2013年全国高考数学椭圆、双曲线、抛物线 理
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高考数学(理)二轮练习【专题6】(第2讲)椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y .根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1，设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |.易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4|5－1＝5－1.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20. ∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°. 连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A.52 B.52 C.62D ．3 (2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．答案 (1)C (2)D解析 (1)设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，焦距为2c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且不妨设m >n ，由m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 又∠F 1PF 2＝π3，∴4c 2＝m 2＋n 2－mn ＝a 21＋3a 22，∴a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1(22)2＋3e 2＝4，解得e ＝62，故选C. (2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，2QF k ＝cyb 2－2c 2， 由12F P QF k k ⋅＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m 答案 (1)C (2)A解析 (1)设OF 的中点为C ，则 AO →＋AF →＝2AC →，由题意得， 2AC →·OF →＝0，∴AC ⊥OF ，∴AO ＝AF ， 又∠OAF ＝90°，∴∠AOF ＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， ∴ba ＝tan 45°＝1， 则双曲线的离心率e ＝1＋(ba)2＝2，故选C.(2)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±m mx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．解 (1)∵A (－a,0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a )，B (x 1，y 1)， 令x ＝0，则y ＝2a ，∴C (0,2a )， ∴AB →＝(x 1＋a ，y 1)，BC →＝(－x 1,2a －y 1)，∵AB →＝613BC →，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝613(2a －y 1)，整理得x 1＝－1319a ，y 1＝1219a ，∵点B 在椭圆上，∴(1319)2＋(1219)2·a 2b 2＝1，∴b 2a 2＝34，∴a 2－c 2a 2＝34，即1－e 2＝34，∴e ＝12.(2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2＝4t ，∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12t ＝0y ＝kx ＋m ，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0，∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ， ∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t )＝0， 整理得m 2＝3t ＋4k 2t ，设P (x 1，y 1)则有x 1＝－8km 2(3＋4k 2)＝－4km 3＋4k 2， y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2，∴P (－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2)， 又M (1,0)，Q (4,4k ＋m )，∵x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，∴(1＋4km 3＋4k 2，－3m3＋4k 2)·(－3，－(4k ＋m ))＝0恒成立， 整理得3＋4k 2＝m 2.∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立，故t ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)， 得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ， 直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t.又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433B.233C ．3D ．2答案 A解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c. 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163， ∴(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限， 所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为43.押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ， 由题意可知|OE |＝a4，由OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为FP 的中点．由双曲线的性质，可知O 为FH 的中点， 所以OE ∥PH ，且|OE |＝12|PH |，故|PH |＝2|OE |＝a2.由双曲线的定义，可知|PF |－|PH |＝2a (P 在双曲线的右支上)， 所以|PF |＝2a ＋|PH |＝5a 2. 因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE .又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在△PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2，② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1. 因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3， 所以|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3 答案 D解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A ．2或233B.6或233 C ．2或 3 D.3或 6 答案 A解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 故选A. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 答案 B解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.故选B. 4．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A.463B.433C.863D.233 答案 C解析 由题意，可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝4， 又|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，所以，|BC →|＝2|AC →|.故|OC →|＝|AC →|.又AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →.故△OAC 为等腰直角三角形，|OC →|＝|AC →|＝2 2.不妨设点C 在第一象限，则点C 的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得2242＋22b 2＝1，解得b 2＝163. 所以c 2＝a 2－b 2＝42－163＝323，c ＝463. 故其焦距为2c ＝863. 5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F (34，0)， 因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94. 6．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且 PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1) 答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12， 所以12≤e ≤22.故选B. 二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ， 将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1， 其渐近线方程为y ＝±2x .8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.答案 2解析 由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F (p 2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p 4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故答案为 2.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________． 答案 11解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的右焦点坐标是(3,0)． 所以p 2＝3，所以p ＝6. 即抛物线的标准方程为y 2＝12x .设过点P (2,0)且斜率为1的直线l 的方程为y ＝x －2，联立y 2＝12x 消去y 可得x 2－16x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，所以弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x 1＋x 2＋p 2＝16＋62＝11.故填11. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 答案 2解析 延长F 2A 交PF 1于B 点，则|PB |＝|PF 2|，依题意可得|BF 1|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .又因为点A 是BF 2的中点．所以得到|OA |＝12|BF 1|，所以b ＝a . 所以c ＝2a .所以离心率为 2.三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2.(1)求曲线C 的方程；(2)过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB | 故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2，由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0) ∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32. ∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k. 又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．。
2013年高考数学选填压轴题(理科)含答案
高考理科数学选填压轴题训题型一：集合与新定义 (2013福建理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．D A ．A ＝N*，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q(2013广东理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S中，则下列选项正确的是( )．BA ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉SB ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈SC ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈SD ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S 提示：特殊值法，令x=1,y=2,z=3,w=4即得。
题型二：平面向量（2013北京理13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ．4 (2013湖南理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．AA ．11] B ．12] C ．[11] D ．[12]解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO1，P ′O1，故选A ．(2013重庆理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP|＜12，则|OA |的取值范围是( )．D A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝ 解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<≤所以|OA |的取值范围是⎝，故选D ．(2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．7/12(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2（2013浙江理17）设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________。
近年全国高考数学考试(课标Ⅰ卷)考查内容、题量、分值分布及试题
近年全国高考数学考试（课标Ⅰ卷）考查内容、题量、分值分布及试题１.各题考查的知识内容与分值
（1）理科数学考查内容与考查分值
（2）文科数学考查内容与考查分值
2014，2013年都未考积分2．各知识内容考查的题量和分值（3）理科内容、题量与考分统计
注：不等式：*1小，即不等式内容渗透（综合）在另一个主体内容中考查。
线性规划归入不等式。
人教Ａ版中无空间向量，Ｂ版中有。
总的讲，Ｂ版较Ａ版稍难。
（4）文科内容、题量与考分统计
注：*1大*2小4分，即内容无主体的试题考查，仅为综合进去的内容，含在1个大题和2个小题之中。
3.近5年全国高考新课标数学Ⅰ卷考查特点、题量、分值分布等情况分析。
