管理运筹学讲义 第3 章 对偶规划
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《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题
x1 x2 x3 2
s.t.
x12x1x2
x3 x2
1 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
•
这样所有的约束条件均为“≤”和“=”类型，按前述对
应关系原则，可写出其对偶问题为：
minW ( y) 2 y1 y2 2 y3
y1 y2 2 y3 1
s.t.
y1 y1
y2 y2
min W ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
y1
s.t.
0
y1
y1
2 y2 y3/ y3// 0
y2
y/ 3
y3/ /
2
6 y2 3 y3/ 3 y3//
5
y1
,
y2
,
y/ 3
,
y3/ /
0
13
OR:SM
• 再设y/3-y//3=y3，代入上述模型得：
始问题，则（3-2）称为对偶问题。
8
OR:SM
• 3.1.2 对称型线性规划问题——对称型对偶问题
•
• 每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问题 存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问题， 可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直接从 非对称型进行分析。
• 对称型线性规划问题数学模型的一般形式为
变量 m个
约束 ≤ ≥
= （方程） 系数矩阵
b c
变量 ≥0 ≤0
无非负约束 转置
c b
19
OR:SM
•
这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可依据上述
对应关系直接写出其对偶问题模型，而无须先化成对称型。
• 例3 写出下列线性规划的对偶问题
运筹学第3章 对偶模型
st.
y1≥0, y2无约束，y3 ≤0
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束
例3-3
min w 2 x1 x2 3 x3 4 x4 x1 3 x2 2 x3 x4 5 2 x 2 x 3x 1 1 2 3 s.t. 2 3 x1 x2 2 x3 x4 0 x1 0, x2 0,
8.最优松紧性：
（） 1 x*j 0 y* 0, m j
* （2） y* 0 x =0， ( j 1, 2, , n) m j j * （3）x* 0 y 0, n i i * （4）y* 0 x 0, (i 1, 2, , m) i ni
c j 单位产值（收入）， yi* 影子价格； c j 单位利润， y* 影子利润。 i
yi*的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，
bi每增加一个单位时目标函数z的贡献（增量）。
X * (6， 2)T , z* 22 Y * (5 / 3， 0， 2 / 3)T ,
19
w* 22
bT Y w 对偶问题任一可行解的目标函数值 z CT X
bT Y ,则 X ,Y 分别为原问题与对偶问题的最优 CT X 3.最优性：
解。
最优解 最优解
12
4.强对偶性：若一个问题有最优解，则另一问题也有最优解， 且二者最优目标值相等。 无界性：若一个问题有无界解，则另一问题无可行解。
对资源i现用总量的经济分析
yi* 代表影子价格
* yi* pi ，可增加资源i的用量，可买进资源，对总目标贡献 yi pi 0 ；
管理运筹学03对偶问题
收购方的意愿： min w 15 y1 24 y2 5 y3
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 D 15时 24时 5时
原 问 题
max z 2 x1 x 2 s.t. 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x1 x 2 5 x1, x 2 0
其它形式 的对偶
?
2．限定向量b
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z 的LP约束“
”
min z
的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 max 目标函数 min 约 m个 m个 束 变 ≤ ≥0 条 量 ≥ ≤0 件 = 无约束 n个 n个 约 变 束 ≥0 ≥ 量 条 ≤0 ≤ 件 = 无约束
w Yb YA C Y 0
一 般 规 律
3个约束 2个变量
2个约束 3个变量
C (c1 , c2 )
x1 X x2
Y (y1,y2 ,y3 )
A (aij )
b1 b b2 b3
特点：
1． max
min
价值向量C
min w 15 y1 24 y2 5 y3 s.t 6y y 2 对
2 3
收 购
5y 2y y 1
1 2 3
y ,y ,y 0
1 2 3
厂 家
偶 问 题
原问题
对偶问题
max s.t.
