∠BAC＋∠BCA）＝135°.14. 【答案】30°或75°或15°；【解析】根据不同边的高分类讨论.15.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝x，EF＝y，则有x＋1＋3＝x＋y＋2＝3＋3＋2＝8所以x＝4，y＝2，六边形ABCDEF的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P 在正方形的边AB 上时，Rt △OCD ≌Rt △OAP ，∴OD=AP ，∵点D 是OA 中点，∴OD=AD=OA ，∴AP=AB=2，∴P （4，2），②当点P 在正方形的边BC 上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P （2，4）．三.解答题 17.【解析】证明：如图所示，在AC 上取点F ，使AF ＝AE ，连接OF ，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEO ≌△AFO （SAS ）． ∴ ∠EOA ＝∠FOA ． ∵ ∠B ＝60°，∴ ∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC ＋∠BCA) ＝180°－12(180°－60°)＝120°．∴ ∠AOE ＝∠AOF ＝∠COF ＝∠DOC ＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）． ∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18．【解析】解：（1）如图．∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝(18030)2-÷＝75°．∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°， ∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴∠1＝∠ABC －∠DBC ＝75°－30°＝45°． ∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ． ∴∠2＝21∠BAC ＝ 3021 ＝15°． ∴∠ADE ＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．（2）证明：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．∵△ADM 中，DM ＝DA ，∠ADE ＝60°， ∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB ＝AE ，N 为BE 的中点， ∴BN ＝NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN ＝NM ．∴BN －DN ＝NE －NM ，即 BD ＝ME ． ∵DB ＝DC ， ∴ME ＝DC ． 19.【解析】解：第二种情况：如图1所示：以F 为圆心，AC 长为半径画弧，交射线EM 于D 、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF 和△ABC 不全等；故选：C ；第三种情况：证明：如图2所示：过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH⊥DE 交DE 的延长线于点H ， ∵∠B=∠E，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG 和△FEH 中，，∴△CBG≌△FEH（AAS ）， ∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．20．【解析】证明：问题1：21，2 ；问题2：（1）在AB上截取AG，使AG＝AC，连接GD．（如图）∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△AGD和△ACD中，AG AC12A D AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AGD≌△ACD．∴DG＝DC．∵△BGD中，BD－DG＜BG，∴BD－DC＜BG．∵BG＝ AB－AG＝ AB－AC，∴BD－DC＜AB－AC．（2）∵由（1）知△AGD≌△ACD，∴GD＝CD，∠4 ＝∠3＝60°．∴∠5 ＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°．∴∠5 ＝∠3．在△BGD和△ECD中，53DB DEDG DC=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△BGD≌△ECD．∴∠B ＝∠6．∵△BFC中，∠BFC＝180°－∠B－∠7 ＝180°－∠6－∠7 ＝∠3，∴∠BFC＝60°．。

八年级数学上学期全等三角形全章复习与巩固(基础)知识讲解——含课后作业与答案

全等三角形全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）边边边（SSS ）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL ）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、（2015•西城区模拟）问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【思路点拨】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．【答案与解析】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△A DG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥CB ，AB ∥CD.求证：∠B ＝∠ D.【思路点拨】∠B 与∠D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC ，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC ，∵AD ∥CB ，AB ∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 与△CDA 中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴∠B ＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A ＝∠C ，则连接对角线BD.举一反三：【变式】在ΔABC 中，AB ＝AC.求证：∠B ＝∠ C【答案】证明：过点A 作AD ⊥BC在Rt △ABD 与Rt △ACD 中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）∴∠B ＝∠C.(2)．倍长中线法：【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，例8】3、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC ＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD ＜()12AB AC +. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°.举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜ 6B.5 ＜x＜ 7C.2 ＜x＜ 12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【思路点拨】过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．【答案与解析】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•开县二模）如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD 交BD延长线于点E．求证：BD=2CE．【答案】解：如图2，延长CE、BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．【答案与解析】证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边， ∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1），AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，点C 是BD 上一点．且BC ＝DE ，CD ＝AB ．（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1）问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了.结论仍然不变．举一反三：【变式】如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?【答案】证明：∵∠BCA ＝∠ECD ，∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS)∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（）A .2B .3C .5D . 2.52.（2015春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A ′O ′B ′等于已知角∠AOB 的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A ′O ′B ′=∠AOB 的依据是（）A．SAS B．A SA C．A AS D．SSS3. （2016•新疆）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）组．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B.不相等C.互补D.相等或互补8. △ABC中，∠BAC＝90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE的度数是( )A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9. 已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为10 2cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB ＝AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC ＝DC ．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11.（2015春•成都校级期末）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC ，CD=2cm ，则BD 的长是．12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13. 如右图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ．若AB ＝a ，CD ＝b ，则△ADB 的面积为______________ ．14．（2016秋•扬中市月考）如图，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，要使得△ABC ≌△CDA ．（1）若以“SAS ”为依据，需添加条件；（2）若以“HL ”为依据，需添加条件．15. 如图，△ABC 中，H 是高AD 、BE 的交点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝________.16. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E.若AB ＝20cm ，则△DBE的周长为_________.三.解答题17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证： AC＝AD19. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．求证：BE=CF．20.（2015•北京校级模拟）感受理解如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是自主学习事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等学以致用参考上述学到的知识，解答下列问题：如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；2. 【答案】D；【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．故选D．3. 【答案】D；【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC ≌△DEF；故选D．4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】D；【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.6. 【答案】C；【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.7. 【答案】A；【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL定理判定全等.8. 【答案】D；【解析】由题意可得∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，所以∠DAE＝60°－45°＝15°.二.填空题9. 【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等.10．【答案】①②③；11.【答案】4cm；【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=×60°=30°，∴AD=2CD=2×2=4cm，又∵∠B=∠ABD=30°，∴AD=BD=4cm ．故答案为：4cm.12.【答案】①③【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.13.【答案】ab 21；【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14.【答案】AB=CD ；AD=BC【解析】（1）若以“SAS ”为依据，需添加条件：AB=CD ；△ABC ≌△CDA （SAS ）；（2）若以“HL ”为依据，需添加条件：AD=BC ；Rt △ABC ≌Rt △CDA （HL ）．15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16.【答案】20cm ；【解析】BC ＝AC ＝AE ，△DBE 的周长等于AB.三.解答题17．【解析】证明：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE ＝∠CAD -∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ．在△ABC 和△AED 中，BAC EAD B E BC ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△AED ．（AAS ）∴AC ＝AD ．∴∠ACD ＝∠ADC ．18.【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB ＋∠1＝∠CAB ＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF 与△DAF 中CAF=DAF 1=2AF=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△CAF 与△DAF （AAS ）∴AC ＝AD.19.【解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（已知）∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）又∵BD=CD∴△BDE≌△CDF（HL）∴BE=CF20.【解析】解：感受理解EF=FD．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，∴FA=FC．∴在△EFA和△DFC中，，∴△EFA≌△DFC，∴EF=FD；学以致用：证明：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．∴∠CFG=180°﹣∠AFG﹣∠CFD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠CFG=∠CFD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠3=∠4，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（ASA），∴FG=FD，∴FE=FD．。