2013年北京高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （ ）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2） 故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____． 【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易 【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ， 即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )． 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1） （Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2） 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6） 由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． （步骤3） 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点． （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2） （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4） 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1） （Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0， 所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3） 又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4） （Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5） 假设{}n a (n …2)中存在大于2的项． 设m 为满足m a ＞2的最小正整数， 则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6） 又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7） 因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8） 故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线
2013年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一选择题1.陕西11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 9 .【答案】9 【解析】9161694522=⇒==⇒=m m a b ac2.安徽理（13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。
若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角，则a 的取值范围为___ ),1[+∞_____。
【答案】 ),1[+∞【解析】 BC AC x x C m m B m m A ⊥-则根据题意不妨),,(),,(),,(222)()12(0)(),(),(42224222222222=+++-⇒=-+-=-+⋅--x x m x m m x m x m x m x m x m x ),1[10)1(-222222+∞∈+=⇒=--x m x m x m ）（.所以),1[+∞∈a3.新课标I ，4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为52，则C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±【解析】由题知，52c a=，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a=12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C .4.新课标I 10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x 245＋y 236＝1 B 、x 236＋y 227＝1错误！未找到引用源。
C 、x 227＋y 218＝1 D 、x 218＋y 29＝1 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ①2222221x y a b += ②① ②得1212121222()()()()x x x x y y y y a b+-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a=12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D.5.新课标II 11、设抛物线)0(22≥=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，｜MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ）（A ）x y 42= 或x y 82= （B ）x y 22= 或x y 82= （C ）x y 42= 或x y 162= （D ）x y 22= 或x y 162= 【答案】C6.四川6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12（B ）32（C ）1 （D ）3 答案B解析; 、抛物线24y x =的焦点坐标为错误！未找到引用源。
2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(带答案)
2013年全国各省市理科数学—圆锥曲线1、2013山东理T9.过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 2、2013重庆理T7.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、4 B1 C 、6-3、2013全国理T8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4、2013新课标I 理10.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为A1364522=+y x B 1273622=+y x C 1182722=+y x D 191822=+y x 5、2013浙江理T9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是A. 2B. 3C.23 D.266、2013辽宁理T15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .7、2013上海理T9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________8、2013福建理14. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____9、2013江苏T12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．10、2013新课标I 理T4.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=11、2013北京理T6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.y x = 12、2013福建理T3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. 52B.54C. 552D.55413、2013广东理T7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =14、2013天津理T5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 315、2013湖北理T5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等16、2013江苏T3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 17、2013陕西理T11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .18、2013湖南理T14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B．2 CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为2 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________. 14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C＝14，求C .19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A解析：323=13=8-.故选A.3． 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5． 答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8． 答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9． 答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则=2AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 12CH ， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11． 答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =.∴g (t )max ，即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点， 则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°＝22R ⋅∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+2242⨯=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB .又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (，0,0)，D (0，，0)，C (，0)，P (0,0)．PC ＝(，)，PD ＝(0，，)．AP ＝，0)，AD ＝，，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||3=-·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4 D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=. 故PA＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA＝4. 18． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
解析几何椭圆双曲线抛物线
令 x＝0，解得 y0＝－1＋6k4k2. 由QA? (? 2,? y0 ),QB ? (x1, y1 ? y0 ),
QA?QB ? ?2x1 ? y0 ( y1 ? y0 )
＝－21(＋2－4k82k2)＋1＋6k4k2(1＋4k4k2＋1＋6k4k2) ＝4(16(k14＋＋41k52k)22－1)＝4，
(2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的
坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
QA?QB =4,求 y0 的值.
解 (1)由 e＝ac＝ 23，得 3a2＝4c2.再由 c2＝a2－b2， 得 a＝2b. 由题意可知21×2a×2b＝4，即 ab＝2.
的双曲线满足－4≤x≤4 的部分；
当34<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上
的椭圆满足－4≤x≤4 的部分；
当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上
的椭圆．
探究提高 (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预 知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法 求解或用待定系数法求解． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注 意字母的取值范围．
2
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③当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l：y＝k(x－1)，
P (x1，y1)，Q(x2，y2)．
??y＝k(x－1)， 由???x42＋y32＝1，
整理，得 (4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12
＝0.
Δ＝144k2＋144>0 恒成立．
∴x1＋x2＝4k82＋k2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
变式训练 3 已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝41，圆 F2：(x－1)2 ＋y2＝449，动圆 M 与圆 F1、F2 都相切． (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
(完整word版)2013年全国高考理科数学试题及答案、解析-陕西卷
试题及答案、解析2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题 .。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷 类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共 分，共50分) 1.设全集为R,函数f(x)乞1 -x 2的定义域为 M,则C R M 为 (A) [ - 1,1] (B) (- 1,1)(C) ( J ：，-1] -•[1, (D) ( -：：, -〔)_. (1, ■：：)【答案】D2. 根据下列算法语句,当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】 x =60,. y =25 0.6 (x-50) =31 ,所以选 C3.设 a, b 为向量，贝U “ab |=|a || b |”是 a // b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C10小题，每小题5【解析】1-X 2 _0,. 一1 乞 x 叮.即 M =[-1,1],c M—(—cQ , 一 1)U (1&),所以选D:输入xI:If x < 50 ThenI:y=0.5 * x :Else； y=25+0.6*( x-50) :End If i 输出y【解析】a b a | |b | COST若| a b|=| a | |b| ： cos)- -1,则向量a与b的夹角为0或二，即a//b为真；相反，若a//b，则向量0与b的夹角为0或二，即|a 6鬥2| |b|。
所以“ab 旧a || b |”是a // b”的充分必要条件。
另：当向量a 或b 为零向量时，上述结论也成立。
2013年高考数学必考知识点16 椭圆、双曲线、抛物线