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
（3-5）
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式（3）是不等式，故 y 3 * =0，然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0，故对偶问题约束方程式（3）、（4）是等式约束，即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划（3-5）与（3-6）的可行解，且使 CX = bT Y T ，
运筹学3对偶
(LP) Max z = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥0
(DP) Min f = bT y s.t. AT y ≥ c y ≥0
则（DP）称为（LP）的对称形式对偶问题
例3．2 写出下面线性规划的对偶规划模型
max 3 x1 75x 2 2 x3 x 4 2 x1 5 x 2 6 x3 x 4 40 3 x 2 x x x 50 1 2 3 4 x1 2 x 2 3 x3 2 x 4 20 x j 0, j 1,2,3,4
令 y1 =
y1’ - y1’’，于是有
min f b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c m2 m 2 12 1 22 2 a1n y1 a2 n y2 amn ym cn y2 ,, ym 0 y1没有非负限制
对偶定理
•定理 3.1 (对称性定理) 对偶问题的对偶就是原
问题。
•定理 3.2（弱对偶定理）设 X, Y分别是 P 和 D 的可行解，则 CTX bTY。 •证：由 P 和 D 的约束条件 AXb, ATYC, X0, y0 可直接推得 CTX YT AX YTb =bTY，证毕。
某工厂拥有A、B、C三种类型的原料，生 产甲、乙两种产品。每件产品在生产中消耗 的原料数量，每件产品的价格以及三种原料 可利用的数量如下表所示：
产品
原料 A
甲
1
乙
1
原料数量 （吨）
300
B C
价格（元/件）
2 0
50
1 2
100
400 250
管理运筹学课件第3章 对偶规划
-0024
---yy110y01115515
---555/4
-[---yy2y2126224244]
1----yyy/51553363
-1yyy0001/4446
-012
[-2-01/3] --110//34
yy0y0000555
1/114
解解 解1-/2b3bbiii
1-1/-1/43
σyσ3j=j=ccj-j-z-zj5j 1--511/552
-2004
--115
1-/042 -300/2 1/2
σccjj=//caajllj-j zj -1—35/2 —40
305/2 -71—/22 -3—/2 -20
21.01.2021
课件
最优值20
12.3】用对偶单纯形法解
m ax z x1 x2
2 x1 x2 x3 2
21.01.2021
课件
4
导入案例——出租还是自己组织生产？
第2章导入案例中的数学模型
m ax z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 1 0
s
.t
.
x1 x2 ≤ 8
x
1
,
x
2
≥
0
现在换个角度讨论这个问题。
任何一个线性规划问题都存在一 个伴生的线性规划问题，我们称 之为“对偶”。本章将讨论对偶 问题模型的建立、影子价格及敏 感性分析。
管理运筹学课件第3章 对偶规划
单击此处添加副标题内容
第3章 对偶规划
教学目标与要求
【教学目标】 通过对本章的学习，理解对偶定义和性质及影子价格的含义；了解对偶单纯
形法；会根据最终单纯形表对于资源项、目标系数变动进行敏感性分析。
---yy110y01115515
---555/4
-[---yy2y2126224244]
1----yyy/51553363
-1yyy0001/4446
-012
[-2-01/3] --110//34
yy0y0000555
1/114
解解 解1-/2b3bbiii
1-1/-1/43
σyσ3j=j=ccj-j-z-zj5j 1--511/552
-2004
--115
1-/042 -300/2 1/2
σccjj=//caajllj-j zj -1—35/2 —40
305/2 -71—/22 -3—/2 -20
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最优值20
12.3】用对偶单纯形法解
m ax z x1 x2
2 x1 x2 x3 2
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课件
4
导入案例——出租还是自己组织生产？
第2章导入案例中的数学模型
m ax z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 1 0
s
.t
.
