数学竞赛讲座2
初一数学竞赛讲座二
初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数一、知识要点1、 完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。
如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。
性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。
性质3 偶完全平方数是4的倍数。
性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。
性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。
2、 质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。
定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
3、 质数与合数的有关性质(1) 质数有无数多个(2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。
大于2的质数必为奇数。
(3) 若质数p ∣a •b ，则必有p ∣a 或p ∣b 。
(4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p.(5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,其中p 1<p 2<…<p k 是质数，a 1，a 2，…，a k 是正整数。
二、例题精讲例1 有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是解 设所求的四位数为m 2，它的百位数字为a ，则有m 2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)，所以11∣(2a+5)，由题意 a+3≤9，故a ≤6，从而a=3于是所求的四位数为4356例 2 一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。
小学六年级数学竞赛讲座第2讲高斯记号进阶
第二讲高斯记号进阶模块一、高斯记号求值：例1．和式S=5021305 [] 503nn =∑的值为。
解1：3051305502305503503⨯⨯+=，3052305501305503503⨯⨯+=，……，5021305305251503n n ==⨯∑ 所以5021305[]503n n =∑=5021305251503n n =-∑=304×251=76304. 解2：n =1时，3051[]0503⨯=；n =2时，3052[]1503⨯=；n =3时，3053[]1503⨯=；n =4时，3054[]2503⨯=； n =5时，3055[]3503⨯=；n =6时，3056[]3503⨯=；n =7时，3057[]4503⨯=；n =8时，3058[]4503⨯=； n =9时，3059[]5503⨯=；n =10时，30510[]6503⨯=；n =11时，30511[]6503⨯=；n =12时，30512[]7503⨯=； n =13时，30513[]7503⨯=；n =14，30514[]8503⨯=；n =15时，30515[]9503⨯=；n =16时，30516[]9503⨯=；…… 于是原式=0+(1+1+2+3+3)+(4+4+5+6+6)+(7+7+8+9+9)+……+(301+301+302+303+303)+304=10+25+40+……+1510+304=(101510)1003042+⨯+=76304.例2．计算：2101222[][][][]3333++++= 。
解：原式=0+0+1+2+5+10+21+42+85+170+341=677.解2：对于1、2、22、23、……、210，它们除以3的余数分别是1、2、1、2、……2、1， 所以直接算0121022223333++++，得到的数将偏大， 而前面11个余数中恰好组成5个3外加1个1， 于是0121022223333++++−153=1111(21)533⨯--=677. 例3．2000010010[]103+的值的个位数字为 。
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=则1,1x t =-再令1,1y t=-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；（2）对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合（1）、（2）。
数学竞赛讲座(2010-11-24)
模型的建立与求解
正文部分（计算需要附程序） 正文部分（计算需要附程序）
模型优缺点分析
优点： 优点： 目标明确，考虑较为周全， 目标明确，考虑较为周全，模型一分析了在病床无限制的情况下对于原 有挂号入院顺序的优化。模型二在模型一的基础上加入了病床不足的因素， 有挂号入院顺序的优化。模型二在模型一的基础上加入了病床不足的因素， 从而医院可对等待入院时间进行人性化调整， 从而医院可对等待入院时间进行人性化调整，而医生护士可自行对术后观察 时间进行人性化调配。模型三层层递进， 时间进行人性化调配。模型三层层递进，考虑到术后观察期内的病人与等待 入院病人间的时间差，以减少病人平均等待时间， 入院病人间的时间差，以减少病人平均等待时间，使得病床的利用率达到最 优化。问题五利用层次分析法解决涉及多因素的较现实问题。 优化。问题五利用层次分析法解决涉及多因素的较现实问题。 建立的数学模型都有相应的软件支持，推广容易。 建立的数学模型都有相应的软件支持，推广容易。利用各种数据处理软 VB、EXCEL、SAS进行严格模拟与求解 具有科学性。 进行严格模拟与求解， 件VB、EXCEL、SAS进行严格模拟与求解，具有科学性。 在数据分析上能做到统筹兼顾， 在数据分析上能做到统筹兼顾，同时利用所学的知识进行了筛选和加权 平均得到较具体较全面的相关联数据，使我们对问题的认识与解答较为深刻， 平均得到较具体较全面的相关联数据，使我们对问题的认识与解答较为深刻， 我们以此作为切入点，对数据中隐含的模型趋势进行客观化的预测， 我们以此作为切入点，对数据中隐含的模型趋势进行客观化的预测，得到尽 可能接近现实的结果。[13] 可能接近现实的结果。 缺点： 缺点： 在整个模型中，由于涉及较多客观因素， 在整个模型中，由于涉及较多客观因素，我们并没有考虑到病人流量随 季节的波动率等客观和主观因素，针对三个带有递进关系的模型， 季节的波动率等客观和主观因素，针对三个带有递进关系的模型，我们利用 软件分析得出的数据结果具有局限性，是在特定假设下建立的相关模型， 软件分析得出的数据结果具有局限性，是在特定假设下建立的相关模型，不 具有实际问题的一般性。 具有实际问题的一般性。 在社会中的随机性因素较多，造成门诊拥挤的原因， 在社会中的随机性因素较多，造成门诊拥挤的原因，除众所周知的资源 短缺和服务缺陷外， 短缺和服务缺陷外，很重要的内部原因是医患双方都无法预知就医过程中的 时间长短，使得该模型不能将其准确地反应出来。 时间长短，使得该模型不能将其准确地反应出来。[14]
余数与同余——数学竞赛系列讲座(2)
因 此 Ａ 可 能 是 ２ ４ １ 、８ ７ ． 、 、 ９ ３ 、 ６
经检 验 ， 有 Ａ 一 １ 只 ９符 合 题 意 ． 反思
方 法． 例 ３ 有 甲 、 、 ３个 人 ， 乙 丙 甲每 分 行 走 １ ０米 ， ２ 乙每 分 行 走 ｉ ０ ０ 米 ， 每 分 行 走 ７ 米 ， 果 ３个 人 同 时 、同 向 ， 同 地 出 发 ， 周 长 是 丙 ０ 如 从 沿 ３ ０米 的 圆 形 跑 道 上 行 走 ， 么 至 少 经 过 多 少 分 后 ３个 人 又 可 以 相 聚？ ０ 那
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余 数 与 同 余
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数学竞赛系列讲座（ ） ２
江 苏 省南 京市教 育局教 研 室 朱 建明
［ 本 知识 ］ 基
如 果 整 数 ａ除 以正 整 数 ｍ ， 为 ｑ 余 数 为 ｒ 则 ａ— ｑ ＋ ｒ 其 中 ｑ 商 ， ， ｍ ，
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
图论
图论问题一． 基本概念1．图的定义：由若干个不同的顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形叫做图。
用G 表示图，用V 表示所有顶点的集合，E 表示所有边的集合，并且记作G=（V ，E ）． 2．同构图：如果两个图G 与G '‘的顶点之间可以建立起一一对应，并且当且仅当G 的顶点v i 与v j 之间有k 条边相连时，G ’的相应顶点j i v v ''与之间也有k 条边相连，就认为G 与G '是相同的，称G 与G '是同构的图． 2．子图：如果对图G E E ,V V )E ,V (G )E ,V (G '⊆'⊆'''='=，则称有与是G 的子图．3．其它有关概念：（1）若在一个图G 中的两个顶点j i v v 与之间有边e 相连，则称点j i v v 与是相邻的，否则就称j i v v 与是不相邻的．（2）如果顶点v 是边e 的一个端点，称点v 与边e 是相邻的．（3）如果顶点本身也有边相连，这样的边称为环．如果连接两个顶点的边可能不止一条，若两个顶点之间有k )2k (≥条边相连，则称这些边为平行边．（4）如果一个图没有环，并且没有平行边，这样的图称为简单图．竞赛中的图论问题涉及到的图一般都是简单图．（5）如果一个简单图中，每两个顶点之间都有一条边，这样的图称为完全图，通常将有n 个顶点的完全图记为n K ．（6）在图G=(V,E)中，顶点个数|V|和边数|E|都是有限的，则称图G 是有限图；如果|V|或|E|是无限的，则称G 为无限图．1v 2v 4v 3v 1v '2v '3'4v '1v ''2v ''3v ''4v ''1G 2G 3G二．例题精选1．设S 为平面上的一个有限点集（含点数不少于5），若其中若干个点涂红色，其余点涂上兰色，又设任何三个同色点不共线，求证：存在一个同色三角形，且它至少有一条边不含另一种颜色． 证明：无穷递降法2．若平面上有997个点，如果两点连成一条线段，且中点涂成红色，证明：平面上至少有1991个红点，试找到正好是1991个红点的特例．证明：设997个点中M 、N 之间的距离最大，以M 、N 为圆心，2MN为半径作圆，如图，设P 为其它995 个点中的任意一个点，则PM 、PN 的中点R 、Q 都在圆M 、 N 内，且这些点个不相同，所以至少有995×2+1=1991个点．特例：在x 轴上横坐标依次为1，2，3，．．．，997的997个点，满足题设条件．3．正六边形被分为24个全等的三角形，在图中的19个结点处写上不同的数，证明：在24个三角形中，至少有7个三角形，其顶点处的三个数是按逆时针方向递增顺序书写的．证明：（１）正六边形的12（2）一个逆三角形有2条逆边，一个顺三角形有1条逆边；（3）除掉正六边形的边，图中有（24×3-12）÷2=30条边，没条边恰好是一个三角形的一条逆向边．综上，设24个三角形中有m 个逆三角形，n 个顺三角形，则有731224≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+=+m n m n m ，得证．RRRBBBMNPR QE 逆三角形顺三角形1231234．在正n 边形中，要求其每条边及每条对角线都染上任一种颜色，使得这些线段中任意两条有公共点的染不同颜色，为此，至少需要多少种颜色？的n 需要n 种颜色．当n=3 当n>3时，作正n 设MN 是另外一条边或对角线，若MN//BC ，则将MN 染成与BC 同色；若BC MN //，过A 引直线直线m//MN ，交圆于K ，则弧KN=弧AM ，所以K 也是正n 边形的顶点，即AK 是由A 出发的边或对角线，将MN 染成与AK 同色，所以n 种颜色足够了．5．某次大型活动有2003人参加，已知他们每个人都至少和其中的一个人握过手，证明：必有一个人至少和其中的两个人握过手． 证明：从5个点开始考虑奇数个点即可． 如图6．现有九个人，已知任意三人中总有两个人互相认识，证明：必有四人互相之间都认识． 证明：9个顶点的简单图，利用抽屉原理7．有n 名选手n 21A ,,A ,A 参加数学竞赛，其中有些选手是互相认识的，而且任何两个不相识的选手都恰好有两个共同的熟人，若已知选手21AA 与是互相认识，但他们没有共同的熟人，证明他们的熟人一样多．M NE P Q∙R∙1A 2A 3A 4A 5A KMNA1A 2A )(2A n )(1A n iA jA 1A 2A )(2A n )(1A n iA jA 'jA 'i A证明：的熟人一一对应与21A A8．有n （n>3）个人，他们之间有些人互相认识，有些人互相不认识，而且至少有一个人没有与其他人都认识，问与其他人都认识的人数的最大值是多少？解：作图G ：用n 个点表示这n 个人，当两人认识，则在两相应顶点之间连一线，否则之间不连线．由于至少有一个人与其他人不认识，所以图G 中至少有两点之间没连线，设21A A 与之间没连线，则图G 的边数最多时，G 为21A A K n -，故最大值为n-2．9．次会议有n 名教授n 21A ,A ,A 参加，证明可以将这n 个人分为两组，使得每一个人A i 在另一组中认识的人数不少于他在同一组中认识的人数．证明：用n 个点n A A A ,,,21 表示这n 名教授，并在相互认识的人之间连一条边，且将同一组间的连线染成红色，不同组之间的线染成蓝色．将这n 个点任意分成两组，只有有限种分法．考虑在两组之间的蓝线条数S ，其中必存在一种分法，使S 达到最大值，此时有i A 在两组内引出的边的条数分别为),,2,1,(,n i l l l l i i i i ='≥'，否则，若对i A 有'<i i l l ，将i A 调到另一组，S 增加了i i l l -'条，矛盾，得证．10．有三所中学，每所有学生n 名，每名学生都认识其他两所中学的n+1名学生，证明：从每所中学可以选出一名学生，使选出来的3名学生互相认识．证：用3n 个顶点表示这些学生，三所中学的学生组成的三个顶点集合分别记为A 、B 、C ，设M 和N 是两所不同学校的学生，而且是互相认识的，则在M 与N 之间连一线，得一个简单图．记A 中的元素x 在B 、C 中的相邻元素个数为k 和l ，则k+l =n+1．设k 与l 中大的记作m(x)，让x 跑遍A ，m(x)的最大值记作A m ，同理记C B m m ,分别为集合B 、C 中的所有元素在另两个集合中相邻元素个数的最大值．记m 是A m ，C B m m ,中最大者，不妨设m=A m ，且的顶点相邻的顶点集和中和使得100,B x B A x ∈数为m ，于是C 中与00,11x C z m n x 与设相邻的顶点数为∈≥-+相邻．如果有中中的一个三角形．若是相邻，则与1000010B G z y x z B y ∆∈每一个y 与中相邻与．因此，相邻的顶点数与都不相邻，则A z m n z B z 000-≤的顶点数1)(1+=--+≥m m n n 与m 的最大性矛盾，得证．三．巩固练习1．有n 个药箱，每个药箱里有一种相同的药，每种药恰好在两个药箱里出现，问有多少种药？)1(21-n n 2．18个队进行比赛，每一轮中每一个队与另一个队比赛一场，并且在其他轮比赛中这两个已赛过的队彼此不再比赛，现在比赛已进行完8轮，证明一定有三个队在前8轮比赛中，彼此之间尚未比赛过．3．某次会议有n 名代表出席，已知任意的四名代表中都有一个人与其余的三个人握过手，证明任意的四名代表中必有一个人与其余的n-1名代表都握过手．4．空间１８个点，任三点不共线，它们的两两连线染上红色或兰色，每条线段仅染一色．试证明其中一定存在一个同色的完全四边形．图论问题（二）用图论解决问题躲基本思路：把要考察的对象作为顶点，把对象之间是否具有我们所关注的某种关系作为顶点连边地条件．这样，就可以把一个具体问题化归成图论问题，用图论的理论和方法进行探讨，即使在图论中没有现成定理直接给出问题的解答，也可以（1）借助图论的分析方法拓宽解题思路；（2）把抽象的问题化为直观问题；（3）把复杂的逻辑关系问题化为简明的数量分析问题。