2013年高考数学必考知识点16 椭圆、双曲线、抛物线1．(2012²福建)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )．A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5答案： A [易求得抛物线y 2＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52³31＋54＝ 5.]2．(2012²新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝4 3，则C 的实轴长为( )．A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案：C [抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，2 3)在等轴双曲线C ；x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.]3．(2012²山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )．A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 答案：D [因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4³25³25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.]4．(2012²北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－4 33y －4＝0，解得y A ＝4 33＋ 163＋162＝2 3(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12³1³2 3＝ 3.答案3圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系．复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.必备知识椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P (x ，y )在椭圆上．(1)离心率：e ＝ca＝1－b 2a2；(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：2b 2a.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (x ，y )在双曲线上．(1)离心率：e ＝ca＝1＋b 2a2；(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：2b 2a.抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线上． (1)焦半径|CF |＝x 1＋p2；(2)过焦点弦长|CD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，|CD |＝2p sin 2α(其中α为倾斜角)，1|CF |＋1|DF |＝2p； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．必备方法1．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 2．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程．(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程． (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系．(4)交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹．注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.椭圆、双曲线、抛物线定义的应用圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．【例1】► 已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为( )．A.14B.13C.19D.35 [审题视点][听课记录][审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求． B [因点P 在椭圆上又在双曲线上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 6， |PF 1|－|PF 2|＝2 3.设|PF 1|＞|PF 2|，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝6＋32＋6－32－1626＋36－3＝13.] 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离．【突破训练1】 如图过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线与点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．解析作BM ⊥l ，AQ ⊥l ，垂足分别为M 、Q .则由抛物线定义得，|AQ |＝|AF |＝3，|BF |＝|BM |.又|BC |＝2|BF |，所以|BC |＝2|BM |.由BM ∥AQ 得，|AC |＝2|AQ |＝6，|CF |＝3.∴|NF |＝12|CF |＝32.即p ＝32.抛物线方程为y 2＝3x .答案 y 2＝3x椭圆、双曲线、抛物线的几何性质圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档．【例2】► (2012²东北三省四市教研协作体二次调研)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )．A.22 B.33 C.63 D.64[审题视点][听课记录][审题视点] 作MN ⊥x 轴，结合勾股定理可求c ，利用椭圆定义可求a .C [过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t ，根据勾股定理可知，|MF 1→|2－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63，故选C.]离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定e 的范围．【突破训练2】 设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析 抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1代入抛物线方程得1＝2p ³p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝3 24. 答案3 24求曲线的方程轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．【例3】► (2011²天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →²B M →＝－2，求点M 的轨迹方程． [审题视点][听课记录][审题视点] (1)根据|PF 2|＝|F 1F 2|建立关于a 与c 的方程式． (2)可解出A 、B 两点坐标(用c 表示)，利用AM →²BM →＝－2可求解． 解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c 2＋b 2＝2c .整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0， 得c a ＝12或c a ＝－1(舍)，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335，B ()0，－3c .设点M 的坐标为(x ，y )，则A M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，B M →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是A M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，B M →＝(x ，3x )．由题意知A M →²B M →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ²x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85－335x ²3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【突破训练3】 (2012²四川)如图，动点M 与两定点A (－1,0)、B (2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB .设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0. 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)． 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，且∠MBA ＝2∠MAB ， 有t an ∠MBA ＝2 t a n ∠MAB 1－t a n 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－⎝⎛⎭⎫|y |x ＋12 化简可得3x 2－y 2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，综上可知，轨迹C 的方程为3x 2－y 2－3＝0(x ＞1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0消去y ，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内． 设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2＞1，f 1＝12－4m ＋m 2＋3＞0，Δ＝－4m 2－4m 2＋3＞0，解得m ＞1，且m ≠2.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 由|PQ |＜|PR |有x R ＝2m ＋3m 2－1，x Q ＝2m －3m 2－1.所以|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3m 2－12m － 3m 2－1＝2＋3⎝⎛⎭⎫1－1m 22－3⎝⎛⎭⎫1－1m 2 ＝－1＋42－3⎝⎛⎭⎫1－1m 2.由m ＞1，且m ≠2，有1＜－1＋42－3⎝⎛⎭⎫1－1m 2＜7＋4 3，且－1＋42－3⎝⎛⎭⎫1－1m 2≠7.所以|PR ||PQ |的取值范围是(1,7)∪(7,7＋4 3)．直线与圆锥曲线之间的关系在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大．【例4】► 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. (1)求a ，b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．[审题视点][听课记录][审题视点] (1)由直线l 的斜率为1过焦点F ，原点O 到l 的距离为22可求解；(2)需分直线l 的斜率存在或不存在两种情况讨论．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由条件OP →＝OA →＋OB →可得P 点坐标，结合A 、B 、P 在椭圆上列等式消元求解．解 (1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c 2，故c 2＝22，c＝1.由e ＝ca ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2. (2)C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立．由(1)知C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(i)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6， 又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6，故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.①将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1²x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1²y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，此时x 1＋x 2＝32于是y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－k 2，即P ⎝⎛⎭⎫32，－k2.因此，当k ＝－ 2时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22，l 的方程为2x ＋y － 2＝0；当k ＝2时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－22，l 的方程为2x －y －2＝0.(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立．综上，C 上存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±22使OP →＝OA →＋OB →成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.本小题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力．此题的第(2)问以向量形式引进条件，利用向量的坐标运算，将“形”、“数”紧密联系在一起，既发挥了向量的工具性作用，也让学生明白根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法．【突破训练4】 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b ＞0)过点M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．解 (1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0＜R ＜2.设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 由方程根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.②因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③将①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 联立②得m 2＝83(1＋k 2)．④因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |1＋k2.由④得R ＝2 63，所以存在圆x 2＋y 2＝83满足题意． 当切线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝83，由椭圆E 的方程得y 21＝y 22＝83，显然OA →⊥OB →.综上所述，存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．讲讲离心率的故事椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中或在双曲线中都有着极其特殊的应用，也是高考常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围．一、以离心率为“中介”【示例1】► (2012²湖北)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析 (1)由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝cb 2＋c2，S 1S 2＝2bc4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案 (1)1＋52 (2)2＋52老师叮咛：离心率是“沟通”a ，b ，c 的重要中介之一，本题在产生关于a ，b ，c 的关系式后，再将关系式转化为关于离心率e 的方程，通过方程产生结论.【试一试1】 (2012²南通模拟)A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴垂直，若PB →²AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析 不妨设双曲线C 的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则A (－a,0)，B (a,0)．设P (x ，y )，Q (x ，－y )，所以PB →＝(a －x ，－y )，AQ →＝(x ＋a ，－y )， 由PB →²AQ →＝0，得a 2－x 2＋y 2＝0.又x 2a 2－y 2b 2＝1，所以a 2＋y 2a 2－y 2b2＝1， 即⎝⎛⎭⎫1a 2－1b 2y 2＝0恒成立，所以1a 2－1b2＝0.即a 2＝b 2，所以2a 2＝c 2.从而e ＝ 2.答案 2二、离心率的“外交术”【示例2】► (2012²潍坊模拟)已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距，则b ＋ca的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1， 2 ]解析 由b ＋c a ＝a 2－c 2＋c a ＝1－e 2＋e ，又0＜e ＜1，设f (x )＝1－x 2＋x,0＜x ＜1，则f ′(x )＝1－x 1－x2＝1－x 2－x 1－x 2.令y ′＝0，得x ＝22，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1上单调递减，∴f (x )max ＝1－12＋22＝2，f (0)＝1，f (1)＝1.∴1＜f (x )≤2，故1＜b ＋ca≤ 2. 答案 D老师叮咛：离心率“外交”在于它可以较好地与其他知识交汇，本题中，如何求\f(b ＋c,a )的取值范围？结合离心率及关系式a 2＝b 2＋c 2，将待求式子转化为关于e 的函数关系式，借助函数的定义域即e 的范围产生函数的值域，从而完成求解.【试一试2】 (2012²江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析 由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4.∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5，得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案 2。
