高二导数综合

合集下载

高二数学知识点求导公式

高二数学知识点求导公式在高二数学学习中，求导公式是一个非常重要的知识点。

它是求解函数导数的基础，掌握了求导公式，能够更加灵活地处理数学问题。

下面我们来系统整理一下高二数学常用的求导公式。

1. 基本函数的求导公式(1) 常数函数的导数为0：$y=C$，其中C为常数。

(2) 幂函数的导数：$y=x^n$，其中n为整数，导数为$y'=nx^{n-1}$。

(3) 指数函数的导数：$y=a^x$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=a^x\cdot ln⁡(a)$。

(4) 对数函数的导数：$y=log_a⁡(x)$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=\dfrac{1}{x\cdot ln⁡(a)}$。

(5) 三角函数的导数：正弦函数的导数：$y=sin⁡(x)$，导数为$y'=cos⁡(x)$。

余弦函数的导数：$y=cos⁡(x)$，导数为$y'=-sin⁡(x)$。

正切函数的导数：$y=tan⁡(x)$，导数为$y'=sec^2(x)$。

2. 基本运算法则(1) 基本规律：$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)$，即两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差)。

(2) 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

(3) 除法法则：$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再减去第一个函数乘以第二个函数的导数，然后除以第二个函数的平方。

高二数学导数试题答案及解析

高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为________。

【答案】【解析】根据题意，由于曲线的一条切线与直线垂直可知切线的斜率为4，那么由导数，则可知该点的坐标为（1,1），那么可知切线方程为。

【考点】导数的几何意义点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。

2.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为．则正实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合定积分可知【考点】定积分点评：若函数图形在x轴上方，则定积分值等于直线与函数曲线围成的图形的面积3.已知(Ⅰ)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式;(Ⅱ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】解:(Ⅰ)由题意的解集是即的两根分别是.将或代入方程得..(Ⅱ)由题意:在上恒成立即可得设,则令,得(舍)当时,;当时,当时,取得最大值, =2.的取值范围是.【考点】导数的应用点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。

本题是应用导数求函数的单调区间和解决不等式中参数的取值范围。

4.若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是_____________【答案】【解析】由题意得，f′（x）=3x2-12 在区间（k－1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2－12的根为±2，区间（k－1，k+1）的长度为2，故区间（k－1，k+1）内必须含有2或－2．∴k－1＜2＜k+1或k－1＜－2＜k+1，∴1＜k＜3 或－3＜k＜－1，答案为。

【考点】应用导数研究函数的单调性，简单不等式解法。

点评：中档题，注意到，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根。

5.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。

高二数学导数试题答案及解析

高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。

直线的斜率为。

由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。

故A正确。

【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。

2.曲线在点（1,1）处的切线方程为 .【答案】【解析】∵y=lnx+x，∴，∴切线的斜率k=2，所求切线程为.【考点】导数的几何意义.3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。

选A。

【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。

点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。

比较大小问题，常常应用函数的单调性。

4.已知函数的导函数为,1，1），且，如果，则实数的取值范围为（）A．（）B．C．D．【答案】B【解析】由于,1，1），故函数在区间上为增函数，且为奇函数，由得：，则，解得。

故选Ｂ。

【考点】函数的性质点评：求不等式的解集，常结合到函数的单调性，像本题解不等式就要结合到函数的单调性。

5.已知函数在上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，函数在上是单调函数,所以，=0无不等实数解，即，解得，，故选B。

【考点】利用导数研究函数的单调性。

点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。

6.已知曲线方程,若对任意实数,直线,都不是曲线的切线,则实数的取值范围是【答案】【解析】把已知直线变形后找出直线的斜率，要使已知直线不为曲线的切线，即曲线斜率不为已知直线的斜率，求出f（x）的导函数，由完全平方式大于等于0即可推出a的取值范围解：把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，所以已知直线是所有斜率为-1的直线，即曲线的斜率不为-1，由得：f′（x）=x2-2ax，对于x∈R，有x2-2ax≥，根据题意得：-1<a＜1．故答案为【考点】求曲线上过某点曲线方程点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道基础题．7.曲线在点（1，2）处的切线方程是____________---------【答案】【解析】，直线斜率为1，直线方程为【考点】导数的几何意义点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线的斜率8.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）对任意，在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）解：当时，， 2分，又 4分所以曲线在点处的切线方程为即 6分（Ⅱ）= 8分记，则，在区间是增函数，在区间是减函数，故最小值为 -10分因为对任意，在区间上是增函数．所以在上是增函数， 12分当即时，显然成立当综上 15分【考点】导数的几何意义与函数单调性点评：第一问利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，可求得切线斜率，进而得到切线方程；第二问也可用参变量分离法分离，通过求函数最值求的取值范围9.已知函数，则（）A．0B．1C．-1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于,则可知-1+0=-1，故答案为C.【考点】导数的运算点评：主要是考查了导数的运算法则的的运用，属于基础题。

导数是高二上册吗知识点

导数是高二上册吗知识点高等数学中的导数是高中数学的内容，通常在高二上学期开始学习。

导数是微积分的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的局部性质。

在本文中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及一些应用。

一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限来定义：f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

这个定义可以直观地理解为，当x在无限接近于给定点时，函数f(x)在该点的斜率逐渐趋近于某个特定值。

二、求导法则求导法则是计算函数导数的一套规则和方法，便于我们在实际应用中进行计算。

以下是常见的求导法则：1. 基本导数法则：a. 常数导数法则：如果c是一个常数，那么dc/dx = 0。

b. 幂函数导数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。

c. 指数函数导数法则：对于函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数导数法则：对于函数f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。

2. 导数的四则运算法则：a. 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

b. 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

c. 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。

3. 复合函数导数法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14---导数的概念及其意义+导数的运算(解析版)