初中数学竞赛讲座——数论部分2(整数的整除性)
第二讲 整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义： 设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。
如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若c b b a |,|，则c a |证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），∴a pq q ap c )()(==，∴c a |性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证明 用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是a 2+b 2=9m 2+9n 2±6n+1=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则a 2＋b 2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a ，b 都是3的倍数．例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。
图论——精选推荐
图论问题一． 基本概念1．图的定义：由若干个不同的顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形叫做图。
用G 表示图，用V 表示所有顶点的集合，E 表示所有边的集合，并且记作G=（V ，E ）． 2．同构图：如果两个图G 与G '‘的顶点之间可以建立起一一对应，并且当且仅当G 的顶点v i 与v j 之间有k 条边相连时，G ’的相应顶点j i v v ''与之间也有k 条边相连，就认为G 与G '是相同的，称G 与G '是同构的图． 2．子图：如果对图G E E ,V V )E ,V (G )E ,V (G '⊆'⊆'''='=，则称有与是G 的子图． 3．其它有关概念：（1）若在一个图G 中的两个顶点j i v v 与之间有边e 相连，则称点j i v v 与是相邻的，否则就称j i v v 与是不相邻的．（2）如果顶点v 是边e 的一个端点，称点v 与边e 是相邻的．（3）如果顶点本身也有边相连，这样的边称为环．如果连接两个顶点的边可能不止一条，若两个顶点之间有k )2k (≥条边相连，则称这些边为平行边．（4）如果一个图没有环，并且没有平行边，这样的图称为简单图．竞赛中的图论问题涉及到的图一般都是简单图．（5）如果一个简单图中，每两个顶点之间都有一条边，这样的图称为完全图，通常将有n 个顶点的完全图记为n K ．（6）在图G=(V ,E)中，顶点个数|V|和边数|E|都是有限的，则称图G 是有限图；如果|V|或|E|是无限的，则称G 为无限图．1v 2v 4v 3v 1v '2v 3'4v '1v ''2v ''3v ''4v ''1G 2G 3G二．例题精选1．设S 为平面上的一个有限点集（含点数不少于5），若其中若干个点涂红色，其余点涂上兰色，又设任何三个同色点不共线，求证：存在一个同色三角形，且它至少有一条边不含另一种颜色． 证明：无穷递降法2．若平面上有997个点，如果两点连成一条线段，且中点涂成红色，证明：平面上至少有1991个红点，试找到正好是1991个红点的特例．证明：设997个点中M 、N 之间的距离最大，以M 、N 为圆心，2MN为半径作圆，如图，设P 为其它995 个点中的任意一个点，则PM 、 PN 的中点R 、Q 都在圆M 、 N 内，且这些点个不相同，所以至少有995×2+1=1991个点．特例：在x 轴上横坐标依次为1，2，3，．．．，997的997个点，满足题设条件．3．正六边形被分为24个全等的三角形，在图中的19个结点处写上不同的数，证明：在24个三角形中，至少有7个三角形，其顶点处的三个数是按逆时针方向递增顺序书写的．证明：（１）正六边形的12（2）一个逆三角形有2条逆边，一个顺三角形有1条逆边；（3）除掉正六边形的边，图中有（24×3-12）÷2=30条边，没条边恰好是一个三角形的一条逆向边．综上，设24个三角形中有m 个逆三角形，n 个顺三角形，则有731224≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+=+m n m n m ，得证． RRRBBBMNPR QE 逆三角形顺三角形1231234．在正n 边形中，要求其每条边及每条对角线都染上任一种颜色，使得这些线段中任意两条有公共点的染不同颜色，为此，至少需要多少种颜色？的n 需要n 种颜色．当n=3 当n>3时，作正n 设MN 是另外一条边或对角线，若MN//BC ，则将MN 染成与BC 同色；若BC MN //，过A 引直线直线m//MN ，交圆于K ，则弧KN=弧AM ，所以K 也是正n 边形的顶点，即AK 是由A 出发的边或对角线，将MN 染成与AK 同色，所以n 种颜色足够了．5．某次大型活动有2003人参加，已知他们每个人都至少和其中的一个人握过手，证明：必有一个人至少和其中的两个人握过手． 证明：从5个点开始考虑奇数个点即可． 如图6．现有九个人，已知任意三人中总有两个人互相认识，证明：必有四人互相之间都认识． 证明：9个顶点的简单图，利用抽屉原理7．有n 名选手n 21A ,,A ,A 参加数学竞赛，其中有些选手是互相认识的，而且任何两个不相识的选手都恰好有两个共同的熟人，若已知选手21AA 与是互相认识，但他们没有共同的熟人，证明他们的熟人一样多．M NEP Q∙R∙1A 2A 3A 4A 5A KMNA1A 2A )(2A n )(1A n iA jA 1A 2A )(2A n )(1A n iA jA 'jA 'i A证明：的熟人一一对应与21A A8．有n （n>3）个人，他们之间有些人互相认识，有些人互相不认识，而且至少有一个人没有与其他人都认识，问与其他人都认识的人数的最大值是多少？解：作图G ：用n 个点表示这n 个人，当两人认识，则在两相应顶点之间连一线，否则之间不连线．由于至少有一个人与其他人不认识，所以图G 中至少有两点之间没连线，设21A A 与之间没连线，则图G 的边数最多时，G 为21A A K n -，故最大值为n-2．9．次会议有n 名教授n 21A ,A ,A 参加，证明可以将这n 个人分为两组，使得每一个人A i 在另一组中认识的人数不少于他在同一组中认识的人数．证明：用n 个点n A A A ,,,21 表示这n 名教授，并在相互认识的人之间连一条边，且将同一组间的连线染成红色，不同组之间的线染成蓝色．将这n 个点任意分成两组，只有有限种分法．考虑在两组之间的蓝线条数S ，其中必存在一种分法，使S 达到最大值，此时有i A 在两组内引出的边的条数分别为),,2,1,(,n i l l l l i i i i ='≥'，否则，若对i A 有'<i i l l ，将i A 调到另一组，S 增加了i i l l -'条，矛盾，得证．10．有三所中学，每所有学生n 名，每名学生都认识其他两所中学的n+1名学生，证明：从每所中学可以选出一名学生，使选出来的3名学生互相认识．证：用3n 个顶点表示这些学生，三所中学的学生组成的三个顶点集合分别记为A 、B 、C ，设M 和N 是两所不同学校的学生，而且是互相认识的，则在M 与N 之间连一线，得一个简单图．记A 中的元素x 在B 、C 中的相邻元素个数为k 和l ，则k+l =n+1．设k 与l 中大的记作m(x)，让x 跑遍A ，m(x)的最大值记作A m ，同理记C B m m ,分别为集合B 、C 中的所有元素在另两个集合中相邻元素个数的最大值．记m 是A m ，C B m m ,中最大者，不妨设m=A m ，且的顶点相邻的顶点集和中和使得100,B x B A x ∈数为m ，于是C 中与000,11x C z m n x 与设相邻的顶点数为∈≥-+相邻．如果有中中的一个三角形．若是相邻，则与1000010B G z y x z B y ∆∈每一个y 与中相邻与．因此，相邻的顶点数与都不相邻，则A z m n z B z 000-≤的顶点数1)(1+=--+≥m m n n 与m 的最大性矛盾，得证．三．巩固练习1．有n 个药箱，每个药箱里有一种相同的药，每种药恰好在两个药箱里出现，问有多少种药？)1(21-n n 2．18个队进行比赛，每一轮中每一个队与另一个队比赛一场，并且在其他轮比赛中这两个已赛过的队彼此不再比赛，现在比赛已进行完8轮，证明一定有三个队在前8轮比赛中，彼此之间尚未比赛过．3．某次会议有n 名代表出席，已知任意的四名代表中都有一个人与其余的三个人握过手，证明任意的四名代表中必有一个人与其余的n-1名代表都握过手．4．空间１８个点，任三点不共线，它们的两两连线染上红色或兰色，每条线段仅染一色．试证明其中一定存在一个同色的完全四边形．图论问题（二）用图论解决问题躲基本思路：把要考察的对象作为顶点，把对象之间是否具有我们所关注的某种关系作为顶点连边地条件．这样，就可以把一个具体问题化归成图论问题，用图论的理论和方法进行探讨，即使在图论中没有现成定理直接给出问题的解答，也可以（1）借助图论的分析方法拓宽解题思路；（2）把抽象的问题化为直观问题；（3）把复杂的逻辑关系问题化为简明的数量分析问题。
数学竞赛专题讲座七年级第2讲 创造的基石—观察、归纳与猜想(含答案)
第二讲 创造的基石——观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的．从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性．当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石．“要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G ．波利亚链接：G ．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一．观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想．举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥．例题讲解 【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l ，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示．【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )．A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键．．．．．．．四条直线相交，最多有六个交点三条直线相交，最多有三个交点两条直线相交，最多只有一个交点【例3】化简个个个n n n 9991999999+⨯ (第18届江苏省竞赛题) 思路点拨 先考察=n 1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确． 【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行； ．甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第l 列是甲子，第3列是丙寅…，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解．链接：观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：(1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律．然后证明通过归纳所猜测的规律的正确性．【例5】图)(a 、)(b 、)(c 、)(d 都称作平面图．(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好)．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边? ( “华杯赛”决赛试题) 思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键．链接：历史上著名的数学家欧拉曾经研究过正多面体，惊奇地发现了正多面体的顶点数)(V 、面数)(F 、棱数)(E 存在一个奇妙的相等关系：2=-+E F V ．史称“欧拉公式”，它不仅在数学方法上有所创新，而且推动了现代数学的重要分支——拓扑学的发展．【例6】已知2≥m ，2≥n ，且m ，n 均为正整数，如果将nm 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11；②在34的“分解”中最小的数是13；③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．其中正确的是____________． （太原市中考题）思路点拨 明确对n m 进行“分解”的意义，是解本例的关键．【例7】观察图形寻找规律，在“？”处填上的数字是（ ）．A ．128B ．136C ．162D ．188 （南宁市中考题） 思路点拨 从探讨数字键的关系入手．【例8】一楼梯共有n 级台阶，规定每一步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第n 级，不同的迈法为n a 种，当n =8时，求8a ． （河南省竞赛题）思路点拨 先求出当n =1，2，3，4时，1a ，2a ，3a ，4a 的值，解题的关键是，从某级开始，寻找n a 与1-n a 、2-n a 、3-n a 的联系．９７５３３43343332242322?884826148422基础训练一、基础夯实1.(1)如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,•根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是________.(2001年浙江省绍兴市中考题)（1） （2）(2)观察一列数:3,8,13,18,23,28,…依此规律,在此数列中比2000•大的最小整数是_________. (2003年金华市中考题) 2.如图2是2002年6月份的日历.现用一矩形在日历中任意．．框出4个数a b c d,•请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系:__________.3.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n 个图形由n 个正方形组成. 通过观察可以发现:(1)第4个图形中火柴棒的根数是________.(2)第n 个图形中火柴棒的根数是________. (2001年江西省中考题)n=1n=2n=34.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表,那么当输入数据是8时,输出的数据是( )A. 861B.863C.865D. 867(2003年重庆市中考题)5.在以下两个数串中:1,3,5,7,…,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,1990,1993,1996,•1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个A.333B.334C.335D.336 (“希望杯”邀请赛试题)6.