x1 x2 ≤ 8
x
1
,
x
2
≥
0
现在换个角度讨论这个问题。
任何一个线性规划问题都存在一 个伴生的线性规划问题，我们称 之为“对偶”。本章将讨论对偶 问题模型的建立、影子价格及敏 感性分析。
管理运筹学课件第3章 对偶规划
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第3章 对偶规划
教学目标与要求
【教学目标】 通过对本章的学习，理解对偶定义和性质及影子价格的含义；了解对偶单纯
形法；会根据最终单纯形表对于资源项、目标系数变动进行敏感性分析。
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
管理运筹学 第三章 对偶理论
可见，对于原LP问题是求极小值问题时， 对偶问题中：
约束条件左右两端符号（>=、<=、=）由原问题所对应
变量取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）决定，并且是不一
致的。
变量的取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）由原问题所对 应约束条件左右两端符号（>=、<=、=）决定，并且是一 致的。
原问题与对偶问题对应关系
LP
max z 2 x1 x2 3x3 5 x4
DLP
x1 2 x2 3 x3 x4 5 3x x 2 x x 9 3 4 s.t. 1 2 2 x1 2 x2 4 x3 x4 4 x1 0, x2 0, x3无约束，x4 0
min w 5 y1 4 y 2 9 y 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 s.t. 2 y1 y 2 3 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0
3.1.2 规范形式的线性规划问题
原问题（LP） 对偶问题（DLP）
max z CX AX b s.t. X 0
起源： 1928年美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼在研究对策论时发现线性规划与 对策论之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原问 题和对偶问题。G.B.丹齐克 (1951)、 C.莱姆基 (1954)…. 应用： 在原问题和对偶问题的两个线性规划 中求解任何一个问题时，会自动地给出另 一个问题的最优解； 当对偶问题比原问题有较少约束时， 求解对偶规划比求解原规划要方便得多； 对偶规划中的变量最优解就是影子价 格。
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j ji bc a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
《管理运筹学》课件03-对偶原理
优化转换过程，提高转换后解的精度和可靠性。
扩展应用范围
研究对偶算法在其他领域的应用，如机器学习、 图像处理等。
05
对偶理论的扩展与展望
对偶理论与人工智能的结合
人工智能算法优化
对偶理论在人工智能领域的应用，主要是用于优 化算法，通过对偶形式将原问题转化为更易处理 的子问题，从而提高算法的效率和精度。
01 线性规划的对偶问题是在原问题的基础上，将约 束条件和目标函数互换，形成一个新的优化问题。
02 对偶问题可以帮助我们更好地理解原问题，并且 在某些情况下，可以通过求解对偶问题来得到原 问题的最优解。
02 对偶问题的数学表达通常包括原问题的目标函数 和约束条件的对偶形式。
整数规划的对偶问题
01
整数规划的对偶问题是在整数 规划问题的基础上，将约束条 件和目标函数互换，形成一个 新的优化问题。
01
缺点
02
对偶问题可能不是唯一的，因此需要选择 一个合适的问题进行求解。
03
对偶问题可能不是原问题的最优解，因此 需要验证转换后的解是否为最优解。
04
对偶算法可能无法处理一些特殊问题，如 非线性规划问题。
对偶算法的改进方向
开发更高效的算法