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14 导数的概念及其意义+导数的运算一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 变化率与导数知识点2 导数几何意义知识点3 导数的四则运算知识点4 复合函数求导二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 变化率与导数例1．（2021·江苏·高二专题练习）函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（）．A ．4B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x 【答案】B 【详解】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆，所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆.故选：B练习1-1．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆=∆（） A ．4B ．4x ∆C ．42x +∆D ．()242x +∆ 【答案】C 【详解】解：∵()()()()()22112142424y f x f x x x ∆=+∆-=+∆---=∆+∆，∴24yx x∆=∆+∆，故选：C ．名师点评：平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率是2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 例2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '，则()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-∆等于（）A ．0()mf x 'B ．0()mf x '-C ．0(1)f m x -'D ．01()f x m' 【答案】B 【详解】因为函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '，所以()()0000im)l (x f x m x f f x x x m ∆→-∆-'=-∆，所以()()()()0000000liml ()imx x f x m x f x f x m x f x m xxf m x m ∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-'∆，故选：B.练习2-1．（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（）A ．2B ．1-C ．1D ．2- 【答案】D 【详解】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '，因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-，故选：D.名师点评：瞬时变化率函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()lim lim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 在实际解题时要注意00()()f x x f x +∆-中两（）中的量做差得到的结果才是分母中的x ∆.如在例2()()0000lim()x f x m x f x f x x∆→-∆-'≠∆，在该式中，分子两（）中的量作差后得到的()()00x m x x m x -∆-=-∆，所以()()0000lim ()x f xm x f x f x m x∆→-∆-'=-∆，所以在题目中的分母要凑配常数，即：()()()()()000000lim()lim()x x m m f x m x f x f x m x f x f x xxm ∆→∆→---∆--∆-'=∆-=∆.知识点2 导数几何意义例1．（2021·全国·高二单元测试）如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．1 【答案】D 【详解】解：由题图可得函数()y f x =的图象在点P 处的切线与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则切线:4l x y +=，(2)2f ∴=，(2)1f '=-，(2)(2)211f f '+=-=，故选：D.练习1-1．（2021·全国·高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（） A ．()()A B f x f x ''> B ．()()A B f x f x ''= C ．()()A B f x f x ''<D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定【答案】A 【详解】根据题意，由图象可得f （x ）在x ＝x A 处切线的斜率大于在x ＝x B 处切线的斜率，则有()()A B f x f x ''>；故选：A名师点评：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点00(,)P x y 处的切线的斜率（0()k f x '=）.例2．（2021·陕西汉中·一模（理））已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________．【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+，所以(1)4k f '==，又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-，整理为430x y --=，故答案为：430x y --=练习2-1．（2021·四川成都·一模（文））曲线()3f x x x =-在点(2,6)处的切线方程为_______．【答案】11160x y --= 【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --= 故答案为：11160x y --=名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时需另设切点求解.如本例2，求函数3C :()ln f x x x =+，在点(1,(1))f 处的切线方程，此时切点为(1,(1))f ，只需求出斜率(1)k f '=.例3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程为________．【答案】20x y -+= 【详解】设切点坐标为()00,ln 3x x +，()1f x x'=，()001f x x '∴=，∴切线方程为()0001ln 3y x x x x --=-，切线过点()1,1-，()00011ln 31x x x ∴--=--，化简得：0011ln x x +=，解得：01x =， ∴切线方程为2y x =+，即20x y -+=．故答案为：20x y -+=.练习3-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()32698f x x x x =-+-+，则过点()0,0可作曲线()y f x =的切线的条数为___________.【答案】2 【详解】∵点()0,0不在函数()y f x =的图象上，∴点()0,0不是切点，设切点为()320000,698P x x x x -+-+（00x ≠），由()32698f x x x x =-+-+，可得()23129'=-+-f x x x ，则切线的斜率()20003129k f x x x '==-+-，∴3220000006983129x x x x x x -+-+-+-=，解得01x =-或02x =，故切线有2条. 故答案为：2名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时无论00(,)P x y 是否在曲线上，都需另设切点求解.如本例3，求曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程，此时应设切点00(,)P x y ，在利用导数0()k f x '=，求出切线方程，再利用()1,1-在切线上，求出切点00(,)P x y ，从而求出切线方程.注意和例题2做对比.知识点3 导数的四则运算例1．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）22log xy x =+（3）31sin x y x-=（4）sin sin cos x y x x =+【答案】（1）266y x x '=- （2）12ln 2ln 2x y x '=+（3）()2323sin cos 1sin x x x x y x--'=（4）11sin 2y x'=+（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-；（2）解：因为22log xy x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+；（3）解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （4）解：因为sin sin cos xy x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，而且()()232ln f x x xf x '=++，求()2f '. 【答案】94-【详解】()()1232f x x f x ''=++，()()124322f f ''∴=++，解得：()924f '=-.名师点评：导数的运算法则： (1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ (3)2()()()()()[](()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''⋅-⋅'=≠ 知识点4 复合函数求导例1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-.【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2xx -⋅（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x xy y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：（1）7(35)y x =+；（2）57e x y -=；（3）ln(4)y x =-+；（4）213x y -=；（5）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（6）34(35)y x =-.【答案】（1）621(35)y x '=+（2）57e 5x y -'=（3）14y x '=- （4）212ln 33x y -'=⨯（5）2cos 26y x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭（6）149(35)4x y --'= （1）667(35)(35)21(35)y x x x ''=+⨯+=+；（2）5757e e (57)5x x x y --'⨯'=-=；（3） 11(4)44y x x x ''=⨯-+=-+- （4）1212ln 3(21)2ln 333x x x y --'⨯-=⨯'=；（5）cos 2(2)2cos 2666y x x x πππ⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）314149(33(35)45)(35)4x y x x --'=---'=⨯．名师点评：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f μ=,()g x μ=的导数间的关系为x x y y μμ'''=⋅,即y 对x 的导数等于y 对μ的导数与μ对x 的导数的乘积.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）函数()2f x x =在1x =附近(即从1到1x +∆之间)的平均变化率是（）A ．2x +∆B ．2x -∆C ．2D ．22()x +∆ 【答案】C 【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－2＝2Δx . 所以2 2.y x x x∆∆==∆∆ 故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）函数2()1f x x =+，当自变量x 由1变到1.1时，函数()f x 的平均变化率为（） A ．2.1B ．1.1C ．2D ．1 【答案】A 【详解】由题意，函数的平均变化率为：()()221.11 1.112.11.110.1f f --==-. 故选：A.3．（2021·江苏·高二专题练习）函数()12f x x=在2x =处的导数为（） A ．2B ．12C ．14D ．18- 【答案】D 【详解】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.4．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()f x 在0x x =附近有定义，且有()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，其中a ，b 为常数，则（） A ．()f x a '=B ．()f x b '=C ．()0f x a '=D ．()0f x b '=【答案】C【详解】因为()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，所以()()00f x x f x a b x x+∆-=+∆∆，则()()()0000lim lim x x f x x f x a b x a x∆→∆→+∆-=+∆=∆，即()0f x a '=. 故选：C.5．（2021·全国·高二课时练习）已知曲线y ＝13x 3上一点P 82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该曲线在P 点处切线的斜率为（）A ．4B ．2C ．－4D ．8【答案】A【详解】3322200011()133lim lim lim 33()3x x x x x x y y x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆'⎡⎤===+⋅∆+∆=⎣⎦∆∆ 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.故选：A6．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数2()ln 2f x x m x x =-+的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线20x y +=垂直，则m =（） A ．54B ．54-C ．12D ．12- 【答案】C【详解】函数2()ln 2f x x m x x =-+的导数为()22m f x x x'=-+，可得在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1322f m ⎛⎫=⎪⎭'- ⎝，又切线与直线20x y +=垂直，所以()13212m -⋅-=-，解得12m =. 故选：C ．7．（2021·四川·树德中学高三期中（文））设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（）A ．4y x =B ．48=-y xC ．22y x =+D ．21y x =+【答案】A【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩，因为()()ln =++f x g x x x ，则1()()1f x g x x''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=，且(1)(1)1ln14f g =++=，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =，故选：A.8．（2021·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知()()220x f x e xf '=-，则()1f '=（）A ．243e -B ．2423e -C ．ln 2e +D ．221e - 【答案】B【详解】()()2e 20x f x xf '=-，则()()22e 20x f x f ''=-，()()0220f f ''=-，()203f '=.()242e 3x f x '=-，()2412e 3f '=-.故选：B二、填空题9．（2021·河南·高二期末（文））已知函数()2e sin x f x x m x =⋅-的图象在0x =处的切线与直线310x y ++=垂直，则实数m =___________.【答案】-1【详解】()2sin x f x x e m x =⋅-的定义域为R ，则()22cos x x f x e x e m x '=+⋅-，则函数在0x =处的切线斜率为1(0)2k f m '==-，又直线310x y ++=的斜率213k =-，由切线和直线垂直，则121k k ，即1(2)()13m -⨯-=-，解得1m =-.故答案为：1-10．（2021·山东·高三阶段练习）曲线2()ln(2)f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为________.【答案】3ln 22y x =+-【详解】()11()2222f x x x x x x ''=⋅+=+， (1)3k f '∴==，又(1)1ln 2f =+，∴切线方程为(1ln 2)3(1)y x -+=-，即3ln 22y x =+-故答案为：3ln 22y x =+-11．（2021·陕西蒲城·高三期中（理））已知函数()sin cos f x x x x =+，则()f π'-＝_____．【答案】π【详解】由()sin cos f x x x x =+求导得：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，于是得()cos()f ππππ'-=--=，所以()f ππ'-=.故答案为：π12．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知函数cos2()1x f x x =+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为____________．【答案】+10x y -=【详解】解：由题，得()()()22sin 21cos 21x x x f x x -⋅+-=+'，则(0)1f '=-，而(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：+10x y -=.三、解答题13．（2021·山西·芮城中学高二阶段练习）已知曲线3S 2y x x =-：（1）求曲线S 在点(2,4)A 处的切线方程；（2）求过点(1,1)B -并与曲线S 相切的直线方程.【答案】（1）10160x y --=（2）20x y --=或5410x y +-=（1）∵32y x x =-，则232y x '=-，∴当2x =时，10y '=，∴点A 处的切线方程为：()4102y x -=-，即10160x y --=.（2）设()3000,2P x x x -为切点，则切线的斜率为()20032f x x '=-，故切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，又知切线过点()1,1-，代入上述方程()()()32000012321x x x x ---=--，解得01x =或012x =-，故所求的切线方程为20x y --=或5410x y +-=.14．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）已知函数321()33f x x x x =--，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程. 【答案】143y x =-+ 因为321()33f x x x x =--，所以111(1)1333f =--=-，2()23f x x x '=-- 所以(1)1234f '=--=-所以曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为()11413y x +=--，即143y x =-+。

导数大题综合(含答案)

