工程力学课件-剪 切 和 扭 转

h 2
h
2
l
这样，按公式算出的挤压应 力和实际产生的最大挤应力很相 近。
为了防止挤压破坏，应该使最大的挤压应力不 超过材料的许用挤压应力 [ jy ] ，即
jy
Pjy Ajy
[ jy ]
（3-4）
这就是挤压强度条件。 许用挤压应力与许用拉应力 [ ] 之间有如下关系： 塑性材料：
例3 在图所示传动轴上，主动轮A与原动机 相联，从动轮B、C、D与机床相联。已知轮 A输入功率NA=50kW，轮B、C、D输出功率 分别为NB=NC=15kW，ND=20kW，轴的转速 n=300r/min。求各段轴内的扭矩，并画扭矩 图。
MB
(a)
I
MC
II
MA
III
MD
B
I
C
C
II
A
III
D
解 （1）计算外力偶矩
铆钉剪切面上的剪力为
PP
3
p 4
2
p 4 p 4
1
b=90
p 4 P
铆钉的剪应力为
Q 25 103 106 A 1 16 106 4 124MPa [ ]
3
p1
2
1
p 2
Q 25 103 106 A 1 16 106 4 124MPa [ ]
转/分。 当功率为 N H 马力（H.P，1马力=735.5W）时，外 力偶矩的计算公式为
NH M e 7024 ( N m) n
（3-7）
二、扭矩和扭矩图 从指定截面m-m处截开，取左半部分I 由平衡条件
Mn Me 0
得
m
Me
Байду номын сангаас
扭矩Mn是I、II两部分 在m-m截面上相互作用的 分布内力系的合力偶矩。 取右半部分II可求出截面 m-m上的扭矩 M n M e ，但其方向 与按部分I求出的扭矩相反。
MB
I MC
I
MnI
II II
MA
III
MD
M nIII M D 0
B
MB
C
III
A
D
故有
M nIII M D 637 N m
MB
MC
M n II
MD
（3）作扭矩图 从图中可以看出，最大 扭矩发生于CA段，其 绝对值为 M n max
954 N m
477N m
MnIII
MnI
II II
III
MD
C
III
（2）计算扭矩 BC段：沿I截面将轴截开， 由平衡方程
MB
A
D
MD
MB
M C
M nII
得
M nI + M B 0 M nI M B 477 N m M nI 477 N m
M nIII
结果为负说明I截面上扭 矩的实际方向与所设方向 相反，即该截面的扭矩为 负值。在BC段内各截面 上的扭矩不变，所以这一 段内的扭矩图为一水平线 （图e）。 CA段： M nII + M C + M B 0
MB
I MC I
MnI
II
II
MA
III
MD
B
MB
C
III
A
D
MB
MC
M n II
MnIII
MD
故有 M nII M C M B 954 N m
AD段： M nIII M D 0
M nI 477 N m
M nII + M C + M B 0
M nII M C M B 954 N m
y


t
x
dy
dx
(3-10)
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然 成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的 交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这个 关系称为剪应力互等定理。
y


t
x
dy
z
dx
如图所示单元体的上下左右四个侧面上
637N m
+

954N m
3.5 薄壁圆筒的扭转
为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先
讨论薄壁圆筒的扭转，以了解剪应力及剪应
变的规律和它们之间的关系。
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
j R
图为一等截面薄壁圆筒。 在两端施加外力偶矩后，可以看到以下变形现象： （1）各周向线的形状、大小和间距均未改变，两相 邻周向线发生相对转动； （2）各纵向线都倾斜了同一微小角度 ，但仍可以 近似地看成直线； （3）试件表面原来的小矩形都变成了同样大小的平 行四边形。
jy
Pjy A jy
p
p
式中，Ajy 为有效挤压面面积。按公式 得到的挤压应力并不是真实应力， 所以称为名义挤压应力。
Ajy 挤压面
有效挤压面面积的计算分两种情况讨论： （１）当挤压面为平面时， 有效挤压面面积为实际接触面 面积，即 Ajy 1 lh
（２）当挤压面为圆柱面 时，（如铆钉杆和铆钉孔）有 效挤压面面积是实际接触面的 直径投影面，即 Ajy d t
脆性材料：
(0.8 1.0)[ ]
根据这个关系，工程上常根据拉伸许用应力 [ ] 的值 估算剪切许用应力 的值。
例：销钉联接结构如图所示，已知载荷P=15kN，板厚 t=8mm,销钉的直径d=20mm,销钉许用剪应力 30MPa 试校核销钉的剪切强度。
解: 由截面法易求出
l R
或
R

