管理运筹学讲义 网络分析
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管理运筹学讲义 第7章 网络分析
16
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
第三节
一、双标号算法
最短路问题
1.标号法的基本思路
基本思路: 从始点vs 出发，逐步探寻，给每个点标号； 标号分永久标号P(vk)和临时标号T(vk) 两种：
• 永久标号P(vk) 是从点 vs → vk 的最短路权 • 临时标号T(vk) 是从点 vs → vk 最短路权的上界
1
3 2
v4
6
7
1
vt
(v5 ,13)
v3 (v4 , 9)
v6 (v3 ,11)
管理科学与工程学院
25
石家庄经济学院
第三节
一、双标号算法
第七步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)
v1
3
(vs , 0)
2 4
v5
8 1 (v5 , 6)
7 9
vs
10
v2
4
(v4 , 7)
v1
3
(vs , 0)
v5
8 1
7 9
vs
10
v2
4
(vs ,9)
1
3 2
(v1 , 7) v4
6 7
1
vt
(vs , )
v3 (vs ,10)
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v6 (vs , )
管理科学与工程学院
21
第三节
一、双标号算法
第三步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)v1Fra bibliotek3(vs , 0)
2 4
2.避圈法
从无向网络中，开始选取权数最小的一条边，再选权数为次小 的一条边；如此进行，总从剩余边中选取权数最小者，但前提 是与已经选择的边不要构成圈；如果最小权数的边不止一条， 则任选一条。
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
管理运筹学讲义-网络分析65页PPT
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
Hale Waihona Puke 66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
管理运筹学讲义-网络分析
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
管理运筹学第4章：网络规划
所求的最短路距离为： 1 + 4 + 2 = 7
13
4.4
网络最大流问题
一、问题的提出
交通网络中要研究车辆的最大通过能力；生产流水线网络上产品的最大加工能力； 供水网络中通过的最大水流量；信息网中信息最大传送能力等等。 弧容量cij：网络的组成弧都具有确定的通过能力(有时称为硬件能力)； 弧流量fij： 实际通过弧的流量 (有时称为软件能力)；
第四章：网络规划
4.1 图
一、起源
1736年瑞士数学家欧拉（E.Euler）在求解七桥一笔画难题时，就用了点线图来分析论证： 每个点均有奇数条边时，一笔画问题无解。 (前苏)哥尼斯堡城中的普雷格尔河
C
A B D
A
D
C
B
1
e13 e1
V2 V1
V8
e11 e6 e4
e9
V6
V9
e10 e7 e8
8
3、最小部分树求法 ① 避圈法：将连通图所有边按权从小到大排序，每步从未选的边中选一条权最小的边逐条衔接， 但不能成圈。 ② 破圈法：在连通图中任取一圈，去掉一条权数最大的边，在余下的图中重复以上步骤， 直至无圈为止。
例：某工厂内联结六个车间的道路网如下图示，巳知每条道路的长度，要求沿道路架设联结六个
四、连通图：
任意两点之间可由一条链连接起来相通的图叫连通图。否则，称为非连通图。 如：上图就不是连通图，因为点V9与任何点之间均没有链连接起来相通。
4
五、子图和部分图：设G1={V1，E1}， G2={V2，E2}， G={V，E}
1、子图： 若V2V1，E2 E1，则称G2是G1的一个子图 。 真子图：若V2V1，E2 E1，则称G2是G1的一个真子图 。 2、部分图：若V2=V1，E2 E1，则称G2是G1的一个部分图，即包含原图全部顶点的子图。 3、零图： 若E=ф，则称G为零图，即由许多孤立点构成的图。 4、空图： 若V=ф 和E=ф ，则称G为空图。
运筹学课件—网络分析
最大流：max( f )
f
s1
f
s
2
2 3 5
f3t f3t 2 3 5
最小截量C(V1 ,V1 )
V1 vs ,v1 V1 v1 ,v2 ,v3 ,vt
•
minC(V1 ,V1 ) Cs2 C13 3 2 5
fij
vi ,v j u
例. 用标号法求网络最大流
v2 (3,3) v4
(3,3)
(4,3)
vs
(1,1) (1,1) (3,0)
vt
(5,1) v1 (2,2)
(2,1) v3
解：一.标号过程
vs : 0,
vs v2 fs2 cs2 v2 不标号 vs v1 f s1 1 cs1
（f）:网络流量. fij : 弧流量 max（f）
f sj f sk ( f )
j
k
fij fki 0
j
k
j
f tj
k
