人教版_人教版八年级数学关于动点问题的分析

人教版八年级动点总是专项练习

如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）求直线OC的解析式．

（2）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．

（3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

（1）O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）当Q在OC上运动时，Q的坐标满足直线OC的解析式，可设Q(m，34

m)，则OQ就是Q运动的路程，利用勾股定理即可利用t表示出m，从而求得Q的坐标；

当当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t，求得CQ的长度，即可求得Q的坐标；

（3）当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t），根据△OPQ的面积等于梯形面积的一半，即可得到一个关于t的方程，根据方程的解得情况即可判断；

当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），根据梯形OCQP的面积等于梯形OABC的面积的一半从而列方程求解．

解：（1）∵O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），设OC的解析式为y=kx+b，

将两点坐标代入得：k=3 4 ，b=0．

∴y=3 4 x．

（2）当Q在OC上运动时，可设Q(m，3 4 m)，依题意有：m2+(3 4 m)2=(2t)2，解得m=8 5 t．

则Q(8 5 t，6 5 t)（0≤t≤5）．

当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t．

∵OC=10，

∴CQ=2t-10．

∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2．

∴Q（2t-2，6）（5＜t≤10）．

（3）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t）．

△OPQ中，OP边上的高为：(22-t)×3 5 ．

∴S△OPQ=1 2 t(22-t)×3 5 ，S梯形OABC=1 2 (18+10)×6=84．

依题意有：1 2 t(22-t)×3 5 =84×1 2 ．

整理得：t2-22t+140=0．

∵△=222-4×140＜0，

∴这样的t不存在．

当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），

∴CQ的长为：22-t-10=12-t．

∴S 梯形OCQP=1 2 ×6(22-t-10+t)=36≠84×1 2 ． ∴这样的t 值也不存在．

综上所述，不存在这样的t 值，使得P ，Q 两点同时平分梯形的周长和面积．

如图1所示，在△ABC 中，点O 在AC 边上运动，过O 作直线MN ∥BC 交∠BCA 内角平分线于E 点，外角平分线于F 点．试探究：当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？

析解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．

因为MN ∥BC ，所以∠ECB=∠FEC ．因为∠ECB=∠ECA ，所以∠ECA=∠FEC ，所以EO=OC ．同理可得OF=OC ，所以EO=OF ．又因为点O 是AC 的中点，所以CA 与FE 互相平分，所以四边形AECF 是平行四边形．又因为CE 、CF 分别是∠BCA 的内、外角平分线，而∠BCD 是一平角，所以∠ECA+∠ACF=90º，即∠ECF=90º．所以四边形AECF 是矩形．

如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA ∥BC ，BC=14cm ，A 点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s 的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动，设运动时间为ts （0≤t ≤4）．

（1）求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形．

（2）求当t 为多少时，PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ 的函数关系式．

析解：（1）因为ts 后，BP=(14-2t) cm ，AQ=4t cm ．由BP= AQ ，得14-2t=4t ，t=

37(s)．因此当t=3

7

s 时，BP= AQ ，又OA ∥BC ，所以四边形PQAB 为平行四边形．

（2）因为C 点坐标为（0，2），A 点坐标为（16，0），所以OC=2 cm ，OA=16 cm ．所以

OABC S 梯形=

21(OA+BC)·OC=2

1×(16+14)×2=30(cm 2)． 因为ts 后，PC=2t cm ，OQ=(16-4t) cm ，所以PQOC S 四边形=

2

1

(2t+16-4t)×2=16-2t ． 由题意可得PQOC S 四边形=10，所以16-2t=10，解得t=3(s)．此时直线PQ 的函数关系式为y=x-4．

1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从

A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

分析：

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．

（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．

（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．

解答：

解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形

∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．

（2）过D作DE⊥BC于E

则四边形ABED为矩形

∴BE=AD=24cm

∴EC=BC-BE=2cm

∵四边形PQCD为等腰梯形

∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4

解得：t=7（s）

即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．