控制005

必要条件只起否定作用, 也即只要不满足必要条件, 系 统必不稳定, 必要条件不起保证作用, 也即满足必要条件, 系统不一定稳定. n阶系统的特征方程为:
D( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an 0
构造 D(s ) 的系数主行列式:
a1 a0 0 n 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 a5 a4 a3 a2 0 a7 a6 a5 a4 0 a9
第五章 控制系统的 稳定性分析
稳定性是线性控制 系统中最重要的问题
稳定的概念
一个系统受到扰动， 偏离了原来的平衡状态， 而当扰动取消后，这个系 统又能够逐渐恢复到原来 的状态，则称系统是稳定 的。否则，称这个系统是 不稳定的。
稳定系统
o
d
f


c
M
不稳定系统
o c b
b
条件稳定系统
b、c——允许偏差范围
s2 s1 s
0
一直计算到最后一行算完 b1a 3 a1b2 为止。然后判断阵列中第一列 c1 b1 系数的符号，若全部>0,则系统 b1a5 a1b3 稳定；否则，第一列系数符号 c2 改变的次数，就为特征方程在 b1 右半s平面的根数。


例1、系统特征方程为： Ds s 2 s 3 s 4 s 3 0 判断系统稳定性
d
a
e
d、e——规定偏差边界
稳定性反映在干扰消 失后的过渡过程的性质上。 这样，在干扰消失的时刻， 系统与平衡状态的偏差可 以看作是系统的初始偏差。 因此，控制系统的稳定性 也可以这样定义：
若控制系统在任何足 够小的初始偏差作用下， 其过渡过程随着时间的推 移，逐渐衰减并趋于零， 具有恢复原平衡状态的性 能，则称该系统稳定。否 则，称该系统不稳定。
2 4 1 0 0 1 K 2 1 0 2 1 K 0 0 0 2
1 2 0, 2
2 1 1 K
2K 1 0, K 0.5
K 2 1 0 3 1 K 2 2 23 0 K 4.5
nt
xo t
t
t=0
t
x o 0 xo
i
t
0

N s
X i s
-
G1 s
G2 s
X o s
xo t Di e
X ii s 1
k
i t

按照稳定性定义，如果 系统稳定，当 t 时， 齐次方程的解应趋于 0
G1 s
0
a1 3 a0 0
a3 a2 a1
a5 a4 , a3
4
a1 a0 0
a3 a2 a1
a5 a4 a3
a7 a6 a5 ,
0 a0 a2 a4 教材P.８６给出了n<=4时, 赫尔维茨稳定判据的简单表示形 式.
例:设闭环系统的特征方程为: D( s ) s 4 2s 3 Ks 2 s 2 0 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解:构造特征方程的系数行列式.
s 6s 8 0
乃奎斯特稳定判据
X i s
-
G s
X o s 闭环传递函数：
H s
X o s G s X i s 1 G s H s
为了保证系统稳定， 1 G s H s 0的 全部根，都必须位于左 半S平面。虽开环传 但如果闭环传递函数的 所有极点（闭环特 征方程的根）均位于左 半S平面内，则系统 是稳定的。 递函数 G s H s 的极点可能位于右半 S平面，
控制理论中所讨论的稳定性其 实都是指自由振荡下的稳定性，也 就是讨论输入为零，仅存在初始偏 差时的稳定性，即讨论自由振荡是 收敛的还是发散的。至于机械工程 系统往往用激振或外力的方法施以 强迫振动或运动，而造成系统共振 或偏离平衡位置，这并不是控制理 论所要讨论的稳定性。
系统稳定的充要条件
xi t
2 1 0
时系统稳定.
二、劳斯判据
系统特征方程为： D s a0 s a 1 s
n n 1
a2 s
n 2
an 1 s an 0
稳定的必要条件： 特征方程中各项系数>0 稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项>0
Ds 劳斯阵列如下： a0 s a 1 s a 2 s
n n 1
n 2
an 1 s an 0
s s s
n n 1
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
s n 2
n 3
a 1 a 2 a0 a 3 a6 b1 a1 a7 a 1 a 4 a0 a 5 b2 a1 a1a6 a0 a7 b3 a1
4 3 2
解：满足必要条件
s s s s s
4 3 2 1 0
1 2
1 -2 3
3 4
3
3
劳斯阵列第一列 符号改变 2 次，
D s 有 2 个右根，
系统不稳定。
s s s
3 2 1
例3
1
X i s
-
K 2 ss 1s 2
X o s
3
6K 3
K
K为何值时，系统稳定
K 满足劳斯阵列第一列 X o s K ss 1s 2 0 解： s X i s K K 符号 ss 1s 2 K 0 1 ss 1s 2
系统特征方程为：
3 2
有： 6 K 0 K 0
D s s 3 s 2 s K 0
赫尔维茨稳定判据的内容为: a8 0 n阶特征方程的根全部具有负 实部的充要条件是, 特征方程 a7 0 的各项系数为正, 且 D(s )的系 a6 0 数行列式的各阶主子式均大于 零, 即 i 0, i, i 1,2,, n a a3 而1 a1 , 2 1 , 0 an a0 a2
j k 1
e E
n
N s j t
j
cos j t F j sin j t
X o s