2013年高考数学全国卷1(完整试题 答案 解析)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分． 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数i i++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21 C ．3 D ．12.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x x M，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a 的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα（3）,,βα⊥⊥m m则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是 A ．18 B ．21 C ．24 D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ．223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．85 12.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅,则a 的值为 A ．916 B ．59 C ．925 D ．516 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）题图第13注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍．16.给出下列命题： ①已知,,a b m 都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立；③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④“1,1≤≤y x且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的第14题图取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S Sd 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知四棱锥BCDEA -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F为AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDEA -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的ABCDEF2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分12分）已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分） 实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于CB ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二． 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915.231016. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6si n (=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x …………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos=A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B (10)分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n Tn n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点 ∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC……………………………4分ABCDEF G（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BCAO ⊥，又⊥CD 平面ABC,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面B C D E ，∴AO为BCDEA V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCD EA B CD EV S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）将1-=x代入切线方程得2-=y∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分 解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222m n n m c n m …………………………………………2分解得92=c，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k∴22241821622k kk x +-=+② …………………………………………12分∴2222418216)228(222221=++---=-k kk k x x整理得：0)4121)(2416(2=+--kkk∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
2013年高考椭圆题(答案)
1.（2013年大纲版数学（理））椭圆134:22=+y x C 的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[2.（2013年高考新课标1（理））已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=3.（2013年浙江数学（理））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．263.（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________. 4.（2013年江苏卷（数学））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为___.【答案】35.（2013年福建数学（理））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-6.（2013年辽宁数学（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.【答案】577.（2013年上海春）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P F Q ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-. 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P F Q ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+,解得217k =,即k =故直线l的方程为10x +-=或10x -=.8.（2013年四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程. 【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =. 又由已知,1c =,所以椭圆C的离心率2c e a === ()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则 22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++, 即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+=① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860k x kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.又0,2⎛- ⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈ ⎝⎦9.（2013年山东数学（理）试题）椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==2a =1b =2214x y +=10.（2013年浙江数学（理））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b=,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214xy +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以11||||22444313ABD S AB DP k k k ∆==⨯==++++23232==≤=+2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:12l y x =±- 11.（2013年重庆数学（理）试题）如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2e =过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.（第21题图）【答案】12.（2013年安徽数学（理））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程; (Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 【答案】解: (Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .13.（2013年新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3. 设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R. [来源:](Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k时,将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12|x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=14.（2013年天津数学（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值. 【答案】15.（2013年江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)xy C a b ab ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c = ②②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y y k x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++,又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. 方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--,令4x =,求得003(4,)1y M x -,从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---, 故存在常数2λ=符合题意.16.（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.17.（2013年湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y am =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等 12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211an k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+= ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .18.（2013年北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点B是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk +).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.。
2013年高考理科数学江苏卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11ni i x x n ==∑棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高棱柱的体积公式V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 为高一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1.函数π3sin(2)4y x =+的最小正周期为 .2.设2(2i)z =-（i 为虚数单位）,则复数z 的模为 .3.双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 .4.集合{1,0,1}-共有 个子集.5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .6.则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 . 7.现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数m ,n (m 7,n 9)≤≤可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .8.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,1AA 的中点.设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是 .10.设D ,E 分别是ABC △的边AB ,BC 上的点,12AD AB =,23BE BC =,若DE =12AB AC λλ+（1λ,2λ为实数）,则12λλ+的值为 .11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若21d =,则椭圆C 的离心率为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为.14.在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=,则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 .二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知向量a (cos ,sin )αα=,b (cos ,sin )ββ=,0πβα<<<. （Ⅰ）若|a -b |=求证：a ⊥b ；（Ⅱ）设c (0,1)=,若a +b =c ,求α,β的值.16.（本小题满分14分）如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =.过A 作AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证：（Ⅰ）平面EFG 平面ABC ；（Ⅱ）BC SA ⊥.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页） 17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,3)A ,直线l ：24y x =-.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.（Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切 线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min .在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,12cos 13A =,3cos 5C =.（Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？ （Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？19.