华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《全等三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；2．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；4．理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；5．理解并掌握角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的性质和判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定2——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定3——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.全等三角形判定4——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等.（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.判定直角三角形全等的特殊方法——斜边直角边定理斜边直角边定理（或简记为HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.要点诠释：判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.要点二、等腰三角形1.等腰三角形的性质及其作用性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.3.等边三角形的性质和判定：性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：由等边三角形的“三线合一”可得：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．要点诠释：（1）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.（2）掌握五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线．并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法．2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题.（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分.（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.3.定理与逆定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：（1）定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.（2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线性质定理及其逆定理角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型二、全等三角形的性质和判定1、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E 三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．【思路点拨】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．【答案与解析】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE 特殊位置关系为BD⊥CE．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．举一反三：【变式】如图，已知：AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，∴∠EAB ＝∠DAC ＝90° ∴∠EAB ＋∠DAE ＝∠DAC ＋∠DAE ，即∠DAB ＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.2、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【思路点拨】过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．【答案与解析】证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．类型二、等腰三角形3、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD ＝BE ，∠BAD ＝∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和 ∠FCA 的关系．因为∠BAD ＝∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．【答案与解析】解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：在△BAD 与△BCE 中，∵∠B ＝∠B ，∠BAD ＝∠BCE ，BD ＝BE ，∴△BAD≌△BCE，∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形．【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．举一反三：【变式】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．4、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．【思路点拨】（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°，可得AD＝BD＝CB,∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：5、已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．已知：求作：【思路点拨】作射线BP，再作∠PBQ=∠α；在射线BQ上截取BA=c；以点A为圆心，线段c 为半径作弧交BP于点C；连接AC．则△ABC为所求．【答案与解析】解：作法：（1）作射线BP，再作∠PBQ=∠α；（2）在射线BQ上截取BA=c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC．则△ABC为所求．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】此题主要考查三角形的作法，是一些基本作图的综合应用．举一反三：【变式】已知△ABC，按下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）（1）作BC边上的高AD；（2）作△ABC的平分线BE．（尺规作图）【答案】解：如图：类型四、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理6、如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）∠EAD＝∠EDA．（2）DF∥AC．（3）∠EAC＝∠B．【思路点拨】（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE＝DE，再根据等角对等边可得到∠EAD＝∠EDA；（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF＝DF，进而得到∠BAD＝∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换可得∠ADF＝∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．【答案与解析】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠BAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，∵∠ADE＝∠BAD+∠B，∠BAD＝∠CAD，∴∠EAC＝∠B．【总结升华】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．举一反三：【变式1】如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．【答案】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD＝PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴PF＝PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【变式2】如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 下列说法中不正确的是（）．A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 △C.若 ABC ≌ △A 1B 1C 1 ,则这两个三角形一定关于一条直线对称 D.直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，若 P 点使 PA ＝PB ，则点 P 在 MN 上，若 P 1A ≠P 1B ，则 P 1 不在 MN 上2. 下列语句中，属于命题的是（）．A.直线 AB 和 CD 垂直吗B.过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线C.同旁内角不互补，两直线不平行D.连结 A ，B 两点 3．（2016•新疆）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（）A ．∠A=∠DB ．BC=EFC ．∠ACB=∠FD ．AC=DF 4. 在下列结论中, 正确的是( ) ．A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等 5. 图中的尺规作图是作（）．A. 线段的垂直平分线B. 一条线段等于已知线段C. 一个角等于已知角D. 角的平分线 6．如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（）．A. AB 垂直平分 CDB. CD 垂直平分 ABC. AB 与 CD 互相垂直平分D. CD 平分∠ACB7. 如图，△ABC 中∠ACB ＝90°,CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的角平分线 AF 交 CD 于 △E ，则CEF 必为（）． A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（△2）EBD≌FCD；（△3）AED≌AFD；（△4）AD垂直BC．（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题9．“直角三角形两个锐角互余”的逆命题是：如果_________，那么_________．10.△ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．13.如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________．14．（2016秋•扬中市月考）如图，AC⊥AB，AC⊥△C D，要使得ABC≌△CDA．（1）若以“SAS”为依据，需添加条件；（2）若以“HL”为依据，需添加条件．15.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．三.解答题17.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．19.（1）如图△1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+=2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．20．已知：如图，△ABC中，∠ACB=45︒，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF 并延长交AC于点E，∠BAD=∠FCD．求证：（△1）ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.2.【答案】C；【解析】根据命题的定义作出判断.3.【答案】D；【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．4.【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5.【答案】A；【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线.6.【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．7.【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.8.【答案】D；【解析】解：（1）如图，∵AB=AC，BE=CF，∴AE=AF．又∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，∴在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴△ABD≌△ACD．又由（△1）知，AED≌△AFD，∴EBD≌FCD．故（△2）正确；（3）由（△1）知，AED≌AFD．故（△3）正确；（△4）∵如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，即AD垂直BC．故（4）正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D．二.填空题9.【答案】一个三角形的两个锐角互余；这个三角形是直角三角形；【解析】本题主要考查了互逆命题的知识，根据概念即可得出答案.10．【答案】①②③；11.【答案】6；【解析】∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=612.【答案】60°或120°；【解析】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．13.【答案】1ab；21【解析】由三角形全等知D点到AB的距离等于CD＝b，所以△ADB的面积为ab.2 14.【答案】AB=CD；AD=BC【解析】（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；△ABC≌△CDA（SAS）；（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；△R t ABC≌△R t CDA（HL）．15.【答案】45°；【解析】△R t BDH≌△R t ADC，BD＝AD.16.【答案】10；【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.三.解答题17．【解析】证明：延长AB至E，使BE＝BP，连接EP∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°∴∠E＝∠BPE＝802＝40°∵AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，∴∠QBC＝40°，∠BAP＝∠CAP∴BQ＝QC（等角对等边）在△AEP与△ACP中，⎨∠E=∠C⎪A P=AP⎧∠EAP=∠CAP⎪⎩∴△AEP≌△ACP（AAS）∴AE＝AC∴AB＋BE＝AQ＋QC，即AB＋BP＝AQ＋BQ.18.【解析】解：19.【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE=DF，AE=AF；（2）解：AM+AN=2AF；证明如下：由（1）得DE=DF，∵∠MDN=∠EDF，∴∠MDE=∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME=NF，∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠ADN，∴AN=DN，在Rt△CDN中，DN=2CN，∵AC=6，∴DN=AN=×6=4，∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，∴∠CDE=∠MDN，∴DM=DN=4，∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．20．【解析】证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.∵∠ACB=45︒，∴∠ACB=∠DAC=45︒∴AD＝CD∵∠BAD=∠FCD，∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴BD＝FD.∵∠FDB＝90°，∴∠FBD=∠BFD=45︒.∵∠ACB=45︒，∴∠BEC=90︒.∴BE⊥AC．AEFB D C。