导数大题综合1．（2022春·广东东莞·高二校联考期中）已知函数()2395f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 的极值.2．（2022春·广东深圳·高二深圳市光明区高级中学校考期中）已知函数()ln f x ax x x =-，且()f x 在e x =处的切线方程是0x y b ++=.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 的极值.3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．4．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知=1x -是函数()323f x x x ax =-++的一个极值点.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]4,4-上的最大值.5．（2022秋·广东茂名·高二茂名市第一中学校考期中）已知函数()ln 2f x x x =+.(1)求函数()f x 的极值；(2)证明：2()f x x x>-.6．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知函数()2ln f x x a x =-.(1)若函数()f x 在点()()3,3f 处切线的斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数()()21ln 222a ag x x f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,4上是减函数，求实数a 的取值范围.7．（2022春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）已知函数()2ln f x ax x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()2g x x =-+，若任意31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()f x g x ≤，求a 的取值范围．8．（2022春·广东江门·高二校联考期中）已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象在点()1,1P -处的切线斜率为12-，且()f x 在=1x -处取得极值.(1)求()f x 的解析式；(2)当[]2,2x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值.9．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）.(1)求函数()f x 的单调区间：(2)若对任意()0,x ∈+∞都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值集合.10．（2022秋·广东茂名·高二茂名市第一中学校考期中）已知函数()2cos sin f x ax ax x x =--(1)当1a =时，求()f x 在[],ππ-上的值域；(2)当0x >时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.11．（2022春·广东深圳·高二深圳市光明区高级中学校考期中）已知函数2()ln (1)()2=+-+∈R a f x x x a x a ，2()()(1)2=-++a g x f x x a x .(1)讨论()f x 的单调性；(2)任取两个正数12,x x ，当12x x <时，求证：()()()1212122--<+x x g x g x x x .12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知函数()1ln f x a x bx x=++且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=.(1)求实数,a b 的值；(2)若关于x 的不等式()3222m f x x x-≥+恒成立，求实数m 的取值范围.13．（2022春·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）已知函数()ln 2=-f x ax x x .(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间；(2)若2a =，求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；(3)若函数2()()2=-+f x h x x x有1个零点，求a 的取值范围.（参考数据：ln 20.693≈）14．（2022春·广东佛山·高二顺德一中校考期中）已知函数()e ln =--x af x a xx x(1)当0a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)讨论函数()f x 的单调性.15．（2022春·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.16．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知函数()2sin cos 2a f x x x x =++，R a ∈.(1)当0a =时，求函数()f x 在x π=处的切线方程；(2)当12a =-时，求函数()f x 在[],x ππ∈-上的最值.17．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知函数21()ln 2f x x ax a =-+，(1)当1a =时，求()f x 的最值；(2)若ln 2()2f x £恒成立，求a 的取值范围．18．（2022春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知函数()e xf x ax =-，R a ∈.(1)若e a =，证明：当1x >时，()0f x >；(2)讨论()f x 零点的个数19．（2022春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）已知函数()2sin 1,R f x x a x a =++∈．(1)设函数()()g x f x '=，若()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数，求a 的取值范围；(2)当2a =-时，证明函数()f x 在区间()0,π上无零点．20．（2022春·广东东莞·高二校联考期中）已知函数()()22ln f x ax a x x=-++(1)若1x =函数的极值点，求a 的值；(2)若1a ≥，求证：当[]1,e x ∈时，()0f x '≥，其中e 为自然对数的底数.21．（2022春·广东清远·高二统考期中）已知函数()e 1xxf x =-．(1)求证：()f x 在()1,+∞上单调递减(2)若对于任意()0,x ∈+∞，都有()2e x af x a≥+恒成立，求正实数a 的取值范围．22．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知函数()()ln af x x a R x=+∈．(1)判断函数()f x 在区间)2,e -⎡+∞⎣上的零点个数；(2)若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，且在[]()1,271828e e =．上存在一点0x ，使得()0001x mf x x +<成立，求实数m ．23．（2022春·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知函数21()e (,)2xf x a x b a b R =--∈.(1)若函数()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-，求实数a ，b 的值；(2)若函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，求实数a 的取值范围.24．（2022春·广东广州·高二广州市玉岩中学校考期中）已知2()e (2)e (R)x x f x a a x a =+--∈(1)当1a =时，求证：()0f x ≥；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.25．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知函数()21ln 2f x x mx x =-+，m ∈R .(1)当2m =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若2m =-，正实数a ､b 满足()()0f a f b ab ++=，求证：a b +≥26．（2022春·广东江门·高二江门市新会东方红中学校考期中）已知函数e ()ln e x f x x x x -=--，2e 1()e ()2x g x ax a a R -=-++∈.(1)求函数e ()()e x x f x ϕ-=+的最小值；(2)设函数()()()F x f x g x =+的两个不同极值点分别为12,x x ()12x x <，求实数a 的取值范围.27．（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）设函数()()()ln 12af x x a x x =+-+．(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(2,)+∞单调递增，求整数a 的最大值．28．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知函数()sin x x x f -=.(1)判断函数()f x 是否存在极值，并说明理由；(2)设函数()()ln F x f x m x =-，若存在两个不相等的正数1x ，2x ，使得()()1122F x x F x x +=+，证明：212x x m <.29．（2022秋·广东茂名·高二茂名市第一中学校考期中）已知函数()2ln =++f x x ax bx (其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.30．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）已知函数()e ()=-∈R x f x ax a ．(1)讨论()f x 的单调性．(2)若0a =，证明：对任意的1x >，都有432()3ln f x x x x x ≥-+．导数大题综合答案1．（2022春·广东东莞·高二校联考期中）已知函数()2395f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 的极值.的切线方程是0x y b ++=.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 的极值.3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．所以，函数()f x 的极大值点为12x =，极大值为2ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.4．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知=1x -是函数()323f x x x ax =-++的一个极值点.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]4,4-上的最大值.(1)()'236f x x x a =-++， =1x -是函数()f x 的一个极值点∴()'190f a -=-+=，∴9a =，∴()'2369f x x x =-++，令()'0f x <，解得1x <-或3x >；令()'0f x >，解得13x -<<.所以函数()f x 的减区间为()(),1,3,∞∞--+，增区间为()1,3-.(2)由（1）()3239f x x x x =-++，又 ()f x 在[]4,1--上单调递减，在[]1,3-上单调递增，在[]3,4上单调递减∴函数()f x 在的极大值为()327f =，又()476f -=，∴函数()f x 在区间[]4,4-上的最大值为()476f -=.5．（2022秋·广东茂名·高二茂名市第一中学校考期中）已知函数()ln 2f x x x =+.(1)求函数()f x 的极值；(2)证明：2()f x x x>-.(1)若函数()f x 在点()()3,3f 处切线的斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数()()21ln 222a ag x x f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,4上是减函数，求实数a 的取值范围.．(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()2g x x =-+，若任意31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()f x g x ≤，求a 的取值范围．的图象在点1,1P -处的切线斜率为12-，且()f x 在=1x -处取得极值.(1)求()f x 的解析式；(2)当[]2,2x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值.(2)由(1)可知，()f x 在[)2,1--上单调递增，在(]1,2-上单调递减，且()115f -=，()212f =-，()28f -=，∴()max 15f x =，()min 12f x =-．9．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）.(1)求函数()f x 的单调区间：(2)若对任意()0,x ∈+∞都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值集合.(1)当1a =时，求()f x 在[],ππ-上的值域；(2)当0x >时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意知()2cos sin f x x x x x =--，()()21cos sin f x x x x '=-+，[],x ππ∈-时，1cos 0x -≥，sin 0x x ≥，[],x ∴∈-ππ时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 单调递增，∴()()()f f x f ππ-≤≤，即()33f x -π≤≤π所以()f x 的值域为[]3,3ππ-.（2）注意到()00f =，()2cos sin cos f x a a x ax x x '=-+-，若1a ≥，()()2cos sin 2cos sin f x ax x x x x x x =--≥--，由（1）知，当[]0,x π∈时，()()00f x f ≥=；当(),x π∈+∞时，2cos sin 2110x x x x x x x -->--=->，所以()0f x ≥恒成立，符合题意；若0a ≤，()()2cos sin f x ax x x =--，当[]0,x π∈时，()0f x ≤，不合题意，舍去；11．（2022春·广东深圳·高二深圳市光明区高级中学校考期中）已知函数2()ln (1)()2=+-+∈R f x x x a x a ，2()()(1)2=-++a g x f x x a x .(1)讨论()f x 的单调性；(2)任取两个正数12,x x ，当12x x <时，求证：()()()1212122--<+x x g x g x x x .12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知函数()ln f x ax bx x=++且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=.(1)求实数,a b 的值；(2)若关于x 的不等式()3222mf x x x-≥+恒成立，求实数m 的取值范围.∴()()min 11g x g ==-⎡⎤⎣⎦，即1m ≤-所以实数m 的取值范围为(],1-∞-.13．（2022春·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）已知函数()ln 2=-f x ax x x .(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间；(2)若2a =，求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；(3)若函数2()()2=-+f x h x x x有1个零点，求a 的取值范围.（参考数据：ln 20.693≈）14．（2022春·广东佛山·高二顺德一中校考期中）已知函数()ln =--f x a xx x(1)当0a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)讨论函数()f x 的单调性.当1e a <<时，当ln 1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0ln x a <<或1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当e a =时，()0f x ¢>在定义域上恒成立，()f x 单调递增；当e a >时，当1ln x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当01x <<或ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；综上：当1a ≤时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；当1e a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,ln a ，()1,+∞，单调递减区间为()ln ,1a ；当e a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当e a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1，()ln ,a +∞；单调递减区间为()1,ln a .15．（2022春·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.16．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知函数()2sin cos 2f x x x x =++，R a ∈.(1)当0a =时，求函数()f x 在x π=处的切线方程；(2)当12a =-时，求函数()f x 在[],x ππ∈-上的最值.∵21336362f f πππ⎛⎫⎛⎫-==-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴()2max 16362f x π=-+.∵()()214f f πππ-==--，()01f =，∴()2min14f x π=--.17．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知函数21()ln 2f x x ax a =-+，(1)当1a =时，求()f x 的最值；(2)若ln 2()2f x £恒成立，求a 的取值范围．(1)若e a =，证明：当1x >时，()0f x >；(2)讨论()f x 零点的个数(1)设函数()()g x f x '=，若()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数，求a 的取值范围；(2)当2a =-时，证明函数()f x 在区间()0,π上无零点．(1)若1x =函数的极值点，求a 的值；(2)若1a ≥，求证：当[]1,e x ∈时，()0f x '≥，其中e 为自然对数的底数.21．（2022春·广东清远·高二统考期中）已知函数()e 1x f x =-．(1)求证：()f x 在()1,+∞上单调递减(2)若对于任意()0,x ∈+∞，都有()2e x af x a≥+恒成立，求正实数a 的取值范围．22．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知函数()()ln f x x a R x=+∈．(1)判断函数()f x 在区间)2,e -⎡+∞⎣上的零点个数；(2)若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，且在[]()1,271828e e =．上存在一点0x ，使得()0001x mf x x +<成立，求实数m ．23．（2022春·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知函数2()e (,)2xf x a x b a b R =--∈.(1)若函数()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-，求实数a ，b 的值；(2)若函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，求实数a 的取值范围.(1)解：()e '=-x f x a x ，因为函数()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-，所以(0)1f '=，即1a =，(1)当1a =时，求证：()0f x ≥；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.观察图象知，当且仅当01a <<时，直线y 所以a 的取值范围是01a <<.25．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知函数()2ln 2f x x mx x =-+，m ∈R .(1)当2m =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若2m =-，正实数a ､b 满足()()0f a f b ab ++=，求证：a b +≥，2e 1()e ()2x g x ax a a R -=-++∈.(1)求函数e ()()e x x f x ϕ-=+的最小值；(2)设函数()()()F x f x g x =+的两个不同极值点分别为12,x x ()12x x <，求实数a 的取值范围.27．（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）设函数()()()ln 12f x x a x x =+-+．(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(2,)+∞单调递增，求整数a 的最大值．(1)判断函数()f x 是否存在极值，并说明理由；(2)设函数()()ln F x f x m x =-，若存在两个不相等的正数1x ，2x ，使得()()1122F x x F x x +=+，证明：212x x m <.为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.(1)讨论()f x 的单调性．(2)若0a =，证明：对任意的1x >，都有432()3ln f x x x x x ≥-+．。

高二下导数知识点总结归纳

高二下导数知识点总结归纳高二下导数知识点总结归纳导数是高中数学中的一大重要概念，它是微积分的重要组成部分。

在高二下学期，导数的概念和相关知识点是学生们要学习的重点内容。

本文将对高二下导数的知识点进行总结归纳，以便更好地帮助同学们理解和掌握这一部分内容。

一、导数的定义及计算方法1. 导数的概念：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，是函数曲线在该点处的切线斜率。

2. 导数的计算方法：a. 利用导数的定义：导数可以用极限的方法求取，即f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h。

b. 导数的四则运算：对于两个函数，它们的和、差、积、商的导数的计算方法。

c. 高阶导数：函数的导数的导数，即导函数的导数。

d. 反函数的导数：如果函数f(x)和g(x)互为反函数，则g'(x) = 1/f'(g(x))。

二、函数的导数与图像的性质1. 函数递增递减与导数的关系：若在[a, b]上，f'(x)＞0，那么函数在[a, b]上递增；若f'(x)＜0，那么函数在[a, b]上递减。

2. 极值点与导数的关系：若f'(x₀)=0且f''(x₀)＞0，则函数在x₀点取得极小值；若f'(x₀)=0且f''(x₀)＜0，则函数在x₀点取得极大值。

3. 函数的凹凸性与导数的关系：若f''(x)>0，那么函数在该点附近凹；若f''(x)<0，那么函数在该点附近凸。

三、常见函数的导数表达式1. 幂函数：y=x^n，则f'(x)=n*x^(n-1)。

2. 指数函数：y=a^x（a＞0，且a≠1），则f'(x)=a^x*lna。

3. 对数函数：y=logₐx（a＞0，且a≠1），则f'(x)=1/[x*lna]。

4. 三角函数：y=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；y=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；y=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)。

高二数学《导数与微分》知识点概述

高二数学《导数与微分》知识点概述导数与微分是高二数学学科中的重要内容，对于学生来说，掌握这些知识点不仅能够帮助他们理解数学的基本概念，还能够为后续学习奠定坚实的基础。