图①是一个水平摆动的小正方体木块,图②、•③是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,•小正方体木块总数应是( ). A.25 B.66 C.91 D.120 (2003年宁波市中考题)7.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,•每一个数都是前两个数的和,也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…问:•这串数的前100个数中(包括第100个数),有多少个偶数? (“华杯”赛试题) 8.自然数按下列的规律排列：(1)求上起第10行,左起第13行的数;(2)数127应在上起第几行、左起第几列? (北京市“迎春杯”竞赛题)二、能力拓展9.(1)观察下列各式,你会发现什么规律? 3×5=15, 而15=42-1, 5×7=35, 而35=62-1, … …11×13=143, 而143=122-1, … …将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_______.(2000年济南市中考题)(2)将1,-1,1,-1,1,-1…按一定规律排成下表:从表中可以看到第4行中,自左向右第3个数是9,第5行中从左向右第2个数是-112,•那么第199行中自左向右第8个数是________,第1998行中自左向右第11•个数是________. (“希望杯”邀请赛试题) 10.有一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…,a n ,其中 a 1=6×2+1 a 2=6×3+2; a 3=6×4+3; a 4=6×5+4; ……则第n 个数a n =_______;当a n =2001时,n=________. (第15届江苏省竞赛题) 11.一个正方体,它的每一面上写有一个字,组成“数学奥林匹克”.有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示,那么,“学”字对面的字为______.(重庆市竞赛题)（第11题） （第12题）12.用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘,•正方形每边都等距离地摆n(•n•≥3)••盆花,••那么所需菊花的总盆数s•与n•的关系可以表示为________. (第14届“希望杯”邀请赛试题)13. (新加坡数学竞赛题)如果一个序列{}i a 满足a 1=2,a n+1=a n +2n(n 为自然数),那么a 100是( )A.9900B.9902C.9904D.10100E.10102 14. (2001年湖北省荆州市中考题)将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26 根据上面排列规律,则2000应在( ).A.第125行,第1列B.第125行,第2列C.第250行,第1列D.第250行,第2列15.(1)设n 为自然数,具有下列形式11111n ⋅⋅⋅ 个5555n ⋅⋅⋅个5的数是不是两个连续奇数的积,说明理由.(2)化简333n ⋅⋅⋅ 个3×333n ⋅⋅⋅ 个3+1999n ⋅⋅⋅个9,并说明在结果中共有多少个奇数数字?16.(1)图①是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图②、③、④、•⑤的木块.我们知道,图①的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图②、③、④、•⑤中木块的顶点数、(2)观察此表,数之间的数量关系是：____________________.(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图②～⑤不同的切法,•把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为________,棱数为 _________,面数为________. (第16届江苏省竞赛题)三、综合创新：17.怎样的两个数,它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2=2×2,其实这样的两个数还有很多,例如:3+32=3×32。
高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(二)
数论定理一. 知识要点1. 欧拉定理和费尔马小定理缩系的定义：设m 为正整数，一个模m 的剩余类称为与模m 互素的余类，如果它中的数与m 互素．在与模m 互素的各个剩余类中分别取一个代表所构成的集合称为模m 的一组缩系．很显然，缩系具有以下性质：（1）模m 的缩系中含有ϕ（m ）个数（ϕ（m ）是小于m 的正整数中且与m 互素的个数）．（2）设()m r r ϕ ,1是ϕ（m ）个与m 互素的整数，则()m r r ϕ ,1模m 两两不同余．（3）设()1,=m a ，且()m r r ϕ ,1是模m 的一组缩系，则()m ar ar ar ϕ,,,21 是模m 的一组缩系．欧拉（Euler ）定理：设m 是大于1的整数，a 为整数，且()1,=m a ，则()()m a m mod 1≡ϕ．For personal use only in study and research; not for commercial use解：设()m x x x ϕ,,,21 是模m 的缩系．因为()1,=m a ，所以()m ax ax ax ϕ,,,21 也是模m 的缩系．这两个缩系分别乘起来得()()()m x x x ax ax ax m m mod ·2121ϕϕ ≡，且()()1,21=m x x x m ϕ ．从而()()m a m mod 1≡ϕ )()m a m mod 1≡ϕ．特别地，取m 为质数p ，有费尔马（Fermat ）小定理：设p 为质数，a 为整数，p a ，则()p a p mod 11≡-．它也常常写成()p a a p mod ≡．这里不需假定p a ，但p 应为素数．For personal use only in study and research; not for commercial use2. 中国剩余定理（孙子定理）中国剩余定理：设k m m m ,,21是两两互质的正整数，k a a a ,,,21 是任意整数，则同余方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡=≡.mod ,mod ,mod 2211k k m a x m a x m a x 对模k m m m 21有唯一解． 解：设()k i m m m m M iki ,,2,121 ==．依题设，有()1,=i i m M ，由裴蜀定理知，存在整数i b ，使得()i i i m b M mod 1≡，k i ,2,1=．对k k k M b a M b a M b a x +++= 222111，其中i i i M b a 能被k i i m m m m ,,,,111+-整除，而被i m 除的余数恰为i a ．从而∑==ki i i i M b a x 1是同余方程组的解．又设x ，y 均为同余方程组的解，则有y x m -1，y x m -2，…，y x m k -，即y x m m m k - 21，亦即()k m m m y x 21mod ≡．所以同余方程组对模k m m m 21有唯一解．3. 威尔逊（wilson ）定理威尔逊（wilson ）定理：设p 为质数，则()()p p mod 1!1-≡-．解：对于任意整数a ，且1≤a ≤p －1，由裴蜀定理知，存在整数a ’，使得()p aa mod 1'≡．称a ’为a 的数论倒数，且不妨设1≤a ’≤p －1．若有整数b ，满足()p ba mod 1'≡，则将此式两边同乘以a ，有()p a b mod ≡．这说明对于不同整数a ，1≤a ≤p －1，对应着不同的数论倒数a ’．又若整数a 的数论倒数是它自身，则()p a a mod 1≡⋅，亦即()()()p a a mod 011≡-+，故1≡a 或()p mod 1-．当2=p 时，显然有()()p p mod 1!1-≡-．当p ＞2时，有2，3，…，p －2这p －3个数恰好配成互为数论倒数的23-p 对数，故它们的积()()p p p mod 1123223≡≡-⨯⨯⨯- ．于是()()()p p p mod 1111!1-≡-⨯⨯≡-．4. 拉格朗日定理设p 为质数，n 是非负整数，多项式()01a x a x a x f n n +++= 是一个模p 为n 次的整系数多项式（即p a n ），则同余方程()()p x f mod 0≡ （※），至多有n 个解（在模p 的意义下）．证明：我们对n 用归纳法．当0=n 时，()0a x f =，因为p a 0，故同余方程（※）无解，命题成立．设当l n =时命题成立，则当1+=l n 时，若命题不成立，即同余方程（※）至少有2+l 个解，设为()p c c c x l mod ,,,221+≡ ①，我们考虑多项式()()()()()11111111c x a c x a c x a c f x f l l l l l l -++-+-=-+++ )()111c x a c l l-++- ()()()()x h c x x a c x l l 111-=+-=+ ②，其中()x h 是l 次多项式并且首项系数1+l a ，满足1+l a p ，从而由归纳假设知l 次同余方程()()p x h mod 0≡ ③，至多有个l 个解，但由①，②可知同余方程③至少有l ＋1个解．()p c c c x l mod ,,,232+≡ ，矛盾！故当1+=l n 时命题成立．综上所述，命题得证．二. 典型例题例1. 已知正整数k ≥2，k p p p ,,,21 为奇质数，且()1,21=k p p p a ．证明：()()()111121----k p p p a 有不同于k p p p ,,21的奇质因数．证明：由()1,21=k p p p a ，有()1,1=p a ．由费尔马小定理，()11mod 11p ap ≡-．又k ≥2，p p p ,,,32 k p p p ,,,32 为奇质数，则()()()211121---k p p p 为正整数，从而()()()()12111mod 121p ak p p p ≡--- ，即()()()12111121----k p p p ap .同理，()()()1211121--⋯--k p p p a能被P 2，P 3，…P k 整除，从而()()()1211121+-⋯--k p p p a不能被k p p p p ,,,,321 整除．注意到()()()211121---k p p p 是一个偶数，则()()()0211121≡---k p p p a或1（mod4），因此4不整除()()()1211121+---k p p p a，故()()()1211121+---k p p p a异于k p p p ,,,21 的奇质因数．所以()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-------1121111112121k k p p p p p p a a()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1211121k p pp a有异于k p p p ,,,21 的奇质因数．例2. 对于自然数n ，如果对于任何整数a ，只要1-n a n ，就有12-na n ，则称n 具有性质P ．（34届IMO预）（1）求证：每个素数n 都具有性质P ． （2）求证：有无穷多个合数也都具有性质P ．证：（1）设p n =为素数且1-p a p ，于是()1,=p a ．由费尔马小定理知11--p a p ，而()()1111-+-=--a a a a p p ．故1-a p ，即()p a m o d 1≡．因此，()p a i mod 1≡，1,,2,1,0-=p i ．上述p 个同余式累和，得()p p a a a p p mod 0121≡≡++++-- ．故()()11212++++---a a a a p p p ，即12-pa p ．（2）设n 是具有性质P 的合数．若1-na n ，则()1,=a n ．由欧拉定理，有()()n a n mod 1≡ϕ，又因()n a n mod 1≡，由阶的性质知，()()()n a n n mod 1,≡ϕ．如果()()1,=n n ϕ，则()n a mod 1≡，于是利用（1）中证明可得12-na n ．因此，问题化为求无穷多个合数n ，使()()1,=n n ϕ．对任何素数p ≥5，取p －2的素因数q ，并令pq n =．这时()()()11--=q p n ϕ．因为()2-p q ，所以q (p －1)．又因q ≤p －2＜p ，故p (q －1)．因此，有()()1,=n n ϕ．对于每个这样的合数n ，若()1-na n ，则()1-a n ，因而()n a k mod 1≡，,2,1,0=k ．故()12-n a n ．因为对于每个素数p ≥5都可按上述程序得到具有性质P 的相应合数()p n ，且p ＜()p n ＜p 2，所以，有无穷多个合数n 具有性质P ．例3. 求所有整数n ≥2，满足：对所有的整数a ，b ，且()()1,,==n b n a ，()n b a mod ≡的充分必要条件是()n ab mod 1≡．（第41届IMO 预选题）解：若n 有奇素因子p ，设n p a||，记1n p n a⋅=，N a ∈．由中国剩余定理知，存在Z x ∈，使()n x mod 1≡，()a p x mod 2≡，则()1,=n x ．取x b a ==，即知()n x mod 12≡，从而()a p mod 14≡，故3=p ，且1=a ．因此()1,5=n ．取5==b a ，即知()n mod 125≡，从而24n ，故,12,8,6,4,3,2=n 24,12,8,6,4,3,2．下证：当n 取上述值时，满足条件．注意到，当2 a 时，有()8mod 12≡a ；当3 a 时，有()3mod 12≡a ，又24n ，32243⨯=，故必有()n a mo d 12≡（因为()1,=n a ）．对Z b a ∈,，且()()1,,==n b n a ，()n b a mod ≡，则()n ab mod 1≡．对Z b a ∈,，且()()1,,==n b n a ， ()n ab mod 1≡，则()n ab a mod 12≡≡．从而()a b a n -又()1,=n a ，有()b a n -，即()n b a mod ≡．综上，所求n 的值为2，3，4，6，8，12，24．例4. 求所有正整数n ，满足对所有的正整数n ，存在一个整数m ，使12-n是92+m 的因子．（第39届IMO 预选题）解：引理1：若p 为4k －1（k ≥2）型质数，则不存在Z m ∈，使()p m mod 92-≡．证明：设)p m m mod 31≡()p m m mod 31≡（∵()13,=p ，∴m 1存在），N m ∈1．又∵()p m mod 912-≡, ∴)(mod 121p m -≡．由费马小定理知，()()()p m m p p p mod 11121212111-=-≡=≡---，矛盾．引理2：当1≤i ＜j 时，有()112,1222=++ji )112,12=++j，且()13,122=+i ．证明：∵()()()()12mod 211121222222+≡+-≡+=+--i i j ij ij ，∴()()12,1212,12222=+=++ij i )()12,1212,122=+=++i j．又∵()()3mod 2111222≡+-≡+i i ，∴()()13,23,122==+i．对于原题，若()()9122+-m n，n ≥2．设t n S ⋅=2，2 t ．