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

全等三角形单元复习与巩固1

全等三角形单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；●探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；●掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明；●能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。

重点难点：●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。

●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。

学习策略：●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。

在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。

二、学习与应用知识点一：全等形能够完全的两个图形叫做全等形．知识点二：全等三角形能够完全的两个三角形叫做全等三角形．要点诠释：（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

，互相重合的角叫做．（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角．知识点四：两个三角形全等的条件（一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．（二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．（三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．（四）角角边：两个和其中一个角的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

17《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

17《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x 为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC ＜AB+AC 的理由吗?(2)若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E ，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE 中，AB+AE ＞BE ；在△EOC 中，OE+EC ＞OC ，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC ＞BE+OC ．由图可知，AE+EC ＝AC ，BE ＝OB+OE ．所以AB+AC+OE ＞OB+OC+OE ，即OB+OC ＜AB+AC ．(2)因为OB+OC ＞BC ，所以OB+OC ＞7．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

全等三角形全章复习和巩固(基础)知识讲解

全等三角形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、（2015•西城区模拟）问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【思路点拨】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．【答案与解析】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥CB ，AB ∥CD.求证：∠B ＝∠D.【思路点拨】∠B 与∠D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC ，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC ，∵AD ∥CB ，AB ∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 与△CDA 中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴∠B ＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A ＝∠C ，则连接对角线BD.举一反三：【变式】在ΔABC 中，AB ＝AC.求证：∠B ＝∠C【答案】证明：过点A 作AD ⊥BC在Rt △ABD 与Rt △ACD 中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）∴∠B ＝∠C.(2)．倍长中线法：【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，例8】3、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC ＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD ＜()12AB AC +. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°.举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x 的取值范围是( )A.1 ＜x ＜ 6B.5 ＜x ＜ 7C.2 ＜x ＜ 12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x ＜7＋5，所以选A 选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、在ΔABC 中，AB ＞AC.求证：∠B ＜∠C【答案与解析】证明：作∠A 的平分线，交BC 于D ，把△ADC 沿着AD 折叠，使C 点与E 点重合.在△ADC 与△ADE 中A C AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△ADE （SAS ）∴∠AED ＝∠C∵∠AED 是△BED 的外角，∴∠AED ＞∠B ，即∠B ＜∠C.【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.举一反三：【变式】（2015•开县二模）如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，且CE⊥BD 交BD 延长线于点E ．（1）若AD=1，求DC ；（2）求证：BD=2CE ．【答案】解：（1）如图1，过点D 作DH⊥BC 于H ，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BCA=45°，∴DH=CH，∵BD是∠ABC的平分线，∴DH=AD=1，∴CD=；（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．【答案与解析】证明：∵AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边， ∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1），AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，点C 是BD 上一点．且BC ＝DE ，CD ＝AB ．（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1）问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了.结论仍然不变．举一反三：【变式】如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?【答案】证明：∵∠BCA ＝∠ECD ，∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS)∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.。

第1章全等三角形(巩固篇)(解析版)