第一部分：导数的概念及性质导数作为微积分的重要概念之一，其本质是函数在某点处的变化率。

导数的定义是通过极限的方法得到的，即函数在一点处的导数等于函数在该点附近变化最快的直线的斜率。

导数的性质主要有如下几个方面：1. 导数的存在性和唯一性：对于任意一个函数，只要它在某一点上可导，那么它在该点上的导数就是唯一确定的。

2. 导数的几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，因此导数的大小与斜率的大小成正比。

3. 导数与函数的关系：如果一个函数在某点处可导，则该函数在该点的导数可以作为函数的局部性质的判断标准，如函数的增减性、极值点等。

第二部分：导数的计算方法为了更好地应用导数的概念解决实际问题，在计算导数时，我们可以根据导数的定义以及一些基本的导数性质来进行计算。

下面是一些常见的导数计算方法：1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即导数与自变量无关。

2. 幂函数的导数：对于幂函数$x^n$，它的导数为$nx^{n-1}$。

3. 反比例函数的导数：反比例函数$y=\frac{1}{x}$的导数为$y'=-\frac{1}{x^2}$。

4. 指数函数的导数：自然对数函数$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。

5. 对数函数的导数：自然对数函数的逆函数$y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$。

第三部分：微分的概念及应用微分是导数的一个重要应用，它包含了更多的几何和物理背景。

微分的概念是函数在某点局部的线性近似，同时也可以理解为函数值的微小变化量。

微分的性质和计算方法与导数类似。

微分的应用广泛，尤其在物理学和工程学中有着重要的地位。

比如在速度和加速度的分析中，微分可以帮助我们计算物体在某一瞬间的速度和加速度。

2023北京高二(上)期末数学汇编：一元函数的导数及其应用章节综合

2023北京高二（上）期末数学汇编一元函数的导数及其应用章节综合一、单选题1．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知()f x 为奇函数，当x ＜0时，()2f x x =−，则曲线()y f x =在点()1,1处的切线斜率是（）A ．－2B ．2C ．－eD ．2e 1−+2．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()()ln 1f x x x =+，则（） A ．()f x 是偶函数B ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln 2−+C ．()f x 在()1,−+∞上单调递增D ．()f x 有一个零点3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数3()e x f x −=，1()ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n －m 的最小值为（） A ．1ln 2−+ B ．1ln 2+ C ．2ln 2−+D ．2ln2+4．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点()1212,x x x x <，则（）A ．a <aB ．1x 是()f x 的极小值点C ．1213x x +=D ．1213x x =−5．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）设函数()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（） A ．10x y −−=B ．210x y −−=C ．20x y −−=D ．220x y −−=6．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()sin2(0)f x x xf '=−，则该函数的图象在π2x =处的切线方程为（） A ．3π0x y +−=B ．3π0x y −−=C ．3π0x y +−=D ．3π0x y ++=7．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()2e 1x f x ax x =+−+，则“()f x 有极值”是12a <−（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．曲线()y f x =在点(2,(2))f −−处的切线斜率小于零B ．函数()f x 在区间(1,1)−上单调递增C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在区间()3,3−内至多有两个零点9．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）函数2()f x x =在区间[]0,2上的平均变化率等于x m =时的瞬时变化率，则m =（） A ．12B ．1C ．2D ．3210．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）下列结论中正确的个数为（） ①若y ln 2=，则12y；②若21y x=，则32|27x y ='=−；③若2x y =，则2ln 2x y '=；④若2log y x =，则1ln 2y x '=A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）函数()y f x =图像上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ−=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ②设点A 、B 是抛物线21y x =+上任意不同的两点，则(),2A B ϕ≤；③设曲线e x y =上不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，且121x x −=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1−∞； ④3y x =与2yx 在原点处的“弯曲度”一样．以上正确命题的序号为______．（写出所有正确的）12．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，且当0x <时，()()20f x xf x '+<，则不等式2(2023)(2023)(1)0x f x f −−−−<的解集为______．13．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()()lg 1,104,0x x f x a x x x ⎧+−<<⎪=⎨+−>⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______．14．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）函数()x f x xe =的导函数()f x '=______. 三、解答题15．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()(21)x f x e x ax a =−−+． (1)若a ＜1且仅存在两个的整数，使得()0f x <，求a 的取值范围； (2)讨论()f x 零点的个数；(3)证明123,,2x x ⎡⎫∀∈−+∞⎪⎢⎣⎭，()0,1t ∀∈，有()()()1212(1)(1)f tx t x tf x t f x +−≤+−．16．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数2()(21)ln f x ax a x x=−+−，R a ∈． (1)若函数()f x 在x ＝1处取得极值，求a 的值． (2)讨论函数()f x 的单调区间．17．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）设函数321()313f x x x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)当[0,4]x ∈时，求()f x 的最大值与最小值．18．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知函数()ln xf x x= (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点个数，并说明理由；(3)若对于任意()0,x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，直接写出实数a 的取值范围．参考答案1．B【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当0x >时，因为()f x 为奇函数，所以有()()2f x f x x =−−=，则有()2f x x '=，所以有()12f '=，故选：B 2．D【分析】选项A 由定义域就可以判断，B ，C ，D 选项通过对函数求导逐一分析即可. 【详解】由函数的定义域为()1,x ∈−+∞，不关于原点对称，故非奇非偶函数，故A 错误，因为()()ln 11xf x x x'=+++，所以11ln 11ln 2122f ⎛⎫⎛⎫'−=−−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即在点11,22f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为ln 21−−，故B 错误，当()0,x ∈+∞时，()ln 10,01xx x+>>+，所以0f x ，当()1,0x ∈−时，()ln 10,01xx x+<<+，所以()0f x '<，所以()f x 在()1,0−上单调递减，在()0,∞+上单调递增所以函数在()1,x ∈−+∞有增有减，故选项C 错误，由C 选项知()f x 在()1,0−上单调递减，在()0,∞+上单调递增且()00f =，所以当()1,0x ∈−，()0f x >，当()0,x ∈+∞，()0f x >，故函数只有唯一一个零点0x =，故选项D 正确，故选：D. 3．A【分析】令()()t f m g n ==，得到,m n 关于t 的函数式，进而可得n m −关于t 的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求n m −的最小值.【详解】令()()t f m g n ==，则3e m t −=，1ln 22nt +=，∴3ln m t =+，122e t n −=，即122e 3ln t n m t −−=−−，若12()2e3ln t h t t −=−−，则121()2e(0)t h t t t−'=−>，∴()0h t '=，有12t =，当102t <<时，()0h t '<，()h t 单调递减；当12t >时，()0h t '>，()h t 单调递增；∴min 1()()ln 212h t h ==−，即n m −的最小值为ln 21−.故选：A.【点睛】关键点睛：令()()t f m g n ==确定n m −关于t 的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 4．A【分析】根据函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点，则导数为0有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点()1212,x x x x <，所以2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <, 所以122+=3a x x ,121=3x x ,故CD 选项错误;因为2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,所以()2=24310a ∆−⨯⨯>,即得230a −>,解得a <a 故A 选项正确; 因为2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,()f x 在()1,x −∞上单调递增,在()12,x x 上单调递减,所以1x 是()f x 的极大值点,故B 选项错误;故选: A. 5．B【分析】利用导数的几何意义求在1x =处切线的斜率，进而即可得切线方程. 【详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即()y f x =在1x =处切线方程的斜率为2，又因为(1)1f =，所以切线方程为12(1)y x −=−，整理得210x y −−=，故选：B 6．A【分析】先求出函数()sin2(0)f x x xf '=−的导数，再赋值法求出()'0f ，然后得到的函数解析式可得切点，后将数据代入点斜式方程可得答案.【详解】因为()2cos2(0)f x x f =−''，所以(0)2cos0(0)f f =−''，解得(0)1f '=，所以πππ()sin2,,()2cos21,3222f x x x f f x x f '⎛⎫⎛⎫=−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即切点ππ,,3,22k ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭所以切线方程为：ππ322y x ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭，即3π0x y +−=. 故选：A. 7．B【分析】根据极值点的定义求出a 的范围，验证充分性和必要性即可.【详解】()f x 定义域为R ,由()2e 1xf x ax x =+−+得()e 21x f x ax '=+−，令()e 21x g x ax =+−，则()e 2x g x a '=+，当0a ≥时，()0g x '>恒成立，所以()f x '在R 上单调递增，又因为(0)0f '=，所以当0a ≥时，()f x 有极值；当a<0时，令()0g x '=解得ln(2)x a =−，所以()g x '在(,ln(2))a −∞−上小于0，在(ln(2),)a −+∞上大于0，所以()f x '在(,ln(2))a −∞−上单调递减，在(ln(2),)a −+∞上单调递增，又因为当x →−∞时，()0f x '>，()f x 有极值则(ln(2))22ln(2)10f a a a a '−=−+−−<，令ln(2)a t −=，则e 2t a =−，()e e 1t t f t t '=−−，再令()e e 1t t h t t =−−，则()e e e e 0t t t t h t t t '=−−=−=，解得0=t ，所以()f t '在(,0)t ∈−∞单调递增，在(0,)t ∈+∞单调递减，又(0)0f '=，所以当()0f t '<时，0t ≠，即ln(2)0a −≠，解得12a ≠−，综上()f x 有极值，则0a ≥或12a <−或102a −<<，所以()f x 有极值是12a <−故选：B. 8．D【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.【详解】根据()f x '图像可知(2)=0f '−，故()y f x =在点(2,(2))f −−处的切线斜率等于零，A 错误；()0f x '<在()11−，，故()f x 在区间(1,1)−上单调递减，故B 错误，在1x =的左右两侧()0f x '<，故1x =不是极值点，故C 错误，()f x 在()32−−，单调递增，在()23−，单调递减，故()f x 在区间()3,3−内至多有两个零点，D 正确；故选：D 9．B【分析】分别求出在区间[]0,2上的平均变化率和在x m =时的瞬时变化率，利用相等求解即可. 【详解】函数2()f x x =在区间[]0,2上的平均变化率等于(2)(0)4022020f f −−==−−，2()f x x =在x m =时的瞬时变化率为00()()limlim (2)2△△△△△x x f m x f m x m m x→→+−=+=，所以22m =，解得1m =. 故选：B 10．D【分析】运用求导公式求出导函数，再一一判断即可. 【详解】对于①，0y '=，所以①不正确；对于②，()2312y xx−''==−⋅，所以32|27x y ='=−，所以②正确；对于③，2ln 2x y '=，所以③正确；对于④，1ln 2y x '=，所以④正确；综上，正确的有②③④. 故选：D【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导法则，属于基础题. 11．①②【分析】举例说明①正确；由新定义，利用导数求出函数21y x =+在点A 与点B 之间的“弯曲度”判断②；求出曲线e x y =上点A 与点B 之间的“弯曲度”，然后结合(,)1t A B ϕ<得不等式，举反例说明③错误；求3y x =与2y x 在原点处的“弯曲度”比较大小判断④．【详解】命题①：如函数1y =，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数0，成立，①正确；命题②：21y x =+，2y x '=，||(,)2||A B k k A B AB ϕ−=，②正确；命题③：由e xy =，得e xy '=，，1212(,)x x x x A B ϕ．(,)1t A B ϕ<恒成立，即12|e e |x x t −1t =时该式成立，∴③错误．命题④：当3y x =时，23y x '=，设曲线上不同两点()0,0A ，()()3,B x x ∆∆，()23,A B k kx A B ABϕ−∆===lim 0x ∆→=，∴3y x =在原点处的“弯曲度”为0；当2yx 时，2y x '=，设曲线上不同两点()0,0A ，()()2,B x x ∆∆，(),A B k kA B ABϕ−====lim 2x ∆→=，∴2y x 在原点处的“弯曲度”为2； ④错误.故答案为：①②12．{|2022x x <或2024}x >【分析】构造函数()()2F x x f x =，根据题意可判断，()F x 是偶函数，在(),0∞−上是增函数，在()0,∞+减函数，把原不等式转化为解不等式()()20231F x F −<−，进而20231x −>，解之即得答案.【详解】令()()2F x x f x =，则()()()()()222F x xf x x f x x f x xf x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，由当0x <时， ()()20f x xf x '+<，所以当0x <时，()()()20F x x f x xf x ''=+>⎡⎤⎣⎦ 即()F x 在(),0∞−上是增函数，由题意()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x −=，所以()()()()()22F x x f x x f x F x −=−−==，所以()F x 是偶函数，在()0,∞+递减，所以()()()2202320232023F x x f x −=−−，()()()()21111F f f −=−−=−，即不等式等价为()()20231F x F −<−，所以20231x −>，所以2022x <或2024x >. 故答案为：{|2022x x <或2024}x >. 13．(],4∞−【分析】先求出10x −<<时，()lg 10x +<，再求解当0x >时，分类讨论，分0a =，a<0，0a >，利用导函数求解函数单调性，从而求出实数a 的取值范围. 【详解】10x −<<，所以011x <+<，所以()lg 10x +<，当0a =时，()4f x x =−单调递增，所以当0x >时，()44f x x =−>−，此时()()lg 1,104,0x x f x x x ⎧+−<<=⎨−>⎩值域为R ，符合题意；当a<0时，当0x >时，()210a f x x '=−>，所以()4a f x x x =+−单调递增，当0x >时，()4af x x x =+−值域为R ，所以a<0满足题意；当0a >时，当0x >时，()2221a x af x x x −'=−=，当x 0fx ，当0x <()0f x '<，所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0x >时，()()min 4f x f a ==，要想()()lg 1,104,0x x f x a x x x ⎧+−<<⎪=⎨+−>⎪⎩值域为R，则要满足40≤，解得：04a <≤，综上：实数a 的取值范围是(],4∞− 故答案为：(],4∞−. 14．(1)x x e +⋅【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果. 【详解】∵()x f x xe =，∴()()1x x xf x e xe x e '=+=+.故答案为：(1)x x e +⋅. 15．(1)2533e 2ea ≤< (2)答案见解析 (3)证明见解析【分析】（1）利用导数分析函数()()21e xg x x =−的单调性与极值，分析可知满足不等式()g x ax a <−的整数x 只有两个，数形结合可得出关于实数a 的不等式，解之即可；（2）考查直线y ax a =−与函数)g x 图象相切时实数a 的值，数形结合可得出实数a 在不同取值下函数()f x 的零点个数；（3）构造函数()()()()()()2211p x tf x t f x f tx t x =+−−+−，其中232x x −≤≤，利用导数分析函数()p x 在3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性，由123,2x x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦以及函数()p x 的单调性可证得所证不等式成立. 【详解】（1）解：令()()21e xg x x =−，其中x ∈R ，则()()21e xg x x '=+，当12x <−时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当12x >−时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()min g x =12x <时，()0g x <；当12x >时，()0g x >.由()0f x <可得()()1g x a x <−，作出函数()f x 、()1y a x =−的图象如下图所示：因为有且只有两个整数x ，使得()0f x <，则满足不等式()g x ax a <−的整数x 只有两个，所以()()2312g ag a ⎧−≥−⎪⎨−<−⎪⎩，解得2533e 2ea ≤<. （2）解：考查当直线y ax a =−与函数()g x 相切时，实数a 的值，设切点坐标为()(),21e t t t −，则切线斜率为()21e tt +，所求切线方程为()()()21e 21e t ty t t x t −−=+−，即()()221e 21e t ty t x t t =+−−+，所以，()()221e 21e t ta t t t =+=−+，解得0=t 或32t =，当0=t 时，1a =；当32t =时，324e a =.如下图所示：当0a ≤时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象只有一个公共点；当01a <<或324e a >时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象有2个公共点；当1a =或324e a =时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象只有1个公共点；当3214e a <<时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象无公共点. 综上所述，当3214e a <<时，函数()f x 无零点；当0a ≤或1a =或324e a =时，函数()f x 只有1个零点；当01a <<或324e a >时，函数()f x 只有2个零点.（3）证明：不妨设12x x ≤，构造函数()()()()()()2211p x tf x t f x f tx t x =+−−+−，其中232x x −≤≤，因为()()21e xf x x a '=+−，()()()()21p x tf x tf tx t x '''=−+− ()()()21221e 2211etx t x x t x t tx t x +−=+−+−+⎡⎤⎣⎦，令()()21e xh x x =+，其中32x ≥−，则()()23e 0x h x x '=+≥且()h x '不恒为零，故函数()h x 在3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，因为()()()22110tx t x x t x x +−−=−−≥，故()2312tx t x x +−≥≥−，所以，()()()21p x p tx t x ≤+−，故()()()()2··10p x t h x t h tx t x '=−+−≤，所以，函数()p x 在3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭故当232x ,x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()()20p x p x ≥=，因为123,2x x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则()()120p x p x ≥=，因此，1x ∀、232x ,⎡⎫∈−+∞⎪⎢⎣⎭且()0,1t ∀∈，有()()()()()121211tf x t f x f tx t x +−≥+−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x −>（或()()0f x g x −<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 16．(1)1a = (2)答案见解析【分析】（1）求定义域，求导，根据()01f '=求出1a =，验证后得到答案；（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分0a ≤，102a <<，12a =与12a >分类讨论，得到函数的单调区间.【详解】（1）2()(21)ln f x ax a x x=−+−定义域为()0,∞+， 2212()a f x a x x+'=−+，因为()f x 在x ＝1处取得极值，所以(1)2120f a a '=−−+=，解得：1a =，经验证，此时x ＝1为极大值点，满足要求，故1a =；（2）()()()222221212212()ax a x ax x a f x a x x x x −++−−+'=−+==，当0a ≤时，10ax 恒成立，令()()212()0ax x f x x −−'=>得：02x <<，令()()212()0ax x f x x −−'=<得：2x >，故()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当102a <<时，12a >，故令()()212()0ax x f x x −−'=>得：02x <<或1x a >，令()()212()0ax x f x x −−'=<得：12x a<<，故()f x 的单调递增区间为()0,2，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()222()02x f x x−'=≥恒成立，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当12a >时，102a <<，令()()212()0ax x f x x −−'=>得：10x a <<或2x >，令()()212()0ax x f x x −−'=<得：12x a<<，故()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当12a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；17．(1)单调递增区间是(],1−∞−,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3− (2)最大值()01f =,最小值()38f =−【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】（1）()()()22313f x x x x x '=−−=+−，当()0f x '≥，解得：3x ≥或1x ≤−，所以函数的单调递增区间是(],1−∞−,[)3,+∞，当()0f x '<，解得：13x −<<，所以函数的单调递减区间是()1,3−，所以函数的单调递增区间是(],1−∞−,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3−；（2）由（1）可得下表所以函数的最大值是，函数的最小值是 18．(1)10x y −−=(2)曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点只有一个，证明见解析 (3)实数a 的取值范围是[)0,∞+【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点坐标与切线斜率即可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）构造函数()ln 1xh x x x=−+，,()0x ∈+∞，确定函数()h x 的单调性与取值情况，从而可得()0h x =的根的个数，即可得曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点个数；（3）直线2y ax =+定点()0,2作曲线()y f x =的切线，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，通过导数的几何意义结合函数单调性与取值情况无法解出0x ,则直线2y ax =+不与曲线()y f x =相切，结合曲线()y f x =的图象分析直线2y ax =+与其交点情况即可求得实数a 的取值范围．【详解】（1）解：函数()ln x f x x =的定义域是(0,)+∞，所以()21ln xf x x −'=，则()10f =，()11f '=，∴切线方程是：0(1)y x −=−，故切线方程为：10x y −−=；（2）解：曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点只有一个，理由如下：设()ln 1x h x x x =−+，,()0x ∈+∞，则()2221ln 1ln 1x x xh x x x−−−'=−= 令()21ln g x x x =−−，则()120g x x x'=−−<恒成立，所以()h x '在,()0x ∈+∞上单调递减，又()221ln11101h '−−==，所以(0,1)x ∈，()0h x '>，函数()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，函数()h x 单调递减；则()()max ln111101h x h ==−+=，故()0h x =，有且只有一个根1x =，即()1f x x =−有且只有一个根1x =，故曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点只有一个.（3）解：若对于任意()0,x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，则ln 2xax x<+ 又直线2y ax =+过定点()0,2，则过点()0,2作曲线()y f x =的切线，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则斜率()00201ln x k f x x −='=，则切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x −−=−，将()0,2代入得：()00000200ln 1ln 22ln 210x x x x x x x −−=−⇒−−=，设()2ln 21m x x x =−−，()0,x ∈+∞，则()22220xm x x x−=−=='，得1x =，所以当()0,1x ∈，()0m x '>，()m x 单调递增，当()1,x ∈+∞，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()max 12ln121130m x m ==−⨯−=−<，所以关于0x 的方程002ln 210x x −−=无解，则说明过点()0,2的切线不存在，则直线2y ax =+不与曲线()y f x =相切，又函数()ln xf x x =的定义域是(0,)+∞，所以()21ln 0x f x x−'==，得e x =，所以当()0,e x ∈，0f x，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()max ln e 1e e ef x f ===，又()0f x =时，1x =，且(),0x f x ∞→+→，则可得()f x 的大致图象如下：根据上述结论结合函数图象可知当0a ≥时，直线2y ax =+与曲线()y f x =无交点，当0a <时，直线2y ax =+与曲线()y f x =总有交点，从而要使对于任意()0,x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，实数a 的取值范围是[)0,∞+.。

