概率论与数理统计第七章习题概要

1 E( X )
1 0
xf ( x)dx.
1 1 0
x dx x 1 1 解出 ( )2 1 1
பைடு நூலகம்
1
将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,
得到参数的矩估计量
矩估计值
X 2 ( ) 1 X

x 2 ( ) 1 x
n n 0xi1 ( i =1,2,…,n)时,取对数得 l n L l n ( 1) l n xi 2 i 1
令
d n 1 n ln L ln xi 0 d 2 2 i 1


得到的最大似然估计值
的最大似然估计量
n2 ( ln x i ) 2

3. 求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量. c x ( 1) , x c (1) f ( x ) 其中c>0为已知,>1,为未知参数. 其它 0,
n n ( 1) n c xi ( c ) ( xi )( 1) xi c, i 1,2,, n L( , x1 , x2 , , xn ) f ( xi , ) i 1 i 1 i 1 0 其它 xi>c ( i =1,2,…,n)时,取对数得 n
i 1 n


n2 ( ln X i )2
i 1 n
4.(2) 设X1,X2,…,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试 求的最大似然估计量及矩估计量. xe , x 0,1,2, , 解 泊松分布的分布律为 P { X x } 总体一阶矩1=E(X)=, 将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X , 得到参数的矩估计量 X 设x1,x2,…,xn为相应的样本值, 似然函数
i 1 n n n n i 1
ai ( ai 0) 是的无偏估计量.
i 1 n n n
n
n
证 E(X1)= E(X2)=…= E(Xn)= E(X)=
E[( ai X i )
i 1 i 1
ai ] ai E ( X i ) ai ai ai

xi
n
x!
L( x1 , x2 ,, xn , )
n
n

xi
i 1
xi !
e

e
n
i 1
n i 1
取对数得 ln L n ln xi ln( xi ! )
n
( xi ! )
d 1 n 令 ln L n xi 0 d i 1 1 n 得到的最大似然估计值 xi x n i 1 1 n 的最大似然估计量 X i X n i 1
i 1 i 1 i 1 i 1
10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.
i 1
i 1
8 (1)验证第六章§2定理四中的统计量
2 2 n 1 n 1 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 2 2 1 2 1 2 2 Sw S1 S2 1 n1 n2 2 n1 n2 2 n1 n2 2
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2 而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2, 2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 2 2) E( Sw ) E( 1 n1 n2 2 1 2 2 [(n1 1) E ( S1 ) (n2 1) E ( S2 )] 2 n1 n2 2 (2)设总体X的数学期望为. X1,X2,…,Xn是来自X的样本. a1,a2,…,an 是任意常数,验证 ( ai X i )
解 似然函数
ln L n ln n ln c ( 1) ln xi i 1 n 令 d ln L n n ln c ln x 0 i d i 1
得到的最大似然估计值 的最大似然估计量
n


n
i 1
ln xi n ln c
n


n
i 1
ln X i n ln c
n
x 3.(2) f ( x ) 0,
解 似然函数
n
1
,0 x 1 其它
其中>0,为未知参数.
n n 1 n/ 2 ( x i ) ( xi ) 1 ,0 xi 1, i 1,2, , n L( , x1 , x2 , , xn ) f ( xi , ) i 1 i 1 i 1 0 其它



解出

1 c
1
1
1
将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,

得到参数的矩估计量 X X c
x 矩估计值 xc

x 2.(2) f ( x ) 0,
1
,0 x 1 其它
其中>0,为未知参数.
解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.
第七章习题
2. 设X1,X2,…,Xn为总体的一个样本, x1,x2,…,xn为一相应的样本值;求 下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.
c x ( 1) , x c 其中c>0为已知,>1,为未知参数. (1) f ( x ) 其它 0, 解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可. 1 E( X ) xf ( x)dx x c x ( 1)dx c 1 c x c c x dx c c