针对不同类型的问题，开发更高效的算法来求解 对偶问题。
改进转换过程
进一步探索对偶理论在其他领域的应 用，如生物学、物理学、社会科学等， 将对偶理论的应用范围不断扩大。
THANKS
感谢观看
对偶理论的应用场景
01 供应链管理
在供应链优化中，对偶理论可用于协调供应商和 制造商之间的利益，实现整体最优。
02 金融规划
在金融领域，对偶理论可用于投资组合优化、风 险管理等问题。
扩展应用范围
研究对偶算法在其他领域的应用，如机器学习、 图像处理等。
05
对偶理论的扩展与展望
对偶理论与人工智能的结合
人工智能算法优化
对偶理论在人工智能领域的应用，主要是用于优 化算法，通过对偶形式将原问题转化为更易处理 的子问题，从而提高算法的效率和精度。
01 线性规划的对偶问题是在原问题的基础上，将约 束条件和目标函数互换，形成一个新的优化问题。
02 对偶问题可以帮助我们更好地理解原问题，并且 在某些情况下，可以通过求解对偶问题来得到原 问题的最优解。
02 对偶问题的数学表达通常包括原问题的目标函数 和约束条件的对偶形式。
整数规划的对偶问题
01
整数规划的对偶问题是在整数 规划问题的基础上，将约束条 件和目标函数互换，形成一个 新的优化问题。
01
缺点
02
对偶问题可能不是唯一的，因此需要选择 一个合适的问题进行求解。
03
对偶问题可能不是原问题的最优解，因此 需要验证转换后的解是否为最优解。
04
对偶算法可能无法处理一些特殊问题，如 非线性规划问题。
对偶算法的改进方向
开发更高效的算法
针对不同类型的问题，开发更高效的算法来求解 对偶问题。
改进转换过程
进一步探索对偶理论在其他领域的应 用，如生物学、物理学、社会科学等， 将对偶理论的应用范围不断扩大。
THANKS
感谢观看
对偶理论的应用场景
01 供应链管理
在供应链优化中，对偶理论可用于协调供应商和 制造商之间的利益，实现整体最优。
02 金融规划
在金融领域，对偶理论可用于投资组合优化、风 险管理等问题。
运筹学_对偶规划
y1 minW (3,9) y 2 1 1 2 y1 y 2 1 4 1 7 2 3 s.t. y1 0 y2
模型比较分析
对偶问题
原问题
例子：
max z 4.5 x1 5 x2 7 x3 2 x1 2 x2 4 x3 800 x 2 x 3x 650 1 2 3 4 x1 2 x2 3x3 850 2 x 4 x 2 x 700 2 3 1 x1 , x2 , x3 0
例3－2 标准型对偶问题
对 偶 问 题 的 写 出
maxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 原问题： 21 1 22 2 2n n 2 有等式约束怎么办？ s.t. a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x 2 ,, xn 0
非 对 称 形 式 下 的 对 偶 问 题
对偶问题课堂练习：
1.课本P49，例3 2. max Z 5x1 6 x2 3x3
x1 x2 12x3 4 5 x 2 x 2 x 5 1 2 3 x1 5 x2 x3 3 4 x 7 x 3 x 8 2 3 1 x1符号不限, x2 0, x3 0
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2 a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
运筹学 第三章 对偶单纯形法
目标函数系数 约束方程常数列 约束方程常数列 目标函数系数 系数矩阵 A 系数矩阵A 变量个数n 约束方程个数m 约束方程≤ ≥ = 变量≥0 ≤0 无符号约束 约束方程个数n 变量个数m 变量≥0 ≤0 无符号约束 约束方程≥ ≤ =
解：
min 10 y1 8 y2 y1 2 y2 5 2 y y 12 1 2 s.t. y 3 y 4 1 2 y1 0, y2无约束
设
Ⅰ产量–––– Ⅱ产量––––
x1
1
x2
2 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x x s.t.