fkt
( f )
0 fij Cij
求一组{ fij }是个可行流，u是从Vs Vt的一条链，
若u满足：
在u 上： 0 fij Cij 非饱和
在u上： 0 fij Cij 则称u为一条增广链
v1 : vs ,lv1 vs ,4 lv1 minlvs ,cs1 fs1 min ,4 4
v1 v3 : f13 c13 v3不标 v1 v2 : f21 1 0
v2 : v1,lv2 v1,1 lv2 minlv1 , f21 min4,1 1
v2 v4 : f24 c24 v4不标 v2 v3 : f32 1 0
vi vk ,若fki 0,则v j不标号;若fki 0,则v j可标号
管理运筹学讲义第6章_网络计划(6学时)PPT课件
③
②
sfsf 18
④ 错误的画法
⑤
⑦
缺口 ⑥
OM:SM
第二节 绘制网络图
二、绘制网络图的规则
5、尽量避免箭线交叉，做到美观清晰
②
④
⑧
⑥ ⑩
①
③
⑤
⑦
⑨
④
⑧
①
②
⑤
⑦
⑩
sfsf 19
③
⑥
调整后
⑨
OM:SM
第二节 网络图的绘制
三、网络图的绘制步骤
1、先绘制网络草图
绘制网络草图的方法是顺推法，即以始结点开始，首先确定由始结点引出 的作业，然后根据作业间的逻辑关系，确定每项作业的紧后作业。
sfsf 9
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
二、网络图相关的概念
2、基本概念
在下图中，A是D、E的紧前工序，D、E是A的紧后工序，F是A的后 续工序但不是A的紧后工序；A是D、E、F的前道工序但不是 F 的紧前 工序。注意紧前工序、紧后工序、前道工序和后续工序之间的关系。
②
2天
3天
A
E
①
B 3天
sfsf 4
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
一、引言
2、网络计划的基本原理
网络计划的基本原理：从需要管理的任务总进度着眼，以任务 中各工作所需要的工时为时间因素，按照工作的先后顺序和相互关 系做出网络图，以反映任务全貌，实现管理过程的模型化。然后计 算时间参数，找出计划中的关键工作和关键线路，以对任务的各项 工作所需的人、财、物通过改善网络计划做出合理安排，得到最优 方案并付诸实施。
⑥
H 20
⑦
⑤ 20
图（a）箭线图
②
sfsf 18
④ 错误的画法
⑤
⑦
缺口 ⑥
OM:SM
第二节 绘制网络图
二、绘制网络图的规则
5、尽量避免箭线交叉，做到美观清晰
②
④
⑧
⑥ ⑩
①
③
⑤
⑦
⑨
④
⑧
①
②
⑤
⑦
⑩
sfsf 19
③
⑥
调整后
⑨
OM:SM
第二节 网络图的绘制
三、网络图的绘制步骤
1、先绘制网络草图
绘制网络草图的方法是顺推法，即以始结点开始，首先确定由始结点引出 的作业，然后根据作业间的逻辑关系，确定每项作业的紧后作业。
sfsf 9
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
二、网络图相关的概念
2、基本概念
在下图中，A是D、E的紧前工序，D、E是A的紧后工序，F是A的后 续工序但不是A的紧后工序；A是D、E、F的前道工序但不是 F 的紧前 工序。注意紧前工序、紧后工序、前道工序和后续工序之间的关系。
②
2天
3天
A
E
①
B 3天
sfsf 4
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
一、引言
2、网络计划的基本原理
网络计划的基本原理：从需要管理的任务总进度着眼，以任务 中各工作所需要的工时为时间因素，按照工作的先后顺序和相互关 系做出网络图，以反映任务全貌，实现管理过程的模型化。然后计 算时间参数，找出计划中的关键工作和关键线路，以对任务的各项 工作所需的人、财、物通过改善网络计划做出合理安排，得到最优 方案并付诸实施。
⑥
H 20
⑦
⑤ 20
图（a）箭线图
管理运筹学 第七章图与网络分析
图是反映对象之间关系的一种工具，如果我们把对象 用点表示，关系用线表示，就构成了一个图。
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
管理运筹学讲义：网络计划.ppt
tES(A)
tLS(A)
tEF(A)
tLF(A)
r(i,j)
tES(B) tLS(B)
▪ 从终点开始，从右向左，逆箭线方向逐个计算。
tL(n)tE(n)
tL(i)mj i{ntL(j)t(i, j)}
7
上海电力学院管文
SHUFE 第二节 关键路线法
• 计算结点时间参数，确定关键路线。
46
3
b
0
3
0
1
a 4
2 46
d 5
6
65
16
16
f
6
10
c
e
6
8
4
66
8
上海电力学院管文
SHUFE 第二节 关键路线法
•
▪ 由工序、事项及时间参数（工序时间）所构成的赋权有向图即为网络图。 ▪ 用箭线表示工序，结点表示工序间相互关系的网络图，称箭线式网络图。
3
上海电力学院管文
SHUFE 第一节 网络图及其绘制规则
二、绘制网络图的规则
• 工序表示的规定
▪ 一条箭线和它的相关事项只能代表一道工序，不能代表多道工序， ▪ 两个结点之间只能有一条箭线相连。
▪ 在网络图中用箭线“→” 表示； ▪ 与某道工序前面直接相连的工序称为紧前工序； ▪ 其后直接相连的后继工序为紧后工序。