（本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列(0)d ≠,n S 是其前n 项的和.记2nn nS b n c=+,*n ∈N ,其中c 为实数.（Ⅰ）若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明：2*(,)nk k S n S k n =∈N ；（Ⅱ）若{}n b 是等差数列,证明：0c =.20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-,()e xg x ax =-,其中a 为实数.（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数,且()g x 在(1,)+∞上有最小值,求a 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数,试求()f x 的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A .（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且2BC OC =. 求证：2AC AD =.B .（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 1002-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,B 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵A -1B .C .（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,2,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）,曲线C 的参数方程为22tan ,2tan ,x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）.试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0a b ≥＞,求证：332222a b ab a b --≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AB AC ⊥,2AB AC ==,14A A =,点D 是BC 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.23.（本小题满分10分）设数列{}n a ：1,2-,2-,3,3,3,4-,4-,4-,4-,⋅⋅⋅,11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个,⋅⋅⋅,即当*(1)(1)()22k k k k n k -+∈N ＜≤时,1(1)k n a k -=-.记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+*()n ∈N .对于*l ∈N ,定义集合{|l n P n S =是n a 的整数倍,*n ∈N ,且1}n l ≤≤. （Ⅰ）求集合11P 中元素的个数； （Ⅱ）求集合2000P 中元素的个数.数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科数学答案解析数学Ⅰ一、填空题 1.【答案】π【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==． 【提示】将题中的函数表达式与函数sin(+)y A x ωϕ=进行对照，可得2ω=，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期． 【考点】三角函数的周期性． 2.【答案】5【解析】2(2i)34i z =-=-，所以|||34i |5z =-=．【提示】把给出的复数展开化为+i()a b a b ∈R ，的形式，然后直接利用莫得公式计算． 【考点】复数的概念和代数形式的四则运算．3,【答案】34y x =±【解析】由双曲线方程可知4a =，3b =所以两条渐近线方程为34y x =±．【提示】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【考点】双曲线的简单几何性质． 4.【答案】8【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有328=（个）子集．【提示】集合1,{}2,3P =的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【考点】集合的含义 5.【答案】3【解析】算法流程图执行过程如下：1220n a a ==<，，；8220a n a ==<，，；26320a n a ==>，，，输出3n =．【提示】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足20a ≥的最小n 值，模拟程序的运行过程可得答案． 【考点】选择结构和循环结构的程序框图． 6.【答案】2【解析】由表中数据计算得90x =甲，90x =乙，且2222221[(8790)+(9190)+(9090)+(8990)+(9390)]45s =-----=甲，2222221[(8990)+(9090)+(9190)+(8890)+(9290)]25s =-----=乙．（步骤1）由于22ss≥乙甲，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.（步骤2）【提示】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求． 【考点】数据平均数和方差的计算． 7.【答案】2063【解析】因为正整数m ，n 满足7m ≤，9n ≤，所以(,)m n 所有可能的取值一共有7963⨯=（种），（步骤1）其中m ，n 都取到奇数的情况有4520⨯=（种），因此所求概率为2063p =．（步骤2）【提示】求出m 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解． 【考点】古典概型． 8.【答案】1:24【解析】设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为2V Sh =．（步骤1） 又因为F 为1AA 的中点，所以三棱锥F ADE -的体积为12111113422424V Sh Sh V =⨯==，故12:1:24V V =．（步骤2）【提示】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值． 【考点】三棱柱、三棱锥体积的计算．9.【答案】12,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-．画出可行域（如图）．（步骤1） 设2x y z +=，则1122y x z =-+经过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max12z =，最小值min 2z =-，故取值范围是12,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．（步骤2）第9题图【提示】利用导数求出抛物线在1x =处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则2x y+的取值范围可求．【考点】导数的几何意义，直线方程，线性规划问题． 10.【答案】12【解析】由题意212112()++323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-=-，（步骤1）于是116λ=-，223λ=，故121+2λλ=．（步骤2）【提示】由题意和向量的运算可得12+63DE AB AC =-，结合12+DE AB AC λλ=，可得1λ，2λ的值，求和即可．【考点】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算． 11.【答案】(5,0)(5,+)-∞【解析】先求出函数()f x 在R 上的解析式，然后分段求解不等式()f x x >，即得不等式的解集．设0,x <则0,x ->于是22()()4()4f x x x x x -=---=+，（步骤1） 由于()f x 是R 上的奇函数，则2()+4f x x x -=，即2()4f x x x =--，（步骤2）数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）且(0)0,f =于是224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩（步骤3） 当0x >时，由24x x x ->得5x >；当0x <时，由24x x x -->得50x -<<， 故不等式的解集为(5,0)(5,+)-∞（步骤4）【提示】作出x 大于0时，()f x 的图象，根据()f x 为定义在R 上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x 小于0的图象，所求不等式即为函数()f x 图象在y x =上方，利用图形即可求出解集．【考点】函数奇偶型的应用，一元二次不等式的求解． 12.【解析】依题意，222a b d c c c=-=．又BF a =，所以1bc d a =．（步骤1） 由已知可得26b bc c a．所以2ab =，即42226()c a a c =-，整理得223a c =，所以离心率c e a ==．（步骤2）【提示】根据“21d =”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得1bc d a =，从而得到a 与b 的关系，可求得ba，从而求出离心率．【考点】椭圆的定义． 13.【答案】1-【解析】依题意可设1,(0)P x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则222222111||()++2++2P A x a a x a x a x xx ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（步骤1）令1+x t x=，则2t ≥且22222||22+2()+2PA t at a t a a =--=--．（步骤2）若2a ≥，则当t a =时，2||PA 取最小值22a -，令222a-=，解得a =a =舍去）；若2a <，则当2t =时，2||PA 取最小值2242a a-+，令22242a a -+=，解得1a =-（3a =舍去）（步骤4）综上，满足条件的所有a的值为1-（步骤5） 【提示】设点1,(0)P x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式可得||PA ，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a 的值．【考点】两点间距离公式，均值不等式，二次函数的最值，换元法． 14.【答案】12【解析】设{}n a 的公比，则由已知可得4121,21(+)3,2a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩（步骤1） 于是13212(12)1+++(21)1232n n n a a a -==--，(1)(1)221211232n n n n n n n a a a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（步骤2） 由1212+++n n a a a a a a >可得(1)211(21)23232nn n n -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得2111+522212n n n -->． （步骤3）由2111+52222n n n ->，可得2111+522n n >-，即213+100n n -<，n <（步骤4）取12n =，可以验证当12n =时满足1212+++n n a a a a a a >，故n 的最大值为12.（步骤5）【提示】设正项等比数列{}n a 首项为a 1，公比为q ，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和12+++n a a a 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案．【考点】等比数列的通项公式，求和公式以及不等式的性质． 二、解答题15.【答案】（1）见解析 （2）5π6α=π6β=【解析】（1）证明：由题意的2||2a b -=，即222()2+2a b a a b b -=-=．（步骤1）又因为2222||||1a b a b ====，所以222a b -=，即0a b =，故a b ⊥．（步骤2）（2）因为+(cos +cos ,sin +sin )(0,1)a b αβαβ==，所以cos +cos 0,sin +sin 1,αβαβ=⎧⎨=⎩（步骤3） 由此得，cos cos(π)αβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-（步骤4）代入sin +sin 1αβ=，得1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5π6α=，π6β=．（步骤5） 【提示】（1）由给出的向量a ，b 的坐标，求出a b -的坐标，由模等于列式得到cos cos +sin sin 0αβαβ=，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+a b ，由+(0,1)a b =列式整理得到2π3αβ-=，结合给出的角的范围即可求得α，β的值． 【考点】平面向量的坐标运算，诱导公式． 16.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）因为AS AB =，AF SB ⊥，AF SB ⊥，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．（步骤1）又因为E 是SA 的中点，所以EF AB ∥．（步骤2）因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ABC ∥平面（步骤3） 同理EG ABC ∥平面．又EFEG E =，所以A C EFG B ∥平面平面．（步骤4）（2）因为1ADC SBC ⊥平面平面，且交线为SB ，又AF SAB ⊂平面，AF SB ⊥， 所以AF SBC ⊥平面．（步骤5）因为BC SBC ⊂平面，所以AF BC ⊥．（步骤6） 又因为AB BC ⊥，AFAB A =，AF SAB ⊂平面，BC SAB ⊥平面（步骤7）因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）第16题图【提示】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F 为SB 的中点．从而得到SAB △和SAC△中，EF AB ∥且EG AC ∥，利用线面平行的判定定理，证出EFABC ∥平面且EG ABC ∥平面．因为EF 、EG 是平面EFG 内的相交直线，所以平面数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）A C EFGB ∥平面平面；（2）由面面垂直的性质定理证出AF SBC ⊥平面，从而得到AF BC ⊥．结合AF 、AB 是平面SAB 内的相交直线且AB BC ⊥，可得BC SAB ⊥平面，从而证出BC SA ⊥． 【考点】面面平行的判定定理和线面垂直的证明． 17.【答案】（1）3y =或3+4120x y -=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点(3,2)C ，于是切线的斜率必存在．（步骤1）设过11P 的圆C 的切线方程为+3y kx =由题意得，1=，解得0k =或34k =-，（步骤2）故所求切线方程为3y =或3+4120x y -=．（步骤3）（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为22()+[2(2)]1x a y a ---=．（步骤4）设点(,)M x y ，因为2MA MO =，=化简得22+230x y y +-=，即22+(+1)4x y =，所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上．（步骤5） 由题意，点(,)M x y 在圆C 上，所以圆C 和圆D 有公共点，则|21|2+1CD -≤≤，即13．整理，得285120a a -≤-≤．（步骤6） 由251280a a -+≥，得a ∈R ；由25120a a -≤，得1205a ≤≤．所以a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（步骤7）【提示】（1）联立直线l 与直线1y x =-解析式，求出方程组的解得到圆心C 坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；（2）设(,)M x y ，由2MA MO =，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,1)-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，由M 在圆C 上，得到圆C 与圆D 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【考点】圆的方程、圆的切线方程以及两圆间的位置关系． 