1 2
5 x 15 6 x 2 x 24 x x 5
1 2x,x 012厂 家设：设备A —— y 1 元／时 设备B ––––
调试工序 ––––
y2 元／时 y 3 元／时
Y (－A) ≥ － C
Y ≥0
5﹒变量无约束的对偶
原问题： max z=CX AX≤b X无约束 对偶 问题 min ω=Yb YA ＝C Y ≥0 令 X=X1 － X2 X1， X2≥0 max z=CX1－CX2 AX1 － AX2 ≤b X1,X2≥0 max z=(C, －C) X1 (A, －A) ≤b X2 X1,X2≥0 min ω=Yb
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题： max z=CX AX＝b X≥0 等价 b max z=CX AX≤b 等价 AX≥b X≥0 max z=CX AX≤b －AX≤－b X≥0 max z=CX b A X≤ －b －A X≥0 等 价
min ω=(Y1,Y2) －b A (Y1,Y2) ≥C －A Y1,Y2≥0 min ω=(Y1－Y2)b ( Y 1 － Y 2 ) A ≥C Y1,Y2≥0
运筹学 第03章 线性规划的对偶理论
A Ⅰ Ⅱ 设备可用机时数（工时） 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 产品利润（元／件） 2 3
1
引例
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2
2x1+2x2≤12
4x1 ≤16 5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
2
原问题与对偶问题的形式关系
解： 令
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
1
引例
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为 max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 min w=12y1+16y2+15y3
2y1+4y2
2y1
≥2
+5y3≥3
5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
若对偶变量 yi* 0 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件
1
引例
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2
2x1+2x2≤12
4x1 ≤16 5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
2
原问题与对偶问题的形式关系
解： 令
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
1
引例
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为 max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 min w=12y1+16y2+15y3
2y1+4y2
2y1
≥2
+5y3≥3
5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
若对偶变量 yi* 0 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件
运筹学课件 第三章-线性规划对偶问题
??????????????????????????????????????????????0322252min21321321321321xxxxxxxxxxxxxxz????????????????????????????????????????????????????0121213225max21321321321321yyyyyyyyyyyyyyw最小化问题
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
运筹学0903对偶规划
X * (20, 24,84, 0, 0)T
56
第三节 资源定价的决策方案
二、资源获利决策
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产
这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。
设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y3， 电量的单位出让获利为y2 。
哪些是非瓶颈资源和瓶颈资源？
28
影子价格=资源成本+影子利润
影子价格并不是资源的实际价格，而是企业内部资 源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况决 定的，并不是由市场来决定的
影子价格的应用
1.影子价格与市场价格对比： 成本：A：20元/小时 B：15 C：10 市场：A:21;B:15;C:12
根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶问题模型。
2、 最优性定理
设 ，X 分别Y 为原问题和对偶问题的可行解，且
C X 则bTY ， 分X别为Y各自的最优解。 3. 对偶性定理
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且
两者的目标函数值相等。
4. 互补松弛性
最优解的充分必要条件是 Y * X，s 0 Ys X * 0
第r个约束的右端项为br，增量br，其它数据不变。新的基解为
X B ' B1(b b)
0
B1b
B 1
br
B 1b
a1r*br
a2
r
*br
0
amr*br
b1* b2*
br
a1r* a2r*
bm*
amr*
只要X'B≥0 ，则可保持最优基不变。
air*
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2 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
• 若例 1中该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方 为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以 便衡量对方出价，对出租与否做出抉择。 • 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首 先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
资源消耗 资源
产 品
A
甲 乙 2 5
B
3 4
C
1 3
D
2 4
资源供应量 (公斤) 800 1200
原料成本 (元/公斤) 2.0 1.0
丙
单位产品售价 (元 )
16
3
14.5
4
21
5
15.5
3
16.5
1000
1.5
OM:SM