2020—2021八年级上学期单元过关卷（苏科版）第1章全等三角形（巩固篇）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且CE ＝BD ，若△CBD ＝20°，则△A 的度数为（）A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°【答案】B【分析】由BD 、CE 是高，可得△BDC =△CEB =90°，可求△BCD ＝70°，可证Rt △BEC △Rt △CDB （HL ），得出△BCD ＝△CBE ＝70°即可．【详解】解：△BD 、CE 是高，△CBD ＝20°，△△BDC =△CEB =90°，△△BCD ＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt △BEC 和Rt △CDB 中，CE BD BC CB=⎧⎨=⎩， △Rt △BEC △Rt △CDB （HL ），△△BCD ＝△CBE ＝70°，△△A ＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B ．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．2．如图，在Rt ABC 与Rt DCB △中，已知90A D ∠=∠=︒，添加一个条件，不能使得≌Rt ABC Rt DCB 的是（）A ．AB DC =B ．AC DB = C ．ABC DCB ∠=∠D ．BC BD =【答案】D【分析】要证明≌Rt ABC Rt DCB ，由已知条件90A D ∠=∠=︒，BC BC =，再加一个条件，可以根据HL ，AAS 来判断．【详解】解：根据三角形全等的判定定理，A ，90A D ∠=∠=︒，AB DC =，BC BC =，符合HL ，能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，不符合题意；B ，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，BC BC =，符合HL ，能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，不符合题意；C ，90AD ∠=∠=︒，ABC DCB ∠=∠，BC BC =，符合AAS ，能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，不符合题意；D ，90A D ∠=∠=︒，BC BD =，BC BC =，不能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：,,,,SSS SAS ASA AAS HL ．3．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，125∠=︒，230∠=︒，则3∠=（）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°【答案】B【详解】 △BAC DAE ∠=∠，△BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，△BAD CAE ∠=∠．在BAD和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BAD CAE SAS ≌△△，△2ABD ∠=∠．△230∠=︒，△30ABD ∠=︒．△125∠=︒，△3155ABD ∠=∠+∠=︒．4．如图，在ADM △中，AM DM =，90AMD ∠=︒，直线l 经过点M ，AB l ⊥，DC l ⊥，垂足分别为点B ，C ，若2AB =，5CD =，则BC 的长度为（）A ．1.5B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】 △AB l ⊥，DC l ⊥，△90DCM MBA ∠=∠=︒，△90MDC DMC ∠+∠=︒，△90AMD ∠=︒，△90DMC AMB ∠+∠=︒，△MDC AMB ∠=∠，在DMC 与MAB △中，DCM MBA MDC AMB DM AM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()DMC MAB AAS △≌△，△2CM AB ==，5BM CD ==，△523BC BM CM =-=-=．5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的角平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A【详解】略6．如图，点B ，F ，C ，E 共线，△B =△E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断△ABC △△DEF 的是（）A ．AB =DE B ．△A =△DC ．AC =DFD ．AC △FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件△A =△D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC △△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC △FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 做ON △OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（）A ．1B C ．2 D ．【答案】C【分析】先证明()MAO NDO ASA ≅，再证明四边形MOND 的面积等于，DAO 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD 中，对角线BD △AC ，90AOD ∴∠=︒ON OM ⊥90MON ∴∠=︒AOM DON ∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO ∠=∠=︒=()MAO NDO ASA ∴≅MAO NDO S S ∴=四边形MOND 的面积是1，1DAO S ∴=∴正方形ABCD 的面积是4，24AB ∴=2AB ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，BE ＝CF ，AB △DE ，请你添加一个合适的条件，使△ABC △△DEF ，其中不符合三角形全等的条件是（）A ．AC ＝DFB ．AB ＝DEC ．△A ＝△D D ．△ACB ＝△F【答案】A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：//AB DE ，B DEF ∴∠=∠，BE CF =，BE EC EC CF ∴+=+，即BC EF =，∴当AC DF =时，满足SSA ，无法判定ABC DEF ∆≅∆，故A 选项符合题意；当AB DE =时，满足SAS ，可以判定ABC DEF ∆≅∆，故B 选项不合题意；当A D ∠=∠时，满足AAS ，可以判定ABC DEF ∆≅∆，故C 选项不合题意；当ACB F ∠=∠时，满足ASA ，可以判定ABC DEF ∆≅∆，故D 选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．9．如图，用直尺和圆规作图，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB ，OA 于点E 、D ，再分别以点E 、D 为圆心，大于12ED 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接OC ，则△ODC △OEC 的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【答案】A【分析】连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，利用SSS 即可证明△ODC △OEC ．