18.【答案】（1）1040m（2）35(min)37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m/min ） 【解析】（1）在△ABC 中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =．（步骤1）从而5312463sin sin[π(+)]=sin(+)sin cos +cos sin +13513565B AC A C A C A C =-==⨯⨯=．（步骤2）由正弦定理sin sin AB AC C B =，得636512604sin 1040(m)sin 5AC AB C B ==⨯= 所以索道AB 的长为1040m ．（步骤3）（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50)m t ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(100+50)+(130)2130(100+50)200(3770+50)13d t t t t t t =-⨯⨯⨯=-．（步骤4）由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短．（步骤5）（3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得636512605sin 500(m)sin 13AC BC A B ==⨯=（步骤6） 乙从B 出发时，甲已走了50(2+8+1)550(m)⨯=，还需走710m 才能到达C ．（步骤7） 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，（步骤8） 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m/min ）范围内．（步骤9） 【提示】（1）作出相应的图形，根据cos C 的值，求出tan C 的值，设出BD 表示出DC ，由cos A 的值，求出tan A 的值，由BD 表示出AD ，进而表示出AB ，由+CD AD AC =，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，即可确定出AB 的长；（2）设乙出发x min 后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示，表示出AM 与AN ，在三角形AMN 中，由余弦定理列出关系式，将表示出的AM ，AN 及cos A 的值代入表示出2MN ，利用二次函数的性质即可求出MN 取最小值时x 的值；（3）由（1）得到BC 的长，由AC 的长及甲的速度求出甲到达C 的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围． 【考点】正弦定理的实际应用和函数的最值问题． 19.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）由0c =，得1+2N n S n b a d n -==又因为124b b b ，，成等比数列，所以2214b b b =， 即23++22d a a a d ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220d ad -=．（步骤1）因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*m ∈N ，有2m S m a =． 从而对于所有的k ，*n ∈N ，有2222()nk k S nk a n k a n S ===．（步骤2）（2）(1)+2(1)2(1)2(1)2(1)222222222222(1)+2+++2+n d a n d a n d a n d a n d a nn n n c c c nS n d a b n c n c n c n c--+-+-+-++--====-(*)（步骤3）若{}n b 是等差数列，则+n n n b A B =型．观察(*)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：(1)2220+n d ac n c -+=，（步骤4） 即(1)+202nd a c-=，而(1)+22n d a-≠0，故0c =． 经检验，当0c =时，{}n b 是等差数列．（步骤5）【提示】（1）写出等差数列的通项公式，前n 项和公式，由124b b b ，，成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n 项和公式得到n S ，在前n 项和公式中取n nk =可证结论；（2）把n S 代入2+n n nS b n c =中整理得到(1)222(1)+22+n d a n c n d ab n c-+-=-，由等差数列的通项公式是+n a An B =的形式，说明(1)2220+n d ac n c-+=，由此可得到0c =. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和，等比数列的定义及性质． 20.【答案】（1）(e,+)a ∈∞（2）当0a ≤或1e a -=时，()f x 的零点个数为1；数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）当10e a -<<时，()f x 的零点个数为2 【解析】（1）令11()0ax f x a x x-'=-=<，（步骤1） 考虑到()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数．同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数．（步骤2）由于()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，故(1,)+∞1(,)a -⊆+∞，从而11a -≤，即1a ≥．（步骤3）令()e 0xg x a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即e a >． 综上所述两种情况，得(e,+)a ∈∞．（步骤4） （2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()e 0xg x a '=->，解得e x a <，即ln x a >．（步骤5）因为()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即0e x a <≤． 结合上述两种情况，得1e a -≤．（步骤6） 当0a =时，由(1)0f =以及1()0f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点；（步骤7） 当0a <时，由于(e )e (1e )0aaaf a a a =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[e ,1]a上的图象连续，所以()f x 在(e ,1)a上存在零点．（步骤8） 另外，当0x >时，1()0f x a x'=->，故()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，所以()f x 只有一个零点．（步骤9） ①当10e a -<≤时，令1()0f x a x'=-=，解得1x a -=；当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<，所以1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--．（步骤10）②当ln 10a --=，即1e a -=时，()f x 有一个零点e x =．（步骤11）③当ln 10a -->，即10e a -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10e a -<<，由于11(e )1e 0f a --=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[e ,]a --上的图象连续，所以()f x 在11(e ,)a --上存在零点另外，当1(0,)x a -∈时，1()0f x a x'=->，故()f x 在1(0,)a -上只有一个零点．（步骤12）下面考虑()f x 在1(,)a -+∞上的情况．先证112(e )(e )0a a f a a ---=-<．为此，我们要证明：当e x >时，2e x x >．设2()e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，再设()()e 2x l x h x x '==-，则()e 2xl x '=-．（步骤13）当1x >时，()e 2e 20x l x '=->->，所以()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数．（步骤14）故当2x >时，2()e 2(2)e 40x h x x h ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，（步骤15）进而当e x >时，2e 2()e (e)=e e 0x h x x h =->->，即当e x >时，2e x x >．（步骤16） 当10e a -<<，即1e a ->时，11112(e )e (e )0a a a f a a a a -----=-=-<．又1()0f a ->，且函数()f x 在11[,e ]a a --上的图象连续，所以()f x 在11(,e )a a --上存在零点．（步骤17）又当1x a ->时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数，所以()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点．（步骤18）综合上述可知，当0a ≤或1e a -=时，()f x 的零点个数为1； 当10e a -<<时，()f x 的零点个数为2.（步骤19）【提示】（1）求导数，利用()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，转化为10a x-≤在(1,)+∞上恒成立，利用()g x 在(1,)+∞上有最小值，结合导数知识，即可求得结论； （2）先确定a 的范围，再分类讨论，确定()f x 的单调性，从而可得()f x 的零点个数． 【考点】函数的单调性、极值、最值、零点等性质以及函数与导数的联系．数学Ⅱ21A.【答案】证明：连结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以90ADO ACB ∠=∠=︒．（步骤1）又因为A A ∠=∠，所以Rt ADO △∽Rt ACB △所以BC ACOD AD=． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）第21题图【提示】结合三角形和圆相交的一些条件，运用三角形相似的性质从而得出线段间的比例关系．【考点】几何证明．21B.【答案】101212=1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（步骤1）即 102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1a =-，0b =，0c =，12d =，（步骤2） 从而A 的逆矩阵为10A =102--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以101212=1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（步骤3） 【提示】给出两矩阵，利用矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵的性质求出对应参数． 【考点】矩阵与行列式初步． 21C.【答案】220x y --=22y x =(2,2) 1,12⎛-⎫⎪⎝⎭【解析】因为直线l 的参数方程为+12x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），由+1x t =得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的方程为220x y --=．（步骤1）同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）联立方程组22(1)2y x y x=-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛-⎫⎪⎝⎭．（步骤2）【提示】给定直线和曲线的参数方程，用代入法消去参数t 化为普通方程，联立方程求出公共点的坐标． 【考点】坐标系与参数方程．21D.【答案】证明：∵3322322322+(22)+()a b ab a b a ab a b b --=--=2222222()()()(2+)(+)()(2+)a a b b a b a b a b a b a b a b -+-=-=-，（步骤1）又∵0a b ≥>，∴0a b +>，0a b -≥，2+0a b >，∴()()(2+)0a b a b a b +-≥（步骤2） ∴3322220a b ab a b --+≥∴332222a b ab a b -≥-．（步骤3） 【提示】用作差比较法证明不等式． 【考点】不等式选讲． 22.【答案】（1（2【解析】（1）以{}1,,AB AC AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,4)A ，(1,1,0)D ，1(0,2,4)C ．∴1(2,0,4)A B =-，1(1,1,4)C D =--（步骤1）∴111111cos ,20A B C DA B C D A B C D<>==，∴异面直线1A B 与1C D ．（步骤2） （2）(0,2,0)AC =是平面1ABA 的的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为(,,)m x y z =， ∵(1,1,0)AD =，1(0,2,4)AC =，（步骤3）由m AD ⊥，1m AC ⊥，∴0240x y y z +=⎧⎨+=⎩取1z =，得2y =-2x =，∴平面1ADC 的法向量为(2,2,1)m =-（步骤4） 设平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角为θ，∴42|cos |cos ,233||||AC m AC m AC m θ-=<>===⨯，得sin 3θ=． ∴平面1ADC 与平面1ABA ．（步骤5）第22题图【提示】建立空间直角坐标系求异面直线的余弦值和两平面间二面角的正弦值． 【考点】异面直线，二面角，空间向量及其运算，空间直角坐标系，空间向量的应用． 23.【答案】（1）由数列{}n a 的定义得：11a =，22a =-，32a =-，43a =，53a =，63a =，74a =-，84a =-，94a =-，104a =-，115a =，∴11S =，21S =-，33S =-，40S =，53S =，66S =，72S =，82S =-，96S =-，1010S =-，115S =-（步骤1）∴111S a =，440S a =，551S a =，662S a =，11111S a =-，（步骤2） ∴集合11P 中元素的个数为5.（步骤3）（2）证明：用数学归纳法先证(21)(21)i i S i i +=-+，事实上，①当1i =时，(21)31(2+1)3i i S S +==-⨯=-故原式成立；②假设当i m =时，等式成立，即(2+1)(2+1)m m S m m =-故原式成立．（步骤4）则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)ii j a i j i +==，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=（），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10） 【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之． 【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。
2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课件5.2椭圆、双曲线、抛物线
【答案】 1x02＋y52＝1
【探究提高】 (1)圆锥曲线的定义反映了它们的图形特 点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的 基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更 加灵活．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥 曲线的定义求解．
(2)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、 轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况 下可以统一设成 mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数 的讨论．
∴a b2＋c2＝bc，∴a2(b2＋c2)＝b2c2， ∴ba22＋ac22＝ba22·ac22，∴e2－1＋e2＝(e2－1)e2，
即 e4－3e2＋1＝0，∴e2＝3±2 5，∴e＝
5±1 2.