若t ≥3，则()()1212-+n t ，从而()()9122+-m t ．又必存在4k －1型素数p ，且3≠p ，()12-tp （否则，()4mod 1111121≡⨯⨯⨯≡-≡- t ，矛盾）．此时()92+m p ，与引理1矛盾．故t =1，从而S n 2=，且()()()1212123121212222+++⋅=--S S．由引理2及中国剩余定理知，存在N m ∈1，使()()12m o d 22211+≡-ii m ，i =1，2，…，s －1．故()((2m o d0121222211≡+≡+-i m )()()12mod 0122221+≡+≡-ii ．令13m m =，有()()()12mod 013922122-≡+=+Sm m ．因此，()()9122+-m n ．综上，所求正整数n 为2的幂次2i （i =1，2，…）．数论中存在性问题是最常见的，除了运用数论存在性定理来解决外，还需要有直接构造的能力．例5. 证明：每个正有理数能被表示成3333d c b a ++的形式，且其中a ，b ，c ，d 是正整数．（40届IMO 预选题）证明：设该正有理数为p ．（1）当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,21p 时，()()()()333321121p p p p p -++-++=，其中2p －1，2－p ，p ＋1+∈Q ．（2）当p ≥2时，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41323，故有N n ∈，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21323p n，由（1）有333333333322132132213223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p p p p n n n n n ．（3）当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0p 时，由于()4,1233∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，故有N n ∈，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21233p n ，由（1）有333333333232123123212332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p p p p n n n n n ．综上，总有+∈Q d c b a m 1111,,,,，使()()31313131313131313d c mb ma d c b a m p ++=++⋅=,设ma 1，mb 1，c 1，d 1的分母公倍数为n ，则取N mna a ∈=1，N mnb b ∈=，N nc c ∈=1，N nd d ∈=1，且3333dc b a p ++=．结论成立． 说明：这里是直接构造证明，首先发现恒等式()()()()333321121p p p p p -++-++=，进一步对p ≥2，或0＜p ≤21构造．例6. 证明：不存在非负整数k 和m ，使得()mk k ！14848+=+．证明：注意到0=k 或0=m 时，上述不定方程无解，于是，可设满足上述方程的k ，m 为正整数．（1）若1+k 为合数，设pq k =+1，2≤p ≤q ，注意到，应有48 | k ！．故k≥6，于是1＜2p ≤k ，故（1+k ）| k ！，进而（1+k ）| 48，结合1+k ≥7，可知1+k =8，12，24或48，分别代入，两边约去48后，可得矛盾．（2）若1+k 为质数，由威尔逊定理，可知k ！()1mod 1+-≡k ，于是，1+k | 47，进而1+k =47，这要求46！＋48=48×47m ①，从而m ＞1，两边除以48可知m 47148!46=+，两边模4，可知()()4mod 11≡-m ，故m 为偶数．设m =2k ，则由①可知2()()14714748!46+-=k k ，由232 |48!46，而()23mod 2147≡+k，故232 | 147-k，利用二项式定理()()223mod 146123247+≡+⨯=k k，从而23 | k ，进而m ≥46，这时，①式右边比左边大．矛盾．注：一般地，若n ＞4，且n 为合数，则n |（n －1）！，依此可以证明威尔逊定理的逆定理也成立． 例7. 设p 是质数，证明：存在一个质数q ，使得对任意整数n ，数p n p-不是q 的倍数．（第44届IMO 试题）证明：由于()212mod 1111p p p p p p p p p +≡++++=--- ．则11--p p p 中至少有一个质因子q ，满足q 对2p 的模不等于1。
一次方程(组)——初一数学竞赛系列讲座(2)
．
① ②
①一④得 １ｘ一 ４ 则 一 ３ ， ②一④得 １ｙ＝ ８ 则 ３ ＝ ， ＝ ③一④得 １ｚ一 １ ， ｚ一 ３ ４则
．
当４一 一 时即 ｝时方 为ｏｚ ３ 三 ｍ ３ 。 ，ｍ ，程 ： ｎ ４ －Ｑ ・
此时 ， 若 一 ３ 则方程 ｏ・ ＝ ｏ故方程的解为任何有理数 ； ，
，
若 ≠ 显然方程无解 ， ３
，
ｚ＝ ＿ ３ ４ ｎ ｍ ａ ｒ 综上所述 ， ｍ≠ 当 ３时 ， ；
理数． 当ａ ０ ｂ ０ ， ， ≠ 时 方程 舡 一 ｂ 无解． ３ ．～次方程组 、
解一次方程组的基本 思想是 “ 消元” 常用方法有 “ ， 代入 消元法” 和 “ 加减消元法” ． ４ ．应用题是中学数学的重要内容之一 ， 它着重培养理解问题 、 分析 问题和解决问题的能力， 解应用题最主要的方法是列方程或方程组． Ｓ ．列方程（ 解应用题的一般步骤是 ： 组） （） １ 弄清题意和题 目中的数 量关 系 ， 用字母表示题 目中的～个 未
，
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中考 与 竞 赛
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消去ｚ ３（ ＋ ） ６， 得：１ｙ 一４５故 ＋ 一１． ５
所 以， 卖 出 Ｃ 水 果 １ 克 ， 共 ５千 ｃ水 果 的销 售 额 为 １ ５× １ ０一
一
３０元、１ 元、３ ９ ４ ０ ４０元、８ 元． ４ ０ 铅笔 比彩笔便 宜 ３ 元 ， ０ 圆珠笔 比彩笔贵， 签字笔比圆 笔贵， 珠 荧光笔比签字笔贵． 出每种笔的价格． 求
数学竞赛辅导讲座(新)
数学竞赛辅导系列讲座一 ——数1.计算：1111(12)(123)(12320)2320+++++++++++．2.如果5555555555555554444666666233322n++++++++⨯=+++，那么n=_______． 3.军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc ，七进制表示为cba ，那么苹果总数用十进制表示为_______．4.已知实数a 满足|2014|a a -=，那么a －20142的值是（ ）A 、2013B 、2014C 、2015D 、20165.设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ）A 、84B 、68C 、45D 、1156.数272－1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________． 7.n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=________．8.设1a =，则3a 3+12a 2－6a －12=（ ）A 、24B 、25C 、10D 、129.已知a 、b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．10.设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数有（ ）个A 、3B 、4C 、5D 、611.设n a 表示数4n 的末位数，则122012a a a +++=________．12.如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1－2x|+|1－3x|+…+|1－10x|为定值，则定值为（ ）A 、2 B 、3C 、4D 、513.若1,2,3xy yz zxx y y z z x===+++，则x=______． 14.试求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2015|的最小值．15.已知p 、q 均为素数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3，1－p+q ，2p+q －4为边长的三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形16.若x 1、x 2 、x 3 、x 4 、x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)=242，则x 12+x 22+x 32+x 42+x 52的末尾数字是（ ） A 、1B 、3C 、5D 、717.在数1、2、3、…、2014、2015前面任意添加上“+”或“－”进行计算，所得可能的最小非负数是________．18.设a 、b 、c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，x 、y 、z 中至少有一个值（ ）A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于019.今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+…+20163天是星期_____． 20.已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=201313121201321.11)(2f f f f f f x x f 则=．21.已知四个互不相等的正数x 、y 、m 、n 中，x 最小，n 最大，且x ：y=m ：n ，试比较x+n 与y+m 的大小，并证明你的结论． 22.10099++++．23.设x>0，y>0=的值．24.25.设a 、b 、c26.=且0<x<y ，那么满足上述等式的整数对(x ，y)的个数有多少？27.设1980100S =++++[S]表示不超过S 的最大整数，试求S ．28.已知x 、y 是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．29、若a 、b 是整数，且7|(a+b)，7|(2a －b)，求证：7|(5a+2b)． 30.正整数p 、q 都大于1，且2121,p q q p--都是整数，求p+q ． 31.当n 是正整数时，n 4－6n 2+25是质数还是合数？证明你的结论． 32.已知a 是自然数，问a 4－3a 2+9是质数还是合数？证明你的结论．33.试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．34.设a 、b 、c 、d 是正整数，并且a 2+b 2=c 2+d 2，证明a+b+c+d 一定是合数．35.你能找到三个正整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b+c)(a －b+c)(a+b －c)(b+c －a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．36.一个正整数a ，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b ，如果a 恰好是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”． （1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a 、b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数．37.将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 38.设x =a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，求333a b ab ++的值．39.设a 、b 都是整数，求证：a ，b ，a 2+b 2，a 2－b 2中一定有一个被5整除．40.若一个数能够表示成2222x xy y ++(x ，y 是整数)的形式，则称该数为“好数” （1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，…，100中的好数； （3）如果m ，n 都是好数，证明mn 也是好数．41.有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？ （2）三堆的石子数都是12？ 如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．42.为无理数．43.已知p 为大于3的质数，证明p 的平方被24除的余数是1．44.已知M 是一个四位的完全平方数，若将M 的千位数字减少3而个位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．45.在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2－3－4+5+6－7－8+9是1的一种可被表出的方法）． （1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法种数．46.是否存在：用0，1，2，…，9这十个数字组成几个数，使它们的和恰好为100，每个数字都用一次并且只能用一次．47.设〔x 〕表示不超过实数x 的最大整数．则在平面直角坐标系xoy 中满足〔x 〕〔y 〕=2011的所有点（x ，y ）组成的图形的面积 ． 48.已知122015,,,a a a 是一列互不相等的正整数．若任意改变这2015个数的顺序，并122015,,,b b b 记为．则数()()()112220152015M a b a b a b =---的值必为 ．49.（1）证明：由2015个1和0组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明：存在最左边2015位都是1的形如11…1﹡﹡…﹡的自然数（﹡代表阿拉伯数码）是完全平方数．数学竞赛辅导系列讲座二 ——式1.已知x _______．2.已知a+b+c=11与1111317a b b c c a ++=+++，则a b cb c c a a b+++++的值是_______． 3.已知实数a ，b ，c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式||||||a b ca b c ++的值是_______．4.已知a ，b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11,1111a b M N a b a b =+=+++++，则M-N=____． 5.a ，b ，c 不全为0，满足a+b+c=0，a 3+b 3+c 3=0，称使得a n+b n+c n=0恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2013的正整数中好数的个数为（ ）A 、2B 、1007C 、2012D 、20136.设()()94122=++++y y x x ，则=+++1422x y y x ______．7.