高二数学导数计算试题答案及解析

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3，则f′（2）等于（）. A．﹣8B．﹣12C．8D．12【答案】B.【解析】，；令，则，得.【考点】导数的计算.3.已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．＝，∴b≥.设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)＝f(2)＝2＋c，max∴2＋c＜c 2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).【考点】1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.4.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．5.为实数，(1)求导数；(2)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴ (2) 最大值为最小值为【解析】⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由结合(1)的结果可求出a值，从而获得的具体解析式，进而获得导数，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出在[－2，2] 上的最大值和最小值.试题解析：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x="-1" ,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为【考点】1.函数求导;2.函数的最值.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.【考点】函数的单调性与导数.7.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

期末专题02 导数及其应用大题综合(精选30题)(解析版)-备战期末高二数学

期末专题02导数及其应用大题综合（精选30题）1．（22-23高二下·江西·期末）已知函数()()2ln 21f x x x f x '=+.(1)求()1f '的值；(2)求()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程.【答案】(1)2-(2)222e 0x y --=【分析】（1）求出函数的导函数，再代入1x =计算可得；（2）由（1）可得()2ln 4f x x x x =-，求出()2e f ，()2e f '，再由点斜式求出切线方程.【详解】（1）因为()()2ln 21f x x x f x '=+，所以()2ln 22(1)f x x f ''=++，代入1x =得：()()()12ln1221221f f f '''=++=+，所以()12f '=-.（2）由（1）可得()2ln 4f x x x x =-，则()2ln 2f x x '=-所以()22222e ln e 4e 0e f =-=，()222ln e 22f =-=，所以切线方程为202(e )y x -=-，即222e 0x y --=.2．（22-23高二下·安徽亳州·期末）设函数()3e ax bf x x x +=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a b ，的值；(2)设函数()()g x f x '=，求()g x 的极值点；【答案】(1)1,1a b =-=(2)()g x 的极大值点为0和33【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义列式求解作答.（2）利用（1）的结论求出()g x ，再利用导数求出极值点作答.【详解】（1）函数3R ()e ,ax b f x x x x +=-∈，求导得()()2313e ax bf x a x x ++'=-，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+，于是(1)110f =-+=，(1)1f '=-，则()311e 013e 1a ba ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以1,1a b =-=.（2）由（1）得()()()23113e x f x x g x x -+='-=-，求导得()()1266e x x g x x x -+'+-=-，令2660x x -+=，解得3x =±1e 0x -+>成立，由()0g x '<，得03x <<3x >+，函数()g x 递减；由()0g x '>，得0x <或33x <<，函数()g x 递增，所以()g x 的极大值点为0和33.3．（22-23高二下·安徽合肥·期末）函数()e ln x f x x =-，()f x '是()f x 的导函数：(1)求()f x '的单调区间；(2)证明：()2f x >．【答案】(1)()f x '单调递增区间为()0,∞+，无递减区间(2)证明见解析【分析】（1）对()()g x f x '=求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间；（2）由（1）知()f x '单调递增区间为()0,∞+，然后根据零点存在性定理可得存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0xf x x '=-=，从而可求得()f x 的单调区间和最小值，进而可证得结论.【详解】（1）由()e ln x f x x =-，得()()1e 0xf x x x '=->，令()()()1e 0xg x f x x x '==->，则()210x g x x'=+>e 恒成立，所以()f x '单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；（2）由（1）知()()1e 0xf x x x'=->，()f x '单调递增区间为()0,∞+，因为121e 202f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f '=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0xf x x '=-=，所以当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在区间()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000min 01e 2ln x f x f x x x x ==-=+≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以等号取不到，所以()2f x >，得证．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和最值，第（2）问解题的关键是根据函数的单调性结合零点存在性定理可求得函数的最值，考查数学转化思想，属于中档题.4．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知函数32()f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数()y f x =在区间()2,2-上的单调性．【答案】(1)1a =-；1b =(2)在12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()1,2上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.【详解】（1）令0x =，由1y x =-+，则()10y f ==，由()32f x x x ax b =-++，可得(0)1==f b ．又2()32f x x x a '=-+，所以(0)1f a '==-.（2）由（1）可知32()1f x x x x =--+，()()2()321311f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>，解得13x <-或1x >；令()0f x '<，解得113-<<x ，所以()f x 在1(2,)3--和(1，2)上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．5．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知函数()sin 2()f x x ax a =--∈R ．(1)当12a =时，讨论()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性；(2)若当0x ≥时，()e cos 0xf x x ++≥，求a 的取值范围．【答案】(1)()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减(2)(,2]-∞【分析】（1）求导，由导数正负即可求解（2）利用导数求证e 1x x ≥+和sin x x ≥，即可结合零点存在性定理求解.【详解】（1）当12a =时，1()sin 22f x x x =--，1()cos 2f x x '=-，当ππ32x <≤时，()0f x '<；当π03x ≤≤时，()0f x '≥．所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.（2）设()e sin cos 2x h x x x ax =++--，由题意知当0x ≥时，()0h x ≥．求导得()e cos sin x h x x x a '=+--．设()e cos sin x x x x a ϕ=+--，则()e sin cos x x x ϕ=--，令e 1x y x =--，则e 1x y '=-，当0,0,x y '>>当0,0,x y '<<故函数e 1x y x =--在()0,∞+单调递增，在(),0∞-单调递减，所以e 1x x ≥+；令()sin m x x x =-，可得()1cos 0m x x '=-≥，故()m x 在0x ≥单调递增时，sin x x ≥．所以当0x ≥时，()e sin cos 1cos 1cos 0x x x x x x x x ϕ'=--≥+--=-≥．故()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，min ()(0)2x a ϕϕ==-，且当x →+∞时，()x ϕ→+∞．若2a ≤，则()()0h x x ϕ'=≥，函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，因此[0,)x ∀∈+∞，()(0)0h x h ≥=，符合条件．若2a >，则存在0[0,)x ∈+∞，使得()00x ϕ=，即()00h x '=，当00x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()00,x 上单调递减，此时()(0)0h x h <=，不符合条件．综上，实数a 的取值范围是(,2]-∞．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．6．（22-23高二下·吉林白城·期末）已知函数()e xf x ax =+在()()0,0f 处的切线与直线l ：240x y -+=垂直．(1)求()f x 的单调区间；(2)若对任意实数x ，()232f x x b ≥--+恒成立，求整数b 的最大值．【答案】(1)单调递减区间为(),ln 3-∞，单调递增区间为()ln 3,+∞．(2)1【分析】（1）利用导数的几何意义得出3a =-，再利用导数判断单调区间即可；（2）分离参数将问题转化为2e 332x x b ++≥恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由()e xf x a '=+，得()01k f a '==+，又切线与直线l ：240x y -+=垂直，所以2k =-，即3a =-．所以()e 3xf x '=-，令()0f x '=，得ln3x =，当ln3x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln3x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以()f x 的单调递减区间为(),ln 3-∞，单调递增区间为()ln 3,+∞．（2）对任意实数x ，()232f x x b ≥--+恒成立，即对任意实数2,e 332x x x x b +-+≥恒成立．设()2e 33x g x x x =+-+，即()min 12b g x ≤．()e 23x g x x =+-'，令()()e 23x h x g x x '==+-，所以()e 20'=+>xh x 恒成立，所以()e 23x g x x =+-'在R 上单调递增．又1202g ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()1e 10g '=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即00e 230xx +-=，所以00e 32xx =-．当()0,x x ∈-∞时，()00g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()00g x '>，()g x 单调递增．所以()()02000min e 33x g x g x x x ==+-+2220000005132335624x x x x x x ⎛⎫=-+-+=-+=-- ⎪⎝⎭，当01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，200152564x x <-+<，所以()01151,28g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题意知()012b g x ≤且b ∈Z所以1b ≤，即整数b 的最大值为1．7．（22-23高二下·福建福州·期末）已知函数2()2ln f x a x x a =-+，R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明:()*11112ln 1(2341)n n n +>++++∈+N ．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()222x af x x-+='，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，结合导数的符号，进而求得函数()f x 的单调区间；（2）由（1），根据题意，得到()()max10f x f ==，即22ln 1x x ≤-，当n ∈*N 时，结合22ln 111n n n n ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，2112ln 1n n n n --⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，L ，2112ln 122⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将不等式累加后，即可求解.【详解】（1）解：由函数2()2ln f x a x x a =-+，可得()f x 的定义域为(0,)+∞，且()22222a x a f x x x x-='+=-若0a ≤，可得()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；若0a >，令()0f x '=，因为0x >，可得x =当(x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，综上可得：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x的递增区间为(，递减区间为)+∞.（2）证明：由（1）知，当1a =时，()f x 的递增区间为()01,，递减区间为()1,+∞，所以()()max 10f x f ==，所以()0f x ≤，即22ln 1x x ≤-，当n ∈*N 时，可得：2222ln 111112ln 1112ln 122n n n n n n n n ⎧⎛⎫⎛⎫<-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪⎪--⎛⎫⎛⎫⎪<-⎪ ⎪ ⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪<- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，将不等式累加后，可得222111112ln 11212n n n n n n n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-<+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111212n n n n⎫=-+-++--=-++⎪+⎝⎭ ，即()11112ln 12341n n +>+++++ .8．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知函数()ln x f x a x a=-，()e xg x ax a =-．（e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数）(1)当1a =时，求函数()y f x =的极大值；(2)已知1x ，()20,x ∈+∞，且满足()()12f x g x >，求证：21e 2xx a a +>．【答案】(1)1-(2)证明见解析【分析】（1）运用导数研究()f x 的单调性，进而求得其最大值.（2）同构函数()ln h x x x =-，转化为()21e x x h h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，结合换元法2112,e xx t t a ==，分别讨论11t ≥与101t <<，当11t ≥时运用不等式性质即可证得结果，当101t <<时运用极值点偏移即可证得结果.【详解】（1）当1a =时，()ln f x x x =-，定义域为()0,∞+，则()111xf x x x-'=-=，()001f x x '>⇒<<，()01f x x '<⇒>，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 的极大值为()11f =-；（2）由题意知，0a >，由()()12f x g x >可得2112ln e x x a x ax a a->-，所以2211lnln e e x x x x a a->-，令()ln h x x x =-，由（1）可知，()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()21e xx h h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令11x t a=，22e xt =，又1>0x ，20x >，所以10t >，21t >，则()()12h t h t >，①若11t ≥，则122t t +>，即21e 2x x a+>，所以21e 2x x a a +>；②若101t <<，设()31,t ∈+∞，且满足()()31h t h t =，如图所示，则()()()312h t h t h t =>，所以321t t <<，下证：312t t +>．