对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =37 两个问题的目标函数值相等并非偶然 前者称为线性规划原问题，则后者为对偶问题，反之亦然。 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。
OM:SM
原问题与对偶问题的变换
• 第一，对偶问题的变量个数与原问题模型的约束个数相 同，且第i个变量yi与原问题模型的第i个约束对应； • 第二，对偶问题约束条件的个数与原问题模型的变量个 数相同，且第j个约束与原问题模型的第j个变量xi对应； • 第三，对偶问题目标函数的系数正好是原问题模型的右 端常数，对偶问题模型的右端常数正好是原问题的目标 函数系数； • 第四，对偶问题的系数矩阵是原问题模型的系数矩阵A 的转置矩阵。
min w 360 y1 200 y2 300 y3 9 y1 4 y2 3 y3 7 s.t. 4 y1 5 y2 10 y3 12 y , y , y 0 1 2 3
* * y1 0 y* 1.36 y 0.52 2 3
Z * 428
max z 5 y1 4 y2 6 y3 y1 2 y2 5 y1 y3 3 s.t. 3 y1 2 y2 y3 5 y y y 1 3 1 2 y1 0, y2 0, y3无约束
8
OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
第3章 对偶规划
学习要点 Sub title
理解线性规划问题的对偶问题 构建线性规划问题的对偶模型 正确理解对偶规划的基本性质 掌握影子价值的涵义及其应用 资源总存量和分配量增减决策
1
OM:SM
第一节对偶规划的数学模型
二、线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例. 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部件分别在 设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算得到相关数据如表 所示。应如何制定生产计划，使总利润为最大。 产品 工时消耗 工时成本 生产能力 h 设备 甲 乙 元/h A 2 0 20 16 B 0 2 15 10 C 3 4 10 32 据市场分析，单位甲乙产品的销售价格分别为73和75元，试确定 获利最大的产品生产计划。
*
*
2
*
3
2
15
OM:SM
习题3
• 某厂生产A,B,C,D4种产品，有关资料如表所示。 • (1)建获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题。 • (2)该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出 对偶问题的数学模型，资源甲乙丙丁影子价格各是多少？若工厂可 在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料扩大生产？ • (3)丙可利用量在多大范围内变化，最优基不变 • (4)若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？
9 OM:SM
第二节 对偶规划的经济解释
一、影子价值的内涵
Z c j x j bi yi
j 1 i 1
n
m
Z yi bi
• 左边是资源bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献； • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。 • 对偶变量的值 yi*表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。 若原问题价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。 若原问题价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。 影子价格=资源成本+影子利润
变量
约束条件右端项 目标函数变量的常数
目标函数变量的系数 约束条件右端项
7
OM:SM
原问题与对偶问题的变换
min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4 x1 x2 3 x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 s.t. x2 x3 x4 6 x1 0; x2 , x3 0; x4无约束
* y* 0, y 0 4 5
14
OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
二、资源获利决策
• 影子利润分别为 y1 0 y 1.36 y 0.52 • 影子利润等于0，说明原材料为非瓶颈资源，而设备和电力 * 则是瓶颈资源，由于 y* y3 ，表明设备的紧缺程度高于电 力的。 • 假设市场上，原材料的价格为18元/公斤，设备的单位工时价 格为52元，电力的成本为1.3元/度，企业是否购进资源？ • 由于原材料、设备和电力的资源成本分别为20、50和1，因 此影子价格分别为20、51.36和1.52. • 电力的影子价格1.52高于市场价格1.3，可以考虑购进电力资 源；设备的影子价格51.36低于市场价格52，暂不可购进；虽 然原材料的影子价格20高于市场价格18，但它是非瓶颈资源， 所以即使购进也难以获利，还会增加库存成本。
4 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 S.t. 3x +4 x ≤32 1 2 x1 , x2 ≥0
• • • •
5
min =16y1+10y2+32y3 2y1+ 0y2+ 3y3≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
13
X * (20, 24,84,0,0)T
OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
二、资源获利决策
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y3， 电量的单位出让获利为y2 。 出让决策的线性规划模型：
10 OM:SM
第二节 对偶规划的经济解释
一、影子价值的内涵
• 影子价格不是资源的实际价格，反映了资源配置结构，
其它数据固定，某资源增加一单位导致目标函数的增量。
• 对资源i总存量的评估：购进 or 出让 • 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少
11
第一，影子利润说明增加哪种资源对经济效益最有利 第二，影子价格告知以怎样的代价去取得紧缺资源 第三，影子价格是机会成本，提示资源出租/转让的基价 第四，利用影子价格分析新品的资源效果：定价决策 第五，利用影子价格分析现有产品价格变动的资源紧性 第六，可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益 第七，可以预知哪些资源是稀缺资源而哪些资源不稀缺
6
OM:SM
原问题与对偶问题的变换
原问题（或对偶问题）
目标函数maxZ
n个 0 变量 0 无约束
m个 =
对偶问题（或原问题）