【详解】如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，在△EOC 与△DOC 中，OE OD OC OC CE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△EOC △△DOC （SSS ）．故选A ．【点睛】本题考查了基本作图及三角形全等的判定方法，根据作图方法确定出三角形全等的条件是解决问题的关键．10．下列各图中a b c ､､为三角形的边长，则甲､乙､丙三个三角形和左侧ABC 一定全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙【答案】B【详解】乙和ABC 全等；理由如下：在ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和ABC 全等；在ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和ABC 全等；不能判定甲与ABC 全等；故选：B ．11．如图，在ACB △中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点C 的坐标为(1,0)-，点A 的坐标为(6,3)-，则点B 的坐标为（）A ．(2,5)B ．(1,4)C ．(3,6)D ．(1,5)【答案】A【详解】如解图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点C 的坐标为(1,?0)-，点A 的坐标为(6,3),1,3,6,5OC AE EO EC -∴===∴=，90ACE BCF BCF CBF ∠+∠=∠+∠=︒，,,90ACE CBF AC CB AEC CFB ∴∠=∠=∠=∠=︒，(AAS)AEC CFB ∴≌．3,5,2,AE CF EC BF OF ∴====∴=∴点B 的坐标为(2,5)．12．如图，在ABC 中，50A ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，CE ，39ABD ∠=︒，若AEC ADB △≌△，点E 和点D 是对应顶点，则CBD ∠的度数是（）A ．24︒B ．25︒C ．26︒D ．27︒【答案】C【详解】 △AEC ADB △≌△，△AC AB =，△A ABC CB =∠∠，△50A ∠=︒，△65ABC ACB ∠=∠=︒，又△39ABD ∠=︒，△653926CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，4DE =，3EC =，将线段AE 绕点A 旋转后使点E 落在直线BC 上的点P 处，则CP 的长为________．【答案】3或11【详解】【解答】如解图，①当点P 在线段BC 上时，△90D ABP ∠=∠=︒，AD AB =，AE AP =，△()Rt ABP Rt ADE HL ≅△△.△4BP DE ==.△7BC DC DE EC ==+=，△743PC BC BP =-=-=；②当点P'在线段CB 的延长线上时，同理可得'4BP DE ==，△''7411CP BC BP =+=+=.综上所述，满足条件的CP 的长为3或11.14．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，且DAC BAC ∠=∠，连接CD ，则ACD △的面积为________．【答案】30【详解】如解图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，△90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，△10AC =，△将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，△AD AC =，又△DAC BAC ∠=∠，90ABC AED ∠=∠=︒，△()ABC AED AAS ≌△△，△6DE BC ==，△1302ACD S AC DE =⋅=△．15．在△ABC 中，AD 为△BAC 的角平分线．若添加一个条件：______，则△ABD △△ACD ．【答案】AD BC ⊥【分析】依据ASA ，可知添加的条件可以是AD △BC ．【详解】当AD △BC 时，△ADB =△ADC =90°，△AD 平分△BAC ，△△BAD =△CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AD ADADB ADC BAD CAD ⎧⎪=⎨⎪∠=∠=∠⎩∠， △△ABD △△ACD ，故答案为：AD △BC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知判定条件是解题的关键．16．如图，在ABC 和ADE 中，BAC DAE ∠=∠，BC DE =，请你添加一个条件____，使ABC ADE △≌△（填一个即可）．【答案】B D ∠=∠等【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，据此解答即可．【详解】解：△BAC DAE ∠=∠，BC ＝DE ，△添加B D ∠=∠，可根据AAS 证明ABC ADE △≌△；或C E ∠=∠，可根据AAS 证明ABC ADE △≌△；故答案为：B D ∠=∠等【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．17．如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，//,AB CD AE DF =，下列3个条件：①A D ∠=∠；②BF CE =；③//AE DF ，选出能推出AB CD =的一个条件．已知：如图，//,AB CD AE DF =，___________（写出一种情况即可）；求证：AB CD =．【答案】①或③；见解析【分析】若选①，由//AB CD 可得B C ∠=∠，由AAS 定理可得ABE DCF △≌△，利用三角形的性质定理可得结果；若选③，由//AE DF 可得AEB DFC =∠∠，可证得ABE DCF △≌△，利用全等三角形的性质定理可得结果．【详解】.法一：若选①，证明如下：△//AB CD ，△B C ∠=∠．△,A D AE DF ∠=∠=，△ABE DCF △≌△．△AB CD =．法二：若选③，证明如下：△//AB CD ，△B C ∠=∠．△//AE DF ，△AEB DFC =∠∠．△AE DF =，△ABE DCF △≌△．△AB CD =．【点睛】本题只要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 18．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ⊥，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB ∠=∠，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ，90CAD CAB ∴∠=∠=︒，CA CA =，ACD ACB ∠=∠，()ACD ACB ASA ∴∆≅∆，120AB AD m ∴==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，BE △AE ，CF △AE ，垂足分别为E 、F ，D 是EF 的中点，CF ＝AF ．（1）请说明CD ＝BD ；（2）若BE ＝6，DE ＝3，请直接写出△ACD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）27．