设a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc cax a b c ab bc ca =+++++，则321ax bx cx +++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、-18.若|x-a|=a-|x|(x ≠0，a ≠x)（ ）A 、2aB 、2xC 、-2aD 、-2x9.若a ，b 为实数，满足111a b a b -=+，则b aa b-的值为（ ） A 、－1 B 、0C 、12D 、110.设a ，b ，c 为互不相同的有理数，满足((2b ac +=++，则满足条件的a ，b ，c 共有（ ）组A 、0B 、1C 、2D 、411.已知x y ==，则3312x xy y ++=___________．12.的结果是（ ）A 、1B 、 3C 、2D 、413.分式222253051611x xy y x xy y ++++的最小值是（ ）A 、-5B 、-3C 、5D 、314.非零实数a ，b ，c ，x ，y ，z 满足关系式x y za b c==，则()()()()()()xyz a b b c c a abc x y y z z x ++++++=_____． 15.已知x ，y ，z 为实数，若2222221,2,2x y y z x z +=+=+=，则xy+yz+zx 的最小值为（ ）A 、52B 、12+ 3C 、－12D 、12－ 3 16.若44222226a b a a b b +=-++，则22a b +=_____． 17.若实数x ，y 满足703392xy x y x y xy+++=⎧⎨+=+⎩，则22x y xy +=_______．18.设x ，y 为实数，代数式2254824x y xy x +-++的最小值为_______．19.已知实数a ，b ，c 满足27,160a b c ab bc b c -+=++++=，则b a 的值等于_____．20.分解下列因式：（1）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （2）42221x x ax a +++- （3）322222422x x z x y xyz xy y z --++- （4）444()x y x y +++ （5）22276212x xy y x y -++-- （6）32211176x x x +++ （7）136912++++x x x x（8）33221a b ab a b -+++21.使27m m ++为完全平方数的正整数m 的个数为__________． 22.若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a+=________． 23.已知实数x ，y 满足(2015x y -=，则2232332014x y x y -+--的值为（ ）A 、－2015B 、2015C 、－1D 、124.设a =5432322a a a a a a a+---+-=________． 25.设a ，b ，c ，d 都是正整数且5432,a b c d ==，19=-a c ．求d －b 的值．26.若2223331,2,3x y z x y z x y z ++=++=++=，求444x y z ++的值．27.若22221,1,0a b c d ac bd +=+=+=，试求ab+cd 的值．28.已知x>y>z>0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x ，y ，z 的值． 29.已知一组数据4，－2，0，2，x 的极差是10，求x 的值． 30.设1219,,,x x x 都是正整数，且满足121995x x x +++=，求2221219x x x +++的最大值．31.实数a ，b1032b b =-+--，求22a b +的最大值．32.22013．33.当x 变化时，求分式22365112x x x x ++++的最小值．34.已知x y z uy z u z u x u x y x y z===++++++++，求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 35.求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，不被7整除． 36.12,,,n x x x 为实数，()21222212n n x x x x x x n++++++=，求证：12n x x x ===．37.已知a ，b ，c 均为正整数，且满足222a b c +=，又a 为质数，求证：（1）b 与c 这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数．38.设a ，b ，c 均是不等于0的实数，且满足22a b bc -=及22b c ca -=，证明：22a c ab -=．39.设实数x ，y 满足(1x y ++=，求x+y 的值．40.已知a ，b ，c 为实数，证明2222(),(),(),()a b c a b c b c a c a b +++-+-+-这四个代数式的值中至少有一个不小于222a b c ++的值，也至少有一个不大于222a b c ++的值． 41.设实数x ，y ，z 同时满足33334,266,398x y x y z y z x z +=++=++=+，试求2222013(1)2014(1)2015(1)x y z -+-+-的值．42.如果实数a ，b 满足条件22221,|12|21a b a b a b a +=-+++=-，a+b 的值是多少？ 43.已知a ，b ，c 为正数，满足下列条件 32a b c ++= …………①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= …………②为三边长的三角形可构成以一个直角三角形． 44．已知cb ac b a ++=++1111．求证：a+b ，b+C ，c+a 中至少有一个为零．45. 互不相等的实数a 、b 、c ，d.且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111, 求x 的值． 46.已知1abc =-,221a bc c+=，求555ab bc ca ++的值.数学竞赛辅导系列讲座三 ——方程1.方程|3x|+|x －2|=4的解的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32.以关于x ，y 的方程组32339mx y x my +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件的实数m 的范围是（ ）A 、m>19B 、m<－2C 、－2<m<19D 、－12<m<93.已知实数a>0，b>0，满足22014,2014a b b +=+=，则a+b 的值是______．4.关于x 的方程22211ax a a x -=+-的解为________． 5.已知p 是质数，且方程24440x px p +-=的两个根都是整数，则p=_____． 6.方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无数多个7.若a ，b 都是整数，方程220080ax bx +-=的两相异根都是质数，则3a+b 的值是（ ）A 、100B 、400C 、700D 、10008.对于实数x ，符合[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.14]=3，[－7.59]=-8，则关于x 的方程3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的整数解有（ ）个 A 、4B 、3C 、2D 、19.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足1114,9,16,,,4916bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则 (a+c+e)－(b+d+f)的值为________．10.方程||(1)0x x k --=有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）A 、－14<k<0B 、0<k<14C 、k>－14D 、k<1411.若整数m 使得方程220060x mx m -++=的根为非零整数，这样的整数m 的个数为________．12.设x 1，x 2是方程240x x +-=的两根，则3212510x x -+=（ ）A 、-29B 、-19C 、-15D 、-913.方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x ，y ）的组数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、314.方程7[2][3]82x x x +=-的所有实数解为_____________． 15.对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v ，若关于x 的方程x*(a*x)=－ 14 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？17.不定方程5x －14y=11的最小正整数解是____________． 18.方程22[]30x x --=的解的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、419.已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=，的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是________． 20.已知m ，n是二次方程2201470x x ++=的两根，那么22(20136)(20158)m m n n ++++等于（ ）A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、200921.若实数x ，y ，z 满足方程组122232xyx y yzy z zxz x⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则（ ） A 、x+2y+3z=0B 、7x+5y+2z=0C 、9x+6y+3z=0D 、10x+7y+z=022.已知实数a ，b ，c ，d ，且a ≠b ，c ≠d ，若关系式22222,2,4,4a ac b bc c ac d ad +=+=+=+=同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________．23.方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解（x ，y ，z ）为_____________． 24.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有_______组．25.把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a ，b ，c 有（ ）A 、不存在B 、有一组C 、有两组D 、多于两组26.已知a ，b ，c 为正数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，则方程2(1)(2)(1)0a x b x c +++++=的根的情况是（ ） A 、没有实根B 、有两个相等的实根C 、有两个不等实根D 、根的情况不确定27.求方程232730x xy y -+=的正整数解．28.设x ，y ，z 是都不为零的相异实数，且满足等式y z z x x yy z x+++==，试证明：此等式的值不可能是实数．29.解方程：222916(3)x x x +=- 30.满足方程2221x y -=的所有质数解（即x ，y 都是质数的解）是_______． 31.若2222,x y m n x y m n +=++=+，求证：2014201420142014xy m n +=+．32.已知a>0，且b>a+c ，证明方程20ax bx c ++=必有两个不同的实根． 33.解下列方程：（1）4322914920x x x x -+-+=（2）44(2)820x x +--= （3）222(231)(251)9x x x x x -+++=（4）222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++ （5）2240119x x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭（6）1321121111x x x++=+++34.设a 为整数，使得关于x 的方程2(5)70ax a x a -+++=至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．35.已知正整数a ，b ，c 满足a<b<c ，且ab+bc+ca=abc ，求所有可能符合条件的a ，b ，c ． 36.当a ，b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根． 37.m 为有理数，试确定方程22443240x mx x m m k -++-+=的根为有理数．38.当12122()p p q q =+时，试证方程2110x p x q ++=和2220x p x q ++=中至少有一个方程有实根．39.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 40.如果关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 41.把最大正整数是31的连续31个正整数分成A ，B 两组，且10在A 组，如果把10从A 组移到B 组中，则A 组中的各数的平均数增加12 ，B 组中各数的平均数也增加12 ，问A 组中原有多少个数？42.已知a>2，b>2，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与方程2x abx a b -++=有没有公共根，并说明理由．43.求满足条件的所有实数k ，使得关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数． 44.设a ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能同时有两个相等实根．45.设△是整系数二次方程20ax bx c ++=的判别式，（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程；（2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由． 46.设a 、b 、c 、d 是正整数，a 、b 是方程()02=+--cd x c d x 的两个根．证明：存在边长是整数且面积为ab 乘积的直角三角形．数学竞赛辅导系列讲座四——不等式1.不等式2|26|x x a +-≥对一切实数x 都成立，则实数a 的最大值为_____．2.x <<x 的个数是（ ） A 、4B 、5C 、6D 、73.已知－1<2x －1<1，则21x-的取值范围是_______． 4.已知关于x 的不等式(2m －n)x －m －5n>0的解集为x<107 ，那么关于x 的不等式mx>n(m ≠0)的解集为__________． 5.使关于x 的不等式12ax a x --≥成立的x 的最大值是－1，则a 的值是____． 6.关于x 的不等式|2x －1|<6的所有非负整数解的和为_______．