令()()()()2ln ln 222F x h x h x x x x =--=---+，()0,1x ∈，则()()()221112022x F x x x x x -'=+-=>--，所以()()()2F x h x h x x =--在()0,1x ∈上单调递增，所以()()10F x f <=，所以()()()11120F t h t h t =--<，即()()112h t h t <-，又因为()()31h t h t =，所以()()312h t h t <-，3t ，()121,t -∈+∞，所以312t t >-，即312t t +>，又因为321t t <<，所以122t t +>，即21e 2xx a a +>．由①②可知，21e 2xx a a +>得证.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；2.若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠满足2()()1f x f x =，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；3.若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠，令1202x x x +=，求证：()00f x '>；4.若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠满足2()()1f x f x =，令1202x x x +=，求证：()00f x '>.9．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数()ln 1f x a x ax =-+（a ∈R ，且0a ≠）.(1)讨论a 的值，求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++> .【答案】(1)见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数导数，分0,0a a ><分类讨论即可得解；（2）当1a =时利用函数单调性可得ln 1≤-x x ，放缩可得()110ln 1x x x >>-，根据裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由()ln 1f x a x ax =-+知函数定义域为(0,)+∞，()()1a x af x a x x-'=-=，①当0a >时，若01x <<，则()0f x '>，若1x >，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；②当a<0时，若01x <<，则()0f x '<，若1x >，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.（2）令1a =，则()ln 1f x x x =-+，所以(1)0f =，由（1）可知()f x 在[1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f ≤=，（当1x =时取等号)，所以()ln 10f x x x =-+≤，即ln 1≤-x x ，当2x ≥时，0ln 1(1)x x x x <<-<-，即0ln 1)(x x x <<-，即()110ln 1x x x >>-令x n =，则()1111ln 11n n n n n>=---，所以11111111111ln 2ln 3ln 1223341n n n +++>-+-+-++-- 111n n n-=-=，故当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++> .【点睛】关键点点睛：1a =时，利用函数单调性得出ln 1≤-x x ，当2x ≥时，放缩得出0ln 1)(x x x <<-，变形得出()110ln 1x x x >>-是解题的关键，再由裂项相消法及不等式的性质即可得解.10．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数()1ln 2f x a x x x=--，a ∈R .(1)当1a =时，判断()f x 的零点个数；(2)若()1e 2e xf x x x+++≥恒成立，求实数a 的值.【答案】(1)()f x 的零点个数为0(2)a e=-【分析】（1）求导得函数的单调性，即可由单调性求解最值，进而可判断，（2）将问题转化为e ln e x a x +≥，构造函数()e ln x F x a x =+和()e xg x x a =+，()0,x ∈+∞，利用导数求解函数的单调性，分类讨论并结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）当1a =时，()()1ln 20f x x x x x=-->，则()()()2222222111121212x x x x x x f x x x x x x +--++--=+-==-=-'，当()0,1x ∈，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞，()0f x '<，函数()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11230f x f ==--=-<，所以()f x 的零点个数为0.（2）不等式()1e 2e xf x x x+++≥，即为e ln e x a x +≥，设()e ln xF x a x =+，()0,x ∈+∞，则()e e x x a x aF x x x+=+='，设()e xg x x a =+，()0,x ∈+∞，当0a ≥时，()0g x >，可得()0F x '>，则()F x 单调递增，此时当()1,1e,x F ==而当01x <<时，()e F x <，故不满足题意；当0a <时，由()()1e 0xg x x '=+>，()g x 单调递增，当x 无限趋近0时，()g x 无限趋近于负数a ，当x 无限趋近正无穷大时，()g x 无限趋近于正无穷大，故()0g x =有唯一的零点0x ，即00e 0xx a +=，则00e x ax =-，()00ln ln x x a +=-，当()00,x x ∈时，()0g x <，可得()0F x '<，()F x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，可得()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()()0000min 0e ln ln x aF x F x a x a a x x ⎡⎤==+=-+--⎣⎦()()00001ln ln a a a ax a a a x x x ⎛⎫=---=--+ ⎪⎝⎭，因为00x >，可得0012x x +≥，当且仅当01x =时，等号成立，所以()()001ln ln 2a a a x a a ax ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭因为()e F x ≥恒成立，即()ln 2e a a a --≥恒成立，令()()ln 2h a a a a =--，(),0a ∈-∞，可得()()()ln 12ln 1h a a a =-='-+--，当(),e a ∈-∞-时，()0h a '>，()h a 单调递增；当()e,0a ∈-时，()0h a '<，()h a 单调递减，所以()()e e h a h ≤-=，即()e h a ≤又由()e h a ≥恒成立，则()()ln 2e h a a a a =--=，所以a e =-.【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．11．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知函数()ln f x x x =.(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若方程()21f x x =-的两个解为1x 、2x ，求证：122e x x +>.【答案】(1)减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值；(2)证明见解析【分析】（1）求出函数()f x 的定义域与导数，利用函数的单调性、极值与导数的关系可得出结果；（2）设()()21h x f x x =-+，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，分析可知120e x x <<<，要证122e x x +>，即证()()112e h x h x >-，构造函数()()()2e p x h x h x =--，其中0e x <<，利用导数分析函数()p x 在()0,e 上的单调性，证明出()0p x >对任意的()0,e x ∈恒成立，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，且()ln 1f x x '=+，令()0f x '=可得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+()f x 减极小值增所以，函数()f x 的减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）解：设()()21ln 21h x f x x x x x =-+=-+，其中0x >，则()ln 1h x x '=-，令()0h x '<，可得0e x <<，此时，函数()h x 在()0,e 上单调递减，令()0h x '>，可得e x >，此时，函数()h x 在()e,+∞上单调递增，所以，e x =是函数()h x 的极小值点，因为函数()h x 有两个零点1x 、2x ，设12x x <，则120e x x <<<，即()()120h x h x ==且120e x x <<<，要证122e x x +>，即证21e 2e x x >->，因为函数()h x 在()e,+∞上单调递增，所以，只需证明：()()212e h x h x >-，即证()()112e h x h x >-，令()()()()()2e ln 2e ln 2e 44e p x h x h x x x x x x =--=----+，其中0e x <<，则()()()2ln ln 2e 2ln 2e 2p x x x x x '=+--=--，因为0e x <<，则()()22222e e e 0,e x x x -=--+∈，所以，()()22ln 2e 2ln e 20p x x x '=--<-=，故函数()p x 在()0,e 上为减函数，又因为()e 0p =，所以，()0p x >对任意的()0,e x ∈恒成立，则()()()1112e 0p x h x h x =-->，即()()112e h x h x >-，故122e x x <+成立.【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()2f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3121212ln ln 2x x x xx x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.12．（22-23高二下·湖南·期末）已知函数()()2e 3xf x a x a =-+∈R .(1)若方程()0f x =有3个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()()224x x x f x ϕ=-++-有两个零点()1212,x x x x <，求证：0ea <<2121e e x x x x --<+.【答案】(1)36(0,e(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为y a =与()23e xx g x -=有三个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的性质，从而结合图象即可求得实数a 的范围；（2）利用导数求得函数()x ϕ的单调性，再利用零点存在定理证得0a <2121221e 1ex x x x x x ++-<+，构造函数()e 2e 1t h t t =--，利用导数证得()()00H t H >=即可得证.【详解】（1）解：令()0f x =，即得2e 30xa x -+=，即23ex x a -=方程有三个零点，即直线y a =与曲线()23ex x g x -=有三个不同的交点，可得()()()22132323e e e x x xx x x x x x g x +--+--==-=-'，所以当(),1x ∈-∞-或()3,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,3x ∈-时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当=1x -时，()g x 有极小值为()2e g x =-，当3x =时，()g x 有极大值为()36e g x =，当x →+∞时，()0g x →，且当x ≥()0g x >，所以作出函数()23e xx g x -=的图象如图所示，所以数形结合可知360e a <<，即实数a 的取值范围为36(0,)e.（2）解：因为()()22421e xx x x f x x a ϕ=-++-=+-，当0a ≤时，()x ϕ单调递增，不可能有两个零点，所以0a >，此时()2e xx a ϕ=-'，令()0x ϕ'=，得2lnx a =，所以当2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>；当2ln ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在区间2,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间2ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以222ln 2ln 122ln 1a a a ϕ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，若()x ϕ有两个零点，则2ln 0a ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭21ln 2a >，所以0ea <<，当0a <<时，2ln 0a ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，121e 02a ϕ-⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，211ln 22a >>-，故存在112,ln 2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又当x 趋向于+∞时，()x ϕ趋向于-∞，故存在22ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，故0a <<，则满足121221e 21ex x x a x a ⎧+=⎨+=⎩，可得212121e 21x x x x -+=+212e x x -=，2121e e x x x x --<+，只需证2121221e e e x x x x x x ---<+，两边同乘以1e x ，可得2121221e 1ex x x x x x ++-<+，因为112x >-，221ln 2x a >>，所以120x x +>，令1202x x t +=>，即证2e 1e 2t tt-<，即证2e 2e 10t t t -->，令()2e 2e 1(0)t t h t t t =-->，可得()()()22e 21e 2e e 1t t t th t t t =-+=--'，令()()e 10t H t t t =-->，()e 10tH t =->'，故()H t 在区间()0,∞+上单调递增，故()()00H t H >=，因此()0h t '>，所以()h t 在区间()0,∞+上单调递增，故()()00h t h >=，因此原不等式成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．13．（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知函数2()ln f x x x x =-+．(1)证明()0f x ≤；(2)关于x 的不等式222ln 0ee x axx xx ax x -+-+≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)[1,)+∞【分析】（1）根据题意，求得并化简得到(21)(1)()x x f x x+-'=-，得出函数()f x 的单调区间，结合()()1≤f x f ，即可可证；（2）根据题意把不等式转化为22ln 2ln e 2ln e ln x ax x x x ax x x --+≤-+-，根据()e x g x x =+为增函数，转化为2ln x x a x +≥恒成立，令2ln ()x x h x x +=，求得312ln ()x xh x x --'=，得出函数()h x 的单调区间和最大值(1)1h =，即可求解.【详解】（1）由函数2()ln f x x x x =-+，可得1(21)(1)()21x x f x x x x'+-=-+=-，令()0f x '>，可得01x <<；令()0f x '<，可得1x >，所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10f x f ≤=，即()0f x ≤．（2）由不等式222ln 0e ex axx x x ax x -+-+≤，可得22ln 2ln e 2ln e ln x ax x x x ax x x --+≤-+-，因为()e x g x x =+为增函数，则22ln ln x ax x x ≤--，即2ln x xa x +≥在(0,)+∞恒成立，令2ln ()x x h x x +=，可得312ln ()x xh x x --'=，再令()12ln m x x x =--，可得()210m x x'=--<，所以()m x 单调递减，又因为()10m =，所以当()0,1x ∈时，()0m x >，()0h x '>，函数()h x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0m x <，()0h x '<，函数()h x 在()1,+∞上单调递减，即()h x 在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()h x 最大值为(1)1h =，所以实数a 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．14．