l
（3-9）
即剪应变 与扭转角φ成正比。
二、纯剪切状态 tdy 剪力 力偶矩为 tdy dx 平衡条件 Y 0 z 上、下两个面上存在大小相等、 方向相反的剪应力 '。 由平衡条件有 tdy dx ' tdx dy ' 即
Me
Mn Me
I
Mn
x
m m I
II
Me
m
m Mn m
Me II
扭矩的正负号规定如下： 按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，当 矢量方向与截面的外法线方向一致时，扭矩 Mn为正；反之为负。根据这一规则，在图中， 无论就部分I还是部分II而言，m-m截面上的 扭矩都是正的。
根据扭矩的大小和正负，画出沿轴线方 向扭矩变化的图形，称之为扭矩图。扭矩图 的画法与轴力图相似。
截面3-3：
3
P
2
3 4P
1
1p
+
3
2
14
故整个结构满足强度要求。
四、冲剪力的计算
工程中都要求这些构件工作时的剪应力 达到材料的极限剪应力 o ，即
Q o A
（3-5）
3.3 扭转的概念
在杆件的两端作用一对大小相等、方向 相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶， 致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴 线的相对转动。杆件的这种变形形式称为扭 转变形。 有截面法可知，杆件产生扭转变形时， 横截面上内力分量只有位于面上的力偶矩， 称其为扭矩。
P Q 2
p
p 2
Q
mm
m
p
m p
1.5t
t
n n 0
n n
p 2
p
t
Q
于是剪应力为
d
Q 15 103 106 23.9MPa [ ] A 2 (20 103 ) 2 4
故销钉满足强度要求。 剪应力 达到材料的极限应力 u ，即
Q u A
二、挤压的实用计算 挤压力 Pjy ：作用在接触面上的压力 挤压变形：在接触面处产生的变形 挤压面：挤压发生在联结件与被联结件的接触面 挤压应力 jy ：挤压面上的压强
2 A
dA
dq

R
R (e)
Mn Me 2 2 R t 2 R 2t
（3-8）
或
Mn Mn RA 2 A0t
（3-8' ）
A0 r02 为横截面上筒壁中线围成的面积。

j
a c
b d

设l为薄壁圆筒的长度，R为薄壁圆筒的外半径， φ为薄壁圆筒两端的相对扭转角。可以看出
NA 50 9550 1592 N m n 300 N 15 M B M C 9550 B 9550 477 N m M n 300 N 20 M D 9550 D 9550 637 N m n 300 B M A 9550
MA
B
I MC I
3
P p 4
2
p 4
1
p 4
p 4
3
2
1
Pjy P 25kN jy 1
P P 25kN 1 4
Q Q P 25kN 124MPa [ ] 1 A
Pjy Ajy 156 MPa [ jy ]
t=10
（3）校核钢板的拉伸强度。 截面法 P=100KN 截面2-2： 3 3
第三章
剪切和扭转
3.1 剪切的概念 3.2 剪切和挤压的实用计算 3.3 扭转的概念 3.4 外力偶矩 扭矩和扭矩面 3.5 薄壁圆筒的扭转 3.6 圆轴扭转时的应力及变形 3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算 3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧 3.9 圆轴扭转时斜截面上的应力及扭转破坏分析 3.10 矩形截面杆扭转简介
3.4 外力偶矩 扭矩和扭矩面
一、外力偶矩的计算 设轴传递的功率为 N k (kw) ，转速为n(r/min)，传 递的力矩为Me，于是有
N k 1000 M e n 2 60