• 结点(事项)
▪ 结点(事项)是相邻工序的分界点； ▪ 一般用圆圈来表示，每个结点编上顺序号：
• 箭尾结点表示工序的开始， • 箭头结点表示工序的完成。
▪ 结点(事项)既不消耗人力、物力，也不占用时间。
二 、工序的时间参数计算
• 工序最早可能开工时间tES(i, j)
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
管理运筹学讲义：网络计划
资源分级
02
03
资源租赁与购买
Hale Waihona Puke 根据资源的重要性和稀缺性，对 资源进行分级管理，优先满足关 键资源的供给。
在项目资源不足时，考虑租赁或 购买外部资源，以满足项目需求。
调整关键路径
压缩关键路径
通过优化关键路径上的工作，缩短项目总工 期。
增加人力与物力
在关键路径上增加资源投入，提高工作效率。
任务并行化
通过合理安排任务顺序，使非关键路径上的 工作与关键路径上的工作并行进行。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
确定活动之间的逻辑关系
根据确定的活动先后关系，确定各个活动之间的逻辑关系，如并行关系、串行关系等。
确定活动的持续时间
根据历史数据、经验或实际情况，为每个活动分配合理的持续时间。
绘制网络图
使用合适的绘图工具
选择合适的绘图工具，如Visio、 Draw.io等，用于绘制网络图。
绘制网络图
根据确定的活动和关系，绘制出项目 的网络图，清晰地展示各个活动之间 的关系和顺序。
优化项目进度
进度计划优化
根据项目目标和资源状况，制定合理的进度计划，确 保项目按时完成。
进度控制
通过监控项目进度，及时发现偏差并采取措施进行调 整，确保项目按计划进行。
风险管理
识别项目中的潜在风险，制定应对措施，降低进度延 误的风险。
05 网络计划的评价与控制
评价网络计划的可行性
资源可行性
评估项目所需资源是否充足，是否符合 实际资源条件，避免资源浪费和短缺。
成本控制
制定项目成本预算，监控项目成本，及时发现和解决成本超支问题，确保项目成本控制 在预算范围内。
运筹学第六章 网络分析
2
v4
v5
4 3 4
v1
1
5
7
v6
v2
2
例 10
15
8
13
13
5
1
14 12
16
4
12 14
93
14
2
16
3
14
7
6
15
破圈法：任意选一个圈划掉权值最大的
边，重复直到所有节点形不成圈
例 11:
15
8
13
13
5
1
14 12
16
4
12 14
14
2
16
3
14
7
6
15
15
8
13
13
5
1
14 12
尽管试验者很多，但是都没有成功。为了寻找答案，1736年欧 拉将这个问题抽象成下图所示图形的一笔画问题。即能否从某 一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点
C
A
B
D
欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一 个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古 典图论中的第一个著名问题。
其中 v5 为悬挂点， v7 为孤立点。
定理1 所有顶点度数之和等于所有边数的2 倍。
vV
d(v) = 2q
证明：因为在计算各个点的度时，每条边被 它的两个端点个用了一次。
定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
证明： 设 V1，V2 分别是图G中奇点和偶点的
集合，由定理1 ，有
d (v ) d (v ) d (v ) 2q 因为 d (v ) 是偶数， d (v) 也是偶数，因此
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章 图与网络分析
（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构 设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。 例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章 图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义 自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如： 图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这 种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存 放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种 化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些 药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