目标函数minW
n个 =
约束条件
约束条件
m个 0 0 无约束
OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
例：某厂生产甲、乙两种产品，生产单位产品的资源消耗 如下表所示。
甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格（元）
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
问如何安排甲、乙两产品的产量，使每周的利润为最大。 如果企业可以不生产，那资源出让如何定价
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。
3
OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出 出让定价
• 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 • 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于 自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 2y1+0y2+3y3≥ 3 • 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3≥ 5 • 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值） min 16y1+10y2+32y3 • 显然还有 y1，y2，y3≥0
二、对偶规划的性质
1、对称性定理 对偶问题的对偶问题是原问题。 根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶问题模型。 2、 最优性定理 设 X ， Y 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C X bT Y 则 X ， Y 分别为各自的最优解。 3. 对偶性定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且 两者的目标函数值相等。 4. 互补松弛性 原问题和对偶问题的松弛变量为 X s 和Ys ，他们的可行解为 最优解的充分必要条件是 Y * X s 0 ， Ys X * 0
12
OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
一、最优生产决策
决策变量：要确定甲、乙两种产品的产量，我们设每周生产 的甲产品的产量x1，每周生产的乙产品的产量 x2。 由上表计算单位甲产品的成本为383元，单位乙产品的成本 为340元，则它们的盈利能力分别为7和12。 生产计划的线性规划模型：
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
• 若例 1中该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方 为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以 便衡量对方出价，对出租与否做出抉择。 • 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首 先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
资源消耗 资源
产 品
A
甲 乙 2 5
B
3 4
C
1 3
D
2 4
资源供应量 (公斤) 800 1200
原料成本 (元/公斤) 2.0 1.0
丙
单位产品售价 (元 )
16
3
14.5
4
21
5
15.5
3
16.5
1000
1.5
OM:SM
对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =37 两个问题的目标函数值相等并非偶然 前者称为线性规划原问题，则后者为对偶问题，反之亦然。 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。
OM:SM
原问题与对偶问题的变换
• 第一，对偶问题的变量个数与原问题模型的约束个数相 同，且第i个变量yi与原问题模型的第i个约束对应； • 第二，对偶问题约束条件的个数与原问题模型的变量个 数相同，且第j个约束与原问题模型的第j个变量xi对应； • 第三，对偶问题目标函数的系数正好是原问题模型的右 端常数，对偶问题模型的右端常数正好是原问题的目标 函数系数； • 第四，对偶问题的系数矩阵是原问题模型的系数矩阵A 的转置矩阵。
min w 360 y1 200 y2 300 y3 9 y1 4 y2 3 y3 7 s.t. 4 y1 5 y2 10 y3 12 y , y , y 0 1 2 3
* * y1 0 y* 1.36 y 0.52 2 3
Z * 428
max z 5 y1 4 y2 6 y3 y1 2 y2 5 y1 y3 3 s.t. 3 y1 2 y2 y3 5 y y y 1 3 1 2 y1 0, y2 0, y3无约束
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OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
第3章 对偶规划
学习要点 Sub title
理解线性规划问题的对偶问题 构建线性规划问题的对偶模型 正确理解对偶规划的基本性质 掌握影子价值的涵义及其应用 资源总存量和分配量增减决策
1
OM:SM
第一节对偶规划的数学模型
二、线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例. 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部件分别在 设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算得到相关数据如表 所示。应如何制定生产计划，使总利润为最大。 产品 工时消耗 工时成本 生产能力 h 设备 甲 乙 元/h A 2 0 20 16 B 0 2 15 10 C 3 4 10 32 据市场分析，单位甲乙产品的销售价格分别为73和75元，试确定 获利最大的产品生产计划。
*
*
2
*
3
2
15
OM:SM
习题3
• 某厂生产A,B,C,D4种产品，有关资料如表所示。 • (1)建获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题。 • (2)该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出 对偶问题的数学模型，资源甲乙丙丁影子价格各是多少？若工厂可 在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料扩大生产？ • (3)丙可利用量在多大范围内变化，最优基不变 • (4)若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？
9 OM:SM
第二节 对偶规划的经济解释
一、影子价值的内涵