7.若正数x ，y ，z 满足不等式组1126352351124z x y z x y z x y x z y ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，则x ，y ，z 的大小关系是（ ）A 、x<y<zB 、y<z<xC 、z<x<yD 、不能确定8.若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值为（ ）A 、－1B 、－5C 、0D 、19.若a ，b ，c ，d 为乘积是1的四个正数，则代数式2222a b c d ab ac ad bc bd cd +++++++++的最小值是（ ）A 、0B 、4C 、8D 、1010.设实数x 满足3142631323510x x x ----≥-，求2|x －1|+|x+4|的最小值． 11.求证：2211331x x x x -+≤≤++（x 为实数）．12.已知221a b +=，对于满足条件0≤x ≤1的一切实数x ，不等式a(1－x)(1－x －ax)－bx(b －x －bx)≥0．恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值13.设x ，y 为实数，若22222,x xy y x xy y k -+=++=，求k 的取值范围．14.解关于x 的不等式组365(12)8mx mxmx x m x -<-⎧⎨+>-+⎩．15.在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足y ≤|x|的所有整点（x ，y ），并说明理由．16.已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于14 ．17．一玩具厂用于生产的全部劳动力为450个工时原料为400个单位．生产一个小熊要用15个工时，20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要用10个工时，5个单位的原料，售价为45元．在劳动力和原料的限制下合理安排生产小熊小猫的个数．可以使小熊和小猫总售价尽可能高．请你用学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．18.求满足不等式 a 2+b 2+c 2+3﹤ab+3b+2c 的整数解．19.由沿河岸一城市A 运货物到离河岸30km 的地点B,按沿河岸距离计算，B 离A 的距离AC 是40km ．如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸的点D,从B 点筑一条公路到D ，才能使由A 到B 的运费最少？20.甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元．则其中单价为9元的商品有几件？21.货轮上卸下若干只箱子，其总质量为10吨．每只箱子的质量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走．问至少需要多少载重为3吨的车子．22．已知二次函数y=2x +(m+1)x+n 过点(3，3)，并且对于一切实数x ，所对应的函数值均不小于x ，求这个函数图像的顶点到原点的距离．23．如图，△ABC 中，∠C 为锐角，AD ，BE 分别是BC 和AC 边上的高线，设CD=2m BC ，CE=2nAC ，当m ，n 为正整数时，试判断△ABC 的形状，并说明理由．24．已知y x x x )2(622222-=+-+-，求yx -1的值．25．已知a ，b 为实数，且满足16a 2+2a+8ab+b 2—1=O ，求3a+b 的最小值．26．设10p p x ，求证：21)1(11522+-+++≤p x x ．27．若二次函数()x f =a x ax --22满足()()()()0312f f f f ，则实数a 的取值范围为 ． 28．已知+∈R y x ,．求yx yy x x 22+++的最大值．29．能同时表示成连续9个整数之和、连续10个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数为 ．30．四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且⊿AOB 与⊿COD 的面积分别为1、9．求四边形ABCD 面积的最小值，并判断当取得最小值时四边形的形状．31.已知正数a 、b 、c 、a 1、b 1、c 1,满足条件a+a 1=b+b 1=c+c 1=k ，求证:a b 1+ b c 1+ c a 1﹤k 2．32．设a 、b 、c +∈R ，求证：2222cb a ac c c b b b a a ++≥+++++．33．已知a 、b 是给定的大于2015的实数，对于任意实数x 、y ，都有122))((22222++--+++k k ay bx y x b a >0,其中k 是实数，求k 的取值范围.34．当三个非负实数x 、y 、z 满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时，M=3x-2y+4z 的最小值和最大值分别为 .35．有n 个连续的正整数1、2、…，n ，去掉其中的一个数x 后，剩下的平均数是16 .则满足条件的n 和x 的值分别是 .36．已知实数x 、y 满足5422=--y x x ，记y x t 2-=，则t 的取值范围是 .37．小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶4元,汽水每瓶7元,开始时他有350瓶饮料,虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2009元,则他至少卖出了 瓶汽水. 38.请判断1002是多少位整数(要有详细的过程).数学竞赛辅导系列讲座五 ——函数1.在平面直角坐标系中有点A （－2，2）、B （3，2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则符合条件的点C 有（ ）个A 、1B 、2C 、4D 、62.已知一次函数y=kx+b ，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限．3.若反比例函数y=kx 的图像与一次函数y=ax+b 的图像交于点A （－2，m ）、B （5，n ），则3a+b=_______．4.已知二次函数2y x x a =-+的图像与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________．5.已知点A 、B 分别在一次函数y=x ，y=8x 的图像上，其横坐标分别为a ，b （a>0，b>0），若直线AB 为一次函数y=kx+m 的图像，则当b a是整数时，满足条件的整数k 的值共有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6.一次函数13y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，在第二象限内有一点P （a ，12 ），满足S △ABP =S 正方形ABCD ，则a=________．7.已知y =x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 、 6 -3B 、3C 、 5 - 3D 、 6 - 38.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A 、512B 、49C 、1736D 、129.过点P （－1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条10.若关于x 的函数2(3)(41)4y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 的值为_______．11.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过（－1，2）且与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2（－2<x 1<－1，0<x 2<1），给出下列结论：①abc>0，②4a －2b+c<0，③2a －b<0，④b 2+8a>4ac ，其中正确的有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、412.过原点的直线与反比例函数y=- 7x 的图像交于A ，C ，自点A ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为B ，D ，则四边形ABCD 的面积等于______．13.设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同的交点（x 1，0）、（x 2，0），则下列结论中一定成立的是（ ）A 、221217x x +=B 、22128x x +=C 、221217x x +<D 、22128x x +>14.一次函数y=kx+b 的图像过点P （1，4），且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B ，O 为坐标原点，△ABO 的面积最小时，k ，b 的值分别是（ ）A 、－4，8B 、－4，4C 、－2，4D 、－2，－215.已知函数2()f x ax c =-（a ，c 为实数），若－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤2，则f(8)的最大值是__________．16.如果函数y=b 的图像与函数23|1|43y x x x =----的图像恰有三个交点，则b 的可能值为_________．17.若函数245(1)y x x t x t =--+≤≤+的最大值关于t 的表达式y max =______． 18.已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像可能是（ ）ABCD19.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=（k 1>k 2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C 1和C 2，设点P 在C 1上，PE ⊥x 轴于点E ，交C 2与点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B，则四边形PAOB 的面积为（ ） A 、k 1+k 2 B 、k 1-k 2 C 、k 1k 2D 、k 1k 220．如图已知点A 、B 分别在反比例函数)0(x x n y =、)0( x xm y =的图像上，OB OA ⊥，则tanB= ．21.在平面直角坐标系中，已知点A （1，1）在坐标轴上找一点P ，使△AOP 为等腰三角形，求P点坐标．22.设抛物线25(21)24y x a x a =++++的图像与x 轴只有一个交点． （1）求a 的值；（2）求186323a a -+．23.已知直线y=b （b 为实数）与函数2|43|y x x =-+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围．24.已知一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=kx 的图像交于点M （2，3），N （－4，m ）（1）求一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=kx 的解析式；（2）求△OMN 的面积．25.如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．C D E FA B26.求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数21()f x x ax b n=++对任意整数x ，f(x)都是整数． 27.如图，已知点M （0，1），N （0，－1），P 是抛物线214y x =上的一个动点 （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的位置关系；（2PNM=∠QNM28.已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图像与x 轴的交点分别为A ，B ，与y 轴的交点为C ，设△ABC 的外接圆的圆心为P ．（1）证明⊙P 与y 轴的另一个交点为定点；（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且S △ABC =2，求b 和c 的值．29.已知抛物线2y x px q =++上有一点M （x 0，y 0）位于x 轴的下方．（1）求证：已知抛物线与x 轴必有两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1<x 2； （2）求证x 1< x 0<x 2；（3）若点M 为（1，－2）时，求整数x 1，x 2的值．30. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联．(1)已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y ；③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联，并说明理由．(2)抛物线1C :2)1(812-+=x y ，动点P 的坐标为（t ，2），将抛物线绕点P （t ，2）旋转︒180得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．(3)点A 为抛物线1C :2)1(812-+=x y 的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC Δ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．31．已知二次函数2222(0)y x mx m m =--≠的图像与x 轴交于点A ，B ，它的顶点在以AB 为直径的圆上．（1）证明：A ，B 是x 轴上两个不同的交点； （2）求二次函数的解析式；（3）设以AB 为直径的圆与y 轴交于点C ，D ，求弦CD 的长．32．如图，双曲线xy 2=(x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得△C B A '，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .33．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .（1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 ．34．我们知道，对于二次函数y=a （x+m ）2+k 的图像，可由函数y=ax 2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax 2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a （x+m ）2+k 为“基本函数”y=ax 2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离22k m +称为朋友距离．第32题图B'yx O CBAOBC D由此，我们所学的函数：二次函数y=ax 2，函数y=kx 和反比例函数xky =都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”． 