（22-23高二下·福建莆田·期末）已知函数()2ln f x ax x =--，其中a ∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且213x x ≥，求12x x 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)49e 【分析】（1）求出函数的导函数，再分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性；（2）依题意可得11222ln 02ln 0ax x ax x --=⎧⎨--=⎩，即可得到12121212ln ln ln ln 4x x x x a x x x x -++==-+，从而得到()121121221ln 4ln 1x x x x x x x x ++=-，令12x t x =，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()1ln 1t g t t t +=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数求出()g t 的最小值，即可求出12x x 的最小值.【详解】（1）()2ln f x ax x =--定义域为()0,∞+，且()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可得：当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为()()120f x f x ==，所以11222ln 02ln 0ax x ax x --=⎧⎨--=⎩，所以()1212ln ln a x x x x -=-，()1212ln ln 4a x x x +=++，所以12121212ln ln ln ln 4x x x x a x x x x -++==-+，所以()112121121122221ln 4ln ln 1x x x x x xx x x x x x x x +++==--，令12xt x =，因为213x x ≥，所以1213x x ≤，即103t <≤，所以()121ln 4ln 1t x x t t ++=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()1ln 1t g t t t +=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎝⎦，则()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t tt t g t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，令()12ln h t t t t=--，()0,1t ∈，则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以()h t 在()0,1上单调递增，又()10h =，所以()0h t <，即()0g t '<，所以()g t 在10,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()12ln 33g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()12ln 42ln 3x x +≥，即2ln 3412e x x -≥，即1249e x x ≥，当且仅当2112439e x x x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1223e x x ==时等号成立，所以12x x 的最小值为49e .【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．15．（22-23高二下·贵州黔东南·期末）已知函数()ln ,R f x ax x a =-∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，设()()()21x g x f x -=，求证：函数()g x 存在极大值点0x ，且()0222e 3g x <<.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可判断函数单调性；（2）求出函数()()()21x g x f x -=的导数，由此构造函数，利用导数判断其单调性，确定函数()g x 的极值点0x ，并判断其范围，进而化简()0g x 的表达式，即可证明结论.【详解】（1）由函数()ln ,R f x ax x a =-∈的定义域为(0,)+∞，则()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，当10x a<<时，()0f x '<，则()f x 在1(0,a 上单调递减；当1x a>时，()0f x ¢>，则()f x 在1(,)a +∞上单调递增；故当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在1(0,a上单调递减，在1(,)a +∞上单调递增；（2）当1a =时，由（1）可知()ln f x x x =-，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)1f x f ≥=；故当1a =时，()()()()2211ln x x g x f x x x--==-，则()()()()2221121(ln )1(1)1(2ln 2)(ln )(ln )x x x x x x x x x g x x x x x -------+-'==--，令1()2ln 2,(0)h x x x x x =-+->，则222222121(1)()10x x x h x x x x x -+-'=-+==≥，仅当1x =时等号成立，故1()2ln 2h x x x x=-+-在(0,)+∞上单调递增，且2211()2ln 310,(e )6e 033h h -=+->=-<，即存在唯一201(e ,3x -∈，使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <；当01x x <<时，()0h x >；则当00x x <<时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在0(0,)x 单调递增，在0(),1x 单调递减，在(1,)+∞单调递增，故函数()g x 存在极大值点，即为0x ；由0()0h x =，即00012ln 20x x x -+-=，故()()()()()()222200000020000000111211111ln 1(2)1222x x x x x g x x x x x x x x x ----====---+--+，由于201(e ,)3x -∈，故()002g x x =，且2022(2e ,3x -∈，即()0222e 3g x <<.【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用问题，涉及到判断函数的单调性以及函数极值问题，解答的难点在于第二问证明不等式()0222e 3g x <<，解答时要注意零点问题的解决，并判断零点201(e ,)3x -∈.16．（22-23高二下·江苏镇江·期末）已知函数()3f x x ax =-.(1)当1a =-时，求函数在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 存在不同的极值点12,x x ，且以()()()()1122,,,A x f x C x f x 为对角线的正方形ABCD 的四顶点A B C D ､､､都在函数()y f x =的图像上，求2a 的值.【答案】(1)420x y --=(2)2278a +=【分析】（1）把1a =-代入函数解析式，可求切点坐标，利用导数求切线斜率，可求函数在点()()1,1f 处的切线方程；（2）利用导数求出极值点，得,A C 两点坐标，由AC 的中点为原点O ，ABCD 为正方形，可求D 点坐标，代入在函数()f x 中，可求出2a 的值.【详解】（1）当1a =-时，()3f x x x +，()12f =，故切点坐标为()1,2，()231f x x ='+，故切点处切线的斜率为()14f '=，切线方程为()241y x -=-，即420x y --=.（2）函数()3f x x ax =-，定义域为R ，()23f x x a '=-，()f x 存在不同的极值点12,x x ，则有0a >，()0f x ¢>，解得x <x >；()0f x '<，解得x <则()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减，得x =x则有2,23,,939A a C ⎛⎛- ⎪ ⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭，AC 的中点为原点O ，正方形ABCD ，过C 作CC '垂直于x 轴，过D 作DD '垂直于y 轴，垂足分别为,C D ''，则有OCC ODD ''≅ ，所以D ⎫⎪⎪⎝⎭，D 点在函数()y f x =的图像上，则有f ⎝⎭即322993a ⎛⎛-= ⎝⎭⎝⎭，化简得42854810a a --=，解得2278a +=.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值()最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．17．（22-23高二下·辽宁大连·期末）已知函数()()2cos ln 11f x x x =++-．(1)判断函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若0x ≥时，不等式()1f x ax <+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点和一个零点，证明见解析(2)实数a 的取值范围是[)1,+∞【分析】（1）首先求函数的导数，并利用二阶导数判断导数的单调性，并结合零点存在性定理证明极值点个数，并结合函数单调性，以及端点值判断函数零点个数；（2）首先由不等式构造函数()()2cos ln 12g x x x ax =++--，()0x >，并求函数的导数，根据()00g =，以及()01g a '=-，分1a ≥，01a ≤<，a<0三种情况讨论不等式恒成立的条件.【详解】（1）函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点和一个零点，证明如下，()12sin 1f x x x '=-++，设()()12sin 1t x f x x x '==-++，()()212cos 1t x x x '=--+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，所以()f x '单调递减，又()010f '=>，π12220π2π212f ⎛⎫'=-+=-+< ⎪+⎝⎭+，所以存在唯一的π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=，所以当()0,x α∈时，()0f x ¢>，当π,2x α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在()0,α单调递增，在π,2α⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以α是()f x 的一个极大值点，因为()02110f =-=>，()()0f f α>>，ππln 11022f ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,α无零点，在π,2α⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，所以函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点和一个零点；（2）由()1f x ax ≤+，得()2cos ln 120x x ax ++--≤，令()()2cos ln 12g x x x ax =++--，()0x >，则()00g =，()12sin 1g x x a x'=-+-+，()01g a '=-，①若1a ≥，则1a -≤-，当0x ≥时，ax x -≤-，令()()ln 1h x x x =+-，则()1111x h x x x -'=-=++，当0x ≥时，()0h x '≤，所以()h x 在[)0,∞+上单调递减，又()00h =，所以()()0h x h ≤，所以()ln 10x x +-≤，即()ln 1xx ≤+又cos 1≤x ，所以()220g x x x ≤+--=，即当0x ≥时，()1f x ax ≤+恒成立，②若01a ≤<，因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x '单调递减，且()010a g =->'，π120π212g a ⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，当()0,x ∈β时，()0g x '>，()g x 在()0,β上单调递增，不满足()0g x ≤恒成立，③若a<0，因为()()()()()()444444e 12cos e 1ln e e 1222cos e 1e 10g a a -=-+---=---->不满足()0g x ≤恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数零点，不等式恒成立问题，本题第一问需要求函数的二阶导数，利用二阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，第二问的关键是()00g =这个条件，再根据()01g a '=-，讨论a 的取值.18．（22-23高二下·福建龙岩·期末）已知函数()ln f x ax x =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)已知()()g x xf x b =+，且12,x x 是()g x 的两个零点，12x x <，证明：()()211211x ax b x ax -<<-．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可；（2）根据12,x x 是()g x 的两个零点可得()12211221ln ln x x x x b ax x x x -=--，再将所证不等式转化为1222111ln 1x x x x x x -<<-，进而令211xt x =>，再构造函数求导分析单调性证明即可.【详解】（1）()11(0)ax f x a x x x-='-=>，①若0a ≤，则()0f x '<，即()f x 在()0,∞+单调递减，②若0a >，令()0f x ¢>，有1x a >，令()0f x '<，有10x a <<，即()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，综上：0a ≤，()f x 在()0,∞+单调递减，若0a >，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）()()2ln ln g x x ax x b ax x x b =-+=-+，令()0g x =得：2ln 0ax x x b -+=，因为0x >，ln 0bax x x -+=，因为12,x x 是()g x 的两个零点，所以，112212ln 0,ln 0b bax x ax x x x -+=-+=，所以()12211211ln ln 0a x x x x b x x ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭，()12211221ln ln x x x x b ax x x x -=--，要证明()()211211x ax b x ax -<<-，只需证122121ax x x b ax x x -<<-，即证明21212121ln ln x x x x x x x x --<-<--变形为1222111ln 1x x x x x x -<<-，令211xt x =>，则证明11ln 1t t t-<<-，设()()1ln 11h t t t t ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()210t h t t -'=>，()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，即1ln 1t t>-，设()()ln 1u t t t =--，()10tu t t-'=<，()u t 在()1,+∞单调递减，所以，()()10u t u <=，即，ln 1t t <-，综上：()()211211x ax b x ax -<<-．19．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知函数()21ln e 2f x x x x x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)令()()()212e 12eg x f x x a x =++++，若不等式()0g x ≥恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2-【分析】（1）求得()ln e f x x x =+'，令()()h x f x ='，得到()0h x '>，结合10e f '⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得函数()f x 的单调区间；（2）求得()ln 12e g x x x a =+++'，令()()x g x ϕ'=，求得()0x ϕ'>，得到()g x '在()0,x ∈+∞上单调递增，结合()()2e0a g -+'<，()e 0a g -'>，得出存在()()20e ,e aa x -+-∈，使得()000ln 12e 0g x x x a '=+++=，进而得出函数的单调性，结合不等式()0g x ≥恒成立等价于()min 0()0g x g x =≥，得到010ex <≤，得到00ln 2e 12a x x -=++≤，即可求解.【详解】（1）解：函数()21ln e 2f x x x x x =+-的定义域为()0,∞+，可得()ln e f x x x =+'，令()()h x f x ='，则()1e 0h x x=+>'，所以()h x 单调递增，即()f x '单调递增.又因为1110e f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭'，所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）解：由题意知()22ln e eg x x x x ax =+++，可得()ln 12e g x x x a =+++'，令()()x g x ϕ'=，可得()12e 0x xϕ+'=>，所以()x ϕ在()0,x ∈+∞上单调递增，即()g x '在()0,x ∈+∞上单调递增，又由()()()()2222e e212e e 10ea aa g a a -+-++=-+++⋅+≤-+<'，()e 12e e 0a a g a a --=-++⋅+>'，。