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v1
v2
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图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
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v2
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注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
管理运筹学讲义 网络分析
点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
次为0的点称作孤立点。
v4 v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
10
OR:SM
第一节 图论的概念
链，圈，连通图 无向图中某些点和边的交替序列， 若其中各边互不相同，且这些点和 边前后相继，我们称它为链。用μ 表示：
{v 0 , e1 , v 1 , , e k , v k }
1 1
v5
v2
v5
v2
v4
24
G1
v3
v4
G2
v3
OR:SM
第二节 最小树问题
g h
e
d f d
e f
b a c
b
25
OR:SM
第二节 最小树问题
g h g
e
d f d f
b a c
b
26
OR:SM
第二节 最小树问题
g e d f d h e
b a c
b
c
27
OR:SM
第二节 最小树问题
g e d f h h
管理运筹学-管理科学方法
演讲：王甜源
中山大学南方学院工商管理系
第8 讲 网络分析
学习要点 Sub title
理解图论中结点、边、链、弧、路径的概念 了解树的概念、最小树的求解方法及其应用 掌握最短路的标号算法及网络选址中的应用 理解网络流的概念及其网络瓶颈的识别方法 正确理解最小费用流的调整改进思路和方法
C
E
16
OR:SM
第一节 图论的概念
思考题
• 一个班级的学生共计选修A、B、C、D、E、F六门 课程，其中一部分人同时选修D、C、A，一部分人同 时选修B、C、F，一部分人同时选修B、E，还有一部 分人同时选修A、B，期终考试要求每天考一门课，六 天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连续参 加考试，试设计一个考试日程表。
管理运筹学 网络分析
15
2、每一个节点流量平衡。
§4 最大流问题
每一个节点流量平衡是指：
•中间点
流出量=流入量 , 即流出量-流入量=0
•发点
流出量-流入量= v(f) •收点 流出量-流入量= - v(f)
16
饱和弧、非饱和弧
1、如果 fij=cij，则 aij 称为饱和弧；
1 cij=5 2
(1,2)是饱和的
fij=5
4
V是顶点集合 E是边的集合
设 G1 = [ V1 , E1 ] , G2 = [ V2 , E2 ] 子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的子图； 真子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的真子 图; 生成图：如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的生成 图（部分图）。
v2 ∞ A 2 2 S v1 0 4 4 C ∞ 7 2 1 4 v3 B ∞ 5 4 4 3 8 ∞ D 1 7 E ∞ v6 5 14 T 13 ∞ 7 v7
5v4v5源自由此而得两条从v1到v7的最短路R7* : {v1, v2, v3, v6, v7}与{v1, v2, v3, v5, v6, v7}
§3 最小生成树问题
最小生成树：网络中边的权之和最小的生成树。 • 求最小生成树的破圈法 破圈法计算步骤： ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已 经得到最小生成树，或网络中不存在生成树； ② 去掉该圈中权数最大的边； 反复重复 ① ② 两步，直到求出最小生成树。
A
2 S 4 C 5 2 B 1 4 3 4 D 1 E 7 5 T
5
§1 图与网络的基本概念
v2
e1
v1
e2
2、每一个节点流量平衡。
§4 最大流问题
每一个节点流量平衡是指：
•中间点
流出量=流入量 , 即流出量-流入量=0
•发点
流出量-流入量= v(f) •收点 流出量-流入量= - v(f)
16
饱和弧、非饱和弧
1、如果 fij=cij，则 aij 称为饱和弧；
1 cij=5 2
(1,2)是饱和的
fij=5
4
V是顶点集合 E是边的集合
设 G1 = [ V1 , E1 ] , G2 = [ V2 , E2 ] 子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的子图； 真子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的真子 图; 生成图：如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的生成 图（部分图）。