如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x 的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=103122=+.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x 先向 ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为 ．（2）探究二：已知函数y=x 2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离． （3）探究三：为函数143++=x x y 和它的基本函数xy 1=，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．35．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是（ ）36.已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A （0，1），B （0，3），第三个顶点C 在x 轴的负半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，D （3，－2），P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． （1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标；（3）设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．ABCDMN P37．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>； （3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④38．已知抛物线y=2x 2—4mx+21与x 轴有2个不同的交点A ，B ，抛物线的顶点为C ， (1)当△ABC 为等边三角形时，试确定点C 的位置； (2)如何平移符合条件(1)的抛物线，使AC=23AB ； (3)设点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点F ，G 分别是DC ，EC 的中点，问四边形DFGE 的面积S 的大小与m 的取值是否有关?若有关，写出其关系式；若无关，请说明理由．39．已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立．（1）试确定抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的开口方向以及与x 轴的交点个数．（2）求乘积ab 的最小值．（3）当ab 取最小值时，求抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的解析式．40．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(2(c ﹥b ﹥a),其图象过点(1,0),并且与直线a y -=有公共点．证明：ab≤0﹤1． 41．方程 ()42330ax a x a --+=有一个根小于－2,另外三个根都大于－1,求a 的取值范围.数学竞赛辅导系列讲座六——三角形1.设△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且2228440a c b ab bc ++--=，则△ABC 一定是（ ）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、钝角三角形2.△ABC 的边a ，b ，c 满足条件211b a c=+，则b 边所对的∠B 的大小是（ ） A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、锐角、直角、钝角都有可能3.在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、多于34.7条长度均为整数的线段127,,,a a a ，满足127a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a 1=1，a 7=21，则a 6=（ ）A 、18B 、13C 、8D 、55.1239A A A A 是一个正九边形，1213,A A a A A b ==，则15A A 等于（ ）ABC 、12(a+b)D 、a+b6.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC<AC ，且241AB AC BC =⨯，则∠A=（ ） A 、15°B 、18°C 、20°D 、25°7.如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角， 在直线l 上取一点P ，使得∠APB=30°，则这样的点P 有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、不存在8.在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点123100,,,,P P P P ， 记()100,,3,2,12K =⨯+=i PC BP AP m i i i i ，则12100m m m +++=（ ）A 、100B 、200C 、300D 、4009.如图，在线段AE 同侧作两个等边△ABC ，△CDE （∠ACE<120°），P ，M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△PCM 是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、非等腰三角形 10.在△ABC 中，∠C=3∠A ，a=27，c=48，则b 等于（ ）A 、33B 、35C 、37D 、不确定BDE11.在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，D ，E 在边BC 上，满足BD=1，CE=8，则∠DAE 的度数为_______．12.在Rt △ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在CA 、CB 上，满足∠DFE=90°，若AD=3，BE=4，则线段DE 的长度为______．13.如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在BC ，CA 上，使CD=AE ，AD 与BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，则QPQB=______．14.设P 是边长为12的正△ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足为别为D 、E 、F ，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF 的面积是________． 15.如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD ⊥AE ，且AB+AC=BE ，则∠B=________．16.如图，在三角形ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD=3，CD=2，则S △ABC =________． 17.在△ABC 中，AB=7，AC=11，M 是BC 边的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长是______．18.在△ABC 中，∠CAB=70°，∠CAB 和∠ACB 的平分线交于点I ，若AC+AI=BC ，则∠ACB= _____°．19.在钝角△ABC 中，∠A<∠B<∠C ，∠A 、∠C 的外角平分线交对边延长线与D 、E ，且AD=AC=CE ，则∠BAC 的大小是__________．20、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB ，AC 上分别取点D 、E 使得∠BDC=50°，∠BEC =40°，则∠ADE=______．21.已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF ．22.如图，以△ABC 的AB 、AC 为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE 且使∠1=∠2，M 是BC 的中点，求证：MD=ME ．D EC23.已知在△ABC 中，∠A>90°，AD ⊥BC ，求证AC+AB<AD+BC ．24.在等腰三角形ABC 一腰AB 上取一点D ，在另一腰AC 的延长线上去CE=BD ，连DE ，求证：DE>BC ．25.锐角△ABC 中，BC<AB ，AH 是BC 边上的高，BM 是AC 边上的中线，AH=BM ，求证：∠MBC =30°．26.如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形，求证：△AMN 的周长等于2．27.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=0.5，DE+BC=1，求证：∠ABC=30°．28.如图，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=900—12 ∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形．E29.如图，在△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB=∠CDF ．30.如果P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=2 3 ，PC=4，求正△ABC 的边长． 31.如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，AP=BP=CP=6，设PD=x ，PE=y ，PF=z ，若xy+yz+zx=28，求xyz 的大小．32.如图，在一张长方形纸片ABCD 中，AB AD <，点E F 、分别是AB 和CD 的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B 落在线段EF 上的点G 处，折痕AK 交EF 于H ，则下列说法正确的个数有 ①30DAG ∠=︒；②△GHK 是正三角形；③2GH EH =；④3FG EH =． （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33.如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为(2212a ab b -+)m ，正五边形的边长为(25)b m -，则这段铁丝的总长是_______________m ．34．如图，直线l 1、l 2、l 3相交于点A 、B 、C ，得到△ABC ，其中∠ACB ＝90°，AC=6，BC=8，点O 在线段AC 上，且OA=2OC ，将△ABC 绕点O 旋转得到△A /B /C /，当点A /落在这三条直线上时，线段AA /的长是_______________．35．如果长为l 的一根绳子恰好可围成两个全等三角形，那么其中一个三角形的最长边x的取值范围是（ ） A ．8l ≤x ＜4l B ．6l ≤x ＜4l C ．8l ≤x ＜3l D ．6l ≤x ＜2l 36．已知AD 是△ABC 的中线，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝45°，则∠ACB ＝ 度．EDPCAEFHK GF DAB C。
迎春杯数学竞赛指导讲座(第二册)
入几？ 分析：要使乘积结果的最后五位是零，就应当使这四个数中保证有五对
２ 和 ５ 的因子。 解：首先将前面三个数字分解质因数： １３５＝３３×５ １９２５＝５×５×７×１１ ４８６＝２×３５ 它们当中共有三个 ５，一个 ２。应再补上两个 ５，四个 ２，括号中的数最
少应当取 ５×５×２×２×２×２＝４００。 例 ７ 合数 ３５７０，有很多的约数，其中最小的三位约数是多少？ 分析：如果我们一味地把 ３５７０ 的质因子凑成满足条件的三位数，也是
北京师范大学出版社有鉴于此，为了帮助各竞赛学科的参加者作好竞赛 前的准备，于 １９９２ 年秋决定出版《奥林匹克中小学系列教材》，邀请各学科 的水平高，并在辅导学生方面有丰富经验的教师，分头编写各学科的《奥林 匹克中小学系列教材》。
数学竞赛讲课教案模板及范文
课程目标：1. 培养学生对数学竞赛的兴趣和热情。
2. 提高学生的数学思维能力、解题技巧和策略。
3. 帮助学生掌握数学竞赛中的常见题型和解题方法。
4. 增强学生的团队协作能力和沟通能力。
课时安排：共4课时教学内容：第一课时：数学竞赛概述及基础知识第二课时：数论与组合问题第三课时：几何与代数问题第四课时：综合应用与模拟训练教学步骤：第一课时：数学竞赛概述及基础知识一、导入1. 介绍数学竞赛的背景和意义。
2. 引导学生了解数学竞赛的常见题型和解题方法。
二、教学内容1. 数学竞赛概述：介绍数学竞赛的种类、级别、时间和地点等。
2. 基础知识：复习和巩固初中数学中的基本概念、公式和定理。
三、课堂练习1. 基础知识填空题。
2. 简单计算题。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容。
2. 鼓励学生积极参与数学竞赛。
第二课时：数论与组合问题一、导入1. 回顾数论和组合的基本概念。
2. 引导学生了解数论与组合在数学竞赛中的应用。
二、教学内容1. 数论：质数、合数、最大公约数、最小公倍数等。
2. 组合：排列、组合、二项式定理等。
三、课堂练习1. 数论问题：质数判定、最大公约数求解等。
2. 组合问题：排列组合计算、二项式展开等。
四、课堂小结1. 总结数论与组合问题在数学竞赛中的应用。
2. 鼓励学生多练习相关题目。
第三课时：几何与代数问题一、导入1. 回顾几何和代数的基本概念。
2. 引导学生了解几何与代数在数学竞赛中的应用。
二、教学内容1. 几何：平面几何、立体几何、三角函数等。
2. 代数：方程、不等式、函数等。
三、课堂练习1. 几何问题：求三角形面积、证明几何定理等。
2. 代数问题：解方程、证明不等式等。
四、课堂小结1. 总结几何与代数问题在数学竞赛中的应用。
2. 鼓励学生多练习相关题目。
第四课时：综合应用与模拟训练一、导入1. 回顾前三节课所学的知识。
2. 引导学生进行综合应用。
二、教学内容1. 综合应用：将所学知识应用于实际问题。
数学竞赛讲课教案模板及范文
课时安排：2课时教学目标：1. 理解并掌握数学竞赛中的常见题型和解题技巧。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解题速度。
3. 提高学生在数学竞赛中的应试能力。
教学重点：1. 数学竞赛常见题型分析。
2. 解题技巧与方法讲解。
教学难点：1. 学生对复杂题型的理解和掌握。
2. 学生在短时间内提高解题速度。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 典型数学竞赛题目。
3. 解题步骤和技巧的讲解。
第一课时一、导入1. 引入话题：数学竞赛对于提高学生的数学能力和综合素质具有重要意义。
2. 介绍本次课程的主要内容。
二、新课讲授1. 常见题型分析：a. 数列问题b. 函数问题c. 几何问题d. 概率问题e. 组合问题2. 解题技巧与方法讲解：a. 数列问题：掌握数列的通项公式、求和公式等。