∵e>1，∴e＝
5＋1 2.
(2)记∠B2OB＝θ，则 AB＝2asinθ，BC＝2acosθ，其中 sinθ＝ac，cosθ＝ab，∴S2＝|AB||BC|＝4bac4，又∵S1＝2bc，
①焦半径|CF|＝x1＋p2；②过焦点弦长|CD|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p.|CD|＝si2np2α(其中 α 为 CD 所在直线的倾斜角)； ③x1x2＝p42，y1y2＝－p2.
名师点睛：领会抛物线的定义，要熟练、准确地判断标 准方程的类型，防止求解标准方程的失解．
命题展望 分析近几年高考题目，可以发现本课时高考命题有以下 特点： 1．对定义、标准方程、几何性质的直接考查，一般以选 择题、填空题为主．主要有三个方面：(1)三种圆锥曲线的定 义．(2)求三种圆锥曲线的标准方程．(3)探求圆锥曲线的几何 性质，属容易题．
B.1x22 ＋y82＝1
C.x82＋y42＝1
D.1x22 ＋y42＝1
2013北京高考数学圆锥曲线及解题技巧
2013北京高考数学圆锥曲线及解题技巧椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y ab+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F P F S b γ∆=.8. 椭圆22221xya b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .11. AB 是椭圆22221x y ab+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y ab a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y abab+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y ab-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab-=.7. 双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F P F S b co γ∆=.8. 双曲线22221x yab-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
8.12椭圆、双曲线、抛物线的统一定义
8.7椭圆、双曲线、抛物线的统一定义1.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义是在平面上，若动点 M 与一个定点F 及M 到一条定直线(定点 M 不在定直线上)距离之比等于常数 f ,当0<e <i 时，点M 的轨迹是椭圆；当 e >i 时，点M 的轨迹为双 曲线；当e = 1时，点M 的轨迹为抛物线.2 22 .椭圆 笃+当=1(a Ab>0)上点 M ( x 0,y 0)的左焦点半径+ ，右焦点半径a bx 2y2MF ?] =a —ex o ，椭圆手 p =1(a >b >0)上点P ( X o , y o )的下焦点半径 PF 』=a + ey °，上焦点 a b半径PF 2 =a-ey o .希望注意双曲线的焦半径与椭圆的焦半径的区别.2 2X y3•双曲线— 牙=1上一点P ( X o ,y o )的焦半径公式a b(1) x o >o , PF l=ex )+a , PF^ex^ - a ;(2) X o <o , PF 1 = —(ex o + a), PF 2 — —(ex o — a).4 .抛物线y 2二2px(p o)和抛物线x 2二2py(p o)的焦半径公式:如图所示，已知椭圆C 的焦点是3,o ), F 2C 3,0)，点F 1到相应的准线的距离为 过F 2点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得，F 2B =3F 2A .(1)求椭圆C 的方程；(2)求直线l 的方程.PFPFy o •卫2、-3 3例2 已知双曲线b2x2- a2y2=a2b2的离心率的取值范围为e （1 • 2, •：：），左、右焦点分别为F2，左准线为丨，能否在双曲线的左支上找到一点P,使得PF1是P到丨的距离d与PF2的等比中项？例3 如图所示.有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD ,按图示的方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上.此时将B记为B'（注：图中FE为折痕.点F也可落在边CD 上）.过B'作B '// CD交EF于点T .求点T的轨迹方程.已知线段AB的两个端点在椭圆2 2—-红=1上滑动，且25 1632AB = m(——c m £10),5M为AB的中点，求M到y轴的最大距离.I1例6一动点到定直线 X = 3的距离是它到定点 F ( 4，0)的距离的-，求这个动点的轨迹方程.28.12椭圆、双曲线、抛物线的统一定义证:2 2例5 已知AB 是双曲线 冷一仝=1(a .o,b .0)过右焦点a 2b 21 AF ,1 BF ,为定值，并求出该定值.1-已知双曲线A m 2x 2=1(m >°)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为5,则m=C . 3最小值为4MF +5MA 的最小值为最大值为 _________________解答题2.已知点P 是抛物线y 2 = 2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的3.已知抛物线y 2= 2px (p>0),过焦点且斜率为 坐标为2，则该抛物线的准线方程为1的直线交抛物线于 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点的纵A . x = 1 C . x = 2 D . x =- 24.过原点的直线B . x =- 12 2I 与双曲线x -73 =- 1交于两点，则直线l 的斜率的取值范围是4 3一亜一 2，-m ,-舟U 于，+o25. 设P 是双曲线x 2-= 1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知 3A ( 3,1),则 |FA|+ |PF|的最小值为 ________ . 6. 如图，抛物线顶点在原点，圆 x 2+ y 2- 4x = 0的圆心恰是抛物线的焦点.(1) ______________________ 抛物线的方程为 ; (2) 一直线的斜率等于 2，且C 、D 四点，贝U |AB|+ |CD| = ________ .2 2x V7.已知椭圆的方程是 — 1(a 5)，它的两个焦点分别为F 、F ，且F 1 F 2 =8，弦 AB 过 F ］，则△ AB F 2的周长为 ___________________________&若点A 的坐标为(3, 2), F 为抛物线y 2 =2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则 PA+|PF 取得最 小值时点P 的坐标是 ________________________________ .9.已知点F 为双曲线2 2x y 169=1的右焦点, M 是双曲线右支上一动点，定点 A 的坐标是(5, 1),则10. P ( x, y )是椭圆2 2X . y a 2b 2= 1(a b 0)上任意一点, F 1> F 2是它的左、右焦点，则PF 1 PF 2 的一oo,,C .2 2y x11 •如图所示，M ,N 是椭圆C l ：22=1(a b ■ 0)的一条弦，A (1, -2)a b是MN 的中点，以A 为焦点，以椭圆 C 2的下准线丨为相应准线的双曲线 C 2与直 线MN 交于点B (- l ，- 4),设曲线 G, C 2的离心率分别为 e ,,e 2 •(1) 试求e 1的值，并用a 表示双曲线的离心率 e 2 ； (2) 当e )e 2 =1时，求MB 的值.2 2x y2 212 •如图，点P(0,-1)是椭圆2=1(a b 0)的一个顶点，G 的长轴是圆C 2：x y =4的直a b(1) 求椭圆G 的方程；(2) 求 ABD 面积取最大值时直线|1的方程.径• 11 ,1 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中h 交圆C 2于两点,12交椭圆G 于另一点D(第12题图)。
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专题升级训练15 椭圆、双曲线、抛物线(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．(2012·安徽安庆二模，2)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合的是( )．A ．5x 23＋5y 22＝1B ．x 29＋y 25＝1C ．x 23－y 22＝1D ．5x 23－5y 22＝12．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过定点A (0,1)，B (0，－1)，且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是( )．A ．x 23＋y 24＝1(y ≠0)B ．x 24＋y 23＝1(y ≠0)C ．x 23＋y 24＝1(x ≠0)D ．x 24＋y 23＝1(x ≠0)3．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2.若12PF PF ＝0，则1e 21＋1e 22＝( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )．A ．至少1个B ．2个C ．1个D ．0个5．已知点A ，B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足·OA OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于( )．A ． 2B ．3C ．2D ．2 2 6．(2012·山东潍坊3月模拟，10)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A ．74B ．2C ．94 D ．4 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．(2012·江苏苏、锡、常、镇四市调研，8)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为__________．