v2 ∞ A 2 2 S v1 0 4 4 C ∞ 7 2 1 4 v3 B ∞ 5 4 4 3 8 ∞ D 1 7 E ∞ v6 5 14 T 13 ∞ 7 v7
5v4v5源自由此而得两条从v1到v7的最短路R7* : {v1, v2, v3, v6, v7}与{v1, v2, v3, v5, v6, v7}
§3 最小生成树问题
最小生成树：网络中边的权之和最小的生成树。 • 求最小生成树的破圈法 破圈法计算步骤： ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已 经得到最小生成树，或网络中不存在生成树； ② 去掉该圈中权数最大的边； 反复重复 ① ② 两步，直到求出最小生成树。
A
2 S 4 C 5 2 B 1 4 3 4 D 1 E 7 5 T
5
§1 图与网络的基本概念
v2
e1
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v2 4
15 9 v3 3
1
v7
37
OR:SM
第二节 最小树问题
v1 23 v6 28 v5 25 17 16 v4 1 v7 9 v3 3
20
v2 4
15
38
OR:SM
第二节 最小树问题
v1 23 v6 28 v5 25 17 16 v4 1 v7 9 v3 3 20
v2 4
15
39
OR:SM
√ √ √
√
OR:SM
第一节 图论的概念
• 解：用图来建模。把比赛项目作为研究对象，用点 表示。如果2个项目有同一名运动员参加，在代表这 两个项目的点之间连一条线，可得下图。
在图中找到一个点序 列，使得依次排列的 两点不相邻，即能满 足要求。如： 1) A,C,B,F,E,D B D
A
F
2) D,E,F,B,C,A
1 2 1 2
e1 e2 v2 e5 e6 e7 e8 v1 e4 e3 v3
V1 V2 和E1 E 2 称G1是G2的一个子图。
e4 v2 e5 e6 e8 e6 v3 v2
e2
e4
e3 v3 e8
v4
（G图）
v5
e7
v4
v5
(a)
12
v4
(b)
v5
OR:SM
第一节 图论的概念
网络（赋权图）
第二节 最小树问题
v1 23 1 v7 4 9 28 v5 25 17 16 v4 v2 15 v3 3
v1 5 v2 8 4 3 v4 v3 7 5 v5 1 v6
8
2
6
33
OR:SM
第二节 最小树问题
v1
5 v2 v1 4 2 v2
34
8
4 8
v3
7 5
2
v5
1 v6 v5
3
v4 v3
6
5 1 v6 Min C(T)=15
OR:SM
3
v4
第二节
二、最小树的求法
最小树问题
例：一家企业分别要在6间办公室铺设网线接入口，网线的可行 e2 走线方式如下图所示，已知办公室之间的走线距离，应如何铺 设网线才能使网线总长为最短？
v4 e1
e2
v2
v1 e4 e5
e3 v3
e6
e7
e8
v5
8
OR:SM
第一节 图论的概念
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条边，称为多重边，如右
v2 e5 e2 e1 v1
e4
e3 v3
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
图称作简单图。
可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
6 OR:SM
第一节
一、图的内涵
2、图的分类
图论的概念
不带箭头的连线称为“边”，如公路运输线路； 带箭头的连线称为“弧”，如供排水的管道运输线路。
1、无向图
2、有向图
由点和边的集合所构成
由点和弧的集合所构成
• 链：无向网络中，前后相继点和边 • 路径：有向网络图中，前后相继并且 的交替序列称为一条链。 方向一致的点弧序列称为一条路径。 • 圈：闭合的链称为一个圈。 • 回路：闭合的路径称为一个回路。
1 1
v5
v2
v5
v2
v4
24
G1
v3
v4
G2
v3
OR:SM
第二节 最小树问题
g h
e
d f d
e f
b a c
b
25
OR:SM
第二节 最小树问题
g h g
e
d f d f
b a c
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OR:SM
第二节 最小树问题
g e d f d h e
b a c
b
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27
OR:SM
第二节 最小树问题
g e d f h h
17
OR:SM
第一节 图论的概念
•思考题解答： • 以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程之间用边 相连，得图，按题意，相邻顶点对应课程不能连续考试， 不相邻顶点对应课程允许连续考试，因此，作图的补图， 问题是在图中寻找一条哈密顿道路，如C—E—A—F—D— B，就是一个符合要求的考试课程表。
18
v1
4
·
e1
v2
·
e4