b. 函数问题：熟练运用导数、积分等工具，解决函数的最值、极值问题。
c. 几何问题：掌握几何图形的性质、面积、体积等计算方法。
d. 概率问题：运用概率论的基本原理，解决实际问题。
e. 组合问题：熟练运用排列组合的知识，解决实际问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视辅导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容。
2. 强调解题技巧和方法的重要性。
第二课时一、导入1. 回顾上节课所学内容。
2. 引入新课题：提高解题速度的方法。
二、新课讲授1. 提高解题速度的方法：a. 培养良好的解题习惯。
b. 熟练掌握常用公式、定理。
c. 提高阅读速度和理解能力。
d. 做题时注重思路的清晰和简洁。
2. 案例分析：a. 分析典型数学竞赛题目，讲解解题步骤和技巧。
b. 强调在解题过程中注重时间分配。
三、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视辅导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容。
2. 强调提高解题速度的重要性。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标。
2. 学生对所学知识的掌握程度。
数学竞赛讲课稿范文
数学竞赛讲课稿范文标题：数学竞赛高效备战讲课稿尊敬的各位同学们，大家好！我是XX学校数学竞赛备战团队的负责人，今天非常荣幸能够带领大家来进行数学竞赛备战的讲课。
在接下来的时间里，我将为大家介绍一些数学竞赛的备战方法和技巧，帮助大家达到更高的水平。
第一部分：备战策略1. 了解数学竞赛要求在备战之前，我们需要了解不同级别的数学竞赛所要求的知识和技巧。
例如，初级竞赛可能主要考察基础的计算和简单的问题解决能力，而中级和高级竞赛则更加偏向于推导证明和思维能力。
因此，我们应该在备战过程中针对性地学习和训练。
2. 分析竞赛题目在备战过程中，我们要仔细分析过去的数学竞赛题目，找出其中的规律和常见的解题方法。
可以将题目按照题型和难度分类，逐个攻破。
对于每道题目，我们要理解其题意和要求，分析其解题思路，并进行反复练习，熟悉各类题型的解法。
3. 制定备战计划备战数学竞赛需要时间和计划，我们应该合理安排每天的学习和训练时间，并根据自身情况设定目标。
备战计划可以包含每天的学习内容、解题练习和模拟考试等。
稳定地按计划学习是取得好成绩的关键之一。
第二部分：基础知识与技巧1. 数学基础知识的巩固数学竞赛对数学基础知识的要求非常高，因此我们必须对数学基础知识进行充分的巩固。
主要包括数学运算、代数、几何、概率统计等方面。
我们可以从恢复课本知识开始，通过课堂学习和自我训练相结合的方式进行。
2. 解题技巧的掌握数学竞赛中，解题的方法和技巧非常重要。
我们需要掌握一些常用的解题技巧，例如代入法、递推法、归纳法、反证法等。
此外，还需要注意发现问题的特点，合理运用相关定理和知识点，善于利用图形和数据进行推理和分析。
3. 快速计算能力的提升数学竞赛的时间非常紧张，因此快速计算能力是必备的。
我们可以通过做计算题、口算训练和计算器的熟练使用来提高计算速度和准确性。
此外，记忆乘法口诀表、常用公式和定理也是必要的。
第三部分：解题技巧与实战练习1. 善于做题的方法解题的过程中，要善于捕捉问题的关键信息和隐含条件，提取问题的本质，避免走入歧途。
数学竞赛讲座全集(经典)
竞赛讲座01－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□³□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而第 1 页共98 页1+2+3+…+1992==996³1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≢a≢35,10≢b≢35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b 应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4³617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾第 2 页共98 页其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4³617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3³3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2³2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3³3的大正方形的互变，更无法实现. 例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4³496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题第 3 页共98 页例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A 点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，第 4 页共98 页经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______. （2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数第 5 页共98 页（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１²ａ２……ａｎ＝ｎ②。
数学竞赛讲座
高等数学竞赛讲座(笔记) 2009年9月第一讲：极限1、数列极限：方法：重要极限：e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n ，1lim =∞→n n n ，1lim =∞→n n a ()0>a ……收敛准则：夹逼定理：若n n n z x y ≤≤()N n ≥且a z y n n n n ==∞→∞→lim lim，则a x n n =∞→lim ；单调有界定理：单调有界数列必有极限；定积分定义：要求：()x f 在[]b a ,上连续，则()()∑⎰=→∆=n i i i b ax f x x f 10lim d ξλ⇒()⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→101d 1lim x x f n n i f ni n ；级数收敛必要条件：若∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→nn u ；构造函数法：记()n f u n =或⎪⎭⎫⎝⎛=n f u n 1，通过讨论()x f 的极限，得到n n u ∞→lim 。
（注意：若()A x f x =+∞→lim ，则()A n f n =∞→lim ，反之不亦，比如取()x x f πsin =，0sin lim =∞→n n π，但xx πsin lim +∞→不存在。
） 注：1、设n n x ∞→lim存在，则n x x x n n +++∞→ 21lim也存在，且nx x x nn +++∞→ 21lim n n x ∞→=lim ；（反之不亦）2、若0>n x 且n n x ∞→lim 存在， 则n n n x x x 21lim ∞→也存在，且n n n x x x 21lim ∞→n n x ∞→=lim ；举例分析：例1：（2006-1）设数列{}n x 满足π<<10x ，n n x x sin 1=+() ,2,1=n ，（1）证明n n x ∞→lim存在，并求其值；（2）求211lim n x n n n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 解：（1）由π<<10x 知 π<<=<112s i n0x x x ； 设π<<n x 0，则π<<=<+n n n x x x s in 01，由归纳法得{}n x 单调减少且有下界，故n n x ∞→lim 存在；不妨设a x n n =∞→lim ，由n n x x sin 1=+得a a sin =，故0=a ，即0lim =∞→n n x ；（2）考虑61sin sin 010e sin 1lim sin lim 32---→→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx xx x x x x x x x x x故211lim nx n n n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→6111e sin lim sin lim 22-→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x nnn x x x x n. 例2：设()nn nnn c b a x 1++=，其中0,0,0>>>c b a ，求n n x ∞→lim解：设{}c b a M ,,m ax =，则M x M n n ⋅≤≤3，由13lim =∞→n n ，得n n x ∞→lim{}c b a M ,,m ax ==。
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1. 数 整数及进位制表示法，整除性及其判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2. 代数式
综合除法、余式定理。 因式分。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。
学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的 过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、 动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学 生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导， 引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的 理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提 供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过 程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法， 获得广泛的数学活动经验。 《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》中所列出的内容，是 教学的要求，也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容， 在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面 有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”也是应遵循的原 则。因此，本大纲所列的课程标准外的内容充分考虑到学生的实际 情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，重在培养学生的学习 兴趣、学习习惯和学习方法，使不同程度的学生在数学上都得到相 应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关 系。
5. 几何 三角形中的边角之间的不等关系。 面积及等积变换。 三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。 相似形的概念和性质。 圆，四点共圆，圆幂定理。 四种命题及其关系。
6. 逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用。 简单的组合问题。 简单的逻辑推理问题，反证法。 极端原理的简单应用。 枚举法及其简单应用。
大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导作用，使我 国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。
新的课程标准的实施在一定程度上改变了初中数学课程的 体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展， 对竞赛活动所涉及的知识内容、思想和方法等方面也有了一 些新的要求。为了使新的《初中数学竞赛大纲》能够更好地 适应初中数学教育形势的发展和要求, 经过广泛征求意见和 多次讨论, 中国数学会普及工作委员会组织了对《初中数学 竞赛大纲》的修订。 本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》的 精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准(实 验稿) 》中提到：“……要激发学生的学习潜能，鼓励学生 大胆创新与实践；……要关注学生的个体差异，有效地实施 有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；……” 由于 各种不同的因素，学生在数学知识、技能、能力方面和志趣 上存在差异，教学中要承认这种差异，区别对待，因材施教， 因势利导。应根据基本要求和通过选学内容，适应学生的各 种不同需要；对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组 织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的 数学才能；鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。
初中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿） 中国数学会普及工作委员会制定 (2006年8月第14次全国数学普及工作会议讨论通过)
数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、 提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项 活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积 极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛 的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组 成部分。 为了使全国数学竞赛活动持久、健康地发展，中国数学会普 及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》，这份
3. 方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 简单的多元方程组。 简单的不定方程(组)。
4. 函数 y=|ax+b|，y=|ax^2+bx+c|及y=ax^2+b|x|+c的图象和性质。 二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值。 含字母系数的二次函数。