8．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )，到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a ＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝__________.9．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则△OAM 的面积为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)(2012·河北邯郸一模，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离为2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点E (2,0)且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于M ，N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N ，F ，P 三点共线．11．(本小题满分15分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1，A ，上顶点为B .抛物线C 1，C 2分别以A ，B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线y ＝2x 上一点P .(1)求椭圆C 及抛物线C 1，C 2的方程；(2)若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M ，N ，已知点Q (－2，0)，求QM QN ⋅的最小值．12．(本小题满分16分)(2012·安徽安庆二模，20)已知直线l ：x ＋y ＋8＝0，圆O ：x 2＋y 2＝36(O 为坐标原点)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(3,0)作直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，设OS OA OB =+(O 是坐标原点)，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 1．D2．C 解析：过点A ，B ，O (O 为坐标原点)分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A 1，B 1，O 1，设抛物线的焦点F (x ，y )，则|FA |＝|AA 1|，|FB |＝|BB 1|，∴|FA |＋|FB |＝|AA 1|＋|BB 1|. ∵O 为AB 的中点，∴|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4.∴|FA |＋|FB |＝4，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程为x 23＋y 24＝1.又F 点不能在y 轴上，故所求轨迹方程为x 23＋y 24＝1(x ≠0)．故选C.3．B 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线方程为x 2m 2－y2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)， 其中两焦点距离为2c .不妨令P 在第一象限，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，∴|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，又12·0PF PF ＝，∴PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴2(a 2＋m 2)＝4c 2，∴221211e e+＝a 2＋m 2c 2＝2，故选B. 4．B 解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d ＝4m 2＋n 2＞2，解得m 2＋n 2＜4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，半径为2的圆的内部，而此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故点P 在椭圆内部，经过此点的任意直线与椭圆有两个交点．故选B.5．A 解析：由·OA OB＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到直线AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x⇒x ＝ 2.故选A.6．C 解析：据抛物线定义知，|AB |＝x 1＋14＋x 2＋14＝4， ∴x 1＋x 2＝72.故弦AB 的中点到x ＝－12的距离为x 1＋x 22－⎝⎛⎭⎫－12＝74＋12＝94. 二、填空题7．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 解析：由题意得a 2＝16，b 2＝9， ∴c 2＝16＋9＝25.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．设M (x ，y )，有|MF 1||MF 2|＝23，即(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝23，整理即可得解．8．14 解析：根据抛物线的性质得1＋p2＝5，∴p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1.故a ＝14.9．32－2 解析：线段FM 所在直线方程x ＋y ＝1与抛物线交于A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2＝4y⇒y 0＝3－22或y 0＝3＋22(舍去)．∴S △OAM ＝12×1×(3－22)＝32－ 2.三、解答题10．(1)解：由题可知⎩⎨⎧2b ＝2c ，a －c ＝2－1，解得a ＝2，c ＝1，∴b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 为y ＝k (x －2)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 1，－y 1)，F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－22k 2＋1.而FN＝(x 2－1，y 2)＝(x 2－1，kx 2－2k )， FP＝(x 1－1，－y 1)＝(x 1－1，－kx 1＋2k )．∵(x 1－1)(kx 2－2k )－(x 2－1)(－kx 1＋2k )＝k [2x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋4]＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 2－42k 2＋1－24k 22k 2＋1＋4＝0， ∴FN ∥FP.∴N ，F ，P 三点共线．11．解：(1)由题意得A (a,0)，B (0，2)，故抛物线C 1的方程可设为y 2＝4ax ，C 2的方程为x 2＝42y .由⎩⎨⎧y 2＝4ax ，x 2＝42y ，可得a ＝4，P (8，82).y ＝2x所以椭圆C ：x 216＋y 22＝1，抛物线C 1：y 2＝16x ，抛物线C 2：x 2＝42y .(2)由(1)知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为－22，设直线l 的方程为y ＝－22x ＋b .由⎩⎨⎧x 216＋y 22＝1，y ＝－22x ＋b ，消去y ，整理得5x 2－82bx ＋8b 2－16＝0，因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以Δ＝128b 2－20(8b 2－16)＞0，解得－10＜b ＜10.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝82b5，x 1x 2＝8b 2－165， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－22x 1＋b ⎝⎛⎭⎫－22x 2＋b ＝12x 1x 2－2b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－85.因为QM ＝(x 1＋2，y 1)，QN＝(x 2＋2，y 2)，所以QM ·QN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2＝9b 2＋16b －145. 因为－10＜b ＜10，所以当b ＝－89时，QM QN ⋅ 取得最小值，其最小值为95×289⎛⎫- ⎪⎝⎭＋165×⎝⎛⎭⎫－89－145＝－389. 12．解：(1)∵圆心O 到直线l ：x ＋y ＋8＝0的距离为d ＝82＝42， 直线l 被圆O 截得的弦长2a ＝2R 2－d 2＝4，∴a ＝2.又c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵OS OA OB =+，∴四边形OASB 是平行四边形．假设存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等．则四边形OASB 为矩形，因此有OA OB ⊥，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.直线l 的斜率显然存在，设过点(3,0)的直线l 方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0， 由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，可得－5k 2＋1＞0，即k 2＜15.x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－3)(x 2－3)＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)36k 2－41＋4k 2－3k 224k 21＋4k2＋9k 2， 由x 1x 2＋y 1y 2＝0得，k 2＝441，∴k ＝±24141，满足Δ＞0.故存在这样的直线l ，其方程为y ＝±24141(x －3)．。