v3
·
e6
v4
·
OR:SM
第一节
一、图的内涵
图论的概念
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
图的定义：
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系， 则图G可以定义为点和边的集合，记作：
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集
※ 图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以 及哪些点之间有连线。
5 OR:SM
第一节 图论的概念
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(v1) 赵 e1
e2
(v3)孙
e4 (v4) 李 (v5) 周 e5 (v7)陈
e3
(v2)钱
(v6)吴
e2
(v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5) e5 吴(v6) 陈(v7)
e6
e7
e8
v4
v5
9
OR:SM
第一节 图论的概念
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
v2 e5 e6 e1 v1 e4
e2
e3 v3 e8
e7
7 OR:SM
第一节 图论的概念
• 定义: 图中的点用v表示，连线用e表示。对每条连线
可用它所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关 联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具 有公共的端点，称边ei和ej相邻。
OR:SM
第一节 图论的概念
A B
F
C
E
19
D
OR:SM
图的基本概念与模型
A B
F
C
E
20
D
OR:SM
第二节 最小树问题
一、最小树的涵义
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例如： 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况， 如下图所示。
运动员 A
B C
D
E
管理运筹学-管理科学方法
演讲：王甜源
中山大学南方学院工商管理系
第8 讲 网络分析
学习要点 Sub title
理解图论中结点、边、链、弧、路径的概念 了解树的概念、最小树的求解方法及其应用 掌握最短路的标号算法及网络选址中的应用 理解网络流的概念及其网络瓶颈的识别方法 正确理解最小费用流的调整改进思路和方法
C
E
16
OR:SM
第一节 图论的概念
思考题
• 一个班级的学生共计选修A、B、C、D、E、F六门 课程，其中一部分人同时选修D、C、A，一部分人同 时选修B、C、F，一部分人同时选修B、E，还有一部 分人同时选修A、B，期终考试要求每天考一门课，六 天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连续参 加考试，试设计一个考试日程表。
23
1
1
4
5
2 1 4
3 5
OR:SM
第二节 最小树问题
图的最小支撑树（最小树) 如果G2是G1的部分图，又是树图，则称G2是G1的部分树 （或支撑树）。树图的各条边称为树枝，一般图G1含有多 个部分树。
把一棵树各边的权数总和，称为该树的树权。 权数总和为最小的那棵支撑树，称为最小支撑树，简称最 小树。 v v
3 OR:SM
第一节
一、图的内涵
1、图的定义
图论的概念
• 图论的图与一般几何图形或代数函数图形是完全不同的 图论中的图:由一些点和连接点的线所组成的“图形” 点和线的位置是任意的 线的曲直、长短与实际无关，代表的只是点与点之间的相互关系
• 例：表示苏州v1 、杭州v2 、上海v3 、南京v4仓储网点之间的物流运输线路关系 e5 e5 ·4 v ·4 v v2· v 2· e3 e1 e3 e4 · e4 e6 e6 e1 v1 e2 ·1 v e2 v3 · e3 ·3 v e2 e5
e1 e2 v2 e5 e6 e7 e8 v1 e4 e3 v3
起点与终点重合的链称作圈，如： μ={(1,2),(2,4),(3,4),(1,3)} 。 如果图中任意两个结点之间至少 存在一条链，称这样的图为连通 图，否则称图不连通。
11
v4
2 1 3
v5
4
OR:SM
第一节 图论的概念
子图，部分图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有 若有 V＝V ，E E ，则称G1是G2的一 个部分图(支撑子图)。 v1
b
b
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c
a
c
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OR:SM
第二节 最小树问题
g e d f d f h
g
b
a
c
a
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OR:SM
第二节