【分析】（1）由BE △AE ，CF △AE 可得△BED ＝△CFD ，再由D 是EF 的中点可得ED ＝FD ，然后根据ASA 可证△BED △△CFD ，最后运用全等三角形的性质即可证明；（2）由全等三角形的性质可得CF ＝EB ＝6，然后可得DF ＝3，再计算出AD 的长，最后利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）△BE △AE ，CF △AE ，△△BED ＝△CFD ，△D 是EF 的中点，△ED ＝FD ，在△BED 与△CFD 中，CFD DEB DF DECDF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△BED △△CFD （ASA ），△CD ＝BD ；（2）由（1）得：CF ＝EB ＝6，△AF ＝CF ，△AF ＝6，△D 是EF 的中点，△DF ＝DE ＝3，△AD ＝9，△△ACD 的面积：12AD •CF ＝12×9×6＝27．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质定理成为解答本题的关键．20．如图，在五边形ABCDE 中，AB ＝CD ，△ABC ＝△BCD ，BE ，CE 分别是△ABC ，△BCD 的角平分线．（1）求证：△ABE △△DCE ；（2）当△A ＝80°，△ABC ＝140°时，求△AED 的度数．【答案】（1）见解析；（2）100°【分析】（1）由角平分线的定义得出△ABE =△CBE ，△BCE =△DCE ，可证明△ABE △△DCE （SAS ）；（2）由全等三角形的性质得出△A =△D =80°，根据五边形的内角和可求出答案．【详解】解：（1）证明：△BE ，CE 分别是△ABC ，△BCD 的角平分线．△△ABE =△CBE ，△BCE =△DCE ，△△ABC =△BCD ，△△ABE =△DCE ，△EBC =△ECB ，△BE =CE ，在△ABE 和△DCE 中，AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DCE （SAS ）；（2）解：△△ABE △△DCE ，△△A =△D =80°，△△ABC =140°，△△ABC =△BCD =140°，△五边形ABCDE 的内角和是540°，△△AED =540°-△A -△D -△ABC -△BCD =540°-80°-80°-140°-140°=100°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，五边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．已知：如图//12180EF CD ∠+∠=︒，．（1）试说明//GD CA （填空）△//EF CD△1∠+_____180=︒（_____________）△12180∠+∠=︒△2∠=____________△//GD CA （________________）（2）若CD 平分,ACB DG ∠平分CDB ∠，且40A ∠=︒，求ACB ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由平行线的性质得出△1+△ECD =180°，再由已知得出△2=△ECD ，即可得出结论；（2）由（1）得：GD △CA ，由平行线的性质得出△BDG =△A =40°，△ACD =△2，由角平分线定义得出△ACD =△2=△BDG =40°，由CD 平分△ACB ，得出△ACB =2△ACD =80°．【详解】解：（1）△EF △CD△△1+△ECD =180°（两直线平行，同旁内角互补）又△△1+△2=180°（已知）△△2=△ECD （等式的性质）△GD △CA （内错角相等，两直线平行）；（2）由（1）得：GD △CA ，△△BDG =△A =40°，△ACD =△2，△DG 平分△CDB ，△△ACD =△2=△BDG =40°，△CD 平分△ACB ，△△ACB =2△ACD =80°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．22．已知ABN 和ACM △位置如图所示，AB AC =，AD AE =，12∠=∠．（1）试说明：BD CE =；（2）试说明：M N ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意利用SAS 可证明△ABD △△ACE ，即可证明结论；（2）根据△ABD △△ACE 可知△B =△C ，然后由等量代换得出△BAN =△CAM ，从而利用ASA 可证明△ABN △△ACM ，从而利用全等三角形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）在△ADB 和△AEC 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB △△AEC （SAS ），△BD =CE ；（2）△12∠=∠，△BAN CAM ∠=∠，△△ADB △△AEC ，△B C ∠=∠，△180180B BAN C CAM ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即M N ∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23．如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，1B ∠=∠，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且BE CD =，BF CA =，连接EF ．（1）求证：2D ∠=∠；（2）若//EF AC ，74D ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）74°【分析】（1）利用边角边公理证明≌BEF CDA △△，再利用全等三角形的性质可得答案；（2）利用平行线的性质证明2BAC ∠=∠，而274∠=∠=︒D ，从而可得答案．【详解】（1）证明：在BEF 和CDA 中，BE CD =，1B ∠=∠，BF CA =，△≌BEF CDA △△．△2D ∠=∠．（2）解：△//EF AC ，△2BAC ∠=∠．由（1）知，274∠=∠=︒D ，△74∠=︒BAC ．【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，平行线的性质，掌握利用边角边判定三角形全等是解题的关键．24．如图所示，点M 是线段AB 上—点，ED 是过点M 的一条直线，连接AE 、BD ，过点B 作//BF AE 交ED 于F ，且EM FM =．（1）若5AE =，求BF 的长；（2）若90AEC ∠=︒，DBF CAE ∠=∠，求证：CD FE =．【答案】（1）5；（2）见解析【分析】（1）根据ASA 证明△AEM △△BFM 即可得到结论；（2）根据ASA 证明△ACE △△BDF 得到 CE =BF ，根据线段的差即可得结论．【详解】解：（1）△//BF AE△AEM BFM ∠=∠在AEM ∆和BFM ∆中，AME BMF EM FMAEM BFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△AEM BFM ∆≅∆△BF =AE =5；（2）证明：△90AEC ∠=︒，//BF AE△90AEC BFM ∠=∠=︒△90DFB ∠=︒又AEM BFM ∆≅∆△AE BF =又△DBF CAE ∠=∠，△ACE BDF ∆∆≌△CE DF =△CE CF DF CF -=-△EF CD =【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键．。