Z c j x j bi yi
j 1 i 1
n
m
Z yi bi
• 左边是资源bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献； • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。 • 对偶变量的值 yi*表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。 若原问题价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。 若原问题价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。 影子价格=资源成本+影子利润
变量
约束条件右端项 目标函数变量的常数
目标函数变量的系数 约束条件右端项
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OM:SM
原问题与对偶问题的变换
min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4 x1 x2 3 x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 s.t. x2 x3 x4 6 x1 0; x2 , x3 0; x4无约束
* y* 0, y 0 4 5
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OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
二、资源获利决策
• 影子利润分别为 y1 0 y 1.36 y 0.52 • 影子利润等于0，说明原材料为非瓶颈资源，而设备和电力 * 则是瓶颈资源，由于 y* y3 ，表明设备的紧缺程度高于电 力的。 • 假设市场上，原材料的价格为18元/公斤，设备的单位工时价 格为52元，电力的成本为1.3元/度，企业是否购进资源？ • 由于原材料、设备和电力的资源成本分别为20、50和1，因 此影子价格分别为20、51.36和1.52. • 电力的影子价格1.52高于市场价格1.3，可以考虑购进电力资 源；设备的影子价格51.36低于市场价格52，暂不可购进；虽 然原材料的影子价格20高于市场价格18，但它是非瓶颈资源， 所以即使购进也难以获利，还会增加库存成本。
4 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 S.t. 3x +4 x ≤32 1 2 x1 , x2 ≥0
• • • •
5
min =16y1+10y2+32y3 2y1+ 0y2+ 3y3≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
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X * (20, 24,84,0,0)T
OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
二、资源获利决策
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y3， 电量的单位出让获利为y2 。 出让决策的线性规划模型：
10 OM:SM
第二节 对偶规划的经济解释
一、影子价值的内涵
• 影子价格不是资源的实际价格，反映了资源配置结构，
其它数据固定，某资源增加一单位导致目标函数的增量。
• 对资源i总存量的评估：购进 or 出让 • 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少
11
第一，影子利润说明增加哪种资源对经济效益最有利 第二，影子价格告知以怎样的代价去取得紧缺资源 第三，影子价格是机会成本，提示资源出租/转让的基价 第四，利用影子价格分析新品的资源效果：定价决策 第五，利用影子价格分析现有产品价格变动的资源紧性 第六，可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益 第七，可以预知哪些资源是稀缺资源而哪些资源不稀缺
6
OM:SM
原问题与对偶问题的变换
原问题（或对偶问题）
目标函数maxZ
n个 0 变量 0 无约束
m个 =
对偶问题（或原问题）
目标函数minW
n个 =
约束条件
约束条件
m个 0 0 无约束
OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
例：某厂生产甲、乙两种产品，生产单位产品的资源消耗 如下表所示。
甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格（元）
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
问如何安排甲、乙两产品的产量，使每周的利润为最大。 如果企业可以不生产，那资源出让如何定价
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。
3
OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出 出让定价
• 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 • 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于 自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 2y1+0y2+3y3≥ 3 • 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3≥ 5 • 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值） min 16y1+10y2+32y3 • 显然还有 y1，y2，y3≥0
二、对偶规划的性质
1、对称性定理 对偶问题的对偶问题是原问题。 根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶问题模型。 2、 最优性定理 设 X ， Y 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C X bT Y 则 X ， Y 分别为各自的最优解。 3. 对偶性定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且 两者的目标函数值相等。 4. 互补松弛性 原问题和对偶问题的松弛变量为 X s 和Ys ，他们的可行解为 最优解的充分必要条件是 Y * X s 0 ， Ys X * 0
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OM:SM
第三节 资源定价的决策方案
一、最优生产决策
决策变量：要确定甲、乙两种产品的产量，我们设每周生产 的甲产品的产量x1，每周生产的乙产品的产量 x2。 由上表计算单位甲产品的成本为383元，单位乙产品的成本 为340元，则它们的盈利能力分别为7和12。 生产计划的线性规划模型：