高二数学导数的运算

y f ( x x) g( x x) f (x) g (x)
f ( x x) g( x) f ( x x) g( x).
y f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x) . x x x
t 2 1 试一试:求函数s(t ) 的导数. t
t 2 1 试一试:求函数s(t ) 的导数. t 2 2 2 ' t 1 ( t 1) 't ( t 1)t' 解 : s' (t ) 2 t t 2t t t 2 1 t 2 1 2 2 t t 你还能用其他法则求导吗?
导数的运算
求下列函数的导数，并说明所用的公式： 3 y0
y' 0 • （1）
• （3）
f ( x) sin x
x
yx 2 y 3x （2） Nhomakorabeaf ( x) cos x
• （5） f ( x) cos x
f '( x) sin x • （7）
ye y ' ex
y ln x 1 y' （6） 1 x f ( x)
f ( x) log2 x 1 f ( x) （4） x ln 2
2x 1 1 f） '( x) x ln （8 2 2
复习：常见函数的导数
(1)( x ) x
x ' x
'
'
1
(为常数）
( 2 )( a ) a lna(a 0, 且 a 1)
1 1 ( 3)( log a x ) log a e (a 0, 且a 1) x xlna 1 ' x ' x (5)(lnx) ( 4 )( e ) e x

高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案

导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】－12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13．【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________．【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (e ，e)解析令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案－3解析由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。

高二数学导数模块知识点总结(3篇)

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业

导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1．导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近．（5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1．用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；（3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率．（2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立；（3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线．求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=．（1）求曲线过点()10A ，的切线方程；（2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。

高二数学导数的运算法则

第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用人教 Aຫໍສະໝຸດ 版数学第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学

高二常用导数公式

高二常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。

用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。

在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。

由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。

高二数学导数知识点总结

高二数学导数知识点总结导数作为研究函数的重要工具，也是进一步学习高二数学的基础，因此同学们需要掌握导数的重要知识点。

下面店铺带来高二数学导数知识点，欢迎阅读!高二数学导数知识点1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数; (2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数; (3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x); ③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x 值不构成区间);(2) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(3) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。

2. 求函数的极值：设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：(4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。

3. 求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。