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了八年级上册数学中的全等三角形知识点，包括全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法，角的平分线的性质以及全等三角形证明方法。

要点一介绍了全等三角形的判定与性质，其中包括边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边、直角边定理(HL)、边边边(SSS)等判定方法，并说明了对应元素相等的性质。

要点二介绍了全等三角形的证明思路，包括找夹角、找直角、找另一边、边为角的对边等方法。

要点三介绍了角平分线的性质和判定定理，以及与角平分线有关的辅助线。

要点四介绍了全等三角形证明方法，包括证明线段相等的方法、证明角相等的方法等。

XXX∠FAE。

又∠EAG+∠XXX∠BAG=180°。

AEF≌△AGF（AAS）。

XXX．结论：BE=FD，EF=FD/2．2、（2014•北京市海淀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且AD=AC．连接CD，交AB于E点．证明：AE=DE．思路点拨】1）延长AD交CE于点F；2）证明△AFE≌△CFD，得到∠AFE=∠CFD，再证明△AED≌△CED，得到AE=DE．答案与解析】证明：（1）连接AF，CF，DF，因为AB=AC，AD=AC，∴∠BAD=∠CAD，∠AFD=∠CFD。

又∠AFE=∠XXX，∴△AFE≌△CFD（AAS）。

AE=DE．证明：作角平分线AD，连接BD，CD.AB＝AC。

BAD＝∠CAD。

又∠ABD＝∠ACD。

ABD≌△ACD（AAS）。

BD＝CD。

又∠BDA＝∠CDA。

BDA≌△CDA（SAS）。

B＝∠C.总结升华】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定方法，即AAS和SAS定理。

证明：过点A作AD⊥BC，则在Rt△ABD与Rt△ACD 中，由于AB=AC，AD=AD，根据HL（斜边-直角边-斜边）可得Rt△ABD≌Rt△ACD，因此∠B=∠C。

八上数学第一章复习

第一章《全等三角形》复习一．预学内容：1. 全等三角形的定义：.2．全等三角形的性质：.3．一般三角形全等的判别方法：.直角三角形全等的判别方法：.4．三角形全等的条件思路：当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应找.当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应找.当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条件应找.5．找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有：.6．三个角对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？试举反例说明导学内容：一、例题讲解1.如图，AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB。

那么OC与OD相等吗？说明你的理由。

2.如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD. 试猜想线段CE与DE的大小与位量关系，并说明你的结论.3.问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB = 900，AC=BC，BE⊥MN,AD⊥MN,垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD 相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．EA BDC4.如图，已知△ABC ，BE 、CF 为高，CP=AB ，BD=AC ，试判断AP 与AD 有什么关系？并说明你的理由．5.如图，ΔABC 中，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ． ⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵若连结DE ，则DE 与AB 有什么关系？并说明理由．拓展：用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转。

《全等三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解[001]