G2 s
拉氏反变换并代入初始s条件： 件是： 系统稳定的充分必要条 X o s G2 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实 n 1 n Gt G 部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样 a0 xo N s 1 xo1 〈0s j2san1 xo t a n xo t A t a i 1 ， 0 的系统就不稳定。 b s m 1方程 b s b m 撤除扰动，即得到齐次 m 1 b0 s 1 m i， j 对应闭环系统传递函数 特征根的实部， n n n 1 a s n 1 a a0 a0 s a1 s s an1 s ann Xso sa n 0 1 1
系统稳定的充要条件： 0 K 6 必要条件： K 0
劳斯判据的两种特殊情况：
1、某一行第一个元素为零，而 其余各元素均不为零、或部 分不为零； 2、某一行所有元素均为零。
例4：Ds s 3 s s 3 s 1 0 判断系统稳定性
4 3 2
s s s s s
为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（ -1,j0 ）左侧穿越
的次数来获取N ： 负穿越（ N- ）：开环幅相曲线顺时针穿越（ -1,j0 ）左侧的负 实轴，记一次负穿越； 正穿越（ N+ ）：开环幅相曲线逆时针穿越（ -1,j0 ）左侧的负
实轴，记一次正穿越；
N=N+-N-
例5-9 G s
解 : 1系统开环 p 0, q 1 当从 0~变化时， G j 的 Nyquist曲线关于 1 ,j 0 点的 2画Nyquist图 幅角增量 K G j j j 0.1 1 j 0.05 1 j p q arg G
都是开环频率特性 G j H j 。
开环频率特性 G j H j 与闭环 乃奎斯特稳定判据正是 一种将
通常我们画的乃奎斯特 曲线
特征多项式 1 G s H s 在右半 s平 面内的零点数和极点数 联系起来的 判据。
这一判据是由H.nyquist首先提出来的。 因为闭环系统的绝对稳定性可以由 开环频率响应曲线图解确定，无需实际 求出闭环极点，所以这种判据在控制工 程中得到了广泛应用。 由解析的方法、或者由实验的方法 得到的开环频率响应曲线，都可以用来 进行稳定性分析。 因为在控制系统设计中，一些元件 的数学表达式往往是未知的，仅仅知道 它们的频率响应数据，所以采用这种稳 定性分析方法比较方便。
1
表明系统有一对共 轭虚根，所以，系统临界稳定。
s 行为0，
s 2 s s 2 s 1 s 2 0
2 2


[S]
s j , s 2
2、某一行所有元素均为零
表明在 S 平面内存在大小相等但位置 径向相反的根，即存在两个大小相等、 符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，
可见，稳定性是控制系统自身的固有特性， 它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关； 对于纯线性系统来说，系统的稳定与否并不与初 始偏差的大小有关。 控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下 的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏 差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发 散的。
上述结论对于任何初始状态 （只要不超出线性工作范围）都成 立，且当特征根具有相同值时，也 成立。
4 3 2 1 0
1 3
3 3
1 3
1
1
0\