《全等三角形》全章复习与巩固（基础）撰稿：常春芳责编：康红梅【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL ” ）判定两个直角三角形全等.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、全等三角形证明方法一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）边边边（SSS ）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL ）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 同角（等角）的余角（补角）相等.(4) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3) 利用截长(或补短)法作全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE ≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD证明：∠BAC ＝∠EAD ＝90° ∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAD ＋∠CAE即 ∠BAE ＝∠CAD又AB ＝AC ，AE ＝AD ，△ABE ≌△ACD （SAS ）（2）由（1）得∠BEA ＝∠CDA,又∠COE ＝∠AOD∠BEA ＋∠COE ＝∠CDA ＋∠AOD ＝90°则有∠DCE ＝180°－ 90°＝90°，所以DC ⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE 与△ACD ，后一个三角形是前一个三角形绕着A 点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC ⊥BE. 举一反三：【变式】如图，已知：AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，∴∠EAB ＝∠DAC ＝90°∴∠EAB ＋∠DAE ＝∠DAC ＋∠DAE ，即∠DAB ＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.2、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，CD ⊥AE 与F ，BD ⊥BC 与B ，AE 为BC 边上的中线，（1）试说明：AE=CD ．（2）若AC=15cm ，求线段BD 的长．【思路点拨】要证线段相等，可借助全等三角形进行求解，即可证Rt△ ACE≌ Rt△ CBD ，所以BD=EC ，再利用线段之间的转化，代入数值求出其长度．【答案与解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AE，∴∠CAE+∠AEC=90°，∠AEC+∠BCD=90°∴∠BCD=∠EAC，在Rt△ACE 和Rt△CBD 中90BCD EAC AC CBCBD ACE ∠=∠=∠=∠=︒⎧⎪⎨⎪⎩∴Rt△ACE≌Rt△CBD（ASA ），∴AE=CD；（2）∵AE 为BC 边上的中线， ∴EC=BE=BC ，又∵AC=BC，AC=15， ∴CE==7.5，由（1）知Rt△ACE≌Rt△CBD，∴BD=EC，∴BD=7.5cm．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：3、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥CB ，AB ∥CD.求证：∠B ＝∠ D.【思路点拨】∠B 与∠D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC ，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC ，∵AD ∥CB ，AB ∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 与△CDA 中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴∠B ＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A ＝∠C ，则连接对角线BD.举一反三：【变式】在ΔABC 中，AB ＝AC.求证：∠B ＝∠ C【答案】证明：过点A 作AD ⊥BC在Rt △ABD 与Rt △ACD 中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）∴∠B ＝∠C.(2)．倍长中线法：【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，例8】4、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC ＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD ＜()12AB AC +. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°.举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x 的取值范围是( )A.1 ＜x ＜ 6B.5 ＜x ＜ 7C.2 ＜x ＜ 12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x ＜7＋5，所以选A 选项.(3)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．【思路点拨】因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．【答案与解析】证明：∵AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边， ∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．【总结升华】充分利用角平分线的性质，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1），AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，点C 是BD 上一点．且BC ＝DE ，CD ＝AB ．（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1）问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。

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重点难点：●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。

●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。

学习策略：●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。

在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识点一：全等形能够完全的两个图形叫做全等形．知识点二：全等三角形能够完全的两个三角形叫做全等三角形．要点诠释：（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做，互相重合的角叫做．（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角．知识点四：两个三角形全等的条件（一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．（二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．（三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．（四）角角边：两个和其中一个角的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

注：（1）HL定理是三角形所独有的，对于一般三角形不成立．（2）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另个条件即可，而这两个条件中必须有对应相等，与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．知识点五：如何选定判定方法（一）条件是一边、一角对应相等时，可选用SAS、AAS、．（二）条件是两角对应相等时，可选用、．（三）条件是两边对应相等时，可选用、．（四）条件是直角三角形时，可选用，也可选用SAS 、AAS 、ASA 、SSS 。

知识点六：角平分线（一）角平分线的两种定义（1）把一个角分成两个的角的叫做角的平分线．（2）角的平分线可以看作是到角的两边的点的集合．（二）角平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的．（三）角的平分线的判定定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的上．类型一：三角形全等的应用例1．如图：BE 、CF 相交于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且DE=DF 。

求证：AB=AC 。

思路点拨：挖掘并合理运用隐含条件：（1）隐含相等的线段：公共边、线段的和（或差）；（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。

解析：经典例题-—自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#211813B C A F ED总结升华：举一反三：【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

答案：【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。

答案：类型二：构造全等三角形例2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。

你添加的条件是：。

思路点拨：此题属于开放型题目，此类题目一般包括：条件开放型、结论开放型、综FBMNE1234BED合开放型。

此类题目的答案一般不唯一。

本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①，②，③，④，都可得，从而有AC=BD。

答案：总结升华：举一反三：【变式1】如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。

由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。

（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：答案：【变式2】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件。

你得到的一对全等三角形是△≌△解析：类型三：角平分线的性质与判定例3．已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．思路点拨：由CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，可知∠ADC=∠AEB= °，又由OA 平分∠BAC 可知，，再利用“ ”证明出△OBD ≌△OCE ，从而得到OB=OC ．证明：总结升华：举一反三：【变式】如图，在ABC △中，90C ∠=o ，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．ABC答案：类型四：三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）☆例4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．思路点拨：如果BD是∠ABC的角平分线，则应有= ，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长和，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题．证明：总结升华：举一反三：☆【变式1】已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．解：☆☆【变式2】如图所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF．证明：☆【变式3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠1=∠2，求证：AB=AC．证明：类型五：探究型题例5．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。

求证：△ABC≌△A1B1C1。

（请你将下列证明过程补充完整）（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。

思路点拨：虽然已有三个条件，然而它们构不成三角形全等的条件。

但至少提供了一边一角对应相等，另一条件只能通过作来得到。

解析：总结升华：举一反三：☆【变式1】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。

试判断△EMC 的形状，并说明理由。

答案：【变式2】已知Rt△ABC中，∠C=90°（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED。

（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_______≌△_______并加以证明。

答案：类型六：利用三角形全等知识解决实际问题例6．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=•BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC•≌△ABC，•得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理思路点拨：把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答。

答案：总结升华：举一反三：☆【变式】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？答案：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）证明三角形全等的一般步骤及注意的问题（1）先指明在哪两个三角形中研究问题．（2）按边、角的顺序列出全等的个条件，并用大括号括起来．（3）写出结论，让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐．（4）在证明中要步步有根据．（二）三角形全等的一个应用证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明两个三角形来解决。

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